BLOQUE IAplicas la estática

INTRODUCCIÓN

Una de las ramas más importantes que componen la física es la mecánica cuyo propósito no sólo es la explicación y predicción de los fenómenos físicos relacionados con el movimiento de los cuerpos, sino también establecer los fundamentos de las aplicaciones de ingeniería, por ejemplo, el diseño y la construcción de un puente vehicular, una antena de transmisiones o el dique de una presa.

A su vez, una parte importante de la mecánica es la estática que se encarga del estudio de las partículas o sistemas de partículas (cuerpos sólidos) en reposo o que se desplazan a velocidad constante; al utilizar el término

partícula no implica que el estudio quede limitado a pequeños cuerpos, sino que el tamaño y la forma del cuerpo no afectarán significativamente la solución de los problemas tratados.

Se estudiará el efecto de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo o partícula, las cuales serán representadas por medio de vectores, que permitirán describir la magnitud, dirección y el sentido de las mismas. Posteriormente se analizarán las fuerzas que actúan sobre un cuerpo que se encuentra en estado de equilibrio.

I. Lee de manera individual la siguiente situación:

Una visita a Catemaco

Suponiendo que vas de vacaciones a un centro turístico cerca de la Laguna de Catemaco, Veracruz, en la recepción del hotel donde te hospedas te entregan un mapa en el cual te indican los lugares que comprenden las visitas guiadas, mismas que incluyen actividades de recreación y cultura, cuyo recorrido se efectúa por medio de lanchas; decides aprovechar el tiempo al máximo para ver lo más que se pueda en el primer día de visita; sales del hotel y caminas aproximadamente 250 m al sur para tomar la lancha, recorres 1,500 m hacia el oeste para llegar a la isla de los Changos y observar a detalle la flora y fauna del lugar. Pero no termina ahí tu travesía, ya que todavía falta trasladarte 1,800 m hacia el noroeste, con destino a la isla de las Garzas, santuario de la naturaleza.

II. Representa todo el recorrido de forma gráfica utilizando hojas de papel milimétrico y juego de geometría. Inmediatamente después contesta las siguientes preguntas:

1. ¿Cuál será la dirección y el desplazamiento desde la isla de las Garzas hasta el hotel?

2. ¿Cuántos metros recorrerá la lancha desde el punto de partida hasta la isla de las Garzas?

Muchas situaciones que se nos presentan en la vida diaria involucran el con-cepto de fuerza sin que tengamos claro su significado, por ejemplo, cuando una persona empuja una caja a través de una superficie, jala una cuerda o levanta un objeto muy pesado se dice que se está aplicando una fuerza.

Figura 1.1 Aplicación de fuerza.

En términos breves diremos que una fuerza es toda acción que tiende a modificar el estado de reposo o movimiento de un cuerpo y que está presente desde lo más simple –como lo acabamos de mencionar– hasta lo más complejo como las acciones para que un edificio pueda mantenerse erigido o la Luna pueda orbitar nuestro planeta.

Para comprender los problemas de la estática es necesario introducir el con-cepto de fuerza. Consideremos una esfera apoyada sobre un plano horizontal. Si comenzamos a empujarla, la esfera tiende a desplazarse modificando su estado de reposo por efecto de la acción exterior, moviéndose en el sentido que la hemos ejercido. Esto nos permite establecer que para que una fuerza quede perfectamente definida es necesario conocer cuatro parámetros: intensidad de la fuerza, punto de aplicación, dirección y sentido.

Figura 1.2 Aplicación de una fuerza

La física es una ciencia natural cuyos conceptos y leyes pueden expresarse en forma matemática; por eso se dice que las matemáticas son el lenguaje de la física.

La intensidad o magnitud de una fuerza se establece por comparación con un patrón que se considera como la unidad de fuerza denominada Newton o dina en el Sistema Internacional de Unidades (SI) y libra en el Sistema Inglés (SUEU).

Como ya se sabe, las fuerzas pueden representarse por vectores, gracias a los cuales se puede reconocer la existencia de una línea de acción de la fuerza, que representa la línea imaginaria sobre la cual actúa la fuerza en cuestión.

Figura 1.3 Línea de acción de una fuerza.

Sistemas de fuerzasUn sistema de fuerzas es simplemente un conjunto particular de fuerzas. Se dice que es coplanar o bidimensional si las líneas de acción de las fuerzas es-tán contenidas en un mismo plano, de lo contrario, el sistema es tridimensio-nal. Un sistema de fuerzas es concurrente si las líneas de acción de las fuerzas pasan por un mismo punto.

Si en alguna ocasión has ayudado a empujar un automóvil que haya tenido alguna falla mecánica, ése es un ejemplo de fuerzas coplanares, es decir, que se encuentran dentro de un mismo plano. Cuando un vehículo automotriz o un barco está varado actúan fuerzas en diversos puntos del mismo; estas fuerzas pueden ser su propio peso, el de los pasajeros o algún tipo de carga, y en sentido opuesto actuarían las reacciones en cada una de sus llantas, o el empuje del agua, para el caso del barco.

Figura 1.4 Fuerzas coplanares.

Un ejemplo de fuerzas concurrentes lo podemos encontrar en los elementos estructurales como las armaduras de acero, en donde al punto de unión de las piezas se le denomina nodo y es ahí donde concurren las líneas de acción de las fuerzas que ejerce cada una de ellas. Otro ejemplo puede ser cuando se levanta un objeto con dos o más cuerdas anudadas, que actúan en el mismo punto para levantar un objeto.

Figura 1.5 Fuerzas concurrentes.

Como recordarás por los cursos anteriores de física, para el estudio de los fenómenos naturales fue preciso definir cantidades físicas cuyos valores están asociados a elementos matemáticos; cantidades físicas como el tiempo, la densidad, la temperatura, la masa, la presión y la energía quedan completamente definidas con un número real y una unidad de medida y se les denomina cantidades escalares.

Cantidad física: cualquier número empleado para describir cuantitati-vamente un fenómeno físico. Al describir una cantidad física con un nú-mero, siempre debemos especificar la unidad empleada.

Cantidad escalar: es una cantidad física que se específica con un valor numérico y una unidad.

Cantidad vectorial: es una cantidad física que se especifica con una magnitud (número y unidad) y una dirección en el espacio.

Las cantidades físicas que tienen propiedades de magnitud y dirección son re-presentadas por vectores, los cuales son segmentos de recta dirigidos y se representan gráficamente con flechas. Algunos ejemplos de cantidades vectoriales son: la fuerza (un alumno aplica una fuerza de 60 N dirigida hacia arriba para levantar un paquete de libros), la velocidad (un vehículo viaja en una autopista con una rapidez media de 90 km/h hacia el sur) y el desplazamiento (un avión vuela del Puerto de Veracruz hacia la Ciudad de México).

Antes de iniciar el estudio de la mecánica, se introduce el concepto de vector como elemento unitario del espacio y se definen operaciones con vectores, los cuales son utilizados por científicos e ingenieros como una herramienta básica para describir el comportamiento de algunos sistemas físicos. Asi-mismo, es importante señalar que un vector está constituido por elementos como: origen, dirección, sentido y magnitud o módulo del vector.

Figura Elementos de un vector.

Los vectores se distinguen simbólicamente de las cantidades escalares por el uso de letras en negritas o pueden ser denotados dibujando una pequeña flecha horizontal arriba de la letra:

Gráficamente, los vectores se representan por medio de líneas con punta de flecha, como se indica en la figura 1.8. También se utiliza otra forma más simplificada en la cual se coloca una sola letra en negrita tal como A o a; así representaremos en algunas ocasiones los vectores en el presente libro.

En la figura 1.8 la representación gráfica del vector A y B será una flecha sin letras específicas en el origen y el extremo del segmento:

Figura Representación gráfica de los vectores A y B.

Tipos de vectores

Los vectores se pueden mover libremente en el espacio, pero de acuerdo con ciertas características que posee cada uno de ellos se pueden clasificar en:

Vectores paralelos, aquellos que tienen la misma dirección.

Vectores iguales, aquellos que tienen la misma magnitud y dirección.

De acuerdo con lo anterior, si dos vectores A y B apuntan en la misma dirección, son paralelos; si tienen la misma dirección, sentido y módulo son iguales o equivalentes, no importa cuál sea su ubicación en el espacio y si tienen o no el mismo punto de aplicación, ya que se podría hacer coincidir uno con el otro mediante una traslación.

Figura Representación de vectores paralelos e iguales.

Negativo de un vector

Vector con la misma magnitud que el original pero con dirección opuesta.

El vector negativo de un vector dado P se define como el vector que tiene la misma magnitud que P y cuya dirección es opuesta; el negativo de P se deno-mina –P. Obviamente se tiene que:

P + (–P) = 0

Por ejemplo, si P es 87 m al sur, entonces –P es 87 m al norte. Es por ello que si dos vectores tienen direcciones opuestas sean sus magnitudes iguales o no se denominan antiparalelos.

Figura Vector negativo de P.

Gran cantidad de magnitudes físicas del mundo real son vectoriales, y los vectores son absolutamente necesarios para poder modelar mate-

máticamente la realidad. Su aplicación en muchas áreas de ingeniería, diseño y construcción es de vital importancia.

Suma de vectoresEs muy importante señalar que cuando se suman dos o más vectores, éstos deben corresponder a un mismo tipo de cantidad física y tener además las mismas unidades; por ejemplo, no podemos sumar directamente un vector velocidad con un vector desplazamiento por el simple hecho de que las mag-nitudes son diferentes.

Sumar dos vectores requiere un proceso geométrico (tener en cuenta la di-rección de cada vector) y no es lo mismo que sumar escalares, de allí que las condiciones para la suma de vectores se expresan en forma más conveniente por métodos gráficos y analíticos. Comenzaremos por definir las característi-cas de los primeros.

Para la representación de vectores por métodos gráficos es necesario utilizar una escala como la de los mapas geográficos, en donde la distancia en el diagrama es proporcional a la magnitud del vector, y en algunas ocasiones necesitamos orientarnos correctamente con el uso de los puntos cardinales.

En la figura de abajo se representa un desplazamiento de 3 km hacia el noreste con un vector dibujado de 3 cm, ya que no sería práctico emplear el tamaño real. Esto significa que la escala que utilizamos es 1 cm igual a 1000 m.

Figura. Representación a escala de un vector.

La rosa de los vientos es un círculo con graduaciones, es decir, es un plano de coordenadas que indica a los cuatro puntos cardinales con sus derivados. Comenzó a utilizarse desde el siglo xiii por los marinos italianos y españoles, y hasta la fecha es un valioso aporte en los sistemas de navegación.

Existen métodos para la suma de vectores, y uno de los más comunes es el de métodos gráficos, el cual se clasifica en: del paralelogramo, del polígono y del triángulo.

Los métodos gráficos requieren de instrumentos de geometría y de una escala adecuada de representación, además de que son aproximados.

Los métodos analíticos son exactos y requieren de algunas herramientas matemáticas, específicamente de trigonometría.

La palabra trigonometría significa medición de triángulos. A grandes rasgos la idea es poder calcular cuánto vale el lado de un triángulo sin tener que ir a medirlo con una regla.

Teorema de PitágorasEste procedimiento matemático se emplea para sumar vectores concurrentes que formen entre sí un ángulo de 90°. Al sumar gráficamente los vectores A y B, el vector resultante C dibujado entre el origen del primer vector y el ex-tremo del segundo, será la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por los tres vectores.

Para la determinación de la magnitud del vector resultante C o de cualquiera de los otros dos vectores se puede utilizar el Teorema de Pitágoras:

Estas funciones trigonométricas nos dan una idea exacta de cuántas veces entra un lado del triángulo en el otro para un determinado ángulo alfa.

Por ejemplo, si se dice que el seno 30° es igual a 0.5, esta función aclara que lo que mide el cateto opuesto dividido entre lo que mide la hipotenusa es igual a 0.5; es decir, que en el cateto opuesto cabe la mitad de la hipotenusa.

I. Lee, analiza y da una respuesta a los siguientes enunciados representán-dolos de forma trigonométrica:

1. Conocer la distancia que existe de la Tierra a las estrellas fue el sueño de la humanidad durante miles de años. ¿Cómo harías para medir la distancia que existe entre nuestro planeta y una estrella?

2. Un hombre intenta cruzar un río del estado de Veracruz en un pequeño bote de motor. Si dicho río fluye hacia el oeste con una fuerte corriente, y el hombre parte desde el sur e intenta alcanzar la margen norte respecto a su punto de salida, deberá:

a) Dirigirse hacia el norte completamente.

b) Dirigirse hacia el oeste.

c) Dirigirse en una dirección hacia el noroeste.

d) Dirigirse en una dirección hacia el noreste

Ley de senos

La magnitud de un vector resultante se puede determinar mediante la Ley de senos, la cual establece que:

En un triángulo cualquiera los lados son proporcionales al seno de los ángulos opuestos.

Lo anterior se expresa con la siguiente ecuación:

Es recomendable utilizar este método cuando del triángulo que se forma se conozcan:

a) Dos lados y un ángulo que no esté entre los lados dados.

b) Dos ángulos y un lado

Ley de cosenosApoyándonos en el ejemplo anterior, cuando se quiera determinar el valor tanto del vector resultante como de alguno de los vectores que lo integran, se podrá utilizar la Ley de cosenos, la cual menciona que:

En un triángulo cualquiera el cuadrado de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble del producto de los mismos por el coseno del ángulo que forman entre sí.

Matemáticamente lo podemos expresar con las siguientes ecuaciones:

Este método también se recomienda utilizarlo cuando se tengan:

a) El valor de los tres lados o vectores conocidos.

b) Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

La aplicación de estas leyes nos sirve para determinar la magnitud y dirección del vector resultante de dos vectores concurrentes, cuando el ángulo que se forme entre ellos sea diferente o igual a 90°.

EJEMPLO:1. Determina el valor de la fuerza resultante de las cuerdas A y B que

sujetan una embarcación a un muelle ubicado en el puerto de Coatzacoalcos.

Primero debemos obtener el diagrama de cuerpo libre de las fuerzas que actúan en dicho sistema para así poder aplicar la regla del triángulo para la suma de vectores.

Conociendo los valores de los lados A y B del triángulo que se forma, así como el ángulo comprendido entre ellos, podemos determinar por medio de la Ley de los cosenos la resultante de ambas fuerzas.

I. Resuelve en tu libreta o en hojas blancas las siguientes actividades hacien-do uso de las herramientas del método trigonométrico:

1.- Una barcaza es arrastrada por dos remolcadores a través del río Papaloa-pan. Si la resultante de las fuerzas ejercidas por ambos es de 5000 N a lo largo del eje horizontal, determina la tensión en cada una de las cuerdas.

Dos personas que viajan en una balsa tratan de atravesar una sección del río Actopan de norte a sur. Si la balsa lleva una velocidad de 1.85 m/s al momento de transitar sobre el río, cuya corriente es de 1.20 m/s hacia el este, ¿cuál es la magnitud y dirección de la balsa con respecto al punto de

salida?

2.- Dos personas que viajan en una balsa tratan de atravesar una sección del río Actopan de norte a sur. Si la balsa lleva una velocidad de 1.85 m/s al momento de transitar sobre el río, cuya corriente es de 1.20 m/s hacia el este, ¿cuál es la magnitud y dirección de la balsa con respecto al punto de salida?

3.- Dos fuerzas P y Q actúan sobre un perno que sujeta las cuerdas de la carpa de un circo. Determina el valor de la resultante.

4.- Se colocan dos cuerdas en el punto B de la viga de un edificio en cons-trucción para subir material, como se aprecia en la figura. Si cada una lleva diferentes pesos determina la magnitud de su resultante.

Componentes rectangulares de un vectorEl método gráfico de suma de vectores no es el procedimiento recomendado en situaciones donde se requiera alta precisión o en problemas tridimensio-nales. Para este tipo de casos en donde se requiere obtener un vector o fuerza resultante de una suma de vectores es más viable utilizar un método analítico, conocido también como el de las componentes de un vector.

Primero debemos definir cuáles son las componentes de un vector, para ello utilizaremos un sistema rectangular de ejes de coordenadas (plano cartesia-no). Se representa un vector A dado con su origen en O, sobre el plano xy que forma un ángulo θ con el eje x, como se muestra en la figura siguiente:

Podemos describir plenamente a un vector dando su magnitud y dirección (forma polar), o bien, sus componentes (forma rectangular):

A = (A, θ) Forma polar

A = Axi +Ay j Forma rectangular

Entonces podemos representar cualquier vector en el plano xy como la suma de un vector paralelo al eje x y uno paralelo al eje y. Esto es, que el vector A es el resultante de la suma de los vectores Ax y Ay, llamados vectores compo-nentes de A.

Las componentes rectangulares son útiles para la suma y resta de vectores. Si θ es el ángulo comprendido entre A y el eje x resulta:

Ax = A cos θ = componente en X de un vector

Ay = A sen θ = componente en Y de un vector

Vectores unitarios

Un vector unitario es aquel que tiene magnitud uno (1) o igual a la unidad, especifica una dirección y permite expresar en forma conveniente un vector que tiene una dirección particular en el espacio.

Componentes de una fuerzaUna sola fuerza que está actuando sobre una partícula puede ser reempla-zada por dos o más fuerzas que en conjunto tienen el mismo efecto que F. Estas fuerzas reciben el nombre de componentes de la fuerza original F y el

proceso para sustituirlas se denomina descomposición de la fuerza F en sus componentes.

Para representar las componentes de un vector de fuerza utilizaremos un sis-tema rectangular de ejes de coordenadas para representar una fuerza F, con su origen en O, sobre el plano xy que forma un ángulo θ con el eje x.

En algunos problemas es más factible fraccionar una fuerza en dos com-ponentes rectangulares entre sí. Por ejemplo, consideremos un vector F de fuerza con un ángulo θ sobre el eje de las x, para el cual podremos determi-nar cada una de sus componentes de acuerdo con los siguientes pasos:

1. Descomponer F en Fx en dirección del eje x, y Fy en dirección del eje y mediante:

En consecuencia a Fx y Fy se les llama componentes rectangulares de F. Conviene aclarar que las fórmulas antes mencionadas son válidas para cualquier ángulo desde 0° hasta 360° y definen tanto los signos como los valores absolutos de las componentes. Pero también los signos de las

componentes rectangulares de una fuerza dependen del cuadrante en el que se localizan.

EJEMPLO:

Un hombre sostiene una cuerda sujeta a la azotea de un edificio, como se muestra en la figura, con una fuerza de 300 N. ¿Cuáles son las componen-tes horizontal y vertical de la fuerza ejercida por la cuerda en el punto A?

A partir de la figura se establecen las relaciones:

Fx = F cos α

Fy = F sen α

Necesitamos saber el valor de θ para poder utilizar las ecuaciones antes mencionadas, para ello hacemos uso de la trigonometría y mediante la función tangente tenemos que:

Ahora ya podemos sustituir en las ecuaciones y obtener los valores de Fx y Fy:

Fx = F cos α Fy = F sen α

Fx = 300 N (cos 36.869°) Fy = 300 N (sen 36.869°)

Fx = 240 N Fy = –179.996 N

La fuerza resultante obtenida por el método de las componentesConsidera una partícula x sobre la cual actúan tres o más fuerzas; como todas las fuerzas pasan por el mismo punto, recuerda que son concurrentes.

Para poder determinar el valor de la fuerza resultante R del sistema mostrado en la figura, es recomendable obtener la solución por medio del método analítico de la descomposición de cada una de las fuerzas en sus componentes rectangulares.

Por ejemplo, a partir de las tres fuerzas P, Q y S que actúan sobre la partícula A de la figura, su resultante R estará definida por la relación:

R = P + Q + S

Descomponiendo cada una de las fuerzas en sus componentes rectangulares se escribe:

Por lo que se puede concluir que las componentes escalares de Rx y Ry de la resultante R de varias fuerzas que actúan sobre una partícula o cuerpo se obtienen sumando algebraicamente las componentes escalares correspondientes de las fuerzas dadas.

La resultante se puede expresar en forma vectorial utilizando los ejes unitarios i y j, los cuales están dirigidos a lo largo de los ejes x y y:

R =Rxi + Ryj

El procedimiento que se planteó se puede llevar a cabo de forma más eficiente si los cálculos se colocan dentro de una tabla, como la que se muestra a continuación, realizando las operaciones correspondientes para la obtención de las componentes de cada fuerza.

Hay que hacer notar que para la obtención de las componentes de la F3 se debe considerar el ángulo θ3 equivalente a 0. Y por consiguiente, dicha fuerza sólo tendrá un componente Fy3 = F, que actúa sobre la línea de acción de la fuerza principal en el eje de las y y su componente Fx3 se iguala a 0.

Otro detalle a considerar es la asignación de los sentidos positivos y negativos de las componentes de cada fuerza, ya que éstos se deberán colocar dependiendo del cuadrante en el que se localiza cada una.

Asimismo, una vez obtenidos los valores de cada una de las componentes procedemos a colocar el signo de cada una para poder realizar la suma algebraica de las componentes de x – y;

Considerando que θ1 = 45° y θ2 = 30°, llenar la siguiente tabla:

Alternativamente, se puede determinar la magnitud y dirección de la resultante, resolviendo para R y para el ángulo θ que forma R con el eje de las x el triángulo rectángulo de lados Rx y Ry.

Determina la fuerza resultante de las fuerzas que actúan sobre una placa de acero anclada al suelo, como la que se muestra en la figura.

2. Tres personas tiran de una roca mediante cuerdas, tal y como se muestra en la figura. Determina el valor de la fuerza resultante que producen al mismo tiempo y su dirección.

3.- Determina el valor de la fuerza resultante de las tres fuerzas que actúan sobre una armella colocada en la pared.

En los temas anteriores analizamos los métodos que nos permiten determi-nar la resultante de varias fuerzas que se manifiestan sobre una partícula. Pero puede darse el caso de que la resultante sea equivalente a cero, y esto significa que la partícula se encuentra en equilibrio, con lo cual se afirma que:

Un objeto se encuentra en equilibrio cuando la resultante de las fuerzas que actúan sobre él es igual a cero.

El objeto se encontrará en equilibrio estático bajo la acción de fuerzas concu-rrentes o no concurrentes si se halla en reposo y permanece en ese estado. Por ejemplo, una partícula sobre la cual actúan dos fuerzas permanecerá en equilibrio si las dos fuerzas tienen la misma magnitud y la misma línea de acción, pero con sentidos opuestos.

Primera condición de equilibrio

Supongamos que tenemos una esfera sometida a la acción de la gravedad, es decir, de su propio peso w aplicado en su centro de gravedad. La esfera se encuentra apoyada e inmóvil, en equilibrio. Si eliminamos el plano de apoyo (mesa) es evidente que la esfera caerá. Para evitarlo, debemos aplicar en el punto de apoyo una fuerza igual al peso w, pero en sentido contrario, de tal manera que equilibre a este último. La esfera estará en equilibrio pues es so-metida a la acción de un sistema de fuerzas nulo.

A partir del ejemplo anterior, es más fácil establecer la relación que existe entre los principios de equilibrio de la estática y las leyes de la mecánica des-critas por Isaac Newton a finales del siglo xvii, y en este caso en particular respecto a la primera Ley de la inercia, que nos menciona:

Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula es igual a cero, la partícula permanecerá en reposo o se moverá con velocidad constante en línea recta.

A partir de esta afirmación y de la definición de equilibrio proporcionada con anterioridad, podemos decir que un cuerpo estará en reposo o en movimien-to en línea recta con velocidad constante.

La primera condición de equilibrio requiere que la ΣF = 0, o bien en forma de componentes, que:

Esta condición es suficiente para cumplir con el equilibrio traslacional cuando las fuerzas externas son concurrentes. Una segunda condición de equilibrio debe cumplirse si el objeto permanece en equilibrio rotacional bajo la acción de fuerzas no concurrentes (coplanares), pero esto será un tema de estudio posterior.

A nuestro alrededor podemos encontrar muchos ejemplos de equilibrio estático, desde simples objetos sujetados a las losas o techos de las casas como focos o lámparas hasta la colocación de grandes espectaculares, se-máforos, estructuras de puentes o edificios, mediante equipo pesado de construcción.

En la práctica un problema del área de ingeniería surge a partir de una situa-ción física real en la cual se pueden involucrar diversos tipos de estructura, pero antes de aplicar la primera condición de equilibrio para resolver proble-mas, es necesario apoyarse en diagramas vectoriales en donde se describen de una forma muy práctica todas las fuerzas que actúan sobre una partícula o un cuerpo.

Mediante el uso de los diagramas de cuerpo libre (dcl) se puede indicar la magnitud de cada una de las fuerzas conocidas, así como también cualquier ángulo o dimensión que defina la dirección de una fuerza. Es muy importante que al dibujar un dcl se diferencie correctamente las fuerzas de acción y reac-ción cuyo principio se encuentra fundamentado en la Tercera ley de Newton, la cual nos dice:

A toda acción le corresponde una reacción de igual magnitud pero en sentido contrario.

Resolución de problemas relacionados con el equilibrio de una partículaEs importante recalcar que la mayoría de los ejemplos a estudiar para esta primera condición de equilibrio, se considera casos ideales en donde se desprecian los efectos producidos por las fuerzas de fricción o rozamiento entre los objetos y la superficie sobre la cual se encuentra o la fricción provocada por el viento.

A continuación se menciona la estrategia para la solución de problemas de equilibrio traslacional:

1. Trazar un bosquejo y anotar los datos del problema.

2. Dibujar un diagrama de cuerpo libre.

3. Encontrar los valores de las componentes x y y de cada una de las fuerzas presentes apoyándose en la elaboración de una tabla.

4. Aplicar la primera condición de equilibrio Σ Fx = Σ Fy = 0

5. Determinar algebraicamente los sistemas de ecuaciones resultantes.

Aquí encontraremos algunas aplicaciones reales que tienen que ver con la primera condición de equilibrio en donde se incluye lo relacionado con el uso de algunas máquinas simples.

Problema 1En una calle de la ciudad de Xalapa se encuentra un semáforo que pesa 125 N y que está suspendido de un cable, unido a otros dos cables fijos a un soporte. Los cables superiores forman ángulos de 37º y 53º con la horizontal. Determina la tensión en los tres cables.

Solución:

Para resolver este problema debemos construir dos diagramas de cuerpo li-bre. El primero para el semáforo, mostrado en la figura a, y el segundo para el sistema de fuerzas concurrentes que mantiene unidos a los tres cables en la figura b.

Figura b

Al construir primero un diagrama de cuerpo libre para el semáforo, podremos determinar la fuerza ejercida por el cable vertical T3 que soporta al semáforo, por lo que aplicando:

ΣFy = 0

T3 – W = 0

T3 = W = 125 N

A continuación, elegimos los ejes de coordenadas como se muestra en la fi-gura b, y descomponemos las fuerzas en sus componentes en x y y.

Se resuelve el sistema de ecuaciones –por el método que decidas emplear para ello - dando por resultado:

Problema 2

Un automóvil de una tonelada será jalado hacia arriba de una grúa, utilizando un plano inclinado con un ángulo α de 30°, si consideramos que el plano incli-nado es completamente liso y despreciamos el peso de la cadena de arrastre, ¿qué magnitud debe tener la fuerza F que ejerce la cadena para que el siste-ma se encuentre en equilibrio antes de comenzar a subirlo?

Solución:

Para resolver este problema debemos construir un diagrama de cuerpo libre considerando las fuerzas que actúan sobre el vehículo para que éste se man-tenga en equilibrio, despreciando las fuerzas de rozamiento existentes entre las llantas del vehículo y el plano inclinado.

Entonces tenemos que el peso w del objeto se obtendrá considerando la masa del automóvil multiplicada por la constante de gravedad:

w= mg

w= (1000 kg)(9.81 m/s2)

w= 9810 N

Es necesario determinar las componentes wx y wy, considerando el eje x paralelo al plano y el eje y perpendicular al mismo.

wx = w cos θ wy = w sen θ

Para utilizar las fórmulas anteriores es muy importante identificar el ángulo existente entre el peso y el eje de las x:

θ = 90° – 30°

θ = 60°

Ahora podemos sustituir los valores para determinar las componentes de w:

De la primera ecuación despejamos F y obtenemos su valor:

F – wx = 0

F = wx

F = 4905 N

Un bloque de madera de 200 libras descansa sobre un plano inclinado sin fricción, que tiene una pendiente de 20°. El bloque está atado a una cuerda que pasa sobre una polea sin fricción, colocada en el extremo superior del plano y atada a un barril. ¿Cuál deberá ser el peso del barril si el sistema se encuentra en equilibrio? (ignora el peso de la cuerda).

Una máquina simple se define como:Un dispositivo que convierte una sola fuerza de entrada en una sola fuerza de salida.

Se considera que la fuerza de entrada se mueve a través de una distancia ini-cial y la fuerza de salida se mueve a través de una distancia final; esto presen-ta dos ventajas mecánicas: la ideal y la real. En la primera se supone que no existe fricción y en la segunda se debe considerar los efectos provocados por la misma.

Momento de una fuerza respecto a un puntoConsideremos una fuerza aplicada a un cuerpo rígido y un punto O, coplanar con F y perteneciente al mismo cuerpo rígido.

Definiremos como momento estático, o simplemente momento de la fuerza F respecto al punto O, al producto de la intensidad de la fuerza F por la

distancia normal d, entre la recta de acción de F y el punto O, momento que designaremos con la letra M y cuya expresión es:

Mo = F · d

Estando F medida en newtons o en libras, y la distancia d en m o ft, la unidad resultante para el momento será el producto de dichas unidades, o sea: N•m, o lb•ft, según el sistema de unidades en el que se trabaje.

Al punto O, respecto al cual tomamos momentos, lo denominamos centro de momentos y la distancia d, brazo de la fuerza o brazo de palanca el cual es equivalente a la distancia perpendicular que existe entre la línea de acción de la fuerza y el eje de rotación.

Observemos que los momentos provocan en los cuerpos rígidos giros res-pecto al punto O. Conviene asignar a los momentos signo positivo (+) cuando el sentido de giro que se da al cuerpo sea contrario al sentido de giro de las agujas del reloj, y negativo cuando ocurra en el sentido de las mismas.

Otra manera de representarlo es como a continuación se ilustra:

Antes de empezar el problema marca en la hoja el sentido de giro que elegis-te como positivo, como en la representación anterior.

Es importante recalcar que el momento de una fuerza respecto a un punto es un vector. Veamos a continuación otro caso en donde se puede considerar un vector de fuerza F y un punto O. Donde r es un vector posición de O a cualquier punto sobre la línea de acción de F.

Para el segundo caso, en donde se tiene un ángulo entre los vectores r y F, consideramos que la distancia perpendicular de O a la línea de acción de F estará dada por:

D = r Sen θ

Por consiguiente, la magnitud del momento para este caso se determina por medio de la expresión:

MO = F · D

En algunas ocasiones resulta más útil trabajar con las componentes de una fuerza para obtener el momento de torsión resultante. Por ejemplo, cuando tratamos de aplicar una fuerza sobre una barra de acero para hacerla girar, pero la fuerza no es perpendicular al brazo de palanca, entonces no se cumple la condición del momento de torsión, por eso debemos obtener la componente de la fuerza que sí lo provoca; y en este caso es Fy.

Entonces, el momento que produce la fuerza F respecto al punto O (eje de rotación) se obtiene de la siguiente manera:

MO = Fy · d

MO = F sen θ · d

¿Puede el momento de una fuerza ser igual a cero?El momento de una fuerza respecto a un punto será igual a cero cuando sea nulo uno de los dos factores que definen el producto M = F . d. En consecuencia, para que sea nulo el momento de una fuerza existen dos posibilidades:

a) Que la intensidad de la fuerza vale cero.

b) Que la distancia al centro de momentos sea nula.

Este último caso se presenta cuando el centro de momento pertenece a la recta de acción de la fuerza de la cual se seleccionen los momentos.

Es muy importante recordar que la fuerza debe ser perpendicular al brazo de palanca para que se produzca el momento de torsión.

El momento de torsión, también denominado torque, se aplica en muchas cuestiones de ingeniería y diseño, lo podemos observar en algo tan sencillo como las bisagras de una puerta –las cuales permiten que ésta gire para que se pueda abrir y cerrar–, el funcionamiento de diversas herramientas manua-les como las llaves de cruz, en donde se aplica una fuerza para poder aflojar los birlos de las llantas de los automóviles, o cuando se aprietan las llaves de los tanques de gas o de la regadera por medio de la llave stillson.

I. Realiza las siguientes actividades:

1. Investiga cómo intervienen los momentos de una fuerza o varias para el diseño de una casa o de un puente.

2. Dentro de tu casa, o si puedes visitar algún taller mecánico, observa y analiza las diversas herramientas que tengan relación con el momento de torsión y explica su funcionamiento.

3. Indagan a qué se refiere el término “par de torsión” y lleva a cabo una exposición ante tu profesor y tus compañeros acerca de los datos y ejemplos obtenidos.

4. Investiga qué es el torque en un automóvil.

Segunda condición de equilibrio

Ahora estamos listos para analizar la condición necesaria para el equilibrio rotacional. Hemos estudiado aquellos casos donde un cuerpo tiene aplicadas diversas fuerzas que pasan todas por un punto; por ejemplo, un cuadro colgado de una pared.

En estos casos la condición para que el objeto estuviera en equilibrio traslacional era que la suma de todas las fuerzas que actuaban fuera cero; o sea, que el sistema tuviera resultante nula. Esto se representaba en forma algebraica como:

Pero el asunto de que la resultante fuera cero sólo garantizaba que el cuerpo no se trasladara. Ahora, si las fuerzas no pasan por un mismo punto puede ser que la resultante sea cero y que el cuerpo no se traslade. Pero el cuerpo podría estar girando.

Figura Par de torsión.

En este ejemplo, la resultante es cero; sin embargo, la barra está girando. El responsable de la rotación es el momento de las fuerzas que actúan. Por eso es que cuando las fuerzas no pasan por un mismo punto, hay que agregar una nueva condición de equilibrio. Esta condición es que el momento total que actúa sobre el cuerpo debe ser igual a 0.

Y se llama ecuación de momentos. Al igualar la suma de los momentos a cero, una garantiza el equilibrio de rotación; es decir, que la barra no esté girando.

Entonces, la segunda condición de equilibrio nos indica que los momentos de torsión en el sentido de las manecillas del reloj están completamente equi-librados por los opuestos al avance de las mismas, pero que la rotación no ocurre respecto a ningún punto; podemos elegir cualquiera como nuestro eje de rotación.

Es muy importante recalcar que para este tipo de problemas podemos reali-zar una serie de pasos que nos sirvan de guía para la determinación del equi-librio rotacional de un cuerpo o de las fuerzas que intervienen en él.

1. Trazar y marcar un bosquejo con todos los datos.

2. Dibujar el diagrama de cuerpo libre indicando la distancia entre las fuerzas.

3. Elegir un eje de rotación en el punto donde se tengan más incógnitas o fuerzas desconocidas.

4. Aplicar la primera condición de equilibrio Σ Fx = Σ Fy = 0

5. Llevar a cabo la Σ M = 0

6. Determinar las cantidades que no se conocen.

Como ya se mencionó, ésta es sólo una guía que te permitirá obtener la habi-lidad para trabajar los ejercicios referentes a la segunda condición de equili-brio. Pero debes considerar lo siguiente:

Si un cuerpo no gira, se dice que está en equilibrio rotacional.

• Recordar que el sentido positivo para los momentos lo elige uno.

• Siempre conviene tomar momentos respecto a un punto que anule alguna incógnita o varias. Generalmente ese punto es el de apoyo o de giro.

No siempre se tienen que usar las tres ecuaciones para resolver el ejercicio. Depende de lo que se solicite determinar. Muchas veces se puede resolver el problema usando sólo la ecuación de momentos. Para resolver un ejercicio no necesariamente uno está obligado a

plantear ΣFx, ΣFy. A veces se pueden tomar dos ecuaciones de momento referidas a puntos distintos (por ejemplo, los dos apoyos de una barra).

Ejemplo:

Problema 1

Si usamos una barra como brazo de palanca para levantar una roca, debemos aplicar cierta fuerza F en el extremo opuesto de la barra. Dicha fuerza puede ser mucho menor que el peso de la roca, ya que si recordamos el uso de la palanca como una máquina simple, permite multiplicar la fuerza aplicada y obtener cierta ventaja mecánica del sistema. Pero, ¿qué sucede si el brazo de palanca no es suficiente y la roca no cede?

Solución:

Este problema de aplicación real se puede resolver de dos maneras. La pri-mera es aumentar el brazo de palanca de la fuerza aplicada, ya sea colocando un tubo en el extremo de la barra para así empujar con un brazo de palanca más largo; la otra forma sería mover el punto de apoyo en torno al cual gira la palanca lo más cercano que se pueda a la roca. Esto cambia sólo un poco el

brazo de palanca R, pero cambia el brazo corto de palanca r, ya que con un r más pequeño el peso de la roca se puede equilibrar con menos fuerza.

Solución:

Considerando que a partir del punto A se establece el eje de rotación de la pieza, debemos determinar las componentes rectangulares de F mediante:

Fx = 40 kN cos 30° = 34.641 kN = 34,641 N

Fy = 40 kN sen 30° = 20 kN = 20,000 N

Como la línea de acción de Fx pasa por el punto A, entonces el momento que provoca esta componente es nulo; pero como Fy es perpendicular al brazo de palanca de la barra, entonces:

MA = Fy · d

MA = (20 000N) (6m)

MA = 120 000 Nm

El momento resultante se considera positivo ya que la fuerza perpendicular al brazo de palanca actúa en el sentido del giro establecido.

I. Analiza y resuelve los siguientes ejercicios en hojas blancas o en tu libreta:

1. Hallar el momento de torsión resultante en torno al punto A de las si-guientes piezas de metal:

2. Un pescante de 0.40 kN está suspendido como se muestra en la figura. Calcula la tensión en la cuerda A y la fuerza que ejerce el pivote en el punto P sobre el pescante

3.- Calcular la fuerza de tensión en las cuerdas que soportan a la viga mos-trada, así como el peso de la esfera que pende de ella en uno de sus extremos. La viga tiene una masa de 40 kg.