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RAZONAMIENTO LOGICO MATEMATICO
En sentido amplio, se entiende por razonamiento a la facultad que permite resolver problemas,
extraer conclusiones y aprender de manera consciente de los hechos, estableciendo conexiones
causales y lógicas necesarias entre ellos. En sentido más restringido se puede hablar de diferentes
tipos de razonamiento:
El razonamiento argumentativo en tanto actividad mental se corresponde con la actividad
lingüística de argumentar. En otras palabras, un argumento es la expresión lingüística de un
razonamiento.
El razonamiento lógico o causal es un proceso de lógica mediante el cual, partiendo de uno
o más juicios, se deriva la validez, la posibilidad o la falsedad de otro juicio distinto. El estudio
de los argumentos corresponde a la lógica, de modo que a ella también le corresponde
indirectamente el estudio del razonamiento. Por lo general, los juicios en que se basa un
razonamiento expresan conocimientos ya adquiridos o, por lo menos, postulados como
hipótesis.1 Es posible distinguir entre varios tipos de razonamiento lógico. Por ejemplo
el razonamiento deductivo (estrictamente lógico), el razonamiento inductivo (donde interviene
la probabilidad y la formulación de conjeturas) y razonamiento abductivo, entre otros.
Que es el razonamiento lógico matemático?
Es la forma de razonamiento basada en la lógica matemática como subcampo de la lógica.
Lógica Matemática fue el nombre dado por Giuseppe Peano para esta disciplina. En esencia, es la lógica de Aristóteles, pero desde el punto de vista de una nueva notación, más abstracta, tomada del álgebra.
Previamente ya se hicieron algunos intentos de tratar las operaciones lógicas formales de una manera simbólica por parte de algunos filósofos matemáticos como Leibniz y Lambert, pero su labor permaneció desconocida y aislada.
Fueron George Boole y Augustus De Morgan, a mediados del siglo XIX, quienes primero presentaron un sistema matemático para modelar operaciones lógicas. La lógica tradicional aristotélica fue reformada y completada, obteniendo un instrumento apropiado para investigar sobre los fundamentos de la matemática.
El tradicional desarrollo de la lógica enfatizaba su centro de interés en la forma de argumentar, mientras que la actual lógica matemática lo centra en un estudio combinatorio de los contenidos. Esto se aplica tanto a un nivel sintáctico (por ejemplo, el envío de una cadena de símbolos
perteneciente a un lenguaje formal a un programa compilador que lo convierte en una secuencia de instrucciones ejecutables por una máquina), como a un nivel semántico, construyendo modelos apropiados (teoría de modelos).
EJERCICIO
Reto matemático
Telsita, Thalesa, Hipotenusia, Aritmética y Restarin tienen un montón de 100 tarjetas enumeradas
Del 1 al 100. Como son muy hábiles con los números, se dedican a incluir o quitar del montón
Aquellas tarjetas según le gusten o no.
Telsita toma las cien tarjetas, y como no le agradan los números pares, los descarta y pasa
Las tarjetas a Thalesa; éste, que es un amante de los múltiplos de 5, se da cuenta de que le
Faltan algunos, y los coge de los que Telsita había eliminado, y luego le entrega las tarjetas a
Hipotenusia.
Hipotenusia, como está enojada con Telsita y Thalesa, decide deshacerse de ellas y coger las
Tarjetas que éstos habían descartado, y se los pasa a Aritmética.
Aritmética, tras observarlas, elimina aquellas que son múltiplos de 6 y de 8 porque las considera
De mal gusto, y finalmente, se las pasa a Restarin.
A Restarin no le agradan los números primos mayores a 7, así que elimina las tarjetas que tienen
Como divisor alguno de estos números.
Restarin hace un recuento de las tarjetas que le quedan. ¿Cuántas tarjetas tiene ahora en su
poder? ¿Cuál es el mayor número escrito en esas tarjetas?
TELSITA THALESA HIPOTENUSIA ARITMETICA RESTARIN
CARTAS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Telsita toma las cien tarjetas, y como no le agradan los números pares, los descarta y pasa las tarjetas a Thalesa.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100TARGETAS QUE TELSITA PASA A THALESA
1 3 5 7 911 13 15 17 1921 23 25 27 2931 33 35 37 3941 43 45 47 4951 53 55 57 5961 63 65 67 6971 73 75 77 7981 83 85 87 8991 93 95 97 99
TELSITA
THALESA
Thalesa; éste, que es un amante de los múltiplos de 5, se da cuenta de que le
Faltan algunos, y los coge de los que Telsita había eliminado, y luego le entrega las tarjetas a Hipotenusia.
1 3 5 7 911
13
15 17 19
21
23
25 27 29
31
33
35 37 39
41
43
45 47 49
51
53
55 57 59
61
63
65 67 69
71
73
75 77 79
81
83
85 87 89
91
93
95 97 99
NUMEROS ELIMINADOS POR TELSITA
2 4 6 8 1012
14 16 18
20
22
24 26 28
30
32
34 36 38
40
42
44 46 48
50
52
54 56 58
60
62
64 66 68
70
72
74 76 78
80
82
84 86 88
90
92
94 96 98
100
TARJETAS PAR, NO MULTIPLOS DE 5
2 4 6 812 14 16 1822 24 26 2832 34 36 3842 44 46 4852 54 56 5862 64 66 6872 74 76 7882 84 86 8892 94 96 98
MULTIPLOS DE CINCO DE LAS TARGETAS QUE LE DIO TELSITA Y DE LAS TARGETAS QUE TELSITA ELIMINO
5 1015 2025 3035 4045 5055 6065 7075 8085 9095 100
HIPOTENUSIA
Hipotenusia, como está enojada con Telsita y Thalesa, decide deshacerse de ellas y coger las tarjetas que éstos habían descartado, y se los pasa a Aritmética.
TARGETAS ENTREGADAS A HIPOTENUSA POR THALESA
1 3 7 911 13 1
719
21 23 27
29
31 33 37
39
41 43 47
49
51 53 57
59
61 63 67
69
71 73 77
79
81 83 87
89
91 93 97
99
TARGETAS ELIMINADAS POR TELSITA
2 4 6 812
14 16 18
22
24 26 28
32
34 36 38
42
44 46 48
52
54 56 58
62
64 66 68
72
74 76 78
82
84 86 88
9 94 96 9
2 8
Aritmética, tras observarlas, elimina aquellas que son múltiplos de 6 y de 8 porque las considera de mal gusto, y finalmente, se las pasa a Restarin.
MULTIPLOS DE 6
MULTIPLOS DE 8
6 x 1 = 6 8 x 1 = 86 x 2 = 12 8 x 2 = 166 x 3 = 18 8 x 3 = 246 x 4 = 24 8 x 4 = 326 x 5 = 30 8 x 5 = 406 x 6 = 36 8 x 6 = 486 x 7 = 42 8 x 7 = 566 x 8 = 48 8 x 8 = 646 x 9 = 54 8 x 9 = 726 x 10 = 60 8 x 10 = 806 x 11 = 66 8 x 11 = 886 x 12 = 72 8 x 12 = 966 x 13 = 78 8 x 13 = 1046 x 14 = 84 8 x 14 = 1126 x 15 = 90 8 x 15 = 1206 x 16 = 96 8 x 16 = 1286 x 17 = 102 8 x 17 = 1366 x 18 = 108 8 x 18 = 1446 x 19 = 114 8 x 19 = 1526 x 20 = 120 8 x 20 = 160
TARJETAS NO MULTIPLOS DE 6 Y DE 82 4 6 8
12 14 16 1822 24 26 2832 34 36 3842 44 46 4852 54 56 5862 64 66 68
ARITMETICA
72 74 76 7882 84 86 8892 94 96 98
1. A Restarin no le agradan los números primos mayores a 7, así que elimina las tarjetas que tienen como divisor alguno de estos números.Debemos conocer antes que nada todos los números primos, que se encuentran entre el
1 y el número 100, para así poder determinar las tarjetas con números primos mayores a 7.
NÚMEROS PRIMOS ENTRE 1 Y 1002 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41
43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97
Una vez que ya sabemos cuáles son estos números, podemos determinar que los números primos mayores a 7 son: 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 58, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
NÚMEROS PRIMOS MAYORES A 7 ENTRE 1 Y 1002 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41
43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97
Así que para poder conocer que tarjetas eliminó Restarin, debemos conocer si alguno de estos números primos mayores a 7 son divisores de alguno de los números marcados en las 36 tarjetas restantes. Esto podemos conocerlo sacando los múltiplos de todos los estos números primos mayores a 7 que ya conocemos.
MULTIPLOS DE 11
MULTIPLOS DE 13
MULTIPLOS DE 17
MULTIPLOS DE 19
MULTIPLOS DE 23
11 x 1 = 11 13 x 1 = 13 17 x 1 = 17 19 x 1 = 19 23 x 1 = 23
RESTARIN
11 x 2 = 22 13 x 2 = 26 17 x 2 = 34 19 x 2 = 38 23 x 2 = 4611 x 3 = 33 13 x 3 = 39 17 x 3 = 51 19 x 3 = 57 23 x 3 = 6911 x 4 = 44 13 x 4 = 52 17 x 4 = 68 19 x 4 = 76 23 x 4 = 9211 x 5 = 55 13 x 5 = 65 17 x 5 = 85 19 x 5 = 95 23 x 5 = 11511 x 6 = 66 13 x 6 = 78 17 x 6 = 102 19 x 6 = 114 23 x 6 = 13811 x 7 = 77 13 x 7 = 91 17 x 7 = 119 19 x 7 = 133 23 x 7 = 16111 x 8 = 88 13 x 8 = 104 17 x 8 = 136 19 x 8 = 152 23 x 8 = 18411 x 9 = 99 13 x 9 = 117 17 x 9 = 153 19 x 9 = 171 23 x 9 = 20711 x 10 = 110 13 x 10 = 130 17 x 10 = 170 19 x 10 = 190 23 x 10 = 230
MULTIPLOS DE 29
MULTIPLOS DE 31
MULTIPLOS DE 37
MULTIPLOS DE 41
MULTIPLOS DE 43
29 x 1 = 29 31 x 1 = 31 37 x 1 = 37 41 x 1 = 41 43 x 1 = 4329 x 2 = 58 31 x 2 = 62 37 x 2 = 74 41 x 2 = 82 43 x 2 = 8629 x 3 = 87 31 x 3 = 93 37 x 3 = 111 41 x 3 = 123 43 x 3 = 12929 x 4 = 116 31 x 4 = 124 37 x 4 = 148 41 x 4 = 164 43 x 4 = 17229 x 5 = 145 31 x 5 = 155 37 x 5 = 185 41 x 5 = 205 43 x 5 = 21529 x 6 = 174 31 x 6 = 186 37 x 6 = 222 41 x 6 = 246 43 x 6 = 25829 x 7 = 203 31 x 7 = 217 37 x 7 = 259 41 x 7 = 287 43 x 7 = 30129 x 8 = 232 31 x 8 = 248 37 x 8 = 296 41 x 8 = 328 43 x 8 = 34429 x 9 = 261 31 x 9 = 279 37 x 9 = 333 41 x 9 = 369 43 x 9 = 38729 x 10 = 290 31 x 10 = 310 37 x 10 = 370 41 x 10 = 410 43 x 10 = 430
MULTIPLOS DE 47
MULTIPLOS DE 53
MULTIPLOS DE 59
MULTIPLOS DE 61
MULTIPLOS DE 67
47 x 1 = 47 53 x 1 = 53 59 x 1 = 59 61 x 1 = 61 67 x 1 = 6747 x 2 = 94 53 x 2 = 106 59 x 2 = 118 61 x 2 = 122 67 x 2 = 13447 x 3 = 141 53 x 3 = 159 59 x 3 = 177 61 x 3 = 183 67 x 3 = 20147 x 4 = 188 53 x 4 = 212 59 x 4 = 236 61 x 4 = 244 67 x 4 = 26847 x 5 = 235 53 x 5 = 265 59 x 5 = 295 61 x 5 = 305 67 x 5 = 33547 x 6 = 282 53 x 6 = 318 59 x 6 = 354 61 x 6 = 366 67 x 6 = 40247 x 7 = 329 53 x 7 = 371 59 x 7 = 413 61 x 7 = 427 67 x 7 = 46947 x 8 = 376 53 x 8 = 424 59 x 8 = 472 61 x 8 = 488 67 x 8 = 53647 x 9 = 423 53 x 9 = 477 59 x 9 = 531 61 x 9 = 549 67 x 9 = 60347 x 10 = 470 53 x 10 = 530 59 x 10 = 590 61 x 10 = 610 67 x 10 = 670
MULTIPLOS DE 71
MULTIPLOS DE 73
MULTIPLOS DE 79
MULTIPLOS DE 83
MULTIPLOS DE 89
71 x 1 = 71 73 x 1 = 73 79 x 1 = 79 83 x 1 = 83 89 x 1 = 8971 x 2 = 142 73 x 2 = 146 79 x 2 = 158 83 x 2 = 166 89 x 2 = 17871 x 3 = 213 73 x 3 = 219 79 x 3 = 237 83 x 3 = 249 89 x 3 = 26771 x 4 = 284 73 x 4 = 292 79 x 4 = 316 83 x 4 = 332 89 x 4 = 35671 x 5 = 355 73 x 5 = 365 79 x 5 = 395 83 x 5 = 415 89 x 5 = 44571 x 6 = 426 73 x 6 = 438 79 x 6 = 474 83 x 6 = 498 89 x 6 = 53471 x 7 = 497 73 x 7 = 511 79 x 7 = 553 83 x 7 = 581 89 x 7 = 62371 x 8 = 568 73 x 8 = 584 79 x 8 = 632 83 x 8 = 664 89 x 8 = 71271 x 9 = 639 73 x 9 = 657 79 x 9 = 711 83 x 9 = 747 89 x 9 = 80171 x 10 = 710 73 x 10 = 730 79 x 10 = 790 83 x 10 = 830 89 x 10 = 890
Una vez que ya conocemos todos los números múltiplos de los números primos mayores a 7, entonces procedemos a buscar si alguna de las 36 tarjetas marcadas con números pares, no múltiplos de 5 y no múltiplos de 6 y de 8, son divisibles entre algún número primo mayor a 7.
TARJETAS NO MULTIPLOS DE 6 Y DE
82 4 6 8 Telsita12 14 16 1822 24 26 28 Thalesa32 34 36 3842 44 46 48 Hipotenusa52 54 56 5862 64 66 68 Aritmética72 74 76 7882 84 86 88 Restarin92 94 96 98
Checando el número primo: 11 podemos darnos cuenta que coincide el número 22, 44, 66, 88.
TARJETAS PARES NO MÚLTIPLOS DE 5 Y NO MÚLTIPLOSDE 6 Y DE
8.2 4 6 8 Telsita12 14 16 1822 24 26 28 Thalesa32 34 36 3842 44 46 48 Hipotenusa52 54 56 5862 64 66 68 Aritmética72 74 76 7882 84 86 88 Restarin92 94 96 98
13 podemos darnos cuenta que coincide el número 26, 52, 78.TARJETAS PARES NO
MÚLTIPLOS DE 5 Y NO MÚLTIPLOSDE 6 Y DE
8.2 4 6 8 Telsita12 14 16 1822 24 26 28 Thalesa32 34 36 3842 44 46 48 Hipotenusa52 54 56 5862 64 66 68 Aritmética
72 74 76 7882 84 86 88 Restarin92 94 96 98
17 podemos darnos cuenta que coincide el número 34, 68.TARJETAS PARES NO
MÚLTIPLOS DE 5 Y NO MÚLTIPLOSDE 6 Y DE
8.2 4 6 8 Telsita12 14 16 1822 24 26 28 Thalesa32 34 36 3842 44 46 48 Hipotenusa52 54 56 5862 64 66 68 Aritmética72 74 76 7882 84 86 88 Restarin92 94 96 98
19 podemos darnos cuenta que coincide el número 38, 76.TARJETAS PARES NO
MÚLTIPLOS DE 5 Y NO MÚLTIPLOSDE 6 Y DE
8.2 4 6 8 Telsita12 14 16 1822 24 26 28 Thalesa32 34 36 3842 44 46 48 Hipotenusa52 54 56 5862 64 66 68 Aritmética72 74 76 7882 84 86 88 Restarin92 94 96 98
23 podemos darnos cuenta que coincide el número 46, 92.TARJETAS PARES NO
MÚLTIPLOS DE 5 Y NO MÚLTIPLOSDE 6 Y DE
8.2 4 6 8 Telsita12 14 16 1822 24 26 28 Thalesa32 34 36 3842 44 46 48 Hipotenusa52 54 56 58
62 64 66 68 Aritmética72 74 76 7882 84 86 88 Restarin92 94 96 98
29 podemos darnos cuenta que coincide el número 58.TARJETAS PARES NO
MÚLTIPLOS DE 5 Y NO MÚLTIPLOSDE 6 Y DE
8.2 4 6 8 Telsita12 14 16 1822 24 26 28 Thalesa32 34 36 3842 44 46 48 Hipotenusa52 54 56 5862 64 66 68 Aritmética72 74 76 7882 84 86 88 Restarin92 94 96 98
31 podemos darnos cuenta que coincide el número 62.
TARJETAS PARES NO MÚLTIPLOS DE 5 Y NO MÚLTIPLOSDE 6 Y DE
8.2 4 6 8 Telsita12 14 16 1822 24 26 28 Thalesa32 34 36 3842 44 46 48 Hipotenusa52 54 56 5862 64 66 68 Aritmética72 74 76 7882 84 86 88 Restarin92 94 96 98
37 podemos darnos cuenta que coincide el número 74.
TARJETAS PARES NO MÚLTIPLOS DE 5 Y NO MÚLTIPLOSDE 6 Y DE
8.2 4 6 8 Telsita12 14 16 18
22 24 26 28 Thalesa32 34 36 3842 44 46 48 Hipotenusa52 54 56 5862 64 66 68 Aritmética72 74 76 7882 84 86 88 Restarin92 94 96 98
41 podemos darnos cuenta que coincide el número 82.TARJETAS PARES NO
MÚLTIPLOS DE 5 Y NO MÚLTIPLOSDE 6 Y DE
8.2 4 6 8 Telsita
12 14 16 1822 24 26 28 Thalesa32 34 36 3842 44 46 48 Hipotenusa52 54 56 5862 64 66 68 Aritmética72 74 76 7882 84 86 88 Restarin92 94 96 98
43 podemos darnos cuenta que coincide el número 86.TARJETAS PARES NO
MÚLTIPLOS DE 5 Y NO MÚLTIPLOSDE 6 Y DE
8.2 4 6 8 Telsita
12 14 16 1822 24 26 28 Thalesa32 34 36 3842 44 46 48 Hipotenusa52 54 56 5862 64 66 68 Aritmética72 74 76 7882 84 86 88 Restarin92 94 96 98
47 podemos darnos cuenta que coincide el número 94.TARJETAS PARES NO
MÚLTIPLOS DE 5 Y NO MÚLTIPLOSDE 6 Y DE
8.2 4 6 8 Telsita
12 14 16 1822 24 26 28 Thalesa32 34 36 3842 44 46 48 Hipotenusa52 54 56 5862 64 66 68 Aritmética72 74 76 7882 84 86 88 Restarin92 94 96 98
A partir del número primo 53, ya no debemos considerar los demás números primos restantes, ya que dentro de los siguientes múltiplos el número más pequeño que podemos encontrar es arriba del número 100, es entonces que estos ya saldrían del grupo de 100 tarjetas marcadas que teníamos al inicio.
2. Restarin hace un recuento de las tarjetas que le quedan. ¿Cuántas tarjetas tiene ahora en su poder? ¿Cuál es el mayor número escrito en esas tarjetas?
Para poder contestar correctamente estas preguntas, debemos hacer un conteo de las tarjetas que nos restan, después de hacer la eliminación de todas las tarjetas que no quería Aritmética.
TARJETAS RESTANTES2 4 6 8 Telsita12 14 16 1822 24 26 28 Thalesa32 34 36 3842 44 46 48 Hipotenusa52 54 56 5862 64 66 68 Aritmética72 74 76 7882 84 86 88 Restarin92 94 96 98
Haciendo un conteo de las tarjetas que le quedan a Restarin, podemos observar que le quedan 17 tarjetas marcadas con números y que la tarjeta marcada con el número mayor es la que tiene el número 98.
3. TERCER MOMENTO: “Presenta tu elementos del problema, el desarrollo de éste, por medio de las tablas o diagramas, y por último la solución al problema”
Mis elementos integrantes de este problema básicamente son un grupo de 5 integrantes: Telsita, Thalesa, Hipotenusa, Aritmética, Restarin, los cuales tienen un conjunto de 100 tarjetas marcadas con números, los cuales se van pasando las tarjetas de uno a otro, sin
olvidar que cada uno pasa al otro, el conjunto de tarjetas que cree que es el más adecuado a su parecer.
Para el desarrollo de éste, tuve que ir resolviéndolo por partes y representándolo gráficamente paso a paso, identificando las partes o palabras esenciales de todo el problema.
Para la solución del problema, tuve que leer y analizar el problema muy detenidamente, a su vez consultar varios temas en diferentes sitios de información, como por ejemplo: números impares, números pares, números múltiplos. Esto me sirvió de mucho ya de esta manera pude comprender más fácilmente estos conceptos y tener una idea más amplia de cómo ir representando gráficamente de una manera clara todas mis tablas, para así poder llegar a un resultado.
FUENTES:
1.-http://www.slideshare.net/EstherOmerique/razonamiento-lgico-matemtico-4464102.-http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_pares_e_impares3.-http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo4.-http://www.sepbcs.gob.mx/Educacion%20Media%20Superior%20y%20Superior/Guia_Normale/ARCHIVO%201.%20RAZONAMIENTO%20LOGICO%20MATEMATICO.pdf5.-http://www.disfrutalasmatematicas.com/definiciones/numero-par.html6.-http://www.disfrutalasmatematicas.com/definiciones/numero-impar.html7.-http://definicion.de/numeros-primos/