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Triángulos. Congruencia y semejanza.

En esta sección vamos a estudiar en mayor detalle los triángulos

y algunas de sus propiedades más importantes. En primer lugar

recordemos la definición de triángulo.

Definición. Dados tres puntos no colineales A, B y C, el triángulo △ABC

es la unión de los segmentos AB, BC y CA.

Figura 1: Triángulo △ABC

Definición. De acuerdo a los tamaños relativos de sus lados un triángulo

puede ser

1. Equilátero, si tiene todos sus lados iguales.

2. Isósceles, si tiene al menos dos de sus lados iguales.

3. Escaleno, si todos su lados son de distintos tamaños.

Definición. Un triángulo rectángulo es aquel que tiene uno de sus ángu-

los recto. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otro dos

lados se llamana catetos.

Definición. Dos triángulos △ABC y △A ′B ′C ′ son congruentes (escri-

bimos △ABC ≡ △A ′B ′C ′) si sus lados correspondientes son iguales y sus

ángulos correspondientes también.

Figura 2: Triángulos congruentes

Observación. Note que lo que importa es que tres lados y tres ángulos

correspondan, no el orden en que estén colocados.

Criterios de congruencia de triángulos.

El siguiente postulado establece que para verificar la congruen-

cia de triángulos basta con comparar sólo algunos de los lados o

matemática iii - ciu geometría 15

ángulos. En realidad, de nuevo este postulado se puede demostrar

como teorema, pero tal demostración estaría fuera del alcance de este

curso.

VII Dos triángulos son congruentes si se cumple alguna de las si-

guientes condiciones (cada condición por separado garantiza que

los triángulos son congruentes)

1. Tienen sus tres lados iguales (LLL)

2. Tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos iguales

(LAL)

3. Tienen un lado y los ángulos adyacentes iguales (ALA)

En lo que sigue utilizaremos las siglas entre paréntesis para indicar la

condición correspondiente.

El siguiente teorema recibe el nombre Pons Asinorum, que significa

“el puente de los burros”.

Teorema. [Pons Asinorum] El triángulo △ABC es isósceles, con |AB| =

|AC|, si y sólo si los ángulos β y γ, opuestos a AC y AB, respectivamente,

son iguales.

Demostración. Primero comentamos que por ser el teorema un “si

y sólo si", tenemos que mostrar que la primera condición (que el

triángulo es isósceles) implica la segunda (que los ángulos menciona-

dos son iguales), y también la implicación recíproca: que la segunda

condición implica la primera. Usualmente se dice que es una doble

implicación y se usa el símbolo⇔ para representar la frase “si y sólo

si".

En primer lugar probemos la implicación [⇒], es decir, que si el

triángulo es isósceles los ángulos mencionados son iguales. Como

suponemos que el triángulo es isósceles, se tiene |AB| = |AC|.

Figura 3:

Esto dice que el punto A está en la mediatriz de BC. Dicha me-

diatriz corta al segmento en el punto M y se tiene que |MB| = |MC|,

entonces por el criterio LLL los triángulos △AMC y △ABM son

congruentes. Se concluye que β = γ. Listo.

Ahora veamos la otra dirección [⇐], es decir, que si los ángulos

son iguales entonces el triángulo es isósceles. Consideremos r una

perpendicular a BC por A, y M el punto de corte entre r y el segmen-

to. Se forman dos triángulos △AMC y △ABM.

Figura 4:

Sabemos que los ángulos entre r y el segmento BC son rectos.

Entonces como estamos suponiendo que β = γ y sabiendo que los

ángulos internos de un triángulo suman π, se tiene que α1 = α2.

Pero el lado AM es común a los dos triángulos y los ángulos adya-

centes son iguales, entonces por el criterio ALA, esos dos triángulos


son congruentes, lo que implica que |AB| = |AC|, de manera que el

triángulo △ABC es isósceles.

Para estudiar el concepto de semejanza de triángulos necesitamos

un poderoso teorema cuyo autor es Thales de Mileto y que enuncia-

mos sin demostración.

Teorema. [Teorema de Thales] Si dos rectas cualesquiera r y r ′ son cortadas

por rectas paralelas entre sí, los segmentos producidos en cada una de las dosrectas por los cortes con las paralelas son proporcionales:

Figura 5: Teorema de Thales

|AB|

|A ′B ′|=

|AC|

|A ′C ′|=

|CD|

|C ′D ′|= · · ·

Definición. Dos triángulos △ABC y △A ′B ′C ′ son semejantes (escribi-mos △ABC ∼ △A ′B ′C ′) si tienen sus ángulos correspondientes iguales ysus lados correspondientes proporcionales

La figura indica que △ABC ∼ △A ′B ′C ′ si y sólo si

α = α ′, β = β ′, γ = γ ′ ya

a ′=

b

b′=

c

c ′

Figura 6: Triángulos semejantes

Sin embargo, gracias al siguiente teorema, para verificar la seme-

janza basta considerar sólo los ángulos de los triángulos involucra-

dos.

Teorema. Dos triángulos △ABC y △A ′B ′C ′ son semejantes si y sólo sitienen sus ángulos correspondientes iguales.

Demostración. [⇒] Si △ABC ∼ △A ′B ′C ′ entonces la definición de

semejanza indica que α = α ′, β = β ′ y γ = γ ′.

[⇐] Sabiendo que los ángulos son iguales, debemos demostrar que

los lados son proporcionales. Siguiendo la figura de la derecha,

Figura 7:

construimos un triángulo congruente a △A ′B ′C ′ sobre los lados

AB y AC de modo que el punto A coincida con A ′. Entonces BC es

paralelo a B ′C ′ y el teorema de Thales nos dice que

|AB|

|A ′B ′|=

|AC|

|A ′C ′|


De manera análoga, podemos construir un triángulo congruente a

△A ′B ′C ′ sobre los lados AB y BC de modo que el punto B coincida

con B ′ como muestra la otra figura

Figura 8:

y nuevamente el teorema de Thales implica que

|AB|

|A ′B ′|=

|BC|

|B ′C ′|

lo que muestra que los tres lados son proporcionales.

Pero podemos ir más allá. Ahora estamos en condiciones de de-

mostrar otros criterios de semejanza de triángulos que nos dan flexi-

bilidad a la hora de verificar si dos triángulos lo son, y el número de

comparaciones a realizar sigue siendo muy reducido.

Corolario. [Criterios de semejanza de triángulos]

1. Dos triángulos son semejantes si y sólo si tienen dos ángulos iguales.

2. Dos triángulos son semejantes si y sólo si tienen un ángulo igual y los

dos lados adyacentes proporcionales.

3. Dos triángulos son semejantes si y sólo si tienen los tres pares de lados

homólogos proporcionales.

Demostración. En los tres casos denotaremos los triángulos por

△ABC y △A′B′C′. Observamos que sólo hace falta demostrar el "si"

([⇐]) porque el "sólo si" ([⇒]) es cierto por la definición de triángulos

semejantes.

1. Si tienen dos ángulos iguales es obvio el tercer ángulo también va

a ser igual porque

α+β+ γ = π y α′ +β′ + γ′ = π

entonces por el teorema anterior son semejantes

2. Ahora tienen un ángulo igual, digamos α = α ′, y dos lados ad-

yacentes proporcionales, digamos |AB|/ |A ′B ′| = |AC|/ |A ′C ′|.

Como hicimos anteriormente construimos un triángulo congruente

a △A ′B ′C ′ sobre los lados AB y AC de modo que el punto A coin-

cida con A ′, cómo en la figura. Si trazamos una paralela a B ′C ′

que pase por B, sea C ′′ el punto donde ella corta a AC. Entonces

por el Teorema de Thales se cumple que

Figura 9:

|AB|

|A ′B ′|=

|AC ′′|

|A ′C ′|

que junto con|AB|

|A ′B ′|=

|AC|

|A ′C ′|


implica que |AC| = |AC ′′|, es decir que C = C ′′ y por el postu-

lado VI el ángulo en B es igual al ángulo en B ′ y el ángulo en C

es igual al ángulo en C ′. En conclusión, los dos triángulos son

semejantes.

3. Si|AB|

|A ′B ′|=

|AC|

|A ′C ′|=

|BC|

|B ′C ′|

construyamos un triángulo △AB ′′C ′′ con el mismo ángulo α, tal

que |AB ′′| = |AB ′| y |AC ′′| = |AC ′| como en la figura. Si trazamos

una paralela a←−→AB ′′ por C, tenemos que |CB| = |DB ′′|, y por el

Teorema de Thales tenemos además que

Figura 10:

|DB ′′|

|C ′′B ′′|=

|CB|

|C ′′B ′′|=

|AC|

|A ′′C ′′|=

|AC|

|A ′C ′|

que por hipótesis indica que |C ′′B ′′| = |C ′B ′| y por lo tanto los

triángulos △AB ′′C ′′ y △A ′B ′C ′ son congruentes de manera que

△ABC ∼ △AB ′′C ′′ ≡ △A ′B ′C ′

Vale la pena mencionar que la relación de congruencia de triángu-

los es un caso particular de la semejanza de triángulos. Cuando dos

triángulos son congruentes es porque son semejantes con proporción

entre sus lados igual a 1.

Podemos ahora enunciar y demostrar un famoso teorema que

usamos frecuentemente, el teorema de Pitágoras.

Teorema. [Pitágoras] En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados

de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Demostración. Por el vértice A correspondiente al ángulo recto se tra-

za una perpendicular al lado BC opuesto a dicho ángulo. Se obtiene

un segmento AD. Observemos que los triángulos △ABC y △ABD

son semejantes por tener dos de sus ángulos iguales (β y el ángulo

recto). De manera análoga son semejantes los triángulos △ABC y

△ADC, por tener también dos de sus ángulos iguales (en este caso γ

y el ángulo recto). Entonces se tiene por un lado

Figura 11: Teorema de Pitágoras

c

|BD|=

a

c

y por otrob

|DC|=

a

b

de donde se obtiene c2 = a · |BD| y b2 = a · |DC|.

Luego b2 + c2 = a (|BD|+ |DC|) = a · a = a2.


Un corolario interesante que es útil recordar es el siguiente:

Corolario. En una figura como la anterior se tiene que

|BD| · |DC| = |AD|2

Demostración. La demostración es sencilla. Aplicando el teorema dePitágoras al triángulo △ADC tenemos

|AD|2 + |DC|2 = b2

ahora lo mismo para el triángulo △ABD:

|AD|2 + |BD|2 = c2

y ahora sumamos esas dos igualdadas para obtener:

|DC|2 + 2 |AD|2 + |BD|2 = b2 + c2 = a2

donde la última igualdad es la tercera aplicación del teorema, estavez al triángulo △ABC. Pero a = |BD|+ |DC|, quedando:

|DC|2 + 2 |AD|2 + |BD|2 = (|BD|+ |DC|)2 = |BD|2 + 2 |BD| |DC|+ |DC|2

donde la última igualdad es por el producto notable. Cancelamos|DC|2 y |BD|2, luego dividimos por 2 a ambos lados y logramos lobuscado:

|AD|2 = |BD| |DC|

Ejercicios

1. Sea △ABC un triángulo cualquiera, r una recta paralela a←→BC que

pasa por A y d una paralela a←→AC que pasa por B. Sea C ′ el punto

de intersección de r y d. Demuestre que C ′A ≡ BC y C ′B ≡ AC.¿Cuánto mide el ángulo en C ′?

2. En el gráfico adjunto suponga que |AB| = 1, |BC| = 2 y |CD| = 3

Determine cuánto vale:

a)|A ′B ′|

|B ′C ′|c)

|A ′D ′|

|C ′D ′|e)

|A ′′B ′′|

|A ′′C ′′|g)

|B ′D ′|

|A ′C ′|

b)|A ′′′D ′′′|

|C ′′′D ′′′|d)

|B ′′C ′′|

|C ′′D ′′|f)

|A ′′′D ′′′|

|D ′′′B ′′′|h)

|A ′′D ′′|

|C ′′D ′′|

Figura 12:


3. En el triángulo △ABC se tiene que B ′C ′ es paralelo a BC y

|AB ′| = |B ′B|. ¿Cuánto valen las distancias de A a C ′ y de C ′ a

C?

Figura 13:

4. Considere el trapecio ABCD adjunto. Si E y E ′ son puntos medios,

¿cómo es la recta←→EE ′ con respecto a la base AB?

Figura 14:

5. En el triángulo adjunto se tiene que DE es paralelo a BC y |AC| =

8,1 cm. Calcule |AE| y |EC|.

Figura 15:

Ángulos en la circunferencia.

En la sección anterior usamos un arco de la circunferencia de ra-

dio 1 para definir la medida de un ángulo con vértice en el centro.A cualquier ángulo que tenga como vértice el centro de una circun-ferencia lo llamaremos un ángulo central. Usualmente, para evitar laredundancia y proliferación de notación innecesaria, se da la medidade un ángulo central como la del arco correspondiente de circunfe-

rencia. Por ejemplo, si decimos⌢

AB = 30◦, queremos decir que elángulo central correspondiente al arco de circunferencia entre A y B

mide treinta grados.A un segmento que une dos puntos de una circunferencia se la

llama una cuerda. Cuando una cuerda pasa por el centro se le llamaun diámetro.

Figura 16: Cuerdas en una circunferen-cia

En la figura de la derecha se aprecian varias cuerdas: AB, DE y EF.De ellas, DE es un diámetro.

Cuando dos cuerdas tienen un extremo en común, se dice que elángulo que se forma entre ellas, con vértice en dicho punto, es unángulo inscrito en la circunferencia. En la figura anterior, el ángulo∠FED es un ángulo inscrito en esa circunferencia. Existe una relaciónmuy útil entre la medida de este ángulo y la del ángulo central quecorta el mismo arco:

Figura 17: Ángulo inscrito en unacircunferencia

Proposición. [Ángulo inscrito] Un ángulo inscrito en una circunferencia,

como en la figura de la derecha, corta un arco de circunferencia⌢

AB. Enton-

ces la medida del ángulo inscrito es la mitad de la medida del ángulo central

que corta el mismo arco⌢

AB. Es decir

α =ω

2

Demostración. La haremos considerando varios casos.Primero el caso en que un lado del ángulo inscrito es un diámetro,

como se muestra en la figura de la derecha. Como el triángulo △PCB

es isósceles, los ángulos denotados con α son iguales, recordar PonsAsinorum. Como la suma de los tres ángulos de △PCB es igual a π,tenemos que

2α+ω′ = π


pero, como ω y ω′ son suplementarios, también tenemos:

Figura 18: Primer caso, un lado delángulo es un diámetro

ω+ω′ = π

y de esas dos ecuaciones se deduce que 2α = ω, que es el resultado

buscado.

En segundo lugar supongamos que el centro de la circunferencia

es interior al ángulo inscrito. En la figura de la derecha se observa có-

mo, trazando un diámetro por el punto P, se obtienen dos instancias

del caso anterior, una que relaciona α1 con ω1 y otra que relaciona

α2 con ω2. Se tiene que

Figura 19: Segundo caso, el centro esinterior al ángulo inscrito

α1 =ω1

2y α2 =

ω2

2

pero α = α1 +α2 y ω = ω1 +ω2, lo que implica que

α = α1 +α2 =ω1

2+

ω2

2=

ω

2

obteniéndose de nuevo el resultado buscado.

Finalmente el caso en que el centro de la circunferencia es exterior

al ángulo inscrito. En la figura de la derecha fíjese que los ángulos

destacados son α1 = ∠APC, α2 = ∠BPC, ω1 = ∠ACD y ω2 =

∠BCD y de nuevo se obtienen dos instancias del caso inicial, una que

relaciona α1 con ω1 y otra que relaciona α2 con ω2. Se tiene que

α1 =ω1

2y α2 =

ω2

2

Figura 20: Tercer caso, el centro esexterior al ángulo inscrito

Pero en este caso el ángulo inscrito es α = α1 − α2 y el ángulo

central es ω = ω1 −ω2, lo que implica que

α = α1 −α2 =ω1

2−

ω2

2=

ω

2

obteniéndose una vez más el resultado deseado.

Como esos son todos los casos posibles, hemos demostrado que la

relación se cumple siempre.

Como una consecuencia directa del resultado anterior se obtiene

un hecho muy conocido y usado frecuentemente:

Hecho. Si AB es un diámetro de una circunferencia y X es un punto cual-

quiera de la misma, distinto de A y de B, entonces el ángulo ∠AXB es recto.

Figura 21: Arco capaz del ángulo recto

Esto es porque el ángulo central correspondiente al arco⌢

AB es

llano, es decir, su medida es π.

Hemos establecido la proporción entre un ángulo inscrito en una

circunferencia y el ángulo central que corta el mismo arco. Ahora

consideramos el caso de un ángulo exterior a la circunferencia.


Definición. [Ángulo exterior] Un ángulo exterior a una circunferencia

es aquel que tiene su vértice fuera del círculo correspondiente y cuyos lados

cortan a la circunferencia.

Para ángulos exteriores tenemos el siguiente resultado.

Proposición. [Ángulo exterior] Consideremos un ángulo exterior α a

una circunferencia y supongamos que los lados del ángulo cortan dos arcos

de circunferencia⌢

AB y⌢

CD, como muestra la figura de la derecha. Sea θ el

ángulo central correspondiente a⌢

AB y φ el correspondiente a⌢

CD. Entonces

se tiene

Figura 22: Ángulo exterior a unacircunferencia

α =φ− θ

2=

φ

2−

θ

2

Demostración. Basta aplicar apropiadamente el resultado anterior.En la figura de la derecha, por claridad resaltamos ciertos ángulos yomitimos φ y θ. En el triángulo △PCA, la suma de los ángulos debeser π, es decir, α + γ + (π− δ) = π (¿de dónde sale π − δ?). Estosignifica que α+ γ− δ = 0, o equivalentemente, α = δ− γ. Pero δ esun ángulo inscrito con ángulo central correspondiente φ, de maneraque, por el resultado anterior, δ = φ/2, y el ángulo γ es tambiéninscrito con ángulo central θ, es decir γ = θ/2. Juntando todo estotenemos:

Figura 23: Reducción al resultadoanterior

α = δ− γ =φ

2−

θ

2=

φ− θ

2

y obtenemos la igualdad planteada.

Observación. Vale la pena resaltar que el resultado es válido cuandoun lado es tangente a la circunferencia y cuando los dos lo son. Sesugiere hacer diagramas de estos dos casos.

Finalmente consideramos el caso de un ángulo interior a la circun-ferencia, que es aquel que tiene su vértice dentro del círculo corres-pondiente.

En este caso tenemos:

Proposición. [Ángulo interior] Consideremos un ángulo interior α a una

circunferencia y supongamos que los lados (prolongados) del ángulo cortan

dos arcos de circunferencia⌢

AB y⌢

CD, como muestra la figura de la derecha.

Sea θ el ángulo central correspondiente a⌢

AB y φ el correspondiente a⌢

CD.

Entonces se tiene

Figura 24: Ángulo interior a una circun-ferencia

α =φ+ θ

2=

φ

2+

θ

2

Ejercicio. Hacer la demostración de este caso. Basta considerar la suma de

los ángulos del triángulo △PBC.


De estos resultados se deriva una muy útil construcción. Conside-remos una circunferencia con una cuerda AB y un ángulo inscrito α

que corta el arco⌢

AB. Sea X el vértice de α. Si dejamos el segmentoAB fijo y movemos X sobre la circunferencia, es claro que el ángulo α

permanece constante. Esto es porque dicho ángulo es igual a la mitaddel ángulo central que es siempre el mismo. En esta situación se diceque α es el ángulo con el que se ve el segmento AB desde X.

Figura 25: Ángulo con el que se ve unsegmento

También se puede observar que si X se coloca dentro del círculo, elángulo obtenido será mayor que α, mientras que si X se coloca afueradel círculo, el ángulo formado será menor que α.Podemos darle la vuelta a esta construcción considerando aquellos

puntos del plano desde los cuales se ve un segmento con un ángulofijo dado. Tenemos la siguiente definición:

Definición. [Arco capaz] Dados un segmento AB y un ángulo α, el

conjunto de los puntos del plano desde los cuales se ve AB con ángulo α

consiste de dos arcos simétricos de circunferencia. Cada uno de ellos se llama

arco capaz del segmento AB y el ángulo α. Podemos escribir ese conjunto

así:

Figura 26: Arco capaz del segmento AB

y el ángulo α

{X | ∠AXB = α}


Construcciones con regla y compás

Las construcciones con regla y compás nos ayudan a familiarizar-nos con la Geometría de manera más estrecha. La regla nos permite

trazar rectas, en particular rectas que pasan por dos puntos. En este

caso la regla no es graduada, no nos permite medir distancias. El com-

pás es un instrumento que permite dibujar circunferencias de centro

y radio dados, y también nos permite medir distancias, usando sus

extremos. Cuando se pide que construyamos algo con regla y com-

pás, la respuesta debe ser una descripción clara del procedimiento a

seguir, una vez que hemos visualizado mentalmente cómo hacerlo. Se

puede acompañar la explicación de diagramas que ayuden a seguir

los pasos. A continuación mostramos algunos ejemplos. Se sugiere

reproducir estos procedimientos con una regla y compás de verdad,

para asegurarse de comprender su funcionamiento.

Ejemplo. [Segmento congruente] Dado un segmento AB, construir

otro segmento congruente al dado.

Trazamos una recta cualquiera r y sobre ella un punto A ′. Con el

compás, haciendo centro en A, medimos la longitud de AB. Luego

hacemos centro en A ′ con el compás abierto esa distancia y marca-

mos sobre la recta r un punto B ′ de manera que el nuevo segmento

A ′B ′ es congruente a AB.

Figura 27: Construcción de un segmen-to congruente

Ejemplo. [Ángulo congruente] Construir un ángulo congruente a un

ángulo α de lados a′ y b′.

Haciendo centro en el vértice V , trazamos un arco arbitrario que

corte a los lados en A y B, respectivamente. Ahora trazamos una

recta cualquiera r y sobre ella un punto V ′. Con centro en V ′ traza-

mos el mismo arco haciendo que corte a r en A ′. Luego medimos la

distancia de A a B con el compás. Haciendo centro en A ′ llevamos

la distancia medida sobre el nuevo arco obteniendo el punto B ′. El

ángulo ∠A ′V ′B ′ es congruente con α.


Figura 28: Construcción de un ángulocongruente

Ejemplo. [Bisectriz de un ángulo] Construir la bisectriz de un ángu-

lo α de lados a′ y b′.

De nuevo, haciendo centro en el vértice V , trazamos un arco arbi-

trario que corte a los lados en A y B, respectivamente. Luego pone-

mos la amplitud del compás un poco más corta que la distancia de A

a B con tal de que sea mayor que la mitad de dicha distancia. Con la

punta en A trazamos un arco de circunferencia que corte dos veces

a la semirrecta a′ y con la punta en B hacemos lo mismo pero ahora

el arco corta dos veces a la semirrecta b′. Ahora unimos cualquiera

de los puntos de corte de estos arcos con el vértice V , obteniendo la

bisectriz.

Figura 29: Construcción de la bisectrizde un ángulo

Observación. En realidad, los arcos de circunferencia trazados no

tienen que ser tan amplios, basta con que se corten en algún punto.

Ejemplo. [Arco capaz] Dados un segmento AB y un ángulo α, cons-

truir su arco capaz.

Primero nos referimos a la figura de la derecha y observamos que

si consideramos una secuencia de puntos X1, X2, X3, etc. que están

sobre la circunferencia y se acercan hacia A, los segmentos secantes

AXi se van convirtiendo en la tangente t a la circunferencia, mientras

que el ángulo α permanece siempre igual. Se observa entonces que el

ángulo con vértice en A, formado por el segmento AB y la recta t es

α.

Figura 30:


Además tenemos que la mediatriz del segmento AB y la perpendi-

cular a la recta t por el punto A pasan por el centro de la circunferen-

cia.

Figura 31: Construcción del arco capaz

Ahora estamos listos para describir la construcción con regla ycompás. Primero construimos un ángulo congruente a α en el ex-

tremo A del segmento AB, con ello obtenemos la recta t (se puede

trazar con la regla). Luego trazamos la perpendicular a t por el punto

A (ver ejercicio 2.b) abajo). A continuación trazamos la mediatriz delsegmento AB (ver ejercicio 2.a) abajo). El centro de una rama del arcocapaz será la intersección de estas dos rectas. Podemos trazar el arcoponiendo una punta del compás en el centro y otra en el punto A.

Para trazar la otra rama del arco capaz, repetimos el proceso pero

dibujando α en el mismo extremo A pero al otro lado del segmento

AB.

Ejercicios

1. Para cada una de las figuras a continuación, obtenga la medida delos ángulos pedidos

a)⌢

AB = ?⌢

BA = ? b) α = ?⌢

BC = ? c)⌢

BA = 70◦ α = ? d)⌢

AD = 140◦ α = ?

e) α = ? β = ? f) α = ? g)⌢

AC = 100◦⌢

BD = ? h) α = ?


i) α = ? j)⌢

CA = 55◦⌢

DB = ? k)⌢

TC = ? l) α = ?

m) α = ? n)⌢

QR = ? o) α = ?

p) α = ? q) α = ? r) α = ?


s) α = ? β = ? t) α = ?

2. Construir con regla y compás

a) La mediatriz de un segmento AB.

b) La perpendicular a una recta r por un punto P ∈ r y la perpen-

dicular a la recta r por un punto Q /∈ r.

c) La paralela a una recta r por un punto Q /∈ r.

3. Construir con regla y compás un triángulo △ABC conociendo que

sus lados son congruentes a tres segmentos dados AB, AC y BC.

4. Construir con regla y compás un triángulo △ABC conociendo que

un lado es congruente a un segmento dado AB, y los dos ángulos

adyacentes a ese lado son congruentes con ángulos dados α y β.

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