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D IA G O N A LES H A C IA U N EN CU EN TRO M ÁG ICO CO N LO S IRR A C IO NALES
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DIAGONALESHACIA UN ENCUENTRO MÁGICOCON LOS IRRACIONALES
El Placer del Encuentro: Mirar, Ver y ReconocerEl Placer del Encuentro: Mirar, Ver y Reconocer
Cuando emprendas tu viaje a Ítacapide que el camino sea largo,lleno de aventuras, lleno de experiencias.Pide que el camino sea largo.Que muchas sean las mañanas de veranoen que llegues -¡con quéplacer y alegría!-a puertos nunca vistos antes.Detente en los emporios de Feniciay hazte con hermosas mercancías,nácar y coral, ámbar y ébanoy toda suerte de perfumes sensuales.Ten siempre a Ítaca en tu mente.Llegar allí es tu destino.Mas no apresures nunca el viaje.
LA DIAGONALLA DIAGONAL
Una diagonal es todo segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono o de un poliedro.
EtimologíaLa palabra diagonal proviene del griego (diagonios), utilizada tanto por Estrabón como por Euclides para referirse al segmento que conecta dos vértices de un rombo o de un cuboide, y está formada por dia- ("a través") y gonia ("ángulo", relacionada a gony, "rodilla"). Luego fue adoptada por el latín como diagonus ("recta enfocante").
EN EL TRIEN EL TRIÁÁNGULONGULO
Un triángulo (tres ángulos) no tiene diagonales. La figura nos introduce en el concepto de DEMOSTRACIÓN:
la suma de los tres ángulos de cualquier triángulo es siempre 180º.
Se trata de un INVARIANTE de la forma triangular.
B
A
C
B C
Alternos internos
B+A+C=180º
EN EL CUADRADOEN EL CUADRADO
El cuadrado tiene dos diagonales IGUALES que se cortan en el punto medio
(esto caracteriza al rectángulo)
PERPENDICULARMENTE (que lo cuadra)
1 1
1
La EscuadraLa Escuadra
X
DATOS e INCÓGNITA
Formulación matemática del problema:
El Teorema de PitEl Teorema de Pitáágorasgoras
La medida indirecta (mediante el uso de FÓRMULAS –Teorema de
Pitágoras-) conduce a 2
1
2
2 es un NÚMERO que multiplicado por sí mismo da 2
LA RALA RAÍÍZ DE DOSZ DE DOS
Y, según cuenta la leyenda, Hipaso fue el culpable(si se me permite la expresión) de un descubrimeinto que paralizóla matemática griega durante un siglo. Al parecer Hipaso se planteóel problema de medir la diagonal de un cuadrado utilizando el lado como unidad de medida. Por plantear el problema de la forma más simple posible, tomemos un cuadrado de lado1. En esta situación la pregunta que según parece se realizóHipaso fue: ¿cuánto mide la diagonal de este cuadrado? Teniendo en cuenta la condición de pitagórico de Hipaso, es posible que él mismo esperara que la medida de esta diagonal pudiera expresarse como un número natural o una fracción… pero en realidad no fue así. Hipaso se dio cuenta de que esta medida no podía expresarse ni como un número natural ni como una fracción formada por números naturales. Ahora sabemos que esta diagonal mideraíz de dos, y que es un número de los conocidos comoirracionales. Al menos esto cuenta la leyenda, esto es, que Hipaso fue el descubridor de este hecho. Lo que parece más cercano a la realidad fue que el propio Hipaso comunicóeste descubrimiento fuera de la comunidad pitagórica… y esto fue lo que significóel final de Hipaso. Según algunas fuentes, los pitagóricos lo arrojaron al mar por revelar fuera de la secta esta catástrofe pitagórica, aunque otras aseguran que lo que hicieron los pitagóricos fue organizar un simulacro de funeral, con tumba incluida, que simbolizaba que para ellos Hipaso pasaba a estar muerto.
El encuentro con lo IrracionalEl encuentro con lo Irracional
La demostraciónMÁS HERMOSA
La Irracionalidad enLa Irracionalidad en
Partiendo de un formato de lados a y b, el formato superior tendrá 2a por b, para que la proporción entre sus lados sea la misma tendrá que cumplirse que:
EL RECTEL RECTÁÁNGULO MOD NGULO MOD
¿Qué rectángulo es semejante a su mitad?
El DIN A = Mod El DIN A = Mod
Es el rectángulo de módulo que le hace imprescindible como formato de papel de fotocopiadora: es el único que permite hacer cuadernillos de hojas sueltas sin tener que recortar los márgenes.
EN EL PENTEN EL PENTÁÁGONOGONO
El pentágono tiene cinco diagonales que son del mismo tipo: conforman la Estrella Pitagórica,
Pentalfa, Pentagrama o Pentáculo.
TriTriáángulos Sublimesngulos Sublimes
Triángulos ISÓSCELES sublimes(Tienen los ángulos en proporción 3:1:1 y 1:2:2 respectivamente)
¡LA CLAVE ESTÁ EN EL CINCO!
11
Estos dos triángulos son semejantes(existe una homotecia que tranforma uno en otro)
Tienen ángulos iguales como se demuestra a continuación
Figuras semejantesFiguras semejantes
α
α
α
La clave estLa clave estáá en el cincoen el cincoA
BC
Teniendo en cuenta que los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia
son iguales tenemos que la diagonal en rojo es bisectriz del ángulo B. Es decir, los ángulos del triángulo isósceles ABCestán en proporción de 1:2:2.
ABC BCD
Luego ABC y BCD tienen dos ángulos homólogos iguales, y, por tanto, SON SEMEJANTES.
D
2α2α
α
2α
2α
α
¿Cuánto vale α?
2α α
Triángulo isósceles sublime
Teorema de TalesTeorema de Tales
Seguidamente, aplicamos el Terorema de Tales:
“Los triángulos semejantestienen los lados proporcionales”
1
X
1
X-1
11
1 x
x
Y, para finalizar, un poco deálgebra nos conduce a que 2
51xX2 – X – 1 = 0
Lado igual del grande
Lado desigual del grande=
Lado igual del pequeño
Lado desigual del pequeño
EL NEL NÚÚMERO DE OROMERO DE ORO
2
51
1
EL NEL NÚÚMERO DE OROMERO DE ORO
125
1
Un nUn núúmero con nombre propiomero con nombre propio
SECCISECCIÓÓN N ÁÁUREAUREAEl punto C divide al
segmento AB“en media y extrema razón”
Es decir
“El total es a la parte mayor, como la parte mayor es la
parte menor”
A
B
CElElNNÚÚMERO MERO DE ORODE ORO
251
CBAC
ACAB
……que desvela la irracionalidadque desvela la irracionalidad
LA DIVINA PROPORCILA DIVINA PROPORCIÓÓNN
251...
dc
cb
ba
SECCISECCIÓÓN N ÁÁUREAUREA
La Copa SagradaLa Copa Sagrada
1
ФФ
1
1/1/ФФ
TIENE SUS LADOS EN PROPORCITIENE SUS LADOS EN PROPORCIÓÓN N ÁÁUREAUREA
α α
2α
Todo parece indicar [Boyer] que fue en figuras como ésta donde los griegos tuvieron la intuición de la irracionalidad (en este caso de Ф) Además, si aplicamos el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor de dos números a Ф y 1, veremos palpa-blemente que son inconmensurables. Contemplaremos, además, como aparecen los cocientes parciales de su desarrollo en fracción continúa y cómo se delata el aspecto recursivo que tiene Ф visto como razón de una progresión geométrica tal que un término cualquiera es la suma de los dos anteriores. Teniendo en cuenta que Ф – 1 = 1/Ф, y dividiendo reiteradamente por Ф, se tiene que:
Restos
Cocientes
…
…
…
…1/Ф71/Ф61/Ф51/Ф41/Ф31/Ф21/Ф
1/Ф61/Ф51/Ф41/Ф31/Ф21/Ф1Ф
1111111Algoritmo de Euclides para el cálculo del
máx. c. d.
Ф = 1/Ф + 1/Ф2 + 1/Ф3 + 1/Ф4 + 1/Ф5 + 1/Ф6 + …
La Irracionalidad de La Irracionalidad de ΦΦ
Consideremos la sucesión de término general: . Si calculamos los primeros términos, podemos observar una curiosa
relación entre ellos. Calculando primero algunas potencias
podemos concluir que la sucesión dada se convierte en
En efecto, el secreto de Φ es que es razón de la única progresión geométrica que también es `sumativa´
que presagia la estrecha relación de Ф con la Sucesión de Fibonacci1, Ф, Ф2, Ф3, Ф4, … 1 + Ф = Ф2, Ф + Ф2 =Ф3, …
La Autosemejanza: La Autosemejanza: El Secreto de El Secreto de ФФ
ba
aba
Crecimiento gnomónico del Rectángulo Áureo
La respuesta es que ese rectángulo es un rectángulo que tiene sus lados en Razón
Áurea y por eso recibe el nombre de Rectángulo Áureo.
Nos preguntamos ahora qué rectángulo tiene como gnomón un cuadrado.
De la figura
se desprende que:
El Rectangulo mEl Rectangulo máás Bellos Bello
El crecimiento homotEl crecimiento homotééticotico
La sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8,13, 21, 34, 55…
Tiene un término general “sorprendente”
5
nn
nF
He aquí la construcción que sin duda es el más insigne monumento al rectángulo áureo. Si tomamos los doce vértices de un icosaedro (o los doce centros de las caras de un dodecae-dro), podemos comprobar que son los vértices de tres RECTÁNGULOS ÁUREOS que se cortan perpendicularmente dos a dos.
Los 12 vértices de un icosaedro con aristas de longitud 2 pueden darse en coordenadas carte-sianas por los siguientes puntos:(0, ±1, ±φ), (±1, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1)Los 20 vértices de un dodecaedro con aristas de longitud 2/φ=√5−1 también se pueden dar en términos similares:(±1, ±1, ±1), (0, ±1/φ, ±φ), (±1/φ, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1/φ)
EN EL HEXEN EL HEXÁÁGONOGONO
El hexágono tiene diagonales (¿cuántas?) de dos tipos.
LadoLado = Radio
60º
EN EL HEXEN EL HEXÁÁGONOGONO
60º60º
23
1
LA RALA RAÍÍZ DE TRESZ DE TRES
plegando
Rectángulo módulo 3
desplegando
EL RECTEL RECTÁÁNGULO MOD NGULO MOD 3
EN EL HEPTEN EL HEPTÁÁGONOGONO
El heptágono tiene también dos tipos de diagonales,
que por primera vez no llevan a ninguna raíz
1
Constucciones con regla y compConstucciones con regla y compáássLa construcción con regla y compás es el trazado de puntos, segmentos de
recta y ángulos usando exclusivamente una regla y compás idealizados. A la regla se le supone longitud infinita, carencia de marcas que permitan
medir o trasladar distancias, y un solo borde. Del compás se supone que se cierra súbitamente cuando se separa del papel, de manera que no puede
utilizarse directamente para trasladar distancias, porque "olvida" la separación de sus puntas en cuanto termina de trazar la circunferencia. Esta restricción del compás parece muy incómoda para los usuarios de compases
reales, pero carece por otro lado de importancia matemática, porque el traslado de distancias se puede realizar de forma indirecta.
Los problemas más famosos que se propusieron para su resolución "con regla y compás" son la proverbial cuadratura del círculo, la duplicación
del cubo y la trisección del ángulo, a los que a veces se añade la construcción del heptágono regular: el primero de los infinitos
polígonos regulares imposibles de trazar mediante regla y compás. Tienen en común ser de resolución imposible: está matemáticamente demostrado que no se puede cuadrar el círculo, ni duplicar el cubo, ni trisecar el ángulo, ni trazar un heptágono regular usando exclusivamente la regla y el compás
idealizados de la geometría griega.
EN EL OCTEN EL OCTÓÓGONOGONO
El octógono tiene tres tipos de diagonales
y volvemos a encontrarnos con y sus versiones 1+
1
NÚMERO DE ORO
NÚMERO DE PLATINO 3
Simetría pentámera:característica de la vida.
Simetría 6, 8, 10, 12: propia del crecimiento cristalino.
El Podium de los Irracionales AlgebraicosEl Podium de los Irracionales Algebraicos
NÚMERO DE PLATA
PENTÁGONO
HEXÁGONOOCTÓGONO
LA VESLA VESÍÍCA PISCISCA PISCIS
La vesica piscis (vejiga de pez en latín) es un símbolo hecho con dos círculos del mismo radio que se intersecan de manera que el
centro de cada círculo está en la circunferencia del otro. Esta forma se denomina también mandorla (que significa "almendra" en italiano).
Era un símbolo conocido en las antiguas civilizaciones de Mesopotamia, África y Asia.
1
DIAGONAL DE LA VDIAGONAL DE LA VÉÉSICA PISCISSICA PISCIS
La diagonal de Vésica Piscis es la diagonal del rombo
del hexágonoinscrito en el círculo 3
Doble cuadrado
Ver al MirarVer al Mirar
VV ÉÉ S
ICA
PISC
ISSI
CA
PISC
ISEL
TEM
PLO
DE L
OS IR
RACI
ONAL
ESEL
TEM
PLO
DE L
OS IR
RACI
ONAL
ES
Reconocer al VerReconocer al Ver
Compendio de IRRACIONALESCompendio de IRRACIONALES
1 = La Unidad
34
Perímetro
3Diagonal
2doDiagCuadra
5uadDiagDobleC
La GeometrLa Geometríía Sagrada a Sagrada
La Geometría Sagrada es una expresión planteada en el esoterismo y el gnosticismo basada en la creencia de que existen relaciones
relevantes entre la geometría, las matemáticas y la realidad.
La Semilla de la VidaLa Semilla de la Vida
La Flor de la VidaLa Flor de la Vida
La Fruta de la VidaLa Fruta de la Vida
El Cubo de Metatrón
El Cubo MetatrEl Cubo Metatróónn
… y los CINCO SÓLIDOS PLATÓNICOS
El Hombre de VitruvioEl Hombre de Vitruvio
DIAGONALES: Hacia un Encuentro MDIAGONALES: Hacia un Encuentro Máágicogico
Las DIAGONALES conforman ese esqueleto invisible que da FORMA a los CUERPOS y a las FIGURAS.
Aquí se recrean para ti, haciéndose VISIBLES al MIRAR, y RECONOCIENDO su belleza al VER.
Escultura con la geometría de las DIAGONALES de un icosaedro, hecha de acero y hormigón en AlicanteObra del estudio de arquitectura de Juan S. Pérez i Parra y José L. Frías Wamra
Entre los sólidos platónicos, estos dos participan de la proporción áurea en diversas cosas. Por ejemplo, en el Dodecaedro, la arista es sección áurea de la diagonal de la cara, y ésta lo es de la distancia entre aristas opuestas. Si lo colocamos sobre una cara, las alturas de los vértices intermedios seccionan en sentido alterno la altura total. Visto desde arriba, los radios de las circunferencias que pasan por los vértices de las bases y por los vértices intermedios, están en razón áurea.
En el Icosaedro podemos inscribir tres rectángulos áureos perpendiculares entre si, lo que significa que la arista es sección áurea de la distancia entre aristas opuestas. Si lo colocamos sobre un vértice, los tramos de las alturas siguen la razón áurea, como también, visto desde arriba sobre una cara, los radios de las circunferencias que pasan por los vértices de las bases y por los vértices intermedios.
ΦΦ en el Dodecaedo y el Icosaedroen el Dodecaedo y el Icosaedro
El Icosaedro nos muestraEl Icosaedro nos muestra……
el secreto de sus entrael secreto de sus entraññas.as.
