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Lecture note 9: Nyquistの安定判別法

電子情報通信工学科奥宏史

制御工学 I

Osaka Institute of Technology

参考文献

• G. C. Goodwin, et al., Control System Design, Prentice Hall, 2001.

• 木村英紀, H∞ 制御，現代制御シリーズ，コロナ社，2000.

• 嘉納秀明他,動的システムの解析と制御，コロナ社，1991.

• 山本稔編,解析学要論 (II)–複素解析とフーリエ変換–，裳華房，1989.

• 木村英紀,制御工学 I · II，講義ノート.

Osaka Institute of Technology 制御工学 I 2

ベクトル軌跡

• G(s) を伝達関数としたとき，G(jω)の実部を横軸，虚部を縦軸にとり，各 ωに対してプロットした曲線を G(s)のベクトル軌跡 (または，Nyquist線図)と呼ぶ．

0

G(0)

Re

Im

G( )


偏角の原理

• sの関数 f :– 単一閉曲線 C の内部の極を除いて C の内部および C 上で正則とする．

– C 上では零点をもたないとする．

• 閉曲線 Γ:– Γは w = f(s)による C の像とする．

⇒ Γは w平面上で閉曲線となる．

• 偏角の原理C 内にある f(s)の極と零点の数をそれぞれP , Z とする．sが C 上を一周するとき，f(s)は w平面の原点の周りを (Z −P )回まわる．

0s

CC s

w Γ

0

w

Γ


Nyquistの安定判別法

• 特徴– グラフィカル(トポロジカル，幾何的)な安定判別法．

– 伝達関数の数式表現を必要としない．

– 例えば「むだ時間」のような，有理関数ではない伝達関数をもつ制御対象にも適用可能．

G(s)eLs, L: むだ時間

– 複素関数論における，「偏角の原理」に基づく．


Nyquistの安定判別法 (続き)

• 最もシンプルな閉ループ系を考える．• G(s) =

N(s)D(s)

は安定で lims→∞G(s) = 0.

• 閉ループ伝達関数T (s) =

G(s)1 + G(s)

=N(s)

D(s) + N(s).

• 積分経路 C に Nyquist閉路を選択．

• f(s) = 1 + G(s) =D(s) + N(s)

D(s)を選択．

⇒ f(s)は不安定な極をもたない，かつ，

#(T (s)の不安定極) = #(f(s)の不安定零点)

G(s)r y

0 Re

Im

Cc

iC

i cC = C + COsaka Institute of Technology 制御工学 I 6


• Cc上では lims→∞ f(s) = lim

s→∞ (1 + G(s)) = 1

と一点に収束．⇒ Ci(虚軸，s = jω)上の −∞ < ω < ∞で考えればよい．

• 偏角の原理 (Z − P )に対照すると，• f(s) = 1 + G(s)の極は安定⇒ P = 0.

• Nyquist閉路は時計回り．

0 Re

Im

Cc

iC

i cC = C + C

#(T (s)の不安定極) = (f(jω)が原点を時計回りに回る回数)



• 複素平面上の並行移動 f(s) = 1 + G(s)

0 1

f ( )

Re

Im

0−1+j0

G( )

Re

Im

f (jω) G(jω)#(T (s)の不安定極)

= (G(jω)が−1 + j · 0を時計回りに回る回数)



• G(jω) → 0 as ω → ∞.

G(s) の Nyquist 線図が左側に −1 + j · 0 を見るとき，閉ループ伝達関数

T (s) =G(s)

1 + G(s)

は安定．

0−1+j0

G( )Re

Im

G(jω)

開ループ伝達関数からフィードバック系の安定性を判定できる．


Lecture note 10: 相対安定性 (Relative stability)

電子情報通信工学科奥宏史

制御工学 I

Osaka Institute of Technology

問題設定

G(s): 制御対象

C(s): 制御器

G(s)と C(s)の間には不安定な極零相殺はないとする．

C(s) G(s)+ −

U(s)R(s) Y(s)


安定性の定量的評価

• 前回までの話システムが安定か不安定かの判別−→定性的

• 今回は · · ·– システムがどれくらい安定か？– 不安定になるまでどれくらいの余裕があるか？

−→定量的な評価

0−1+j0 Re

Im

G(jω)C(jω)


2つの指標

• 安定余裕 (Stability margins)

– ゲイン余裕 (Gain margin)– 位相余裕 (Phase margin)

0−1+j0 Re

Im

φ

|a|

0−j1

ω = ωp

G(jω)C(jω)

• Nominal sensitivity peak

0−1+j0 Re

Im

ω = ωs

G(jω)C(jω)

η


安定余裕

• ゲイン余裕 (Gain margin) Mg

Mg := −20 log10 |a|虚軸上で −1 + j0に達するまでのゲインに関する余裕．

• 位相余裕 (Phase margin) Mf

Mf := φ

−1 + j0 に達するまでの位相遅れの余裕

0−1+j0 Re

Im

φ

|a|

0−j1

ω = ωp

G(jω)C(jω)


ゲイン余裕Mg := −20 log10 |a|

0 < |a| < 1に注意すると，1 <1|a|

1|a|

小さいとき: 余裕が小さい

大きいとき: 余裕が大きい

デシベル (dB)で評価する．

Mg := 20 log10

1|a|

= 20 log10 1 − 20 log10 |a|= 0 − 20 log10 |a|

0−1+j0 Re

Im

φ

|a|

0−j1

ω = ωp

G(jω)C(jω)


安定余裕とBode線図

10-2

10-1

100

101

-60

-40

-20

0

20

Mag

nitu

de (

dB)

Bode Diagrams

10-2

10-1

100

101

-250

-200

-150

-100

-50

Pha

se (

deg)

Mf

ωp

gM

ωg

0 dB

-180 deg


Nominal sensitivity peak

η: −1 + j0を中心とする円がベクトル軌

跡 G(jω)と接する最小の半径

η = |1 + G(jωs)C(jωs)|= |S(jωs)|−1

感度関数 (Sensitivity function)

S(s) :=1

1 + G(s)C(s)

−→ ηは感度のピーク値の逆数

0−1 Re

Im

ω = ωs

η

G(jω)C(jω)

G(jω )C(jω )s s


Nominal sensitivity peak

1(感度のピーク値)

= ηに注意！

Sensitivity peak: |S(jωs)|

感度のピーク値が大↓

ηが小↓

閉ループ系が不安定に近づく

0−1 Re

Im

ω = ωs

η

G(jω)C(jω)

G(jω )C(jω )s s


安定余裕と感度のピーク値の関係

• ゲイン余裕や位相余裕が十分あった場合でも，感度のピーク値が大きく，閉ループ系が安定限界に近いという事が起こり得る．−→安定余裕は感度のピーク値に関する情報を与えない．

0−1+j0 Re

Im

φ

0−j1G(jω)C(jω)

|a|


安定余裕と感度のピーク値の関係

• ゲイン余裕と ηの間の関係式

Mg ≥ −20 log10(1 − η)

(1 − η ≥ |a|に注意せよ．)

• 位相余裕 (Mf = φ)と ηとの間

の関係式

Mf

2≥ arc sin

η

2

(sin θ =η

2に注意せよ．)

0−1+j0 Re

Im

φηθ

|a|


演習問題

• ゲイン余裕と ηの間の関係式を

導出せよ．

Mg ≥ −20 log10(1 − η)

(1 − η ≥ |a|に注意せよ．)

• 位相余裕 (Mf = φ)と ηとの間

の関係式を導出せよ．

Mf

2≥ arc sin

η

2

(sin θ =η

2に注意せよ．)

0−1+j0 Re

Im

φηθ

|a|


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