´Indexblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N... · 2013. 2. 26. · Premis 54...

Societat Catalana de Matemàtiques

President: Carles Casacuberta VergésVicepres.: Josep Grané ManlleuSecretari: Josep Maria Font LlovetTresorer: Joan C. Artés FerragudVocals: Jaume Amorós Torrent

Mart́ı Casadevall PouAntoni Gomà NasarreIgnasi Mundet Riera

Carles Romero ChesaOriol Serra Albó

Enric Ventura CapellJoan Verdera Melenchón

Delegatde l’IEC: Joan Girbau i Badó

Comunicacions:

Carrer del Carme, 4708001 BarcelonaTel.: 932 701 620Fax: 932 701 180A/e: [email protected]

Secretària: Núria FusterTel.: 933 248 583 de 10 a 17 h

SCM/Not́ıciesJuliol 2005. Número 21

Edita:Societat Catalana de Matemàtiques(filial de l’Institut d’Estudis Catalans)

Editor en cap:Enric Ventura Capell

[email protected]

Disseny:Teresa Sabater

Compost en LATEX: Maria Julià

Foto de portada:

Acte de lliurament dels premisCangur 2005

ISSN: 1696-8247Dipòsit Legal: B.9480-2003

Índex

La Junta informa 1

Internacional 5EMS-SCM Joint Mathematical Weekend 5Any Mundial de la F́ısica 6

In Memoriam 7Josep Laporte 7

Fòrum de debat 8

Noticiari 29Jean-Pierre Serre, doctor honoris causa per la UB 29Gabriel Navarro Ortega, nou membre de l’IEC 32Els set problemes del mil.lenni 33Primeres Jornades de Modelització Matemàtica 34Fira de la matemàtica del Bages 35Les universitats informen 36Activitats amb ajuts de la SCM 39

Activitats de la SCM 40Primer Congrés Txec-Català de Matemàtiques 40MAT.ES 2005 42Conferències per a estudiants universitaris 42El Projecte ESTALMAT a Catalunya 43Cangur 2005 44

Agenda 51

Contribucions 52ICREA i les matemàtiques 52

Premis 54Premi Abel 2005 54Xavier Tolsa premiat al 4ECM 58Premi Évariste Galois 59

Llibres 60Singularities of Plane Curves 60Block Error-Correcting Codes 63

Problemes 64

Tesis 65

La Junta informa

Report de la Junta

Si haguéssim de caracteritzar la vida de laSCM en el curs acadèmic que ara acaba en uneslògan, potser diŕıem ≪novetats dintre de lacontinuitat≫. En efecte, hi ha una sèrie d’acti-vitats estables de la SCM, com el Cangur, l’O-limṕıada, l’Estalmat, les publicacions, que hanseguit el seu propi camı́, independentment quedes de la Junta s’hagi anat vetllant el seu desen-volupament. El Cangur, per exemple, que en-guany ha celebrat el seu desè aniversari, segueixla seva ĺınia consolidada i ascendent pel que faa participació, però també es renova: enguanys’hi ha associat per primer cop un concurs derelats de tema matemàtic per als nois i noiesde les edats corresponents al Cangur (quinze adivuit anys aproximadament). En el cas de lespublicacions, han reprès el seu ritme d’aparició,després de l’inevitable hiatus que va comportarel canvi dels equips editors, i a més s’ha co-mençat una sèrie de publicacions electròniques.D’altra banda, hi ha activitats puntuals, comla conferència inaugural o la Trobada sobre en-senyament (conjunta amb la FEEMCAT), quetambé han tingut lloc amb tota normalitat.

Hi ha hagut renovació en el caṕıtol personal:després de la Junta Directiva, els ha tocat eltorn als comitès d’ensenyament i cient́ıfic; enel primer Anna Cuxart ha deixat el seu lloc aJordi Deulofeu, Śılvia Margeĺı i Marta Berini, ien el segon Warren Dicks i Joan Solà-Moraleshan estat substitüıts per Llúıs Alsedà i JordiQuer. D’altra banda, Agust́ı Reventós s’ha in-corporat al Comitè Editorial del Butllet́ı.

Indubtablement, hi ha coses que hem fetaquest curs, i que hem impulsat o organitzatdirectament des de la Junta Directiva, que te-nen un caire radicalment nou. Algunes podenmarcar una tendència en el futur, però això jaes veurà. Paga la pena que ens hi aturem unamica:

• Ha començat a funcionar la branca catalanade la biblioteca matemàtica digital, amb laincorporació de dues revistes amb text com-plet al portal del CBUC, i l’inici de la digi-talització dels números antics del nostre But-llet́ı. Hem acceptat de fer de conillets d’́ındiesen aquest procés, ja que creiem que aquest és

un tema important per a la comunitat ma-temàtica, en el que la matemàtica catalanahi ha de ser present, i cal fer-lo avançar desde casa nostra.

• Com a resultat del conveni signat a la tar-dor amb la Societat Matemàtica Txeca, esva organitzar el 27 i 28 de maig una trobadaconjunta a Praga, amb assistència de gairebécent matemàtics d’ambdós päısos i d’altres.Em sembla que és la primera activitat de laSCM a l’exterior de la peńınsula, i és moltpossible que no sigui la darrera.

• Es va celebrar el congrés MAT.ES 2005 aValència, organitzat per les quatre societatsque actualment formen el Comitè Espanyolde Matemàtiques. Feia anys que no es feiaun congrés general d’aquesta mena, de ma-nera que es pot considerar una novetat.

• La Trobada Matemàtica d’enguany s’ha or-ganitzat conjuntament amb la Societat Ca-talana de F́ısica, i ha estat dedicada a te-mes d’interès comú on s’evidencia que la fortainterconnexió entre les dues ciències segueixd’actualitat.

• S’han organitzat per primer cop unes con-ferències adreçades espećıficament a estudi-ants universitaris, celebrades a les mateixesfacultats on hi ha estudis de matemàtiques.

Si busquem un denominador comú a totesaquestes noves activitats, crec que podria ser lavoluntat d’estendre l’activitat de la SCM mésenllà de les limitacions que sovint ens trobem.Limitacions donades per l’estructura dels es-tats, o que es deuen a les dificultats de la difu-sió de la informació, o a la manca d’una atencióadequada envers alguns col.lectius matemàtics,o simplement a les fronteres de la nostra disci-plina mateixa. En tots els casos, estem inten-tant traspassar aquestes fronteres per a pro-moure l’activitat matemàtica a Catalunya i delscatalans, tal com marquen els nostres Estatuts.

Parlant en general, hi ha la impressió que hiha un augment notable d’activitats a la SCM.D’iniciatives no en falten, i ens sentim capaçosde dur-les a terme. Aix́ı ho ha reconegut l’Ins-titut d’Estudis Catalans, que ens ha més que

1

doblat la subvenció que rebem per a organitza-ció d’activitats concretes. Esperem fer-ne bonús en el futur, i que aquesta empenta es vegireflectida també en una major participació dels

socis en els actes públics de tota mena, com con-ferències, trobades, jornades, congressos, etc.

Josep Maria FontSecretari de la SCM

Estat de comptes

Un cop més aprofito aquest espai de la nostrarevista per posar-vos al corrent de l’estat decomptes de la nostra societat, tal com es va ex-plicar a l’assemblea general d’enguany.

Comencem primer per recordar el pressu-post que es va aprovar per a l’any 2004 en l’as-semblea de 2003:

Pressupost comptable SCM 2004

Activitat Ingressos Subvencions Despeses Total

Cangur 35.000 13.000 45.000 3.000

Olimṕıada 5.000 5.000 0

Curs 1.000 1.000 0

Publicacions 2.000 6.000 10.000 −2.000Trobada 800 3.000 3.800 0

Fòrum 2004 9.000 9.000 0

Trobada Ensenyament 1.000 3.000 4.000 0

Funcionament SCM 14.500 −14.500Nòmines 10.000 −10.000Quotes socis 28.000 28.000

Total 67.800 39.000 102.300 4.500

I comparem-ho amb el que ha estat el resultat final

Resum Comptable SCM 2004

Activitat Ingressos Subvencions Despeses Total

Cangur 37.710,99 15.434,48 49.503,18 3.642,29

Olimṕıada 2.424,80 2.659,61 −234,81Cursos 212,12 −212,12Publicacions 509,43 6.000,00 6.148,02 361,41

Trobada 1.870,00 3.700,00 4.894,48 675,52

Banchoff 1.393,01 −1.393,01Trobada Ensenyament 1.014,00 2.000,00 2.619,84 394,16

Funcionament SCM 11.552,25 −11.552,25Nòmines 8.846,90 −8.846,90Quotes socis 27.081,00 27.081,00

CEMAT 1.319,57 −1.319,57Biblioteca Digital 893,24 893,24 0,00

Total 68.185,42 30.452,52 90.042,22 8.595,72

2

De la comparació podem destacar els fetssegüents. Els ingressos previstos per quotes iactivitats han estat assolits en la seva totali-tat, si bé no ha estat posible de fer coincidir elsoŕıgens de cada partida. Aix́ı, mentre el Cangurha aportat més ingressos dels previstos gràciesa l’augment de participants l’any 2004 (i que hacontinuat creixent durant el 2005), els ingressosper quotes d’associats no han arribat als previs-tos degut a les devolucions de rebuts.

Quant a les subvencions, tot i que semblinmolt inferiors, val a dir que tot és atribüıble ala partida prevista de 9.000 euros per a activi-tats previstes per al Fòrum 2004 i que al finales van limitar a la trobada anual. A més, vala dir que quan es va aprovar el pressupost de2004, es va autoritzar la Junta a dedicar fins a9.000 euros del Fons de Promoció d’Activitatsa alguna de les novetats, com el mateix Fòrum,i al final no ha calgut fer-ho.

I quant a les despeses, val a dir que ens sen-tim molt satisfets d’haver pogut retallar-les sig-nificativament sobre el que estava previst, i po-der tancar l’exercici amb un benefici gairebé eldoble del pressupostat. Respecte de la necessi-tat de generar benefici, us volem recordar que laSCM devia a l’IEC la quantitat de 9.088,81 eu-ros al començament de l’any 2004 (un cop rebai-xat el deute inicial de 16.648,37 amb el beneficide l’any 2003) i que estava previst d’eixugar-loen dos anys més.

Potser la partida que més s’allunya del queestava previst és la de l’Olimṕıada Matemàtica,ja que es van pressupostar quantitats semblantsa les despeses dels dos anys anteriors que havienestat de l’ordre d’uns cinc mil euros cadascun,i tan sols n’han calgut la meitat.

En l’apartat de subvencions, cal destacar12.434,48 euros procedents d’universitats i dela Generalitat per el Cangur, i 2.000 euros de laGeneralitat per a la Trobada. Apart, tenim els6.000 euros de l’IEC per a publicacions i 8.700euros més de l’IEC per a les nostres activitats,que hem repartit entre Cangur, Olimṕıada, Tro-bada i Trobada d’Ensenyament.

Quant a activitats no previstes en el seu mo-ment, tenim la conferència del profesor Banc-hoff i que podŕıem considerar una aportaciónostra a les activitats del Fòrum 2004, encaraque d’un abast inferior al previst inicialment.Val a dir que tampoc no vàrem rebre cap me-na d’ajut per part del Fòrum i per això vàrem

descartar objectius més elevats. També hem se-parat com a despesa independent en aquest in-forme tot el relacionat amb el Comitè Espanyolde Matemàtiques (CEMAT).

Atès que la SCM va començar l’exercicide 2004 amb un saldo comptable negatiu de5.593,64 euros, i els beneficis de l’any 2004 so-brepassen aquesta quantitat en 3.002,08 euros,ja podem dir que tenim la Societat sanejadaeconòmicament en un any menys dels previs-tos, i que a partir d’ara podem fer pressupostosde resultat zero com correspon a una societatsense ànim de lucre.

El Fons de Promoció d’Activitats no ha ha-gut de subvencionar cap de les activitats de laSCM, ni de les clàssiques (cosa que tenim pro-hibida) ni tan sols de les noves, que śı que se-ria acceptable segons els acords de l’assemblea.Concretament, s’han gastat 4.336,40 euros re-partits de la manera següent:

Fons de Promoció d’Activitats

Activitat Subvencions

Congrés Topologia 456,00

Congrés València MAT.ES 2005 2.000,00

Avançament EMS-SCM Weekend 1.880,40

Total 4.336,40

El FPA tenia a principis d’any un saldode 96.521,63 euros, d’on treient les aportacionsde l’any i afegint els interessos ens queda unsaldo a final d’any de 93.097,52 euros.

Voldria comentar l’informe econòmic queens va presentar l’IEC i que vaig haver de sig-nar, en el qual representa que la SCM va tenirunes pèrdues de 8.460 euros en lloc del beneficique us exliquem aqúı. Les raons d’aquesta signi-ficativa diferència són diverses i us puc asegurarque em vaig prendre el meu temps per entendre-les, acceptar que eren perfectament lògiques isignar una cosa que sense acurades explicacionssemblava contradir un any brillant en l’aspectefinancer. Les raons són:

1. En primer lloc cal dir que per a l’IEC, elFPA no es distingeix de la resta d’activitats dela SCM. Per tant, si en lloc de mirar només elresultat de la SCM, li restem les variacions queha tingut el fons, aleshores el resultat consoli-dat ja no és de 8.595,72 sinó de 5.171,61.

3

2. La part més important de la diferència vede la consideració que donem nosaltres i la quedóna l’IEC a les ajudes que rebem del propiIEC. Per a nosaltres són subvencions, igual quesi vinguessin de fora (Generalitat, universitats).Per a l’IEC són despesa interior. I és clar, sirestem els 14.700 euros que hem rebut de l’IECdurant l’any 2004, es dóna la volta al benefici.

3. Per acabar de quadrar la diferència, que araja és petita, tenim el tema de la periodifica-ció d’ingressos i despeses de la qual ja us vaigparlar l’any passat. A causa d’una manca decoordinació entre el servei de gestió econòmicade l’IEC, la nostra secretaria, i jo mateix, no esvaren desglossar correctament les dades perio-dificades a l’IEC, el qual va interpretar tots elsmoviments bancaris de 2004 com a activitats de2004 i això fa que no s’acabi quadrant l’informefinal de cada part. Podŕıem dir que el nostre ésel real, però el que fa l’IEC és l’oficial. Per aaquest any 2005, ja m’he compromès personal-ment amb el departament de gestió econòmicade l’IEC per tal que ens quadrin els comptes fi-nals, tot i que això pot suposar també una des-viació quant als resultats, ja que tot allò quela SCM considerava periodificat per a aquestany i que l’IEC no, caldrà tancar-ho de formadiferent.

Un cop explicat el tancament de l’any 2004,procedim a comentar els principis que regiranel pressupost per a l’any 2006. La primera cosaa destacar és que durant l’any 2005 ja hauremliquidat el deute amb l’IEC, tant perquè és el

compromı́s que vàrem contraure, com perquèamb els beneficis de 2003 i 2004 gairebé hemassolit l’objectiu i no creiem que el 2005 se’nsgiri la cosa. Per tant, el pressupost del 2006 hade ser un pressupost de saldo zero per a nosal-tres. No som una empresa privada ni ens moul’afany del lucre; per tant, la nostra tasca ha deser la de gestionar els recursos dels quals dispo-sem, sense passar-nos però tampoc sense donarla impressió que ens sobren.

D’altra banda, i com va explicar el nos-tre president a l’assemblea, l’IEC es troba enun moment econòmicament brillant, que li hapermès un grau de generositat inusual fins araamb les seves filials més actives. I aquesta si-tuació és previst que duri uns quants anys. Pertant, podem fer plantejaments força agosaratsper el 2006 si és que realment tenim ganes detreballar en la promoció de la nostra ciència.

I també volem destacar respecte del pressu-post de l’any 2006 que aquest serà un any decanvi de Junta. Està previst, doncs, que en lapropera assemblea surti un nou equip que hauràd’acabar l’any 2006 amb el pressupost que araaprovarem, i tot i que la part més importantd’activitats es realitzen durant la primera mei-tat de l’any, caldrà tenir cura de com es fa eltraspàs de poders i, sobretot, d’informar cor-rectament la Junta entrant de la situació en laqual deixem financerament la SCM. La nostraprevisió és deixar-la sense deutes i amb un Fonsde Promoció d’Activitats encara molt fort perassumir noves demandes.

Joan Carles Artés FerragudTresorer de la SCM

Editorial

Tal com molt bé diu el nostre secretari al reportde la Junta, hi ha la impressió que últimamentaugmenta el nombre d’activitats promogudesper la SCM. Es dóna la coincidència (pot-ser no tant casual) que aquest número de laSCM/Not́ıcies és també considerablement mésgruixut que els anteriors, fins i tot, després d’-haver postposat cert material que ja teńıem apunt per al proper número, (demanem una mi-ca de paciència als autors que no veuran pu-blicats els seus escrits fins al número 22). Siguicom sigui, aquest augment és també positiu i

demostra, una vegada més, la vitalitat de la co-munitat matemàtica catalana. Malgrat això, usanimo a augmentar també la vostra participaciócom a lectors en la vida de la revista. Qualse-vol comentari, suggeriment o cŕıtica seran moltben rebuts.

Hi ha dues novetats que afecten directamentla SCM/Not́ıcies. La primera és que alguns delsarticles d’aquest número, tan bon punt han ar-ribat a la redacció, han estat publicats al webde la societat (els trobareu a publicacions→SCM-Not́ıcies → articles per al proper

4

número). Aquesta publicació electrònica estàencara en fase de proves, però pretenem queaviat assoleixi la seva velocitat de creuer perdonar més actualitat al contingut de la nostrarevista.

L’altra novetat és la posada en marxa de lasecció ≪Fòrum de debat≫. Amb aquesta secciópretenem fomentar el diàleg i l’intercanvi d’o-pinions al voltant de temes d’actualitat que in-

teressin i preocupin a la comunitat matemàticacatalana. Fullejant la revista veureu que el pri-mer tema escollit és ≪la formació del professo-rat de matemàtiques≫. Torno a demanar, aqúıamb més insistència encara, la vostra partici-pació activa, ja sigui enviant-nos opinions so-bre els temes tractats, ja sigui proposant-ne denous.

Enric VenturaEditor de SCM/Not́ıcies

Internacional

EMS-SCM Joint Mathematical Weekend, Barcelona, 16-18 setembre, 2005

El proper mes de setembre tindrà lloc una acti-vitat cient́ıfica organitzada per la Societat Ca-talana de Matemàtiques, sota els auspicis de laEuropean Mathematical Society que, estem bensegurs, atraurà un bon nombre d’investigadorslocals i foranis. Es tracta de la tercera edicióde la sèrie ≪EMS Joint Mathematical Week-ends≫ endegada a Lisboa el setembre de 2003 iamb una segona edició a Praga un any després(vegeu http://cms.jcmf.cz/emsweekend).

Aquest tipus d’activitats tenen com a objec-tiu presentar succintament l’estat actual d’al-gunes branques de les matemàtiques en un con-text pluridisciplinari i impulsar la cooperaciócient́ıfica en l’àmbit europeu.

El format d’aquests caps de setmana ambmatemàtiques és el següent: primer s’elegeixenuns temes, al voltant de cinc. Es programa comactivitat conjunta, una conferència plenària encadascun dels temes triats, addicionalment, ca-da tema celebra el seu propi minisimposi ambun nombre de conferenciants invitats, al voltantde sis.

La Societat Catalana de Matemàtiques vafer, en el seu moment, una crida als grups de re-cerca de Catalunya per l’organització d’aquestesdeveniment. Cal fer notar l’alta participaciói la gran qualitat de les propostes presentades.La comissió cient́ıfica de la Societat va selecci-onar els temes, procurant que, en la seva ma-joria, tinguessin bona implantació a les nostres

universitats, representessin ĺınies molt actualsde la recerca en matemàtiques, mantinguessinun equilibri entre àrees i que, almenys, dos delstemes poguessin tenir públic comú.

El llistat de temes i organitzadors és elsegüent: ≪Combinatorics and Graph Theory≫

(P. Cameron, M. Noy) ≪Dynamical Systems≫

(T. Mart́ınez-Seara, D. Sauzin) ≪EvolutionPDEs and Calculus of Variations≫ (X. Cabré,J. A. Carrillo, G. Toscani) ≪Module Theoryand Representations of Algebras≫ (L. Angeleri-Hügel, D. Herbera) ≪Non-commutative Geo-metry≫ (A. Laudal, R. M. Miró-Roig).

Tenim el privilegi de poder comptar ambconferenciants de gran prestigi. Citarem aqúıúnicament els plenaris, seguint l’ordre de te-mes anterior: B. Bollobás, J-Ch. Yoccoz, H. Be-restycki, H. Krause, A. Bondal.

Podeu trobar informació completa so-bre el programa en el web del congréshttp://scm.iecat.net/scm/emsweekend. Si esteuinteressats en algun dels temes, no dubteu enparticipar en aquest esdeveniment. Finalment,volem recordar que és necessari inscriure’s alcongrés, encara que no hi ha cap quota d’ins-cripció. La inscripció es realitza on-line, a l’es-mentat web.

Us esperem els propers dies 16-18 de setem-bre de 2005 als locals de la Facultat de Ma-temàtiques de la Universitat de Barcelona, seuescollida pel Joint Mathematical Weekend.

Marta SanzUB

5

Any Mundial de la F́ısica

L’any 2005 ha estat declarat Any Mundial dela F́ısica en commemoració del centenari de lapublicació de quatre articles d’Albert Einsteinque van significar una vertadera revolució en elspostulats en què es basava la f́ısica fins a aquellmoment. Diverses institucions del nostre páısrelacionades amb la f́ısica i les matemàtiqueshan organitzat conferències, cursos i tota menad’actes relacionats amb aquesta commemora-ció. La nostra Societat s’ha volgut sumar a lacelebració i enguany ha dedicat la Vuitena Tro-bada Matemàtica a temes de matemàtiques if́ısica, tot compartint la seva organització ambla Societat Catalana de F́ısica.

L’any 1905 Einstein va publicar els articlessegüents:

1. ≪Über einen die Erzeugung und Verwand-lung des Lichtes betreffenden heuristischenGesichtspunkt≫. Annalen der Physik, 17(1905), 132–148. (Traducció del t́ıtol: ≪So-bre un punt de vista heuŕıstic referent a laproducció i transformació de llum≫.)

2. ≪Über die molekularkinetischen Theorie derWärme geforderte Bewegung von in ruhen-den Flüssigkeiten suspendierten Teilchen≫.Annalen der Physik, 17 (1905), 549–560.(Traducció del t́ıtol: ≪Sobre el movimentde petites part́ıcules suspeses en ĺıquids es-tacionaris com a conseqüència de la teoriacinètica molecular de la calor≫.)

3. ≪Zur Electrodynamik bewegter Körper≫.Annalen der Physik, 17 (1905), 891–921. (Traducció del t́ıtol: ≪Sobre l’electro-dinàmica dels cossos en moviment≫.)

4. ≪Ist die Trägheit eines Körpers von seinemEnergienhalt abhängig?≫ Annalen der Phy-sik, 18 (1905), 639–641. (Traducció del t́ıtol:≪La inèrcia d’un cos depèn de la seva ener-gia?≫.)

El primer tractava sobre l’efecte fotoelèc-tric, el segon sobre el moviment brownià i elsdos últims sobre la relativitat especial. Cadaun d’ells, mirats amb una perspectiva de centanys, mereix el qualificatiu d’excepcional. Aqúıcomentarem breument només els articles 1, 3i 4.

Hertz va descobrir el 1887 que una su-perf́ıcie metàl.lica emet electricitat quan hi in-cideix llum de longitud d’ona molt curta. Aixòvol dir que la llum que incideix sobre un metall

fa que es desprenguin electrons d’aquell metall.L’experiment que demostra això té les carac-teŕıstiques següents:

a) La intensitat del corrent que es produeix peralliberament d’electrons és proporcional a laintensitat de la llum incident.

b) Hi ha una freqüència mı́nima de la llum inci-dent per sota de la qual no es produeix alli-berament d’electrons, per gran que sigui laintensitat de la llum incident.

c) Per a llum de freqüència superior a la mı́nima(la freqüència del punt 2), l’emissió d’elec-trons és immediata per feble que sigui la in-tensitat de la llum incident.

d) L’energia cinètica màxima dels electronsemesos és funció lineal de la freqüència dela llum incident i independent de la seva in-tensitat.

Einstein, a l’article 1, va donar una expli-cació senzilla a aquest fenomen. Va considerarque cada raig de llum monocromàtica estavaconstitüıt per raigs elementals, anomenats fo-tons, i va assignar a cada un d’aquests l’energiaE = hν, on h és la constant de Plank i ν és lafreqüència de la llum monocromàtica que cons-titueix el raig elemental. Va considerar que acausa de les condicions en què es realitzava l’-experiment (llum monocromàtica incident for-mada per raigs paral.lels) estad́ısticament cadafotó incident arrancava un electró del metall, iva escriure que l’energia hν del fotó incident eraigual a l’energia cinètica Ec de l’electró alliberatmés una constant A espećıfica de cada metall,que representa el treball que necessita l’electróper despendre’s del metall:

hν = Ec +A .

O sigui, Ec = hν − A. Quan hν ≤ A no hiha emissió d’electrons. Queda clar que l’ener-gia varia linealment amb la freqüència. La in-tensitat de la llum incident vindria representa-da pel nombre de fotons incidents per unitatde temps, i la intensitat del corrent prodüıt,pel nombre d’electrons emesos per unitat detemps. Tot això explica perfectament les carac-teŕıstiques a, b, c i d del fenomen experimental.

Els articles 3 i 4, com hem dit abans, in-trodueixen el que avui es coneix com relativitatespecial. Anem a comentar-los breument. Leslleis de la mecànica clàssica són invariants sota

6

qualsevol canvi de referència inercial. En can-vi, les equacions de Maxwell de l’electromagne-tisme no ho són, si es consideren canvis de re-ferència clàssics en què el temps és el mateix pera totes les referències (un temps universal). Peraixò a final del segle xix, per enunciar la teoriaelectromagnètica, feia falta suposar l’existènciad’una referència inercial distingida, en repòs.Això era l’èter. D’altra banda, l’experiment deMichelson i Morley (1887) posava en evidènciala impossibilitat de mesurar la velocitat de laTerra respecte a aquest suposat èter i mostravatambé que la velocitat de la llum en el buit ésindependent del fet que l’observador que mesu-ra aquesta velocitat viatgi en el mateix sentito en sentit contrari que la llum. A partir d’a-quest fet, Einstein va partir de dos postulats. U:principi de relativitat (les lleis f́ısiques han detenir el mateix enunciat des de qualsevol siste-ma inercial). Dos: invariància de la velocitat dela llum en el buit respecte a qualsevol observa-dor inercial. L’admissió d’aquests dos postulatsel va forçar a admetre que els temps i les longi-tuds podien canviar en passar d’un a un altresistema inercial. A partir d’aquests dos postu-lats va deduir les fórmules (de Lorentz) que do-nen els canvis de coordenades i de temps associ-ats a un canvi de referència inercial. Va observarque les equacions de Maxwell són invariants peraquests canvis i, en conseqüència, va reconèixerque la hipòtesi de l’existència de l’èter deixavade ser necessària. Aquests dos principis el vanportar també, en el camp de la dinàmica, a re-formular els conceptes de massa i energia i aadmetre que aquests dos conceptes f́ısics són el

mateix (la massa es pot transformar en energiai viceversa). Això ve donat per la seva famosaequació E = mc2.

La interpretació purament geomètrica de larelativitat especial que coneixem avui dia ésobra de Minkowski (comunicació a la vuitantaAssemblea de f́ısics alemanys, el 21 de desem-bre de 1908). Diguem que la relativitat especi-al descrivia la mecànica i l’electromagnetismeen absència de camps gravitatoris. Una llei degravitació que substitúıs la famosa llei de gravi-tació de Newton quedava fora de la relativitatespecial de 1905. Per introduir la gravitació enla seva teoria, Einstein va trigar encara onzeanys. El 1916 va publicar l’article següent:

• ≪Die Grundlage der allgemeinen Reläti-vitätstheorie≫. Annalen der Physik, 49(1916), 769–822. (Traducció del t́ıtol: ≪Els fo-naments de la teoria general de relativitat≫.)

Aquest treball fonamentava la gravitaciódins de la relativitat. En aquesta descripció dela gravitació la visió purament geomètrica de larelativitat especial feta per Minkowski era es-sencial.

Els especialistes actuals creuen que si Ein-stein no hagués publicat els dos articles de 1905sobre relativitat especial, probablement altresinvestigadors haguessin arribat als mateixos re-sultats en un curt peŕıode de temps. Ara bé,si Einstein no hagués publicat el seu article de1916 sobre relativitat general potser avui en-cara no coneixeŕıem aquesta teoria. Sens dubtel’article més gran de tots els que Einstein va pu-blicar és el de 1916. Per tant, l’any 2016 hauriade tornar a ser l’Any Mundial de la F́ısica.

Joan GirbauUAB

In Memoriam

Josep Laporte

Josep Laporte, nascut a Reus el 20 de març de1922, moŕı el passat 15 de febrer d’un atacde cor essent i exercint de president de l’Ins-titut d’Estudis Catalans.

Laporte acced́ı a la presidència de l’IEC elmes de setembre de 2002 a l’edat de vuitan-ta anys i no ha tingut l’oportunitat d’acabar

el seu mandat de quatre anys. Ha estat aques-ta una etapa curta, però densa en activitatpoĺıtica com correspon a la tipologia d’un ho-me eminentment poĺıtic, després d’una llargatrajectòria de servei al páıs i al seu partit.

A finals de la dècada dels anys setanta La-porte fou una figura clau en els moviments

7

universitaris catalans de la transició a la de-mocràcia des de la seva posició de rector de laUniversitat Autònoma de Barcelona. Això, jun-tament amb la seva formació com a farmacòlega la Facultat de Medicina i la no militància encap partit poĺıtic, li facilità el salt al govern dela Generalitat com a conseller de Sanitat, pas-sant posteriorment, ja com a militant, a dirigirla Conselleria d’Ensenyament.

Des d’aquest càrrec impulsà l’expansió delsistema universitari català, essencialment cre-ant des del Govern una nova universitat a Bar-celona i impulsant la conversió en universitatsdels centres d’estudis superiors de Girona, Llei-

da i Tarragona. En aquest procés la Genera-litat no es decid́ı per crear un Departamentd’Universitats sinó només un Comissionat per aUniversitats i Recerca, que fou encarregat a La-porte fins l’any 1995 en què abandonà la vidapoĺıtica activa.

Essent la Societat Catalana de Matemàti-ques una societat filial de l’Institut d’EstudisCatalans, res d’allò que afecti la presidència del’IEC li pot ésser aliè. Un sentit record, doncs,per qui fou durant poc més de dos anys presi-dent de la primera corporació acadèmica de lesterres de llengua catalana.

Fòrum de debat

La formació del professorat de matemàtiques

En aquest número de la revista, encetem unanova secció titulada ≪Fòrum de debat≫. Pre-tenem que sigui un espai on tothom pugui ex-pressar les seves opinions al voltant de temesd’actualitat que interessin i preocupin a la co-munitat matemàtica catalana. A l’engegar untema concret convidarem diverses persones aescriure articles d’opinió per a aquesta secció.Un cop donat el tret de sortida, apreciaremmolt que els lectors ens facin arribar les sevesopinions, reaccions i contraarguments. Tot elque ens arribi serà penjat, en breu, al web de lasocietat (http://www.iecat.net/scm i ho inclou-rem en el següent número de la SCM/Not́ıcies(si les restriccions d’espai ho permeten).

El primer tema que hem triat per a aquestfòrum de debat és el de la formació del professo-rat de matemàtiques, des de l’educació infantilfins a la universitat. Certament, és un tema deforça actualitat donat el context de canvis quees produiran a curt termini en temes d’educaciói que, de ben segur, afectaran en major o menorgrau les matemàtiques i el seu ensenyament atots els nivells.

La SCM i la FEEMCAT han engegat re-

centment una iniciativa de caracteŕıstiques si-milars. A la pàgina web http://147.83.52.47/trobareu un fòrum de debat electrònic sobreaquest mateix tema, la formació del professo-rat de secundària. El gruix de les col.labora-cions serà el material ≪sobre la taula≫ de lataula rodona sobre aquest tema que es faràa la II Trobada Conjunta FEEMCAT-SCM al’octubre vinent. Des d’aqúı animem tothom aparticipar-hi.

A continuació, presentem els següents cincarticles d’opinió de les persones que amable-ment han acceptat d’escriure’ls, aix́ı com elposicionament de la FEEMCAT sobre el te-ma, davant la proposta de Pacte Nacional per al’Educació de la Generalitat de Catalunya. Laredacció de la revista vol deixar clar que aquestsarticles només reflecteixen opinions i posicionspersonals dels seus respectius autors, i que nohan estat triats amb cap ànim de destacar o demenystenir cap tendència o corrent de pensa-ment o pràctica sobre el tema. Simplement, pre-tenem contribuir a la reflexió i animar el màximnombre de lectors a dir-hi la seva. Esperem lesvostres col.laboracions.

8

Opinions d’un professor de matemàtiques de la Facultat de Matemàtiques

de la UB

S’acabaven d’atorgar els ≪Premis Cangur-2005≫, que n’és la desena convocatòria. Esta-va d’allò més impressionat. Hi havien partici-pat uns quatre-cents cinquanta centres, entrepúblics i privats i, de guanyadors, n’hi havia decent cinc centres. Això posava de manifest d’u-na manera clara i expĺıcita la bona qualitat delsdocents en matemàtiques d’ESO i de batxilleratde les terres de parla catalana.

Ha estat precisament aleshores quan l’Enricm’ha demanat que, com a professor d’una facul-tat de matemàtiques,1 preocupat, des de sem-pre, per les qüestions docents, fes una reflexiósobre què pensàvem els professors d’universitatquè calia transmetre als futurs ensenyants dematemàtiques,2 què els hi hauŕıem d’oferir pertal de garantir la seva formació, qui ho havia defer i de quina manera podia incidir la reformadels ensenyaments vinculada a la convergènciaeuropea.

D’entrada voldria dir que alguna de les res-postes a aquestes preguntes són clares i rotun-des. D’altres precisen d’una certa matisació.Però abans de pronunciar-me vull deixar clarque les afirmacions i reflexions que faig, si bépoden ser compartides per d’altres docents uni-versitaris, no són pas generals i no recullen, nitampoc pretenen fer-ho, el pensar i el sentir deles facultats de matemàtiques. I encara més, hipot haver qui en discrepi d’una manera absolu-ta. En concret, doncs, són exclusivament mevesi no se n’ha de fer responsable a ningú més.

Crec que allò que, des de les facultats dematemàtiques, hem d’oferir als docents de ma-temàtiques de nivells preuniversitaris —i tambéals dels nivells universitaris, és clar— és, de fetben simple: una passió per la matemàtica en-tesa com a exponent cultural del desenvolupa-ment de la humanitat i alhora, com a conei-xement espećıfic d’una manera de comprendre—formació de certs aspectes cognitius—, com ahabilitat per manejar certes tècniques i proces-sos. Uns recursos docents idonis i adequats a latasca que se’ls presentarà com a professionalsde l’ensenyament. Una qualitat , podŕıem dir-ne

democràtica, que els permeti reconèixer, en ca-da una de les cares d’aquest univers polièdricque són les matemàtiques, un valor intŕınsec,una eina d’aprenentatge i de coneixement, unamanera particular de copsar la realitat plural dela matemàtica que fa que, molt freqüentment,ens hi referim com a matemàtiques.

Però, atenció! Allò que hauran d’ensenyarsón matemàtiques. Per això allò que han de sa-ber, en rigor i profunditat, són els aspectes dela matemàtica necessaris per assolir, des de totsels punts de vista, l’objectiu que es pretén: en-senyar matemàtiques amb garanties i amb qua-litat docent . La resta dels coneixements que ha-gin de tenir —de psicologia, de didàctica, demetodologies docents, de legislació, etc.— són,en tot cas, eines auxiliars subsidiàries i han d’es-tar al servei dels coneixements fonamentals quesón els de la matemàtica. Mai dels mais a l’in-revés.

Per concretar millor les idees serà bo de pen-sar quins són els aspectes més importants quecal transmetre, tot motivant-los, cadascun d’a-cord amb llurs caracteŕıstiques bàsiques, i sem-pre, tanmateix, d’acord amb el nivell d’ense-nyament i d’aprenentatge que correspongui. Hopodem concretar en els ı́tems següents:

1. Un bon coneixement dels ens matemàtics,moltes vegades abstractes, el seu significatintŕınsec, la seva evolució històrica, les in-tüıcions que els han motivat, les propietatsbàsiques que els caracteritzen i els diferenciend’altres objectes, la seva utilitat i els lligamsque els uneixen.

2. Un cert domini dels mètodes de resolució deproblemes perquè, de fet, la matemàtica resolproblemes. Apropar-se al problema des d’uncas particular, més simple, per tal d’adquirirles intüıcions i descobrir els camins necessa-ris; aprendre a adonar-se d’allò que depèn dela particularitat del cas elegit d’allò que noen depèn, etc.

3. La familiarització amb els algorismes i pro-cessos de càlcul , tot copsant-ne la utilitat ila necessitat, ajudant-se, quan calgui, de les

1De fet, amb aquest terme me referiré als centres que tenen responsabilitats docents en l’ensenyament de lesmatemàtiques, tant si són facultats com departaments.

2Sempre que em refereixi a ≪professors de matemàtiques≫, si no faig cap menció espećıfica, me referiré als pro-fessors de matemàtiques d’ESO i de batxillerat.

9

eines de càlcul informàtiques, però sense obli-dar mai allò que estem fent, com ho estemfent i per què.

4. Un apropament , lent però irrenunciable, al’elaboració d’algorismes propis per compren-dre els mecanismes interns de la programació,una eina de càlcul absolutament imprescindi-ble, però que cal comprendre i no només usar.

5. Una aproximació a la interdisciplinarietatque permeti tenir nocions dels vincles queels coneixements, processos i tècniques ma-temàtics han tingut amb d’altres discipli-nes —des de la filosofia a l’astronomia, pas-sant per la f́ısica, l’atzar, l’economia, etc.— itambé amb els avenços tècnics més recents.

6. Una capacitat per conèixer i recòneixer lametodologia matemàtica: el seu llenguatge, elfets més rudimentaris de la lògica i de la teo-ria de conjunts, les tècniques més corrents dedemostració, etc.

Si acceptem que aquests ı́tems són indiscuti-bles per a la formació d’un bon professor de ma-temàtiques3 —en cas contrari, no tinc res mésa dir—, hem d’acceptar, de retruc, com a con-seqüència necessàriament vinculada amb ells,que tot professor (i aqúı afegiria, àdhuc, els pro-fessors universitaris), davant d’una qüestió ma-temàtica —sobretot quan l’han d’ensenyar—han de disposar d’una multiplicitat de punts devista: la importància històrica en el desenvolu-pament de la matemàtica; el significat intŕınsecdins la pròpia matemàtica, en general, i dinsla teoria que s’estigui tractant, en particular;l’evolució que ha sofert el concepte i les raonsque l’han motivat; les possibilitats de generalit-zació que admet la qüestió; les caracteŕıstiquesque poden presentar —quan sigui el cas— elscasos particulars; les analogies de les teories iallò que fa que siguin diferents; etc.

Això permet que, en cada nivell d’ensenya-ment i d’aprenentatge, puguem posar l’èmfasien un aspecte per damunt d’un altre i, si elconcepte el retrobem en un altre nivell o en unaltre context, puguem, en el primer cas, des-plaçar, amb naturalitat, l’enfocament i, en elsegon, reconèixe’l.

Però és molt probable que, arribats a aquestpunt, els que hi hàgiu arribat, us pregunteu,

amb raó: però, quin és el problema? Què és elque ens estem plantejant i volem resoldre?

Bé, el problema, de fet, és ben simple. Calrespondre la pregunta següent: Ara que volemelaborar uns plans d’ensenyaments dins l’àmbiteuropeu, qui ha de tenir cura dels ensenyamentsper a docents en matemàtiques?

És a dir, un cop superat el grau, qui s’ha de fercàrrec d’articular els màsters que capacitin profes-sionalment per a la docència en matemàtiques?

La resposta hauria de ser simple, clara iúnica i, per a mi, ho és: les facultats de ma-temàtiques són, de dret, les que tenen la res-ponsabilitat d’impartir els ensenyaments de ma-temàtiques en tots i cada un dels seus aspectesformatius i professionals.

Ara bé, dins la comunitat universitària, en-tre els poĺıtics i, encara que d’això no n’es-tic tan segur, en la societat, la resposta no éstan clara. Hi ha qui defensa precisament queaquesta formació de caire professional de la ma-temàtica s’ha de substreure de les facultats dematemàtiques i passar la responsabilitat a lesfacultats o escoles que tenen un accent mésdidàctic.

Segons els que aix́ı opinen, hi ha, és clar,raons que ho justifiquen. N’indicaré tres:

1. Els docents (d’ESO i de batxillerat) ensenyenmatemàtiques de forma polifacètica: n’ense-nyen als possibles futurs matemàtics profes-sionals, en l’aspecte que sigui; a aquells al-tres que, en el futur, necessitaran usar, ambmés o menys rigor i coneixements, de la ma-temàtica; i, finalment, a aquells altres quehaurien de conèixer, en tot cas, el valor cul-tural que les matemàtiquies han tingut i se-gueixen tenint en el desenvolupament del co-neixement humà.

Per aconseguir-ho, opinen, calen coneixe-ments de psicologia i de mètodes didàctics.Això fa que la formació dels docents en ma-temàtiques —i de qualsevol altra disciplina—s’hagi de fer en els centres de formació delprofessorat.

Discrepo totalment d’aquesta afirmació i noem fa res dir-ho alt i fort. Com ja he afir-mat abans crec que un professor de ma-temàtiques —del nivell que sigui— s’ha de

3Entenc, és clar, que, a partir dels deu/onze anys, els nois i noies han de rebre l’ensenyament d’una matèria d’unprofessional d’aquesta matèria: matemàtiques d’un matemàtic, filosofia d’un filòsof, etc. S’ha acabat la feina coral delmestre. Ja no té sentit. L’estalvi, en l’ensenyament i en l’aprenentatge, va en contra del bon ensenyament i del bonaprenentatge.

10

formar en matemàtiques amb un èmfasi dis-tintiu ben clar d’aquell altre que es for-ma en matemàtiques per ser informàtic, es-tad́ıstic, investigador, etc. Aquest èmfasi pas-sa pel coneixement subsidiari de qüestionspedagògiques, didàctiques, legislatives, etc.Però, i això em sembla irrenunciable, passaper satisfer els ı́tems que he indicat abansque són ı́tems de formació en matemàtiquesi que només poden dur a terme, amb rigor iqualitat, les facultats de matemàtiques.

2. Les facultats de matemàtiques mai no s’hanpreocupat, de manera seriosa, d’elaborar unaopció de tipus docent. Només els preocupala formació de l’investigador i del professoruniversitari malgrat que almenys una tercerapart del seu alumnat esdevé docent.

I tenen raó. Però ara, amb la convergència eu-ropea, ha arribat el moment que les facultatsde matemàtiques que ho vulguin fer prenguinconsciència d’aquest problema i cal que se’lshi deixi fer. Ho podem fer i ho hem de fer.

3. Hi ha un clam social i, sobretot, mediàtic—ara tots els clams són mediàtics— forçaestès que afirma que les matemàtiques s’en-senyen malament, que els professors dematemàtiques són incompetents i maldes-tres, que els estudiants no entenen les ma-temàtiques, que les matemàtiques són cau-sa de frustració. La responsabilitat, natural-ment, és dels docents, dels centres i plansd’estudis amb què s’han format aquests pro-fessors: les facultats de matemàtiques.

Nego totalment aquest clam. Nego la major,la menor i la del mig. L’èxit i amplitud delspremis Cangur-2005 posen de manifest queés una afirmació que, en tot cas, cal matisar.

En definitiva, crec sincerament que, si volemfer ensenyants de matemàtiques —i de qualse-vol altra disciplina— realment europeus, hemde forçar a les facultats corresponents a dedicaresforços i imaginació en aquesta mena d’ense-nyaments —com es fa en la majoria de pasoseuropeus. Per què hem de ser, com en tantescoses, l’excepció? Els hi correspon pels coneixe-ments i per la formació que tenen i també pelsprofessionals amb què compten. Només els pro-fessors universitaris de matemàtiques —que, amés es dediquen amb més o menys èmfasi ala recerca— poden donar una formació idòniaen cada un dels ı́tems assenyalats. Certament

caldrà recórrer a professionals d’altres àrees percobrir les matèries de caire psicodidàctic, peròsempre de manera subsidiària.

I, atès que he parlat del clam mediàtic so-bre la situació nefasta de la matemàtica, voldriaacabar amb una reflexió que, ho sé, no sonaràgaire progressista. Què hi farem! El progressis-me hauria de ser capaç d’enfrontar-se amb cer-tes actituds socials!

No s’ha de confondre escolaritzar amb en-senyar, aprendre i, ni tan sols, malauradament,amb ≪educar≫. És un fet dissortat, però és unfet. Quan era petit, dèiem, ≪anar a estudi≫.Avui, cal dir-ho sense embuts, la paraula ≪es-tudi≫ ha esdevingut pejorativa. S’han d’adqui-rir habilitats; cal formar-se, tot entretenint-se;en el procés d’aprenentage, cal evitar l’esforçperquè pot portar a la frustració. En la mevaopinió ens trobem davant d’una situació de laxi-tud docent molt poc idònia per a l’aprenentatgeseriós del que sigui: història, filosofia, llengua,matemàtica, f́ısica, etc. En una śıntesi, un xiccaricaturesca, breu tenim:• Per berenar no s’ha de menjar pa i formatge.

Millor un Bollicao. És més dolç i més tou.

• No s’ha d’anar a escola, tot caminant i xer-rant amb els amics. Cal dur-los amb cotxefins a la porta i això perquè no podem dur-los fins a classe.

• L’estudiant no s’ha d’esforçar. S’ha de dis-treure, s’ha de divertir.

• No cal llegir. Només cal mirar i escoltar:≪Una imatge val més que mil paraules≫, comsi no s’hagués de reflexionar sobre les imat-ges, sobretot actualment en aquesta era delsmitjans basats en els nivells d’audiència i enels controls i limitacions (censura) poĺıtiquesinternacionals i locals.

• No cal escriure. N’hi ha prou amb omplir,amb una creueta, els quadradets del dossier.Res de prendre apunts in situ.

• No s’ha d’estudiar. N’hi ha prou amb la in-formació que es troba, indiscriminadament, ala xarxa.

• No s’ha d’avaluar objectivament i prendre de-cisions a partir dels resultats. L’alumne had’avançar encara que no sàpiga cap on va.

Efectivament, no és el mateix escolaritzarque ensenyar. Aprendre, deixeu-me que ho di-gui, vol un cert sacrifici, una certa solitud i con-centració personal i ı́ntima. No tots els que s’es-colaritzen ho volen això. No hi ha estudi sense

11

lectura i sense escriptura. I, si no hi ha estudi,no hi ha aprenentatge. I, cal dir-ho també, elsmodels mediàtics i socials no hi ajuden gens nimica.

D’aquestes actituds —que l’únic que com-porten són desengany i frustració entre elsescolaritzats— no en són responsables els do-cents —siguin docents de matemàtiques o dequalsevol altra matèria— o, en tot cas, nonomés en són responsables ells. En som respon-sables una mica tots plegats i molt particular-ment els que susciten els models a admirar i, deretruc, a imitar, basats, en moltes ocasions, enel triomf, el poder i el diner. No pas en el saber—qui respecta avui un home o una dona savis?i el que és més trist encara, qui respecte un pro-fessor, una professora?4— ni en el coneixement.Ningú pensa que, darrere d’una persona forma-da hi ha esforç, dedicació i sacrifici, sobretot sino excel.leix en els àmbits indicats. Hi ha unaresponsabilitat social i poĺıtica col.lectiva quecal encarar amb valor i decisió.

Potser és un problema irreversible —no hosé—, però, ho sigui o no, s’ha de ser molt menysexigent amb certs resultats escolars perquè ensón el fruit directe. L’escola és un reflex de lasocietat alhora que la societat és, a la llarga, elresultat d’allò que hàgim aconseguit transmetrea l’escola.

Per això, sigui el model de societat que s’im-posi —i cada cop sembla més clar que no és gai-re af́ı amb l’esforç i l’estudi—, és prećıs que ja,des d’ara mateix, les facultats de matemàtiquesposin fil a l’agulla, si creuen —com jo— que ésresponsabilitat seva formar els docents de ma-temàtiques que, al seu torn, formaran els noisi noies que vulguin aprendre, tot estudiant, lesmatemàtiques que necessiten. Perquè, malgrattot el que he dit, sempre hi ha nois i noies, sor-tosament, que volen aprendre, que volen saber,que volen conèixer. Cal tenir-los en compte irespectar-los. A ells devem el nostre esforç i sónels que justifiquen, en bona part, la tasca delsque ens dediquem a ensenyar.5

Josep Pla i CarreraFacultat de Matemàtiques, UB

El tractament integrat de la formació del professorat de matemàtiques

1. Una formació estructurada entorn a l’estudi decertes qüestions problemàtiques

Qualsevol procés de formació —ja sigui laformació obligatòria per a tots els ciutadans,la formació del professorat o qualsevol altra—,pren sentit a partir d’un conjunt de qüestionsproblemàtiques a les quals es necessita que elsestudiants o persones en formació puguin do-nar resposta. Pot ser que la intenció expĺıcitadels estudiants individualment considerats nosigui respondre a determinades qüestions, i potpassar fins i tot que la institució de forma-ció arribi a ≪oblidar≫ les qüestions que se si-tuen a l’origen de la seva missió. Tanmateix,

la dialèctica entre qüestions problemàtiques iconstrucció de respostes seguirà sent, en últimainstància, la raó que fonamenta l’estudi com aactivitat i l’Escola com a institució. Des de l’an-tiga Grècia la Scholè6 s’estableix com a ≪zonaprotegida≫ que permet interrompre el flux quo-tidià de les activitats de la vida per poder refle-xionar sobre aquestes activitats, qüestionar-les,analitzar les respostes que se’ls dóna habitu-alment i treballar per produir noves propostesde solució que ajudin a millorar les condicionsde la vida en comú. Al mateix temps l’Escolaacomplirà la seva funció en la mesura que siguicapaç de fer que les respostes elaborades al seu

4Un fet deplorable de la situació en què es troba avui l’ensenyament a casa nostra és la situació de desprestigi, detota ı́ndole, amb què són considerats els professors i professores per part dels estudiants, dels pares, dels poĺıtics, ide la societat en general. Només cal atendre a la pèrdua del respecte amb què han de treballar, quelcom que semblanatural a tothom. La disciplina, és clar, no és un valor en el procés d’aprenentatge que s’hagi de defensar com aquelcom necessari i irrenunciable en el procés ensenyant/alumne. Aqúı hi ha tot un tema que caldria reconduir: laigualtat en els drets/la desigualtat en la funció.

5Quan ja havia escrit aquestes ratlles, l’Antoni Benseny m’ha fet a mans l’article de ≪la contra≫ de La Vanguardiadel dia 20 de maig: ≪Al final la poĺıtica de verdad son números.≫

6En grec, skholé significa oci, temps lliure, descans; pau, tranquil.litat; estudi, escola; treva. Les idees que exposemaqúı es troben més desenvolupades a Chevallard (2003).

12

interior esdevinguin efectives allà on sorgeixenles qüestions, on neixen el problemes.

Malauradament, la dialèctica entre qüesti-ons i respostes sembla que ha deixat d’exis-tir fa temps en l’ensenyament escolar de lesdisciplines tradicionals (i en particular deles matemàtiques). En efecte, l’evolució delcurŕıculum escolar mostra un tancament pro-gressiu de les disciplines, que les aparta del mónexterior on es plantegen les qüestions a les qualsaquestes disciplines donen resposta, i que aca-ba desembocant en un veritable autisme disci-plinar. L’oblit de les qüestions ve molt sovintassociat a una veneració de les respostes quel’Escola presenta com a obres ≪santificades≫, iimmotivades, ensenyades per si mateixes, coma ≪monuments≫ històrics, perquè ja no se sapdonar-los cap altre sentit.

En el cas de la formació del professorat dematemàtiques defugirem òbviament el caràcter≪monumentalista≫ que ens portaria a enunci-ar el conjunt de coneixements que l’alumne-professor hauria d’adquirir (o ≪visitar≫). Calpartir de la dialèctica qüestions-respostes i ba-sar la formació del professorat en l’estudi de lesqüestions problemàtiques a les quals el professorhaurà de respondre quan s’incorpori a la profes-sió. Val a dir que quan parlem de qüestions pro-blemàtiques no ens referim a l’àmbit estret deles necessitats personals dels futurs professors,sinó als problemes i necessitats de la professióde professor de matemàtiques, necessitats quesón inherents al propi sistema d’ensenyamentde les matemàtiques.

Abans d’examinar aquest conjunt de qüesti-ons que anomenarem la problemàtica docent delprofessorat de matemàtiques, volem subratllardos aspectes essencials i complementaris d’a-questa problemàtica.

a) El caràcter institucional de la problemà-tica docentQuan, des de l’administració educativa, s’emfa-titza la importància de la formació del profes-sorat com a factor cabdal de la ≪qualitat≫ del’ensenyament, s’acostuma a posar l’accent en elprofessor com a individu, més que no pas coma subjecte d’una institució. Sembla que es re-dueix aix́ı la capacitat educativa del sistema

d’ensenyament a la suma del que cada pro-fessor pot oferir a la seva classe. En aquestasituació hi ha una propensió a considerar quetota la problemàtica educativa es pot concen-trar en l’activitat a l’aula, com si aquesta fos launitat d’anàlisi universal, és a dir, l’àmbit ele-mental tant des d’un punt de vista teòric comemṕıric, idoni per interpretar, descriure i ac-tuar sobre qualsevol problema docent. Es trac-ta d’una perspectiva simplista però molt este-sa que, impĺıcitament, redueix a un únic actor—el professor— i a un únic factor —la seva for-mació— els mitjans de què disposa la societatper tal de fer evolucionar el sistema d’ensenya-ment.7

b) La problemàtica docent és una problemà-tica obertaSense negar la importància de la formació delprofessorat, no hem d’oblidar-ne les limitaci-ons per fer evolucionar el sistema d’ensenya-ment. Aquestes limitacions provenen, en primerlloc, del fet que el desenvolupament del sistemadepèn de factors institucionals més que perso-nals, sense oblidar que, avui dia, les qüestionsque constitueixen la problemàtica docent són,en gran mesura, qüestions obertes i, com a tal,problemàtiques. Això significa que en general noexisteixen respostes preestablertes que el pro-fessor pugui aprendre i que li siguin fàcilmentadaptables a cada situació. Per exemple, i comtestimonien els estudis temàtics de la Interna-tional Commission on Mathematical Instructi-on,8 avui dia no hi ha una resposta establer-ta al problema de com ensenyar la geometria,com ensenyar l’àlgebra, com introduir les no-ves tecnologies a l’aula de matemàtiques o comensenyar la matemàtica com a instrument demodelització. El problema no és que les respos-tes siguin més o menys dif́ıcils d’ensenyar o d’a-prendre en un suposat procés de formació delprofessorat. El problema és que les respostesno existeixen i s’han de construir en cada cas.Com a conseqüència, hem d’acceptar que no sa-bem quines són les ≪competències≫ que hau-ria de tenir un professor de matemàtiques desecundària per tal de realitzar adequadamentles seves tasques professionals i que, per tant,no podem utilitzar-les com a criteri per estruc-

7Aquesta idea dominant no és innocent: si la formació del professorat fos el factor principal del qual depengués la≪qualitat de l’ensenyament≫, llavors totes les mancances del sistema tindrien el seu origen en els dèficits d’aquestaformació.

8Els ICMI Studies es poden consultar a: http://www.mathunion.org/Organization/ICMI/ICMIstudies−org.html.

13

turar la seva formació. A més, i aquest és unpunt essencial, si les competències que reque-reix la professió de professor fossin ben cone-gudes i exist́ıs un sistema de formació que per-metés adquirir-les, llavors la falta de formaciói, en última instància, les mancances del sis-tema d’ensenyament serien responsabilitat delsprofessors com a individus i estaŕıem, en certamanera, ≪negant≫ el problema de la formaciódel professorat.9

2. El caràcter unitari de la problemàtica docent

Quines són les qüestions problemàtiques ales quals ha d’aportar resposta la formació delprofessorat de matemàtiques? I com es podenestructurar per tal d’organitzar un programade formació basat en el seu estudi? Cultural-ment, s’ha creat una separació radical entre lesqüestions docents més genèriques que es po-den formular amb independència del contingutde l’ensenyament (motivació dels alumnes, trac-tament de la diversitat, introducció de les no-ves tecnologies, promoció del treball en equip,etc.), i aquelles qüestions espećıfiques que ne-cessàriament fan referència a la matèria ense-nyada (en el cas de les matemàtiques: com en-senyar les fraccions i els nombres decimals, comintroduir les equacions de primer grau, com jus-tificar el càlcul de ĺımits de funcions, etc.). Amés, com veurem més endavant, la cultura es-colar tendeix a reduir aquestes últimes a aque-lles que fan referència a àmbits ≪petits≫ dela matemàtica ensenyada que gairebé mai novan més enllà del tractament d’una noció, untema o un tipus de problemes. En efecte, nose sol situar dins la problemàtica del profes-sor de matemàtiques aquelles qüestions que in-volucren la matemàtica com un tot o algunade les seves àrees (àlgebra, estad́ıstica, geome-tria, càlcul, etc.), com si l’organització de la ma-temàtica més enllà de l’aula estigués fora de laresponsabilitat del professor.

Quan portem a l’extrem la separació entreqüestions genèriques i espećıfiques, ens apro-pem al punt de vista dominant sobre la for-

mació del professorat, amb el suport de laideologia que anomenarem ≪generalisme pe-dagògic≫. La resposta pedagògica al proble-ma de la formació es basa també en una se-paració radical entre fer matemàtiques i en-senyar matemàtiques, la qual cosa no fa mésque agreujar i perpetuar la distància creixententre la comunitat que ensenya matemàtiques(als nivells no universitaris) i la que genera iaplica les matemàtiques.10 Aquesta separacióestà recolzada per una epistemologia ingènuade les matemàtiques i pel mite de la disso-ciació entre el contingut de l’ensenyament ila manera d’ensenyar, considerada com a in-dependent del contingut que s’ensenya.11 Esconsidera, per tant, que la formació del pro-fessorat hauria de comportar dos blocs inde-pendents: d’una banda, una formació discipli-nar i, d’altra banda, una formació comuna queproporcionaria a tots els futurs professors elsprincipis generals necessaris per dissenyar i ges-tionar qualsevol procés d’ensenyament, tant sies tracta d’ensenyar música, literatura, anglès,filosofia o matemàtiques. En aquesta visió dela formació, es confia al futur professor laresponsabilitat d’≪especificar≫ els mecanismesgenèrics de l’ensenyament universal al contin-gut particular que ha d’ensenyar.

En clara divergència respecte del genera-lisme pedagògic, postulem el caràcter unitaride la problemàtica docent del professor de ma-temàtiques. Volem aix́ı subratllar la necessitatineludible d’estudiar transversalment les qües-tions que conformen l’esmentada problemàtica,incloent des dels àmbits més genèrics (soci-als, culturals i escolars) als més espećıfics. Acontinuació descriurem molt breument algunesqüestions que formen part clarament de la pro-blemàtica docent, una de més genèrica i dues demés espećıfiques, per tal de posar de manifestaquesta unitat.

Entre les qüestions que poden enunciar-sesense fer referència a les matemàtiques, en cita-rem només una ja esmentada i potser la més pa-

9Hutmacher (2003) és una bona il.lustració del tractament del problema educatiu en termes de ≪competències≫.Aquest tractament es basa impĺıcitament en el caràcter suposadament transparent (i, com a tal, poc discutible, pocdemocràtic i cient́ıfic) d’aquesta manera de classificar els objectius de l’ensenyament, completament ≪asèptica≫ res-pecte de les tradicions de coneixement.

10En Gascón (2002) s’analitza la resposta pedagògica al problema de l’Educació Matemàtica.11En contra d’aquest mite que dissocia ≪contingut i forma de transmissió≫ caldria recordar que les matemàtiques,

com la majoria de sabers, sorgeixen, s’elaboren i es desenvolupen al mateix temps que es difonen, i que l’instrumentessencial per l’estudi de les matemàtiques són les pròpies matemàtiques perquè les matemàtiques es reorganitzen asi mateixes.

14

radigmàtica: ≪com motivar els alumnes per mi-llorar la seva actitud davant l’estudi?≫ És fàcilmostrar que es tracta d’una qüestió profunda-ment arrelada al paper que la societat ator-ga efectivament a l’escola i a l’absència d’unaraó socialment compartida que doni actualmentsentit a l’escola com a institució.12 En aquestsentit, és una qüestió que no afecta només l’en-senyament de les matemàtiques sinó el de totesles matèries. Pot semblar llavors que té sentitvoler abordar aquesta qüestió sense fer cap re-ferència als àmbits més espećıfics.

Tanmateix, si superant totes les restricci-ons socials i culturals, l’escola és capaç de pre-servar un àmbit en el quals els alumnes s’o-brin a ≪l’estudi≫, llavors serà sempre a l’estudid’alguna qüestió concreta, necessàriament vin-culada a alguna tradició de coneixement. L’ac-titud davant l’estudi serà, per tant, l’actituddavant l’estudi de certes qüestions concretesi davant del conjunt de sabers que permetenconstruir-ne les respostes. No podem ensenyarl’alumne a ≪estudiar≫ en general, perquè noexisteixen qüestions sense contingut, de la ma-teixa manera què no podem construir la formad’un objecte sense la seva matèria.13 És doncsnomés a partir de l’àmbit espećıfic on el siste-ma escolar, i el professor com a agent d’aquestsistema, poden incidir positivament o negativa-ment sobre l’actitud de l’estudiant.

De fet, totes les qüestions genèriques de laproblemàtica docent estan fortament condicio-nades per factors que provenen dels àmbits es-pećıfics, és a dir, dels àmbits que fan referènciaal contingut de les qüestions que s’estudien al’escola i a l’organització escolar d’aquest estu-di. Per exemple, en el cas de les matemàtiques,la falta de motivació no pot desvincular-se del’absència d’un ensenyament orientat a l’estu-di de qüestions problemàtiques ≪vives≫ per alsestudiants. Aquesta orientació no és trivial: re-quereix una nova organització curricular delscontinguts i, en particular, un ≪mestissatge≫ deles matemàtiques amb altres disciplines per talde poder donar resposta a unes qüestions quesón, per natura, heterogènies des del punt de

vista disciplinar. Assistim, en canvi, al triomfde l’orientació ≪lúdica≫ de les matemàtiques,que és en el fons una nova manera d’ignorar lesqüestions ≪vives≫ que se’ns plantegen avui diaen la vida en societat.

Situem-nos ara a l’àmbit més espećıfic de laproblemàtica docent, el de les qüestions que esrefereixen a un àmbit redüıt del curŕıculum dematemàtiques com, per exemple, la introduccióde les fraccions i dels nombres decimals, o el dela justificació del càlcul de ĺımits de funcions,per considerar dos exemples d’àmbits educatiusdiferents. En el primer exemple, els problemesque ha de resoldre el professor en el dia a diade l’aula són del tipus següent: com introduirles fraccions: com a mesura fraccionària, coma operador o com a relació entre magnitudscont́ınues? Quina definició és la més efectivaper donar sentit a les operacions? Quines di-ficultats comporta cada manera d’ensenyar-lesi com es poden pal.liar? etc. Nombroses inves-tigacions14 han posat de manifest que aquestesqüestions només es poden abordar si, sortint del’àmbit puntual on es plantegen, es reformulencom a problemes didàctics més amplis relatiusper exemple a la raó de ser de la construccióescolar dels racionals (perquè calen nous nom-bres?), a la relació entre el sistema de numera-ció i la mesura de magnituds i, de manera mésàmplia, a la relació entre les matemàtiques ambel món extramatemàtic que aquestes es propo-sen modelitzar. En el cas de la justificació delcàlcul de ĺımits de funcions al batxillerat, tambées pot mostrar que el problema del professor noté una solució dins de l’aula: és tot l’ensenya-ment del càlcul el que l’ensenyament dels ĺımitsposa en qüestió i, molt especialment, la impor-tació a l’escola de problemàtiques i teories (rela-tives a la fonamentació de la noció de ĺımit i denombre real) que no responen a les necessitatscreades per la pràctica matemàtica dels alum-nes.15 La solució d’aquest problema didàctic norau en la millora de la pràctica del professor, nitan sols en el tipus de matèria matemàtica ques’ha de posar a disposició dels alumnes, sinó enl’esforç de tota la comunitat educativa —i moltespecialment de la comunitat matemàtica— per

12Veure Postman (1995).13Per a una cŕıtica més detallada de la consigna pedagògica de l’≪aprendre a aprendre≫, remetem el lector a

l’article de Salvador Cardús aparegut al diari Avui (Cardús, 2004).14Sens dubte el treball més complet sobre la didàctica dels nombres decimals és el que va dirigir Guy Brousseau a

principis dels anys vuitanta. Per a una compilació d’aquests treballs, veure Brousseau (1998).15Veure, per exemple, Artigue (2003) i Barbé et al. (2005).

15

≪trencar≫ amb la lògica d’un ensenyament quecontinua governat per la tradició i el ≪monu-mentalisme≫.

3. La funció de la didàctica de les matemàtiquesi la responsabilitat de la comunitat matemàticaen la formació del professorat

El pes creixent del generalisme pedagògicprovoca que es vagi imposant cada cop més laconvicció que el problema de l’ensenyament deles matemàtiques no és responsabilitat dels ma-temàtics. Aquests ≪fabricarien≫ els continguts,però no tindrien gaire a dir pel que fa a la sevamanera de transmissió. Aix́ı, es busquen forade les matemàtiques les explicacions de les di-ficultats que apareixen en el seu ensenyamenti aprenentatge, ja sigui en la falta de motiva-ció dels alumnes o en una metodologia docentexcessivament ≪transmissora≫.16

En coherència amb aquest punt de vista,i com ja hem comentat anteriorment, el tipusde formació que s’ofereix als futurs professorssepara, com si es tractés de dos dominis in-dependents, les matemàtiques i l’ensenyament.Després de rebre una formació matemàtica de-terminada (i normalment poc orientada a lesnecessitats matemàtiques de l’ensenyament), elfutur professor s’enfronta a un conjunt de co-neixements psicològics, pedagògics, sociològicsi didàctics completament desconnectats en-tre si. S’ofereix aix́ı una amalgama d’enfoca-ments i de teories independents, amb l’agreu-jant que la seva integració i utilització es dei-xa a càrrec del professor.17 L’eficàcia d’aquestaformació per ajudar els futurs professors a res-pondre els problemes docents és més que dub-tosa, atès que la manca d’elements unificadorssitua l’experiència professional pura com a cri-teri últim per avaluar les respostes a la pro-blemàtica docent. De fet, s’està considerant quela millor formació que es pot proposar al futurprofessor és la que ell mateix pot adquirir sobreel terreny (Brousseau, 1989).

En direcció oposada, la didàctica de les ma-temàtiques es constitueix com a disciplina ci-ent́ıfica amb l’objectiu de fer-se càrrec, de ma-nera integrada, del fer i de l’ensenyar ma-temàtiques, és a dir, de les condicions (es-pećıfiques) que fan possible la construcció ila difusió dels coneixements matemàtics útilsper als homes i les seves societats (Brousseau1998). Com a tal, la didàctica té la vocaciód’ocupar-se de totes les qüestions que sorgei-xen en el desenvolupament del sistema d’ense-nyament de les matemàtiques, incloent, com unaspecte particular, la problemàtica docent.

Quin és el mecanisme que permet a ladidàctica de les matemàtiques integrar la pro-blemàtica docent? Hem considerat fins araqüestions de la problemàtica docent moltgenèriques i també d’altres molt espećıfiques,per il.lustrar en quin sentit unes i altresno es poden abordar sense sortir de l’àmbitgenèric/espećıfic on es plantegen. Hi ha peròun nivell intermedi que queda sovint fora deconsideració perquè ni correspon al grau de ge-neralitat necessari per ser adoptat com a pro-blema pedagògic o escolar, ni és suficientmentespećıfic com per caure sota la (limitada) esfe-ra de responsabilitat que l’escola atorga al pro-fessor de matemàtiques.18 Aquest nivell inclouqualsevol qüestionament que faci referència ales matemàtiques com a disciplina i a la sevafunció social, aix́ı com a les diferents àrees isectors en què aquesta es compartimenta a l’es-cola.

Quines són aquestes qüestions? No pre-tenem de cap manera proposar una llistaexhaustiva de les esmentades qüestions pro-blemàtiques intermèdies. Però creiem que és im-portant presentar-ne algunes a t́ıtol il.lustratiu,per tal de suggerir el tipus d’anàlisi que re-quereixen, el paper que hi té la didàctica deles matemàtiques i, en particular, l’especificitatmatemàtica del seu tractament. Aquestes qües-tions prefiguren la nostra proposta de programa

16Es deixa de costat el matemàtic professor, prescindint de la seva capacitat, com a matemàtic, per detectar ianalitzar les dificultats dels seus alumnes i proposar solucions i millores. No considerem gaire agosarat afirmar queestem vivint un procés històric en el qual s’està usurpant a les comunitats constitüıdes entorn dels diferents àmbits desaber (i, en particular, de la comunitat matemàtica) la responsabilitat de protagonitzar la promoció i difusió socialdels sabers.

17Aquest tipus de formació reforça la visió sobre el seu ofici que la societat imposa al professor de matemàtiquesde secundària en escindir la professió en dos pols: les matemàtiques i l’ensenyament. La tensió entre aquests dos polsdefinitoris de la professió docent no ha estat mai ben resolta i constitueix un dels trets caracteŕıstics dels professorsde matemàtiques de secundària.

18Sobre la responsabilitat limitada del professor de matemàtiques i el fenomen de l’autisme temàtic, veure Cheva-llard (2001) i Gascón (2003).

16

de formació del professorat de matemàtiqueson, com era de preveure, la didàctica de lesmatemàtiques apareix com l’instrument fona-mental per a l’estudi i l’elaboració de respostesefectives —tant teòriques com pràctiques— a laproblemàtica del professor.19

• La necessitat d’un model epistemològic expĺı-cit per descriure les matemàtiques. La pro-fessió de professor comporta la necessitatconstant de parlar, descriure, interpretar,organitzar, desenvolupar i avaluar les ma-temàtiques que s’ensenyen. Quins termes,quines categories i quin llenguatge són elsmés adequats? És útil, per exemple, parlarde continguts ≪conceptuals≫, ≪procedimen-tals≫ i ≪actitudinals≫? Fins a quin punt l’e-pistemologia del professor està determinadapel model epistemològic dominant en la ins-titució escolar i, alhora, en quina mesuraaquest model determina les possibles mane-res d’ensenyar i aprendre matemàtiques enaquesta institució?

• Les matemàtiques i el món extramatemàtic,o la matematització de la realitat. Com in-tegrar dins la matemàtica escolar les apli-cacions pràctiques que requereixen un vincleestret entre les matemàtiques i el món no-matemàtic? Quines nocions són necessàriesper pensar matemàticament la realitat no-matemàtica? Per exemple, com matematit-zar les nocions de magnitud i unitat per po-der elaborar una àlgebra de les magnitudssense la qual una gran part de les utilitza-cions pràctiques de les matemàtiques esdevépròpiament impossible? Quines limitacionsté aquesta matematització? En quin sentit lageometria és una matematització de l’espaif́ısic i l’estad́ıstica i la probabilitat ho són dela ≪variabilitat≫? etc.

• Quines matemàtiques s’han d’ensenyar al’ESO? I al batxillerat? Si recuperem la dia-lèctica entre qüestions i respostes que ge-neren tot procés de formació, el problemacurricular esdevé el problema de la tria deles qüestions que s’han d’estudiar a l’escola ide les possibles maneres d’organitzar aquestestudi (incloent-hi el paper conjunt de les di-ferents disciplines). Quines qüestions i quintipus de respostes no poden estar absents de

l’escolaritat obligatòria? Quines han de fa-cilitar l’accés a estudis posteriors? És evi-dent que, amb el temps, aquestes qüestionscanvien i, amb aquestes, les necessitats ma-temàtiques i didàctiques de la societat.

• El caràcter experimental de l’activitat ma-temàtica escolar. Quin ha de ser el pa-per de l’experimentació en l’activitat ma-temàtica escolar? És possible ensenyar elsalumnes a construir, utilitzar i avaluar mo-dels matemàtics? Com s’ha de relacionaraquesta activitat amb la resolució de proble-mes? I amb la demostració? La modelitzaciós’ha de considerar com una aplicació de lesmatemàtiques prèviament ensenyades? O bés’ha de partir de problemes f́ısics, econòmics,socials, etc. i introduir les matemàtiques coma models per fer front a aquests problemes?Quin paper tenen (o podrien tenir) les TICen aquest treball experimental?

• L’arbitrarietat de l’organització curricular deles matemàtiques. A què respon l’actual com-partimentació del curŕıculum de secundàriaen blocs temàtics? Fins a quin punt aquestacompartimentació pot esdevenir un obstacledidàctic, per exemple quan s’han de combi-nar coneixements i tècniques de diferents sec-tors? L’àlgebra elemental pot estar a un ni-vell equivalent al de l’estudi dels nombres oal de la geometria? On situar llavors la mo-delització algebraica del camp numèric o dela geometria del pla? Com integrar l’àlgebraelemental com a eina d’estudi de les relacionsfuncionals? Per exemple, com vincular la pro-porcionalitat (reclosa al bloc dels nombres imesura) amb la resta de relacions funcionalsentre magnituds?

• La necessitat de nous dispositius didàcticsper ensenyar matemàtiques. Antigament, lafunció del professor de matemàtiques d’en-senyament secundari consistia essencialmenten presentar a l’alumne el conjunt de conei-xements matemàtics que aquest havia d’es-tudiar pels seus propis mitjans. Això noplantejava massa problemes en la mesura quel’ensenyament secundari anava adreçat a unaelit social i cultural dotada d’un saber-fer id’una cultura didàctica apropiada o, en totcas, seleccionada segons aquest criteri. Però

19Aquesta proposta és perfectament compatible amb la que fa Miguel Wilhelmi (2005) que proposa la inclusióde l’assignatura didàctica de les matemàtiques (com a disciplina cient́ıfica) en el pla de formació del professorat desecundària.

17

les coses canvien quan l’ensenyament se-cundari es generalitza i esdevé parcialmentobligatori. Els alumnes actuals estan moltdesigualment preparats per identificar i satis-fer per si mateixos les necessitats didàctiquesque els planteja l’estudi de les matemàtiques.Com els pot ajudar el professor? Quineslimitacions tenen els dispositius didàcticsexistents? Quins nous dispositius permetrienpal.liar aquestes necessitats didàctiques?Com fer que els alumnes, per si mateixos, du-guin a terme activitats essencials per a l’es-tudi de les matemàtiques, com per exempleel plantejament de qüestions, l’exploració es-pontània de nous problemes, la producció demitjans de validació de les respostes, la recer-ca d’informació externa, el desenvolupamentdel treball de la tècnica, etc.

Al costat d’aquesta redüıda mostra de proble-mes didàctics que fan referència a la matemàti-ca escolar com un tot, n’hi ha que s’especifiquena determinats sectors de les matemàtiques i ala relació potencial entre aquests sectors i quetambé formen part del nivell intermedi de laproblemàtica docent. La llista seria molt llar-ga i només en proposem alguns a t́ıtol d’exem-ple: Quines són les necessitats que provoquenles ampliacions successives del camp numèric?Com introduir l’àlgebra elemental a l’ESO? Apartir de quin tipus de qüestionament? Com do-nar sentit al càlcul diferencial del batxillerat?Com integrar la geometria amb regla i compàsi la geometria anaĺıtica? Quin lloc ha d’ocuparl’estad́ıstica en la formació obligatòria? Quinlligam s’ha d’establir amb les altres àrees deles matemàtiques, per exemple l’àlgebra lineal?etc.

En definitiva veiem que, a més del seucaràcter unitari, la problemàtica docent delprofessor de matemàtiques de secundària té uncomponent irreductiblement matemàtic. De fet,la comunitat matemàtica (considerada en unsentit ampli que integra tots els ensenyants dematemàtiques de tots els nivells educatius) ésl’única que, en última instància, està legitima-da per fer-se càrrec del control cient́ıfic de mol-

tes de les respostes a les qüestions esmenta-des i, per tant, té una gran responsabilitat enla formació del professorat. Malauradament lacomunitat matemàtica nuclear —formada pelsinvestigadors en matemàtiques— s’ha desentèsdes de fa temps de la formació dels professorsde matemàtiques dels diferents nivells educa-tius. Una de les conseqüències d’aquest abandóés la desaparició quasi absoluta dels contingutsmatemàtics dels plans d’estudi de les escolesde formació de mestres, on les assignatures dedidàctica de les matemàtiques només ocupencom a màxim un 8% de la càrrega lectiva glo-bal (Blanco, 2001). I tot sembla indicar que ensencaminem cap a una formació inicial del pro-fessorat de matemàtiques de secundària de caireessencialment generalista.20

L’única alternativa és que la comunitatmatemàtica assumeixi com a pròpia la pro-blemàtica didàctica i, en particular, el problemade la formació del professorat. Altrament estaràrecloent l’activitat matemàtica del professor ala seva actuació a l’aula, impedint-lo actuar alsnivells intermedis que afecten el conjunt de lamatemàtica escolar i als àmbits més genèricsrelatius a les condicions socials i culturals quefan possible l’estudi de les matemàtiques a l’es-cola. Abandonar aquesta problemàtica i desen-tendre’s del problema de la formació del profes-sorat és negar als futurs professors la legitimi-tat per qüestionar les raons de ser dels coneixe-ments matemàtics que s’ensenyen a l’escola i, elmés important, és també negar-los les condici-ons necessàries per poder-hi aportar resposta.

Referències

Artigue, M. ≪Learning and teaching analysis:What can we learn from the past in order to thinkabout the future?≫. A: CORAY, D. [et al.] ed. OneHundred Years of L’Enseignement Mathématique.Moments of Mathematics Education in the Twenti-eth Century. Genève, 2003, 213–223.

Barbé, Q.; Bosch, M.; Espinoza, L.; Gascón,

J. Didactic restrictions on the teacher’s practice.The case of limits of functions at Spanish SecondaryHigh Schools. Educational Studies in Mathematics2005, [En premsa]

20En les propostes governamentals que hi ha hagut fins ara per substituir el CAP (Real Decreto sobre el ≪T́ıtulo deEspecialización Didáctica≫, congelat des de l’últim canvi de govern estatal), el peŕıode de formació ≪acadèmica≫ delsfuturs professors conté més del 50% de crèdits psicopedagògics, és a dir, d’assignatures amb contingut independentde les matèries que els professors han d’impartir. Per entendre fins a quin punt es considera que la formació ≪gene-ralista≫ és absolutament independent de la formació matemàtica, n’hi ha prou amb esmentar l’article 1.4 del ReialDecret que estableix que ≪los Maestros y Licenciados en Pedagoǵıa están exceptuados de la exigencia del t́ıtulo deEspecialización Didáctica≫. Cf. Gascón et al. (2004).

18

Blanco, L. J. ≪La Educación Matemática en losPlanes de Estudio de Formación de Profesores dePrimaria≫. La Gaceta de la Real Sociedad Ma-temàtica Española, 4/2 (2001), 411–414.

Brousseau, G. La tour de Babel. Publications del’IREM de Bordeaux, 1989.

Brousseau, G. Théorie des situations didactiques:Didactique des mathématiques 1970-1990. Greno-ble: La Pensée Sauvage, 1998. [N. Balacheff, M. Co-oper, R. Sutherland, V. Warfield, editors.]

Cardús, S. ≪Aprendre a aprendre... què?≫ Avui(12 novembre 2004).

Chevallard, Y. Sur l’inadéquation de la forma-tion première des professeurs de mathématiques del’enseignement secondaire français. Text per a laconferència preparatòria de l’ICMI Study on theTeaching and Learning of Mathematics atUniversity Level (Singapour, 8-12 décembre1998) [Recuperat el 05/05/05 a http://www.aix-mrs.iufm.fr/formations/filieres/mat/fdf/textes/YC

−1998

−ICME.doc]

Chevallard, Y. Aspectos problemáticos de laformación docente [en ligne]. XVI Jornadas delSeminario Interuniversitario de Investigaciónen Didáctica de las Matemáticas, Huesca,(2001). [Recuperat el 05/05/05 a http://www.aix-mrs.iufm.fr/formations/filieres/mat/fdf/textes/YC

−2001

−Osca.doc]

Chevallard, Y. Didactique et formation des en-seignants. Comunicació a les Journées d’ÉtudesINRP-GÉDIAPS Vingt Ans de Recherche en Didac-tique de l’Éducation Physique et Sportive à l’INRP(1983-2003) (Paŕıs, 20/03/2003).

Chevallard, Y.; Bosch, M.; Gascón, J. Es-tudiar matemáticas. El eslabón perdido entre la en-señanza y el aprendizaje. Barcelona ICE (UB): Hor-sori, 1997.

Gascón, J. ≪El problema de la Educación Ma-temática y la doble ruptura de la Didáctica de lasMatemáticas≫. La Gaceta de la Real Sociedad Ma-temática Española, 5/3 (2002), 673–698.

Gascón, J. ≪Incidencia del ≪autismotemático≫ sobre el estudio de la Geometŕıa enSecundaria≫. A: PALACIÁN, E. [ed.] Aspectosdidácticos de matemáticas. Zaragoza: Instituto deCiencias de la Educación de la Universidad de Za-ragoza, 2003.

Gascón, J.; Muñoz-Lecanda, M.; Sales,

J.; Segura, R. Matemáticas en secundaria yuniversidad: razones y sinrazones de un des-encuentro. Comunicació a les Xornadas sobreEducación Matemática (Santiago de Compos-tela, 16-18/09/2004). [Recuperat el 05/05/05a http://www.agapema.com/activ/act

−formacion/

SANTIAGO-PONENCIA.doc ]

Hutmacher, W. Definició de les competènciesbàsiques. La situació a Europa. Congrés de com-petències bàsiques. Barcelona, 26 i 27 de junyde 2003. [Recuperat el 05/05/05 a http://www.gencat.net/educacio/csda/actuacions/congres

−comp/

pdf/conferencia2.pdf ]

Postman, N. Fi de l’educació. Una redefinició delvalor de l’escola. Vic: Eumo, 2000.

Wilhelmi, M. R. ≪Papel de la didáctica de las

matemáticas en la formación de profesores de secun-

daria≫. La Gaceta de la Real Sociedad Matemática

Española, 8/1 (2005), 159–179.

Marianna Bosch, URLJosep Gascón, UAB

La formació del professorat de matemàtiques

En aquest article s’han intentat recollir aspec-tes tractats per diferents col.lectius d’educadorsde matemàtiques sobre la formació del profes-sorat de matemàtiques. Es pot localitzar mésinformació al núm. 19 de BIAIX, revista de laFEEMCAT (Federació d’Entitats d’Ensenyantsde Matemàtiques de Catalunya) i a l’Informesobre el ≪Libro Verde≫ confeccionat pel MEC,realitzat per la FESPM (Federación Españolade Sociedades de Profesores de Matemáticas).Cal esmentar d’entrada que cap millora en l’e-ducació matemàtica és possible sense tenir encompte als professors.

Eixos de la formacióAl meu entendre, una completa i adequadaformació inicial i cont́ınua dels educadors ma-temàtics requereix el concurs de quatre eixos enel disseny de les accions formatives: Continguts,Innovació, Didàctica i Modelització.

L’eix de Continguts inclou el tractament deles matemàtiques elementals ≪des d’un puntde vista superior≫ (d’acord amb les visions deFèlix Klein, Pere Puig Adam i Julio Rey Pas-tor) completaria la formació inicial dels profes-sors de matemàtiques procedents de diferentscurŕıculums inicials. Aportaria pràctiques d’ús

19

dels CAS més adequats a cada nivell (Mathe-matica, Derive, Mathlab o Maple), les eines ge-omètriques Cabri i Decartes, les aplicacions dela calculadora Wiris, tots aquests basats en l’úsde l’ordinador i les calculadores simbòliques igràfiques.

L’eix d’Innovació correspon a tasques derecerca i millora cont́ınua en el propi llocde treball i accions de formació acció en ta-llers dirigits per professorat experimentat i lapromoció del treball en equip i del suportmutu entre els membres del Departament dematemàtiques, acordant un pla d’innovació plu-rianual a dur en el centre. També el desenvolu-pament de llicències retribüıdes espećıfiques potestimular la realització d’activitats de formaciói d’investigació i innovació.

L’eix de Didàctica es refereix a les eines me-todològiques i de transmissió de coneixements,procediments i valors, l’adequació dels conei-xements i mètodes a l’evolució de les ciènciesi de la didàctica matemàtica i als aspectes decoordinació, orientació, atenció educativa a la

diversitat i organització que millorin la quali-tat de l’ensenyament de les matemàtiques en elcentre.

L’eix de Modelització correspon a practicari perdre la por a enfrontar-se amb les aplicaci-ons de les matemàtiques a situacions de la vidaquotidiana, la tecnologia i la ciència. Inclou me-todologies i pràctiques de recerca de la informa-ció necessàries per a definir els models. Tambécal tractar la resolució de problemes (problem-solving) des dels punts de vista de George Polyai Pere Puig Adam. El procés de modelitzaciódesitjat podria tenir un desenvolupament comel proposat al diagrama.

Formació permanent

Quant a la formació cont́ınua del pr

´Indexblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N... · 2013. 2. 26. · Premis 54...

Documents

Transcript of ´Indexblogs.iec.cat/scm/wp-content/uploads/sites/20/2011/02/N... · 2013. 2. 26. · Premis 54...