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Examen de Admisión UNI 2012-1 Segunda Prueba 15/2/2012

Pág. 1 Tema QMatemática

SEGUNDA PRUEBA DE ADMISIÓN UNI 2012-1

TEMA: QEXAMEN

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1

SEGUNDA PRUEBA DE ADMISIÓN UNI 2012-1

TEMA: Q SOLUCIONARIO

Desigualdades

1. Observamos x > 0 ...(a)

x+1|x – 1|

£2xx

x+1 £ 2|x – 1| por teorema: x ≠ 1

2(x – 1) ³ x+1 Ú 2(x – 1) £ –x – 1

x ³ 3 Ú x £ 13

...(b)

S = (a) Ç (b) = á0, 1/3] È [3, +¥ñ

\ S \ [–1, 4] ≠ Æ

Clave B

Funciones

2. Por desigualdad triangular:

|5 – logx+logx+1| £ |5 – logx|+|logx+1|

6 £ f(x)

\ Ran(f) = [6, +¥ñ

Clave A

3.

1 1

2 2

1 22 1

x xx x

; x1 ≠ 0, x2 ≠ 0

Efectuando:x1+2x2 = lx1 ...(1)

2x1+x2 = lx2 ...(2)

Despejamos x2 de (1) y (2) e igualamos:

lx1 – x1

2=

2x1

l – 1l2x1 – lx1 – lx1+x1 = 4x1

l2x1 – 2lx1 – 3x1 = 0

x1(l2 – 2l – 3) = 0

x1(l – 3)(l+1) = 0

l = 3 Ú l = –1

\ La suma de valores de l es 2.

Clave D

Ecuaciones

4. Si – 1 es una raíz de la ecuación:x4 – ax2 + b = 0

Entonces: (– 1)4 – a (– 1)2+b= 01 – a+b =0 ® a – b = 1

Clave C

Números complejos

5.(1 )( 2

Ei

)

2

i 2(1 ) (1 3 )4

(1 3 )2

3E (1 ) ... (*)2 2

i i i

i

ii

Efectuando:

1 3 1 3E

2 2i

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2

Entonces:

Re(E) = 31 –2

y Im(E) = 3– 1 –2

También en (*):

4 6

17 712 12

E ( 2 )( )

E 2 E 2

i i

i i

ie e e

e e

Clave D

Series

6.1 1 2 2 3 3 4 4

1 2 3 43 4 3 4 3 4 3 4

S ...12 12 12 12

Desdoblando y agrupando:2 3

2 3

2 3

2 3

3 3 3S ...

12 12 12

4 4 4 ...12 12 12

1 1 1S ...

4 4 4

1 1 1 ...3 3 3

Aplicando suma límite:1 14 3S

1 11 14 3

1 14 3S3 24 3

S = 13

+ 12

\ S = 56

Clave D

7. Como 27 = 128 ® (P Ç Q) tiene 7 ele-mentos.

Como 26 = 64 ® (P - Q) tiene 6 elemen-tos.

Graficando:

P

6 7

Q

7

Como P × Q tiene 182 pares y P tiene13 elementos ® Q tiene 14 elementos, yaque, 13 × 14 = 182.Q P = Q – P tiene 7 elementos.

Clave C

Álgebra de funciones

8. F(x) = ïx – 1ï+ ïx + 1ï

Redefiniendo:

F(x) =x – 1 + x + 1, x≥ 11 – x + x + 1, – 1 < x < 11 – x – x – 1, x≤ – 1

F(x) =2x , x≥12 , – 1 < x < 1– 2x , x≤ – 1

Clave C

9. Sea el número:abcde × 101 = ...8513

Luego:abcde00 +

abcde...8513

e = 3d = 1c = 2b = 7

Como las cifras son diferentes y ya usamos4 cifras, sólo quedan: 4, 5, 6, 8 y 9.\ a asume 5 valores.

Clave C

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3

10. Sea la proporción geométrica:

5 5 54 4 4

a ba b

Razón

Datos:• 5a + 4a + 5b + 4b = 45 ® a+b = 5• 4a – 4b = 4 ® a – b =1

La proporción es: 15 1012 8

\ El mayor término es 15.Clave B

11.

N.° de litros: a bPeso de un litro: 1,032 kg 1 kgSegún el enunciado:

17 ...........(1)1,032 1 17,32...(2)a b

a b

(2) – (1) 0,032a = 0,32 ® a = 10\ b = 17 – 10 = 7

Lechepura

Agua

Clave C

12. Según los datos:Año de nacimiento: 19ab (ab £ 50)Además:x2 – 19ab =

4x

432 = 1849 , 452 = 2025

442=1936 ® 44 eso4

Luego x = 441936 – 19ab = 11 ® ab = 25\ 2008 – 1925 = 83

Clave A

13. Como:

MCM(125, 625, 200, 2000, 4000) = 10 000

y 23» 1,2599305...

Homogenizamos todas las fracciones condenominador 10 000, luego:

De las fracciones:12 56010 000

, 12 57610 000

, 12 65010 000

, 12 59510 000

Buscamos las que pertenecen al intervalo:

12 575 12 599,

10 000 10 000

Éstas son 12 57610 000

y 12 59510 000

.

\ Sólo son dos números.

Clave C

14. Sea A el número de modelos:

{7 6 5

A A 1 A 2 210

\ A = 7

Clave D

15. Observe:

d d d2520 md d

d d d2000 md d

donde:

d: lo mayor posible (para que se coloquenla menor cantidad de murales)

d: divisor común de 2520 y 2000

® d = MCD(2520, 2000) = 40

Hallando el número de murales:

2520 20001 1 115

40 40

Para colocar cada mural se requiere almenos 3 trabajadores (mínimo 3).

\ El mínimo número de trabajadores es

115 ´ 3 = 345

Clave C

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4

16. Como: a+b+c = 12 está garantizado queabc =3.Sólo debemos garantizar que:abc = 4

ólo debemos garantizar que:ólo debemos garantizar que:® bc =4

ólo debemos garantizar que:

Luego: bc = 4 y 2 < b +c <12

De los 24 valores que podría tomar bc = 4:bc Ï{20, 48, 68, 76, 84, 88, 96}

Es decir, son 7 valores menos.\ Son: 24 – 7 =17 números.

Clave E

Sucesiones

17. Si n impar: lim (– 1)n

1+n2= 0

Si n par: lim 11+n3

= 0

\ an converge a cero.Clave B

Matrices

18. Si multiplicamos A por la derecha con

1 0 00 0 10 1 0

se intercambian las columnas

2 y 3.

1 0 00 0 1 B0 1 0

a b c a c bd e f d f eg h i g i h

A la matriz B multiplicamos por la izquierda

por1 0 00 0 10 1 0

se intercambian las filas 2 y 3.

1 0 00 0 10 1 0

a c b a c bd f e g i hg i h d f e

\ P =1 0 00 0 10 1 0

Clave B

19. Programación lineal

Caso I

z = 5x + 6yzmín = 5(0) + 6(0) = 0® (x0, y0) = (0, 0) solución I

Caso II

z = 5x + 6yzmín = 5(0) + 6(0) = 0

® (x0, y0) = (0, 0) solución II

Entonces: I VII FIII F

Clave A

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5

20. 25 3 –4

5 3

c c cb a b

b c b d b c

c – c30 22 3 –42 3

c cb a bc b d b c

0 23 –2

3

c cb a bc b d b c

c – 3c1 0 20 –2

c cb ac b d b

c – c1 00 –2

c cb ac d b

Intercambiando c1 y c2:

00 2

c ca bd c b

Clave C

21. Caso: I

Caso: II

Por resolución de triángulos rectángulos:

En (I): 2a=2r senn

® r=a cscn

En (II): 2a=2R tgn

® R=actgn

Luego:

R+r = a csc ctgn n

\ R+r =a ctg 2n

Clave D

22. Tenemos la función: f(x)=|cos4x – sen4x|2 2 2 2

1

( ) |(cos sen )(cos sen )|f x x x x x 1442443

f(x)=|cos2x|

La grafica de la función es:

Del gráfico: T2

Clave D

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6

23. Condiciones:tg(xk + xy) = atg(xk – xy) = bAsí:* tg(2xk) = tg((xk + xy) + (xk – xy))

tg( ) tg( – )tg(2 )

1– tg( ) tg( – )xk xy xk xy

xkxk xy xk xy

tg(2 )1 –a b

xkab

* tg(2xy) = tg((xk + xy) – (xk – xy))tg( ) – tg( – )tg(2 )

1 tg( ) tg( – )xk xy xk xyxy

xk xy xk xy

–tg(2 )

1a b

xyab

Luego:tg(2xk) + tg(2xy) =

2

2 22 (1 )

1 –

a b

a b

Clave E

24. Tenemos: – (1 3 ) – (1– 3 ) 12z z i z i z Sea:z = x + yi

–z x yi

Reemplazando:( x+ y i) ( x– y i)– (1+3 i) ( x+ y i)– (1–3 i)(x–yi)=12

(x2+y2)–(2x–6y)=12Completamos cuadrados:(x – 1)2 + (y + 3)2 = 22La ecuación obtenida le corresponde auna circunferencia.

Clave A

25. Condiciones para el ángulo:

3

3

1S – ...........(1)

191C ...........(2)

19

k

k

Restamos (2) – (1): 2C– S

19 .... (3)

Se conoce:

R RC 200 y S 180

Reemplazamos en (3):R 2

2019

R190

Clave C

26. Sea la longitud de la escalera: L=5 2k

Del gráfico: 4 2 k – 5k=(8 – 5 2)m

k(4 2 – 5)= 2 (4 2 – 5) m

k= 2 m

Luego: L=5 2 ( 2 m)\L=10m

Clave B

27. Se debe pedir el mayor valor de k y la des-igualdad debe ser:

1sen2x

+ 1cos2x

³ k .... (1)

Sea: M = 1sen2x

+ 1cos2x

Equivale a:M = 4csc22x

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7

Pero:csc22x ³ 14csc22x ³ 4

M ³ 4

En (1): M ³ kPor lo tanto, el mayor valor que tomó k es 4.

Clave D

28. La función2

cos – 1 –2

xy x

es par ($

simetría con eje Y), equivale a:

2 2

2 – sen2 2x x

y

Analizando para 0, :2

x

Se observa que:

2 2

sen2 2

sen2 2

x x

x x

de donde:2 2

2 – sen 02 2x x

es decir: y≥0La gráfica que representa mejor a lafunción es la alternativa D.

Clave D

29.

Piden S1 + S2 = ?

Clave D

30.

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8

Piden (x + y)máx – (x + y)mín = ?

Dato: d1 + d2 = 15

CT // BD ® BCTD: paralelogramoBC = DT = y, BD = CT = d2

DACT (desigualdad triangular)

d1 – d2 < x + y < d1 + d2

0 < x + y < 15

® (x + y)máx = 14

y (x + y)mín = 1

\ (x + y)máx – (x + y)mín = 13

Clave B

31.

12

15

9 nA

B C

P

F

Q

E

6

3k

2k

53º 37º

8

4

D

xPide:AD = x

*BE 3ABE ECP:EP 2

:V V

*2 6

EPF BPQ: BQ 155 BQkk :V V

* ABQ: notable (37º y 53º): AQ = 9

* QPD: notable (37º y 53º): 163

n

16 439

3 3x x

Clave C

32.

53º90º –2

53º90º –

26k

R = 5k

3k

53º/2

D

A B

C

37º53º

R = 5kO

5k

E

3 5k

ADE

ADE

ADE

ADE

ADE

Piden: 2 ?

2 AE ED AD 6 3 3 5

2 (9 3 5)

RPero: 10 2R5

R2 (9 3 5)

59 3 5

Pero: 3,14165

2 R

p

p k k k

p k

k k

p

p

VVV

V

VClave D

33.

S2S1

r3

r2

r1 3

4

A

B

CSegún el gráfico, pide la suma de las áreasde las regiones sombreadas (lúnulas).Teorema (lúnulas de Hipócrates)Área( ABC)=S1+S2Pero:Área ( ABC)= 23 4

6 cm2

Luego:S1+S2=6 cm2

Clave C

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9

34.L2L1

a+1

2l

l

AP

F

E

Q D

B

C

m

3a 2m

Piden: BC=3aTrazamos PQ perpendicularmente a losplanos P1, P2 y P3 respectivamente.Por teorema de Tales:

13 2

a la l

® a=2

\ BC=3(2)=6Clave D

35.

aa

O

A

B

P

H

C

q

60º60º

3a 2a

Piden: tgqSiendo q: medida del ángulo entre OA yla cara BOCOP: proyección ortogonal de OR sobre lacara BOCOP: bisectriz del <) BOC (teorema de trie-dro isósceles)

OPH: notable 45º y 45º

AHO: notable 30º y60º

Finalmente OAP:2

tg 12

a

a

\ tg q=1

Clave C

36.

a

a

a

a

A

B

C

2

3

Piden: diagonal del cubo=a 3

ABC:R.métricas:a.a 2 =a 3 . 2

a= 3a 3 = 3 . 3 = 9

Clave E

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10

37.

r

a

n lados

Sx

Sea el prisma oblicuo cuya base es unpolígono de n lados.

Pide el área del círculo inscrito en lasección recta:

Sx=p r2

Dato:1) ASL=50 m2

(2p)a=50 m2 (2p: perímetro de lasección recta)p.a=25 m2

2) Volumen=150 m3

ASR.a=150 m3

p.r.a=150 m3

® 25 m2.r=150 m3 ® r=6 mLuego:

Sx=p(6 m)2=36p m2

Clave E38.

rRO

15º

Cuñaesférica

Sean las esferas cuyos radios miden r y R.

Pide el volumen de la cuña esférica:3

cuña esférica15º RV

270º

Dato:

esfera menor

esfera mayor

V 8V 27

3

3

48 23

4 27 R 3R3

r r kk

r=2kR=3k

Luego:3 3

cuña esferica15ºV (3 ) 1,5270º

k k

Si k=1, la respuesta es 1,5p.Clave E

39.

Piden OO1 = x = ?

Dato: S = ASL tronco de cono

p(3k)2 = p(3k+6)(10 – 5k)

9k2 = 30k – 15k2+60 – 30k

® k =102

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11

x = 8 – 4k = 8 – 4102

\ x = 8 – 2 10

Clave B

40.

Piden h.

Se deduce que la pirámide es trirrectánguloen el vértice B.

Por propiedad en el triedro trirrectángulo:

1h2 =

1242+

1122+

1122

Operando: h = 8Clave C

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