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362 Murphy————————————————————————————————————————————

————————————————————————————————————————————Teoría Electromagnética

9 TRANSMISIÓN DE ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

9.1 INTRODUCCIÓN

Hoy en día el quehacer humano se basa en la transmisión de información por medio de ondaselectromagnéticas. Las OEM son la forma más rápida de transmitir información queconocemos, y la Teoría de la Relatividad nos dice que no hay otra más rápida. Si agrupamosla información en voz, imágenes y datos —globalmente en comunicaciones—, vemos queincluimos prácticamente todas las actividades cotidianas; telefonía, radio, televisión,navegación, meteorología, servicios, etc. Al aumentar nuestro uso de las OEM paratransmitir información también han aumentado los requisitos; la transmisión debe ser seguray eficiente, y la información debe llegar a su destino sin corrupción.

En este capítulo estudiaremos las formas más comunes de transmitir OEM, queagruparemos en sistemas basados en líneas de transmisión, guías de onda, fibra óptica yantenas. Analizaremos las ventajas y desventajas de cada uno de éstos y definiremos loscriterios de diseño adecuados para cada sistema.

Pero para poder comprender todo el material a fondo, es recomendable que el lector estéfamiliarizado con la descripción de redes de dos puertos. Para esto, una breve descripciónde los parámetros de mayor interés se encuentra en el Apéndice B.

9.2 LÍNEAS DE TRANSMISIÓN

Una línea de transmisión, que por lo pronto consideraremos como cualquier sistema de dosconductores, incluyendo al cable de dos polos paralelos, al coaxial y al par trenzado, sepuede modelar por la combinación de elementos mostrada en la Figura 9.1. Estos elementosno son discretos, sin embargo, ya que si la longitud de onda de la señal es menor a la longituddel cable, el voltaje y la corriente variarán continuamente; la corriente a través de loselementos dependerá entonces de la posición. Es necesario considerar un segmentoinfinitesimal del cable para encontrar las ecuaciones que rigen la línea de transmisión, por loque los elementos R, L, C y G se definen como la resistencia, inductancia, capacitancia yconductancia por unidad de longitud.

Murphy 363————————————————————————————————————————————


y y+∆yR L

C G

i(y) i(y+∆y)

v(y) v(y+∆y)

Figura 9.1

En referencia a la Figura 9.1, la caída de potencial entre (y) y (y+∆y), debida a la resistenciay al inductor, es:

∆v(y,t) = v(y,t) − v(y +∆ y,t) = R∆y[ ]i(y,t) + L∆y[ ] ∂i(y,t)

∂t

Dividiendo por ∆y tenemos:

∆v(y,t)∆y

= Ri(y,t) + L∂i(y,t)

∂t(9.1)

Por otro lado, la corriente que fluye a través del paralelo capacitor-conductancia es:

∆i(y,t) = i(y,t) − i(y +∆ y,t) = G∆y[ ]v(y + ∆y,t) + C∆y[ ] ∂v(y +∆y,t)

∂t

∆i(y,t)∆y

= Gv(y +∆y,t) + C∂v(y + ∆y,t)

∂t(9.2)

Tomando el límite conforme ∆y tiende a cero de (9.1) y (9.2), éstas son:

∂v(y,t)∂y

= Ri(y,t) + L∂i(y,t)

∂t(9.3)

∂i(y,t)∂y

= Gv(y,t) + C∂v(y,t)

∂t(9.4)

Que forman un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas. Una de las distintas manerasde desacoplarlas consiste en derivar (9.3) con respecto a posición y (9.4) con respecto altiempo:

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∂2v(y,t)

∂y2= R

∂i(y,t)∂y

+ L∂2i(y,t)

∂y∂t(9.5)

∂2i(y,t)∂y∂t

= G∂v(y,t)

∂t+ C

∂2v(y,t)

∂t2(9.6)

Substituyendo (9.4) y (9.6) en (9.5), y arreglando términos, obtenemos una función quedepende únicamente del voltaje:

∂2v(y,t)

∂y2− RC + LG[ ]∂v(y,t)

∂t− LC

∂2v(y,t)

∂t2− RGv(y,t) = 0 (9.7)

Similarmente, derivando (9.3) con respecto al tiempo y (9.4) con respecto a posición, yhaciendo las substituciones adecuadas, llegamos a:

∂2i(y,t)

∂y2− RC + LG[ ]∂i(y,t)

∂t− LC

∂2i(y,t)

∂t 2− RGi(y,t) = 0 (9.8)

Estas ecuaciones son conocidas como las “ecuaciones del telegrafista”, y proporcionan lainformación sobre la variación del voltaje y la corriente en el tiempo y la posición. Paraexpresarlas de una manera más práctica, la dependencia del voltaje y la corriente se puedeseparar en el producto de una función que sólo depende de posición y un término depropagación en el tiempo:

v(y,t) = V(y)e jωt (9.9)

i(y,t) = I(y)e jωt (9.10)

Las derivadas temporales del voltaje y la corriente se pueden entonces expresar:

∂v(y,t)∂t

= jωV(y)e jωt

∂2v(y,t)

∂t 2= −ω 2V(y)e jωt

∂i(y,t)∂t

= jωI(y)e jωt

∂2i(t,t)

∂t2= −ω 2I(t)e jωt

Murphy 365————————————————————————————————————————————


Substituyendo éstas en (9.7) y (9.8), y cancelando el factor exponencial, que es común atodos los términos, obtenemos:

d2V(y)

dy2− jω RC + LG[ ]V(y) − RG − ω2LC[ ]V(y) = 0

d2I(y)

dx2− jω RC + LG[ ]I(y) − RG −ω 2LC[ ]I(y) = 0

Éstas se pueden expresar de manera más compacta si definimos un “factor depropagación”, γ, por:

γ 2 = R + jωL[ ] G + jωC[ ] = RG − ω2LC[ ] + jω RC + LG[ ] (9.11)

Usando éste, el voltaje y la corriente se encuentran de:

d2V(y)

dy2−γ 2V(y) = 0

d2I(y)

dy2−γ 2I(y) = 0

Las soluciones a estas ecuaciones son la combinación de ondas viajando a la derecha y a laizquierda:

V(y) = V+e−γy + V−eγy (9.12)

I(y) = I+e−γy − I−eγy (9.13)

9.2.1 IMPEDANCIA CARACTERÍSTICA:

Las amplitudes de la corriente y el voltaje se pueden relacionar considerando la caída depotencial en la combinación serie resistor-inductor. Ésta está dada por:

∂∂y

V(y) = −(R + jωL)I(y) ⇒ I(y) =−

1(R + jωL)

∂∂y

V(y)

Al derivar (9.12) se introduce un factor γ (y cambio de signo para V+), por lo que lacorriente es:

I(y) =

γ(R + jωL)

V+e−γy − V−eγy[ ] = I+e−γy − I−eγy (9.14)

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Donde estamos definiendo las amplitudes de las ondas de corriente por:

I+ =

γ(R + jωL)

V+ y I− =

γ(R + jωL)

V−

Con estas cantidades se define la impedancia característica de la línea de transmisión:

Zo =

V+I+

=V−I−

=(R + jωL)

γ=

(R + jωL)

(R + jωL)(G + jωC)=

R + jωLG + jωC

(9.15)

De esta definición vemos que la impedancia de la línea será compleja en general:

Zo = ZoR + jZoI (9.16)

9.2.2 DISIPACIÓN Y DISPERSIÓN

La amplitud de cada onda está determinada por el factor de propagación definido en (9.11).Vemos que éste es un número complejo (tiene parte real y parte imaginaria), que podemosescribir:

γ = R + jωL[ ] G + jωC[ ] =α + jβ (9.17)

Donde α y β son cantidades totalmente reales.

Al substituir (9.17) en la amplitud de la onda de voltaje que viaja a la derecha, por ejemplo:

V+e−γy = V+e−(α+ jβ )y = V+e−αy[ ]e− jβy

Vemos que el efecto del término exponencial dentro de los corchetes es disminuir laamplitud de la onda, que desaparece eventualmente. La onda le transfiere la energía almedio, es decir, existe disipación de energía, o alternativamente, se dice que la línea detransmisión es disipativa. El factor α es entonces conocido como el “coeficiente deatenuación” de la línea de transmisión. Por otro lado, la velocidad de propagación de laonda está relacionada a β por (8.5):

vp =

ωβ

(9.18)

Y β es por lo tanto llamado el “coeficiente de propagación”. En el caso general, estefactor será una función complicada de la frecuencia, por lo que la velocidad de propagacióntambién será función de la frecuencia, por lo que la línea es también dispersiva. En el caso

Murphy 367————————————————————————————————————————————


ideal, β se reduce al número de onda k.

2.8578

2.8580

2.8582

2.8584

2.8586

0

500

1,000

1,500

2,000

107 108 109 1010 1011

X 10-2 (1/m) (1/m)

f (Hz)

L=0.436 µH/mR=4.5 Ω/mC=70 pF/mG=1.5 µS/m

α

β

Figura 9.2

Los factores α y β se pueden expresar en función de los parámetros de la línea partiendo dela definición del factor de propagación. Elevando (9.17) al cuadrado:

γ2 = R + jωL[ ] G + jωC[ ] = RG − ω2LC + jω RC + LG[ ] = α + jβ( )2

= α2 − β2 + j2αβ

La igualdad se cumple sólo si cada una de las partes, reales e imaginarias, son idénticas:

RG − ω2LC[ ] = α2 −β 2 y ω LG + RC[ ] = 2αβ

Resolviendo estas ecuaciones simultáneamente, obtenemos:

α =

RG − ω2LC( ) + RG − ω2LC( )2+ ω2 LG + RC( )2

2(9.19)

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β=ω LG + RC( )

2 RG − ω2LC( ) + RG − ω 2LC( )2+ ω2 LG + RC( )2

(9.20)

De estas expresiones se observa que ambos coeficientes aumentan con la frecuencia deoperación, como se ilustra en la Figura 9.2 para un caso típico.

9.2.3 POTENCIA

Al tener una onda electromagnética en la línea de transmisión estamos transportando energía.La cantidad de energía que lleva la onda se puede juzgar en función de la potencia de la onda,que obtenemos del vector de Poynting. Es conveniente separar esta potencia en doscomponentes, uno debido a la onda viajando a la derecha y otro a la onda viajando a laizquierda. Para ambos, la magnitud del vector de Poynting es:

S = E × H = E ×

Bµ

=1µ

EEvp

=

εµµ

E2 =εµ

E2

Si integramos el vector de Poynting sobre una superficie normal al flujo de energía,encontramos la potencia de la onda. Para la onda viajando a la derecha:

a 2 ≡ S+ •da∫ =

εµ

E+2ˆ n • da∫ (9.21)

Y la asociada con la onda moviéndose a la derecha por:

b2 ≡ S− • da∫ =

εµ

E−2ˆ n •da∫ (9.22)

Por otro lado, también podemos representar a la potencia como el producto del voltaje porla corriente en la línea. La potencia propagándose a la derecha es así:

P+ = V+e−γy[ ] I+e−γy[ ] = V+ I+ e−2γy

Usando I+ =

V+Zo

, podemos escribir esta ecuación:

P+ =

V+2

Zoe−2γy =

V+e−γy 2

Zo(9.23)

Murphy 369————————————————————————————————————————————


Usando (9.12) a (9.14), podemos expresar la amplitud del voltaje V+ en términos del voltajey la coriente en la línea:

V+e−γy =

12

V + ZoI( ) (9.24)

Por lo que la potencia propagándose a la derecha es:

P+ =

V+2

Zoe−2γy =

14

V + ZoI2

Zo(9.25)

Similarmente, para la potencia asociada a la onda que se propaga a la izquierda:

P− =

V−2

Zoe2γy =

V−eγy 2

Zo(9.26)

V−eγy =

12

V− ZoI( ) (9.27)

P− =

V−2

Zoe2γy =

14

V − ZoI2

Zo(9.28)

Los valores de las amplitudes “a” y “b”, definidas en (9.21) y (9.22) se pueden obtenerentonces de igualar éstas a (9.25) y (9.28), respectivamente:

a =

1

2 Zo

V + ZoI( ) (9.29)

b =

1

2 Zo

V − ZoI( ) (9.30)

Que son las definiciones que usamos en el Apéndice B al definir los parámetros S. Estascantidades representan entonces la raíz de la potencia, tanto incidente como reflejada.

En relación a la potencia se definen las “pérdidas por inserción” y las “pérdidas porretorno”. Ambas son útiles para juzgar el efecto que tiene introducir un componente en lalínea de transmisión, como podrían ser puntas de prueba para hacer mediciones en circuitosintegrados; filtros, etc. Las pérdidas por inserción se calculan de la razón de pérdidas,definida como la razón de la potencia incidente a la potencia entregada a la carga:

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Pérdidas por inserción = 10log

potencia incidentepotencia entregada

(9.31)

En el caso ideal, toda la potencia incidente es entregada a la carga, por lo que las pérdidaspor inserción son cero. De la definición (9.31) vemos que en casos prácticos esta cantidadsiempre será positiva; mientras mayor sea, menor potencia es entregada a la carga. Laspérdidas se deben a la disipación de la línea de transmisión y las del componente que seconecta en su terminación. Esta cantidad también es usada para juzgar la respuesta de unfiltro; en la región donde se desea eliminar la señal, las pérdidas por inserción serán grandes,y en la región para la cual se quiere transmitir la señal, debe ser lo más cercana a ceroposible.

Las pérdidas por retorno están relacionadas al coeficiente de reflexión del sistema línea-carga, que definimos en la siguiente sección. Están definidas por:

Pérdidas por retorno = RL = −10log

potencia reflejadapotencia incidente

(9.32)

Cuando toda la potencia es reflejada, (9.32) vale cero, y no hay potencia transmitida. Yaque el máximo de potencia que puede ser reflejado es la incidente, el logaritmo nos dará unacantidad negativa, que al multiplicar por el signo negativo haremos positiva. Es deseable, enmuchas aplicaciones, que toda la potencia sea transmitida, por lo que un valor de pérdidaspor retorno tendiente a infinito es un buen criterio para determinar la calidad delcomponente. Las pérdidas por retorno también se pueden expresar en función delcoeficiente de reflexión en la carga, esto es:

RL = −10logPR

PI

= −10log

ΓL2PI

PI

= −20log ΓL( ) (9.33)

Ejemplo 64.- Un fabricante de puntas de prueba para alta frecuencia anuncia su productocon las siguientes especificaciones: Pérdidas por inserción: < 1.1 dB, Pérdidas porretorno: > 14 dB. Juzgue las puntas de prueba a partir de estos parámetros.

Las puntas de prueba se conectan a la terminación de la línea de transmisión y hacencontacto con las plataformas de contacto del dispositivo que se desea medir. Idealmente,quisíeramos que los efectos de introducirlas no se notaran, por lo que desearíamos pérdidaspor inserción tendientes a cero y pérdidas por retorno tendientes a + ∞. En este caso, lapotencia entregada a las puntas, en relación a la incidente es:

Potencia entregadapotencia incidente

=1

10(1.1/10)= 0.776

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Es decir, se pierde casi el 25% de la potencia incidente. La potencia reflejada se encuentrade (9.32):

potencia reflejadapotencia incidente

=10(−14/10) = 0.03891

Y vemos que menos del 4% de la señal es reflejada por las puntas de prueba.

————————————————————*

9.2.4 REFLEXIÓN EN LA CARGA

Cuando una línea de transmisión es terminada por una carga, la onda electromagnéticaviajando en la línea es parcialmente (o totalmente) reflejada por, y parcialmente transmitidaa, la carga. La fracción correspondiente se puede definir de las amplitudes de las ondas devoltaje evaluadas en la carga (y=0 en la Figura 9.3); la razón de éstas es el coeficiente dereflexión en la carga, ΓL:

ΓL ≡

V−V+

(9.34)

La interpretación de este coeficiente es directa si se consideran los casos extremos que yahemos mencionado, especialmente en función de la potencia, si la definimos en términos delcoeficiente de reflexión en la carga:

Potencia incidente:

PI =

V+2

Zo(9.35)

Potencia reflejada:

PR =

V−2

Zo=

ΓLV+2

Zo= ΓL

2PI (9.36)

Potencia transmitida:

PT = PI − PR = PI − ΓL

2PI = PI 1− ΓL

2

(9.37)

372 Murphy————————————————————————————————————————————


ZLZo

y=-d y=0

x

z

y

Figura 9.3

Corto circuito. La línea de transmisión se termina con un conductor ideal, y ZL=0, por loque el coeficiente de reflexión es:

ΓL =

0 − Zo

0 + Zo= −1 = 1e jπ (9.38)

Y la onda es totalmente reflejada, 180° fuera de fase con la incidente. Toda la potencia esreflejada, y no hay transmisión a la carga.

Circuito abierto. La carga es de impedancia infinita; ZL= ∞:

ΓL =1 − Zo

∞1 + Zo

∞

=1 (9.39)

De nuevo, la onda es totalmente reflejada, pero en fase con la incidente, y no hay potenciatransmitida.

Carga acoplada. Si ZL=Zo, el coeficiente de reflexión es:

ΓL =

Zo − Zo

Zo + Zo= 0 (9.40)

No existe una onda reflejada; toda la energía es transmitida a la carga; PT=PI.

Murphy 373————————————————————————————————————————————


La Figura 9.4 muestra la gráfica del coeficiente de reflexión contra la impedancia de cargapara una línea de impedancia característica Zo=50Ω.

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

100 101 102 103 104

Γ L

ZL (Ω)

Zo=50Ω

Figura 9.4

9.2.5 RAZÓN DE VOLTAJE DE ONDA ESTACIONARIA

Cuando aplicamos un señal de frecuencia dada a la línea de transmisión, ésta viaja hasta lacarga, donde parte de la señal es transmitida y parte reflejada. La onda reflejada interfierecon la incidente, y si la fuente no cambia, se forma un patrón de onda estacionaria en la línea.La amplitud de esta onda estacionaria se determina de la combinación de las amplitudes decada una de las ondas. Ésta también es una forma práctica de juzgar las características delsistema línea de transmisión-carga, como sigue.

Si expresamos al coeficiente de reflexión en la carga en forma fasorial:

ΓL = ΓL e jϕ (9.41)

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Podemos representar la onda de voltaje (9.12) por:

V(y) = V+e−γy 1 + ΓL exp 2γy + jϕ( )[ ]

Por simplicidad, consideraremos que la línea no es disipativa, α=0 y γ=jβ:

V(y) = V+ exp −jβy[ ] 1+ ΓL exp j2βy +ϕ( )[ ]

Y entonces la magnitud de la onda de voltaje es:

V(y) = V+ 1+ ΓL exp j2βy +ϕ( )[ ]

V(y) = V+ 1+ ΓL cos 2βy + ϕ( )[ ]2

+ ΓL sen 2βy + ϕ( )[ ]2

1/2

(9.42)

El término entre llaves tiene la forma:

1 + Acos 2ψ( )[ ]2

+ Asen 2ψ( )[ ]2= 1+ 2Acos 2ψ( ) + A 2cos2 2ψ( ) + A2sen2 2ψ( ) =

1+ A2 + 2Acos 2ψ( )Y usando cos 2ψ( ) =1− 2sen2 ψ( ) , tenemos:

1 + Acos 2ψ( )[ ]2

+ Asen 2ψ( )[ ]2= 1+ A2 + 2A 1− 2sen2 ψ( )[ ] = 1 + A( )2

− 4Asen 2 ψ( )

Por lo que (9.42) se puede ahora escribir:

V(y) = V+ 1+ ΓL( )2

−4 ΓL sen2 βy +ϕ /2( )

1/2

(9.43)

Y notamos que la magnitud oscila entre un valor máximo cuando βy + ϕ /2 = mπ :

V(y)

max= V+ 1+ ΓL( )2

1/2

= V+ 1+ ΓL( ) (9.44)

Y un valor mínimo, que se presenta cuando βy + ϕ /2 = (m + 1/2)π

V(y)

min= V+ 1+ ΓL( )2

−4 ΓL

1/2

= V+ 1− ΓL( ) (9.45)

Murphy 375————————————————————————————————————————————


La razón de voltaje de onda estacionaria (VSWR) se define en función de los valoresmáximo y mínimo de la magnitud del voltaje:

VSWR =V(y)

max

V(y)min

=1+ ΓL( )1− ΓL( ) (9.46)

El valor de VSWR en los casos extremos es:

Corto circuito: ΓL =1 y:

VSWR =

1+1( )1− 1( ) =

20

= ∞ (9.47)

Circuito abierto: También ΓL =1 y el VSWR tiende a infinito.

Carga acoplada: En este caso, ΓL = 0 y la razón es:

VSWR =

1+ 0( )1− 0( ) =1 (9.48)

Vemos entonces que el VSWR está acotado entre:

1 ≤ VSWR < ∞ (9.49)

Mientras más se acerque a la unidad, mejor acoplada estará la carga. Un VSWR alto indicaque el sistema presentará muchas pérdidas por reflexión.

9.2.6 IMPEDANCIA DE ENTRADA

La impedancia que una línea de transmisión le presenta a una fuente conectada a su entradaes función de la carga conectada a la fuente y de la longitud de la línea. Podemos definir estaimpedancia de entrada con el coeficiente de reflexión de la línea, que podemos expresar enfunción del coeficiente de reflexión en la carga (9.34):

Γ(y) =

V−eγy

V+e−γy=

V−V+

e2γy =ΓLe2γy (9.50)

Usando esta definición, (9.12) se puede escribir:

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V(y) = V+e−γy + V+ΓLeγy = V+ e−γy +ΓLeγy( ) (9.51)

Y la corriente a lo largo de la línea es entonces:

I(y) =

V+Zo

e−γy −ΓLeγy( ) (9.52)

Con el voltaje y la corriente podemos definir la impedancia de la línea, que variará a su largo:

Z(y) =

V(y)I(y)

= Zoe−γy + ΓLeγy

e−γy −ΓLeγy

(9.53)

Y en la posición de la carga:

Z(y = 0) = ZL = Zo

1 + ΓL

1 −ΓL

(9.54)

Resolviendo para ΓL:

ΓL =

ZL − Zo

ZL + Zo=Γ (y)e −2γy (9.55)

El último paso es consecuencia de (9.50). Usando (9.55), la impedancia de la línea se puedeahora expresar:

Z(y) = Zo

e−γy +Γ (y)e −γy

e−γy −Γ (y)e −γy

= Zo

1+Γ (y)1− Γ(y)

(9.56)

Y finalmente podemos expresar la impedancia de entrada al evaluar esta expresión en laentrada de la línea, y = −d:

Z in = Z(y =− d) = Zo

1 + Γ(y = −d)1 − Γ(y = −d)

Que usando (9.97) de nuevo se puede expresar en función de la carga conectada a la línea:

Z in = ZoZL + Zo( )eγd + ZL − Zo( )e−γd

ZL + Zo( )eγd − ZL − Zo( )e−γd

= Zo

ZL + Zo tanh(γd)Zo + ZL tanh(γd)

(9.57)

Murphy 377————————————————————————————————————————————


Donde se usó:

tanh(γd) =

eγd − e−γd

eγd + e−γd

Si la línea se termina en corto circuito, ZL=0 y:

Z in = Zo

Zo tanh(γd)Zo

= Zo tanh(γd) (9.58)

Y la impedancia de entrada variará de valores muy pequeños para líneas muy cortas aZin=Zo para líneas con γd>>1.

Cuando la línea se deja en circuito abierto (ZL=∞), la impedancia de entrada tiende a infinito

si la línea es muy corta, y ésta es Zin=Zo para líneas con γd>>1:

Z in = Zo

∞ + Zo tanh( γd)Zo +∞ tanh(γd)

= Zo1

tanh(γd)

= Zo coth(γd) (9.59)

Y si la línea se termina con una carga acoplada, Zin=Zo, y la impedancia de entrada esindependiente de la longitud de la línea:

Z in = Zo

Zo + Zo tanh(γd)Zo + Zo tanh(γd)

= Zo (9.60)

9.2.7 LÍNEA DE TRANSMISIÓN IDEAL

Las pérdidas de energía en una línea de transmisión se deben al efecto Joule, y son sóloatribuibles a la resistencia y a la conductancia de la línea. Aunque distintos de cero, estoscomponentes son por lo general muy pequeños, y para simplificar los cálculos, se puedendespreciar. Así, se define la línea de transmisión ideal cuando R=0 y G=0. En este caso, elfactor de propagación es totalmente imaginario [de (9.17)]:

γ = 0 + jωL[ ] 0 + jωC[ ] = −ω 2LC = 0 + jβ (9.61)

Por lo que el coeficiente de atenuación es cero, y la señal se propaga sin pérdidas. Además,el coeficiente de propagación es:

β= ω LC (9.62)

378 Murphy————————————————————————————————————————————


Por lo que la velocidad de propagación en la línea es constante:

vp =

ωβ

=ω

ω LC=

1

LC(9.63)

Y ésta es no-dispersiva. La impedancia característica, por otro lado, es totalmente real:

Zo =

0 + jωL0 + jωC

=jωLjωC

=LC

= ZoR (9.64)

Ejemplo 65.- Calcule la impedancia característica y la velocidad de propagación en unalínea de transmisión coaxial ideal (R=0, G=0), consistente de un conductor interior de radior=a y uno exterior de radio r=b, separados por un material LIH de permitividad relativa ke ypermeabilidad relativa km, como se muestra en la Figura 9.5.

a

b

r

z

ke, km

Figura 9.5

La capacitancia por unidad de longitud de esta línea de calculó en el Ejemplo 35, y es:

C =

2πεln b/a( ) =

2πkeεo

ln b/a( ) (9.65)

Murphy 379————————————————————————————————————————————


Por otro lado, la inductancia por unidad de longitud de la misma línea se calculó en losejercicios 7.5 y 7.6, y es:

L =

µ2π

ln b/a( ) =kmµ o

2πln b/a( ) (9.66)

Usando estos valores, la impedancia característica se encuentra de:

Zo =LC

=

kmµ o

2πln(b/a)

2πkeεo

ln(b/a)

=µo

εo

km

ke

ln(b/a)

2π

2

(9.67)

Zo =

µo

εo

km

ke

ln(b/a)2π

= ηkm

ke

ln(b/a)2π

(9.68)

Donde la constante η se define como la “impedancia del espacio libre”, y tiene un valor dadopor:

η=

µo

εo= 376.73Ω ≈ 377Ω (9.69)

Por otro lado, la velocidad de propagación se determina de:

vp =1

LC=

1

kmµo2π

ln(b/a)

2πkeεoln(b/a)

=1

kmµ okeεo

=1

µoεo kmke

=cn

Donde c es la velocidad de la luz en el espacio libre y n el índice de refracción del materialentre los conductores.

————————————————————*

9.3 GUÍAS DE ONDA

La disipación de energía en una línea de transmisión la hace impráctica para aplicaciones enaltas frecuencias y/o de bajo consumo de potencia. En un satélite de comunicaciones, porejemplo, se manejan frecuencias en el rango de 8 a 20 GHz, y se tiene que aprovechar laenergía de la mejor manera posible para alargar su vida media, por lo que las pérdidasasociadas al efecto Joule se deben minimizar. Esto se puede hacer si la señal se transmitepor medio de una guía de onda; un tubo de material conductor de cualquier sección (por logeneral uniforme) que puede estar relleno por un medio dieléctrico.

380 Murphy————————————————————————————————————————————


Las paredes de la guía confinan la onda al tubo; si son hechas de un buen conductor, la ondaserá casi totalmente reflejada, y si la frecuencia de operación es alta, la profundidad de pielserá muy pequeña y se pueden hacer guías de paredes muy delgadas, en este caso elmaterial dieléctrico de relleno sirve como soporte mecánico a la guía.

Para definir cómo se propaga la onda dentro de la guía, necesitamos conocer los camposeléctrico y magnético de la onda. Éstos, además, deben cumplir con las condiciones defrontera impuestas por las paredes conductoras de la guía. Ya que no podemos suponer apriori la forma de los campos, debemos representarlos de una forma general, paraparticularizarlos apropiadamente. En lo que sigue, deduciremos las característicasfundamentales de la onda que se propaga en la guía, para después calcular los parámetros enrelación a una guía de onda de sección rectangular.

z

x

y

Figura 9.6

Si consideramos una guía paralela al eje y, como se muestra en la Figura 9.6, y suponemosque esa será la dirección de propagación de la onda, podemos definir los campos eléctrico ymagnético por:

E(x,y,z,t) = Eox(x,z)ˆ i + Eoy (x,z)ˆ j +Eoz(x,z) ˆ k [ ]exp j(kgy −ωt)[ ] (9.70)

B(x,y,z,t) = Box(x,z)ˆ i + Boy (x,z)ˆ j + Boz(x,z) ˆ k [ ]exp j(kgy −ωt)[ ] (9.71)

Al introducir un factor de amplitud en la dirección de propagación estamos indicando que laonda puede tener una componente longitudinal. Estamos también suponiendo que laamplitud de la onda no depende de la dirección de propagación, y que la dependencia conesa coordenada, y el tiempo, está totalmente incluida en el término exponencial. Aún noconocemos la velocidad de propagación de la onda en la guía, vg, por lo que no podemos

Murphy 381————————————————————————————————————————————


determinar el número de onda. Por lo pronto, aquí lo indicamos como kg, el vector de ondaen la guía, relacionado a la longitud de onda en la guía por:

kg =

2πλg

(9.72)

De (9.70) y (9.71) vemos que cada componente escalar de los campos eléctrico y magnéticoserá de la forma:

Ψi (x,y,z,t) = Ψoi(x,z)exp j(kgy −ω t)[ ] (9.73)

Y sabemos que cada uno de estos componentes debe cumplir con la ecuación de onda (8.1),por lo que:

∇2Ψi(x,y,z,t) =

1

vo2

∂2

∂t2Ψi (x,y,z,t)

Efectuado las derivadas indicadas:

∂2

∂x2Ψoi(x,z) +

∂2

∂z2Ψoi(x,z) − kg

2Ψoi(x,z)

exp j(kgy −ωt)[ ] =

=

1

vo2

−ω2Ψoi(x,z)exp j(kgy −ωt)[ ][ ]Arreglando términos llegamos a:

∂2

∂x2Ψoi(x,z) +

∂2

∂z2Ψoi(x,z) +

ωvo

2

− kg2

Ψoi(x,z) = 0 (9.74)

Y si definimos un nuevo nuevo número de onda, el número de onda de corte kc, dado por:

kc2 =

ωvo

2

− kg2 = ko

2 − kg2 =

4π2

λc2

= 4π 2 1

λo2

−1

λg2

(9.75)

Donde el subíndice “o” se refiere a las cantidades en el espacio libre o en un medio LIH, laecuación (9.74) se puede escribir:

∂2

∂x2Ψoi(x,z) +

∂2

∂z2Ψoi(x,z) + kc

2Ψoi(x,z) = 0 (9.76)

382 Murphy————————————————————————————————————————————


Una vez que hayamos introducido las condiciones de frontera para una caso dado, nosencontraremos que los campos sólo pueden satisfacer (9.76) para valores discretos de kc,que serán los “eigenvalores” de la guía, y dan origen a la transmisión en “modos” en una guíade onda. Si expresamos el número de onda de propagación por:

kg

2 = ko2 − kc

2 =1

vo2

ωo2 −ωc

2( ) (9.77)

Vemos que podemos definir dos casos generales:

a) ko > kc : equivalente a λo <λ c o fo > fc . En este caso, el vector de propagaciónes real, y la onda se propaga en la guía sin atenuación.

b) ko < kc : ( λo >λ c ; fo < fc ). El número de onda de propagación es totalmenteimaginario, por lo que una onda propagándose en la línea se atenúa rápidamente.

En este sentido, una guía de onda es un filtro pasa altas; λc se define como la longitud deonda de corte, y fc como la frecuencia de corte.

Además de cumplir con la ecuación de onda, los campos eléctrico y magnético debensatisfacer las ecuaciones de Maxwell. Si suponemos que el medio dentro de la guía es LIH,caracterizado por permitividad ε y permeabilidad µ, y que no existen cargas ni corrienteslibres en el medio, entonces se deben satisfacer:

∇• E = 0 ∇• B = 0

∇× E = −

∂∂t

B ∇× B =µε

∂∂t

E

Para simplificar los cálculos, conviene notar la forma de las derivadas involucradas en estasecuaciones:

∂∂y

Ψi = jkgΨi

∂∂t

Ψi = − jωΨi

∂∂x

Ψi =∂

∂xΨo(x,z)exp j kgy − ωt( )[ ]

∂∂z

Ψi =∂

∂zΨo(x,z)exp j kgy − ωt( )[ ]

De las ecuaciones de Maxwell obtenemos entonces 8 relaciones:

De ∇• E = 0 se obtiene, al cancelar el término de propagación común:

∂∂x

Eox +∂∂z

Eoz + jkgEoy = 0 (9.78)

Murphy 383————————————————————————————————————————————


De ∇× E = −

∂∂t

B:

jkgEoz −

∂∂z

Eoy = jωBox (9.79)

∂∂z

Eox −∂

∂xEoz = jωBoy (9.80)

∂∂x

Eoy − jkgEox = jωBoz (9.81)

De ∇• B = 0 se obtiene otra expresión, una vez eliminado el factor exponencial:

∂∂x

Box +∂

∂zBoz + jkgBoy = 0 (9.82)

Y de ∇× B =µε

∂∂t

E se obtienen las últimas tres relaciones:

jkgBoz −

∂∂z

Boy = − jωµεEox (9.83)

∂∂z

Box −∂

∂xBoz = − jωµεEoy (9.84)

∂∂x

Boy − jkgBox = −jωµεEoz (9.85)

Resolviendo (9.79), (9.81), (9.83) y (9.85) para las componentes transversales:

Eox =

j

kc2

kg∂∂x

Eoy −ω∂

∂zBoy

(9.86)

Eoz =

j

kc2

kg∂∂z

Eoy +ω∂

∂xBoy

(9.87)

Box =

j

kc2

ωµε∂

∂zEoy + kg

∂∂x

Boy

(9.88)

Boz =

j

kc2

−ωµε∂

∂xEoy + kg

∂∂z

Boy

(9.89)

384 Murphy————————————————————————————————————————————


Es decir, todas las componentes transversales son independientes entre sí, y sólo dependende las derivadas de la componente longitudinal de los campos eléctrico y magnético.Además, ya que todas expresiones involucran una suma, podemos tratarlas como lasuperposición de dos ondas, y analizar cada una por separado. Basados en esto, podemosdefinir una onda transversal eléctrica (TE), con Eoy=0, Boy≠0, y una onda transversalmagnética (TM), para la cual Eoy≠0, Boy=0. Si ambas ondas tienen amplitud longitudinalnula, se define una onda transversal electromagnética (TEM), que no tiene mucho interéspráctico ya que de (9.79) a (9.85) vemos que todas las componentes se reducen a cero.

Tratando a la onda como la superposición de dos, podemos encontrar la amplitudlongitudinal de cada campo independientemente. Por ejemplo, para el modo TE, lasecuaciones se reducen a:

Eox =

j

kc2

−ω∂∂z

Boy

Eoz =

j

kc2

ω∂

∂xBoy

Box =

j

kc2

kg∂∂x

Boy

Boz =

j

kc2

kg∂∂z

Boy

Y sabemos que Boy debe satisfacer (9.76). Las constantes de integración necesarias paradefinir esta amplitud se determinan de las condiciones de frontera del problema. Por lopronto, consideraremos que la guía está hecha con un conductor ideal, de manera que elcampo eléctrico sólo tiene componente normal a la superficie y B sólo presentacomponentes tangenciales; es decir, las componentes tangenciales de E y las normales de Bson nulas en toda la superficie conductora.

9.3.1 GUÍA DE ONDA RECTANGULAR

En este caso, la guía es un tubo de sección rectangular de lados “a” y “b” orientada a lo largodel eje y, como se muestra en la Figura 9.7.

Para cualquiera de los dos modos (TE o TM) se debe satisfacer (9.76). Si suponemos quelas amplitudes se pueden representar por funciones separables, es decir:

Ψoi(x,z) = X(x)Z(z) (9.90)

Entonces podemos tratar de resolver el problema usando separación de variables:

∂2

∂x2X(x)Z(z) +

∂2

∂z2X(x)Z(z) + kc

2X(x)Z(z) = 0

Murphy 385————————————————————————————————————————————


1X(x)

∂2

∂x2X(x) +

1Z(z)

∂2

∂z2Z(z) + kc

2 = 0

Y definiendo:

kc2 = kx

2 + kz2 (9.91)

Podemos expresar:

1X(x)

∂2

∂x2X(x) + kx

2 +1

Z(z)∂2

∂z2Z(z) + kz

2 = 0

z

x

y

z=b

x=a

Figura 9.7

Que ya es una función separada si suponemos que kc no depende de las coordenadas. Lasfunciones a resolver son entonces:

∂2

∂x2X(x) + kx

2X(x) = 0 (9.92)

∂2

∂z2Z(z) + kz

2Z(z) = 0 (9.93)

La solución general a ambas ecuaciones es de forma sinusoidal, por lo que la amplitud de

386 Murphy————————————————————————————————————————————


cualquiera de los componentes de los campos estará dada por:

Ψoi = X(x)Z(z) = C1sen kxx( ) + C2 cos kxx( )[ ] C3sen kzz( ) +C4 cos kzz( )[ ] (9.94)

Las seis constantes (C1 a C4 y kx, kz) se determinan de condiciones de frontera para cadauno de los casos TE y TM.

Modo TE: En este caso, Eoy=0, y Boy tiene que satisfacer (9.94), es decir:

Boy(x,z) = C1sen kxx( ) + C2 cos kxx( )[ ] C3sen kzz( ) + C4 cos kzz( )[ ] (9.95)

Ésta es una componente tangencial a la superficie conductora, por lo que no tiene por queser nula allí. Para evaluar las constantes, debemos determinar las componentestransversales. De (9.86) y (9.87) tenemos:

Eox(x,z) = −j

ωkz

kc2

C1sen kxx( ) + C2 cos kxx( )[ ] C3 cos kzz( ) − C4sen kzz( )[ ]

Eox es una componente tangencial en z=0 y z=b (Figura 9.7), por lo que debe desaparecerallí.

Eox(x,z = 0) = − j

ωkz

kc2

C1sen kxx( ) + C2 cos kxx( )[ ] C3[ ] = 0

De donde concluimos que C3=0. Mientras tanto:

Eox(x,z = b) = − j

ωkz

kc2

C1sen kxx( ) + C2 cos kxx( )[ ] −C4sen kzb( )[ ] = 0

Nos lleva a concluir que:

kzb = nπ ⇒ kz = n

πb

(9.96)

Donde “n” es un entero. Por otro lado, Eoz está dado por:

Eoz(x,z) = j

ωkx

kc2

C1cos kxx( ) − C2sen kxx( )[ ] C4 cos nπb

z

Y notamos que es una componente tangencial en x=0 y x=a, por lo que debe ser nula en esos

Murphy 387————————————————————————————————————————————


puntos:

Eoz(x = 0,z) = j

ωkx

kc2

C1[ ] C4 cos nπb

z

= 0

Eoz(x = a,z) = j

ωkx

kc2

−C2sen kxa( )[ ] C4 cos nπb

z

= 0

De donde se obtiene que C1=0 y:

kx = m

πa

(9.97)

Donde “m” es otro entero. Con estos valores, las amplitudes del campo eléctrico son:

Eox(x,z) = jnC2C4

πb

ωkc

2cos m

πa

x

sen n

πb

z

Eoz(x,z) = − jm

πa

C2C4

ωkc

2sen m

πa

x

cos n

πb

z

La componente longitudinal del campo magnético se puede escribir ahora:

Boy(x,z) = C2C4 cos m

πa

x

cos n

πb

z

Y aunque no podemos determinar C2 y C4 independientemente, si podemos definir suproducto por:

Bo = C2C4 (9.98)

Las componentes transversales del campo magnético se calculan de (9.88) y (9.89):

Box =

j

kc2

kg∂∂x

Boy

= − j

mπkgBo

akc2

sen mπa

x

cos n

πb

z

Boz =

j

kc2

kg∂∂z

Boy

= − j

nπkgBo

bkc2

cos mπa

x

sen n

πb

z

388 Murphy————————————————————————————————————————————


En resumen, las amplitudes de los campos están dadas por:

Eox(x,z) = j

nπωBo

bkc2

cos mπa

x

sen n

πb

z

(9.99)

Eoy = 0 (9.100)

Eoz(x,z) = − j

mπωBo

akc2

sen mπa

x

cos n

πb

z

(9.101)

Box(x,z) =− j

mπkgBo

akc2

sen mπa

x

cos n

πb

z

(9.102)

Boy(x,z) = Bo cos m

πa

x

cos n

πb

z

(9.103)

Boz (x,z) = − j

nπkgBo

bkc2

cos mπa

x

sen n

πb

z

(9.104)

El número de onda de corte está relacionado a kx y kz por (9.93):

kc

2 = kx2 + kz

2 =mπa

2

+nπb

2

= π2 m2

a 2+

n2

b2

(9.105)

El hecho que los factores “n” y “m” aparezcan en las expresiones (9.99) a (9.105) nos indicaque sólo podemos transmitir modos discretos (frecuencias discretas) por una guía de ondas.La longitud de onda de corte se calcula de (9.105):

λc =2πkc

=2

m2

a2+

n2

b2

(9.106)

La longitud de onda de corte queda entonces determinada por las dimensiones de la guía deonda y los modos que se deseen transmitir; para aumentar el número de modos, hay queaumentar el tamaño de la guía. El primer modo determina la dimensión mínima que debetener la guía en función de la longitud de onda de corte; si a>b, y tomamos m=1, n=0(modo TE10), obtenemos:

λc =2

1

a2

= 2a ⇒ a =

λc

2

Murphy 389————————————————————————————————————————————


Por lo tanto, la longitud de onda más grande que se puede propagar en la guía será del doblede la dimensión mayor. Para todos los demás modos (siempre y cuando a≥b):

λc =2

m2

a 2+

n2

b2

< 2a

El vector de onda de propagación se encuentra de (9.77):

kg = ko2 − kc

2 = π4

λo2

−m2

a2+

n2

b2

(9.107)

Y la longitud de onda de propagación es por lo tanto:

λg =2πkg

=2

4

λo2

−m2

a2+

n2

b2

(9.108)

Y la velocidad de propagación de la señal se calcula de (8.5):

vg =ωkg

=ω / π

4

λo2

−m2

a2+

n2

b2

(9.109)

Y vemos entonces que la guía de onda es dispersiva. Pero también notamos que la velocidadde propagación es mayor a la de una onda en el dieléctrico, o si la guía está vacía, mayor a ladel espacio libre. Esto tiene una explicación geométrica, y no debe preocuparnos ya que lainformación no viaja a esta velocidad, sino a la velocidad de que es menor o igual a lavelocidad de la luz. El análisis siguiente es válido aún si simplificamos el problemaconsiderando que la guía es de un material conductor ideal. La forma en que una OEM(representada en forma de haz) se transmite dentro de la guía se ilustra en la Figura 9.8.Suponemos que la onda es incidente en una de las paredes de la guía a un ángulo α, y esreflejada al mismo ángulo. Si consideramos el modo TE, el campo eléctrico no tendrácomponente a lo largo de la dirección de propagación, por lo que será perpendicular a k entodo punto. Si consideramos que E está polarizado en dirección i , saliendo del plano delpapel, lo podemos representar únicamente considerando la dependencia temporal por:

E1− 2 = Eo exp jωt[ ] i

390 Murphy————————————————————————————————————————————


3

λo

λg

α

α

2 4

1 5

Figura 9.8

El campo será entonces paralelo a un frente de onda, indicado por la línea 1-2 en la figura.Al ser reflejada la onda, el frente viajará a la derecha y hacia abajo, como se indica en la figurapor las líneas 2-3 y 4-5. Ya que E sólo tiene componentes tangenciales a la paredconductora en cada uno de los puntos 1-5, los frentes de onda deben interferir allí a manerade anularse, por lo que el campo a lo largo de la línea 2-3 está dado por:

E2− 3 = Eo exp j ωt + π( )[ ] i

Mientras que a lo largo del frente 3-4, estará dado por:

E3− 4 = Eo exp j ωt + 2π( )[ ] i = Eo exp jωt[ ]ˆ i

Y podemos concluir que los frentes indicados por 1-2 y 3-4 están a una longitud de ondaaparte. La longitud de onda de propagación se determina de la geometría por:

λg =

λo

senα(9.110)

Los casos extremos se presentan cuando α=0 y α=π/2. En el primero, la onda esperpendicular al eje de la guía, por lo que no hay propagación y λg es infinita. En el

segundo, la onda se propaga paralela al eje de la guía, sin reflexiones, y λg=λo. Para todos

los casos intermedios, la longitud de onda de propagación es mayor a λo, por lo que lavelocidad de propagación también es mayor a vo. Sin embargo, la información viaja a lolargo de la dirección de propagación, desplazándose a velocidad vo.

Murphy 391————————————————————————————————————————————


Modo TM: En este caso, Eoy≠0, y Boy=0. Las componentes transversales de loscampos son:

Eox =

j

kc2

kg∂∂x

Eoy

Eoz =

j

kc2

kg∂∂z

Eoy

Box =

j

kc2

ωµε∂

∂zEoy

Boz =

j

kc2

−ωµε∂

∂xEoy

Y la componente longitudinal del campo eléctrico (al igual que las transversales) debesatisfacer (9.94):

Eoy(x,z) = C1sen kxx( ) + C2 cos kxx( )[ ] C3sen kzz( ) + C4 cos kzz( )[ ]

Esta componente es tangencial a la superficie de los conductores cuando x=0, x=a, z=0 yz=b. Para cumplir con las condiciones de frontera, esta componente debe ser nula en estospuntos, por lo que:

Eoy(x = 0,z) = C2[ ] C3sen kzz( ) + C4 cos kzz( )[ ] = 0

De donde C2=0. Por otro lado:

Eoy(x = a,z) = C1sen kxx( )[ ] C3sen kzz( ) + C4 cos kzz( )[ ] = 0

De donde obtenemos:

kx = p

πa

(9.111)

Con “p” entero. De la evaluación en los otros dos puntos obtenemos:

Eoy(x,z = 0) = C1sen p

πa

x

C4[ ] = 0

De donde C4=0.

Eoy(x,z = b) = C1sen p

πa

x

C3sen kzb( )[ ] = 0

Que sólo se cumple si:

kz = q

πb

(9.112)

392 Murphy————————————————————————————————————————————


Donde “q” es otro entero. Definiendo C1C3=Eo, la componente longitudinal del campoeléctrico es entonces:

Eoy(x,z) = Eosen p

πa

x

sen q

πb

z

(9.113)

Conociendo esta componente, las cuatro transversales se calculan directamente:

Eox(x,z) = j

pπkgEo

akc2

cos pπa

x

sen q

πb

z

(9.114)

Eoz(x,z) = j

qπkgEo

bkc2

sen pπa

x

cos q

πb

z

(9.115)

Box(x,z) = j

qπωµεEo

bkc2

sen pπa

x

cos q

πb

z

(9.116)

Boz (x,z) = − j

pπωµεEo

akc2

cos pπa

x

sen q

πb

z

(9.117)

Como verificación, directamente comprobamos que las componentes transversales delcampo magnético son nulas en x=0 y x=a, y en z=0 y z=b, respectivamente.El número de onda de corte, para este modo, está dado de (9.91), (9.111) y (9.112):

kc

2 = kx2 + kz

2 =pπa

2

+qπb

2

= π2 p2

a2+

q2

b2

(9.118)

La longitud de onda de corte, la de propagación y la velocidad de propagación tienenexpresiones equivalentes a las deducidas en la sección anterior.

Ejemplo 66.- Considere una guía de onda de sección rectangular para la cual b=νa, con ν≤1.

a) Calcule las frecuencias de propagación del modo TE cuando ν=1, ν=1/2 y ν=1/3.b) Calcule los valores numéricos para el inciso anterior para las primeras cinco

frecuencias de propagación cuando el medio de la guía es el espacio libre y a=4.5cm.c) Si la guía se excita con una frecuencia fo=5GHz, ¿cuáles modos se propagan?

Murphy 393————————————————————————————————————————————


a) La frecuencia de corte se obtiene de (9.120):

fc =

vo

λc=

1

2 µεma

2

+nb

2

En este caso, b=νa, por lo que podemos escribir:

fc =

1

2a µεm2 +

nν

2

Definiendo el modo TE10 cuando m=1, n=0, vemos que la frecuencia de cortecorrespondiente a este, f10 , modo será el factor multiplicativo frente al radical, por lo quepodemos expresar:

fc = f10 m2 +

nν

2

Para los distintos valores de n, los primeros modos son:

ν=1 ⇒ fc = f10 m2 + n2

ν=1/2 ⇒ fc = f10 m2 + 4n 2

ν=1/3 ⇒ fc = f10 m2 + 9n 2

b) Los valores numéricos para los primeros cinco modos son:

1 1/2 1/3

fc = f10 m2 + n2 fc = f10 m2 + 4n 2

fc = f10 m2 + 9n 2

TE10 3.334 GHz 3.334 GHz 3.334 GHzTE11 4.714 GHz 7.454 GHz 10.54 GHzTE20 6.667 GHz 6.667 GHz 6.667 GHzTE21 7.454 GHz 9.428 GHz 12.02 GHzTE22 9.428 GHz 14.91 GHz 21.08 GHz

c) Si la frecuencia de excitación es de 5GHz, se propaga el primer modo en cualquierade los tres casos, pero sólo cuando ν=1 se puede propagar el segundo modo también.Notamos que si ν ≤1/2, el segundo modo posible es el doble del primero.

————————————————————*

m

394 Murphy————————————————————————————————————————————


9.3.2 POTENCIA

La potencia se obtiene de la parte real del vector de Poynting;

S = ℜ E × H*[ ] =ℜ1µ

E × B*( )

= ℜ

1µ

ˆ i ˆ j ˆ k

Eox Eoy Eoz

Box* Boy

* Boz*

(9.119)

= ℜ

1µ

EoyBoz* − EozBoy

*( )ˆ i + EozBox* − EoxBoz

*( )ˆ j + EoxBoy* − EoyBox

*( )ˆ k

Todas las componentes transversales son imaginarias, mientras que las longitudinales sonreales, por lo que sólo la componente en la dirección de propagación tendrá términos reales;es decir, la energía se propaga a lo largo del eje de la guía. Es importante notar, sin embargo,que la potencia se debe a la combinación de los dos modos de propagación, por lo queexistirán términos cruzados en los productos. Si expresamos las componentes transversales(9.86) a (9.89) por:

Eox = EoxE + EoxM Eoz = EozE + EozM

Box = BoxE + BoxM Boz = BozE + BozM

Donde el subíndice “E” se refiere al modo TE y el “M” al modo TM, entonces lacomponente del vector de Poynting en la dirección de propagación es:

Sy = ℜ

1µ

EozE + EozM( ) BoxE* + BoxM

*( ) − EoxE + EoxM( ) BozE* + BozM

*( )

Sy =

1µ

ℜ EozEBoxE* + EozMBoxE

* + EozEBoxM* + EozMBoxM

*(

−EoxEBozE

* − EoxMBozE* − EoxEBozM

* − EoxMBozM* )

Mientras que si sólo se considera el modo TE, la potencia es:

Sy =

1µ

ℜ EozEBoxE* − EoxEBozE

* Es decir, la energía total no se obtiene de la suma de la energía calculada para cada modoindependientemente.

Murphy 395————————————————————————————————————————————


Si tenemos las condiciones para que sólo se propague el modo principal TE10 , lasamplitudes de las componentes están dadas, de (9.99) a (9.104), por:

Eox10 = 0 Eoy10 = 0 Eoz10(x) = −j

πωBo

akc2

senπa

x

Box10(x) =− j

πkgBo

akc2

senπa

x

Boy10(x) = Bo cos

πa

x

Boz10 = 0

Usando estos valores, el vector de Poynting es:

S = ℜ E × H*[ ] =ℜ1µ

ˆ i ˆ j ˆ k

0 0 Eoz

Box* Boy

* 0

= ℜ1µ

−EozBoy* ˆ i + EozBox

* ˆ j ( )

S =

1µ

−jπωBo

akc2

senπa

x

j

πkgBo

akc2

senπa

x

ˆ j =

ωkg

µπBo

akc2

2

sen2 πa

x

ˆ j

9.3.3 DISIPACIÓN EN LA GUÍA

Evidentemente no podemos tener una guía hecha con un conductor ideal; la conductividadde un material real es finita, y la onda electromagnética penetra las paredes de la guía. Laonda dentro del material conductor induce una distribución de corriente, que disipa energíapor efecto Joule. La cantidad de energía disipada se puede calcular aproximadamente parabuenos conductores usando el método de perturbaciones, como sigue. La componentetangencial del campo magnético es siempre continua, por lo que al conocer su valorinmediatamente afuera del conductor, conocemos su valor inmediatamente adentro delconductor. Este campo magnético inducirá una densidad de corriente J en la superficie, quedecrece rápidamente (de acuerdo con la profundidad de piel) al adentrarnos al material. Estadensidad de corriente hará que la componente tangencial del campo eléctrico sea distinta decero; las componentes tangenciales de E y B serán por lo tanto distintas de cero, peroperpendiculares entre sí para cumplir con las leyes de Ampere-Maxwell y de Ohm.Podemos calcular E de la ley de Faraday, y podemos suponer que será lo suficientementepequeño como para no alterar apreciablemente el campo de la onda. El producto cruz de loscampos eléctrico y magnético dentro de la pared conductora tendrá dirección normal y haciaadentro de la superficie; es decir, la onda le cede energía al conductor. Podemos ilustrar estoconsiderando únicamente el modo TE10 , ya que en este caso las amplitudes de los campos

396 Murphy————————————————————————————————————————————


se reducen a:

Eox10 = 0 Eoy10 = 0 Eoz10(x) = −j

πωBo

akc2

senπa

x

Box10(x) =− j

πkgBo

akc2

senπa

x

Boy10(x) = Bo cos

πa

x

Boz10 = 0

Si consideramos la pared inferior de la guía, en z=0, las componentes Box y Boy serántangenciales a la superficie conductora, al igual que Eox y Eoy . Pero en este modo (TE),Eoy=0, por lo que el vector de Poynting se obtiene de:

S = ℜ

1µ

Ecˆ i × Bc

*ˆ j ( )

= ℜ1µ

EcBc*ˆ k ( )

Por la continuidad de las componentes tangenciales del campo magnético podemosdeterminar el valor inmediatamente dentro de la superficie, y podemos suponer que allí sumagnitud decrecerá de acuerdo con la profundidad de piel:

Bcy (x,y,z) = Boexp − z / δ( )cos

πa

x

Podemos proponer una forma similar para el campo eléctrico:

Ecx(x,y,z) = Eo exp − z / δ( )cos

πa

x +ϕ

El ángulo ϕ es para considerar que los campos pueden estar fuera de fase. Si consideramosque la guía es de un buen conductor —no ideal—, entonces los campos están desfasados 45°y sus magnitudes están relacionadas por:

Bo

Eo=

σµω

⇒ Eo =

ωσµ

Bo

Al calcular el valor promedio del vector de Poynting tendremos el término:

12π

cosπa

x

cos

πa

x +π4

dx

0

2π

∫ =12

cosπ4

=

24

Murphy 397————————————————————————————————————————————


Y entonces:

S =

24µ

ωσµ

Bo2 exp −2z / δ( )ˆ k

Y la energía cedida por unidad de longitud, S’ se encuentra de integrar S de z=0 hasta z=-∞:

S, =2

4µωσµ

Bo2 exp −2z / δ( )ˆ k

dz

0

−∞

∫ = −δ2

2

4µωσµ

Bo2 exp −2z / δ( )

−∞

0

ˆ k

S’ =

δ2

2

4µωσµ

Bo2 ˆ k =

1σ

Bo

2µ

2ˆ k (9.120)

La energía total cedida a la pared se encuentra de multiplicar esta cantidad por la longitud dela línea. Haciendo un análisis similar en las otras paredes, y sumando los resultados, seencuentra la cantidad total de energía transferida al medio. Finalmente notamos que para unmaterial de conductividad infinita, el vector de Poynting tiende a cero, y no haytransferencia de energía de la onda al medio conductor.

9.4 FIBRA ÓPTICA

Los sistemas basados en líneas de transmisión y guías de onda son imprácticos paracomunicaciones a largas distancias y altas frecuencias. Los primeros por la alta disipaciónde energía en la línea, y los segundos por la imposibilidad de tender guía de onda endistancias más grandes que unos cuantos metros. Para estas aplicaciones, los sistemas detransmisión usan fibra óptica; un conductor dieléctrico que confina o guía una OEM pormedio de reflexión interna total. Entre las principales ventajas de la fibra óptica destacansus reducidas dimensiones; cierta flexibilidad y pequeño radio de curvatura; pocadisipación de energía y su gran ancho de banda. La fibra óptica se hace fundamentalmentede vidrio; SiO2 dopado para controlar el índice de refracción. Consiste de un “centro”, pordonde se propaga la señal, y una “cubierta”, que rodea al centro y permite la reflexióninterna total (el índice de refracción de la cubierta tiene que ser menor al del centro). El radiodel centro varía desde unas cuantas micras hasta cerca de los 60µm, mientras que el de lacubierta es de 100-150µm. Aunque está fabricada con vidrios, al ser tan delgada es tambiénflexible y se puede curvar hasta cierto grado, permitiendo hacer “cables” de fibra óptica convarias fibras dentro. Las pérdidas por efecto Joule asociadas a los materiales conductores delas líneas de transmisión y guías de onda no se presentan en la fibra, por lo que se reduce ladisipación de energía. Ésta no se puede eliminar, sin embargo, ya que el material de la fibra

presenta mecanismos de dispersión (Rayleigh) y absorbción (e.g. por H, OH-), quetransfieren energía de la onda a la fibra. Si la frecuencia de operación se selecciona

398 Murphy————————————————————————————————————————————


cuidadosamente, las pérdidas se pueden reducir hasta niveles inferiores a 1dB por km, lo quepermite la transmisión en muy largas distancias sin la necesidad de amplificar continuamentela señal. Finalmente, la frecuencia de operación de la fibra está en el infrarrojo cercano, loque permite la modulación de señales con un amplio ancho de banda.

Entre las desventajas más importantes de la fibra óptica podemos mencionar el costo; noson fáciles de fabricar; se requiere controlar precisamente su diámetro y el índice derefracción de centro y cubierta. Además, tienen que ser lo más largas posibles para evitar elacoplamiento, ya que por sus reducidas dimensiones no es sencillo “pegar” un segmento defibra con otro y lograr que funcione perfectamente.

TRANSMISOR

RECEPTOR

MODULADOR

DE-MODULADOR

Procesamientoeléctrico de lainformación

Conversión aseñal óptica(láser, LED)

Conversión aseñal eléctrica(foto-detector)

Procesamientoeléctrico de lainformación

fibra óptica

fibra óptica

señaleléctrica

señaleléctrica

Figura 9.9

La forma en que funciona un sistema en base a fibra óptica se esquematiza en la Figura 9.9.El transmisor procesa una señal eléctrica; podemos pensar en un teléfono que convierte lainformación acústica a un voltaje o corriente, analógico o digital. Esta señal se usa entoncespara modular la intensidad de una fuente de luz, que es por lo general un lásersemiconductor, aunque en algunos casos se usan diodos emisores de luz. Esta luz moduladase transmite a través de la fibra óptica; en casos típicos con muy poca disipación ydispersión. Al llegar a su destino, que puede estar a cientos de kilómetros, la informaciónse extrae del haz por medio de un de-modulador; el fotodetector es por lo general un diodoen polarización inversa (e.g. pin o de avalancha). En éste, la variación en la intensidad dela luz se convierte a una señal eléctrica que es procesada para entregarla al receptor. Si éstees un teléfono, por ejemplo, la información eléctrica se convierte a una señal sonora. Con unsistema de fibra óptica se puede transmitir todo tipo de información; imágenes, datos,sonidos, etc.

Murphy 399————————————————————————————————————————————


La limitante principal de este tipo de sistema hoy en día es la rapidez de modulación de laseñal. Ya que la frecuencia de la onda portadora es muy alta, en principio se pueden tenerrazones de modulación muy altas también, pero que aún no se pueden lograr, lo que haceque los sistemas en base a fibra óptica tengan un futuro muy promisorio; apenas estamosempezando a explotar las ventajas que nos ofrecen.

9.4.1 TIPOS DE FIBRA ÓPTICA

El índice de refracción del centro de la fibra puede tener un valor constante o puede variargradualmente desde un valor máximo en el origen a un valor inferior en la entrecara con lacubierta. El primer tipo se conoce como fibra de índice abrupto, y el segundo como fibrade índice gradual. La cubierta generalmente se fabrica con índice de refracción constante.Para proteger la fibra, se hace además un recubrimiento plástico externo. La señal en unafibra óptica se propaga en frecuencias discretas, o modos, como en el caso de la guía deonda. En general, cualquiera de los dos tipos de fibra es multimodo , es decir, transmitevarios modos a la vez, pero se puede lograr que un solo modo se propague si se seleccionanlas dimensiones e índices de refracción adecuadamente. Entonces la fibra es llamadamonomodo. El análisis matemático de la fibra óptica es un poco engorroso, por lo que aquípresento únicamente la descripción de la fibra de índice abrupto; el lector interesado notendrá mucha dificultad en aplicar el mismo procedimiento para deducir las ecuaciones querigen a la fibra de índice gradual.

9.4.2 CAMPOS EN LA FIBRA ÓPTICA

Por la forma de la fibra es más conveniente usar el sistema coordenado cilíndrico para elanálisis matemático. La onda se propaga entonces a lo largo del eje z, como se muestra en laFigura 9.10.

Aunque el análisis siguiente es escencialmente idéntico al que se hizo para la guía de onda,aquí lo repetiremos por completez. Fundamentalmente, cada componente de los camposeléctrico y magnético debe satisfacer la ecuación de onda;

∇2Ψi(r, φ,z,t) =

1

vo2

∂2

∂t2Ψi(r, φ,z,t) (9.121)

Podemos suponer que toda la dependencia de los componentes con la dirección depropagación y el tiempo está totalmente incluida en un término de propagación; esto no esmás que decir que la fibra será uniforme a lo largo de la dirección de propagación. Éstostendrán entonces la forma general:

Ψi (r, φ ,z,t) = Ψoi(r, φ)exp j(kgz − ωt)[ ] (9.122)

400 Murphy————————————————————————————————————————————


z

y

x

centro(10-60µm)

cubierta(100-125µm)

b

a

Figura 9.10

Para satisfacer la ecuación de onda (9.121) necesitamos tomar el laplaciano en coordenadascilíndricas; éste está dado por (A.68):

∇2Ψi =

1r

∂∂r

r∂Ψi

∂r

+

1

r2

∂2Ψi

∂φ2+

∂2Ψi

∂z2

Si efectuamos la derivada fuera del paréntesis tenemos:

∇2Ψi =

∂2Ψi

∂r2+

1r

∂Ψi

∂r+

1

r2

∂2Ψi

∂φ2+

∂2Ψi

∂z2

Y substituyendo la forma de los componentes (9.122) nos queda:

∇2Ψi(r, φ,z,t) =

∂2Ψoi(r, φ)

∂r2+

1r

∂Ψoi(r, φ)∂r

+1

r2

∂2Ψoi(r, φ)

∂φ2− kg

2Ψoi(r, φ)

exp j(kgz −ωt)[ ]

Murphy 401————————————————————————————————————————————


Por otro lado, la segunda derivada temporal de la función es:

∂2

∂t2Ψi (r, φ ,z,t) = −ω 2Ψoi(r, φ)exp j(kgz −ωt)[ ]

Igualando y arreglando términos obtenemos la siguiente expresión:

∂2Ψoi(r, φ)

∂r2+

1r

∂Ψoi(r, φ)∂r

+1

r2

∂2Ψoi(r, φ)

∂φ2+

ωvo

2

− kg2

Ψoi(r, φ) = 0

Y definiendo un número de onda en la fibra por:

kc

2 =ωvo

2

− kg2 = ko

2 − kg2 (9.123)

La ecuación de onda que cada componente tiene que satisfacer en la fibra se reduce a:

∂2Ψoi(r, φ)

∂r2+

1r

∂Ψoi(r, φ)∂r

+1

r2

∂2Ψoi(r, φ)

∂φ2+ kc

2Ψoi(r, φ) = 0 (9.124)

Además de satisfacer la ecuación de onda, los campos deben satisfacer las ecuaciones deMaxwell para constituir una OEM válida. Si consideramos que el medio es LIH y no haycargas ni corrientes libres, las ecuaciones a satisfacer se reducen a:

De ∇• E = 0 :

∂∂r

Eor +Eor

r+

1r

∂∂φ

Eoφ + jkgEoz = 0 (9.125)

De ∇× E = −

∂∂t

B:

1r

∂∂φ

Eoz − jkgEoφ = jωBor (9.126)

jkgEor −

∂∂r

Eoz = jωBoφ (9.127)

1r

Eoφ + r∂

∂rEoφ −

∂∂φ

Eor

= jωBoz (9.128)

De ∇• B = 0 :

∂∂r

Bor +Bor

r+

1r

∂∂φ

Boφ + jkgBoz = 0 (9.129)

402 Murphy————————————————————————————————————————————


Y de ∇× B =µε

∂∂t

E:

1r

∂∂φ

Boz − jkgBoφ = − jωµεEor (9.130)

jkgBor −

∂∂r

Boz =− jωµεEoφ (9.131)

1r

Boφ + r∂∂r

Boφ −∂

∂φBor

= − jωµεEoz (9.132)

Resolviendo (9.126), (9.127), (9.130) y (9.131) para las componentes transversales seobtiene:

Eor =

j

kc2

kg∂∂r

Eoz +ω1r

∂∂φ

Boz

(9.133)

Eoφ =

j

kc2

kg1r

∂∂φ

Eoz − ω∂∂r

Boz

(9.134)

Bor =

j

kc2

−ωµε1r

∂∂φ

Eoz + kg∂∂r

Boz

(9.135)

Boφ =

j

kc2

ωµε∂

∂rEoz + kg

1r

∂∂φ

Boz

(9.136)

Para encontrar las funciones que satisfacen estas ecuaciones, podemos suponer que cada unade las componentes se puede expresar como el producto de dos funciones que sólodependen de su coordenada, en este caso una función radial y una azimutal. Es decir:

Ψoi(r, φ) = Φ(φ)R(r) (9.137)

Substituyendo esta forma en (9.124):

∂2Φ(φ)R(r)

∂r2+

1r

∂Φ(φ)R(r)∂r

+1

r2

∂2Φ(φ)R(r)

∂φ2+ kc

2Φ(φ)R(r) = 0

Multiplicando por r2 y dividiendo por Ψoi(r, φ) = Φ(φ)R(r) obtenemos una funciónseparada:

r2

R(r)d2R(r)

dr2+

rR(r)

dR(r)dr

+1

Φ(φ)d2Φ(φ)

dφ2+ r2kc

2 = 0

Murphy 403————————————————————————————————————————————


Cada una de las funciones debe ser constante para cumplir esta relación en todo punto.Llamándole “m” a esta constante, tenemos, para la ecuación radial:

r2

R(r)d2R(r)

dr2+

rR(r)

dR(r)dr

+ r2kc2 = m2

Mientras que la azimutal es:

1Φ(φ)

d2Φ(φ)

dφ2= −m2

Conviene resolver ésta primero, escribiéndola:

d2Φ(φ)

dφ2+ m2Φ(φ) = 0

Ésta es satisfecha por funciones sinusoidales:

Φ(φ) = Cφexp jmφ[ ] (9.138)

Por la naturaleza de la coordenada azimutal, estas soluciones deben ser univaluadas, es decir:

Φ(φ) = Φ(φ + 2π) = Cφ exp jm φ + 2π( )[ ] = Cφ exp jmφ[ ]exp jm 2π( )[ ]

Que sólo se cumple si m=entero. Con esto en mente, podemos resolver la ecuación radial:

r2

R(r)d2R(r)

dr2+

rR(r)

dR(r)dr

+ r2kc2 = m2

Arreglando términos la podemos expresar como la ecuación diferencial de Bessel:

d2R(r)

dr2+

1r

dR(r)dr

+ kc2 −

m2

r 2

R(r) = 0

Las soluciones a esta ecuación son las funciones de Bessel de orden m, Jm. La función radialse puede entonces escribir:

R(r) = CrJm (kcr) (9.139)

Y cada uno de los componentes de los campos toma la forma general:

404 Murphy————————————————————————————————————————————


Ψoi(r, φ) = CoiJm(k cr)exp jmφ[ ] (9.140)

Los coeficientes Coi se determinan para cada caso de las condiciones de frontera. En general,se debe plantear una forma de las soluciones para el centro de la fibra y otra forma para lacubierta. Las soluciones se particularizan haciendo que cumplan con las condiciones defrontera en la entrecara. Esto lo ilustramos con el caso siguiente, que es la fibra de índiceabrupto.

9.4.3 FIBRA DE ÍNDICE ABRUPTO

En esta, el índice de refracción del centro es de valor constante, y cambia abruptamente en lacubierta. Supondremos que el radio del centro de la fibra es “a”, y que la cubierta es uncilindro concéntrico de radios a<r≤b. En el centro, que denotaremos por el subíndice “1”,las componentes longitudinales de los campos deben ser:

Ez1 = Eoz1J m(kc1r)exp jmφ[ ] (9.141)

Bz1 = Boz1Jm(kc1r)exp jmφ[ ] (9.142)

Mientras que el número de onda en el centro se define por:

kc12 = k1

2 − kg2 (9.143)

Para calcular las componentes transversales necesitamos derivar las funciones de Bessel conrespecto a la coordenada radial. Por lo pronto, dejaremos estas derivadas implícitas,indicándolas de la siguiente manera:

∂∂r

Jm kc1r( ) =∂ kc1r( )

∂r

∂ Jm kc1r( )[ ]∂ kc1r( )

= kc1Jm’ kc1r( )

Al substituir (9.141) y (9.142) en (9.133) a (9.136) obtenemos las componentestransversales:

Eor1 =

j

kc12

kgkc1Eoz1Jm’ kc1r( ) + j

mωr

Boz1Jm kc1r( )

exp jmφ[ ] (9.144)

Eoφ1 =

j

kc12

jmkg

rEoz1Jm kc1r( ) −ωkc1Boz1Jm

’ kc1r( )

exp jmφ[ ] (9.145)

Murphy 405————————————————————————————————————————————


Bor1 =

j

kc12

− jmωµ1ε1

rEoz1Jm kc1r( ) + kgkc1Jm

’ kc1r( )

exp jmφ[ ] (9.146)

Boφ1 =

j

kc12

ωµ1ε1kc1Eoz1Jm’ kc1r( ) + j

mkg

rBoz1Jm kc1r( )

exp jmφ[ ] (9.147)

Para determinar los campos en la cubierta, que indicaremos por el subíndice “2”, notamosque éstos deben decrecer exponencialmente conforme r → b, por lo que el número de ondadebe ser totalmente imaginario, es decir:

kc22 = kg

2 − k22 < 0 (9.148)

Las funciones que cumplen con esta condición, y que además satisfacen la ecuacióndiferencial de Bessel, son las funciones de Hankel de primer tipo y orden m. Usando éstaspara las componentes longitudinales de los campos en la cubierta:

Ez2 = Eoz2Hm(1)(jk c2r)exp jmφ[ ] (9.149)

Bz2 = Boz2Hm(1)(jkc2r)exp jmφ[ ] (9.150)

Las derivadas radiales de las funciones de Hankel son:

∂∂r

Hm(1) jkc2r( ) =

∂ jkc2r( )∂r

∂ Hm(1) jkc2r( )[ ]

∂ jkc2r( )

= jkc2Hm(1)’ jkc2r( )

Usando esta notación, las componentes transversales en la cubierta se pueden expresar por:

Eor2 =

−1

kc22

kgkc2Eoz1Hm(1)’ jkc2 r( ) +

mωr

Boz2Hm(1) jkc2r( )

exp jmφ[ ] (9.151)

Eoφ2 =

−1

kc22

mkg

rEoz2Hm

(1) jkc2r( ) −ωkc2Boz2Hm(1)’ jkc2r( )

exp jmφ[ ] (9.152)

Bor2 =

−1

kc22

−mωµ2ε2

rEoz2Hm

(1) jkc2 r( ) + kgkc2Hm(1)’ jkc2r( )

exp jmφ[ ] (9.153)

Boφ2 =

−1

kc22

ωµ2ε2kc2Eoz2Hm(1)’ jkc2r( ) +

mkg

rBoz2Hm

(1) jkc2r( )

exp jmφ[ ] (9.154)

406 Murphy————————————————————————————————————————————


Para relacionar las amplitudes podemos usar la continuidad de las componentes tangencialesde los campos en la entrecara:

Ez1(r = a) = Ez2 (r = a) (9.155)

Eφ1(r = a) = Eφ2(r = a) (9.156)

Bz1(r = a) = Bz2 (r = a) (9.157)

Bφ1(r = a) = Bφ2(r = a) (9.158)

De éstas obtenemos 4 ecuaciones independientes en función de las amplitudes de lascomponentes longitudinales de los campos, Eoz1, Boz1 , Eoz2 y Boz2 . Para encontrar unasolución no trivial al sistema, el determinante correspondiente a estas ecuaciones debe sernulo. Es decir (las columnas corresponden a Eoz1, Boz1 , Eoz2 y Boz2 , respectivamente):

Jm kc1a( ) 0 −Hm(1) jkc2a( ) 0

−mkg

akc12

Jm kc1a( ) −j ωkc1

Jm’ kc1a( ) mkg

akc22

Hm(1) jkc2a( ) − ω

kc2

Hm(1)’ jkc2a( )

0 Jm kc1a( ) 0 −Hm(1) jkc2a( )

j k12

ωkc1

Jm’ kc1a( ) mkg

akc12

Jm kc1a( ) k22

ωkc2

Hm(1)’ jkc2a( ) mkg

akc22

Hm(1) jkc2a( )

= 0 (9.159)

La solución al determinante son los eigenvalores de la fibra; los modos que se puedenpropagar en función de kg, kc1 y kc2. Desarrollando el determinante, llegamos a:

aε1

ε2

kc2

2

kc1

J m’ kc1a( )

Jm kc1a( )

+ jkc2a

Hm(1)’ jkc2a( )

Hm(1) jkc2a( )

akc2

2

kc1

Jm’ kc1a( )

Jm kc1a( )

+ jkc2a

Hm(1)’ jkc2a( )

Hm(1) jkc2a( )

=

m

ε1

ε2−1

ωkg

v2kc12

(9.160)

Ya que m es un entero, (9.160) sólo puede ser satisfecha por valores discretos, que son losmodos que se pueden transmitir en la fibra. Además de los TE y TM, existen modos paralos cuales ambos campos tienen componentes longitudinales; éstos se llaman modoshíbridos, y se denotan por HE y EH. Los modos TE y TM sólo existen cuando m=0. Eneste caso, el lado derecho de (9.160) es cero, y tenemos dos ecuaciones independientes:

Murphy 407————————————————————————————————————————————


aε1

ε2

kc2

2

kc1

J m’ kc1a( )

Jm kc1a( )

+ jkc2a

Hm(1)’ jkc2a( )

Hm(1) jkc2a( )

= 0 (9.161)

akc2

2

kc1

Jm’ kc1a( )

Jm kc1a( )

+ jkc2a

Hm(1)’ jkc2a( )

Hm(1) jkc2a( )

= 0 (9.162)

La primera relación determina los modos TM (Eoz=0) y la segunda los modos TE (Boz=0).Estos modos se obtienen de las raíces de las ecuaciones, que se pueden obtener de los cerosde las funciones de Bessel y Hankel; ya que éstas son series infinitas, hay que calcularlosnuméricamente. Usando una de las propiedades de las funciones de Bessel:

ddς

ςnJn(ς) = ςnJn −1(ς)

Podemos expresar (9.161) y (9.162) de una manera más sencilla para los modos TM y TE:

ε1

ε2

kc2

kc1

J1 kc1a( )J0 kc1a( ) + j

H1(1) jkc2a( )

H0(1) jkc2a( )

= 0 (9.163)

kc2

kc1

J1 kc1a( )J0 kc1a( ) + j

H1(1) jkc2a( )

H0(1) jkc2a( )

= 0 (9.164)

La fibra óptica, como la guía de onda, funciona como un filtro pasa-altas. El parámetro quedetermina los modos de operación de la fibra, y sus correspondientes frecuencias de corte,es el vector de propagación kc2. En (9.148) especificamos que este número de onda debe serimaginario. Mientras más grande sea éste, más rápido se atenúa la onda en la cubierta; si esde valor pequeño, la onda se disipa lentamente, y puede llegar a atravesar la cubierta.Finalmente si kc2≥0 (es decir, es ahora totalmente real), la onda no se extingue en la cubiertay se propaga como una onda cualquiera; no hay reflexión interna total y no podemosconfinar la onda a la fibra. Las frecuencias de corte se definen cuando kc2=0; de (9.148)tenemos:

kc2corte2 = kgcorte

2 − k22 = 0

Substituyendo ésta en el número de la onda del centro de la fibra, (9.143):

kc1corte2 = k1

2 − kgcorte2 = k1

2 − k22

408 Murphy————————————————————————————————————————————


La frecuencia de corte, ωc, se determina de:

ωc = kc1cortev1 =kc1corte

µo ε1 −ε 2( )(9.165)

La frecuencia de corte puede ser cero si kc1corte es cero. En este caso, sólo puede existir unmodo de propagación, que es el híbrido HE11 . Los modos de propagación se determinan delas raíces de las funciones de Bessel. Las funciones J0(kc1a), J1(kc1a) y J2(kc1a) se muestranen la Figura 9.11. Los modos se indican por dos subíndices; el primero está relacionado alorden de la función de Bessel, y el segundo al número de la raíz. Algunos modos deoperación son los siguientes.

Modos transversales: En estos casos (TE y TM), m=0, y las raíces de interés se obtienende J0 kc1a( ) = 0 . De la figura podemos reconocer los primeros modos transversales; TE01 y

TM01 cuando kc1a=2.405; TE02 y TM02 en kc1a=5.52; y TE03 y TM03 para kc1a=8.642.

Modos híbridos: se presentan siempre que m>0. Debido a la forma de las soluciones a(9.160), tienen algunas restricciones. Los modos HE1n incluyen a kc1a=0 como raíz, perolos modos de mayor orden, es decir, los modos HEmn con m>1 no pueden incluir a kc1a=0como raíz. Para todos los modos EHmn, kc1a=0 no es una raíz válida, pero son idénticos alos HEmn. En general, los podemos relacionar por:

EH1n = HE1 n+1( )EHmn = HEmn

Los modos HE11 cuando kc1a=0 y HE12 o EH11 en kc1a=3.83 se ilustran también en laFigura 9.11. De esta misma observamos que mientras más grande sea el parámetro kc1a, másmodos se pueden propagar en la fibra. Podemos relacionar esta cantidad a la estructurafísica de la fibra usando (9.208). De esta manera se define el número V de la fibra:

V ≡ kc1cortea = aωc µoεo n1

2 − n22 =

2πaλo

n12 − n2

2 (9.166)

De esta expresión vemos que el número de modos que se pueden propagar en la fibraaumenta si: a) aumenta el radio del centro; b) aumenta el índice de refracción del centro;c) disminuye el índice de refracción de la cubierta; y d) disminuye la longitud de onda de laseñal portadora, λo. Para tener un solo modo de transmisión (correspondiente akc1a<2.405), el número V se debe mantener pequeño; esto se logra con un centro dediámetro reducido y una diferencia entre los índices de refracción también pequeña.

Murphy 409————————————————————————————————————————————


-0.5

0.0

0.5

1.0

0 2 4 6 8 10

J n(kc1

a)

kc1

a

J0(k

c1a) J

1(k

c1a) J

2(k

c1a)

HE11 TE

01EH

11

TE02

TM03

HE21

Figura 9.11

Ejemplo 67.- Diseñe una fibra óptica para funcionar en multimodo con un láser deλo=1,200nm; número V=30; índice de refracción del centro n1=1.458, y ángulo de

incidencia crítico θc=85°.

El ángulo crítico está dado por (8.69):

θc = sen−1 n2

n1

⇒ n2 = n1senθc

En este caso n2=1.4525; ∆n=5.5481X10-3

El centro de la fibra debe ser de radio:

a =Vλo

2π n12 − n2

2=

30( ) 1.2µm( )2π 1.4580( )2

− 1.4525( )2= 45.089µm

410 Murphy————————————————————————————————————————————


La cubierta debe ser lo suficientemente gruesa para evitar que atraviese la onda; típicamenteb=62.5 µm.

————————————————————*

Ejemplo 68.- Calcule la frecuencia de corte para una fibra monomodo con centro de radioa=10µm, índices de refracción n1=1.458, n2=1.447.

Para que la fibra sea monomodo, V≤2.405. La frecuencia de onda de corte se calcula de estenúmero:

fc =Vc

2πa n12 − n2

2

En el extremo, cuando V=2.405, la frecuencia de corte es:

fc =2.405( ) 2.998X108m/s( )

2π 1.0X10−5m( ) 1.458( )2− 1.447( )2

= 6.4193X1013Hz

Que corresponde a λo=4.6702µm (infrarrojo lejano)

————————————————————*

9.5 ANTENAS

Existen muchas aplicaciones para las cuales tender una línea de cable o fibra óptica esimposible o impráctico, como sería para las comunicaciones vía satélite o la telefonía móvil.En estos casos, la transmisión se hace a través de la atmósfera o el espacio libre usandoantenas transmisoras y receptoras. La transmisión de señales con antenas ofrece algunasventajas importantes; la velocidad de propagación es la de la luz en el espacio libre; sepuede hacer con muy poca disipación y dispersión; los sistemas son de relativamente másfácil mantenimiento, etc. Entre las desventajas apreciables está la falta de privacidad en lacomunicación (es necesario codificar la señal para asegurar privacidad); la gran atenuación dela señal en la atmósfera terrestre para ciertos rangos de frecuencia; y el gran tamaño de lasantenas para aplicaciones en bajas frecuencias o para recepción de señales de baja potencia.Como regla general podemos decir que el tamaño de una antena es similar a la longitud deonda de la señal a transmitir/recibir, por lo que para aplicaciones en altas frecuencias sepueden usar antenas de tamaño reducido; la electrónica moderna muestra una decididatendencia hacia las aplicaciones inalámbricas, por lo que el análisis y diseño de antenas es uncampo con un futuro muy dinámico y promisorio.

Murphy 411————————————————————————————————————————————


Un solo tipo de antena no puede satisfacer todas las necesidades de transmisión yrecepción, por lo que se han diseñado muchos tipos de antenas, cada uno con característicaspropias. Podemos agrupar los tipos más comunes en los siguientes. Dipolar: Ésta es unalambre recto en forma de “T”. Una forma equivalente es el monopolo sobre un plano detierra, que es la forma común usada en automóviles, radios portátiles, transmisión de señalesde radio y TV comercial, etc. De lazo: Un alambre formando un lazo cerrado de N vueltas.Una forma común de ésta es la antena de ferrita, todavía muy usada, especialmente pararecepción. Helicoidal: Una combinación especial de las antenas dipolares y de lazo. Deapertura: Son la terminación de guía de onda; sus características se pueden diseñar a lamedida usando terminaciones de distintas formas, llamadas antenas de trompeta. De“microstrip”: Las antenas del futuro, hoy usadas extensamente en aplicaciones de altafrecuencia. Son “parches” conductores sobre un substrato dieléctrico, fabricables contecnología de circuitos impresos para microondas y de fabricación de circuitos integrados.De reflexión: Éstas son combinaciones de cualquiera de los tipos anteriores con unreflector para mejorar sus características de radiación o recepción. A nivel general, la antenaparabólica es la más conocida de este tipo. Además, para lograr características específicasen un patrón de radiación es muchas veces necesario agrupar varias antenas en un arreglo.Los arreglos pueden ser longitudinales o bi-dimensionales, y conjugan los patrones de cadaantena para obtener interferencia constructiva y destructiva en puntos específicos, o paracolectar una mayor cantidad de energía para señales de muy poca intensidad. Los arreglos leofrecen al diseñador muchos grados de libertad (tipo de antena, separación entre las antenas,magnitud y fase de la corriente para cada antena, etc), por lo que se puede obtenerprácticamente cualquier característica de radiación usando éstos.

El estudio a fondo de los patrones de radiación de cada tipo de antena requiere de un cursodedicado, por lo que aquí trato el tema como una introducción general, definiendo lascantidades más usadas en el estudio de antenas y sus patrones de radiación. Para ilustrar losconceptos, se analiza con cierto detalle la antena dipolar, posiblemente la más conocida paratodos.

9.5.1 DEFINICIONES GENERALES

Aquí sólo presento algunas de las definiciones que se usan comunmente para el estudio delas antenas; el objetivo es tener una visión global de las formas que tenemos para juzgar lascaracterísticas de radiación/recepción de una antena en particular. Siguiendo la prácticanormal, usaré el sistema coordenado esférico para lo que sigue.

Patrón de radiación: Representación tridimensional del valor promedio del vector dePoynting asociado a una antena. Este patrón se puede dividir en “lóbulos”, regionescerradas donde la radiación es continua. Los lóbulos están separados por puntos donde nohay radiación, conocidos como “nulos” del patrón de radiación. El lóbulo que comprende lamayor parte de la radiación se conoce como principal, y puede haber más de uno (con lamisma magnitud) para un patrón dado. Los demás lóbulos, si existen, se conocen comosecundarios, y pueden ser laterales o posteriores. En muchas aplicaciones, es deseablereducir la magnitud de los lóbulos secundarios, lo que se logra con un diseño adecuado. En la

412 Murphy————————————————————————————————————————————


Figura 9.12 se muestra una representación bi-dimensional de un patrón de radiación.

lóbulo principal

lóbulos secundarios

lóbulos posteriores

Figura 9.12

FNBW

HPBW

Figura 9.13

Ancho de haz entre primeros nulos (FNBW): Esta cantidad nos indica el tamaño angulardel lóbulo principal, como se muestra en la Figura 9.13. Mientras más pequeña sea esta

Murphy 413————————————————————————————————————————————


cantidad, mas “afinado” será el patrón de radiación. Para radiación de una señal de TV oradio comercial, por ejemplo, es deseable que el FNBW sea grande para cubrir toda la regiónalrededor. En contraste, para un enlace de micro-ondas es más conveniente tener toda laenergía concentrada en un haz muy delgado, por lo que se desea un FNBW muy pequeño.

Ancho de haz de media potencia (HPBW): Se define como el FNBW, pero ahora lamedida se refiere al ángulo que comprende el 50% de la potencia radiada. También se ilustraen la Figura 9.13.

Patrón isotrópico: Éste es un patrón de radiación independiente de la posición, como seríauno esférico centrado en el origen. La radiación es igual en cualquier dirección.

Patrón omnidireccional: En este caso, el patrón de radiación es independiente en unadirección angular, pero dependiente de la otra.

Potencia radiada: Integral del vector de Poynting en una superficie cerrada que envuelvetotalmente la fuente de radiación, que es la antena:

P = S• da∫ = Prad + jPX (9.167)

r>λ/2πr<<λ/2π

r>>λ/2π

intermedio

cercano lejano

P≈Prad

P≈jPX

Prad≈PX

Figura 9.14

La potencia radiada es en general una cantidad compleja (parte real y parte imaginaria); laparte real se conoce como “potencia radiativa”, Prad, y la imaginaria como “potenciareactiva”, PX. La potencia radiativa se puede transferir a un medio, y la reactiva no. Ésta

414 Murphy————————————————————————————————————————————


es transferida entre los campos, o componentes de los campos de la OEM y no se puedeaprovechar para transmitir energía. En base a la potencia radiada, se pueden definir los“campos” de la antena, ilustrados en la Figura 9.14. Para el “campo cercano”, la mayorparte de la potencia es reactiva, y no hay transferencia al medio; un receptor de radio muycerca de la antena no funcioinará como tal. En el “campo lejano”, la potencia esfundamentalmente radiativa, y se puede transmitir al medio o receptor. La región entre éstasse conoce como el “campo intermedio”. Aquí, las dos componentes de la potencia son demagnitud similar.

Intensidad de radiación: Es la potencia radiada (parte real de la potencia) por una antenaen dirección dada por unidad de ángulo sólido. Tiene por lo tanto unidades de W/steradian,y se define por:

U = r2S (9.168)

La potencia radiada se calcula de la intensidad de radiación al integrar sobre una superficiecerrada:

Prad = UdΩ∫ = Usenθdθdφ

0

2π

∫0

π

∫ (9.169)

Para una fuente isotrópica, U=Uo=constante, y la potencia es entonces:

Prad = UodΩ∫ = Uosenθdθdφ

0

2π

∫0

π

∫ = 4πUo (9.170)

Usando esta definición, podemos también interpretar a Uo como la intensidad de radiaciónpromedio de cualquier fuente:

Uo =

Prad

4π(9.171)

Directividad: Una cantidad muy útil para una antena; es la razón de la intensidad deradiación en una dirección dada a la intensidad de radiación promediada en todas direcciones:

D =

UUo

=4πUPrad

(9.172)

Una fuente isotrópica tiene directividad igual a la unidad; una alta directividad en direccióndada indica que el haz es muy afinado en esa dirección. A lo largo de un nulo, la directividades igual a cero.

Murphy 415————————————————————————————————————————————


Directividad máxima: Razón de la intensidad de radiación en la dirección del máximo deradiación a la intensidad de radiación promedio:

Dmax =

Umax

Uo=

4πUmax

Prad(9.173)

Directividad parcial: Para antenas con componentes de polarización perpendiculares, sepuede definir una directividad en cada dirección:

D = Dθ + Dφ (9.174)

Dθ =4πUθ

Prad( )θ+ Prad( )φ

Dφ =4πUφ

Prad( )θ+ Prad( )φ

(9.175)

El valor promedio del vector de Poynting no siempre tiene una forma fácil de integrar, por loque muchas veces es necesario hacerlo numéricamente. Para estos casos, es más convenienteexpresar la directividad de la siguiente manera:

D = 4πU(θ,φ)

U(θ, φ)senθdθdφ

0

2π

∫0

π

∫(9.176)

Eficiencia: Las antenas están hechas en base a componentes reales; el material conductordel que está hecho la antena disipa energía por efecto Joule; puede haber conducción através del dieléctrico separando las terminales; si la resistencia de entrada de la antena no esigual a la de la línea de transmisión, habrá pérdidas por desacoplamiento, etc. Todo esto lopodemos cuantificar con la eficiencia:

eo = ereced = erecd (9.177)

Cada uno de los factores en (9.177) está acotado entre 0 ≤ eo ,e r ,e c ,ed ≤ 1; el extremoinferior representa el peor caso, y el superior sería el ideal. Cada uno de estos factores sedefine por:

er: eficiencia de reflexión, obtenida de 1− Γ

2

. Está asociada a la reflexión de la señal

en la antena por desacoplamiento de impedancias.ec: eficiencia de conducción; asociada a las pérdidas por efecto Joule del material

conductor de la antena.ec: eficiencia del dieléctrico; asociada a las pérdidas por conducción en el dieléctrico

entre las terminales de la antena.

416 Murphy————————————————————————————————————————————


Por lo general es difícil, si no imposible, experimentalmente separar los efectos de laspérdidas en el conductor y en el dieléctrico, por lo que estos dos factores se combinan enuno. La eficiencia se puede expresar entonces:

eo = ecd 1 − Γ

2

(9.178)

Y la potencia radiada, comparada con la disponible a la entrada de la antena, Pin (que es en elmejor caso la mitad de la potencia del generador), se encuentra de:

Prad = ecdPin (9.179)

Ganancia: Está relacionada a la directividad y la eficiencia de la antena. En el peor de loscasos es igual a cero, y en el mejor, igual a la directividad:

G = 4π

U(θ,φ)Pin

(9.180)

G = ecdD (9.181)

Apertura (área) efectiva máxima: Esta es una medida eléctrica, obtenida de la razón de lapotencia máxima disponible en las terminales de una antena receptora a la densidad depotencia (vector de Poynting) de una onda incidente en la antena:

Aem =

PTm

Si(9.182)

Puede ser mayor (o menor) al área física de la antena; mientras mayor sea, mejor será larecepción de la señal.

Modelo equivalente: Para representar las características de radiación de una antena, esconveniente definir un modelo eléctrico equivalente. El modelo más simple se muestra en laFigura 9.15. La resistencia Ra considera la pérdidas por efecto Joule en la estructuraconductora de la antena, y la reactancia Xa, modela la inductancia del alambre y otros efectosen la estructura. Para modelar el mecanismo de radiación se usa la “resistencia deradiación”, Rrad, que aunque no es una componente real, es muy útil para calcular lapotencia transmitida o recibida a través de:

Prad = I2R rad (9.183)

La impedancia total de la antena (o impedancia de entrada), Za, incluye todos estoscomponentes. Es ésta la que se debe acoplar a la línea de transmisión para lograr la máximatransferencia de potencia; debido a la reactancia, puede ser que sólo sea posible para unrango de frecuencias muy pequeño, caracterizado por el ancho de banda de la antena.

Murphy 417————————————————————————————————————————————


Ra

Xa

RradZa

Figura 9.15

Ancho de banda: Este es el rango de frecuencias dentro del cual la antena funciona deacuerdo con una serie de características pre-establecidas. Para antenas de gran ancho debanda, el ancho de banda se expresa por lo general como la razón de la frecuencia mayor a lamenor: un ancho de banda de 20:1 indica que la frecuencia máxima a la que la antena cumplecon las características es 20 veces mayor a la mínima. Para antenas de ancho de bandareducido, el ancho de banda se expresa como un porcentaje: si la antena tiene un ancho debanda de 5%, por ejemplo, entendemos que la variación máxima (frecuencia máxima menosmínima) es de sólo un 0.05 alrededor de la frecuencia central.

Reciprocidad: Se dice que dos antenas, con impedancias de entrada Z1 y Z2, separadas porun medio lineal e isotrópico, pero no necesariamente homogéneo, son recíprocas si Y12=Y21y la potencia entregada en cada dirección es la misma (esto supone que las antenas estánacopladas con sus fuentes/detectores para máxima transferencia de potencia), como semuestra esquemáticamente en la Figura 9.16.

Antena 1 Antena 2

Medio LIZ1 Z2

Y12=Y21

Figura 9.16

Alternativamente, podemos interpretar esta condición diciendo que una buena antena“transmisora” es una buena antena “receptora” y viceversa.

418 Murphy————————————————————————————————————————————


9.5.2 ANTENA DIPOLAR

La antena dipolar consiste de dos conductores paralelos terminados en forma de “T”, comose muestra en la Figura 9.17.

a d

b

Figura 9.17

Al hacer circular una corriente alterna en uno de los conductores (+), se induce la misma enel otro (-), pero 180° fuera de fase. Al tener cargas en movimiento acelerado, ambosconductores radiarán una onda electromagnética, pero la radiación resultante en la seccióndonde los conductores son paralelos será casi nula ya que las ondas interfierendestructivamente. En la terminación no se da esta cancelación, y la onda generada por cadaconductor se propaga en el espacio libre. Dependiendo de la longitud total de la antena (d),las ondas interferirán constructiva o destructivamente en distintos puntos, formando así elpatrón de radiación de la antena. Para definir este patrón de radiación es necesario conocerel valor promedio del vector de Poynting, para lo que necesitamos el valor de los camposeléctrico y magnético. En este caso, podemos obtener ambos a partir del potencial vectorialA como sigue. Los campos, en función de los potenciales, son:

B =∇ × A E = −∇V − jωA

Donde estamos suponiendo que el potencial vectorial se puede representar como una ondacompleja. Si usamos la norma de Lorentz, podemos expresar el potencial escalar en funcióndel vectorial:

V = −

1jωµε

∇• A( ) (9.184)

Murphy 419————————————————————————————————————————————


Por lo que el campo eléctrico se puede definir totalmente en función de A:

E = − jωA − j

1ωµε

∇ ∇ • A( ) (9.185)

Y el problema se reduce a calcular el potencial vectorial (de éste calculamos ambos campos,y de éstos el vector de Poynting).

A =

µ4π

Jexp −jkξ[ ]

ξdτ∫ (9.186)

Donde el vector ξ tiene la definición común; la distancia del elemento de integración alpunto de evaluación. Para poder realizar la integral, necesitamos una relación funcional parala densidad de corriente en el conductor, que podemos definir en función de tres casosdistintos; una antena muy corta (d<<λ/50); una antena corta (λ/50<d<λ/10); y una antenade cualquier tamaño. En base al estudio de estos tres casos podremos definir cuál es ladimensión más adecuada para la antena. Por lo pronto, consideraremos que la separaciónentre los conductores, al igual que su radio (a y b en la Figura 9.17) son muy pequeñoscomparados con la longitud total d.

9.5.2.1 ANTENA MUY CORTA

Si la antena es muy corta comparada con la longitud de onda de la señal, podemos suponerque la corriente es prácticamente constante, y llamarla Io. Si orientamos la antena a lo largodel eje z, y consideramos que está radiando en el espacio libre, podemos calcular el potencialvectorial de:

A =µo

4πIo

exp − jkξ[ ]ξ

dl∫ =µo

4πIo

exp − jkξ[ ]ξ

dz ˆ k

−d/2

d/2

∫ (9.187)

Como la antena es muy corta, podemos aproximar la distancia del elemento de integración alpunto de evaluación por la coordenada radial, r, y entonces el potencial se define de:

A =µoIo exp − jkr[ ]

4πrdzˆ k

−d/2

d/2

∫ =µoIodexp − jkr[ ]

4πrˆ k (9.188)

Nos conviene expresar los campos en coordenadas esféricas, para lo cual necesitamostransformar el vector unitario del potencial usando (A.25):

420 Murphy————————————————————————————————————————————


A(r, θ) =

µoIodexp − jkr[ ]4πr

cosθˆ r −µoIodexp −jkr[ ]

4πrsenθˆ θ (9.189)

Obtenemos el campo magnético del rotacional de esta expresión:

B =∇ × A =

µoIod4π

∇×

exp −jkr[ ]r

cosθˆ r − senθˆ θ [ ]

(9.190)

Usando (A.52) y arreglando términos, llegamos a:

B = j

kµoIodsenθ4πr

1 +1jkr

exp −jkr[ ]ˆ φ (9.191)

El campo eléctrico se obtiene de (9.185). Haciendo las substituciones adecuadas y llevandoa cabo las operaciones indicadas, éste es:

E(r, θ) = ηIod2πr

exp −jkr[ ] cosθr

1+1

jkr

r + j

ksenθ2

1+1jkr

−1

kr( )2

ˆ θ

(9.192)

Donde η=µoω/k es la impedancia del espacio libre. La onda electromagnética radiada no estransversal ya que el campo eléctrico tiene componente en la dirección de propagación. Enel campo cercano (kr<<1) ambas componentes de E son principalmente imaginarias, y elcampo magnético es real. En el campo lejano (kr>>1), la componente radial de E es muypequeña comparada con la polar, que es imaginaria, al igual que la componente azimutal deB. En esta región, la OEM es transversal, y como veremos enseguida, toda la potencia esradiativa. Usando (9.191) y (9.192) para los campos, el valor promedio del vector dePoynting se encuentra de:

S =

12µo

E × B*( ) =1

2µoEθBφ

*ˆ r − E rBφ*ˆ θ ( )

Realizando los productos, las componentes radial y polar promedio del vector de Poyntingson:

Sr =η8

Iodλ

2sen 2θ

r21 − j

1

kr( )3

(9.193)

Sθ = jηkIod

2senθcosθ

16π2r31+

1

kr( )2

(9.194)

Murphy 421————————————————————————————————————————————


Al integrar sobre cualquier superficie cerrada que envuelve la antena, obtenemos la potenciaradiada por la antena. Tomando una superficie esférica de radio r centrada en el origen:

P = S• da∫ = S• r2senθdθdφˆ r ∫ = Srr2senθdθdφ

0

π

∫0

2π

∫

P = ηπ3

Iodλ

2

1− j1

kr( )3

(9.195)

Sólo la parte real (potencia radiativa) se puede transferir a otra antena (o al medio), mientrasque la parte imaginaria (potencia reactiva) oscilará entre los campos. Usando la parte realpodemos definir la resistencia de radiación de la antena:

Prad =

12

Io2R rad (9.196)

Resolviendo para la resistencia de radiación y usando (9.195):

R rad = η

2π3

dλ

2

(9.197)

Ya que estamos usando una antena muy corta (d<λ/50), el valor máximo que se puedeobtener para la resistencia de radiación es:

R rad = η

2π3

150

2

= ηπ2

7500

≈ 0.32Ω (9.198)

Al ser tan pequeña la resistencia de radiación, la eficiencia de la antena estará cercana a cerosólo considerando las pérdidas por reflexión. Podemos concluir que una antena muy cortacomparada con la longitud de onda es muy poco eficiente.

La directividad de la antena se define de la parte real de (9.193). Usando la parte real de lacomponente radial del vector de Poynting, la intensidad de radiación es:

U = r2S r =

η8

Iodλ

2

sen 2θ (9.199)

422 Murphy————————————————————————————————————————————


Y la directividad de la antena es:

D = 4πU

Prad= 4π

η8

Iodλ

2

sen 2θ

η π3

Iodλ

2=

32

sen2θ (9.200)

La intensidad de radiación, al igual que la directividad, presentan un máximo cuando θ=π/2.La directividad máxima de la antena es por lo tanto:

Dmax = 4π

Umax

Prad=

32

(9.201)

9.5.2.2 ANTENA CORTA

Si consideramos una antena de mayor longitud (comparada con λ), tenemos que tomar encuenta la variación de la corriente a lo largo de la antena. Si la longitud total es menor a undécimo de λ, la corriente se puede aproximar por una función triangular:

I(z) =

Io 1 − 2d

z

ˆ k para 0 ≤ z ≤ d/2

Io 1+2d

z

ˆ k para − d/2 ≤ z ≤ 0

(9.202)

Podemos calcular el potencial con (9.187) usando la aproximación ξ≈r, que sigue siendoválida ya que d≤λ/10. La integración es directa, y A está dado entonces por:

A(r, θ) =

µoIodexp − jkr[ ]8πr

cosθˆ r −µoIodexp −jkr[ ]

8πrsenθˆ θ (9.203)

Que es igual a la mitad de (9.189). Por lo tanto, todas las demás cantidades serán idénticasen forma pero distintas en magnitud a las obtenidas para la antena muy corta. Ladirectividad permanece igual ya que la intensidad de radiación y la potencia radiada varían enel mismo factor. La resistencia de radiación es 1/4 del valor dado por (9.197):

R rad = η

π6

dλ

2

(9.204)

Murphy 423————————————————————————————————————————————


Para el caso extremo d=λ/10, el valor numérico de la resistencia de radiación es:

R rad = η

π6

1

100

≈1.97Ω (9.205)

Que sigue siendo un valor muy bajo para una aplicación práctica; la eficiencia de la antenasería muy pobre.

9.5.2.3 ANTENA DE CUALQUIER TAMAÑO

Si la antena puede tener cualquier longitud, es necesario tomar en cuenta la variación de lacorriente con posición. La variación exacta de la corriente dependerá del espesor delconductor (b), de la separación entre los conductores (a), de la longitud de la antena y de lamodulación de la señal, entre otros. Para fines de estudio y diseño, se pueden lograr buenosresultados si la variación de la corriente se representa por una función sinusoidal:

I(z) =

Iosen k 2d

− z

ˆ k para 0 ≤ z ≤ d/2

Iosen k2d

+ z

ˆ k para − d/2 ≤ z ≤ 0

(9.206)

La variación de la corriente para algunas longitudes se muestra en la Figura 9.18.

d=λ/50d=λ/10 d=λ/4 d=λ/2 d=λ

d=3λ/2d=2λ

Io

Figura 9.18

424 Murphy————————————————————————————————————————————


De nuevo, el potencial se calcula en principio de (9.187), pero la aproximación ξ≈r no sepuede usar, es decir, hay que resolver:

A =

µ4π

Iexp −j k z2 + r2

z2 + r2dz ˆ k ∫ (9.207)

Con la corriente dada por (9.206). Esta expresión no tiene solución analítica, pero podemosobtener resultados aproximados satisfactorios en el campo lejano. Aquí, podemosconsiderar a la antena como consistente de la superposición de antenas dipolares muycortas, cada una con corriente distinta. En el campo lejano, el campo eléctrico sólo tienecomponente polar, que está aproximadamente dada por:

Eθ ≈ jηIo

2πrexp −jkr[ ]

cos kd2

cosθ

− cos kd

2

senθ

(9.208)

Y la componente azimutal del campo magnético por:

Bφ ≈ jµoIo

2πrexp −jkr[ ]

cos kd2

cosθ

− cos kd

2

senθ

(9.209)

En el campo lejano la OEM es transversal, y los campos están en fase. La potencia secalcula del vector de Poynting promedio:

S =1

2µoE × B*( ) = η

Io2

8π2r2

cos kd2

cosθ

− cos kd

2

senθ

2

ˆ r (9.210)

Y la intensidad de radiación es:

U = ηIo

2

8π2

cos kd2

cosθ

− cos kd

2

senθ

2

(9.211)

Murphy 425————————————————————————————————————————————


Los máximos y nulos del patrón de radiación se determinan del término entre llaves.Directamente vemos que seguirá habiendo nulos en θ=0 y θ=π, pero los demás son funciónde la longitud de la antena. Para d≤λ, sólo hay un lóbulo, pero al aumentar la longitud de laantena aparecen lóbulos secundarios, como se puede inferir de la distribución de corriente enla Figura 9.18.

La integral de (9.210) en una superficie cerrada es bastante engorrosa, pero se puede llegar auna forma semi-analítica para la potencia radiada:

Prad = η

Io2

4πC + ln(kd) − C i(kd) +

12

sen(kd) Si (2kd) − 2Si(kd)[ ]

+

12

cos(kd) C + ln(kd/2) + C i(2kd) − 2C i(kd)[ ]

(9.212)

Donde C=0.5772 es la constante de Euler y las funciones Ci(ζ) y Si(ζ) se definen por:

C i(ζ ) = −cosυ

υdυ

ζ

∞

∫

Si(ζ) =senυ

υdυ

0

ζ

∫La resistencia de radiación se obtiene de la potencia radiada:

R rad =2Prad

Io2

=η

2πC + ln(kd) − Ci (kd) +

12

sen(kd) Si(2kd) − 2S i(kd)[ ]

+

12

cos(kd) C + ln(kd/2) + C i(2kd) − 2C i(kd)[ ]

(9.213)

La resistencia de entrada de cualquier circuito se define como la razón del voltaje a lacorriente en las terminales de entrada del circuito, y la eficiencia de la antena no es sólofunción de la resistencia de radiación. El valor de la corriente a la entrada de la antenadependerá de su longitud, como se ve en a Figura 9.18, por lo que la resistencia de entradatambién será función de la longitud. Podemos relacionar la resistencia de entrada a laresistencia de radiación y la amplitud de la corriente considerando la transferencia máxima depotencia, suponiendo que las componentes parásitas de la antena se pueden despreciar:

Pin = I in2R in = Io

2R rad = Prad

426 Murphy————————————————————————————————————————————


Resolviendo para la resistencia de entrada:

R in =

Io

I in

2

R rad (9.214)

De la Figura 9.18 podemos ver que la corriente a la entrada de la antena tendrá distintosvalores dependiendo de la longitud de onda. Si d=mλ, con m=entero, Iin=0, y (9.214)predice una resistencia de entrada infinita. En la práctica, la corriente de entrada no es cero,pero la impedancia d eentrada puede ser muy alta para antenas con d=mλ. De la mismafigura vemos que |Iin |=|Io| para los casos en que d=(m+1/2)λ, por lo que Rin=Rrad. Si

consideramos d=(m+1/2)λ, con m≥1, sin embargo, notamos que el patrón de radiacióntendrá lóbulos secundarios, mientras que para d= λ/2 sólo existe el principal. Es por estoque en la práctica es muy común encontrar el dipolo con d= λ/2. Para éste, se encuentra queZin ≈(73+j42.5)Ω, por lo que es muy eficiente al ser conectado a una línea de transmisión deimpedancia Zo=75Ω. Al considerar efectos de segundo orden (“a” y “b” en la Figura 9.17),

la longitud apropiada para el dipolo se tiene que seleccionar entre 0.47λ y 0.48λ.

9.5.3 MONOPOLO DE λ/4

En las secciones anteriores estudiamos las características de radiación de la antena dipolarconsiderando que ésta radiaba en el espacio libre. Para aplicaciones prácticas, sin embargo,esto no es posible; la antena estará por lo general cerca la superficie de la tierra, y la ondaradiada se transmitirá y reflejará parcialmente allí. Un estudio a fondo de las característicasde radiación de una antena sobre la superficie requiere el conocimiento de las característicaseléctricas del suelo alrededor, que dependen fuertemente de las condiciones climáticas.Además, es necesario tomar en consideración la curvatura de la tierra para obtener el patrónde radiación resultante. Para nuestros propósitos, un análisis más simple, aunqueaproximado, será suficiente. En éste, suponemos que la conductividad del suelo es muy alta,y consideramos que la superficie de la tierra es plana. Así, la antena está radiando sobre unplano conductor ideal; la radiación que va dirigida hacia el suelo es totalmente reflejada poréste e interfiere con la que va dirigida hacia arriba, como se ilustra en la Figura 9.19. Paracalcular el patrón resultante podemos aplicar el método de imágenes y usar superposiciónpara sumar los campos debidos a la “onda directa” y la “onda reflejada”. Si consideramosque los dipolos son muy pequeños comparados con la distancia de evaluación, en el campolejano los campos eléctricos están dados por:

EθD = jη

IodsenθD

4πrDexp −jkrD[ ] (9.215)

EθR = jη

IodsenθR

4πrRexp −jkrR[ ] (9.216)

Murphy 427————————————————————————————————————————————


Al estar muy lejos de los dipolos, la magnitud de la distancia al punto de evaluación nocambia mucho, por lo que podemos tomar rD≈rR. Para la fase, sin embargo, no podemosdespreciar la diefrencia. La podemos aproximar por:

rD ≈ r − hcosθrR ≈ r + hcos θ

(9.217)

Substituyendo estos valores en (9.215) y (9.216), y sumando las expresiones resultantes,para z>0 llegamos a:

Eθ ≈ jη

Iokdsenθ4πr

exp − jkr[ ] 2cos khcosθ[ ] (9.218)

Es decir, podemos expresar el patrón resultante como el producto del patrón debido a undipolo aislado por un factor adicional, llamado “factor de arreglo”. En este caso vemos queel factor de arreglo tiene un valor máximo de 2 cuando h=0 (y los correspondientes akhcosθ=mπ); además, vemos que introduce nulos al patrón resultante para los puntoscuando khcosθ=(m+1/2)π.

dipolo imagen

superficie

onda refl

ejada

onda directa

h

h

dipolo real

onda resultante

Figura 9.19

428 Murphy————————————————————————————————————————————


El número de lóbulos secundarios será función de la longitud de onda y la altura de la antena.Éste está dado por el entero más próximo a:

# de lóbulos ≈

2hλ

+1 (9.219)

Para el caso particular en que d=λ/4 y h=0, el patrón de radiación resultante es:

Eθ = jη

Iokdsenθ2πr

exp − jkr[ ] (9.220)

Que es idéntico al de un dipolo de media longitud de onda en el espacio libre. Es por estoque podemos usar una antena monopolar de un cuarto de longitud de onda sobre un plano detierra, como se muestra en la Figura 9.20, para radiar una OEM y obtener las mísmascaracterísticas que si lo hicieramos con un dipolo de media longitud de onda. En la práctica,ésta es el tipo de antena más usada; las grandes torres de las estaciones de radio y TV; laantena en el coche; en teléfonos móviles; radios portátiles, etc, es por lo general unmonopolo de λ/4. La desventaja de este monopolo es que la resistencia de radiación sereduce a la mitad. La impedancia de entrada del monopolo λ/4 es:

Z in = (36.5) + j(21.25)Ω (9.221)

λ/4

plano de tierra

Figura 9.20

9.6 RESUMEN

En este capítulo estudiamos las principales formas en que podemos transmitir una ondaelectromagnética. Los sistemas básicos están basados en cuatro formas fundamentales; lalínea de transmisión, la guía de ondas, la fibra óptica y las antenas. En un sistema complejo,las 4 formas pueden intervenir en la transmisión de la OEM. Por ejemplo, en lascomunicaciones telefónicas de larga distancia se envía la señal vía fibra óptica a la central de

Murphy 429————————————————————————————————————————————


enlace con el satélite. En esta central, la antena transmisora es alimentada por una líneacoaxial. En el satélite, la información es conducida por guías de onda y re-radiada por unaantena a otra central terrestre.

En términos generales, la línea de transmisión es la que más pérdidas presenta, por lo queestá limitada a aplicaciones en bajas frecuencias. La guía de onda no es tan disipativa, perono es flexible y no es práctica para distancias largas. La fibra óptica transmite la señal pormedio de la modulación de una OEM de frecuencia cercana al visible, teniendo así un granancho de banda. Además, al transmitir la señal en un medio dieléctrico se reducen laspérdidas de energía, por lo que los sistemas basados en fibra óptica son muy apropiadospara comunicaciones a largas distancias. Finalmente, para transmisión a muy largasdistancias es necesario radiar la señal en el espacio libre usando antenas. En la atmósferaterrestre existen pérdidas de energía por la absorbción de la señal por el vapor de agua, perose pueden minimizar seleccionando la frecuencia adecuadamente. La antena dipolar quemejores características presenta es el dipolo de media longitud de onda, o equivalentemente,el monopolo de λ/4.

9.7 EJERCICIOS

9.1 A partir de (9.15) y (9.16), encuentre las partes real e imaginaria de la impedanciacaracterística de una línea de transmisión.

9.1 Grafique la velocidad de propagación de una OEM en una línea de transmisiónusando los valores de la Figura 9.2. Comente.

9.1 Diseñe la guía de onda apropiada para transmitir una señal de frecuencia f=60GHzsólo presentando el modo fundamental.

9.1 Si quisiera transmitir una onda de frecuencia f=88.5MHz usando una guía de onda,¿qué dimensiones debería tener la guía?

9.1 Diseñe una fibra óptica monomodo para transmitir una señal usando una portadorade longitud de onda λo=1.2µm, si el material del centro está caracterizado porn=1.485.

9.1 Diseñe una fibra óptica para acoplar a un láser de λo=1.5µm y número V=15.

9.1 Diseñe una antena para radiar una señal de f=540KHz con un máximo de potenciaradiada igual a 100KW y la máxima eficiencia posible. Calcule la corriente dealimentación; la magnitud máxima de los campos eléctrico y magnético; laresistencia de radiación y la eficiencia suponiendo que la antena no presenta pérdidaspor conducción ni por el dieléctrico y que ésta es alimentada con una línea detransmisión de Zo=75Ω.

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