Teoría y Problemas resueltos de Programación Lineal · PDF fileRespecto al...

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  • -Teora y Problemas resueltos de Programacin Lineal

    Objetivos:

    Entender la idea de la Programacin lineal y sus aplicaciones a problemas prcticos.

    Plantear problemas de programacin lineal en dos variables. Conocer los pasos a seguir para resolver problemas de programacin

    lineal en dos variables. Discutir la solucin ptima de un problema de programacin lineal.

    En 1947, G. B. Dantzig formula, en trminos matemticos muy precisos, el enunciado estndar al que cabe reducir todo problema de programacin lineal. Dantzig, junto con una serie de investigadores del United States Departament of Air Force, formaran el grupo que dio en denominarse SCOOP (Scientific Computation of Optimum Programs).

    Respecto al mtodo simplex, que estudiaremos despus, sealaremos que su estudio comenz en 1951 y fue desarrollado por Dantzig en el United States Bureau of Standards SEAC COMPUTER, ayudndose de varios modelos de ordenador de la firma International Business Machines (IBM).

    Los fundamentos matemticos de la programacin lineal se deben al matemtico norteamericano de origen hngaro John (Janos) Von Neumann (1903-1957), quien en 1928 public su famoso trabajo Teora de juegos. En 1947 conjetura la equivalencia de los problemas de programacin lineal y la teora de matrices desarrollada en sus trabajos. La influencia de este respetado matemtico, discpulo de Dvid Hilbert en Gotinga y, desde 1 930, catedrtico de la Universidad de Princeton de Estados Unidos, hace que otros investigadores se interesaran paulatinamente por el desarrollo riguroso de esta disciplina.

    EN ESTE TEMA TRATAREMOS LOS SIGUIENTES CONTENIDOS:

    YA SE HAN TRABAJADO EN CLASE LOS SIGUIENTES CONCEPTOS NECESARIOS PARA ENTENDER LA PROGRAMACIN LINEAL:

    1.) Desigualdades.

    2.) Inecuaciones lineales con una incgnita y sistemas de inecuaciones lineales con una incgnita.

    3.) Inecuaciones lineales con dos incgnitas y sistemas de inecuaciones con dos incgnitas.

    AHORA SE INTRODUCIRN LOS SIGUIENTES CONCEPTOS:

    4.) Puntos ptimos de funciones lineales en conjuntos convexos.

  • 5.) Problemas de programacin lineal con dos variables.

    3. Inecuaciones lineales con dos incgnitas y sistemas de inecuaciones con dos incgnitas.

    Una inecuacin lineal con dos incgnitas es una expresin de alguna de las formas siguientes:

    Las inecuaciones lineales con dos incgnitas se resuelven grficamente ya que las soluciones son los puntos del semiplano en el que queda dividido el plano por la recta que corresponde a la inecuacin considerado como igualdad. Esta recta o borde del semiplano no pertenecer o s a la solucin segn la desigualdad sea estricta o no respectivamente. Para saber cul de los dos semiplanos es el que da la solucin bastar tomar el origen de coordenadas (si la recta no pasa por l) o cualquier otro punto de coordenadas sencillas y comprobar si satisface o no la desigualdad, si lo hace, el semiplano que contiene al punto de prueba es el correcto (lo indicaremos con una flecha sealando hacia l), en caso contrario es el otro.

    Ejemplo:

    Resuelve la inecuacin 3x+2y+5

  • Se llama sistema de n inecuaciones lineales con dos incgnitas al conjunto formado por n de estas inecuaciones, es decir:

    o cualquier otro signo de desigualdad.

    Obtener la solucin de un sistema de este tipo supone obtener el semiplano solucin de cada una de las inecuaciones que lo forman y averiguar la interseccin de todos ellos.

    La solucin de un sistema de n inecuaciones lineales con dos incgnitas es siempre un conjunto convexo.

    Se llama conjunto convexo a una regin del plano tal que para dos puntos cualesquiera de la misma, el segmento que los une est ntegramente contenido en dicha regin. Como casos particulares, un conjunto convexo puede quedar reducido a una recta, a una semirrecta, a un segmento, a un punto o al conjunto vaco.

    Los segmentos que delimitan un conjunto convexo se llaman bordes o lados y, la interseccin de ellos, vrtices. Los vrtices y puntos de los lados que pertenezcan a la solucin del sistema de inecuaciones se denominan puntos extremos. Un conjunto convexo puede ser cerrado o abierto respecto a cada lado o vrtice segn se incluya ste o no en la solucin. Puede ser acotado o no acotado segn su rea sea o no finita.

    Ejemplo:

    Resolver el sistema de inecuaciones lineales con dos incgnitas:

  • Si representamos en los mismos ejes de coordenadas cada una de las rectas que salen al considerar las anteriores desigualdades como ecuaciones e indicamos mediante una flecha el semiplano solucin de cada una de ellas por separado, la solucin ser la regin del plano sombreada en la figura que es la interseccin de los semiplanos solucin de cada inecuacin. Para la representacin rpida de las rectas, basta con encontrar los puntos donde cortan a los ejes de coordenadas y unirlos entres s.

    La recta:

    x+y-1=0 corta al eje X (hacemos y=0) en (1, 0) y al eje Y (hacemos x=0) en (0, 1)

    La recta :

    2x+3y+4=0 corta a X en (-2, 0) y a Y en

    La recta:

    x-2y-2=0 corta a X en (2, 0) y a Y en (0, -1).

    4. Puntos ptimos de funciones en conjuntos convexos.

    Se define una funcin lineal con dos variables como una expresin de la forma f(x, y) = ax + by.

    Ha de observarse que para cada valor de "c", el lugar geomtrico de los puntos cuyas coordenadas (x, y) verifican f(x, y) = c es la recta de ecuacin ax+by=c. Al variar "c", se obtiene rectas paralelas tales que todas tiene la misma pendiente -a/b y cortan al eje Y en el punto (0, c/b).

    Si los valores de x e y no estn acotados, tampoco lo estar f(x, y), en cambio, si estn restringidos a un cierto conjunto C, la funcin no podr tomar cualquier valor. Se puede entonces hablar de valores mximo o mnimo (valores ptimos) de f(x, y) en C.

  • Se cumple el siguiente teorema: "Si una funcin lineal f(x, y)=ax+by tiene mximo o mnimo en un conjunto C convexo, toma este valor ptimo en un punto extremo".

    En efecto, si el valor c fuera ptimo y correspondiera a un punto (x, y) interior al conjunto convexo C, siempre se podran encontrar dos recta paralelas a ax+by+c=0, en las cuales f(x, y) tomara valores mayores o menores que c y no podra ser c mximo o mnimo. Luego estos valores slo pueden presentarse en los puntos extremos.

    Usando este teorema, para encontrar los puntos ptimos de f(x, y) en el conjunto convexo C podemos procederemos de la siguiente forma:

    Estudiar los valores de la funcin en los vrtices (si su nmero es reducido) y decidir en cul de ellos hay mximo o mnimo. Tengamos en cuenta que si la funcin toma el mismo valor en dos vrtices consecutivos, tambin toma ese valor en todos los puntos del segmento que une esos dos vrtices.

    Ejemplo:

    Hallar el mximo y mnimo de la funcin f(x, y) = x-y en el recinto convexo solucin del sistema de inecuaciones del ltimo ejemplo.

    Dado que la grfica ya la tenemos (la reproducimos aqu poniendo nombre a los vrtices del recinto que slo son dos A y B pues el conjunto solucin es abierto y no acotado):

    El punto A es la solucin del sistema de ecuaciones

  • luego

    El punto B es la solucin de:

    siendo, pues

    Los valores de la funcin en ambos vrtices son:

    La funcin presenta un mximo en el punto B pero no hay ningn valor mnimo al no ser el recinto acotado (luego veremos la discusin de estos problemas).

    Cabe preguntarse ahora: Siempre hay punto mximo o mnimo de una funcin lineal en dos variables en un recinto convexo?

    La respuesta es que la solucin puede ser nica. Infinitas o ninguna. Veamos los casos que pueden darse:

    Si el recinto es cerrado existe una solucin nica para el mximo y otra para el mnimo en alguno de los vrtices si en todos ellos la funcin toma valores distintos.

    Si es cerrado pero hay dos vrtices consecutivos en los que la funcin toma el mismo valor (y ese valor es por ejemplo mximo), entonces toma el mismo valor en todos los puntos del segmento que une ambos vrtices, luego la funcin infinitos mximos y un mnimo. Al contrario sucedera si el valor comn de los dos vrtices fuese mnimo, habiendo entonces infinitos mnimos y un mximo.

    Si el recinto convexo no est acotado superiormente, no existe mximo aunque s mnimo.

    Si el recinto convexo no est acotado inferiormente, no existe mnimo aunque s mximo.

    5. Problemas de programacin lineal con dos variables.

    Un problema de programacin lineal con dos variables tiene por finalidad optimizar (maximizar o minimizar) una funcin lineal:

  • llamada funcin objetivo, sujeta a una serie de restricciones presentadas en forma de sistema de inecuaciones con dos incgnitas de la forma:

    Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano. El conjunto interseccin de todos esos semiplanos recibe el nombre de zona de soluciones factibles. El conjunto de los vrtices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibles bsicas y el vrtice donde se presenta la solucin ptima se llama solucin mxima (o mnima segn el caso). El valor que toma la funcin objetivo en el vrtice de solucin ptima se llama valor del programa lineal.

    El procedimiento a seguir para resolver un problema de programacin lineal en dos variables ser, pues:

    1. Elegir las incgnitas. 2. Escribir la funcin objetivo en funcin de los datos del problema. 3. Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones. 4. Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando

    grficamente las restricciones. 5. Calcular las coordenadas de los vrtices del recinto de soluciones

    factibles (si son pocos). 6. Calcular el valor de la funcin objetivo en cada uno de los vrtices para

    ver en cul de ellos presenta el valor mximo o mnimo segn nos pida el problema (hay que tener en cuenta aq