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1º BACHILLERATO (LOMCE) – MATEMÁTICAS CC SS – TEMA 3.- FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD (1ª PARTE) PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - Página 1 - 1.- CONCEPTO DE FUNCIÓN. CARACTERÍSTICAS Definición de función Una función real de variable real es una forma de hacerle corresponder a un número real “x” un único número real “y”, que se representa por f(x). Si llamamos f a la función, se suele representar así: f: R R , y = f(x) En una función f, se llama imagen de un valor dado de x al valor obtenido al sustituir en la fórmula el valor de x. Ejemplo: Si f es la función dada por la expresión f(x) = 3x +2, la imagen de x = 4 es f(4) = 3.4 + 2 = 14 Dominio y recorrido de una función El dominio de definición de una función f es el conjunto de todos los valores que puede tomar la “x”. Se representa por D(f) El recorrido o imagen de una función f es el conjunto de todos los valores que puede tomar la “y”. Se representa por Rec(f) o también por Im(f) Por ejemplo, para la función f cuya gráfica es -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 X Y D(f) = R – { – 4} Rec(f) = (– ∞ , 5 ] Para calcular el dominio a partir de la fórmula, tenemos que averiguar los valores de la “x” para los que se puede calcular dicha fórmula. Ejemplos: - Si la función f es polinómica, f(x) = p(x), entonces D(f) es el conjunto de todos los números reales, R, pues un polinomio p(x) se puede calcular para cualquier valor de x. - Si la función f es racional, f(x) = p(x) q(x) , entonces D(f) es R excepto los valores de “x” que anulan al denominador. Por ejemplo, si f(x) = 3x 2 2x 1 , como 2x – 1 = 0 cuando x = 1 2 , D(f) = R – { 1 2 } - Si la función es radical (la x está dentro de un radical), habrá que tener en cuenta que para calcular una raíz de índice par el radicando debe ser mayor o igual que cero. Por ejemplo, si f(x) = x 3 , para que se pueda calcular la raíz cuadrada, debe ser x – 3 ≥ 0 x ≥ 3. Por tanto, D(f) = [ 3 , ∞ ) Si el índice es impar, entonces su dominio es R, pues las raíces de índice impar se pueden calcular para cualquier valor del radicando. Por ejemplo, si f(x) = 3 x , entonces D(f) = R.

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1º BACHILLERATO (LOMCE) – MATEMÁTICAS CC SS – TEMA 3.- FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD (1ª PARTE) PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

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- Página 1 -

1.- CONCEPTO DE FUNCIÓN. CARACTERÍSTICAS

Definición de función

Una función real de variable real es una forma de hacerle corresponder a un número real “x” un único número real “y”, que se representa por f(x).

Si llamamos f a la función, se suele representar así: f: R R , y = f(x)

En una función f, se llama imagen de un valor dado de x al valor obtenido al sustituir en la fórmula el valor de x.

Ejemplo:

Si f es la función dada por la expresión f(x) = 3x +2, la imagen de x = 4 es f(4) = 3.4 + 2 = 14

Dominio y recorrido de una función

El dominio de definición de una función f es el conjunto de todos los valores que puede tomar la “x”. Se representa por D(f)

El recorrido o imagen de una función f es el conjunto de todos los valores que puede tomar la “y”. Se representa por Rec(f) o también por Im(f)

Por ejemplo, para la función f cuya gráfica es

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

X

Y

D(f) = R – { – 4} Rec(f) = (– ∞ , 5 ]

Para calcular el dominio a partir de la fórmula, tenemos que averiguar los valores de la “x” para los que se puede calcular dicha fórmula.

Ejemplos:

- Si la función f es polinómica, f(x) = p(x), entonces D(f) es el conjunto de todos los números reales, R, pues un polinomio p(x) se puede calcular para cualquier valor de x.

- Si la función f es racional, f(x) = p(x)q(x)

, entonces D(f) es R excepto los valores de “x” que anulan al

denominador. Por ejemplo, si f(x) =

3x 22x 1

, como 2x – 1 = 0 cuando x = 1

2 , D(f) = R – {

1

2}

- Si la función es radical (la x está dentro de un radical), habrá que tener en cuenta que para calcular una raíz de índice par el radicando debe ser mayor o igual que cero.

Por ejemplo, si f(x) = x 3 , para que se pueda calcular la raíz cuadrada, debe ser x – 3 ≥ 0 → x ≥ 3. Por tanto, D(f) = [ 3 , ∞ ) Si el índice es impar, entonces su dominio es R, pues las raíces de índice impar se pueden

calcular para cualquier valor del radicando. Por ejemplo, si f(x) = 3 x , entonces D(f) = R.

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Ejercicio 1 Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:

a) f(x) = 2

2x 1

5x 3x

b) g(x) =

21

x x 1

c) f(x) = 29 x d) f(x) = x 1

x 5

e) f(x) = 2

3x 2

x 5x 6

f)

2

2x 4

h(x) =x 9

g) y = x x +1

Puntos de corte de una función con los ejes de coordenadas

Puntos de corte con el eje X (llamado eje de abscisas): Para calcular los puntos de corte de la gráfica de una función f(x) con el eje X resolvemos la ecuación f(x) = 0. Si la ecuación no tuviese solución, entonces la gráfica no corta al eje X

Punto de corte con el eje Y (llamado eje de ordenadas): El punto de corte con el eje Y es el punto (0, f(0)). Si no existe f(0) entonces la gráfica no corta al eje Y

Ejercicio 2 Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas de las siguientes funciones:

f(x) = x3 + 2x2 – 5x – 6 3

2( ) 3 94

xg x x x

2( ) 1

2h x

x

Ejercicio 3 Dada la función f(x) = 7x 4

5x 2

determina: a) f(–0,75) b) Los puntos de corte con los ejes

c) Las soluciones de la ecuación f(x) = –3

Continuidad de una función

Una función es continua cuando su gráfica no tiene ninguna “rotura” y, por tanto, se puede dibujar de un solo trazo.

Ejemplos:

Esta gráfica corresponde a una

función continua

Esta gráfica corresponde a una función discontinua.

Los puntos de discontinuidad son x = 0, x = 3

Monotonía de una función

Funciones crecientes Una función es creciente si su gráfica es ascendente.

Funciones decrecientes Una función es decreciente si

su gráfica es descendente.

Funciones constantes Son las funciones que no son

crecientes ni decrecientes. La gráfica es una línea recta

horizontal

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Estudiar la monotonía de una función consiste en averiguar los intervalos del eje X donde la función es creciente, decreciente o constante.

Ejemplo

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

X

Y

Esta función es creciente en el intervalo (– 2 , 1), pues la gráfica correspondiente es ascendente; Es decreciente en (– 4 , – 2) U (1 , ∞) porque aquí su gráfica es descendente y es constante en el intervalo (– ∞ , – 4) ya que su gráfica en dicho intervalo es horizontal

Extremos de una función Estudiar los extremos de una función es determinar los máximos y mínimos relativos.

Una función tiene un máximo relativo en un punto A(a, b), si en dicho punto la función es continua y pasa de creciente a decreciente.

Se suele decir que la función alcanza un máximo relativo en x = a y el valor máximo que alcanza es b.

Una función tiene un mínimo relativo en un punto A(a, b), si en dicho punto la función es continua y pasa de decreciente a creciente.

Se suele decir que la función alcanza un mínimo relativo en x = a y el valor mínimo que alcanza es b.

Si el máximo relativo corresponde al mayor valor de la función se dice que el máximo es absoluto y si el mínimo relativo corresponde al menor valor se dice que el mínimo es absoluto

Ejemplo

Los máximos relativos son A y B (A además es un máximo absoluto). El mínimo relativo es C

También podemos decir que se alcanza máximo en x = 8, x = 16 y se alcanza mínimo en x = 12

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Ejercicio 4 Considera la función f dada por la siguiente gráfica

Estudia: a) D(f) b) Rec(f) c) f(–2) d) f(0) e) f(3)

f) Soluciones de la ecuación f(x)= 1 g) Puntos de corte con los ejes de coordenadas

h) Monotonía i) Extremos j) Continuidad

2.- FUNCIONES CUYA GRÁFICA ES UNA RECTA

Todas las funciones cuya fórmula es del tipo f(x) = mx + n, con m, n R tienen como gráfica una línea recta. Por ser funciones polinómicas, su dominio de definición es R. El coeficiente de x se llama pendiente de la recta Si la pendiente es positiva, la función es creciente, si es negativa decreciente y, si es 0, es constante Estas funciones se pueden clasificar en tres tipos:

- Funciones lineales: Son del tipo f(x) = mx , con m 0. La gráfica de estas funciones es una recta que pasa por el origen de coordenadas O(0,0).

Por ejemplo: f(x) = 3x , f(x) = –2x son funciones lineales.

X

Y

Función creciente

y = 3x 3

1

m = 3 > 0

Si la pendiente es positiva la función es creciente.

X

YFunción

decrecientey = -2x

-2

1

m = -2 < 0

Si la pendiente es negativa la función es decreciente

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- Funciones afines: Son del tipo f(x) = mx + n , con m , n 0. La gráfica de estas funciones es una recta que NO pasa por el origen de coordenadas O(0,0). El término independiente de la fórmula, n, se llama ordenada en el origen. La recta corta la eje Y en el punto (0, n)

Por ejemplo: f(x) = 2x – 5 , f(x) = –3x + 1 son funciones afines.

X

Y

y = 2x - 5

-5

1

-3

La pendiente es 2 y la ordenada en el origen –5

X

Y

y = -3x + 1

-2

11

La pendiente es –3 y la ordenada en el origen 1

- Funciones constantes: Son del tipo f(x) = n.

La gráfica de estas funciones es la recta horizontal que pasa por el punto (0, n). Por ejemplo: f(x) = 1 , f(x) = –5 son funciones constantes.

X

Y

y = 11

X

Y

y = -5-5

Ejercicio 5 Halla los puntos de corte con los ejes de coordenadas y haz la gráfica de las siguientes

funciones: 5

) ( ) 1006

a f x x ) ( ) 0,52

xb f x

Pendiente de una recta

La pendiente de una recta se puede calcular a partir de dos puntos de la recta, A(x1 , y1) , B(x2 , y2)

mediante la expresión: 2 12 1

Pendiente de la recta = m =y yVariación de y =

Variación de x x x

La ecuación de la recta conocido un punto de la recta P(x0 , y0) y la pendiente de la recta, m es y = m(x – x0) + y0 que en forma de función, sería: f(x) = m(x – x0) + y0

Esta ecuación se llama “ecuación de la recta en forma punto-pendiente”

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Ejercicio 6 Halla la ecuación de la recta de pendiente m y que pasa por el punto de la gráfica de f cuya abscisa es x0 en los siguientes casos:

a) f(x) =3x 2

x 1

, m =5

4, x0 = 1 b) 2( ) 3 2 1f x x x , m = 4, x0 = 1

Ejercicio 7 Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(–2, 3) y Q(–1, – 2), calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas y dibuja su gráfica Ejercicio 8 Calcula el punto de corte de las rectas r y s, siendo r la recta paralela al eje X que pasa por el punto M(–2, 1) y s la recta que pasa por el punto A(3, –1) y tiene pendiente 2. Ejercicio 9 Averigua si la recta dibujada pasa por el punto (500 , – 325)

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-5-4-3-2-1

12

X

Y

Ejercicio 10 Supongamos que la temperatura media del aire disminuye con la altura y que por cada incremento de 100 m de altitud la temperatura baja 5 décimas de grado. La temperatura a nivel del mar es de 25 ºC. a) Construye una tabla de valores b) Halla la fórmula de la función que expresa la temperatura en función de la altitud. c) Representa gráficamente esta función. d) Determina a qué altitud la temperatura es de 0 ºC Ejercicio 11 Un fabricante debe entregar sus productos en un radio de 600 km. Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones:

Transportista A: 0,60 €/km Transportista B: 45 € fijos y 0,50 €/km

a) Escribe la fórmula de la función km-precio para el transportista A

b) Escribe la fórmula de la función km-precio para el transportista B

c) Representa gráficamente las dos funciones anteriores usando los mismos ejes de coordenadas

d) Calcula el punto donde se cortan y explica su significado.

e) Averigua cuál de ellos sale más barato para un recorrido de 400 km. f) ¿Y para 500 km?

Interpolación y extrapolación lineal

Supongamos que una función viene dada en forma de tabla o que sólo conocemos algunos puntos de su gráfica y queremos averiguar puntos que no se encuentren en la tabla o gráfica. En estos casos, se usa la interpolación y extrapolación

La interpolación consiste en hallar un valor comprendido entre dos datos de la tabla o de la gráfica, mientras que con la extrapolación hallamos un valor NO comprendido entre los datos de la tabla o gráfica. La interpolación o extrapolación es lineal si para averiguar los datos desconocidos usamos una línea recta. La estimación del dato desconocido por interpolación o extrapolación lineal será bastante si los puntos se concentran en torno a una recta y el dato desconocido está muy próximo a alguno de los datos dados.

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Ejercicio 12 La evolución del crecimiento de una planta viene dada por la siguiente tabla

Mediante interpolación/extrapolación lineal calcula la altura de la planta en la semana 5 y en la semana 9 usando los puntos de la gráfica y también, usando la fórmula.

3.- FUNCIONES CUADRÁTICAS

Las funciones cuadráticas son aquellas cuya fórmula viene dada por un polinomio de 2º grado.

Estas funciones se pueden expresar de la forma f(x) = ax2 + bx + c , siendo a ≠ 0 y su gráfica es una parábola. Por ser una función polinómica, su dominio de definición es R. Si a > 0 , la parábola tiene las ramas hacía arriba. Decimos entonces que la función es convexa

V(xv , yv)

e: x = xv

V = vérticee = eje de simetría

El vértice V es el mínimo absoluto

Si a < 0 , la parábola tiene las ramas hacía abajo. Decimos entonces que la función es cóncava

V(xv , yv)

e: x = xv

V = vérticee = eje de simetría

El vértice V es el máximo absoluto

El vértice de la parábola, V(xv , yv) , se calcula por las fórmulas: f( )

v

v v

bx =

2ay = x

Ejercicio 13 La temperatura de una habitación según las horas transcurridas viene dada por la tabla

a) Halla la función cuadrática que se ajusta a los datos b) Calcula la temperatura cuando han transcurrido 4 h. Ejercicio 14 Elabora la gráfica de las siguientes funciones cuadráticas:

a) 23y = x 6x +32

b) f(x) = −3x2 + 120x + 675, x ≥ 0 c) f(x) = x2 + 2x + 3 , para x < 0

d) y = –2x2 + 4x – 2 e) y = –3x2 f) 2

( ) 832

xf x x , x ≥ 0

Ejercicio 15 Se considera la función f(x) = ax2− bx + 4.

Calcula los valores de los parámetros a y b para que f tenga un extremo relativo en el punto (1, 10) Ejercicio 16 Dibuja la parábola que corta al eje OX en (–1,0) y (3,0) y tiene su vértice en (1, –4).

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Ejercicio 17 Un agricultor comprueba que si el precio al que vende cada caja de fresas es “x” euros, su beneficio diario, en euros, será: B(x) = −10x2 + 100x − 210

a) Representa la función precio-beneficio.

b) Indica a qué precio debe vender cada caja de fresas para obtener el máximo beneficio y cuál será ese beneficio máximo

c) Determina a qué precios de la caja obtiene pérdidas el agricultor Ejercicio 18 Se conoce que el rendimiento de un jugador de fútbol durante los primeros 45 minutos de un partido viene dado por la función f(t) = 7,2t – 0,16t2 , 0 ≤ t ≤ 45, donde t es el tiempo, expresado en minutos. a) Representa gráficamente esta función. b) ¿Cuál es el máximo rendimiento del jugador? c) ¿En qué momento lo consigue? d) ¿En qué instantes tiene un rendimiento igual a 32? Ejercicio 19 La mosca común solamente vive si la temperatura media de su entorno está comprendida entre 4ºC y 36ºC. La vida en días, en función de la temperatura media T, medida en

grados centígrados, viene dada por la función: 21( ) ( 40 16) , [4 , 36]

16V T T T T

a) Determina la vida máxima que puede alcanzar la mosca común. b) Si sabemos que una mosca ha vivido 15 días, ¿a qué temperatura media ha estado el entorno donde ha habitado?

4.- FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA

Son aquellas del tipo k

f(x)x

, siendo k ≠ 0. En estas funciones, D(f) = R – { 0 }, Im(f) = R – { 0 }

La gráfica de este tipo de funciones es una hipérbola de asíntotas los ejes de coordenadas.

Las asíntotas son rectas hacía las que tiende a acercarse la gráfica de la función sin llegar a tocarlas.

Si k > 0 , la función es decreciente y la gráfica es una hipérbola situada en el I y III cuadrantes.

Ejemplo:

Si k < 0 , la función es creciente y la gráfica es una hipérbola situada en el II y IV cuadrantes.

Ejemplo:

Como puedes ver, la gráfica de estas funciones no corta a los ejes de coordenadas

Ejercicio 20 Completa la siguiente gráfica correspondiente a una función de proporcionalidad inversa y halla la fórmula.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-3-2-1

123456

X

Y

Ejercicio 21 La distancia entre dos ciudades es 180 km. Haz un estudio completo de la función que relaciona el tiempo y la velocidad media con que se recorre dicha distancia.

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5.- FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS

Son aquellas cuya fórmula está formada por dos o más expresiones, cada una definida en un

intervalo diferente. Por ejemplo, y = x 3 , si x 4x , si x 4

es una función definida en dos intervalos:

En ( – ∞ , 4 ) la gráfica es la semirrecta abierta y = x – 3 de extremo A(4, 1)

En [ 4 , ∞ ) la gráfica es la gráfica es la semirrecta cerrada y = –x de extremo B(4, – 4)

X

Y

4y = x - 3

y = - x

Función valor absoluto y parte entera

x , si x 0Función valor absoluto : y | x |

x , si x 0 Función parte entera:

y = Ent(x) = “número entero ≤ x”

Ejercicio 22 Calcula el dominio de definición de la función: f(x) =2

x 5, si x 0

2x 1

x 2x, si x 0

x 2

Ejercicio 23 Haz la gráfica de las funciones: a) f(x) =25x 40x 60 , si 0 x 6

5x15 , si 6 x 10

2

b)

215 si 0 6

8( )1

si 6 122

x x xf x

xx

c)21,5 2 si 2

( )0,5 si 2

2

x x xf x x

x

d)

2

2

2

1 x si x 1

f (x) 3x 12x 9 si 1 x 3

2x 16x 30 si x 3

e) 2

4x 3 , si x 1

f (x) 2x 1 , si 1 x 1

1, si x 1

x

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Ejercicio 24 En un centro de entrenamiento de deportistas de alta competición han determinado que el rendimiento de uno de ellos (en %) en función del tiempo (en minutos) de esfuerzo muscular viene dado por la expresión:

(t t 20 ), si 0 t 15

(f t ) 75 , si 15 t 30

5100 t , si 30 t 1206

a) Haz la gráfica de la función. b) ¿En qué momento alcanza el deportista su máximo rendimiento? c) Calcula el rendimiento del deportista en los siguientes tiempos: 12 min, 15 min, 20 min, 42 min d) ¿En qué momentos el rendimiento es del 50%? Ejercicio 25 El estudio de la rentabilidad de una empresa revela que una inversión de x millones de pesetas produce una ganancia de f(x) millones de pts, siendo:

f(x) =

2x 8x 80 x 5

50 25 55

x 52x

si

si

.

a) Representa la función f(x) b) Halla la inversión que produce máxima ganancia c) Halla el valor de la inversión que produce ganancia nula

6.- FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

Funciones exponenciales de base a Son aquellas cuya fórmula es del tipo f(x) = ax , con a > 0, a ≠ 1

La gráfica de este tipo de funciones y que corta al eje Y en el punto (0,1) y tiene como asíntota horizontal al eje X. En estas funciones, D(f) = R , Im(f) = (0, ∞)

Si a > 1 , es creciente.

Ejemplo: X

Yy = 2x

1

Si a < 1 , es decreciente.

Ejemplo:

X

Yy = (⅓)x

1

Como puedes ver, la gráfica de estas funciones no corta al eje X La función exponencial más importante en matemáticas es la que tiene base igual al número “e”:

f(x) = ex , siendo 1

lim 1 2,718281828....n

ne

n

número irracional.

Ejercicio 26 Calcula el dominio de definición de la función f(x) = x

6 x

2 2

Ejercicio 27 Haz la gráfica de las funciones exponenciales: a) y = 3x1

2

b) y =

x3 2

5

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1º BACHILLERATO (LOMCE) – MATEMÁTICAS CC SS – TEMA 3.- FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD (1ª PARTE) PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

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Ejercicio 28 Escribe la fórmula de la función f cuya gráfica es:

-2 -1 1 2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

X

Y

Funciones logarítmicas de base a

Su fórmula es del tipo y = loga (x) , con a > 0, a ≠ 1. En estas funciones, D(f) = (0, ∞) , Im(f) = R

La gráfica es una curva que corta al eje X en el punto (1,0) y tiene como asíntota vertical al eje Y.

Si a > 1 , es creciente. Ejemplo:

X

Y y = log2 (x)

1

Si a < 1 , es decreciente. Ejemplo:

X

Yy = log1/3 (x)

1

La función logarítmica más importante es la función logaritmo neperiano: f(x) = ln (x) = loge (x)

Ejercicio 29 Halla el dominio de definición de las funciones: A(x) = log2 (x2 – 3x + 2) 3 (log x)

B(x) =2x + 3

Ejercicio 30 Dibuja la gráfica las siguientes funciones logarítmicas: a) y = log1/4

(x) b) y = log1,5

(x)

Aplicaciones de las funciones exponenciales y logarítmicas

Si una población P0 aumenta o disminuye cada año en un r %, la población final, “ P ”, al cabo de t años se calcula usando las fórmulas:

0 0

t tr rSi la población aumenta: P P 1 Si la población disminuye: P P 1

100 100

Si la población se duplica cada año, entonces r = 100 % y la fórmula es

0 0

tt100

P P 1 P P .2100

Ejercicio 31 Se llama inflación a la pérdida del valor del dinero.

Por ejemplo, si un artículo vale 100 € y dentro de un año vale 105 €, la inflación es del 5%.

Supongamos que la inflación es constante de un 4% y una parcela vale actualmente 90000 €.

a) ¿Cuál sería el valor dentro de 6 años? b) ¿Cuánto tiempo debería pasar para que valga 108 000 €?

c) ¿Cuánto valía hace 5 años? d) ¿Cuánto tiempo hace que valía 60 000 €?

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Ejercicio 32 Un negocio, en el que invertimos 120 000 € pierde un 0,03% mensualmente.

a) ¿Cuánto dinero habrá al cabo de año y medio?

b) ¿Cuánto tiempo debe pasar para tener la cuarta parte del dinero inicial? Ejercicio 33 Se invierten 4 500 € al 2,15% de interés compuesto anual. ¿Cuánto tiempo debe pasar para tener 5 000 €? Ejercicio 34 ¿Cuánto tiempo debería pasar para que el dinero que tenemos en el Banco, a un 3,5% de interés compuesto anual, se triplique? Ejercicio 35 La población de conejos es muy prolífica. Si disponen de comida suficiente y no hay depredadores que les puedan comer pueden llegar a doblar su número cada mes. Supongamos que se da la situación anterior y actualmente hay 256 conejos. Calcula: a) ¿Cuántos conejos habrá dentro de un año? b) ¿Cuántos había hace 7 meses?

ACTIVIDADES PROPUESTAS

1.- CONCEPTO DE FUNCIÓN. CARACTERÍSTICAS

1 Calcula el dominio de definición de las siguientes funciones:

a) f(x) = 12x 3

b) f(x) = 24x 1

x 5x 6

c) g(x) =

23x

x 1 d) f(x) = 24x x

e) f(x) =

xx 1

f) y = x 3 x 1 g)

x + 3f(x) =

x 2

2 Halla los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función f en los casos siguientes:

a) f(x) = x3 – 3x2 + 3x b) f(x) = x3 – 7x – 6 c) f(x) = x3 – 3x2 + 2

d) f(x) = x3 – 6x2 e) f(x) = x3 – 1 f) 1 2

( )2

xf x

x

g)

1( )

2 1

xf x

x

3 Sea f la función dada por la gráfica -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

X

Y

Determina:

a) f(2) b) f(1) c) f(–4) d) D(f) e) Rec(f) f) Valores de x para los que f(x) = –2

g) Soluciones de la ecuación f(x) = –3 h) Punto de corte con el eje de abscisas

i) Intervalos donde la función es decreciente j) Extremos k) Continuidad

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4 Para la función f dada por la gráfica

determina:

a) f(2) b) f(4) c) f(0) d) D(f) e) Rec(f) f) Punto de corte con el eje de ordenadas g) Intervalo donde la función es creciente h) Extremos i) Continuidad 5 Considera la función f cuya gráfica es

Calcula: a) D(f) b) Rec(f) c) f(–2,5) d) El valor de x para el que la función vale –5

e) Los intervalos donde la función es constante f) El mínimo de la función g) Continuidad

6 Estudia las características (dominio, recorrido, continuidad, monotonía y extremos) de la función f dada por su gráfica:

a) b) -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-5-4-3-2-1

1234567

X

Y

c) -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

X

Y

d)

-6 -3 3 6 9

-6

-3

3

6

X

Y

e)

X

Y

-3 4 71-2-7

910

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f) g)

X

Y

-4 2

-6

3

-3

6

2.- FUNCIONES CUYA GRÁFICA ES UNA RECTA

7 Halla los puntos de corte con los ejes de coordenadas y haz la gráfica de las siguientes funciones: 1

( )2

xf x

5( ) 15

2

xg x

8 Halla la ecuación de la recta de pendiente m y que pasa por el punto de la gráfica de f cuya abscisa es x0 en los siguientes casos:

a) f(x) = 2x

x

, m = – 2, x0 = 3 b) f(x) =

4x 4

x 4

, m = 5

4, x0 = 0

9 Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B, calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas y dibuja su gráfica: a) A(−4, −5) y B(1, 3) b) A(−5, −3) y B(4,0) 10 Averigua si la recta representada pasa por el punto P(200, –395)

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-5-4-3-2-1

12345678

X

Y

11 La altura inicial de un líquido contenido en una probeta es 12 cm. Es muy volátil y al evaporarse baja el nivel a razón de 1,5 cm cada 3 días.

a) Construye una tabla de valores y halla la fórmula de la función que expresa la altura en función del tiempo.

b) Representa gráficamente esta función. c) Determina la altura del líquido al cabo de 54 horas 12 Dos depósitos de agua, A y B, funcionan de la forma siguiente: a medida que A se va vaciando, B se va llenando.

El depósito A está lleno y tiene una capacidad de 35 litros y se vacía a razón de 2 litros por minuto.

El depósito B, que está vacío, se llena con una velocidad de 1,5 litros por minuto.

a) Escribe las fórmulas de las funciones tiempo-litros del depósito, represéntalas en los mismos ejes, calcula el punto donde se cortan y explica su significado.

b) Averigua qué depósito tiene más agua a los 8 minutos c) ¿ Y a los 12 minutos?

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13 Al apuntarnos en un gimnasio, hemos tenido que pagar una cantidad fija en concepto de matrícula. Después tendremos que ir pagando las mensualidades. Si estamos 6 meses, nos gastaremos en total 246 €, y si estamos 15 meses, nos costará 570 €. Usando interpolación lineal halla cuánto gastaríamos en total si estuviéramos yendo durante un año 14 La siguiente tabla indica la ayuda que recibe una familia en función del número de hijos.

Número de hijos 0 1 3 4 Ayuda (en €) 0 20 100 120

Mediante interpolación/extrapolación lineal calcula la ayuda que recibe una familia de 2 hijos y otra de 5 hijos usando los puntos de la gráfica y también, hallando la fórmula. 15 Esta tabla representa el volumen de agua en un gran depósito a medida que se va llenando

Tiempo (minutos) 0 12 24 48 Volumen (litros) 20 68 116 164

Halla, mediante interpolación/extrapolación lineal, el volumen de agua que hay en el depósito a la media hora y a la hora de haber empezado.

3.- FUNCIONES CUADRÁTICAS

16 Halla la ecuación de la parábola que pasa por los puntos: A(−4, −5), B(−2, 3) y C(3, −12) 17 Dibuja la gráfica de las siguientes funciones cuadráticas: a) y = 6x – 3x2 b) y = – x2 + 2x – 1

c) 21y = x x + 3

5 d) y = 3x2 – 3 , donde x < 2 e) y = 2x2 f) y = – 2x2 + 36x + 138, x ≥ 0

g) f(x) = 4x – x2 h) f(x) = x2 − 4x + 6 i) f(x) = 2x − x2 18 Calcula el valor de “a” para que el valor mínimo de la función f(x) = 3x2 − 6x + a sea 5 19 Halla a y b en la parábola y = ax2 + bx + 5 sabiendo que tiene un máximo en el punto (2, 9) 20 Dibuja la parábola que corta al eje OX en los puntos (–1,0) y (5,0) y con vértice (2, – 4). 21 Dibuja la parábola de vértice (0, 2) que corta al eje de abscisas en los puntos (−3, 0) y (3, 0). 22 El valor, en miles de euros, de una empresa en función del tiempo t, en años, viene dado por la función f(t) = −4t2 + 60t −15, 1 ≤ t ≤ 8. a) ¿Cuál será el valor de la empresa para t = 2,5? b) Halla el valor máximo de la empresa y el año en que se obtiene c) ¿En qué año el valor de la empresa es de 185 000 €? 23 El beneficio, en millones de euros, de una empresa en función del tiempo t, en años, viene dado por: f(t) = −t2 + 12t – 31 , 4 ≤ t ≤ 7 a) Representa la gráfica de la función f. b) ¿Cuándo alcanza la empresa su beneficio máximo y a cuánto asciende? c) ¿Para qué valor de t alcanza su beneficio mínimo y cuál es este?

24 La temperatura T, en grados centígrados, que adquiere una pieza sometida a un proceso viene dada en función del tiempo t, en horas, por la expresión: T(t) = 40t −10t2 , con 0 ≤ t ≤ 4. a) Representa gráficamente la función T y determine la temperatura máxima que alcanza la pieza. b) ¿Qué temperatura tendrá la pieza transcurrida 1 hora? ¿Volverá a tener esa misma temperatura en algún otro instante?

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25 El beneficio obtenido por la producción y venta de x kilogramos de un artículo viene dado por la función: B(x) = 0,01x2 + 3,6x 180.

a) Representa gráficamente esta función. b) Halla el número de kilogramos que hay que producir y vender para que el beneficio sea máximo. c) Determina cuántos kilogramos se deben producir y vender, como máximo, para que la empresa no tenga pérdidas. 26 Los beneficios mensuales, en euros, de una empresa vienen dados por la fórmula B(x) = – 0,01x2 + 10x – 900, siendo x el número de artículos fabricados. a) Representa gráficamente la función. b) Halla el número de artículos que deben fabricarse al mes para que el beneficio sea máximo y también dicho beneficio máximo. 27 Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba de modo que la altura “h” (en metros) a la que se encuentra en cada instante “t” (en segundos) viene dada por la expresión: h(t) = –5t2 + 40t a) ¿En qué instante alcanza la altura máxima? ¿Cuál es esa altura? b) Representa gráficamente la función h(t). c) ¿En qué momento de su caída se encuentra el objeto a 60 metros de altura? d) ¿En qué instante llega al suelo? 28 Un estudio acerca de la presencia de gases contaminantes en la atmósfera de una ciudad indica que el nivel de contaminación viene dado por la función: C(t) = – 0,2t2 + 4t + 25, 0 ≤ t ≤ 25 (t = años transcurridos desde el año 2000). a) ¿En qué año se alcanzará un máximo en el nivel de contaminación? b) ¿En qué año se alcanzará el nivel de contaminación cero?

4.- FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA

29 Dibuja la gráfica de las funciones: a) f(x) = 12x

b) f(x) = 18x

30 Completa la siguiente gráfica correspondiente a una función de proporcionalidad inversa y halla la fórmula.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-6-5-4-3-2-1

123456

X

Y

31 Escribe la fórmula de la función f cuya gráfica es:

a) -25 -20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25

-25

-20

-15

-10

-5

5

10

15

20

25

X

Y

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32 Halla la fórmula y haz la gráfica de la función que relaciona la base y la altura de los triángulos de 14 cm2 de superficie

5.- FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS

33 Halla el dominio de definición de las funciones:

f(x) =2

2x 4, si x 0

x 1

x 3x 2 , si x 0

y g(x) = 2

3x 1, si x 1

2x 5

x 4, si x 1

34 Dibuja la gráfica de las funciones: a) f(x) = x 3 , si x 4x , si x 4

b)

24x x , si x 4f(x) =

x + 1 , si x > 4

c)2x 1 , si x 1

f (x)x 1 , si x 1

d)2 6 x 5, 2 4

( )2 11, 4 5

x si xf x

x si x

e) f(x) =

4xsi,8x2

4xsi,2

xx2

2

f)2

21

( )

4 5 1

si xf x x

x x si x

g) f(x) = 2

2

x 2x , si x 0

x 2x , x 0

h)

2

2

9 x si x 3f (x)

2x 16x 30 si x 3

i)2

2

x si x 1f (x)

x 4x 2 si x 1

j) f(x) =

1, si x 0

x1

, si x 0x

k)

5 2x , si x 2

(f x ) 1 , si 2 x 4x , si x 44

l) f(x) =

28 x , si x 3

4 x , si 3 x 25 , si x 2

m) y = 2

2, si x 3

x 4, si 3 x 24 2x, si x 2

n) y =

25 x , si x 2

1 x , si 2 x 25 , si x 2

ñ)

2(x 1) , si x 0

1f (x) , si 0 x 2

xx

, si x 24

o)2

5 si x 2

f (x) x 6x 10 si 2 x 5

4x 15 si x 5

p)

2x , si x 1

1 x , si 1 x 2

(x 1) 2 , si x 2

35 El beneficio esperado de una empresa, en millones de euros, en los próximos ocho años viene dado por la función B definida por

B(t) =

2t 7t 0 t 5

10 5 t 8

si

si

, donde t indica el tiempo transcurrido en años.

a) Representa gráficamente la función B y explica cómo es la evolución del beneficio esperado durante esos 8 años b) Calcula cuándo el beneficio esperado es de 11,25 millones de euros

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36 El beneficio obtenido por una empresa, en miles de euros, viene dado por la función

f(x) =

10x6si,152

x5

6x0si,60x40x5 2

donde x representa el gasto en publicidad, en miles de euros.

a) Representa la función f . b) Calcula el gasto en publicidad a partir del cual la empresa no tiene pérdidas. c) ¿Para qué gastos en publicidad se producen beneficios nulos? d) Calcula el gasto en publicidad que produce máximo beneficio. ¿Cuál es ese beneficio máximo?

6.- FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

37 Calcula el dominio de definición de la función

x

x2

f(x) =2 1

38 Haz la gráfica de las funciones exponenciales: a) y =

x35

b) y =

x16

c) y = 2– x

d) y = 23x e) y = 4 x2

39 Calcula el dominio de definición de las funciones: f(x) = log (x2 – 6x + 9) g(x) = ln(x)

2 3x

40 Haz la gráfica las siguientes funciones logarítmicas:

a) y = log x b) y = log1/5

x c) log4 (x) d) f(x) = log

0,5 (x)

41 Una ciudad tiene actualmente 6 000 habitantes. Supongamos que su población crece anualmente a un ritmo del 3% a) ¿Cuántos habitantes habrá al cabo de 8 años? b) ¿Cuánto tiempo debería pasar para alcanzar los 10 000 habitantes? c) ¿Cuántos habitantes había hace 3 años? d) ¿Cuánto tiempo hace que había 2 000 habitantes?

42 Supongamos que la masa de un elemento químico radiactivo disminuye anualmente un 0,006% Al principio tenemos 2 700 g. a) ¿Cuál es la masa al cabo de 5 años? b) ¿Cuánto tiempo debe pasar para que la masa sea la tercera parte de la masa inicial?

43 Se invierten 1 200 € al 2,5% de interés compuesto anual. ¿Cuánto debe pasar para tener 3 000 €?

44 ¿Cuánto tiempo debe pasar para que el dinero que tenemos en el Banco, a un 2,25% de interés compuesto anual, se duplique?

45 Una ameba se reproduce por bipartición cada minuto. Actualmente hay 163 840 amebas.

¿Cuánto tiempo hace que había 5 amebas?