____ - Los Elementos de Euclides

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    EUCLIDES

    PREAMBU L O

    M UY escasas son las noticias que se t ie nen de la vida de Euclides . l'ro-clo dice que floreci bajo Ptolom eo 1, y, por ta11to, e 11 el periodo

    306-285, que fue el de la gobernaci11 del f1111dador de la dinasta de los ldgidas, el cual lo ii1vit a profesar e11 el M useo de Ale jandra ; y cuntase que al preguntarle en cierta ocasi11 si para aprender Ceo111etra no habrla un ca1ni110 ms corto que el de los El ementos, Euclides le respo ndi: Eri Geometra no liay 11i11g 11 camino especial para lo s reyes.

    Ta111bih1 se dice que era modesto y amable con todo el mu ndo, e spe-cialmente con quie11es demostraha11 a ficin por los est11dios mate 111 dtcos .

    A estas pobres i11dicacio11es de orige11 griego lw y que agregar las de f11e11tes drabes, que aseguran que Euclides era lzijo de Neucrates y nie to de Zenarco, /1eleno nacido en Tiro y d o111iclliado en Damasco; 1w ticias que recoge el Libro de los J11dices (Kitab-al -fi hrst), donde se lee, ademds, que la madre del gemetra se llamaba Berenice .

    Modernamente, la revista Bibliotheca Ma thematica , de Estocolmo, ha publicado tres estudios: uno de H . Suter: Einigcs a us Nassi r ed- Din Euklidausgabe; 111, 1892, en donde tambin dice que Euclides era natural de Tiro ; otro de G. /1inge: Die Lebenszcit Euklids, x , 1910 , q uien, apo-ydndose en razones filoJgicas, sostiene que el gemet ra naci por los aos de 375 antes de /. C. 11 compuso los Elementos entre 330 11 320, &f, finalme11te, en un tercer trabajo, XIII , 1812, con el mismo titulo que "l anterior, T. Vogt limita la vida de Euclides al perodo 365 -325 y sita la redacci11 de la obra en los ltimos aos de su vida.

    Hoy parece poderse afirmar que Euclides estudi en Ate11as , donde conoci los ltimos resplandores de su foco cientfico, pasando luego a Alejandra bajo la proteccin de los Lcl~idas . La feclra 111ds probable de sr. muerte es la de 275 antes de l C .

    Su obra ms notable, a la c11a/ drbe la i11111ortalidad , es la titulada 689

  • 690 < 11.:-.111 Hu~ t..Ull l.lJ~ . 1 O~IU 1

    ~- ''l';" 111/11/.Jru ,,,,.. SI' ha truducidu por l:lc:men10~ y ,111111'111.. a lu que huy .uri11 1111 Tr.11ado o '"' Cur~o. cuyo texto ha llebudu u11th1t1co a nos-otros, p11L'S que, seg1"' opi11an los hele111stas, las alteraciones de lus ama-1111e11ses y tal cuul 111utilacin de los primeros editores 110 afectan al fon-do de la misma.

    l.os Elementos riial1:a11, pur su difusin, con los libros 111s famosos de la literatura 1111i1ersal: la Biblia, la Divina Comedia, el Fausto y ti Quijote , privilegio tanto ms excepcional cua11to que se trata de una pro-duccin cie11tfica, no asequible, por ta11to, a las grandes masas de lecto-res; pero su rigor lgico, en el cual estd la gh1esis del moderno pensa-miento 111ate111dtico, y la unidad de su exposicin hacen de ella 1111 cuerpo Je doctri11a nico, que ha sido la lectura obligada de todos los estudia11tes de Geometra d11ra11te veintitrs siglos 11 aln lwy sigue siendo la base de tal disciplina en la enseanza media.

    La precisin de los enunciados, el 111eca11is1110 de las demostraciones, la concatenacin de los teoremas y el deseo-tan felizmente alcanzado-de reducir al mnimo los fundamentos de las deducciones, convierten los Elementos en un todo orgd1ico, en que la Geometra aparece como cien-cia autnoma, independiente de la Arit111tica, y esta toma de aquella los recursos que necesita para las demostraciones y la 11ome11clatura ade-cuada a los entes de ra:n que trata.

    Zeutlte11, que Ira estudiado a fondo la f\fa1e111dtica antigua 1, llama sis-tema sinttico al conjunto de las proposiciu11es eucldeas cuya trabazn lgica permite pasar de lo desconocido a lo conocido y de lo particular a lo general, aunque para el historiador dinamarqus las particularidadrs de los Elementos estdn tratadas analiticamente, ya que el gemetra ale-ja11dri110 ordena sus proposiciones de tal modo que la base 11 los materia-/es de cada una estdn dados por los que le preceden y no introduce nin-gn ente en un razonamiento sin antes haber demostrado su existencia por medio de una construccin.

    Este mtodo exige ciertas afirmaciones previas, cuya exactitud se con-sidera como evidente, 11 ciertas construcciones, tambin previas, cuya ejecucin se supone conocida, es decir, las definiciones, los postulados y los axiomas.

    Las definiciones eucldeas: ;:,I!', son todas 110111i1iales e11 cuanto 110 expresan la esencia dr las cosas ni cnrrrspo11den a sntesis de elementos

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    1 /.'vru/at'JllJ: over Matlrl'noa11l:rni l1i11oriac , Cupenhague, 189) . llay trad. ale mana, I.eipzig, 1896, y francHa, Parls, 1902.

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    EUCLIDF.S.--PREAMBULO 69 1

    111teligiblcs, tendiendo solo a la clan.dad del le11g11ae; lo s postulados : oJ'1q1ara, son ..>erdades de cardcter prctico, computibles entre s---01111 -que Euclides no lo demuestra-, y al pedir que se admitan como po-bles algunas construcciones, de/ine11 los entes geomtricos, lo s cuales re presentan, al mismo tiempo, una elecci11 e11tre ciertas posibilidades lgi cas, y, por iltimo, los axiomas o 11ociones co 1111111es: "''"' """'' son ver-dades evidentes por si mismas; pero como la evide11cia es subjetiva, y , por tanto, vara de un lwmbre a otro, Euclides los enuncia sin preocupar se de si son suficientes ni de si lray alguno superfluo, y, por consiguiente, no fonnan w1 todo indisoluble desde el p11i1to de vista lgico .

    La diferencia entre los postulados y los axiomas co11siste en que Eu elides-y con ~l todos los gemetras griegos-pidi la aceptacin de los primeros para poder incl11irlos en el sistema de los segu 11dos: {""'' y les dio el cardcter co11str11ctivo finame11te captado por /lobbes . Los llamados postulados o peticiones-dice--so11 en realidad pri11cipios, pero no de demostracin, si110 de co11stn1ccin, es decir, 110 de la ciencia, sino de la potencia, o, lo que es lo mismo, 110 de los teoremas, que so11 espe-culaciones, si110 de los problemas, que perte11ece11 a la prdct ica d :! hacer algo 2

    La c11esti11 de los 11.ostulados o axioma.s- palabras si 111lni111as para el matemdtico de lioy-tie11e un aspecto metaf sico del que es di fcil pres-cindir. Se establecen arbitrariamente sin otra restricci 11 q ue la de ser compatibles e independientes, o sea, que 110 tenga11 contradicciones lgi-cas internas y que ninguno se deduzca de Jos demds ; se combi11a11 y .. . si-guen siendo post1Jlados o axiomas, cuya razn de .ser es inaccesible por-que, en ltimo anlisis, se reducen a u11 juego de palabras y de simbo/os en nmero finito, insuficiente para individualizar los conceptos impllcita-mente definidos por ellos, incluso considerados como relaciones lgicas que, al fundarse en el papel que

  • 692 ULNlll-IUJS (;Mii.LOS. IOMO 1

    1111irt1.:11Ju lus ta111i1ws del problt!111a. La e.rperie11c1&1 &111t1t:Ull solo no1 daba una dase de espacio cuya imposibilidad demostraba la Ldgica, mien tras que lioy la Lgica establece la posibilidad de varios espacios i11depen-din11es de la txperiencia 11 deja a esta el cuidado de elegir entre ellos. Por tanto, el conocimiento de lo que es ha disminuido; en cambio, ha aumentado prodigiosamnite el de lo que puede ser.

    BIBtIOGRAFIA

    Las obras del mds fam.oso gemetra. que registra la historia de la Ma. temdtica son las siguientes:

    ~I J . ."to1z1ia: Elementos, en trece libros, a los que casi todos los edi-tores, agregan otros dos, cuya autenticidad es dudosa porque nir1guno de los manuscritos se los atribuyen sin reservas. El que figura con el n-mero XIV podra ser de Hipsicles, que floreci l1acia 150-110, 11 trata de los polgonos regulares con elegancia, pero sin el caracteristico rigor euc/j. dC"o: y el XV se cree generalmente que es de Damascio de Damasco, del sit:lo IV antes de J.C.; fue vertido al lat11 en el XII por Gerardo de Cre 111011a, en la Escuela de Traductores de Toledo, y consta de tres partes, la primera de las cuales trata de la inscripcin de unos poliedros en otros; la ug1111da-que es muy corta-estd dedicada al problt:ma de encontrar las aristas y las caras de los poliedros regulares, y el objeto de la tercero es ddenninar la amplitud de los dngulos diedros de los cinco poliedro1 regulares, cuyas demostraciones declara t: autor del libro que las expo. ne St'gn el m'todo de su maestro Isidoro 1 ; 6i 1e10' W( 'lol6"'e' 0

    ~iueo' i9''1Y~' iy' 616Coa>.oo, 111 ror rexor Jotror, fundado en la propit'dad dt' Hr alturas las medianas de un tridngulo equildtero.

    La historia de 101 Elementos es la historia de la Geometrla desde qui fueron t'scritos hasta el Renacimiento.

    Durantt' mucho tiempo se ha credo que Euclides se limit a enunciar sm proposiciones siendo Then de Alejandria 1 quien las dnnostr, error

    Pudiera ser el matem~tico de este nombre que floreci en Alejandrla en el siitlo v a. de J.C.

    l Su acm 11e sita en 470 a. de J.C. facribi unos comentarios al AtmagtJto de P1olomeo, en colaboracin con su hija Hipatla, lapidada por las turbas el

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    EUCLIDES.- 81 Bl.IOGRAF IA 693

    11.icdo Je u11 pasuje del propio Tht!n en sus comentarios al Almagesto dt Ptolomeo, en el que se dice autor de una redaccin de los Elementos, lo que fut confirmado por algunos manuscritos que dan la obra como saca-da de las conferencias de Then: iz ,.:,,, Bwoc ''"'''"'" de lo que s1 hi:o eco Boecio ' qiu fue el primero que d io a co11ocer la Geometrla griega en el Occidente latino.

    Este equvoco hizo que los primeros editores de Euclides, creyendo rntituir el original, publicasen los Elementos sin demostraciones o las modificaran caprichosamente i;oomo Ranws 4 , quien asegura que The11 utili: los trabajos de Euclides, como este haba utilizado los de sus an-tecesores: Sic ~nim Pytbagorac Hippocratcs , Hippocratis leo, Leonis Theu-dius, Theudii Hcrmotimus, Hcrmotimi Euclides, Euclides Theon oro111 wo1 .. rctcxuit el cmendavit '; pero gracias a fean Buto11 . q11e cotej el comen-tario de Proclo con el texto de Then contenido en el manuscrito Vat . 190, st sabe que wlo hizo ligeras modificaciones en el original de los Elemen-tos, a fin de adaptarlos a sus lecciones, segn se advierte en la obra de B11tedn De quadratura circuli; eisdem annotationum opuscula in errores Campani, Zamberti, Orontij, Peletarii, lo. Penae interpre tum Euclidis, pd-ginas 209-12, Lyon, 1959.

    Respecto Je las versiones drabes las ms estimadas son las de Haggaz Abt11ys11f Abe11111atar y de (!_aac Abenhumein, de principios y finales del siglo J, respectivamente, las cuales sirvieron de base a la de Otmdn de Damasco, de fecha incierta, quiC'n las complet con cuarenta proposicio-nts ms que encontr en un manuscrito griego de Roma ; y por lo que se refiere a la tan famosa de Nassir-Eddin, hacia 1260, es mds bien un arre-glo que una traduccin: pero tiene el mrito de haber servido para que los persas conocieran la Geometrla griega. Sus comentarios fuuon im-presos en drabe, Roma, 1594.

    Athelard de Bath es el primer europeo que, por los aos de 1110,

    allo 415 por 1er pagana, con la cual puede decinc que dej de cultivarse la Ma 1emj1ica en Alejandra.

    J Anicio Manlio Severino Boecio, filsofo neoplalnico (480-524), considerado como el ltimo romano y el primer escols1ico .

    4 Pierre de la Ram~e (1515-1572), Ramus cuando Ja1inizaba. Como filsofo combati a Aristteles y como matemtico ensa lz a Eucl ides.

    s Scholarum Mathematicorum, pg. 77, Dasilea, 1569. Ma1cm1ico francs (1492-1572), a qu ien se debco algunas inte resantes cues -

    tiones sobre la tcorla de nmeros.

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    tru111u 11 t.11d1.Jff:i; Jd drabe ul l11ti111, JI su Hnuill fue i111pr~111 c:u11 \1 11ombre di: Campa110. ,t-, .. ~

    Las 11ersions dra~s d Euclides han sido stlldiadas por .. M. Kla,,.. rotl11, quien lleg o la conclusin d que los troductores inttrpolarou uei11tisjis proposiciones por lo menos JI mucha definiciones, JI sustitu. yeron las demostraciones d' los libros XI, XII JI XIII por otras nads corn. plicodas, lo cual de~ acogerH con ciertas r.servas despuls de las inu,J. tigacio11es de Hei~rg ' quien o.seiura qu los dra~s no mutilaron 11 luto de Euclitls 11111 9" COll#l'INlrOll lu "''Jiic:iorws M Proclo 11 aats ~- f ..., a~JIO''-tJe'al.ln ..... temdticos no orientalistas al estudio de ellos; JI, n efecto, nueue aoJ despu,s, JI en col.boraci11 con &sthorn, nn~z o publicar el Codex 1 i.r.dreVI JM.l. E..tich Aemeota u intcrprctatione Al-Had5Chdschhds diii e.a c:Gmmat\Uiis Al-Nariu.i, arabice et latine eddiderunt notisquc instruxerunt, Hauniae, 1891-1910 "

    La edicin princeps de los Elementos es de v,necia, Erhurd Ratl1olt, 1481, fol. Aunque no tiene ttulo, es la traduccin latina de Athelard de Bath con un come11tario de Campano, y empieza con estas palabras: Pre clarissimus Liber Elementorum ~uclidis, perspicacissimi in artem geome-triae incipit quam felicissime.

    1 ce. WEISSENIOllN: Die Obcrselzungcn d~s Euklids IUS den arabischen in das Uiteinische durch Adelard von Bath . ., Abh. zur Gtsch. d~r Math., 111, Leip. zi1. uao.

    1 Ober den arabischen Euklid , Zeitschrift d. d1ut1chen mor,1111. G~u11.

    schaft. vol. XXXV, &>'11. 270.326, Berln, 1884. 'Ober arablsche Tradition der Elemente Euklld'u, Z1itschr. f. Math. und.

    Ph11s., pjp. 1-22, Lelpzls, 1114. Sobre el estado en que 101 jrabe& conocieron los El1m1ntos, el mismo orie11.

    talista antea citado, KLAMllOTH, public, tambiln en Ztitschr., vol. XLI, &>'&. 419, 1117. un nuevo trabalo: 10ber die AuszU1e der srlechischen Schrlstellern bel al- Jac'qQbl , de Interesante lectura; y para completar este tema pueden consul-tarse 101 1i1uientes estudios, que citamos por orden de publicacin: GAatz: De intrrprdibus 1r nplanatoribu1 Euclidi1 arabicis schediasmata historicum, Halle. l 123; WENIUCH: Dr auctorum graecorum versionibu1 et commentariis s11 riaci1. arahich, ptrJicilque commentatio, Leipzig, 1842; WUSTENFELD: Die 01.ier-

    ~ctzungcn arabischer Wcrke in das lateinische1, Abh. d. k. Ges. d. Wiss .. XXII, Gounga, 1877; STEINSCHNUDEll: Euklid bei den Arabern, Zdrsch . f. Math. u. P/111 . pjgs. 81 110, y Sun11 : Dcr V Band der arabischcn Bchcr der vice . koniglischen .Bibliothck in Kairo, en la misma revista, 893, pgs. 124 y 42-57.

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    EUCLIDES.-BIBLIOG:IAl IA 695

    En la introduccin aduierte el editor que 1/a dificultad de impn"m1r tieuras ha impedido hasta ahora hacer libros de Geomelrla; pero este obstdculo acaba de ser saluado por grandes artistas, y hoy se pueden dar las figuras con tanta facilidad como los caracteres impresosa, y, en efec-to, la edicin tiene figuras marginales que, a primera vista, parecen gra -badas en madera, pero un examen mds atento demuestra que son en me-tal. lncluye los libros XIV y XV y omite dieciocl10 proposiciones, dando, tn cambio, treinta que no son de Euclides. Esta uersin estd hecl1a del vabe, como lo denuncian ciertas palabras, tales como hclmuaym, rombo; ldmu.aripbe, trapio, 11 otros.

    la segunda edicin, en caracteres romanos, Venecia, 1491, fol ., es ama reproduccin de lq princcps.

    La tercera, tambiln en caracteres romanos, contiene, ademds de los Elementos, las dos Opticas, con el nombre de Spccularia y Perspectiva, y los Datos, con un prefacio de Marino . La portada dice asi: Euclidis Mega-riensis, philosophi Platonici 11 , malhemalicarum disciplinarum junitoris Ope-ra, Zamberto Vcneto interprete, y el colofn advierte: lmpressum Vcnc-tis . .. in edibus Joannis..._ Tamini, M.D.V.VIll. Ka len das novembris . Tiene un largo prefacio de Zamberto--en el que a( in11a que ha hecho la versin Je/ griego--y una biografa de Euclides.

    La cuarta fdicin fue preparada por Luca Pacioli 12 y lleva el sig"ien-lt titulo: Euclidis Megariensis, philosophi acutissimi, mathematicorum om-nium sine controversia principis Opera . Es la traduccin de Athelard de Bath, y Pacioli cita el comentario de Campano, al que agrega algo de su

    11 Aqu &e comete el error de confundir al autor de los Elementos con su homnimo el de Mepra, filsofo contemporneo de Platn, que floreci, por unto, un 1iglo antes que el gemetra alejandrino. E51 advertencia no u Intil, pues que Valerlo Mximo Identific a los dos personajes tomando como punto de partida un pasaje de Plutarco, del que tambin se hizo eco Bocelo, quien transmiti el error a Petrarca y este a Regiomontano primero, a Tartaglia dcs-puis y a otros varios editores de Euclides, que trabajaron sobre la base de 111 invesrlgaciones de Campano y de Zamberto, hasta que a fines del siglo XVI, Commandino, 1572, y Clavio, 1574, deshicieron el error y se puso en claro la distinta personalidad de los dos Euclides.

    12 Famoso monje italiano (1445 -1514), que escribi una Summa de Aritl1me-1ica, Geometra, Proportioni et Proporlionalita, publicada en 1494, en le cual rstn resumidos los conocimientos matemticos de la l!poca, y a pesar de su ucaso mrito intrlnscco, tuvo un xito extraordinario.

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    'O$.-d1.i /.;.,, .. d h ' th1111i11au J, Cu,t1g11Jur . Al libru \ l'''"'J., d rl'luto Je 11w ,u11fae11ors, 15 J 6, fol .

    Otras edicio11es del siglo XVI so11 las de Comma11di110 : Euclidis ele-ncntorum libri XV una cum scholis antiquis, Pisa, 1572, y Clavio 1: : uclidis elementorum libri XV Accesit XVI de regulari solidorum com-1aratione, Roma, 1574. .

    El texto griego con el co111e11tario de Proclo lo public por primera t: el telogo sui::o Simon Grynt, Basilea, 1531; y respecto a las edicio-'l

  • t8 Lllt. l IHCOS GHIL~OS . - JUMO 1

    rlller/icie, y Cha~les 1~ opina que la obra tratuba de las cud-icas de revolucin y sus seccio11es pla11as, apoyar1do su tesis en la pro->siciJn 11 del tratado Sobre conoides y esferoides de Arqumedes, en mde, luego de enunciar a/gimas propiedades de estas superficies, din

    siracusano que las demostraciones de tales propiedades son evidentes: ,, ,w .. /JI :ianw,. 'l'"'eai ;,.., o cinoch!1c, lo que parece indicar que Ar-11 1111edes aluda a ur1a obra anterior, que podria ser la de Euclides.

    Heiberg lll 110 cree que dicha frase arrebate a Arqulmedes la prioridad 1 el estudio de las cuddricas y , recordando los conocimientos de Estereo->ma que tenan los griegos anteriores a Euclides, opina que la obra de rte colltena, adems, las propiedades del cono, cilindro y esfera, y, ace-J ta111bih1, del toro de Arquitas ll.

    IV. Xw .... ,: Secciones cnicas, obra de la que puede decirse, como e la a11terior, que todo son conjeturas acerca de su contenido. La critica 10derna cree que se trata del arreglo de otra de Aristeo sobre el mismo m1a y sirvi de base al tratado de Apolonio.

    Arqumedes habla en varias ocasio11es de ciertas propiedades de las eccio11es cnicas que crea conteriidas en el escrito de Euclides, quien 011sider como propiedad fundamental de las curvas que estudi la u -iresada por la ecuacin cartesiana yl = 2px + qx2.

    V. fl1ei lua1eia1"'" ~1pJ.io>': Sobre la divisin de las figuras, obra de a que solo se sabia lo que dice Proclo: que trata de la divisin del circulo ' de las figuras rectilneas en partes proporcionales, hasta que /olm Dee u ncontr en 1561 un manuscrito rabe con un titulo andlogo al citado m griego y lo tradujo al latfn, atribuy~ndolo a un tal Mahomet de Bagdad,

    n Jean-Etienne Montucla (1725-1799) escribi una Histoir d.s Mathlmati-quu, Pars, 1754, que es, realmente, la primera digna de este nombre. Tiene et defecto de su parcialidad por todo lo franc~s. En el tomo 1, p4g. 172, dice que para Euclides loa lugares auperlicialea 'n las 5uperficlu en general, y ca la pjg, 214 asegura que e trata de las Uneas de doble curvatura.

    11 Nota a su trad. alemana de la Histoire des Mathlmatiques, de Bossut. "Aper:u historiqu sur l'oriiine d t le dvlloppement des mlthodes en

    Gomtrie, 3. cd., nota 11, Parls, 1889. 20 En su edicin de las Opera om11ia de Arqu(medes, vol. 1, pg. 342. ll Cf. V. FLAUTI : So/uzioni geometrisc:l1e di a/cuni prir1cipali problemi su/la

    p1ramidc: tri1mgo/are, en la Atti de la Academia dt' Npoles, vol. 1, pg. 22, l 8H. 12 Ast rlogo ingl~s (1527 -1607), que goz: de gran predicamento en la corte

    de Isabel l.

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    EUCLI DES.-BIBLIOGRAF IA 699

    v en el cual crey que estaba co11tf!nido el tratado de Euclides cuya ver-sin public Commandino con algunas re.servas: De superfici e rum d ivi-lionbus lber Machometo Bagdalino adscriptus, n unc primum Jo ann is Dee Loodinensis et Federici Commandini Urbinatis in luccm edit us, Pisa, 1570, y el mismo ao apareci en Psaro una traduccin italiana de F . Viani d Malatesti da Montefiori: Libro del modo de dividere le s uperficie attri-buito a Machometo Bagdalino.

    E. Savile u cree que esta traduccin no reproduce ntegramente el cuto de Euclides, puesto que solo habla de las figuras recti/nt'as, niien-tras qut' en el tratado del gem etra griego tambin tenla cabida el circulo.

    En este estado se encontraba la cuestin cuando a mediad os del siglo pasado Woepcke top con un manuscrito drabe en la Biblioteca Nacional de Parls, en el que habla dos fragmentos de las obras de saparecidas de Euclides y las public J4 cote jdndolas con el manuscto de Dee, de cuyo rstudio dedu jo" que este reprod uca esencialmente el tratad o de aquel ; y as se cree lw y apoydndose en la autoridad de Moritz Cantor 11

    La traduccin de Dee sirvi para la reconst itucin de L. F . Of terdin-ger: Beitrage 'zu Wirderherstellung der Schrift des Euklides ber Theil un g dcr Figuren, Ulm, 1851, en la que demuestra rigurosam ente las proposi-ciones enunciadas por Euclides: veintiuna en to tal, las seis pn'meras de las cuales se refieren a la d ivisin de un tridngulo en partes iguales, cua-tro a las de un trapecio, otras cuatro a la de un tridngulo cualquiera JI cinco a la de un pentgono. Las dos restantes son lemas.

    La restitucin dt' Ofterdinier no se consider definitiva a causa de

    u Praelectiones trdecim in principium Elmentorum Euclidis, pg. 17, Ox-ford, 1619.

    l4 cNotice sur In traductions arabes deli deux ouvrages perdua d'Euclideo, /ournal Asiatique, serle IV, vol. XVJIT, pgs. 217-i7, Pars, 1851. Cf. tamblfo ,us po5tcrlores cRechcrches sur l'histoire de1 sciences mathmatlquu chez lea Oricntaux d'apr~s les trait~s lndits arabes et persianso, en el mi m o Joumal, serie V, vol. V, pgs. 220-320 y 338, 1855.

    lS Vorlesu rigen ber Geschichte der Mat hematik, vol. 1, pg. 287, Lei pzig, 1880. Tambin es interesante la lectura de STEINSCllNEu>ER : E uk.lid bei den Ar aben, Zeitschr. fur Math. u. Phvs .. XXXI, pg. 102, y HE IBEl!.G: Studiw, p.iginas 12-16 y 36-38, el cual dice tcxl ualmen1c : Die von Woepck. e hera usge

    1c~ne Abhandlung is die Sch rift Eukl ids :u Qi 1aQo

  • iUU LltN 111 l '- U!> LIULGOS . IUMO 1

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  • 70.l

    l. 2. ). 4. 5. 6. 7. 8.

    en un

    CIL" l lt ILU~ GHIEGOS.-TOMO l

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    ELEMENTOS DE GEOMETRIA

    ll BRO

    1 DEFINICIONES

    Punto es lo que no tiene partes. lnea es la longitud sin anchura J, Los extremos 1 de la Hnea son puntos.

    . ,.

    linea recta es la que yace por igual 4 sobre sus puntos. Superficie es lo que solo tiene largo y ancho. , Los extremos de la superficie son Uneas. Superficie plana es la que yace por igual sobre sus rectas. Angulo plano es la inclinacin de dos lneas que se encuentran

    plano y no yacen las dos sobre una recta. '" 9. Si las dos lneas que contienen el ngulo son rectas, el ngulo se

    llama rectilneo.

    1 'll'' iv, seal. La ddinicin del punto por su indi\'isibilidad, lo que no tiene ~rics, escamotea su origen emplrico. Anies de Euclides, el punto se ., dec!a estigma: "YI'~ sella! que dejaban en la piel los hierros de los esclavos, el punctum latino, agujerito marcado con un estilete, de puniere, clavar. El punto eucUdeo es umeion, sella), centelllta de luz que matiza positivamente la definicin negativa de los Elemento y responde, adem!s, a la hipertrofia del sentido visual de los griegos, hombres contemplativos, a diferencia de loa hombres d; accin romanos, que hadan incluso 101 puntos mardndoloa vio lentamente con un clavo. Euclides se limita a mirar la luL

    J Esta definicin es lgicamente defectuosa, como la de punto; pero con. cebido este sin partes, es f6cll concebir la longitud sin anchura.

    J 11('OlQ. 4 i~ ioov, frase que ha preocupado a los exegetas de todos los tiempos. Ya.

    cer, descansar, (~ ioov, que Jos latinos tradujeron er aequo, es una propiedad de la recta que Euclides dedujo probablemente del arte de la construccin como regla o barra rgida, cuyo carkter visual denuncia la tra)ettoria del r J)'O luminoso coincidente con el borde de la regla. Sobre este asunto hay un intere~ante trabajo de Amal.di tn las Qucstioni riiuardanti le J;latcmatichr dc111c111ari, de FEDERICO ENlllQUES, ) . ed., Bolonia, 1924.

    .,

    ...

    EUCLIDES .-EU'.MENTOS DE GEOMETRIA 703

    10. Si una recta trazada sobre otra forma con ella dos ngulos conti-guos iguales, cada uno de ellos es recto, y la recta se llama perpendicu-lar a aquella sobre la cual . se traz .

    11. Angulo obtuso el mayor que el recto. 12. Angulo agudo es el menor que el recto.

    13~ Lmite es el extremo de algo. 14. Figura es lo comprendido por uno o varios Hmltes 5 15. Crculo es una figura plana limitada' por una sola Hnea que se

    llama periferia 7, respecto de la cual son iguales las rectas que inciden sobre ellas trazadas desde uno de los puntos situados en el Interior de la figura.

    16. Este punto se llama centro del cfrculo. 17. Dimetro del drculo es una recta cualquiera que pase por el cen-

    tro y cuyas dos partes tengan sus extremos en la periferia. Esa recta di-vide al drculo en dos partes iguales 1

    18. Semidrculo es la figura limitada por un dimetro y la periferia. El centro del semicirculo es el mismo que el del circulo.

    19. Figuras rectilfneas son las limitad as por rectas . Trilteras si lo estn por tres; cuadrilteras por cuatro y multilteras por ms de cuatro.

    20. Entre las figuras trilteras el tringulo es equiltero' si tiene los tres lados iguales, issceles si solo tiene dos lados iguales y escaleno si sus tres lados son desiguales .

    21. Entre la figuras trilteras, el tringulo rectngulo es el que tiene un lingulo recto obtuslingulo, el que tiene un ngulo o btuso, y acutn gulo, el que tiene sus tres ngulos agudos 10.

    22. Entre las figuras cuadrilteras, el cuadrado es equil tero y equi-

    'Esta definicin de figura: oxii11 , esquema; de oxeiv, tener, poner, delata la predileccin de los griegos por lo finito, por lo sujeto a medida, que Spcn-gler elevara a slmbolo apoHneo.

    'l'lfQ1.tX611evov, circundado, rodudo. 1 nrQupiQria, dice Euclides por circunferencia, palabra que no emplea, 1ino

    crculo : xxl.~. llixo t11vtiv, literalmente dividir en dos, pero sobrentendiendo partes iguales. 'ion:l.ruQv, isopleuro, de Ioov, igual, y nhi>Qa , lado. latinizada la palabra,

    se empic durante toda la Edad Media, y hoy est en desuso. 10 los nombres griegos OQOoywvlOV, u11 ~kuywv1ov y o~uytvtO\' para los tri..1-

    gulos rectngulos, obtusngulos y acutngulos, respectivamente, pasaron ;. los la1inos, que los llamaron orlogonios, ambligonios y oxigonios .

    ~------------------------....._:_~ L ~~~~~~~~~~~~~~-

  • 70. ClliNTIFICOS Galf.GS.-TOMO '. I ~ . '

    ngulo; d n:~tiingulo 11, equingulo, pero no equilatno; .. e) rombo t$ equilh:ao, pero no reclangular; el romboide, sin ser equilatuo nl equi ngulo, tiene Iguales los lados y los nulos opuestos. lai dem figura. cuadrilteras se llaman trapecios. , ",, o l111n t . , 1

    23. Recias paralelas 100 las que, estando eo el mismo plano i pro-longadas al infinito, no se encuentran. I

    l. Trazar una linea cualquiera.

    2. Prolongar de una tada 11

    ... ,:

    n POSTULADOS

    recta desde un punto cJalquiera . a .otro punto ' .......

    manera ilimitada en linea recta una recta limi

    3. Describir un crculo para cada centro y cada radio u. 4. Todos los ngulos rectos son \guales. 1, 5. Si una recta, al incidir 14 sobre otras dos, forma del mismo lado

    ngulos internos menores que dos recto!t, las dos rectas prolongadas al infinito se encontrarn en el lado en que est~n los ngulos menores que dos rectos u .

    11 ; "1.'l"P"' heterrnecos, obloncos, de ob y /on6!us, largo, rectn&ulo apai-udo, ms laro que ancho. En Aritmltica, el nmero hetermeco es el pro-ducto de dos enteros distintos, y cuando son iguales )', por tanto, el nmero es un cuadrado, aquellos factora aon los f lanco1 de este, 1e1n la definicin de Aristteles.

    u Un 1e1mcnto, se&n la terminoloaCa actual. El concepto de 1e1mento no existe en la Geometda rlep.

    u Hemos traducido por radio la palabra 6uon111u, distancia, porque Eucli-des la emplea, eYldentemente, en sentido mltrlco; pero recordaremoa que aquella voz.. rodiu1, no aparece en Geometra hasta el allo XVI con Ramua. que la Introdujo en 1u Scholarum mathrmaticorum, Basllea, 1569.

    14 l11:tl:1novoa. " Este postulado-taln de Aquiles de la Geometra arlep--cs el llamado

    por antonomasia poJtulado dr Euclidrs, que ha hecho astar en comentarios e intentos de demostracin montallas de papel y mares de tinta. Como hacer siquiera una sntesis de todo ello nos lltvarfa demasiado tiempo y espacio, recomendamos la lectura de los dos primeros capjJul91 de la obra de Rou1110 Bosou : S111la uoria dril para/Ir/ r sulla Gromd'ria non ruclidra, Bolonia 1912. de la que hay trad. espallob, Madrid, l 92l , y Buenos Aires, 1945. '

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    EUCLtDES .- tLE MC: NT O S Dl GEOM ETR IA 705

    lll

    NOCIOl\ES COMUNES

    l. Cosas iguales a una misma cosa son iguales en tre sl . 2. . Si a cosas iguales se agregan cosas iguales, los totales son iguales n . 3. Si de cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales 11 4. Si a cosas desiguales se agregan c.->sas iguales, los totales son des-

    iguales. 5. las cosas dobles de una m isma cosa son iguales en tre sl. 6. las cosas mitades de una misma cosa son iguales entre s l. 7. Las cosas congruentes" entre s l, son iguales entre sf. 8. El todo 11 es mayor que la pa r te . 9. Dos rectas no comp renden espacio 21

    IV

    PROPOSIC IONES

    l. Construir Utl tringulo equiltero sobre 11 11 segmento dado 22. Sea AB el segmento dado. Haciendo cent ro en A y en B, d escr lbanse

    los crculos BGD y AGE, y desde el p un to G en que se cortan t rcense hasta los puntos A y B los segmentos GA y GB 21

    "Silogismo fundamental de la Matemt ica, mediante el cual introduce Eu-clides el principio de transltlvidad.

    11 Fisura en los Prlmros Anallticos, I , de Aristteles. 11 A1.1STTJLES: Mtaflsica, XI, 4, la da como axioma. 1t f.qioQ1at;.ovta, de lqin11t;.uv, ajustar, encajar. Congruentes son, pues, 111

    cosas que se, ajustan unas a otras sin deformar5t. lO o>.ov. total. JI Algunos editores, con excelente criterio, consideran esta nocin comn

    como un sexto postulado que completa el anterior-a de paralelismo-, pues que establece la unicidad de la determinacin de un punto por la lnteueccin de dos rectas.

    ll Los Elementos dicen recta limitada : t tOf i a 1tfJ1f(lOOtl'' 'l Vid. supra, no ta 12.

    2J Eucl ides escribe A. 11 y /'.4. , /' LJ ; pero pue5to que la coma equivale tam-bin al signo de suma, empicaremos la copula tiva 11 cuando se trate de di -1in1 os elementos. CIU

  • 706

    o

    CIE..,TIFICOS GRIEGOS.-lONO 1

    Puesto que el punto A es el centro del cfrculo GDB, el segmento AG es igu1I al AB, y por ser B el de GAE, es BG igual a BA, y como se demostr tam-bin que e,._' es igual a AB, los segmentos GA y GB son iguales al AB. Pero cosas iguales a una misma cosa son iguales en-tre sr: luego GA ser igual a GB, y, por tan-to, GA, AB y BG son 1igualei entre si; el tringulo ABG es equiltero y est, ade-ms, construido sobre el ,segmento AB, que

    E

    F10. l . es lo que se quera hacer >t, '

    2. Construir en un punto dado un segmento igual a otro 'dado. Sea A el punto dado y BG la recta dada. Trcese el segmeto AB : cons-

    tniyase sobre este segmento el tringulo equi-ltero DAB y prolnguense sus lados DA y DB.

    Puesto que el punto B es el centro del crcu-lo GHT, el segmento BG es igual al fiH ; por ser D el centro del crculo HKL, el segmen-to DL es igual al DH, y como DA es igual a DB, el resto AL es igual al BH, pero se demostr que BG es igual a BH: 1uego AL y BG son igua-les a BH, y como cosas iguales a una misma cosa son iguales entre s, tambifo AL es igual a BG, y, por tanto, el punto A est en un seg-mento AL igual al dado BG, que es lo que se

    l

    flG. :z; ,, quera hacer.

    l. Dado dos segmentos

    E

    flG. ) .

    24 i'1:t1 l' ibu ;101i1om .

    dniguales, restar del mayor otro segmento

    B 61

    igual al menor. . Sean AB y G los dos segmentos

    desiguales dados (Fig. 1 3). Constr-yase en el punto A el segmento AD igual al G, y haciendo' centro en A

    1 . 1 ~ U -"L~ , ; l f con radio AD descrrb_a.se , el circu-lo DEZ. Puesto que A es el centro del crculo DEZ, el segmento AE C.'> igual al AD, y eomo tambin Ge~

    . '

    ..Z i '. : ~ ~ ....

    1 I

    1

    1 i

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    1 i

    ~~~~.._.._ .... ,.. ............... .._~~~~L

    EUCLIDES.-ELEMENTOS D E GEOMET RtA 707

    igual a AD, los segmentos AE y G son iguales a AD. y, por tan to, AE es igual a G. Segn esto, del segmento AB se h a restado otro, AE, igual a l G, menor que el AB, que era lo que se queda hacer.

    4. Si d!Js tringulos t ienen dos lados del 11no iguales a dos lados del otro e iguales los dngulos compr1ndidos por los lados iguales, tendrd11 iguales sus bases y los dos tridT1gulos serdn ig11ales.

    Sean los dos tringulos ABG y DEZ, que tienen los lados A B y AG res -pectivamente iguales a los DE y DZ, y el n gulo com p rendido BAG igual al EDZ (Fig. 4). Digo q ue la base BG es igual a Ja EZ, q ue el tringulo ABG es igual al DEZ y que los tn-gulos restantes ABG y AGB son A D iguales a los DEZ y DZE.

    Si se aplica ll el tringulo ABG sobre el DEZ colocando el pun-to A sobre el D y el lado AB so-bre el DE, se aplicar tam bin el punto B sobre el E po r ser iguales los lados AB y DE.

    Una vez aplicado el AB sobre B G E Z el lfD se aplicar el AG sobre el F 1c . 4. DZ por ser el ngulo BAG igual al EDZ y el punto G se aplicar sobre el p unto Z por ser tambin iguales Jos lados AG y DZ; pero como ya estaba apl icado el punto B sobre el E, la base BG se aplicar sobre la EZ porque si es tando ya aplicado el punto B sobre el E y el G sobre el Z ~o se aplicara BG sobre EZ,

    u En esta proposicin, que conocemos hoy como primer c110 de Igualdad de tringulos, Euclides emplea la palabra l~11~uv, ajustar, enca jar, adaptane, en el sentido de aplicar o trasladar una figura aobre otra, es decir, 1uperpo-nic!ndolas, operacin que puede hacer porque admite que el espacio no e)erce accin deformante sobre 101 cuerpos cuando estos 1e trasladan de un Juar a otro, postulado que utilizaron todos los emetru &riegos, pero ain enunciarlo expHcitamente. En 1S57 Pelletier lo consider como una dcinlcln y posterior-mente, en 1638, al reproducir la demostracin eucldea, Borelli tom la precilu cin de advertir : facta inte/lectua/i superpositione, o sea, superpuso los trin1u-los no material, sino intelectualmente. Es el postulado de libre movilidad est ll blecido por Helmholtz en 1887 ; que Hilbert incluy explfcitamcnte entre 101 axiomas de cQngruencia en sus Grund laA:en d e r Geo m e trie, l.eipzig, 1889, y al que Russell dio su forma actual en 1910 .

  • i08
  • 710 UE"llFICOS GRll:.GOS. - TOMO 1

    lo DBG al AGB, es decir : el menor igual al mayor, lo cual es absurdo; luego los lados AB y AG no son desiguales, l.q.q.d . 21

    7. Do1 s'gmento1 resputivamente iguales a otro1 dos con los mis-mo1 extrt>mos en el mismo ladQ de una misma recta no se enCHt>nlran en dos puntos distintos .

    Constryanse, si se puede, sobre la misma recta AB (Fig. 7) los dos e; segmentos AD y BD iguales respectivamente

    a las rectas AG y BG, de manera que que-den determinados dos puntos distintos G y D teniendo dichos segmentos los mismos extremos en el mismo lado de AB y, por tan-to, GA serj igual a DA con A como extre-mo comn, y BG igual BD con el extremo comn B, y trjcue la GD.

    B Puesto que AG es igual a AD, los 4ngu-f1G- 7. los AGD y ADG serin iguales, y, por tanto,

    el ADG mayor que el DGB, y con mayor ra-zn el CDB ser mayor que el DGB, y como GB es iguafa DB, sern iguales los ngulos GDB y DGB; pero como se acaba de demostrar que uno de ellos es mayor que el otro, resulta un imposible; luego si sobre una misma recta se construyen dos segmentos respectivamente iguales a otros dos con los mismos extremos en el mismo lado de dicha recta, no determinarn puntos distintos, l.q.q.d. .

    8. Si dos tridn,ulos tienen dos lodos "'' uno ;,uoies " los lados "'' otro ' icuoles los bases, terulrdn iiuals los '"'"' comprendHlos por los llu:los i1uols. ,

    Sean los dos triingulm ABG y DEZ con los lados AB y AG respecti-

    IC debe a Arist6tela. medllnte el tri,n&ulo curvilaco formado ,O.. ua arco de ciraanferenda 1 n cuerda. '

    Esta a la primera a que aparece en loa Elemnlos d mitodo clemos-tradYO por reduccin al absurdo que formularon tknicamute Jos estoico 1 que ,. tilbd Ari1t6tela.

    Como en la proposkin 6, Euclides emplea tambin en la 7 el mtodo de reduccin al absurdo, pero ahora sin risor lsico, porque la duisualdad de los jnulo1 ADG y DGB depende de cmo se dibuje la fisura ' absurda, de modo que si el punto D es interior al trinsulo ABG o el G al ABD, sera preciso apoyarse en la isualdad de los jnsulos situados debajo de la base pua cada uno de los dos trifosulos issceles ACD y BGD.

    ...

    -

    r 1

    ... ,

    1

    l

    EUCLIDl!S.-ELEMENTOS DE GEOMETRIA 7 ll

    vamentc iguales a DE y DZ e iguales sus bases BC que tambifo son iguales los ngulos BAG y EDZ.

    y ZE (Fig . 8). Digo

    Aplicando el tringulo ABG sobre el H D DEZ de manera que el punto B se coloque A

    sobre el E y la base BG sobre la EZ, el pun -10 G quedar aplicado sobre el Z por ser iguales estas bases y tambifo se aplicarn BA y GA sobre ED y DZ, porque si no se aplicaran y cayesen fuera, como las EH y HZ, dos segmentos respectivamente iguales a otros dos con los extremos en el mismo lado de

    e; z

    E una misma recta se encontrarlan en dos pun - B tos distintos: luego no puede ocurrir que en FtG. l . el caso de aplicarse congruentemente la base

    sean congruentes los lados BA y AG con los ED y DZ, y, por tanto, se aplicarn congruente-mente y el ngulo BAG se aplicar congruente-mente sobre el EDZ y los dos sern igualu, l.q.q .d . JO.

    BG sobre la EZ no

    A

    B Z ftC. t.

    quedado dividido en

    9. nioidir en dos un d11gu/o rectilneo dado JI. Si el ngulo rcctllneo dao es el BAG

    (Fig. 9), tmese sobre el lado AB un punto cual-quiera D; rstese de AG el segmento AE igual al AD; nase D con E; constryase sobre DE el trifogulo equihltero DEZ y tr~cese la recta AZ. Digo que el ngulo BAG est dividido en doe partes iguales por la recta AZ porque siendo AD

    G igual a AE, Ja base DZ igual a la EZ y AZ co mn, el jngulo comprendido DAZ seri igual al EAZ y, por tanto, el rectiHneo dado BAG ha

    dos partes iguales, 1.q.q .h .

    JO Lo mismo que en la proposicin 4--primer caso moderno de igualdad de tringulos-, en la 8-terccr caso---el gemetra alejandrino empica la super posicin como criterio de congruencia; y, en cambio, el sesundo caso--que no ntudia hasta la proposicin 26- lo demuestra por reduccin al absurdo, no ha bindolo Incluido entre los otros dos porque n.o le hada falta pana conrinuu la exposicin lgica de los Elementos . Vid . infra, nota 40.

    11 Vid. supra, nota 8.

  • \ ; 1.

    1

    1

    1

    1' 1 ! 1 ' 1 1

    712

    A

    Ul1' 111 ILOS GRl~.GOS.--10MO 1

    10. Ditidir 11n H'g111e11to dado e11 dos partes.

    G

    o Ftc. 10.

    B

    Sea A B el segmento dado (fig. 10). Cons-tryase sobre l un tringulo equiltero ABG y divdase en dos el ngulo ACB por medio de la recta GD. Digo que el segmento AB queda dividido en dos por el punto D por-que siendo AG igual a CB y CD comn, re-sultan iguales los segmentos AG y CD a los BG y CD, asl corno los ngulos 'AGD y BCD y las bases AD y BD; luego D es el punto medio AB, l.q.q.h.

    11. Desde un punto ciado en una recta dada, trazar una recta que forme dngulos rectos.

    Sea AB la recta dada y C el punto dado en ella (Fig. 11 ). Trne-se sobre la recta AC un punto cualquiera D; hgase que GE sea igual a CD; constryase sobre DE el tringulo equiltero ZDE y trcese la recta ZG. Digo que l.'Sta rcct;i ZG forma ngulos rec-tos porque siendo DC igual a GE y .CZ comn, los segmentos DZ y DE sern iguales, el n-gulo DCZ igual al ECZ y corno

    A o

    z

    G E B FtG. 11.

    son contiguos, sern rectos, y, por z

    G

    A B

    consiguiente, la recta ZG trazada sobre la dada AB desde el punto dado G forma con ella ngulos rectos, l.q .q .h.

    12. Dada una recta indefini-da, trazarle desde un punto que no estl sobre ella una recta per-11e11dicular.

    Sea AB la recta dada y G el punto dado que no est sobre ella (Fig. 12). Tmese al otro lado de

    Ftc. 12. la recta un punto cualquiera D ; con centro en G y radio CD dcs-

    crbase el circulo EZH; divida!>e en dos la recta EH por el punto T

    l

    ..

    1

    l ,. 1

    1

    1

    1

    -

    ,i. 1

    l

    EUCLIDES.-ELEMENlOS DE G EOMETRIA 713

    y trcense las rectas CH, CT y GE. Digo que la GT es la perpendi-cular pedida porque siendo HT igual a TE y GT comn, es Gil igual a GE, el ngulo GTH igual al GTE y corno son continuos sern rec-tos y la recta GT perpendicular a AB, l.q .q .h. u.

    13. Si u11a recta levantada sobre otra forma dngulos , serdn rectos o igual a dos rectos "

    Sea AB la recta levantada sobre la CD con la que forma los ngulos GBA y ABD (Fig. 13). Digo que estos ngulos son rectos o iguales a dos rectos, porque si son iguales son rectos, y si no es as, trcese por l p unto B sobre la recta GD la perpendicular BE y sern rectos los ngulos GBE y EBD, y pues-to que el GBE es igual a los dos ngulos GBA y ABE, adase a los dos el mismo ngulo comn EBD y entonces los dos ngulos GBE y EBD sern iguales a los tres GBA, ABE y EBD.

    Por ser el ngulo DBA igual a los dos DBE y EBA, adase a ambos el mismo ngulo ABG O y entonces los dos ngulos DBA y ABG sern iguales a los tres DBE, EBA y ABG.

    E A

    B e; F1c . ll .

    Pero se demostr que los ngulos GBE y EBD son tambifo iguales a los mismos tres ngulos, y corno cosas iguales a una m isma cosa son igua -les entre si, los ngulos GBE y EBD sern iguales a los DBA y ABG y por ser dos rectos los GBE y EBD tambin sern dos rectos los DBA y ABG, l.q .q .d.

    14. Si respecto de una recta cualquiera 1f en un punto de ella, do rectas no situadas en el mismo lado de ella forman dngulos contiguos igua-les a dos rectos, las dos rectas estdn sobre la misma recta.

    Sea AB una recta cualquiera y B un punto de ella (Flg. 14); BG y BD dos rectas no situadas en el mismo lado de la AB, que forman con ella los ngulos contiguos ABG y ABD iguales a dos rectos M, Digo que BD est en la ,misma recta que GB porque si no estuviera, estarla la BE, y

    JJ Segn Proclo, este problema fue resuelto por Enpides de Q uo, que flo-reci en el siglo v a . de J.C.

    n Se sobrentiende igual a dos rectos la suma de los d os ngu los. l4 Vase nota anterior.

    ----------------

  • 1\

    ;14 CIENlll'ICOS GRILGOS .- TOMO 1

    pueslo que la AB esl levan1ada sobre la GBt., los ngulos ABG y ABE son igual a dos rectos; pero tambin lo son los ABG y ABD; lui;go GBA y ABE son iguales a G~A y ABD.

    A Si se resta el ngulo comn GBA, ~ E "ABE'"'''"'',, Ano." d ABG+AGB, o sea, sumando a los dos mlembroa de una desicualdad la misma magnitud, en virtud de Ja nocin comn 4, ro-sulla una desigualdad del mismo sentido.

    l7 Como " advierte en seguida, esta proposicin es un corolario de la an -1crior y ambas se pueden establecer rpidamente apoyndose en la propiedad de ser igual a dos rectos la suma de los tres ngulos de un tringulo, que uclides no solo no antepuso a aquellas, sino que retras su demostracin hut la proposicin 32, que, como veremos despus, no difiere de la que se hcc

  • 716 CILS I Hl< .lb G l

  • 718 CIENllFICOS GRllGOS.-- TOMO 1

    11os1r que los lados BA, AG son mayores que los BE, EG, luego Jos BA, l\G sern mucho mayores que los BD, DG.

    Puesto que en todo tringulo el ngulo externo, es mayor que un interno 1 opuesto, el ngulo BDG es mayor que el GEB y por la misma razn tam-bin el exlerno GEB del tringulo ABE ser mayor que el BAG, y como se A ,____ __ ____

    B,__ _ _, G,..___.

    I z\ H I h E

    demostr que el ngulo BDG es ma-yor que el GEB, el BDG ser mu-cho mayor que el BAG, l.q.q.d.

    22. Construir un tridngulo con tres segmentos igualn a otros tres dados. Sean A, B, G, los tres segmentos dados, dos de los cua-les, tomados en junto, sean mayo-res que el otro: los A, B mayores que el G, los A, G que el B y los 8, G que el A.

    Trcese la recta DE limitada por el punto D e infinita hacia el

    F1c. 22. E, y tmese DZ igual al segmento A; ZH igual al B y HT igual al G.

    Haciendo centro en Z y en H y con radios ZD y HT descrbanse los crcu-los DKL y KLT y trcense las rectas KZ y KH. Digo que el tringulo KZH es el pedido porque puesto que Z es el cen-tro del circulo DKL, es ZD igual a KZ, y como es igual a A, es KZ igual a A, y puesto que H es el centro del circulo G KLT, es HT igual a HK, y como es igual a G, es HK igual a G, y adems ZH es igual a B; luego los tres segmentos KZ, ZH y HK son respectivamente igua-les a los A, B y G, 1.q.q.h.

    23. Sobre una recta dada y en uno de sus p1111tos, construir un ngulo rec-t1li11co ig11al a otro rectilneo dado.

    Sea AB la recta dada, A uno de sus punlos y DGE el ngulo rectilneo dado ci~. 23).

    z

    A A H B

    F1c. lJ.

    Tmese sobre cada una de las rectas GD y GE sendos puntos cualesquie-

    ~

    EUCLIOES.-ELEMLNTOS DE GEOMETRIA 719

    ra D y E; trcese la recta DE y con tres segmentos iguales a los CD, DE y EG construyase el tringulo AZH de modo que CD sea igual a AZ, GE a AH y DE a ZH, y entonces, puesto qe DG y GE son respectivamente iguales a ZH y AH y la base DE ser igual a la HZ, el ngulo DGE al ' ZAll, l.q .q .h .

    24. Si dos tringulos tienen dos lados del uno respectivamente iguales a dos del otro, pero de los dngulos comprendidos por los lados iguales uno es mayor que el otro, la base del uno serd mayor que la del otro.

    Sean ABG y DEZ los dos tringulos que tienen los lados AB y AG res-pectivamente iguales a los DE y DZ, a saber: el lado AB igual al DE y el AG al DZ, pero el ngulo en A mayor que el ngulo en D . Digo que tambin la base BG es mayor que la EZ.

    Puesto que el ngulo BAG es mayor que el EDZ, constryase sobre la recta DE y en su punto Del ngulo EDH igual al BAG; tmese DH igual a AG y DZ y trcense las rectas EH y ZH. Por ser AB igual a D y AG a DH, y el ngulo BAG igual al EDH, la base BG ser igual a la EH, y por ser DZ igual a DH, tam-bifo el ngulo DHZ ser igual al DZH y el DHZ mayor que el EHZ y, por tan-to, el EZH mucho mayor que el EHZ.

    A

    l

    D

    B E

    H

    z

    Fsa. 24.

    En el tringulo EZH el ngulo EZH es mayor que el EHZ y como un ngulo mayor subtiende un lado mayor, el lado EH ser mayor que

    B

    0 el EZ, pero el lado EH es igual al A j BG, luego el BG es mayor que el

    . G EZ, l.q.q.d. 25. Si dos tridngulos tienen dos

    E lados del uno respectivamente igua-

    F1c. 25.

    l les a dos del otro, pero la base del uno es mayor que la del otro, el dngulo comprendido por los lados

    iguales del uno es mayor que el del otro. Sean ABG y DEZ los dos tringulos que tienen los lados AB y AG res -

    pectivamente iguales a los DE y DZ y la base DG mayor que la EZ. Digo que tambin el ngulo BAG es ma yor que el EDZ, porque si no fuera

  • 720 CIE1' l IFICOS GRIE.GOS.-TOMO l

    myor, seria igual o menor. Igual no es porque entonces la base BG serla i~ual a la EZ, y no lo es, y tampoco es menor porque si lo fuera, la base r\ G seria menor que la EZ, y no lo es: luego el ngulo BAG, que no es igual ni menor que el EDZ, es mayor, l.q.q.d. 1

    26 . Si dos tringulos tienen dos d11g11los y un lado iguales, ya sea tste lado t'l situado entre los dngulos iguales o el subtendido por uno de los ngulos iguales n, tendrdn iguales los otros dos lados y el tercer dn-gulo.

    Sean ABG y DEZ (Fig. 26) dos tringulos que tienen los dos ngulos A BC y BCA respecti\'amente iguales a los DEZ y EZD, y sea primero el lado AB igual al EZ situado entre los ngulos iguales. Digo que los otros lados de uno de los tringulos sern iguales a los del otro, a saber:

    ~~ ' c. ( l

    F10. 26.

    el AB igual al DE y el AG al DZ, y que tambil!n sern iguales los terceros ngulos BAG y EDZ.

    Si el lado AB no es igual al DE, uno de los dos ser mayor. Si es AB el mayor, tmese Bl:l igual a DE; trcese HG y puesto que Bll es igual a DE y BG igual a

    EZ, y el ngulo HBG igual al DEZ, la base HG ser igual a la DZ y el tringulo HBG igual al DEZ y los restantes ngulos del uno iguales a los restantes del otro, a saber: precisamente los que subtienden lados igua-les, es decir: los ngulos HBG y DZE

    Pero se ha supuesto que el ngulo DZE es igual al BGA, luego tam-bil!n el BGH es igual al BGA: el menor igual al mayor, lo cual es impo-sible. Por tanto no siendo desiguales los lados AB y DE, son iguales.

    Tambi~n son iguales los lados BG y EZ, luego los AB y BG son res-pectivamente iguales a los DE y EZ e iguales los ngulos ABG y D~Z. y por consiguiente la base AG igual a la DZ y el tercer ilngulo BAG igual iiil tercero EDZ del otro tringulo.

    Sean, ahora, Iguales los lados que subtienden ngulos iguales, a sa-ber: el A B y el DE. Digo de nuevo que los otros lados del uno sern

    J9 Es decir, que la igualdad de tringulo~ se verifica incluso si uno de ellos 11cne un lado igual a un lado del airo, que no es el que une los vt!rtices de lus ngulos iguales.

    EUCLIDES.-ELEMENTOS DE GEOMETRIA 721

    iguales a los del otro, o sea : el AG y el DZ, el BG y el EZ, y que el iln-gulo BAC ser igual al EDZ.

    Si son desiguales los lados BG y EZ, uno de los dos ser mayor que el otro. Sea BG el mayor. Tmese BT igual a EZ; trcese AT y porque BT es igual a EZ y AB a DE, los dos segmentos BT y AB seriln respecti-Hmente iguales a DE y EZ y comprendern ngulos iguales.

    Por tanto, la base AT ser igual a la DZ, el tringulo ABT igual al DEZ y los ngulos restantes del uno iguales a los restantes del otro, pre-cisamente, a los que subtienden lados iguales , a saber: ' el ngulo BT A ex-terno del tringulo ATG igual al BGA interno y opuesto, lo cual es im-posible; luego no siendo desigual el lado BG al EZ, es igual, y como tam-bin AB es igual a DE, los dos lados AB y lJG sern respectivamente igua-les a los dos DE y EZ y comprendern ngulos iguales ; la base AG ser igual a la DZ, el tringulo ABG igual al DEZ y el tercer ngulo BAG igual al tercero EDZ del otro tringulo, l.q .q.d. 40

    27. Si una recta, al incidir sobre otras dos, fon11a d11g11los alternos iguales, diclias rectas serdn paralelas.

    Si la recta EZ, incidiendo sobre las AB y GD forma los ngulos al-ternos AEZ y EZD iguales entre si, digo que AB y CD son paralelas, por-que si no lo fuesen y se prolongan _se encontrarn hacia BD o hacia AG.

    40 Este teorema, que, como dijimos en la nota 30, es el segundo caso de igualdad de tri,ngulos, no aparece en los Elementos hastl el momento pre-ciso, tanto cuando es BG= EZ como cuando es AB =DE, distincin innecesa-ria si se hubiera demostrado antes que la suma de los tres ngulos de un tringulo vale dos rectos; pero Euclides, con admirable acuidad crtica, no establece esta propiedad hasta la proposiciQ )2, es decir, cuando ya ha hecho 'uso del postulado 5., cuyo empleo ba retrasado todo lo posible--huu la pro-posicin 29-, adoptando una actitud que permite sospechar que lo conside raba de menor evidencia que los otros cuatro, lo cual autoriza a decir Que el primer tratado de Geometrfa no-cuclldca lo constituyen las veintiocho primeras proposiciones de la Geometrla eucldea.

    Segn Proclo, esta proposicin 26 se debe a Thales de Mileto, que la uti-liz, para resolver el problema ll1mado de la carta, que los franceses atribuyen a Pothenot y los ingleses a Collin (vid. supra, notas 3 y 4 del Estudio preli-minar); pero quien lo resolvi veintim!s siglos antes fue el gemetra jonio, y consi5te en calcular desde lo aho de una torre, situada en la costa, la distancia a que se encuerftra un navlo, La crtica moderna rechau la deduccin de Pro-clo, }'a que se puede hacer uso prctico de un teorema sin haberlo estable-cido matemticamente .

  • ~ .4

    722 CIENTIFICOS GRIEGOS .-TOMO 1

    Prolngucnse y encuntrense hacia BD en el punto H; y entonces el

    :. 8

    c. o

    flG. 27.

    ngulo externo AEZ del tringulo JIEZ ser' igual al EZH interno y opuesto a ~l. lo cual es imposible;

    H luego las rectas AB y GD, prolonga. das hacia el lado BD, no se cortarn, y como del mismo modo se demos-trarla que tampoco se cortan hacia AG, son paralelas, l.q.q.d.

    28. Si u11a r1cta, al i11cidir so-bre otras dos, forma 1111 d11gulo externo igual al interno y opuesto del mismo lado, o si los dos internos del mismo lado son iguales a dos rectos, di-chas rectas serd11 paralelas.

    Si la recta EZ, incidiendo sobre las E AB y CD, forma el ngulo externo EHB A \H B igual al interno y opuesto HTD, o los ~ ngulos BHT y HTD internos del mis-mo lado son igual a dos rectos (Fig. 28), digo que la recta A B es paralela a la CD. (;

    Por ser el ngulo EHB igual al HTD y la AllT sern iguales los AHT y HTD, y como son internos, la recta AB es paralela a la GD.

    o z

    flG. 21.

    Y puesto que los ngulos BHT y HTD, juntos, son igual a dos rectos, y tambin son igual a dos rectos los AHT y BHT, juntos, los AHT y BHT se-rn iguales a los BHT y HTD, de modo que restando el tgulo comn BHT, el ngulo restante AHT ser igual al restante HTD, y como son alternos, Ja recta AB es paralela a la GD, l.q.q.d.

    29. Una r1cta que incid1 sobr1 dos paral1las fonna ngulos alternos igual, entre sf y el utemo igual al interno y opuesto f/ loi intfmos d1l mismo lado igual11 a dos rectos.

    Sea EZ la recta que incide sobre las dos paralelas AB y GD (Flg. 28 bis). Digo que forma los ngulos alternos AHT y HTD iguales Y, el ngulo ex-lcrno EHB igual al interno y opuesto HTD y Jos internos BHT y HTD del mismo lado igual a dos rectos. .:

    Si el ngulo AllT no fuera igual al llTD, uno de los dos serla mayor. Sea AllT el mayor.

    Si se aade el ngulo comn DllT, los ngulos AHT y BHT sern ma-yores que los BHT y HTD, y como los AHT y BllT, juntos, son dos rec

    1 1

    1

    1 ,.

    EUCLIDES .- ELEMENTO S DE GEOMETRIA 723

    1os, los BllT y HTD, juntos, sern menores que dos rectos; pero si un a rtcta al incidir sobre otras dos forma del mismo lado dos ngulos in -ternos menores que dos rectos , las dos rectas, prolongadas al infinito, se en-contrarn 41 ; Juego AB y CD, prolonga- A ds al infinito, se encontrarn, y como no se encuentran porque se supone que son paralelas, el ngulo AHT no es desigual al HTD y, por tanto, es igual. G

    Adems, el ngulo AHT es igual al EHB, luego el EHB tambin es igual al HTD, y aadiendo el ngulo comn BHT, sern entonces iguales los ngu-

    E B

    o

    z f lG. 28 bls.

    los ElfB y BHT a los BllT y HTD; pero los EHB y BHT, juntos , son dos rectos ; luego tambin ser~n dos rectos los BHT y H TD , juntos, l. q .q .d .

    30. Las rectas paralelas a 1m a misma recta son paralelas entre si.

    A H/ B Sean AB y CD (Fig. 29) dos rectas ~ r/ z paralelas a la EZ . Digo q ue la AB > es paralela a la C D porque cor tn -

    dolas por la HK el ngulo A H K G K / O ser igual al HTZ, y puesto que H K

    ' incide sobre las rectas paralelas EZ

    Fto. 29. y CD, el ngulo H TZ ser igual a l HKD.

    Pero qued demostrado que el 'n culo AHK es igual al HTZ, luego tambin el ngulo AHK ser igual al HKD, y como son alternos, la recta AB es

    1 E A Z paralela a a GD, l.q.q.d. ) l. Por un punto dado trazar una rec- . /

    ta paralela a otra recta dada. Sea A el punto dado y BG la recta dada __

    (fig. 30). Tmese sobre BC un punto cual B quiera D; trcese la recta AD y sobre ella y en el punto A constr yase el ngulo DA E

    o F IG. JO.

    G

    igual al ADG y prolnguese la EA en AZ. P uesto que la recta A D. al in

    41 Esta es la primera vez que Euclides hace uso del postulado ~ . . Vi.i. JU pra, nota l 7.

    ....

  • 1

    1

    ~ 1

    !

    .~1

    .11

    i 2\ CIENTIFICOS GRIEGOS.-TOMO 1

    cidir !>obre l;,s BC y EZ, ha formado los ngulos lternos EAD y ADG i~uaks .:nlre si, la rect EAD ser pualel a I BG, l.q.q.h.

    32. Si se prolonga uno de los lados de un tridngulo, ti dngulo txttr 110 es igual a los dos int1rnos 11 opuestos, juntos, y los tres internos del 1ri11;11lo son ig11al1s a dos rtctos.

    B

    Sea ABC el tringulo (fig. ll). Prolnguese uno de sus lados, el BC, A

    o

    hast el punto D, y trcese 1 por ' el G la recta E GE paralela la AB. Puesto que la AG inci-

    de sobre las paralelas, los ngulos lternos BAG y AGE son igules entre sf, y como tm. bin incide sobre ellas la BD, el ngulo e1t terno ACD es igual a los dos internos y opuestos BAG y ABG. Pero se demostr que el ngulo AGE es igual I BAG, luego el ngulo externo AGD es igual a los dos inter-nos y opuestos BAC y ABG.

    flG . ) l. Si se aade ahora el ngulo comn ACB, los dos ACD y AGB, juntos, sern igual a

    los tres ABC. BCA y CAB, juntos, y como los ACD y ACB son dos rectos, los lres del tringulo AGB, BCA y CAB 1;1mbin son dos rectos, l.q.q.d.

    )). Los seg111entos que u11e11 por el 111is1110 lado scg111e11tos iguales y paralelos, so11 tambin iguales !/ pa-ralelos 0 . B A

    Sun AB y GD los segmentos igules y pualelos (Fig. 32). Trcen-se lo5 AG y BD, y puesto que la recta /~ AB es paralela a la GD y sobre ellas incide la BG, 101 ingulos alternos O ABG y BGD scr'n iguales, y como F10. 12. AB es igual a GD y BG es comn, la

    41 Eudemo dice que esta proposicin se debe a lo5 pitagrlco5. Los Intentos para demostrarla indcpendicnttmentc del postulado de paralelismo condujeron a Saccheri a establecer en su Euc/iclrs ab omni nae110 11inclicatu1, Miln, 17)), que si la suma de los tru ngulos de un tringulo es mayor, l&ual o menor que dos rectos, lo mismo ocurre en todos los tringulos. No logr demostrar la abrnlu1a \"alidcz del pos1ulado, aunque ti s lo crey, pero lleg a resuhado, imporlantcs que lo colocan entre los precursores de las geometras no-euclidea~ .

    41 i :ti ti utt tfQll ln1trnyvouoa1.

    ,

    -

    .. 1

    1 '

    EUCLIDES.-ELEMENTOS DE GEOMETRIA 725

    bue AC ser igual a la base BD y el tringulo ABG igual al BCD y los otros ngulos del uno respectivamente iguales a los de otros del otro: a los que subtienden ldos iguales; luego el ngulo AGB es igul I GBD.

    Y como la recta BC I incidir sobre las AG y BD ha formado ngulos alternos iguales entre si, la AC ser paralela a la BD; pero se demostr que la AC es igual a la BD, luego los segmentos que unen por el mismo lado segmentos igules y paralelos, son tambifo iguales y paralelos, l.q .q .d .

    34. Los lados !/ los ngulos opuestos de regio11es paralelogrmicas son iguales entre si y la diago11al 0 dillide en dos 46 dichas regiones.

    Sea ACBD una regin pa ralelogrmica y la recta BG su diagonal (Fi -gur Jl). Puesto que AB es paralela CD y sobre ellas incide la BC, los ngulos aliemos ABG y BGD sern iguales, y como AG es paralela a BD y sobre ellas tambin incide la BC, los ngulos ACB y GBD sern iguales, de modo que los dos tringulos ABC y BCD, que tienen dos ngulos igua les y un lado comn, senln iguales, y, por tanto, AB ser igual a CD, AC a AD y el ngulo BAC igual al CDB, y por ser iguales los ngulos ABC y BCD y los CBD y ACB, sern A iguales los ngulos completos ABD y &--1~------------B ACD.

    Pero se demostr que el ngulo BAC es igual al CDB, luego los la-dos opuestos y los ngulos opuestos G O de los paralelogramos son iguales en- Fic. H. tre si.

    Digo tambin que Ja d igonal divide en dos regiones iguales a una regin parlelogrmic porque siendo AB igual a CD y BG comn, los dos segmentos AB y BC sern respectivamente iguales los dos CD y BG y el ;lngulo ABG igual al BGD.

    Por tanto, la bue AG ser igual a la BD y el tringulo ABG igual al BGD, l.q.q.d.

    44 Traduccin literal de J'10Qal.hl.yQ11p1wv XlllQ(cnv, en vez de nuQaH1l.yQua-I'"; : paralela-lnea, palabra cuya formacin debe de estar ,ugerlda por el teo-rema anterior 1, 33; pero advit!rtase que Euclides la empica sin haberla defi-nido explcitamente.

    41 En lugar de bw.ilQo~ : diamelro, que d ice Euclides, trad ucimos .Jiagu-nah, aunque esla voz : b111y1ovw.;, solo apa rece una vez en los E/eme11lo : lib. XI, prop. 28.

    'Partes iguales.

  • l.

    l i

    1 1 1

    ;26 UENTIFICOS GlllLGOS. - TOMO 1

    35. Los paralelugramus que estn sobre la misma base !I e11tre IOJ 1111s111as parulelas son equiva/e,.tes 41

    Sean los paralelogramos ABGD y EBCZ que estProclo adviene agudamente que la posicin relativa de los paralelogramos ABGD y EBGZ puede ser distinta de la considerada, como ocu. rrc, por ejemplo, en la figura adjunta, en la cual no se cortan los lados DG y 8E. en cu)o caso la demostracin eucldea es vlida ~in ms que sumar a los tringulos ABE y DGZ el trapecio EBGD, en vez de restar el trifogulo DHE en

    '

    1 . 1

    1 ,

    1

    EUCLIDES.- ELl:.MEl'OS OE GE OMETRIA 727

    J6. Los paralelogramos colocados sobre bases iguales y entre las mis -mas paralf!'las son equivalentes.

    Sean los paralelogramos ABCD y EZHT (f ig. 35), que estn coloca-dos sobre las bases iguales BG y ZH y ent re las mismas paralelas A T y BH.

    Trcense las rectas BE Y GT, Y A 0 E T '"'" q"' BG" ig"I ZH y ZH ~ igual a ET, tambin BG ser ''"'' ET, y P' m pml.Ju y .,_ 1ar un idas por las rec tas EB y TG 8 c. z H por el mismo lado, son iguales y paralelas y la regin EBGT ser

  • 1

    . I' 11 1. 1 1

    " .,

    728 C IUHIFICOS GltlEGOS. - TOMO 1

    38. Los tri11g11los colocados sobre bases iguales y entre las misnia puralel11s so11 t'q111vale111es .

    Sean los triangulos ABG y DEZ (Fig . J7) que estn colocados sobre bases iguales BG y EZ y entre bs

    H A O T mismas paralelas. Prolnguese AD k7 /\/ PO< '"' dM

  • ~ 1

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    . ,1 . 1

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    1

    730 CIENTIFICOS GRIEGOS.-TOMO 1

    bre bases iguales BE y EC y entre las mismas par.licias BC y AH; lut!go el tringulo ABC es doble del AEC, y como el paralelogramo ZECH es

    1ambi~n doble del tringulo AEG por tener la misma base y estar entre las mismas paralelas, dicho ~aralelogramo ZEGH es igual al tringulo ABG y liene el ngulo GEZ igual al dado D, l.q .q.d.

    43 . En todo paralelogramo, los complementos 41 de los paralelogra. mos atravesados por la diagonal 49 son eq11ivalentes.

    Sea ABGD el paralelogramo, AG su diagonal, ET y ZH los paralelo.

    A T O

    ~ 7 L\7' e H e; Fu;. 42.

    gramos atravesados por AG, y BK y KD los llamados complementario5.

    Por ser ABGD y ET paralelogra. mos de' diagonales AG y AK, los tringulos ABG y AGD son equiva. lentes, asl como los AEK y ATK, y por la misma razn lo son tam-bifo los KZG y KHG, y puesto que el AEK es equivalente al ATK y el ZKG al KHG, los tringulos AEk

    KHG sern equivalentes a los ATK y KZG. Pero el tringulo entero ABC es equivalente al ADG entero; luego el

    complementario restante BK ser equivalente al otro complementario res-tante KD, 1.q.q.d.

    44. En u11a recta dada, aplicar 50 a u11 d11gulo rectili11eo dado "" paru-lelogramo equivalente a un tringulo dado.

    Sea AB la recta dada, G el tringulo dado y D el ngulo rectiUneo dado (Fig. 43).

    41 "Q"l.'lQWala .

    49 Situados 1lrededor de la diagonal : 11rni t~v T111u1eov. ' "V~ol.eiv, es decir, construir sobre una fisura otra que tenga un 4ru

    dad1. Proclo, tomando 11 noticia de Eudemo, dice que ya IOI ph1grics em. pleaban el m4!todo de 1plicacin de 4reas distinguiendo 11 elfptlca, de lUmi~ : ddecto; la hiperblic1, de 'lmfQ~ol.~ : exceso, y la parablica, de nu()u~o).i: aplicacin 1imple o direct1, 1iendo las otras dos excedentes o deficiente res. pecio del crculo, que era la figur1 perfecta para los griegos.

    Esta pro p. 44 es el llamado teorema del gnomon : yvi11111v, palabra que Euclides no introduce hasta la del. 2 del lib. 11 de los Elememos, como ap . ralo anlogo a nuestra escuadra de alba/\il, que resulta en el caso particular ile ser reclnKulo el paralelogramo que en esle problema 44 aplica a un tringu . lo rcclilneo.

    EUCLIDES.-ELEMENTOS DE GE.OMETRIA 731

    En el ngulo EBH, igual al dado D, constryase el paralelogramo BEZH equivalente al tringulo G; hgase de manera que BE y AB est~n en ) misma recta, prolnguese la ZH hasta el punto T; trcese por el A la AT paralela a las BH y EZ y nase T con B.

    Puesto qu& la recta TZ incide sobre las paralelas AT y EZ, los fogu los A TZ y TZE sern, juntos, igua les a dos rectos, y, por tanto, los BTZ y HZE, juntos, sern menores que dos rectos.

    Pero las rectas de ngulos me-nores que dos rectos, prolongadas al infinito, se encuentran; luego las rectas TB y ZE, prolongadas, se encontrarn . Prolnguense, pues, y encuntrense en K .

    z E

    F1G. 4J .

    Trcese por este punto K la KL paralela a cada una de las rectas EA y ZT; prolnguense las TA y JJB hasta los puntos L y M, y entonces tLKZ es un paralelogramo, cuya diagonal TK atraviesa a los paralelo gramos AH y ME; luego el paralelogramo LB es equivalente al BZ. Pero el BZ es equivalente al tringulo C; luego tambi~n el LB ser equivalente al G, y puesto que el ngulo HBE es igual al ABM y al D, sern iguales los ngulos ABM y D, y por tanto, en la recta AB se ha aplicado en el ~ngulo ABM, igual al dado D. el paralelogramo LB equivalente al trin gulo dado G, l.q.q .h.

    45. En un dngulo rectilineo dado construir un paralelogramo equiva -ltnte a una figura rectillnea dada.

    Sea ABGD la figura rectilfnea dada y E el ngulo rectilneo dado (Fi -gura 44).

    Trcese la recta DB; constryase en el ngulo TKZ, igual al E, el pa-ralelogramo ZT equivalente al tringulo ABD, y aplrquese en el ngulo HTM, Igual al E, y sobre la recta HT, el paralelogramo HM equivalente al tringulo DBG.

    Puesto que el ngulo E es igual a los TKZ y HTM, tambin el TKZ ser igual al HTM, y aadiendo el ngulo comn KTH, sern iguales los ZKT y KTH a los KTH y HTM .

    En general, el gnomon es la figura que , agregada a otra , da una semc -anle a esta; y, desde el punto de vista ari1m1ico, es el nmero que hay qu e sumar a uno figurado para lener el siguicnle .

  • 1

    !

    i

    ~

    :

    732 CIENTIFICOS GRIEGOS. - TOMO 1

    Pero los ngulos ZK.T y J

  • ~

    7H Cll:l'lltlCUS GRIEGOS.-TOMO 1

    el parJldogramo GL es equivalente al cuadrado TG, y, por tanto, el cua-drado DDEG es equivalente a los dos cuadrados HB y TG juntos, l.q.q .d . s1.

    48 . Si el cuadrado construido sobre uno de los lados de un tridrigulo es equil'alente a los cuadrados, juntos, de los otros dos lados, el dngulo for. mado por estos dos lados es recto .

    Sea en el tringulo ABG el cuadrado sobre el lado BG equivalente a los cuadrados sobre los lados BA y AG.

    le\'ntese en el punto A la recta AD perpendicular a la AG tmese AD igual a BA y trkese DG.

    Puesto que DA es igual a AB, lambifo ser el cuadrado sobre DA

    11 Eue es el famoso teorema atribuido generalmente a Pitgoras; pero Pro-clo, ms cauto que sus antecesoru, dice que es del cjefe de la escuela pita. grica. .

    Los asirios y babilonios conocan el teorema en el caso particular del tringulo rectfogulo de hipotenusa 5 y catetos 3 y 4, que los arpedonaptu egipcios-tendedores de cuerda-empicaban para trazar perpendiculares; pero se ignora el grado de gcner11idad que 1uvo tal propiedad. Los indios, por ejemplo, tomando como catuo un nmero impar a= 3 en el triiingulo cUsico, cuyo cuadrado es a1 =2n +l. obtuvieron con nuestra notacin moderna:

    al-1 al+l n=--, n+l = ---,

    2 2

    y, en general:

    oi+ -- - -- ( ol-1 )1 t al+l )1 2 2

    de donde dedujeron tri,ngulos rectfogulos cuyos lados utin dados por las 1ern11

    (3, ... 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (9, 40, 41) .. .

    En el 11 Congruo lntenaclonal de Ginebra, 1904, ZaurnaN present un1 memoria : Thorime de P111hagore, origine de la Glomllri sci1ntifiqu1, en la que sostiene que el teorema fue el origen de la Geometra oracionah griega )' que los pi1agricos consiguieron demostrarlo en general, lueco de sucesivas de -ducciones de casos particulares. La demostracin que figur1 en los Elcm~nto1 . fundada en teoremas sobre equivalencias, es del propio Euclides, aeglln la opi -nin de sus ms anticuo comentaristas.

    . :

    EUCLIDES.- ELEMENTOS DE GEOMETRIA 735

    igual al cuadrado sobre AB; adase el cuadrado comn sobre AG y en tonccs los cuadrados sobre los lados DA y AG, junios, sern equivalentes 1 los cuadrados de los lados AB y AG. juntos; pero el cuadrado sobre el lado DG es equivalente 1 los cuadrados sobre los lados DA y AG por -que el ngulo DAG es recto y el cuadrado sobre el lado BG es equivalente a los cuadrados sobre los lados BA y AG por hiptesis; luego el cua-drado sobre el lado DG es equivalente al cuadra do sobre el lado BG y el lado DG ser, por tanto, igual al BG.

    Puesto que DA es igual a AB y AG es comn, DA y AG sern iguales a BA y AG y la base DG igual a la base BG; Juego el ngulo DAG ser igual al BAG, y como el DAG es recto, el BAG tambic!n es recto, l.q .q .d .

    LIBRO 11

    1 DEFINICIONES

    G

    o A flG . 47.

    l. De todo paralelogramo rectngulo se dice que est comprendido por las dos rectas que forman el ingulo recto.

    2. En toda regin paralelogrmica dc!se el nombre de gnomon 1 a uno cualquiera de los dos paralelogramos atravesados por Ja diagonal 2 !unto con sus dos complementos.

    1 Vid . rnpra, lib. I, nota 50. J Vid. $upra, lib. 1, notas 45 y 49.

  • :

    ! 1

    .. !

    1

    736 C IE N lFI COS CRlt GOS .--TOMO 1

    11

    PROPOSICfQ:-ES

    l. Si una de dos rectas dadas se divide en un nmero cualquiera de partn, el rect11gulo compre11dido por dichas rectas equivale a los rectdn -g11los comprendidos por la no dividida 11 por cada una de las parciales 1.

    Sean A y BG las dos rectas dadas (Fig. 48). Divldase la !JG por dos puntos cualesquiera D y E; levlintese en el punto B la perpendicular BZ a la BG; tmese BH igual a la recta A y trcese por el punto H la para-lela a BG y por los D, E y G las DK, EL y GT paralelas a BH. Por tanto,

    A B

    H

    z

    o

    K

    f1G. 41.

    E

    L

    el rectngulo BT seni equivalente a los BK, DL y ET juntos, y es lam-

    e; bin el rectngulo de las rectas A y BG porque estli comprendido por las BH y BG y la BH es igual a la A ; pero el rectngulo BK es el de las rectas A y BD porque est com-prendido por las BH y BD y la BH es igual a la A; el DL es el de las recias A y DE porque DK es igual a BH y BH igual a A, y de la misma manera se demuestra que el ET es el de las rectas A y EG; luego el rectngulo comprendido a los comprendidos por las rectas por las rectas A y BG es equivalente

    A y BD, A y DE y A y EG, l.q.q .d. 2. Si se divide de un modo cualquiera una rccta, el rctngulo com-

    >Esta proposicin es el primer teorema de la llamada Alaebra 1eom~tric1, :ilgoritmo especial que permitfa a los riegos resolver problemas sin los recur-sos del clculo literal. u proposicin equhale 1 la isualdad

    11(a+b+c+ . ) -. 11a +11b+11c+ .. . ,

    que tr:iduce simblicamente la ley d1s1ribu1i,a dtl producto.

    ' .

    l ' :

    .. 1.

    1

    EUCLIDES .-ELEMENTOS DE GlOMETRIA 737

    pre11dido por la recta entera y cada 11110 de sus partes es equivale11te al cuadrado de la recta entera 4

    Sea AB la recta dada (Fig. 49). Divdase por G un punto cualquiera G, constryase sobre AB A 8 el cuadrado ADEB y trcese por el punto G la recta GZ, paralela a las AD y BE. Por tanto, el cuadrado AE ser equivalente a los rectngu-los AZ y GE pero AE es el cuadrado de la rec -ta AB y AZ el rectngulo comprendido por BA y AG porque AD es igual a AB y GE es el rec tfogulo comprendido por AB y BG porque BE es igual a AB; luego el rectngulo de BA y AG O junto con el comprendido por AB y BG es equi -valente al cuadrado de la recta AB, l.q .q.d .

    z E flG. 49.

    3. Si se divide de un modo cualquiera u11a recta por u 11 p1111to , el rec tdngulo comprendido por la recia entera y por u11a de sus partes es equi -valente al comprendido por las partes de la re cta mds el cuadrado de la part1 pri111erame11te dicl1a 5

    Divdase la recta AB (fig. 50) por un punto cualquiera G; constr -yase sobre la DG el cuadrado GDE8

    A G B prolnguese la ED y por el punt~ 1 1 1 A '""" I AZ pml

  • l

    : !

    .. 1 '

    738 CI EN flflCOS GRIEGOS.-TOMO 1

    las rectas AB y BG es equivalente al comprendido por las AG y GB ms el cuadrado de la BG, l.q .q .d .

    4. Si se diuide de un modo cualquiera una recta por un punto, el cua. drado de la recta entera eqJiuale a los cuadrados de las partes mds el doble del rectdngulo comprendido por las partes'

    uividase la recta AB (Fig. 51) por un punto cualquiera G; constrya. se el cuadudo ADEB sobre la AB; tnicese BD; por G la GZ paralela 1 las AD y EB y por H la TK a las AB y DE.

    Puesto que GZ es paralela a AD y sobre ella incide la BD, el ngulo

    A r, externo GHB es igual al interno y opuesto ADB; pero este ngulo ADB es Igual al ABD porque el lado BA es igual al AD, y, por tanto, tam-bin sern iguales los ngulos GH 8 y H BG y ti

    TI 'Y IK lado BG igual al GH. .

    z E fu;. 51.

    Por una parte, GB es igual a HK, y por otra, GH igual a KB; luego HK ser igual a KB y la regin GH KB ser equiltera.

    Digo tambin que es rectangular porque GH es paralela a BK y sobre ella incide GB; luego los ngulos KBG y BGH sern iguales a dos rectos, y como el KBG es recto, tambin lo ser el HGB, de modo que los ngulos opuestos

    GHK y HKB sern rectos, y, por tanto, GHKB es un rectngulo, y como se demostr que es equiltero, es cuadrado y est construido sobre la recta GB.

    Por un razonamiento anlogo se demostrarla que TZ es el cuadrado construido sobre TH, es decir: sobre AG.

    Los cuadrados TZ y KG estn, pues, construidos sobre las rectas AG y GB, y puesto que el rectngulo AH es equivalente al -HE y esU com-prendido por las rectas AG y GB porque la HG es igual a 111 GB, tambin

    Proposici~n equivalente al cuadrado de un binomio (a+ b)2~a1 + bl + 2ab.

    Parece que Ten de Alejandr(a, en su redaccin de los Elementos, agreg a csic ICorema un corolario o porisma : ,.,,l''"I' que algunos editores supri m"n. En las regiones cuadndas, los paralelogramos auavesados por la diagonal son cuadudos.

    1 1

    1

    L

    EUCLIDES.- ELEMENTOS DE GEOMETRIA 739

    ser el HE equivalente al comprendido por las mismas rectas; luego los AH y HE, juntos, equivalen al doble del comprendido por AG y GB.

    Tambifo los cuadrados TZ y GK estn construidos sobre AG y GB ; luego las cuatro reas TZ, GK, AH y HE son equivalentes a los cuadrados de los lados AG y GB ms el doble del rectngulo comprendido por AG y GB.

    Pero TZ, GK, AH y HE forman el cuadrado ADEB entero, el c ual est construido sobre la recia AB; luego este cuadrado equivale a los de los lados AG y GB m;is el doble del rectngulo comprendido por A G y GB, 1.q .q .d .

    5. Si se diuide una recta en partes iguales y desiguales, el rectd11gu -lo comprendido por las partes desiguales de la recta entera, mds el cua -drado de la diferencia entre las dos partes, es equiuale11te al cuadrado de la mitad de la recta dada 1.

    Divldase la recta AB (fig. 52) en partes iguales por el punto G y en partes desiguales por el D . Digo que el rectngulo comprendido por A G O B AD y DB fl'lls el cuadrado de GD equivalen al cuadrado de GB.

    Constryase el cuadrado GEZB sobre la recta GB; trcese la BE; 1 1 .' . .,v.. 1 M por el punto D la DH paralela a GE K L y BZ; por el T la KM paralela a las AB y EZ y por el A la AK pa !alela a las GL y BM.

    Puesto que los complementos GT y TZ son iguales, al\dase el DM

    X

    E H z F1G. 52.

    com~n y entonces el rectngulo entero GM ser equivalente al DZ ente ro; pero el GM es igual al AL porque la recta AG es igual a Ja GB, y, por tanto, el AL tambifo ser igual al DZ.

    7 Algebraicamente,

    ( a+b )z (a+b)l ab+ ---b - - , 2 2

    lo cual es una aplicacin elplica de reas : sobre un segmento rcctiHneo da do AB=a, construir un rectngulo AT equivalente a un cuadrado dado b1, de 1al modo que la parle del rea que falte : EAAll'l ' '~ --del rectngulo ax sobre AB- , sea un cuadrado BT = :rl .

  • ' 11

    i-tO CIENl IFICOS GRIEGOS.-TOMO l

    Aadase el rectngulo GT comn, y entonces el AT ser equivalente .. 1 i:nomon l\fNX; pero el AT est comprendido por : las rectas AD y DB porque la DT es igual a la DB; luego el gnomon l\fNX ~er equivalente a dicho rectngulo.

    Adase ahora el LH comn, que equivale al cuadrado de GD y el gnomon Mfl.'X ms el cuadrado LH s.:ra equivalente al rectngulo com-prendido por las rectas AB y DB ms el cuadrado de GD: \pero el gnomon .\IN X y el cuadrado LH forman el cuadrado GEZB, que es' el construido sobre CD; luego el rect.tngulo comprendido por las rectas AD y DB ms el cuadrado de GD equivalen al cuadrado de GB, l.q .q .d.

    6. Si se diuide una recta en dos partes iguales y se prolonga, el rec-1ci11g11lo comprendido por la recta e11tera, mds la prolongacin, ' y por la

    A G B prulo11gacin, junto con el cuadra-do de la recta mitad, es equiva-lente al cuadrado de la recta for-mada por la recta mitad y la pro-

    K j N /IT j jM lu11gaci11 1 L Divldase la recta AB (Fig. 53)

    E H . F1c. SJ.

    z

    en dos por el punto G y proln-gucse hasta D. Digo que el rectn-gulo comprendido por las rectas AD y BD junto con el cuadrado de la GB es equivalente al cuadra-do de la GD.

    Constryase sobre la recta GD el cuadrado GEZD; trcese la DE; por el punto B la BH paralela a

    'Esta proposicin es una aplicacin hiperblica de 'reas: construir aobre un sesmento dado AB =a un rectnsulo AM equivalente a un cuadrado dado Ir, de tal modo que la parte del 'rea que sobre: w11e~o>.i, sea un cuadrado cuya traduccin algebraica es la Igualdad:

    (2a+b)b+al-(a+b)l.

    Euclidu generaliza este teorema y el anterior en Data, props. 84 y 85, al nso en que en vez de rectngulos se trate de paralelogramos; pero las de. mostraciones son an~logas, y lo que hace es resolver la doble ecuacin

    ar r2 = bl,

    cu}a raz po>iliva es la nica que considera.

    ..

    ..

    ~ 1

    EUCLIDES.- ELEMl.NIOS DE GEOMETRIA 741

    las EG y DZ; por el T la Kl\I paralela a las AB y EZ y por el A la AK paralela a las GL y DM .

    Puesto que AG es igual a GB, tambin ser igual el rectngulo At al GT, y como este es igual al TZ, el AL ser igual al TZ.

    Si se aade el rectngulo comn CM, el AM ser equivalente al gno-mon NXO; pero el AM est comprendido por las rectas AD y DB por -que DM es igual DB; luego tambin el gnomon NXO ser equivalente al rectngulo comprendido por AD y DB y si se aade el rect;lngulo comn LH, que equivale al cuadrado de GB, el rectngulo comprendido por AD y DB ms el cuadrado de GB equivalen al gnomon NXO y el cuadrado LH; pero este gnomon y este cuadrado forman el cuadrado GEDZ que es el construido sobre GD, Lq .q .d.

    7. Si se divide de c11a/q11ier 111odo una recta, el cuadrado de toda la recta y el de una de las parles, tomados en junto, eq11ivale11 al doble del rectd11g11lo comprendido por la recta y la parle considerada rnds el cua-drado de la otra parte'

    Divldase la recta AB (Fig. 541 por un punto cualquiera G y hgase la figura segn el mtodo 10 Puesto que el rectngulo AH es igual al HE, si se aade el comn GZ, el AZ ser igual al GE y, por tanto, los AZ y GE, juntos, son el doble del AZ; pero los AZ y T GE forman el gnomon KLM y el cua-drado GZ; luego este gnomon y este cua-drado son el doble del rectngulo AZ.

    Adems, el doble del comprendido por AB y 'BG es doble del AZ porque BZ es igual a BG; luego el gnomon KLM y el cuadrado GZ son el doble del rectngulo comprendido por AB y BG, y si se allade el comn DH, que es igual al cuadrado de AG, el gnomon KLM y

    A

    D

    G B

    N E Frc. 54.

    los cuadrados BH y HD son igual al doble del rectngulo comprendido por AB y BG ms el cuadrado de AG.

    9 Algcbraicamentc, (a+ b)l +al = l(a+b)a+ bl.

    1o Explicado en la proposicin an1crior .

  • .'11 1 . '

    ji

    742 CIENTIF ICOS GRllGOS.-TOMO 1

    Pero el ;nomon l\.Ll\f y los cuadr11dos 811 y HD .:quivalen, en junio, al cuadrado ADEB mJs el GZ, que son los de AB y GB; luego los cuadra-dos de AB y BG equivalen al doble del reclngulo comprendido por AB y BG ms el cuadrado de AG, l.q.q .d .

    8. Si se divide de cualquier modo una recta, el cuddruplo del rec-tngulo comprendido por toda la recta 11 por una . de sus partes, mds el cuadrado de la otra parte, equitalen al cuadrado construido sobre toda la ruta mds la parte considerada"

    Divldase la rect AB (Fig. SS) por un punto cualquiera G y prolngue-se; tmese BD igual 11 GB; constryue sobre AD el cuadrado AEZD y

    hgue una figura doble segn el m-A G B O todo dicho.

    Pues10 que GB es igual a BD y a IH V' J HK, Y BD igual a KN, ser HK igual

    MJ /' ~ '.N a KN, y por la misma razn PR igual a RO, y como BG es igual a BD y

    1 , V IR ,' J HI\. igual a KN, sern equivalentes X

  • J i

    1' . ~ ./

    11

    :11 : 1 1

    1

    744 C IENTIFICOS GRIEGOS.-TOMO 1

    Pueslo que el ngulo HEZ es la mitad de un recto, y el EHZ es recto por ser igual al interno y opuesto ECB, el ngulo restante EZH ser la milad de un recto ; luego el HEZ es igual al EZH, y el lado EH ser igual al HZ.

    Pero el ngulo interno junto a B es la mitad de un recto y el ZDB C5 recio por ser igual al interno y opuesto ECB; luego el ngulo restante BZD ser la mitad de un recto y, por tanto, el ngulo junto a B ser igual al DZB y el lado ZD igual al DB, y como AC y GE son iguales, tambin sern iguales los cuadrados de AG y GE, y estos cuadrados dobles del AG.

    A

    Pero el cuadrado de EA equivale a los cuadrados de AG y GE, juntos, porque el ngulo AGE es recto; lue-

    E go el cuadrado de EA es doble del

    F1G. 56.

    de AG u. Puesto que el lado EH es igual al

    HZ, tambin sern iguales los cua-drados de EH y HZ, y, por t:tnto, sus cuadrados doble del de HZ, y como el cuadrado de EZ equivale a los cua-drados de EH y HZ juntos, es do-ble del de HZ, y por ser el lado HZ igual al CD, el cuadrado de EZ es doble del de CD.

    Tambin el cuadrado de EA es doble del de AG; luego los cuadrados de AE y EZ son doble de los de AG y GD, y como el ~ AZ equivale a los de AD y DZ porque el ngulo junto a D es recto, los cuadrados de AD y DZ son doble de los de AG y CD, y como el lado DZ es Igual al DB, los cuadrados de AD y DB son doble de los de AG y GD, l.q.q.d.

    10. Si H divide una recta en dos &f se I aad n lfna recta otra recta, el cuadrado d la recta entera mds la aadida , l de la aadida, juntos, son dobl dl cuadrado construido sobr la recta mitad mds l cuadrado de la formada por la mitad , por la aadida "

    Divldase la recta AB (Flg. 57) en dos por el punto G y aftdasele la u Esta aplicacin del teorema de Pit,goras al trifogulo rectnsulo Issce-

    les ;.EG equivale a representar .2 por la hipotenusa E, y, por tanto, como ha hecho observar Zeuthen, la demostracin eucldea de eue teorema 9 sirve para determinar .2 por medio del Algcbra geomtrica.

    14 Algcbraicamentc (2a -t b)l +bl~ 2[a +(a+ b)lj

    .. ...

    l

    EUCLIDES .-ELEMENTOS DE GEOM ETRIA 745

    BD. Digo que los cuadrados de las AD y DB son doble de los de AG y GD. Trcese por el punto G la recta GE perpendicular a la A 8 ; tmesela

    igual a cada una de las AG y GB; trcen5e las EA y EB; por el pun to E la EZ paralela a Ja AD y por el D la ZD paralela a la G E.

    Puesto que Ja recta EZ incide sobre las paralelas EG y DZ, los ngu-los GEZ y EZD, juntos, sern dos rectos, de modo que los Z EB y EZD sern, juntos, menor que dos rectos. Pero rectas que forman n gulos me-nores que dos recios, prolongadas, se encuentran; luego las EB y ZD pro-longadas se encontranin.

    Prolnguense hasta su encuenlro en H y trcese la AH. Puesto que AG es igual a GE, el ngulo EAG ser igual a l A EG; pero el ngulo jun-to a G es ~cto ; luego cada uno de los ngulos EAG y A EG ser la mitad de un recto ; y por la misma razn cada uno de los GEB y EBG ser tambin la mitad de un recto ; luc-io el AEB es recio, y puesto que el EBG es la mitad de un recto , el DBH ser la mitad de un recto .

    E z

    Pero el BDH es recto porque A"'-:::: ,!. ~' 1 O es igual al DCE por alternos; lue-go el ngulo restante DHB ser la mitad de un recto, y, por tan-to, los DI/ 8 y DBH son iguales y los lados BD y HD tambic!n sern iguales.

    F1G. S7. H

    Puesto que el ngulo EHZ es la mitad de un recto y el ngl o junto a Z es recto, porque es igual al opuesto junto a G, el ngulo res tante ZEH ser la mitad de un recto y los EHZ y ZEH iguales.

    Tambifo sern iguales los lados HZ y EZ, y como lo son EG y GA, sus cuadrados sern Iguales, y, por tanto, dobles del cuadrado d e GA ; pero el de EA equivale a los cuadrados de EG y GA, y, por consiguien te, es do-ble del de AG.

    Puesto que los lados ZH y EZ son iguales, tambin i;ern iguales sus cuadrados, de modo que sern doble del cuadrado de EZ ; pero el de EH equivale a los cuadrados de H Z y ZE ; luego es doble del de EZ, y co-mo los lados EZ y GD son iguales, el cuadrado de EJI es doble del de GD.

    Pero qued demostrado que el cuadrado de EA es doble del de AG;

    ,

  • 746 CIENl IF ICOS GRIEGOS.-TOMO 1

    luego los cuadrados de AE y EH son doble del de AG y del de CD, y como el de AH es igual al de AE ms el de EH. el de AH es doble del de AG y de CD, y fOmo el cuadrado de AH equivale a los de AD y DH, el de AD ms el de DH es doble del de AG ms el de GD; pero Jos lados DH y DB son iguales ; luego los cuadrados de AD y DB son doble de los de AG y CD, l .q .q .d.

    11. Diuidir una rtcta en dos partu de modo que el rtctd11gulo com-prendido por la rtcla tnlera 1f por una de sus partu sea equivalente al cuadrado de la otra parte 15

    Sobre la recta dada AB (Fig. 58) constryase el cuadrado ABDG: di -vldase la AG en dos por el punto E; trcese la BE; prolnguese la GA huta Z; tmese EZ igual a EB; descrlbase sobre la recta AZ el cuadra -

    1i Esta proposicin-que Euclides repite en VI, 3G--equivale al problema de dividir un segmento rectilneo en media y extrema razn, que ya conocan los pi1agricos por ne ~esiur resolverlo rara construir el pentolgono regular, puesto que el estrellado, o triple tringulo, era el signo esot4!rico que utiliza. ban los af iliados a la secta para reconocuse