%' TECNOL~GICO cenidet...Y DESARROLLO TECNOL~GICO cenidet "MODELO MATEMÁTICO PARA LA COMBUSTI~N DE...

% ' CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO TECNOL~GICO

cenidet "MODELO MATEMÁTICO PARA LA COMBUSTI~N DE UNA GOTA DE

COMBUSTIBLE"

TESIS

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:

MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERÍA MECÁNICA

(OPCIÓN TÉRMICA) CENTRO DE INFORMACION

C E N I D E T P R E S E N T A:

Cuernavaca;Morelos

OCTAVIO CAZAREZ CANDIA

1-1 Septiembre de 1995

Centro Nacional de Investigación y Deskollo Tecnológico ‘I

‘ ACADEMIA DE LA MAESTRIA EN CIENCIAS EN INGENIERIA MECANICA

/I

Cuernavaca, Morelos a I de Septiembre de 1995

II

Dr. Juan Manuel RicaRo Castillo Director de CENIDET P r e s e n t e 11

Ati’n Dr. José Maria Rodriguez Lelis Jefe del Depto. de Mecánica

/I Por este conducto, hacemos de su conocimiento que, después de haber sometido a revision el trabajo de tesis titulado:

“MODELO MATEMATICO PARA LA COMBUSTION DE UNA GOTA DE COMBUSTIBLE”

Desarrollado por el Ing. Octavio Cazarez Candia y habiendo cumplido con todas las correcciones que se le indicaron, estamos de acuerdo en que se le conceda la autorización de impresión de la tesis y la fecha de examen de grado.

Sin otro particular, quedamos de usted.

I/

il A t e n t a m e n ’ t e Comisión Revisora

Dr. Rafael Villaseñor Gutierrez

Dra. Gabriela Alvarez Garcla M.C. Gustavo Urquiza Beltrán . I

11 C.C.P. Dr. Alfonso Garcia, Presidente de la Academia de Ingeniería Mecánica

Dr. Rafael Villaseflor Gutierrez, Director de Tesis Ing. Octavio Cazarez Candia

li

Interior Internado Palmira S/N C.P. 62490 Apar tado Postal 5-164. C.P. 62050 Cuernavaca. Mor. México

Tels.: (73) 18 77 41 y (73) 12 76 13 cenidet/

U St’l’ I SISTEMA NACIONAL DE INSTITUTOS TECNOLOGICOS

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

SUBDIRECCION ACADEMICA

Cuernavaca, Mor., a 21 de septiembre de 1995

Ing. Octavio Cázarez Candia Candidato !al Grado de Maestro en Ciencias en Ingeniería Mecánica P r e s e n t e

Después de haber sometido a revisión su trabajo de tesis titulado:

“MODELO MATEMÁTICO PARA LA COMBUSTIÓN DE UNA GOTA DE COMBUSTIBLE”

Y habiendó cumplido con todas las indicaciones que el jurado revisor de tesis hizo, se le comunica que se le concede la autorización para que proceda a la impresión de la misma, como requisito para la obtención del grado.

Sin otro particular quedo de usted.

ingeniería Mecánica

C.C.P. Servicios Escolares Expediente

cenjdef ,/Apartado postal 5-164, Interior cx Internado 62050 Cuernavaca, Palmira S/N Mor. C.P. México 62490

Tels.: (73) 18 77 41 y (73) 12 76 13

DEDICO ESTE TRABAJO ...

A MIS PADRES:

Micaela Candia V. Octavio Cázarez E.

POR DARME LA VIDA, SU APOYO, CONFIANZA Y CARIÑO

A MI ESPOSA:

Eugenia Sánchez G. I

POR SU COMPRENSIÓN, AMOR, CARIÑO Y APOYO.

A MIS HERMANOS:

Jorge Cázarez C. Angélica Cázarez C. Marina Cázarez C. José Cázarez C.

POR SU APOYO Y CONFIANZA.

AGRADEZCO ...

POR PERMITIRME VIVIR, SER FELIZ Y REALIZAR ESTE TRABAJO

A MIS MAESTROS POR SU ENSEÑANZA Y CONSEIOS.

A MIS AMIGOS Y COMPAÑEROS POR LOS BUENOS RATOS Y APOYO.

A LA COMISI~N REVISORA , POR SUS SUGERENCIAS Y COMENTARIOS.

DE MANERA ESPECIAL AGRADEZCO AL Dr. Rafael Villaseñor Gutiérrez POR su CONFIANZA, CONSEJOS, Y EXCELENTE ASESOR~A.

A TODAS LAS PERSONAS QUE DE UNA u OTRA MANERA COLABORARON A LA REALIZACI~N DE ESTE TñABAlO.

1

OCTAVIO CAZAREZ CANDIA

Dirigida por el Dr. Rafael Villaseñor Gutiérrez.

PAGINA I

TABLA DE CONTENIDO.

TABLA DE CONTENIDO NOMENCLATURA LISTA DE FIGURAS LISTA DE TABLAS RESUMEN

PÁGINA I1

IV VI11 XI1

XI11

1. INTRODUCCI~N 1 ,

1.1 IMPORTANCIA DEL ESTUDIO 1.2 ANTECEDENTES 1.3 OBJETIVO GENERAL 1.4 CONSIDERACIONES DEL TRABAJO 1.5 TRABAJO A DESARROLLAR

1.5.1 ACTIVIDADES GENERALES 1.6 PRODUCTO Y VENEFICIOS ESPERADOS

1 2 3 3 ’ 4 6 8

2. TOMBUSTI~N DE UNA GOTA DE COMBUSTIBLE (PROPIEDADES CONSTANTES) 9

2.1 INTRODUCCIÓN AL MODELO 9 2.2 CONSIDERACIONES 10 2.3 MODELO MATEMÁTICO 13 2.4 SOLUCIÓN DEL SISTEMAS DE ECUACIONES 23

3. RESULTADOS Y VALIDACI~N DEL MODELO PARA PROPIEDADES CONSTANTES 25

3.1 RESULTADOS ESPERADOS 25 3.2 RESULTADOS DEL MODELO 27

3.2.1 TEMPERATURA Y PRESIÓN 21 3.2.2 DIÁMETRO DE LA GOTA AL CUADRADO 29

31 3.3 VALIDACI~N DEL MODELO 33

11

3.2.3 RELACI~N ENTRE DIÁMETRO DE GOTA Y DIÁMETRO DE FLAMA

PAGINA II

4 TOMBUSTI~N DE UNA GOTA DE COMBUSTIBLE (PROPIEDADES VARIABLES) 38

4.1 INTRODUCCI~N 38 4.2 PRdPIEDADES TERMOFíSICAS VARIABLES 39

4.2.1 DENSIDAD DE MEZCLA 40 4.2.2 CALOR ESPECíFICO A PRESIÓN CONSTANTE DE MEZCLA 41 4.2.3 CONDUCTIVIDAD TÉRMICA DE MEZCLA 42

4.3.1 COMPARACIÓN ENTRE MODELOS 46 4.3 MODELO CON PROPIEDADES CONSTANTES Y MODELO CON PROPIEDADES VARIABLES 46

5. TIINÁMICA Y EVAPORACIÓN DE UNA GOTA DE COMBUSTIBLE 49

5.1 TIPO DE ATOMIZADOR 5.2 MODELO MATEMÁTICO 5.3 RESULTADOS Y VALIDACI~N DEL MODELO

49 50 58

6. CONCLUSIONES Y 'RECOMENDACIONES PARA TRABAJOS FUTUROS 62

6.1 CONCLUSIONES GENERALES 6.2 RECOMENDACIONES PARA TRABAJOS FUTUROS

BIBLIOGRAFÍA APÉNDICE A. CÁLCULO NUMÉRICO APÉNDICE B. PROPIEDADES A ALTAS PRESIONES

62 63

66 71 79

PAGINA 111

NOMENCLATURA

NOMENCLATURA

SÍMBOLO DESCRIPCI~N UNIDADES

a A A" B M CP

CD d D

FD

hh f

K k

m m

mLiq Nu P

Pr r R

k

R,

Aceleración. Área. Amplitud. Número de transferencia de masa de Spalding. Capacidad calorífica a presión constante de mezcla. Coeficiente de arrastre. Diámetro. Coeficiente de difusión de mezcla. Coeficiente de difusión dada por la ecuación (2-1 1) para el capítulo 2. Fuerza de arrastre. Frecuencia. Calor de evaporación. Conductividad térmica de mezcla. Constante de combustión. Constante de Boltzmann. Transferencia de masa o flux de masa. Flujo másico. Masa del combustible líquido. Número de Nusselt. Presión.

Número de Prantl. Radio. Constante de un gas particular. Constante universal de los gases.

NOMENCLATURA

Re Sh Shíj Sh* s c T t U

V W X Y Y

V

Número de Reynolds Número de Sherwood, de la referencia 1281 Número de Sherwood, de la referencia 111 Número de Sherwood modificado Número de Schmidt Temperatura Tiempo Velocidad de la gota Volumen Velocidad (Cap. 5), Velocidad total de masa (Cap 2) Peso molecular Coordenada X Fracción masa Fracción molar

SUB¡NDlCES

SíMBOLO DESCRIPCIÓN UNIDADES

a b B

cr F FF FL F,TOTAL FN2 FS FCO

C

Especie a. Especie b. Punto de evaporación. Condición en la frontera de la flama. Punto crítico. Combustible. Combustible-combustible. Flama. Combustible total. Combustible-Nitrógeno. Vapor combustible en la superficie de la gota. Vapor combustible lejos de la superficie de la gota.

PAGINA v

"CLATURA

i i- 1 i+ 1 i+2 L Liq N2 N2F N2N2 r 1 2 3 co

Vapor combustible-aire, en el apéndice B. Nodo i. Nodo i-l. Nodo i+ l . Nodo i+2. Condición en la superficie de la gota. Líquido. Nitrógeno. Nitrógeno-Combustible. Nitrógeno-nitrógeno Propiedad reducida. Nodo 1. Nodo 2. Nodo 3. Gas (aire).

SUPERINDICES

SíMBOLO DESCRIPCI~N UNIDADES

-

-+ Vector. A Vector unitario. *

Cantidades promedio del vapor combustible.

Flujo másico que sale de la superficie de la gota hacia la zona de flama.

PAGINA VI

NOMENCLATURA

SíMBOLOS GRIEGOS

SíMBOLO DESCRIPCI~N UNIDADES

Ar P P Po E

0

0

Tamaño de paso. tml Densidad de mezcla. Ckg/m31 Viscosidad de mezcla. igr/cmsl Viscosidad a baja presión (presión atmósferica). [ N . S / ~ ~ I Parámetro de energía de interacción. [Kl Diámetro molecular. [“Al Integral de colisión para viscosidad y conductividad térmica.

PAGINA VII

LISTA DE FIGURAS

FIGURA

LISTA DE FIGURAS PÁGINA

2-1

3-1

3-2

3-3

3-4

11 Figura que muestra el fenómeno de combustión de una sola gota de combustible.

27 Perfiles de temperatura y presión que se esperan obtener en un modelo de dos regiones. La región 1 de la superficie de la gota hasta la zona de flama y la región 2 de la zona de flama hacia afuera.

29 Perfiles de presión de combustible, presión de nitrógeno y temperatura para la combustión de una gota de n - heptano (C7H16), obtenidos con el modelo de "combustión de una gota de combustible", desarrollado en el presente trabajo.

Gráfica que muestra la ley de evaporación del d2 , con datos obtenidos del modelo de "combustión de una gota de combustible", desarrollado en el presente trabajo, para una gota de n-heptano (C7H16).

31

32 Variación del diámetro de gota y diámetro de flama durante la combustión.

PAGINA vi11

LISTA DE FIGURAS

FIGURA' PÁGINA

3-5

3-6

3-1

3-8

4-1

4-2

33 Gráfica que muestra el comportamiento del diámetro de gota al diámetro de flama, con datos obtenidos del modelo de "combustión de una gota de combustible" desarrollado en el presente trabajo.

35 IGráfica que muestra la comparación de la ley de evaporación del d2, entre el modelo actual de "combustión de una gota de combustible", datos experimentales y un modelo similar de otros autores.

36 Gráfica que muestra la comparación entre los datos obtenidos con el modelo actual de "combustión de una gota de combustible" y los datos de Takeo 161, correspondientes a rJrL y rc,

31 , Gráfica que muestra la comparación del radio de flama y el radio de gota, del modelo actual de "combustión de una gota de combustible", contra otras investigaciones.

41 Gráfica que muestra la comparación de los perfiles de presión de vapor combustible y nitrógeno, entre el modelo actual de propiedades constantes y el modelo actual de propiedades variables.

47 Comparación del perfil de temperatura, entre el modelo de propiedades constantes y el modelo de propiedades variables.

PAGINA IX

LISTA DE FIGURAS

FIGURA PÁGINA

4-3 48 Comparación de la ley del d2 entre los resultados del modelo actual con propiedades constantes, modelo con propiedades variables -y los datos experimentales de Bolt y Saad [81.

5-1 50 Gráfica que muestra un atomizador que utiliza la energía cinética del aire para atomizar a un combustible líquido

5-2 54 Dirección de la fuerza de arrastre, dependiendo de la velocidad del flujo de aire relativa a la velocidad de la gota.

5-3 59 Gráfica que muestra la comparación entre el modelo actual de "dinámica y Vaporización de una gota" y el modelo de otros autores, del perfil de temperatura en la superficie de la gota.

5-4 60 Gráfica que muestra la comparación del perfil de diámetro adimencional, entre el modelo actual de "dinámica y vaporización de una gota", y el modelo de otros autores.

5-5 61 Gráfica que muestra el comportamiento de la velocidad de una gota de n-decano (C,oH22), inyectada en una corriente de aire caliente. Los datos son obtenidos con el modelo "dinámica y vaporización de una gota", desarrollado en el presente trabajo.

PAGINA x

LISTA DE FIGURAS

FIGURA PÁGINA

A- 1 74 Distribución de los nodos desde la superficie de la gota hasta la zona de flama. Se hace referencia a estos nodos para discretizar las ecuaciones de evolución de combustión de una gota en forma de diferencias finitas, obtenidas del modelo de combustión.

PAGINA XI

.-

LISTA DE TABLAS

TABLA

3-1

3-2

B-1

LISTA DE TABLAS PÁGINA

28 Resultados obtenidos con el presente modelo de "combustión de una gota de combustible", para la presión parcial de combustible, y de nitrógeno así como de temperatura, desde la superficie de la gota hasta la zona de flama.

30 Resultados obtenidos con el presente modelo de "combustión de una gota de combustible", para la variación del cuadrado del diámetro de gota con respecto al tiempo.

85 Valores de Bi en la ecuación (B-15).

PAGINA XII

RESÚMEN

RESÚMEN

Una de las formas mediante las cuales el hombre produce energía ocurre a través del quemado de un material combustible, ya sea sólido, líquido o gaseoso.

Se quema carbón en las centrales eléctricas para generar vapor utilizado en - las turbinas, se utiliza combustóleo con el mismo propósito y también gasolina como

fuente de energía para vehículos de todas clases. Puede utilizarse gas natural como combüstible para turbinas de gas, así como para la generación de vapor. e\

Los dispositivos de combustión no queman necesariamente todo el combustible que se les suministra, y aquella cantidad de éste que no se quema por completo a menudo se descarga a la atmósfera. El combustible es demasiado costoso para que se derroche en esta forma, además de que los productos de combustión incompleta a menudo resultan tóxicos. La temperatura y composición de los productos de combustión pueden provocar alguna transformación física o química de los elementos estructurales cercanos (cámara de combustión, ductos, etc.). Por io anterior los diseñadores de dispositivos de combustión tienen como objetivo lograr que la eficiencia de combustión se acerque lo más posible al 100% con el fin de reducir los costos (debidos al combustible no quemado y daños en los equipos), así como emitir un mínimo de contaminantes.

Una manera de estudiar la forma de que la eficiencia de combustión se acerque al 100% es por medio de modelos matemáticos, los cuales se utilizan cuando solamente se requieren predicciones cuantitativas. Para obtener un estudio completo en cuanto a lo que ocurre en el quemado de combustibles líquidos, es necesario análizar la mínima porción posible (una gota) de un determinado tipo de combustible. En el presente trabajo se presenta un modelo matemático para la

PAGINA xi11

RESÚMEN

combustión de una gota de combustible (n-heptano), dicho modelo predice los parámetros más importantes tales como la localización de la flama, la variación del radio de gota conforme transcurre el tiempo de combustión y el perfil de temperatura entre la superficie de la gota y la zona de flama. Estos paramétros son importantes para poder saber el tiempo de recidencia necesario de la gota de un determinado tamaño asi como de las dimenciones de la flama en una cámara de combustión. De acuerdo a lo anterior se puede saber cuales son los tamaños de gota adecuados para lograr el mayor quemado posible en una camára de combustión de determinadas

,dimenciones o bién diseñar una camara de combustión para un determinado tamaño de gota.

Lograr la descripción completa del fenómeno de combustión implica resolver las ecuaciones de Navier-Stokes, la ecuación de energía y la ecuación de especies químicas en 3 dimensiones con un mecanismo de reacción complejo para incluir especies contaminantes. La solución de estas ecuaciones requiere equipo de computo tal como una computadora CRAY. A pesar de lo anterior los resultados que arrojan los modelos que resuelven dichas ecuaciones en cuanto a temperatura y especies quimicas son semejantes a los que arrojan modelos más sencillos.

Los modelos sencillos reportados en la literatura sobre combustión de gotas que resuelven sistemas de ecuaciones diferenciales acopladas estan sujetos a varias simplificaciones, siendo una de las más importantes el considerar propiedades termodinámicas y de transporte molecular constantes. En el presente trabajo se parte de un1 modelo que considera dicha simplificación para posteriormente eliminarla y considerar que las propiedades termodinámicas y de transporte molecular sí dependen de la temperatura (propiedades variables).

I/

PAGINA XIV

RESÚMEN

Los resultados obtenidos con el modelo actual son validados con datos experimentales de Bolt y Saad [8], Kumagai e Isoda [211 así como con los resultados obtenidos con los modelos matemáticos de Goldsmith y Penner t161, y Takeo y Osamu Nagano [381.

Por lo tanto se cuenta con un modelo confiable que se puede aplicar a otros tipos de combustibles de composición similar al utilizado en el presente trabajo. O bien se puede trabajar sobre la base del presente modelo y modificarlo para que pueda predecir parámetros de combustión de combustibles complejos (multicomponentes) tales como el combustóleo.

PAGINA xv

INTRODUCCI~N CAPITULO I

. .

1.1 IMPORTANCIA DEL ESTUDIO.

La importancia del estudio de la evaporación y combustión de una gota de combustible es fundamental para entender los procesos de combustión que ocurren en ensambles de gotas de hidrocarburos líquidos producidas por atomizadores. Los atomizadores forman parte del dispositivo principal de los sistemas de combustión en hornos, máquinas diesel, calderas, motores de cohetes y turbinas de gas, por mencionar los más importantes. El proceso de atomización es fundamental para lograr una mejor eficiencia en combustión, con el mínimo de emisión de contaminantes [371.

PAGINA I

1.2.ANTECEDENTES.

Los análisis teóricos de combustión de sprays (combustible en forma de rocío) en sistemas que operan con combustibles líquidos a menudo usan la aproximación determinística t34] la cual requiere cálculos simultáneos de estimación de trayectorias y vaporización de gotas individuales. Estas gotas son inyectadas en una cámara de combustión a tiempos diferentes y tienen distintas velocidades. La predicción de las características importantes como la geometría del spray o una posición de ignición dependen significativamente del modelo seleccionado para el análisis de combustión y vaporización de una sola gota de combustible.

Una extensa aplicación del fenómeno de combustión de gotas se ha realizado en épocas anteriores, pero es solamente en los Últimos 30 años cuando se comenzaron a concentrar esfuerzos por entender los mecanismos involucrados. Por ejemplo, los primeros trabajos de Godsave [14,151, Spalding 1361 y Penner [161, permiten ahora expander sus ideas para considerar modelos más realistas sobre la combustión de una sola gota de combustible.

El modelo clásico de evaporación de una gota esta descrito en muchos libros de texto sobre combustión ([231 y C391). Por otro lado, análisis basados sobre el caso clásico esfero-simétrico con combustión en una atmósfera infinita oxidante han sido realizados por varios investigadores [3,13,161. En general las mediciones experimentales del quemado de una gota de combustible tienden a mostrar las tendencias de distribución de los perfiles de temperatura y concentración de combustible y oxidante que predicen estos modelos. Sin embargo, se encuentra que existen aún contradicciones referentes a la localización de la flama y a la constante de velocidad de quemado de la gota, así como lo indican Lin, et, al., [241; y Liíían y ~i i i i i tms , HI.

PAGINA 2

INTRODUCCI~N CAP~TULO I

En modelos donde se consideran propiedades físicas constantes se encuentra que (para n-heptano) la zona de reacción ocurre a una distancia aproximadamente de 32 veces el radio inicial de la gota [3,401. Si las propiedades dependen de la temperatura, entonces las dimensiones del radio de la flama (la relación del radio de la flama a el radio de la gota de combustible líquido) varía en un rango de 10 a 25 [16,181.' Evidencias experimentales 121,221 muestran que las dimensiones del radio de la llama varía de 8 a 10 cuando los efectos gravitacionales se encuentran ausentes en el sistema usado para su medición [241.

Por lo tanto, debido a las contradicciones referentes a la localización de la flama y a la constante de combustión, el objetivo de la presente investigación es desarrollar un modelo propio para analizar las características de los procesos de combustión de gotas.

1.3 OBJETIVO GENERAL

Desarrollar un modelo matem ico para poder predecir los fenómenos de transporte de masa, momento y energía que ocurren simultáneamente en el proceso de combustión de gotas de hidrocarburos.

1.4 CONSIDERACIONES DEL TRABAJO.

Hay que tomar en cuenta que el proceso de combustión de una gota es altamente no lineal a causa de la fuerte interacción que existe entre los mecanismos de reacción química con los de transporte molecular. La descripción de dicho problema es compleja y ciertas simplificaciones son necesarias para poder llevar el problema a un nivel adecuado para ser tratado matemáticamente. Las

PAGINA 3

CAPITULO I INTRODUCCIÓN

consideraciones adoptadas para dicho modelo matemático deben contener las características fundamentales del proceso sin alterar su evolución en el tiempo. Por tanto el modelo obtenido toma en cuenta a las ecuaciones de conservación de masa, momento y energía con ciertas simplificaciones. A causa de la no linealidad de las ecuaciones diferenciales es necesario que el sistema de ecuaciones acopladas de transporte se resuelva simultáneamente por medio de métodos iterativos aplicando técnicas numérico-computacionales.

Es costumbre usar en los modelos algebraicos (aquellos que se obtienen resolviendo las ecuaciones diferenciales lineales) las siguientes suposiciones: simetría esférica, estado estacionario, composición estequiornétrica, zona de flama de espesor infinitamente pequeño, transferencia de calor por conducción de la flama haciarla gota, presión constante y temperatura uniforme dentro de la gota. Además se considera recirculación núla en la gota, propiedades termodinámicas constantes. Se considera también al combustible como una mezcla homogénea y se desprecian los términos de transferencia de masa.

El modelo de combustión para gotas que se propone, supone que varias de las restricciones anteriores son válidas, pero considera que las propiedades termodinámicas y de transporte no son constantes, y además toma en cuenta el flujo convectivo con transferencia de masa en la región difusiva entre la superficie de la gota y la zona de flama. Uno de los objetivos del desarrollo de este modelo consiste en producir parámetros de combustión tales como: la constante de combustión, tiempo de combustión, diámetro de la gota, etc.

I .5 TRABAJO A DESARROLLAR

En el capitulo 2 se considera que las propiedades termodinámicas y de transporte molecular son constantes. Dichas propiedades se calculan con base en una temperatura promedio (temperatura de ebullición del líquido y temperatura

PAGINA 4

1 IN RODUCCI~N

aproximada de ílama dividida entre dos) la cual se determina de acuerdo al tipo de combustible que se analiza. La aproximación de considerar las propiedades fisicoquímicas constantes tiene una gran ventaja. Primeramente, permite el desarrollo del modelo matemático (“combustión de una gota de combustible”) en un tiempo relativamente corto a causa de su reducida complejidad. Por otro lado, tal análisis tiene como finalidad establecer la cimentación para poder continuar con una segunda fase, la cual consiste en incorporar propiedades en función de la temperatura, al modelo con propiedades constantes.

En el capitulo 3 se presentan los resultados del modelo con propiedades constantes, además el modelo es validado con mediciones experimentales reportadas en la literatura, para que de esta manera se pueda establecer sus ventajas y limitaciones. Las predicciones obtenidas con este modelo sirven también para comprobar la eficiencia de modelos algebraicos existentes, en los cuales expresiones analíticas han sido derivadas eliminando el acoplamiento entre las ecuaciones de transporte suponiendo un gran número de simplificaciones.

Investigaciones recientes indican que el diámetro de gotas de.aceites pesados no sufren una disminución monótona de su diámetro con el tiempo, sino que primero incrementa su diámetro a causa de un proceso de expansión causado por un alto contenido de asfáltenos, lo cual va acompañado a su vez de una alta viscosidad y un alto contenido de vanadio y azufre en la gota. Una vez alcanzada la temperatura de saturación en la superficie de la gota, comenzará la evaporación y posteriormente su combustión con una disminución lineal del cuadrado del diámetro de la gota como función del tiempo 141.

./

. En virtud de este comportamiento no lineal de expansión en la gota, el capitulo 4 presenta la forma de como se calculan las propiedades termodinámicas y de transporte molecular en función de la temperatura. Dichas propiedades posteriormente son incorporadas al modelo de propiedades constantes. Aquí también

PAGINA s

CAPITULO 1 INTRODUCCI~N

se presentan los resultados del modelo con propiedades variables y las comparaciones correspondientes con el modelo de propiedades constantes.

En el capitulo 5 se presenta un modelo ("dinámica y evaporación de una gota") para determinar la razón de evaporación, temperatura en la superficie de la gota y variación del radio, de una sola gota de combustible inyectada en una corriente de aire caliente.

Finalmente se presentan las conclusiones generales sobre el presente trabajo y sugerencias para trabajos futuros

1.5.1 ACTIVIDADES GENERALES I/

Las actividades generales a seguir para el modelo de "combustión de una gota de combustible", son:

a) La realización de la formulación matemática.

b) Obtener un sistema de ecuaciones algebraicas no lineales para la temperatura, y resolverse mediante un método iterativo tal como el de Gauss-Seidel acoplado con una iteración de Jacobi y un parámetro de sobrerrelajación para lograr una convergencia más rápida de la solución.

c) Discretización de las ecuaciones diferenciales que describen el proceso de combustión de una gota mediante diferencias finitas. El método de diferencias finitas es preferido aquí debido a la simetría del problema. De esta manera la distribución de los nodos ocurre de forma natural, ya que se encuentran reportadas en la literatura las ecuaciones de conservación en coordenadas esféricas.

PAGINA 6

CAP~TULO I INTRODUCCI~N

d) Escribir un programa en FORTRAN 77.

e) Validar el modelo con mediciones experimentales de combustión de gotas de otros autores, así como con expresiones analíticas existentes en la literatura, tales como las que se describen en la referencia [241.

I) Modificar el programa obtenido en la primera etapa (modelo con propiedades constantes) para incorporar las propiedades termodinámicas y de transporte como función de la temperatura (conductividad térmica, coeficiente de difusión, capacidad calorifica, densidad de la mezcla).

"Las actividades generales a seguir para el modelo de "dinámica y evaporación de una gota", son:

a) Realizar la formulación matemática.

b) Escribir un programa en FORTRAN 77 para dar solución al sistema de ecuaciones diferenciales obtenido.

c) Validar el modelo con expresiones analíticas existentes en la literatura, tales como las que se describen en la referencia [ll.

PAGINA 7

CAP~TULO I INTRODUCCI~N

1.6 PRODUCTO Y BENEFICIOS ESPERADOS.

Este trabajo es parte de los proyectos de investigación que se realizan en el Instituto de Investigaciones Eléctricas (HE.), en coordinación con la Comisión Federal de Electricidad (C.F.E.) referentes al quemado de combustibles líquidos (combustóleos), los cuales se utilizan en las centrales Termoeléctricas del País. Ya que actualmente no se cuenta con algún modelo matemático propio que pueda predecir los efectos no lineales en la combustión de gotas, este modelo será útil para modelar dicho fenómeno.

liPor tanto se contará con un modelo matemático que permita determinar la variación del diámetro de una gota de combustible y la posición de la zona de reacción como función del tiempo al llevarse a cabo su combustión en presencia de una atmósfera oxidante. Una vez calibrado el modelo, éste puede servir para modelar otros tipos de combustibles. Con esto se logra que se canalicen los fondos que se tienen, que invertir en realizar experimentos para determinar las características fundamentales de quemado de otros combustibles tales como emulsiones. Este tipo de modelos proporcionan información importante para el diseño de cámaras de combustión.

PAGINA 8

CAPITULO z PROPIEDADES CONSTANTES

CAPíTULO ,

" "COMBUSTIÓN DE UNA GOTA DE COMBUSTIBLE" . .

(PROPIEDADES CONSTANTES) I

2.1 INTRODUCCIÓN AL MODELO En la mayoría de los dispositivos productores de energía y en los hornos, los

combustibles líquidos se inyectan en la zona de combustión en forma de pequeñas gotas. El tamaño de la cámara de combustión depende en parte del tiempo requerido para la vaporización y el quemado.

Por lo anterior se debe determinar como dependen la velocidad de combustión y el tiempo de evaporación de : el calor de combustión del combustible, su volaiilidad, su requerimiento de oxígeno, la concentración de oxígeno del combustible, así como conocer cuantitativamente los efectos de movimiento relativo, flotación, etc. [7].

Por lo tanto, aquí se presenta un modelo matemático sencillo, el cual presenta suficiente realismo (sección 2.2) como para predecir los principales parámetros involucrados en la combustión de una sola gota aislada de combustible.

PAGINA 9

CAPiTULO 2 PROPIEDADES CONSTANTES

2.2 CONSIDERACIONES !

El modelo matemático de la combustión de una gota de combustible, se esta basando en las siguientes suposiciones:

'1) La velocidad de reacción química es infinitamente alta, tal que la reacción química toma lugar solo en la frontera de la flama (zona infinitamente delgada).

OBSERVACIÓN: Debido a que la reacción química entre el vapor combustible y el oxígeno toma lugar en la superficie de composición estequiométrica, la presión parcial del vapor de combustible y del oxígeno son cero en la superficie de reacción.

2) Los procesos ocurren bajo una condición isobárica.

,3 ) El sistema de combustión tiene una simetría esférica como se muestra en la figura (2-1). La gota de simetría esférica de radio rL esta rodeada por una flama concéntrica de radio rc, la cual divide el sistema de combustión en dos regiones: región 1, entre la gota de combustible y la flama, y la región 2, fuera de la flama. En la región 1 no hay oxígeno, y en la región 2 no hay vapor de combustible. Los productos de la combustión se difunden de la flama hacia la región 2.

En la región 1 el vapor de combustible se difunde de la superficie de la gota a la flama, mientras el nitrógeno se difunde de la flama a la superficie de la gota. En la región 2, el oxígeno se difunde fuera de la región 2 hacia la flama mientras los productos de la combustión se difunden de la flama hacia fuera de la región 2.

PAGINA 10

. .

CAP~TULO z PROPIEDADES CONSTANTES

OBSERVACIÓN: En la práctica la mayoría de los sprays de combustible líquido tienen un amplio rango de tamaños de gota, con un tamaño de gota promedio de 75 a 130 p m y un tamaño máximo de gota de 250 pm. Mediante mediciones experimentales se ha encontrado que con excepción de solamente unas cuantas gotas grandes (200 pm), todas las gotas son esféricas, por lo que la suposición de que la gota es de simetría esférica es aceptable [51.

Como se considera que el proceso ocurre a presión constante, el vapor combustible y el nitrógeno se desplazan en forma perpendicular a la superficie de la gota por lo que no se considera convección natural. Por otro lado en la práctica, cuando se quema combustible en forma de sprays, al inyectar el combustible en forma de gotas también se inyecta aire de tal forma que la velocidad relativa entre las gotas y el aire es pequeña por io que los efectos convectivos son despreciados. Debido a que no se considera convección, la flama que se forma alrededor de la gota por lo tanto se considera con simetría esférica.

FIG. 2-1 .- Combustión de una sola gota de combustible

PAGINA 11

CAPITULO 2 PROPIEDADES CONSTANTES

4) El calor es transferido por conducción de la flama a la gota para proveer el calor latente de evaporación de el combustible líquido.

5) Los efectos de la radiación térmica sobre la combustión son despreciados.

COMENTARIO: Como el proceso de combustión se divide en : Calentamiento del combustible, evaporación y combusiión, y ya que el tiempo de combustión es mucho mas pequeño (aproximadamente 1/3 del proceso de combustión [51) que el tiempo de calentamiento y de evaporación, los electos de radiación térmica debidos a la llama que rodea a la gota se desprecian.

,6) La temperatura de la gota esta uniformemente distribuida y se considera como 90% de la temperatura de evaporación de el combustible líquido [SI

7) El vapor combustible y los gases involucrados se consideran como gases ideales.

8) Se considera que las propiedades termofísicas no dependen de la temperatura (propiedades constantes).

9) Estado cuasi-estable (ver sección 3.1).

PAGINA 12


2.3 MODELO MATEMÁTICO

El proceso matemático se presenta a continuación.

Haciendo referencia a la figura (2-l), se observa que existe una transferencia de masa de vapor combustible de la superficie de la gota hacia la zona de flama. Así también el aire que se encuentra en la región 2 (hacia afuera de la zona de flama), aportas.oxígeno que se consume totalmente en la flama y nitrógeno que atraviesa la zona de flama y circula hacia la superficie de la gota, por lo que también existe una transferencia de masa de nitrógeno de la zona de flama hacia la superficie de la gota.

Por lo tanto se procede a encontrar una ecuación que nos permita calcular la transferencia de masa de cualquier especie a través del elemento dr, para que posteriormente se expresen las ecuaciones correspondientes al vapor combustible y al nitrógeno.

Partiendo de la ley de Fick de la difusión, tenemos que el flux de masa para una cierta especie a esta dado por:

ya que la fracción masa (Y) esta expresada en términos de la fracción mol (y) de la siguiente manera

PAGINA 13

CAPíTULO 2 PROPIEDADES CONSTANTES

se puede sustituir en la ecuación (2-1) para obtener el flux de masa en términos de la fracción mol

ahora como la fracción mol también se puede definir por

PU y =- u P '

obtenemos el flux de masa en términos de la presión parcial de la especie a

,wu ap, w a r . mu =-pD--

De la ecuación de los gases ideales se tiene que

RO P = pRT= p-T W ' (2-6)

por lo :que el flux de masa queda expresado de la siguiente manera

w como el flux de masa es el flujo másico por unidad de área, mu = m / A , donde A para nuestro caso es el área de la superficie de una esfera, se tiene que:

I

PAGINA 14

CAP~TULO 2 PROPIEDADES CONSTANTES

Ahora bien, aplicando la ecuación (2-8) al vapor combustible y al nitrógeno, se obtienen las ecuaciones para la transferencia de masa (flujo másico) de combustible, de la superficie de la gota hacia la flama y la transferencia de masa de nitrógeno, de la zona de flama hacia la gota, a través del elemento diferencial dr de tal forma que para el combustible

4nr; dP, ROT dr I

mF = -DWF --

y para,el nitrógeno

(2-10)

El coeficiente de difusión de las ecuaciones (2-9) y (2-10) puede ser determinado por la siguiente ecuación semi-empírica [24]

1.6

D = (5.94m6($) (2-1 1)

Hasta aquí se ha analizado el vapor combustible que se difunde de la superficie de la gota a la zona de flama en donde se quema estequiométricamente, así como el nitrógeno que se difunde de la zona de flama hacia la superficie de la gota. Ahora bien, como el nitrógeno que llega a la superficie de la gota no la puede penetrar, tiende a regresar de la superficie de la gota hacia la zona de flama, por lo que se puede

PAGINA 15


encontrar la transferencia de masa del nitrógeno que regresa por medio de la ecuación de continuidad. c

PN2 ( hN2)* = p N 2 ~ v = pN24nr2v = - wN24n r2v Ro

(2-12)

donde V es la velocidad total de masa en dirección de la superficie de la gota hacia la zona de flama. V se calculará enseguida.

Como el nitrógeno que entra a través del elemento dr en dirección hacia la gota debe ser igual al nitrógeno que atraviesa dr de la gota hacia la zona de flama, igualando las ecuaciones (2-10) y (2-12) se tiene

de donde se obtiene la velocidad total de masa

(2-14)

Como el nitrógeno que regresa de la superficie de la gota hacia la zona de flama causa un flujo de vapor combustible extra, se hace un análisis similar para este flujo extra de combustible, como el que se realizó para obtener la ecuación de transferencia de masa para el nitrógeno que regresa (ecuación 2-12), con lo cual se obtiene

1

* P F W F

Ro T (m,) =--(4nr?V. (2-15)

Sustituyendo la ecuación (2-14) en la ecuación (2-15)

PAGINA 16


(2-16)

Por consiguiente el transporte de masa total (flujo másico) del vapor combustible es la suma de las ecuaciones (2-9) y (2-16), dado por la siguiente ecuación

de donde

(2-18)

De la ley de Dalton se sabe que

PMEZCLA = P,, + P,, + P,, + . .. .. = zip, (2-19)

la suma de las presiones parciales del vapor combustible y nitrógeno da la presión total (presión atmosférica), la cual en este caso, es una constante

PF + PN2 = P = CONST. (2-20)

Derivando la ecuación (2-20) con respecto a r tenemos que dP/dr = O y

dPF - dPN2

dr dr (2-21)

PAGINA 17


’ Sustituyendo la ecuación (2-21) en la ecuación para el flujo total de masa (ecuación (2-lE)), y trabajando con ella se tiene que

(2-22)

sustituyendo la derivada de la presión parcial de combustible con respecto a r en lugar de la derivada de la presión parcial de nitrógeno (ecuación (2-21))

tomando como factor común divisor a la presión parcial de nitrógeno se tiene que

aplicando la ecuación (Z-ZO), la ecuación (2-25) se kansiorma en

(2-24)

(2-25)

De la ecuación (2-20) PN2 = P-PF , por lo tanto se obtiene finalmente la ecuación para calcular el flujo de masa total de vapor combustible

PAGINA 18


(2-27)

Expresando la ecuación (2-27) en términos de la presión parcial de nitrógeno (PN2), se tiene

(2-28)

En lo que respecta a el calor requehdo para la evaporación del combustible, se puede encontrar por medio de la ecuación de conducción de calor, en la superficie de la gota de acuerdo a la ley de Fourier.

(2-29)

en donde A es el área de la superficie de una esfera y hfg el calor de evaporación. Considerando una conductividad térmica promedio se obtiene la expresión

que al combinarse con la ecuación (2-28) resulta que

(2-30)

(2-31)

PAGINA 19


dT dr K4nr; -

Resolviendo para la derivada de la presión parcial de nitrógeno con respectoa a r, y reacomodando

R,TP,,

v = - ~ - - PN2 dr PN,h,gDWFP i-I r - dr

- dr hlg 4nDWFrZP

1

o también

dPNz kRoTPNz rL 'dT dr h,,DWFP (7) dr -- -

(2-32)

(2-33)

Sustituyendo la ecuación (2-33) en la (2-141, para expresar la velocidad total de masa en función de la temperatura se tiene

o en forma más compacta

r=rL

V =

(2-34)

(2-35)

Para la determinación de la distribución de temperatura en la región 1, la ecuación de energía unidimensional en coordenadas esféricas, puede ser usada. Esta ecuación tiene la siguiente forma

PAGINA 20

\


_ _ ~CPKR,,T(-)'C -

(2-36)

Sustituyendo la ecuación (2-35) en la (2-36)

se encuentra que

-_

(2-38)

de donde

(2-39)

'F hlg Si hacemos que a = -- entonces finalmente se obtiene la PCP R,

ecuación que nos permite calcular el perfil de temperaturas en la región 1 (Fig. 2-1).

(2-40)

Las condiciones de frontera requeridas para resolver la ecuación (2-40) pueden ser expresadas por [241

PAGINA 21

CuJTnO DE INFORMACION . -ii..rC.

CAPlTULO 2 PROPIEDADES CONSTANTES

$rL) = o . ~ T , (2-41)

(2-42)

Ya que se tiene la ecuación para calcular el flujo másico total de vapor combustible y la ecuación para calcular el perfil de temperaturas, nos resta encontrar una ecuación para la determinación del tiempo de quemado de la gota de combustible.

Para encontrar una ecuación que nos permita calcular el tiempo de quemado, se aplica la ecuación de continuidad en su forma integral sobre la superficie de la gota. La difusión de masa total del vapor combustible a través del espacio diferencial dr es

a at

- S A

- V. n dA = - JIjp, dv (2-43)

En donde el primer término de la ecuación es el flujo de masa total. En el segundo término la densidad del combustible líquido sale de la derivada debido a que es una constante y la triple integral de dv no es otra cosa mas que el volumen de la gota, es decir para una esfera v = (4 / 3171. r3 por lo tanto

Si aplicamos la formula de la derivada de una variable elevada a un dr dr"

dt dt n-l - -_

- nr se tiene que exponente n

PAGINA 22

I1


(2-45)

expresando la ecuación (2-45) en términos del diámetro de gota dL , resulta

~ F , T O T A L = -471: PLiq (2-46)

Como dL=2rL finalmente encontramos la ecuación que nos permite calcular el tiempo de quemado

(2-47)

La solución del problema involucra la solución simultánea de las ecuaciones (2-27),(2-30).(2-40),(2-47). ,/

4.2 SOLUCIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES El sistema de ecuaciones que resulta del desarrollo matemático es:

(2-40)

(2-30)

(2-27)

PAGINA 23


(2-47)

Debido a que el sistema de ecuaciones es de segundo orden y no lineal su solución se encuentra por medio de un método numérico. Por lo tanto como primer paso, el sistema de ecuaciones se discretiza en forma de diferencias finitas como se muestra en el apéndice A, y se obtiene una serie de ecuaciones algebraicas y su solución se encuentra mediante un método iterativo, tal como el de Gauss - Seidel, acoplado con una iteración de Jacobi y un parámetro de sobrerrelajación, para lograr una convergencia más rápida de la solución.

El algoritmo de solución es como sigue; de la ecuación (2-40) podemos encontrar el perfil de temperatura. Con el perfil de temperatura conocido, de la ecuación (2-30) se puede conocer el flujo de masa total de vapor combustible. Posteriormente con el flujo de masa conocido, con la ecuación (2-27) se puede conocer el perfil de presiones del vapor combustible. Finalmente también conociendo el flujo de masa total del vapor combustible, mediante la ecuación (2-47) podemos conocer el tiempo de quemado de la gota.

PAGINA 24

~~ ~ ~

11

CAPITULO 3 RESULTADOS Y VALIDACIÓN

PARA PROPIEDADES CONSTANTES

3.1 RESULTADOS ESPERADOS

Existen varias teorías para la combustión de una gota de combustible en estado cuasi-estable, de las cuales se tienen resultados que nos sirven como indicador para comprobar el comportamiento del modelo desarrollado.

1)

Las condiciones que se deben cumplir en estado cuasi-estable son [51:

1) El tiempo de quemado de la gota es proporcional a la primera potencia del diámetro de la gota. Esto implica que el cuadrado del diámetro decrece linealmente con el tiempo.

2) La razón dJdc es constante durante la combustión.

PAGINA 2s

CAPíTULO 3 RESULTADOS Y VALIDACIÓN

3) La temperatura de flama es constante e igual a la temperatura de flama adiabática. La flama esta formada en el lugar donde la razón de flujos de combustible y oxígeno esta en proporciones estequiométricas.

4) La fracción peso del vapor cómbustible en la superficie de la gota es menor que la unidad, entonces la temperatura de la superficie de la gota es menor que la temperatura de ebullición del combustible.

5) La razón de quemado de combustible es independiente de la presión total.

6) Las propiedades físicas que tienen un efecto dominante sobre el tiempo de combustión son: el calor latente de evaporación del combustible, el calor específico, la conductividad térmica de la mezcla vapor-gas, y el calor de combustión.

7) La cinética química no tiene efecto sobre el tiempo de combustión.

La figura (3-1) muestra un bosquejo de la tendencia esperada para la temperatura y presiones parciales en la región 1 (de la superficie de la gota a la zona de flama), y en la región 2 (fuera de la zona de flama), para un modelo de estado cuasi-estable con propiedades termodinámicas y de transporte molecular independientes de la temperatura.

PAGINA 26

3 RES LTA OS Y VALIDACIÓN

Too

4 SUPERFICIE FLAMA FRONTERA

ATMOSFERICA NOTA: 1 . 6 PRESIONES PmIALES NO ESWN A ESCALA.

FIG. 3-1 Variación de temperatura y presión en un modelo de dos regiones [ZO].

3.2 RESULTADOS DEL MODELO

Los parámetros predichos con el modelo matemático presentado en éste trabajolson calculados entre la superficie de la gota y la zona de flama. Dichos parámetros son: temperatura, presión parcial de vapor combustible, presión parcial de nitrógeno, variación del diámetro de flama y diámetro de gota, tiempo de combustión. así como la constante de combustión.

3.2.1 TEMPERATURA Y PRESIÓN

La temperatura tiene una distribución parabólica que comienza en la superficie de la gota con un valor de 334.35 K, el cual es la condición de frontera

PAGINA 27

CAPiTULO 3 RESULTADOS Y VALIDACI~N

0.9TB, y termina en la zona de flama con un valor de 1812 K, sobre la otra frontera (valor para n-heptano tomado de datos experimentales [241).

La presión de combustible también obedece una distribución parabólica debido u la no linealidad de las ecuaciones. Comienza con un valor de 73315.0 N/m2 en la superficie de la gota (valor para el n-heptano tomado de datos experimentales [24]) y termina en 0.0 N/m2. El criterio usado para resolver el sistema de ecuaciones, consiste en suponer que la flama se localiza en donde la presión del combustible se hace cero.

La presión del nitrógeno se calcula simplemente restando la presión de combustible de la presión total (presión atmosférica (101325 N/m2)).

En la tabla (3-1) se presentan los datos de una solución convergente del modelo, ,y su gráfica correspondiente se muestra en la figura (3-2).

TABLA 3-1.- Datos del modelo actual para temperatura (TI, presión de combustible (PF) y presión de nitrógeno (PN2). Para una gota de n-heptano (C&).

PAGINA 28

CAPITULO 3 RESULTADOS Y VALIDACI~N

....,, . . .. . . ..

O ' . . . . mm O O 1 2 3 diL 4 5 6 7 o

FIG. 3-2.- Predicción de temperatura (TI, presión de combustible (PF), y presión de nitrógeno (PN2) para la combustión de una gota de n-heptano (C1HI6), con el modelo desarrollado.

3.2.2 DIÁMETRO DE LA GOTA AL CUADRADO ( dLZ) / ,

La ecuación (A-23) expresa la ley del diámetro al cuadrado, la cual indica que durante la combustión la razón de cambio del cuadrado del diámetro de la gota es igual a una constante k, la cual se conoce como constante de combustión.

Por medio del modelo actual se determinó que para n-heptano la constante de combustión tiene un valor de 1.79 mm2/s. Nuruzzaman [26], experimentó sobre la combustión de gotas suspendidas de combustibles monocomponentes, y encontró que para n-heptano la constante de combustión tiene un valor de 0.97 mm2/s, el cual es solamente el 50% del reportado por Godsave [261, y un 54% del valor obtenido mediante el modelo actual. El resultado arrojado por el modelo actual es aceptable, ya que la diferencia estriba en que la constante de combustión varía

PAGINA 29

CAPITULO 3 RESULTADOS Y VALIDACIÓN

apreciablemente, dependiendo del número de gotas y la distribución en la que se encuentren. Si la separación entre gotas es demasiado reducida, la cantidad de oxígeno disponible para cada una de ellas se reduce, lo cual incrementa la distancia entre la flama y la gota, decreciendo también la temperatura de flama. Como resultado de lo anterior, los gradients de temperatura entre la gota y la flama se reducen y como consecuencia una reducción en la constante de combustión.

La ley del diámetro al cuadrado predice un comportamiento lineal del cuadrado de la gota con el tiempo. Este fenómeno ocurre normalmente en combustibles monocomponentes.

Para estado transitorio se ha encontrado que d(d2)/dt=k cambia en el periodo inicial de la combustión, para posteriormente aproximarse a valores constantes iguales a los obtenidos del estado cuasi-estable.

Debido a que el combustible tratado en este trabajo es n-heptano (C7H,J, el cual es un compuesto sencillo (monocomponente), si presenta el comportamiento línea1 'que predice la ley del diámetro cuadrado. Los resultados se presentan en la tabla (3-2) y su gráfica correspondiente en la figura (3-3).

TABLA

TIEMPO [Seg.] d, [mm ] 0.00000 0.42406 0.80329 I. 13765 1.42858 144 1.67359 1.87443 2.02815 2.13681 2.19809

3-2.- Datos de diámetro de gota al cuadrado conforme pasa el tiempo.

PAGINA 30

CA \TUL03 RESULTADOS Y VALIDACI~N

0 0 02 0.4 0.6 0.0 1 1.2 1.1 1,6 1.0 2 2.2 2.4

I [SeQl

FIG. 3-3.- Variación del cuadrado del diámetro de gata en el tiempo para una gata de n- heptano.

3.2.3 RELACIÓN ENTRE d, (DIÁMETRO DE FLAMA) Y d,.(DIÁMETRO DE GOTA)

Otra relación importante en el quemado de una gota de combustible es la que ocurre entre el diámetro de gota y diámetro de flama. Dicha relación nos dice coma se comporta la flama al variar el tamaño de gota conforme la combustión ocurre.

Para estado transitorio, mientras que el diámetro de gota comienza a disminuir debida a la evaporación, el diámetro de la flama comienza a crecer hasta llegar a un máximo para posteriormente disminuir, por lo tanto la gota desaparece antes gue la flama. Dicho fenómeno se muestra en la figura (3-4).

'I

PAGINA 3 1

CAP~TULO 3 RESULTADOS Y VALIDACI~N

, GOTA LA W T A

DESAPARECE ANlES OVE LA FLAh TIEMPO

B

FIG. 3-4.- Apariencia del quemado de una gota de combustible bajo condiciones de estado tÍansiiorio 1201.

Pero para el caso presentado en el modelo actual (estado cuasi-estable), la relación entre el diámetro de gota y diámetro de ‘flama es constante como se mencionó en la sección 3.1. Por lo tanto en la figura (3-5) se muestra esta relación obtenida con el modelo actual, y se observa que la relación entre diámetros es lineal, ya que conforme disminuye el tamaño de gota, disminuye el tamaño de flama en forma proporcional.

PAGINA 32


o 1 , I I I I I , I I I

0 0.2 0.4 0.0 0.0 1 1.2 1.4 1.6 1.0 2 d, [mml

FIG. 3-5.- Relación entre el diámetro de gota (dL) y diámetro de flama (d3.

3.3 VALIDACIÓN DEL MODELO.

El modelo matemático que se ha desarrollado es una representación simplificada del proceso de quemado de gotas de combustible, ya que posee las características generales, pero no la totalidad de éstas. Sin embargo aún con las restricciones impuestas una serie de ventajas se pueden obtener. Las ventajas del modelo son:

Se pueden predecir los parámetros de combustión de gotas en forma más rápida y económica. Se puede fácilmente modificar el modelo para calcular los parámetros de quemado de combustibles con características similares al tratado en el presente modelo.

PAGINA 33

CAP~TULO 3 RESULTADOS Y VALIDACI~N

e Muy útil cuando no se cuenta con un laboratorio o con equipo para realizar experimentación.

Existen numerosos modelos que describen el proceso de combustión de gotas de combustible. Algunos consideran ciertos fenómenos y desprecian otros, por 10 tanto todos tienen sus ventajas y limitaciones. Ningún modelo considera totalmente a todos los fenómenos involucrados en la combustión de gotas, ni tampoco se pueden aplicar a todos los combustibles líquidos. Aquellos modelos que han mostrado resultados satisfactorios y que se apegan más a las consideraciones del modelo presentado en este trabajo, se han seleccionado para validar las prediciones obtenidas con nuestro modelo.

Bolt y Saad [81 reportan datos experimentales de la ley del d2 para n-heptano, con una temperatura del medio ambiente de 800 "C. Mientras que Takeo Saitoh y Osumu 'Nagano [38] realizan un modelo matemático para la combustión de n- heptano bajo las siguientes suposiciones:

0 Simetría esférica La radiación de la flama es despreciable. La convección en la zona de la gota es pequeña Propiedades termodinámicas y de transporte variables. La reacción química en la zona de flama obedece a la ecuación de

Estado transitorio. Arrenius de un solo paso y de segundo orden.

La figura (3-6) muestra la comparación de la ley del d2 de este trabajo contra los datos experimentales de Bolt y Saad y el modelo matemático de Takeo Saitoh. Se observa que los resultados obtenidos con el modelo actual cumplen satisfactoriamente, aun cuando el modelo matemático contra el cual se compara considera que la reacción química ocurre de acuerdo a una reacción de un solo paso, estado'transitorio y que las propiedades no son constantes.

PAGINA 34


0.6 --

MODELO ACTUAL

N a v

0.4 --

0.2 -

O l / I I I I I I I I

Yr 6 [s/mmZ]

FIG. 3-6.- Comparación del la ley del d2, del presente trabajo, datos experimentales de Bolt y Saad , y el modelo matemático de Takeo Saitoh y Osamu Nagano.

Otros parámetros de comparación son la variación en el tiempo de rJrL, así como rc. La figura (3-7) muestra la comparación entre datos del modelo matemático de Takeo Sahitoh y Osumu Nagano contra los resultados del actual trabajo para rJrL Y rc

Se nota que el radio de flama del modelo actual desde el principio comienza a disminuir mientras que rJrL se conserva constante, tal como lo predice un modelo en estadot cuasi-estable (sección 3.1). Los resultados correspondientes del modelo de Takeo*Sahitoh y Osumu Nagano muestran lo que se comento anteriormente (sección 3.2.3) para un modelo de estado transitorio. Por lo tanto la diferencia estriba en las consideraciones hechas para la realización de cada modelo, siendo la principal el estado cuasi-estable que se considera en el presente modelo. Por lo tanto el objetivo de esta comparación es mostrar que efectivamente, los dos modelos arrojan los resultados esperados para cada estado de trabajo considerado en cada uno de ellos.

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CAPiTULO 3 RESULTADOS Y V A L I D A C I ~ N

l o

I Ir (TAKEO! - c I. _ _ _ - - - . _--

-- _ _ _- - - - ~ - - - , -

~ - r /r (MODEIU ACIUAL) - > ’ C L

FIG. 3-7.- comparación de rJrL y rc en el tiempo, entre el modelo actual y el modelo de Takeo Saitoh y Osamu Nagano.

En la figura (3-8) se presenta la localización del diámetro de flama dc, entre los datos experimentales de Kumagai e Isodra Di], el modelo matemático de Goldsmith y Penner [161, y el modelo desarrollado en el presente trabajo. En la figura se observa que el modelo matemático del actual trabajo arroja resultados satisfactorios ya que se apega en mucho a los del modelo matemático de Goldsmiht y Penner, y difieren un poco de los datos experimentales de Kumagai e Isoda.

PAGINA 36

CAPíTULO 3 RESULTADOS Y VALIDACI~N

10

- E E I

u D

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . ..........

. . . . . .

. , . . . . , . . . . . . , . . . . . , .

. . . . < . , . .

o, 2

J 2

FIG. 3-8.- Comparación de la localización del diámetro de llama (dc), del modelo actual, datos experimentales de Kumagai e Isoda ye1 modelo matemático de Goldsmith y Penner.

PAGINA 37

CAP~TULO 4 PROPIEDADES VARIABLES

CAPTüLO

. . i. . ~, . . .,.

(PROPIEDADES VARIABLES)

4.1 I~TRODUCCI~N La primer etapa cubrió el fenómeno de combustión de una gota de

combustible con propiedades termofísicas constantes, por lo tanto ahora se tratará el mismo problema solo que las propiedades dependerán de la temperatura.

El objetivo de este capítulo, es considerar al modelo matemático con el menor número de simplificaciones. Ya que en realidad, debido al alto gradiente de temperaturas que se presenta en el fenómeno de combustión, el considerar que las propiedades termofísicas son constantes no es una buena aproximación y puede afectar el comportamiento de quemado de la gota.

PAGINA 38

CAPITULO 4 PROPIEDADES VARIABLES

4.2 PROPIEDADES TERMOFíSlCAS VARIABLES

Las propiedades termodinámicas y de transporte molecular se ven afectadas considerablemente, cuando se presenta un gradiente de temperaturas alto. En la tabla (3-1), se observa que de la superficie de la gota a la zona de flama hay un gradiente de 1477.5 K, y entre nodo y nodo existe un gradiente promedio'de 101.5 K. Por lo tanto es necesario introducir las propiedades termofísicas como función de la temperatura, para poder predecir con mejor exactitud estos gradientes de temperatura.

Las propiedades termofísicas que se determinarán como función de la temperatura en cada nodo (figura (A-I)), desde la superficie de la gota hasta la zona de flama son, la densidad de mezcla (p), la capacidad calorífica a presión constante de mezcla (Cp), y la conductividad térmica de mezcla (U. El coeficiente de difusión (DI, ya fue introducido como función de la temperatura desde el análisis del problema con propiedades constantes, por lo tanto no sufre modificación alguna.

Ya que las propiedades termofísicas son calculadas en función de la temperatura, es necesario tomar en cuenta a las propiedades de las especies involucradas (vapor combustible y nitrógeno), en la mezcla. Lo anterior es debido a que en cada nodo (fig. (A-l)), la composición química varía y por ende también las propiedades termodinámicas y de transporte molecular.

A continuación se presentarán las ecuaciones de las propiedades termofísicas en función de la temperatura. Dichas ecuaciones se introducen en el modelo matemático del capitulo 2 para realizar los cálculos correspondientes de las propiedades antes mencionadas, desde la superficie de la gota hasta la zona de flama.

PAGINA 39


4.2.1 DENSIDAD DE MEZCLA (p)

Las fracciones mol para dos sustancias que forman una mezcla binaria están dadas por [381

pa y =- a P '

para la especie a, mientras que para la especie b

Aplicando la ecuación (4-1) para nuestro casa, yF esta dado por

yF=pF/p I (4-3)

mientras que con la ecuación (4-2) se encuentra yN2 por medio de

YN2= l-xr . (4-4)

Las fracciones masa, tienen sus ecuaciones generales dadas por [381, por lo que presentamos salo las ecuaciones para nuestro cuso particular. Para el combustible se tiene que

y para el nitrógeno

(4-5)

(4-6)

PAGINA 40


La densidad de mezcla puede ser obtenida de la ecuación de estado de un gas ideal [381.

Aplicando la ecuación (4-7) a este caso, obtenemos la ecuación que se necesita para calcular la densidad de la mezcla compuesta por el vapor combustible y nitrógeno

4.2.2 CALOR ESPECÍFICO A PRESIÓN CONSTANTE DE MEZCLA (C,)

Para calcular el calor específico a presión constante de la mezcla (Cp), es necesario conocer el calor especifico correspondiente para cada especie en cuestión, por lo que primeramente se calcularan los calores específicos para vapor combustible y nitrógeno por separado, utilizando las siguientes ecuaciones [321.

,Para n-heptano&,H-) -

C, = - 5.146 + 0.6762T - 3.65ix10'*T2 + 7.658~10'~T~. (4-9)

Para nitróueno (NJ -

C, = 31.15 - 1.357~10-~T + 2.68x10-'T2 - 1 .168~10-~T~. (4-10)

PAGINA 41


El 'Cp para la mezcla puede ser calculado por medio de [381

(4-1 1)

Aplicando la ecuación (4-11) para este caso, se obtene la ecuación que necesitamos para calcular el calor específico a presión constante de la mezcla compuesta por el vapor combustible y nitrógeno

C P =Y& +YN2CPN,. (4-12)

4.2.3 CONDUCTIVIDAD TÉRMICA DE MEZCLA (K)

Para poder calcular la conductividad térmica de mezcla, se tienen que calcular algunos parámetros necesarios, los cuales están dados por las siguientes ecuaciones [lo]

(4-15)

En donde &,h es el parámetro de energía de interacción y k es la constante de Boltzmann, mientras que &,b lkes calculada por

(4-16)

PAGINA 42

CAPiTUtO 4 PROPIEDADES VARIABLES

Para nuestro caso

en tanto que

(4-17)

(4-18)

El valor de EN2/k que corresponde al nitrógeno se obtiene de tablas, mientras que EF/k que corresponde al combustible 'no se dispone en tablas por lo que se obtiene a partir de [lo]

=O.77Tc,. (4-19)

Por lo tanto, se puede encontrar la viscosidad del combustible y la viscosidad del nitrógeno aplicando los resultados de la ecuación (4-13) a las siguientes ecuaciones [lo]

para el combustible, mientras que para el nitrógeno

(4-20)

JWNZT

4 Z Q F N 2

pNz = 2.6693~10-~ (4-21)

PAGINA 43

CAPiTULO 4 PROPIEDADES VARIABLES

En donde oN2 es obtenido de tablas y oF es calculado mediante la siguiente ecuación [lo1

OF= 2.44(T,,/PC,). (4-22)

Con los resultados obtenidos con las ecuaciones (4-16) y (4-17) se puede encontrar la conductividad térmica de cada componente mediante las siguientes ecuaciones [lo1

K, =(Cq WF '

en tanto que

KN, =(cq, +;flop, 'NZ

donde1 C, y Cp,,son calculadas mediante respectivamente.

(4-23)

(4-24)

las ecuaciones (4-9) y (4-lo),

La conductividad térmica de mezcla puede ser calculada por la siguiente ecuación [321

(4-25) b=l

En donde esta dada por

PAGINA 44


(4-26)

Por lo tanto para este caso

Pero, como $FF=l y +NZN2=1 entonces

En donde YF esta dada por la ecuación (4-3), mientras que yN2 esta dada por la ecudción (4-4),en tanto que +m2 y +N2F están dadas por las siguientes ecuaciones [lo1

PAGINA 45


4.3 MODELO CON PROPIEDADES CONSTANTES Y MODELO CON PROPIEDADES VARIABLES

Al modificar el programa del modelo inicial (propiedades constantes) introduciendo las ecuaciones que calculan las propiedades termofísicas como función de la temperatura, éste arrojo resultados diferentes ai modelo inicial de manera significativa y satisfactoria.

4.3.1 COMPARACIÓN ENTRE MODELOS.

En general los resultados obtenidos por los dos modelos presentaron el mismo comportamiento. En particular los resultados del modelo con propiedades variables se aproximaron mejor a los resultados experimentales y analíticos de otros autores.

Por ejemplo en la tabla (3-1) se reportó que la relación r/rL tiene un valor máximo de 7.98, el cual es un valor apenas aceptable ya que se encuentra en el límite inferior (r/rL= 8) de los resultados experimentales y analíticos reportados por otros autores t211, mientras que el modelo con propiedades variables arroja resultados más aceptables (r/rL= 13) (ver figura 4-1), ya que para un modelo con propiedades variables la relación r/rL varia entre 10 y 25 [16, 181, tal como se mencionó en la sección 1.2.2. Para mostrar el valor máximo que alcanza la relación r/rL del modelo actual con propiedades variables, la comparación de los perfíles de presión y temperatura se muestran en las figuras (4-1) y (4-2) respectivamente.

.

PAGINA 46


FIG. 4-1.- Comparación de los perfiles de presión del vapor combustible y nitrógeno, entre el modelo con propiedades constantes y el modelo con propiedades variables.

PROPIEDADES CONSTANTE-5- - - .

PROPIEDADES VNIIm.ES 1.5W

W a

E 6cO

PROPIEDADES CONSTANTE-5- - - . .- PROPIEDADES VNIIm.ES

W a

E 6cO

PAGINA 47

CAPiTULO 4 PROPIEDADES VARIABLES

Otro de los parámetros importantes en la combustión de una gota de combustible es la ley del d2. Una forma de apreciar que efectivamente el modelo con propiedades variables es más realista, es viendo la figura (4-3) la cual muestra la comparación entre el modelo actual con propiedades constantes, el modelo actual con propiedades variables y los datos experimentales de Bolt y Saad [El.

En la figura (4-3) se observa que los resultados con propiedades variables se acercan más a los datos experimentales, debido a que dicho modelo , como se dijo anteriormente se apega más a la realidad.

: I seg I

FIG. 4-3.- Comparación de la ley del d2 entre los resultados del modelo actual con propiedades constantes, del modelo actual con propiedades variables y los datos experimentales de Bolt y Saad [81.

PAGINA 48

CAPITULO 5 DINAMICA Y EVAPORACIÓN DE UNA GOTA

c AP~TULO

DINÁMICA Y EVAPORACIÓN DE UNA GOTA I/

En los capítulos anteriores se analizó la combustión de una gota de combustible en reposo. Una manera más completa de estudiar dicho fenómeno, es analizar la gota en movimiento. Por lo tanto el proposito del trabajo que se presenta a continuación es el de analizar el fenómeno de la dinámica y la evoporoción que experimenta una gota al inyectarse dentro de una cámara de combustión moviendose relativa a un flujo de aire caliente.

5.1 TIPO DE ATOMIZADOR Para quemar combustible líquido dentro de una cámara de combustión de

una manera más eficiente, se hace necesario aumentar el área de contacto entre el combustible que se inyecta a la cámara y el aire que lo rodea. Debido a que la razón de combustión de un spray esta en función de: el tamaño y la distribución de velocidad de las gotas, las propiedades del combustible, y el mecanismo del proceso de mezclado, el combustible se debe inyectar por medio de atomizadores los cuales

PAGINA 49

CAPITULO 5 DINAMICA Y EVAPORACION DE UNA GOTA

desintegran al combustible en forma de spray (gotas'en forma de rocío), controlando la distribución espacial de las gotas.

El atomizador que emplea la energía cinética del aire, inyecta simultaneamente al aire y al spray (con una velocidad distinta a la del aire), en forma ra'dial. La figura 5-1 muestra éste tipo de atomizador.

LlOUlW

Q:..@:i. . . . . .., .. . :. . , ::. . .. .. : , . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . .. . . . .. '. . . . . . . . . . .

i ' . ' . : .. : . . ' .

. . . , .

FIG. 5-1.- Aiomizador de aire a presión

Considerando un atomizador de aire a presión, en el presente capítulo, se describe el fenómeno que experimenta una gota de n-decano (C,,,H2.J inyectada dentró de un flujo de aire caliente.

5.2 MODELO MATEMÁTICO Los modelos clásicos de evaporación de gotas se encuentran descritos en

muchos libros de texto sobre combustión [7,20]. Dichos modelos contienen varias simplificaciones, siendo una de ellas la de considerar a la gota como si se encontrara en un medio ambiente estancado (Re = O). El estudio que se indica a continuación asume que la razón de evaporación de la gota toma lugar mientras viaja desde la salida del atomizador hacia el interior de la cámara de combustión.

PAGINA 50

CAPITULO 5

Por simplicidad, consideraremos el caso donde el flujo de gas es unidimensional y la velocidad de la gota (U) es paralela a la dirección del flujo de gas (aire). Existen muchas situaciones complicadas, tal como un campo de flujo fluctuante. Este campo de velocidades es muy general y por tanto representativo del caso de particulas en movimiento generadas por atomización. Tal problema es muy relevante para el análisis de inestabilidad de combustión en autorreactores de combustible líquido o cohetes de propulsión, donde la presión, velocidad y temperatura del flujo de gas pueden oscilar en el rango de frecuencia de 100-15000 Hz DI. Por lo tanto consideraremos que la velocidad del flujo de gas (U,) varía como una función armónica prescrita de tiempo

U, = Ü, + A,cos( 27if t ) ,

donde la amplitud (A,) de la velocidad se toma como A, = 15m/s, la frecuencia f = 500 HZ, y la velocidad inicial de la gota es igual a la velocidad promedio del gas u, =E til.

Primeramente, por definición la velocidad lagrangiana de la gota se obtiene

dX -=u dt .

Ahora L se considera que el atorr..-ador esta colocado en forma horizontal, la fuerza de flotación y la fuerza de gravedad no actúan sobre la gota, y suponiendo que no ocurre evaporación de la gota, el balance de fuerzas sobre una gota inyectada dentro de una corriente de aire uniforme, puede ser escrito como

PAGINA 51

\ CAPITULO 5

como la masa esta dada por el producto de la densidad por el volumen

remplazando el volumen para una esfera

(5-4)

expresando la ecuación (5-5) en terminos del diámetro de gota y colocando la expresión para la aceleración se tiene que

La fuerza neta que actúa en la dirección X es la fuerza de arrastre, la cual se encuentra mediante la definición del coeficiente de arrastre para cualquier cuerpo [4 11

donde A es la proyección del objeto sólido sobre un plano normal a la dirección del flujo. 'Para una esfera, A es el área de un círculo de diámetro dL, de aquí que A = nd: /4, y por lo tanto

PAGINA 52

CAP~TULO 5 DINAMICA Y EVAPORACIÓN DE UNA GOTA

con lo que la fuerza de arrastre queda dada por

(5-10)

La ecuación (5-9) es válida para el caso en que la partícula se mueve con una velocidad U dentro de un fluido estático, pero en este caso el fluido también se mueve con una velocidad U,,,, por lo tanto, la velocidad U que aparece en la ecuación (5-3) es la velocidad relativa entre la velocidad del fluido y la velocidad de la partícula. Para considerar tal efecto, la ecuación (5-10) se transforma en

Ed: (U,-U)’ FD =C,- P, . 4

Igualando la ecuación (5-11) con la ecuación (5-61, tenemos

si se despeja la derivada de ü con respecto a t tenemos que

(5-1 I)

(5-12)

(5-13)

PAGINA 53

g CAP~TULO

y en términos del radio de gota

(5-14)

Cuando el atomizador inyecta el flujo de gotas y el flujo de aire caliente, se pueden dar dos situaciones:

1) La velocidad del flujo de aire es mayor que la velocidad de la gota (U,>U). 2) La velocidad del flujo de aire es menor que la velocidad de la gota (U,<U).

En la ecuación (5-14) se observa que, independientemente de que situación se dé, el término (U,-U)2 siempre será positivo, lo que significa que la fuerza de arrastre que experimenta la gota, siempre tiene la misma dirección. Lo anterior no se cumple, ya que dependiendo de que situación se presente, será la dirección de la fuerza de arrastre, tal como se muestra en la figura (5-2).

La fuerza de arrastre del llujo de aire, arrostra a lo golo.

Lo luerza d arrostre del llujo de aire, lreno a la gota.

FIG. (5-2)- Dirección de la fuerza de arrastre en función de la velocidad del flujo de aire y la velocidad de la gota.

PAGINA 54

CAPiTULO 5 DINAMICA Y EVAPORACION DE UNA GOTA

Por lo tanto para introducir este hecho a la ecuación (5-141, se expresa matemáticamente de tal manera que considere las dos situaciones mencionadas, de tal suerte que colocando el termino JU,-UI (U,-U) en lugar del término (U,-U)2, tenemos finalmente la ecuación general para la variación de la velocidad de la gota con respecto al tiempo.

(5-15)

En la ecuación anterior el coeficiente de arrastre estándar para esferas sólidas (CD), se calcula con la expresión propuesta por Putnam [27]

24r ~ ~ ~ ' 3 1

(5-16) c - -1+ - R e 1 71'

y el número de Reynolds esta definido como [331

(5-17)

Por otro lado la variación del radio de la gota con respecto al tiempo se obtiene de la ecuación (2-47) la cual se escribe aquí nuevamente,

_ _ F.T TOTAL drL dt 4xpLiqr;

_ - (5-18)

solo que ahora mF,TOTAL se calculará por [l]

PAGINA 55

CAPíTULO 5 DINAMICA Y EVAPORACIÓN DE UNA GOTA

4 , T o T u - - 2npDrLSh*ln( 1 + B,) (5-19)

en la ecuación anterior BM es el número de transferencia de masa de Spalding [ll

y, -YFm B, = 1-Y, '

y Sh*, es el número de Shenvood modificado 111

(She -4 Sh" = 2 + F M

en donde

(5-20)

(5-21)

Sh, = l + ( l + R e S ~ ) ~ ~ f ( R e ) , (5-22)

aquí Sho es el número de Shenvood, Sc es el número de Schmidt y f(Re)=l para Rel l :y f(Re)=Re0.077 para 1 <Re_<400.

Se pasa ahora al análisis para determinar la variación de la temperatura sobre la superficie de la gota. La ecuación de balance térmico dada por Dorman y Johnson1 [91 es:

donde

(5-24)

PAGINA 56

CAPITULO 5 DINÁMICA Y EVAPORACI6N DE UNA GOTA

mientras que la masa del líquido esta dada por

(5-25)

donde el número de Nusselt es calculado de la correlación de Ranz y Marshall [281

Nu=2+0.6(ReL) 112 Pr 113 . (5-26)

La evaporación de la gota es propuesta en 1171 y tiene la forma siguiente

__ = -7cdLpDln( 1+ B,)Sh, dmuq dt (5-27)

donde, BM esta dada por la ecuación (5-20), y el número de Sherwood es obtenido de [281 por la relación

(5-28)

donde Sc es el número de Shmidt.

Por lo tanto las ecuaciones (5-2),(5-15),(5-18) y (5-23) forman el sistema de ecuaciones lagrangianas que describen la dinámica y evaporación de una gota. El sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias que resulta es no lineal y esta dado finalmente por las ecuaciones,

dX -=u dt (5-2)

PAGINA 57

CAPiTULO 5 DINAMICA Y EVAPORACldN DE UNA GOTA

I ,

(5-15)

(5-18)

El sistema de ecuaciones anterior se resuelve para una gota de 50 pm de radio inicial. Las ecuaciones son del tipo rígido, por lo que su solución se debe determinar con una subrutina que sea capaz de resolver ecuaciones diferenciales ordinarias que formen un sistema rígido. Una suhrutina que resuelve éste tipo de ecuaciones es la subrutina lsode [21.

El flujo de aire se inyecta a 10 atmósferas de presión, por lo que las propiedades termodinámicas y de transporte molecular necesitan ser calculadas por medio de ecuaciones que tomen en cuenta altas presiones. El cálculo de estas propiedades en función de la presión se encuentra en el apéndice B.

5.3 RESULTADOS Y VALIDACIÓN DEL MODELO. Del sistema de ecuaciones a resolver se nota que, la ecuación (5-2) nos

proporciona la posición de la gota (a partir de la salida del atomizador), así como cuando se evapora totalmente conforme transcurre el tiempo. La ecuación (5-15) nos indica la velocidad con la que se mueve la gota al variar el tiempo. La ecuación (5- 18), nos indica la variación temporal del radio de la gota. Y finalmente la ecuación (5-23). nos proporciona la temperatura en la superficie de la gota conforme transcurre el tiempo.

PAGINA 58

CAP~TULO 5 DINAMICA Y EVAPORACIÓN DE UNA GOTA

520

A continuación se muestran los resultados que se obtuvieron despues de resolver el sistema de ecuaciones antes descritas.

Para la validación del modelo se ha empleado el estudio realizado por B. Abramzon y A. Sirignano 111, con la diferencia de que ellos toman en cuenta los efectos de circulación interna de la gota los cuales se desprecian en este trabajo, y calculan además las isotermas sobre la gota.

La comparación del perfil de temperatura entre el trabajo actual y los datos reportados por B. Abramzon y A. Sirignano, para una gota de n-dacano (CloHZz), se muestran'en la figura (5-31, la cual muestra las temperaturas que se tienen en la superficie de la gota. El perfil de temperatura inicia a 300 K, ya que ésta es la temperatura a la que se inyecta el combustible líquido. Al inicio de su trayectoria la gota aumenta rápidamente su temperatura ya que el aire con el que hace contacto es inyectado a 1500 K. Finalmente la superficie de la gota alcanza una temperatura constante, la cual es la temperatura a la que se evapora el combustible.

- - - . - - - . - - -. _ _ _ - - - _ _ - - - - -- _ _ - - -

I

FIG. 5-3.- Perfil de temperatura en la superficie de la gota entre el modelo actual y el modelo de B. Abramzon y A. Sirignano 111.

PAGINA 59

CAPITULO 5 DINAMICA Y EVAPORACI~N DE UNA GOTA

La figura (5-41, muestra la comparación de la razón de cambio del radio de gota instantáneo entre el radio de gota inicial (radio adimensional), para el trabajo actual y los datos reportados por B. Abramzon y A. sirignana, de donde podemos observar que para una gota de 100 p m el tiempo de evaporación es de 10.5 ms.

0.2 I I I

O 1 2 3 4 5 6 7 O 9 1 0 1 1 : [ms]

FIG. 5-4.- Radio adimensional entre el modelo actual y el de B. Abramzon y A. Sirignano 111.

Las gráficas (5-3) y (5-4) muestran que los resultados obtenidas con el modelo actual de "dinámica y evaporación de una gota" son aceptables, ya que se aproximan bastante ljien a los resultados del modelo de B. Abramzon y A. Sirignano [I], aún cuando el presente modelo no considera efectos de circulación interna de la gota.

PAGINA 60

CAPITULO 5 DINAMICA Y EVAPORACIÓN DE UNA GOTA

La figura (5-51, muestra el comportamiento de la velocidad de la gota obtenido con el modelo actual de "dinámica y evaporación de una gota". Dicha velocidad tiene un comportamiento armónico debido ai carácter sinuzoidal de la función en la que entra el gas. De aquí que la velocidad de la gota tiene un comportamiento armónico también.

19

I , f , , , o 1 2 3 4 5 5 7 0 9 1 0 1 1

1 [msl

FIG. 5-5.- Comportamiento de la velocidad de la gota.

De la figura (5-5) se observa que, al pasar el tiempo la velocidad de la gota se incrementa, debido a que al irse evaporando, disminuye su tamaño y es arrastrada más facilmente por el flujo de aire. AI final (aproximadamente 10 ms) la gota se ha evaporado casi totalmente por lo que su velocidad aumenta considerablemente.

PAGINA 61

CAPiTULO 6 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

ONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ., . . ,

’ . .. . .. . . . .

6.1 CONCLUSIONES GENERALES

Después de haber validado el modelo de “combustión de una gota de combustible” para propiedades constantes (sección 3.3) y modificarlo para considerar que las propiedades termofísicas y de transporte están en función de la temperatura (propiedades variables (capítulo 4)), de la figura (4-3) se observa que el modelo con propiedades,variables se acerca más a los datos experimentales de Bolt y Saad [81, lo cual nos indica que al considerar propiedades termofísicas y de transporte constantes es una simplificación que no se debe hacer si se quiere obtener resultados más confiables y cercanos a la realidad.

Las principales causas de la diferencia entre los resultados obtenidos con el modelo “combustión de una gota de combustible” para propiedades variables y los datos experimentales de Bolt y Saad se mencionan más adelante en la sección 6.2.

PAGINA 62 . .

CAPiTULO 6 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

En cuanto al modelo "dinámica y evaporación de una gota", la figura (5-3) muestra la comparación del perfil de temperatura entre los datos reportados por B. Abramzon y A. Sirignano [ll y el modelo actual. Se observa que de 300 K hasta 500 K existe muy poca diferencia entre los dos perfiles. Después de los 500 K los resultados del modelo actual se incrementan de manara poco notoria, mientras que los datos de B. Abramzon y A. Sirignano siguen un comportamiento creciente más acentuado. La diferencia estriba en las consideraciones hechas en cada modelo, ya que el presente modelo no considera recirculación en la gota (ver sección 6.2). Lo anterior nos indica que es una consideración que afecta de manera parcial pero importante en la predicción del perfil de temperatura.

6.2 RECOMENDACIONES PARA TRABAJOS FUTUROS

Después de estudiar el trabajo actual que se realizó para obtener el modelo "combustión de una gota de combustible" se observa que se pueden eliminar algunas simplificaciones (sección 2.2), y considerar aspectos que pueden afectar los resultados del modelo. Con el fin de hacerlo más real se puede considerar:

1) Efectos de la radiación térmica sobre la combustión.

NOTA: En la sección 2.2 se despreciaron los efectos de la radiación térmica debido a que el tiempo de combustión es mucho más pequeño que el tiempo de calentamiento y evaporación.

2) Reacción química

NOTA: El modelo actual "combustión de una gota de combustible" considera que la reacción química se lleva a cabo a una velocidad infinitamente alta,

PAGINA 63

~

CAPITULO 6 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

por lo que no se toman en cuenta los efectos cinéticos de reacción. La referencia 1251 presenta un modelo que considera una reacción química estequiométrica irreversible de un paso, mientras que [38] presenta un modelo en el que la reacción obedece a una ecuación de Arrhenius de un paso de segundo orden.

3) Efectos convectivos en la fase líquida,

En lo que respecta al modelo "dinámica y evaporación de una gota", algunos de los principales aspectos que podrían afectar los resultados obtenidos y que se pueden incluir con el fin de aumentar el realismo del modelo son:

1) Considerar recirculación en el interior de la gota, tal como lo considera la referencia [I].

NOTA: En muchas chmaras de combustión a alta presión, el número de Reynolds est.a basado en la velocidad relativa entre el gas y la gota (ecuación 5-1 I ) la cual es del orden de 100 o más [ZO]. Esto implica que el esfuerza en la interfaz gas-líquida, es lo suficientemente grande, tal que puede causar recirculación interna en la fase líquida.

2) Calcular las isotermas en el interior de la gota.

NOTA: Las isotermas en el interior de la gota se pueden calcular después de considerar recirculación interna, ya que una película de líquido que se encuentra en la superficie de la gota en un instante dado pasa a ocupar el lugar de una capa de líquida que se encuentra en la parte interna, el cual a su véz ocupa el lugar de una capa de líquido que se desplazó hacia el interior de la gota. Lo anterior da como resultado un calentamiento cada véz

PAGINA 64

- CAPITULO 6 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

más homogéneo de la gota conforme transcurre el tiempo, tal como lo reportan B. Abramzon y W. A. Sirignano [I].

En general las sugerencias anteriores implican la solución de las ecuaciones de movimiento para fluidos aplicadas a una geometría esférica. Probablemente la consideración de que el intercambio de masa y energía ocurre en la dirección radial sea una buena aproximación para después extender el problema a 3 dimensiones.

PAGINA 65

9

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APÉNDICE A CÁLCULO NUMERIC~

Para el cálculo numérico, la primera y segunda derivadas de la temperatura son aproximadas por las siguientes formas usando diferencias finitas centrales [351.

, Para la primera derivada

dTi Ti+, - T. 1-1

- dr 2Ar '

y para la segunda derivada

_ _ d2T Ti+, - 2Ti +Ti-, dr2 - Ar

(A-2)

I Sustituyendo las ecuaciones (A-1) y (A-2) en la ecuación (2-40), tenemos

I

PAGINA 71

APÉNDICE A CALCULO NUMÉRICO

de donde

Ti,, - Ti-, . (A-4) (rL + i A r ) A r

Para r=rL, i= 1 entonces

(A-5)

Por lo tanto

Ar ' (Ti+, -2Ti +TI-,) =-

a (rL +iAr)' 2Ar ( Ti+, - Ti-l )T2-Tl)-

, (A-6)

de donde despejamos la temperatura para el nodo i (Ti), la cual esta dada' por

. PAGINA 72


T=&+&+ 'I ( T + I - T - ~ ) A ~ - rL2T(T2-T,)(T,+,-T / - I ) 2 2(rL+iAr) 4( rL + iA r) 2 a (A-7)

de donde

2 4( r,, + iA r) a

agrupando terminos para Ti+, y Ti.i

(1 A r A r T=T,,l -+ 2(rL + i A r )

finalmente tenemos

A r ' r,ZT(T -Tl)(T+l -T '-I ) + 2

f l (2 2(rL + i A r >I- J=T,-, --

4(rL + i A r ) a A r

rL + i A r

(A-8)

(A-9)

(A-10)

PAGINA 73

~ -__ ~--.-.--I._

AP~NDICE A CÁLCULO NUMÉRICO

mF,TOTAL =

Por lo tanto, con la ecuación (A-10) se puede calcular la temperatura en el nodo i, tal como se muestra en la figura (A-1)

- dT dr

FIG. A-18.- Distribución de los nodos de la superficie de la gota hasta la zona de flama

1 2h = - (-3'4 + 4Ti+, - Ti+2)

Para calcular la transferencia de masa total, de la ecuación (2-30) se tiene que

(A-11)

Usando una discretización hacia adelante de segundo orden en la superficie de la gota (i= 1)

(A-12)

entonces

- (-3T, + 4'c, - T3)( 4nL;) 2h,g Ar F.T TOTAL (A-13)

PAGINA 74


Para determinar el perfil de presiones del vapor combustible y de nitrógeno, es necesario realizar la aproximación de la ecuación (2-27) en forma de diferencias finitas.

De la ecuación (2-27) se tiene que

Como

'Fi,, -'F 1-1

2 '

mientras que

entonces

de donde

(A- 14)

(A-15)

(A-16)

(A-17)

(A-18)

PAGINA 75

CALCULO NUMÉ ICO APÉNDICE A

despejando la presión parcial de combustible para el nodo i finalmente se tiene

2P- P F,+l -P 6.1 -m F.TOTAL R O JAr 4nD, WF ( r + iAr) 2P P6 =pF,_, - (A-19)

Para encontrar el tiempo de quemado, reemplazamos a rL con el diámetro de la gota dL en laecuación (2-47) de la cual se puede observar que se encuentra que

Como

(A-21)

resulta que

-npLIq d, dd ; -npLiq 2r, ddL ~ F ; T O T A L = 2 2 dt 2 2 dt

-~ -

de donde la constante de combustión, k, se define por

PAGINA 76

kc A A BE vo I u C I ON I ------ I

- ~

__

CALCULO NUMÉRICO I ,

(A-23) I

1 di-d' Lo =- kt,

por lo tanto el tiempo de quemado es

d: - d:o t = -k .

(A-26)

(A-27)

Entonces para encontrar la solución del sistema de ecuaciones diferenciales, se deben programar las ecuaciones (A-lo), (A-13), (A-19) y (A-27) en el siguiente orden:

Con la ecuación (A-10) se calcula el perfil de temperatura en la región 1.

Con el perfil de temperaturas , se calcula la transferencia total de masa del combustible con la ecuación (A-13).

PAGINA 77

__ -_--.-.-.-I __ APÉNDICE A CALCULO NUMÉRICO

Con el perfil de temperatura y la transferencia de masa, se calcula el perfil de presión para el vapor combustible en la región 1 con la ecuación (A-19). El perfil de presión para el nitrógeno se obtiene restando a la presión total (presión atmosférica) la presión del vapor combustible. El tiempo de quemado se puede calcular con la ecuación

i

(A-27).

PAGINA 78

~- ----------

APÉNDICE B PROPIEDADES A ALTAS PRESIONE

APÉNDICE r e

PROPIEDADES A ALTAS PRESIONES

Las cantidades termodinámicas y de transporte molecular de cualquier especie se ven afectadas por dos propiedades, la temperatura y la presión. En el capítulo 5 se discute la dinámica y evaporación de una gota en una atmósfera de operación de 10 atmósferas de presión. Por esta razón es necesario emplear ecuaciones o correlaciones que involucren el efecto de la presión para cumplir con el objetivo que se requiere en el capítulo 5.

Las propiedades que se deben calcular en función de la presión son, la densidad de mezcla (p), la capacidad calorífica a presión constante de mezcla (Cp), la conductividad térmica de mezcla (K), la viscosidad de mezcla (p) y el coeficiente de difusión (D).

DENSIDAD. Para determinar la densidad de mezcla para altas presiones se procede de la

siguiente manera:

PAGINA 79

APÉNDICE B PROPIEDADES A ALTAS PRESIONES

Primeramente encontramos la presión de vapor del combustible sobre la superficie de la gota mediante la correlación propuesta en [ll, esto es,

5141.361 TL 1. 6-11

La ecuación (B-1) permite calcular la fracción mol y la fracción masa del combustible en la superficie de la gota mediante las ecuaciones (4-3) y (4-5), las cuales se escriben aquí nuevamente para el caso combustible-aire. La fracción mol es

y la fracción masa

Cabe notar qúe la fracción mol del combustible lejos de la superficie de la gola (yFm), así como la fracción masa del vapor combustible lejos de la superficie de la gota (YFm), se considera que tienen un valor de cero.

Para calcular la densidad del aire y del combustible (CloHZz) se emplea la ecuación de Redlich-Kwong [191, la cual es

RT a v-b-T'I'v(v+b) '

p=-

donde

(B-4)

PAGINA 80


R2T,2.5 a = 0.4275

pc '

Y

RTC pc .

b= 0.0867-

mientras que

(B-5)

Y,

En las ecuaciones (B-4) a la (B-6) R, T,, y P, toman el valor correspondiente de acuerdo a la densidad de la especie que se quiere calcular, mientras que P=P,. La densidad se obtiene del volumen específico v.

Despues de calcular las densidades del combustible y aire se esta en condiciones de calcular la densidad de mezcla, para alias presiones 111

PAGINA 81


CAPACIDAD CALORIFICA A PRESIÓN CONSTANTE.

Para calcular la capacidad calorífica de cada especie se emplea la siguiente ecuación 1191

tomando la expresión para v de la ecuación de Van Denvaals [191 y derivando

por lo tanto integrando (B-10) tenemos

donde i191

27 R ~ T , ~ 64 P, *

a=--

(B-10)

(B-11)

(B-12)

(B-13)

y Cpz es la capacidad calorífica a presión constante que se desea calcular a alta presión (PJ y CP,, es la capacidad - calorífica a la presión de referencia (Pi = 1 atmósfera), mientras que T= T.

Despues de calcular la capacidad calorífica del aire y del combustible, se observó que los valores obtenidos con las ecuaciones anteriores no varían significativamente en relación a los datos reportados en tablas para 1 atmósfera de

PAGINA 82


presión, por lo que se decidio emplear correlaciones para bajas presiones en los calculos de, la capacidad calorífica. For lo tanto la capacidad calorífica a presión constante para el vapor combustible se calcula por medio de [ll

c p F =0.0982 + 1.304Ti- 0.593T: + 0.101T,3, (B-14)

para Tp0.8, y

c p r =0.02547 + 1.377Ti-0.4T; + 0.113Ti3, (B-15)

para Ti<0.8, donde = T/iOOO.

La capacidad calorífica del aire se obtiene de tablas, por lo que podemos calcular la capacidad calorífica de mezcla para altas presiones por medio de [ll

c, = C , Y , + c p F ( l - i F ] (B-16)

CONDUCTIVIDAD TÉRMICÁ.

La conductividad térmica del vapor combustible y aire, a presión atmosférica se calcula de manera similar a como se realizo en la sección 4.2.3, solo que se utiliza la temperatura promedio dada el la ecuación (B-7). Ahora para calcular la conductividad térmica para altas presiones de ambas especies se utiliza el método de Chung et a1.[11,121

(B-17) 3 1 . 2 p 0 ~ 2 I/Z K = W (G,' + B , d + q B , g T, G ,

PAGINA 83


Donde K = conductividad térmica a altas presiones, W/(m.K)

\v = 1 +a{[ 0.215 + 0.28288~~ - 1.061p + 0.2666561 / [ 0.6366 + pt; + 1.06iaP1 1 p = 0.7862-0.71090 + 1.31680~ <=2.0 + 10.5T: po = viscosidad del gas a baja presión (presión atmosférica), N.s/m2 q = 3.586x10~3(Tc1/W)1’2/vc~’3 TI = temperatura reducida, T/Tcr v,, = volumen crítico, cm /mol

iv = fK,, o, T,)

a= (Cv/R)-3/2

3

g = vcJ6v (B-18)

donde para la ecuación (B-18) v=W/p, es el volumen molar [cm3/moll, y la densidad (p) se calcula para altas presiones como se indico anteriormente. Mientras que

(B-19)

Y

( B I /g)[ 1 - exp( -B, 9)] + B,G, exp( B, g) + B, G I BIB, +B, +B3 (B-20) G, =

los coeficientes B1 a B7 son función de el factor acentric0 o el cual se encuentra en tablas 1321 , el momento dipolo reducido qr, y el factor de asociación K, los cuales estan dados por [11,121

,

PAGINA 84


4 Bi=ai+ b i o +ciq, + diK ,

Y (B-21)

(B-22)

donde q para n-decano y aire se obtiene de tablas [321, en donde se encuentra que para ambas especies tiene un valor de cero, por lo que qr tiene un valor de cero. En cuanto a K ,e calcula mediante la siguiente ecuación [11,121

~=0.0682+0.2767[(17)(nÚmero de grupos -OH)/peso molecular], (B-23)

los valores de ai, bi ,ci y di se dan en la tabla (B-1) 1321

TABLA B-1.- Valores de Bi en la ecuación (B-15)

Una ves que se han calculado las conductividades térmicas para el vapor combustible y aire, se puede encontrar la conductividad térmica de mezcla en forma similar que para el vapor combustible y nitrógeno, por medio de la ecuación (4-27).


VISCOSIDAD

La viscosidad a presión atmosférica para el vapor combustible y aire al igual que la conductividad térmica, se calcula como en la sección 4.2.3. Para altas presiones lÜ viscosidad para cada especie es calculada por medio del método de Reichenberg [29,30,311

c1 AP,3’2 - = l + Q Po BP, +(l+CPI])-I

(B-24)

donde las constantes A; B; C, y D son funciones de la temperatura reducida T, y estan dadas por

(B-25)

(B-27) Y1 T

C = -expy,Trc ,

ai

Tr D = -expG,T,d . (B-28)

Las constantes empleadas en las ecuaciones anteriores son

a, = 1.9824 X lo” a2=5.2683 a = -0.5767 P i = 1.6552 Pz = 1.2760 y,=0.1319 y2=3.7035 c=-79.8678 61=2.9496 6,=2.9190 d = -1 6.61 69

PAGINA 86

APENDICE B PROPIEDADES A ALTAS PRESIONES

mientras que Q=(1-5-655~,) donde qr esta definido en la ecuación (B-16), y como se menciono anteriormente , tiene un valor de cero para el caso de aire y de n- decano, por lo que Q = 1.

COEFICIENTE DE DIFUSIÓN.

El coeficiente de difusión se calcula por medio de [20]

D, = 0.0018583 prnd°Fw

(B-29)

donde OF y i2Fa0 se calculan por medio de las ecuaciones(4-22) y (4-15) respectivamente.

Para calcular el coeficiente de difusión de mezcla a altas presiones se emplea la ecuación de Wilke [lo1

por lo tanto para nuestro caso

(B-30)

(B-31)

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