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merced a esa idea clínica del desarrollo que hatraído a nuestras manos el problema de la ma-durez fisiológica, de la madurez de las aptitudes,de la madurez de los deseos, de la madurez vo-cacional.

Tres consecuencias se nos presentan entonces,que hemos de atender: una, que la orientaciónprofesional no puede limitarse ya a un meroexamen, sino extenderse en el tiempo durante elperíodo de la enseñanza; otra, que se desprendede ella, y es que ya el orientador no puede abor-dar esta tarea solo, sino que precisa de una co-laboración activa del pedagogo, que no puedeser ya la tangencial de hace unos arios, sino lamuy íntima de un equipo; y, finalmente, que elpsicólogo en función de orientador no puede con-cretarse a ser el simple psicometrista de hacearios, sino que tiene que completarse con unafaceta clínica que le permita estudiar más ínti-mamente la personalidad y estar en condicionesde suministrar no sólo una orientación, sino unconsejo, y si es necesario, un tratamiento psico-terápico.

De la extensión en el tiempo ya he habladoy presentado mi proyecto de que se lleve a caboen tres tiempos.

Respecto al equipo, he tratado de presentar laintimidad de esa colaboración en sus distintasetapas y tareas. Creo que el maestro, como gui-dance worker y como vocational instructor, es unelemento fundamental del equipo (11).

Finalmente, lo que se refiere a la extensión dela misión del psicólogo, a la faceta clínica desu actuación, es un progreso evidente, progresoal cual me cabe el honor de haber contribuidoreiteradamente y que me lleva a creer que, asíconcebida, la orientación profesional debería de-nominarse orientación vocacional no sólo por lamayor amplitud de este concepto, sino porqueelimina en la última fase la palabra «profesio-nal», que ha sido muchas veces mal interpre-tada.

(11) E. DARLEY : Testing and counseling in the HighSchool Guidance programe. Chicago, 1943. Sci. Res. Asso.

Problemas actuales en laenseñanza de las matemáticasJOSE RAMON PASCUAL IBARRA

Catedrático de matemáticas

Intentaré exponer «un esquema de los proble-mas que plantea la enseñanza actual de las ma-temáticas». Me referiré especialmente al ámbitode la enseñanza media, y esto por dos motivos:primero, porque en la enseñanza media se cen-tra hoy la atención de todo el movimiento edu-cativo mundial, y segundo, porque por ser ésteel campo de mi actividad profesional es el únicoen que.podre hablar con algún conocimiento yexperiencia. En la exposición seguiré las ideasde una reciente ponencia presentada en la úl-tima reunión de catedráticos de matemáticas deInstituto, en la que intervine.

1. EXIGENCIAS SOCIALES

En cualquier estudio que tratemos de hacerrelacionado con la enseñanza media, no podemosolvidar, como punto de partida, un hecho quetiene carácter general: la crisis actual de todala enseñanza media. Fenómeno que certeramentese ha denominado crisis de crecimiento. (Recoge-remos un solo dato: de 40.000 aspirantes pre-sentados a las pruebas del Bachillerato en Fran-cia, en 1939, se ha pasado a 200.000 en 1960.)

Este aumento incesante del número de alumnosha motivado que la enseñanza tradicional, decarácter formativo, pero esencialmente prope-déutica para los estudios superiores, haya que-dado desfasada en sus fines y en sus métodos.Podemos señalar algunas consecuencias de estecrecimiento en nuestra patria. El aumento dealumnos en los centros lleva consigo, inevita-blemente, una merma de la unidad educativay de las posibilidades de formación auténtica delos escolares. Junto a la escasez de locales, lamás grave aún, de profesores debidamente ca-pacitados. Entre los modernos, muchos son im-provisados, y algunos de los antiguos no hansabido adaptarse a la nueva situación plantea-da. Desconozco la cifra exacta, pero no creo quesea aventurado afirmar que, por lo menos, el80 por 100 de los profesores de matemáticas enlos colegios no son matemáticos, y gran númerode ellos, ni siquiera licenciados, aunque fueraen otra sección. Para más de 60 unidades didác-ticas semanales de matemáticas que se dan enla mayor parte de los Institutos, la plantilla decatedráticos numerarios de matemáticas siguesiendo de dos profesores por centro (la mismaque en el plan de 1903), que, cuando están los

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dos, solamente abarcan 24 unidades didácticas.El resto de las enseñanzas es impartido por pro-fesorado adjunto o ayudante, las más de las ve-ces, interino. Ariädanse las disposiciones, a vecesvacilantes a modo de tanteos, de las autoridadesque tratan de canalizar por cauces de seguridadsocial, al mismo tiempo que intentan salvaguar-dar la calidad amenazada de la enseñanza tra-dicional, y tendremos a la opinión pública agita-da y desorientada por los problemas de la ense-ñanza media, cuyo lado social, e incluso político,en efecto, no puede ignorarse, pero que hace másdifícil su tratamiento al desbordar el aspecto pu-ramente técnico de la cuestión.

Del lado de la matemática, los avances impe-tuosos de la técnica y la evolución del pensa-miento científico y filosófico moderno, cada vezmás impregnado de matemática, así como el pro-greso científico tan vinculado en nuestros díasal poder político, exigen con apremio un im-pulso mayor en la formación matemática de lajuventud. «Nuestra época —dice la recomenda-ción número 43 de la Unesco y del BIE— pre-senta una coyuntura matemática sin precedenteen la Historia.» Pero si en el momento presentese acusa ya una fuerte penuria de profesoresde matemáticas, y los posibles profesores futu-ros, después de realizado el esfuerzo intenso queestos estudios siempre entrañan, se han de sen-tir inclinados hacia puestos en la industria, me-jor remunerados, el problema de la necesariaformación matemática de nuestra juventud, ten-drá, con el paso del tiempo, peor y más difícilsolución. (En la actualidad es mínimo el nú-mero de jóvenes que estudian la licenciatura dematemáticas en relación con los de otras sec-ciones, y buena parte de los agregados se co-locan en puestos técnicos: estadística, meteoro-logía, escuela politécnica, etc.)

2. FACTOR PSICOLOGICO

Junto a las exigencias de la sociedad en ordena la formación matemática, es necesario teneren cuenta, a la hora de pensar en una mejorade la enseñanza, las efectivas posibilidades delos alumnos en relación con los procesos delaprendizaje. ¿Será posible una mejora en elaprendizaje de las matemáticas en el cuadro _deuna enseñanza de masas como la presente? O,por el contrario, ¿la efectiva comprensión delas matemáticas está reservada a una minoríade alumnos superdotados? Es el problema, siem-pre discutido, de la aptitud matemática. Por des-gracia, hay mucha gente que piensa que es lasegunda pregunta la que tiene respuesta afir-mativa. Es la opinión de muchos padres de f ami -ha siempre dispuestos a disculpar las calificacio-nes deficientes de sus hijos en una disciplinaque ellos mismos confiesan no haber compren-dido. Incluso de muchos profesores, desilusiona-dos de los pobres resultados que vienen obte-

niendo, y que, por eso, limitan su tarea a lapreparación de unos exámenes, convencidos, co-mo están, de que no pueden aspirar a una labormás elevada de auténtica formación. Sin em-bargo, la contestación correcta es que no hay,o no debe haber, ningún problema específico deaptitud para el estudio y comprensión de lasverdades matemáticas, siempre que se trate, na-turalmente, de alumnos normales.

Las más recientes experiencias en el campode la psicología en relación con el aprendizajede las matemáticas (Piaget, Gattegno, Puig) hanpuesto de manifiesto que las estructuras men-tales del niño están en perfecta consonancia conlas estructuras matemáticas fundamentales. «Losprimeros capítulos de la matemática superior en-serian, en forma abstracta —dice Lucienne Fé-lix—, lo mismo que la maestra del jardín dela infancia hace observar a sus pequeños alum-nos para enseñarlos a pensar.» El descubrimientode este hecho ha sido verdaderamente revolu-cionario, porque ha cambiado radicalmente lasconcepciones de la metodología de la matemáticadesde los primeros grados de la escuela primaria.Gattegno descubre en los niños de cuatro añosuna multivalencia estructural, de forma que sus-tituir, como lo hacía la escuela tradicional, estamultivalencia por una univalencia de objetos,constituye una verdadera deformación y unapérdida de riqueza, con merma de las posibili-dades naturales de los niños.

3. LA MATEMATICA

Lógicamente, el tercer factor que se ha deconsiderar es la matemática misma. No la ma-temática de ayer, sino la de hoy, y más aún,proyectada hacia el futuro. Lo que caracterizahoy a la matemática llamada moderna (malllamada moderna porque, por ejemplo, el con-cepto fundamental de grupo cuenta ya con unsiglo de existencia. Como, por otra parte, el nú-mero llamado negativo, nada niega; y nada másreal que el llamado número imaginario); lo quecaracteriza a la matemática, digo, es el estudiode las estructuras fundamentales.

Lo importante no es el estudio de los objetos,o de los entes, aislados, como una unidad, sinoen relación con otros entes, formando parte deun conjunto, concepto que se encuentra en labase de toda la matemática. Un conjunto poseeuna estructura cuando entre sus elementos sedefinen unas operaciones, llamadas también le-yes de composición, que pueden ser internas oexternas. Cuando a cada par de elementos de unconjunto C le corresponde un elemento del pro-pio conjunto, se tiene definida una ley de com-posición interna. Cuando a cada elemento delconjunto C y a cada elemento de otro conjun-to D (llamado dominio de operadores) le corres-ponde un elemento del conjunto C, se tiene de-finida una ley de composición externa. Y si acada par de elementos del conjunto C le corres-

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ponde un elemento de otro conjunto C', se tieneuna extensión del conjunto inicial. Según cuálessean las propiedades de estas operaciones defini-das en los conjuntos, éstos tendrán tal o cual es-tructura. Las propiedades de estas estructurasserán generales para todos los conjuntos que lasposean, con independencia de la naturaleza delos entes que formen el conjunto.

He aquí esbozada la labor de síntesis logradacon el estudio de las estructuras. Síntesis quesupone, en primer lugar, una economía de pen- •samiento, tan necesaria para poder avanzar enel estudio científico, y, además, que, paradógi-camente, al prescindir del estudio de los entesmatemáticos y fijarse más bien en sus relaciones,nos permite penetrar más en su esencialidad,en su íntima naturaleza. Como dice Choquet:«Comprendemos mejor el sentido de una palabracuando leemos la página entera en que está es-crita.,

4. SINTESIS DE LOS TRES FACTORES

No deja de ser una feliz coincidencia que lasestructuras de la matemática moderna y las es-tructuras de la inteligencia infantil sean parale-las, pues este hecho, supuesto cierto, nos señalala posible vía de acceso para la resolución delproblema de la enseñanza de las matemáticas entodos los grados. Parece ser que una enseñanzaque cubra las exigencias de los tres aspectosapuntados: social, psicológico y matemático, seha de intentar mediante la introducción de lasnociones de la matemática moderna desde lasedades más tempranas. Sin embargo, las opi-niones de los matemáticos en este punto noson unánimes. Un buen número de profesores,aferrados a la tradición, opinan que puesto quela matemática moderna ha surgido de la ma-temática clásica, siguiendo el camino de la his-toria, es ésta la que debe darse en la escuela yen el Bachillerato, reservando la matemáticaactual para la universidad. Siguen reconociendoen la geometría euclídea el instrumento insusti-tuible para la formación del alumno en el razo-namiento deductivo. Frente a ellos, los modernoscreen que ha llegado la hora de desterrar aEuclides y comenzar una enseñanza nueva desdeel jardín de la infancia. No pueden hacerse encada etapa de la educación tres edificios dife-rentes con las consiguientes demoliciones en cadatránsito. Hay que dar una continuidad a nuestraenseñanza, evitando los saltos que ahora pre-senta. El desarrollo histórico de la matemáticano coincide con la evolución genética de su cons-trucción. ¿Por qué, dicen, se estudian las frac-ciones en la escuela primaria y los números ne-gativos, más sencillos, no se estudian hasta elsegundo o tercer ario de la enseñanza media?Sencillamente, porque los primeros aparecieronantes en la historia de las matemáticas. Nopuede perderse el tiempo en nuestra época, ylos defectos adquiridos en las primeras edades

perduran a lo largo del Bachillerato y aun delos estudios superiores, son muy difíciles de des-terrar. Además que no puede darse a la geo-metría euclidea la exclusiva de la formacióndeductiva, ni, por otra parte, la misión única dela matemática es formar al alumno en el razo-namiento deductivo. Por último, hay profesoresque adoptan una postura intermedia: hacen queel momento indicado para la introducción delas nociones de la matemática moderna podríaser el comienzo del ciclo superior del Bachille-rato preparando la entrada en la Universidad.

Tal es el panorama que presenta hoy, a mijuicio, la enseñanza de las matemáticas.

De todas formas, la actualización de la en-señanza de las matemáticas parece indicar, pues,la conveniencia de una reforma bastante pro-funda, que hace necesaria una serie de trabajosprevios imprescindibles para que sienten las ba-ses que tal reforma pueda ser eficaz. Se hacepreciso:

a) ETAPA DE EXPERIMENTACION

Iniciar una estapa de experimentación sufi-cientemente amplia y sistemática para extraerconsecuencias prácticas en orden a la elabora-ción de unos programas debidamente coordina-dos que abarquen desde la escuela primaria hastala universidad. Y al hablar de unos programasno me refiero naturalmente a un simple cues-tionario de materias, sino, de manera primordial,a la construcción de una metodología que, te-niendo en cuenta los procesos del aprendizaje,trate de desarrollar al máximo las posibilidadesnaturales de los alumnos. En otras palabras, queprocure, en cada estadio, la adaptación de lasestructuras mentales previas con las estructurasmatemáticas.

b) ESTUDIO DEL MATERIAL

Estudio del material concreto que por su mul-tivalencia, riqueza de situaciones, permita la to-ma de conciencia de dichas estructuras. Es se-guramente un error pensar que la matemática,por ser abstracta, no tiene nada que ver con losobjetos de la vida real. La matemática es, enefecto, como la lógica, una ciencia formal. Losentes matemáticos no son descubiertos como pre-existentes en el mundo físico; son verdaderascreaciones del espíritu humano, pero quizá nosean libres creaciones, como afirmaba Dedekind,sino que encuentran su fundamento en la rea-lidad física y están condicionados por la propianaturaleza humana. Por eso, enseriar matemáti-cas no es la simple transmisión de conocimien-tos del profesor al alumno; es, esencialmente, eldesarrollo de su inteligencia por medio de unaactividad matemática. Actividad que en sus tresfases: abstracción, creación de esquemas repre-sentativos de la realidad física y concreción de

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nuevo al mundo real, tan bellamente fue seña-lada por Puig Adam. De ahí que nuestra ense-ñanza deberá ser en todo momento auténtica-mente creadora. Hay que hacer del alumno entodos los niveles un creador, descubridor de losesquemas matemáticos subyacentes en la reali-dad física, mediante el cultivo y desarrollo delas dos palancas fundamentales del aprendizaje:la percepción y la acción.

c) FORMACION DEL PROFESORADO

Es tal vez el problema más acuciante. A PuigAdam era el que más le preocupaba, pues laeducación, obra esencialmente humana, no seráposible mientras no se disponga del equipo dehombres entusiastas capaces de llevarla a cabo.Es imprescindible, antes de todo, la renovacjióndel espíritu del profesorado. Para la selección deun maestro debe exigirse, desde luego, el cono-cimiento profundo y moderno de la disciplinaque ha de enseriar, pero esta condición no essuficiente. Ha de conocer además el papel quela matemática desempeña en el mundo del pen-samiento y en el cuadro general de la cultura.Y necesita también estar informado y formadoen las líneas generales y específicas de la fun-ción docente. Respecto al profesorado en funcio-nes, si ha de mantenerse eficiente (dejando apar-te cuestiones de retribución económica, no puedetenerse calidad a bajo precio), debe dársele todas

las oportunidades de perfeccionamiento. No eséste el lugar ni el momento para hacer una crí-tica del sistema actual de selección del profeso-rado. Las autoridades, justo es reconocerlo, sehan dado cuenta del problema y algo se ha he-cho ya con los ayudantes becarios, reuniones deprofesores, la cátedra de Didáctica, las publica-ciones, etc., pero hay que hacer más todavía.Los seminarios didácticos, etc. Para juzgar dela gravedad del problema, señalemos con inquie-tud el caso que se está dando en las últimas opo-siciones a cátedras de instituto y de normales,en las que están quedando bastantes cátedrassin proveer por falta de aspirantes calificados.La Universidad no es ajena al problema; por elcontrario, debería ser una sus tareas esenciales.

d) FOMENTO DE PUBLICACIONES

Convendría impulsar la publicación de traba-jos y libros concebidos según las nuevas tenden-cias renovadoras. Es abundante ya la literaturaextranjera moderna sobre estos temas. Yo estoypreparando la traducción de dos de estas obras:«L'aspect moderne de Mathématiques» y «Mathé-matiques modernes-Enseignement élémentaire»,ambos de Lucienne Félix. Incluso se han publi-cado ya libros de texto orientados en el sentidoestructural de la matemática moderna, aun den-tro de los programas clásicos. Por ejemplo, ellibro de Breard para la clase de seconde.