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CBTis No. 212 Apuntes de AritméticaAcademia de Matemáticas
CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLÓGICOindustrial y de servicios No. 212
Academia de Matemáticas
Curso introductorio de MatemáticasDirigido a alumnos de Nuevo Ingreso.
Agosto 2015.
Tetla, Tlax.Nombre del alumno:_____________________________ Grupo:________
Operaciones combinadas con números naturales.Curso Introductorio Verano 2015
Recopiló: Mtro. Jordán Z. Aguilar Gómez1
CBTis No. 212 Apuntes de AritméticaAcademia de Matemáticas
OPERACIONES COMBINADAS SIN PARÉNTESIS.
SUMAS Y RESTAS SIN PARÉNTESIS
En una expresión numérica formada por sumas y restas sin paréntesis, se realizan las operaciones de izquierda a derecha en el orden en que aparecen.
1. Ejemplo: 320 + 460 - 235 - 418 + 526=
=780 - 235 - 418 + 526=
=545 - 418 + 526=
=127 + 526 = 653
Calcula.• 425 + 256 - 315 - 242 + 643 – 148=
• 2.158 - 456 - 328 + 1.560 - 576 – 218=
• 4.128 + 576 - 1.280 + 2.100 - 3.150 + 4.185=
SUMAS, RESTAS, MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES SIN PARÉNTESIS
Curso Introductorio Verano 2015Recopiló: Mtro. Jordán Z. Aguilar Gómez
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CBTis No. 212 Apuntes de AritméticaAcademia de Matemáticas
En una expresión numérica formada por sumas, restas, multiplicaciones y divisiones sin paréntesis, primero se realizan las multiplicaciones y divisiones; después se realizan las sumas y las restas.
Ejemplo 1:
125 + 12 x 4 – 98=
= 125 + 48 – 98=
= 173 - 98 = 75
Ejemplo 2:215 + 24 - 96 + 13 x 4=
=239 - 96 + 52=
=143 + 52=
=195
Calcula.
420 x 2 + 526 + 120 x 3=
315−423
+14−3612
=¿
1255
−17+12+13 ×6=¿
256−14 ×7+318−1305
=¿
OPERACIONES COMBINADAS CON PARÉNTESIS
En la expresión con paréntesis, primero se realizan las operaciones que hay dentro del paréntesis.
Curso Introductorio Verano 2015Recopiló: Mtro. Jordán Z. Aguilar Gómez
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CBTis No. 212 Apuntes de AritméticaAcademia de Matemáticas
Ejemplo: (370 + 253 - 436) - (25 + 146) + 100=
=187 - 171 + 100=
=16 + 100 = 116
Calcula.
• (425 + 726 - 215) - (125 + 16 - 31) + 412=
• (1.282 - 144) - (41 + 12 x 3) - (52 + 14 x 2)=
• (2.584 - 216 + 114) – (125 - 18 + 453 ) + 16=
OPERACIONES COMBINADAS CON CORCHETES
Curso Introductorio Verano 2015Recopiló: Mtro. Jordán Z. Aguilar Gómez
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En las expresión con corchetes [ ] , primero se realizan las operaciones que hay dentro del paréntesis; después se realizan las operaciones que hay dentro del corchete.
Ejemplo: [ (370 + 253 - 436) x 45 ] : 45=
=[ 187 x 45 ] : 45=
=8.415 : 45 = 187
Calcula.
• [(425 + 680 - 142 ) x 12 ] : 107=
• [(286 + 729 - 215 ) x 45 ] : 120=
• [(549 + 286) x 15] - [ (925 + 275) : 150]=
Potencias. Operaciones POTENCIAS
Curso Introductorio Verano 2015Recopiló: Mtro. Jordán Z. Aguilar Gómez
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CBTis No. 212 Apuntes de AritméticaAcademia de Matemáticas
• Todo producto de factores iguales se puede escribir en forma de potencia. El factor que se repite se llama base y el número de veces que se repite se llama exponente.
Ejemplo: 6 x 6 x 6 x 6 = 64
• Casos particulares de potencias:
Un número elevado al exponente 1 es igual al mismo número. 21 = 2; 31 = 3.
Un número elevado al exponente 0 es igual a uno. 40 = 1; 50 = 1.
1. Completa el cuadro.Potencia 32 43 54 65 87 910 1011 1520
BaseExponente
2. Escribe en forma de potencia los siguientes productos.
8 x 8 x 8 =
7 x 7 x 7 x 7 =
9 x 9 x 9 x 9 x 9 =
15 x 15 x 15 x 15 x 15 =
8 x 8 x 7 x 7 x 7 =
5 x 5 x 5 x 6 x 6 =
7 x 7 x 9 x 9 x 9 =
10 x 10 x 10 x 8 x 8 x 8 =
3. Halla el valor de las siguientes potencias.
71 =
80 =
92 =
83 =
110 =
251 =
22 x 33 =
23 x 32 =
42 x 52 =
42 x 52 x 30 =
53 x 22 x 33 =
62 x 33 x 70 =
POTENCIAS DE BASE 10
Curso Introductorio Verano 2015Recopiló: Mtro. Jordán Z. Aguilar Gómez
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CBTis No. 212 Apuntes de AritméticaAcademia de Matemáticas
• Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como unidades indica el exponente.
Ejemplos: 102 = 10 x 10 = 100 103 = 10 x 10 x 10 = 1.000 105 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 100.000
• Los números de muchas cifras que acaban en ceros tienen una escritura más cómoda utilizando potencias de base 10.
Ejemplos: 120.000.000 = 12 x 10.000.000 = 12 x 107
200.000.000 = 2 x 100.000.000 = 2 x 108
1. Calcula.104 =
106 =
107 =
108 =
109 =
1010 =
1011 =
1012 =
2. Escribe, utilizando potencias de base 10, los siguientes números.3.000 =
40.000 =
600.000 =
7.000.000 =
80.000.000 =
130.000.000 =
200.000.000 =
320.000.000 =
1.000.000.000 =
2.000.000.000 =
3. En la siguiente tabla aparece la distancia media en kilómetros de algunos planetas al Sol. Escribe esas distancias utilizando potencias de base 10.
Tierra Urano Neptuno PlutónDistancia mediaal Sol (km)
149.500.000 2.873.000.000 4.498.000.000 5.910.000.000
Potencias debase 10
PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASECurso Introductorio Verano 2015
Recopiló: Mtro. Jordán Z. Aguilar Gómez7
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El producto de dos o más potencias de igual base es otra potencia de la mismabase y cuyo exponente es la suma de los exponentes.
Ejemplos: 23 x 22 x 24 = 23+2+4 = 29
43 x 42 x 46 = 43+2+6 = 411
Escribe en forma de una sola potencia los siguientes productos.Después, calcula su valor.22 x 22 = 24 = 1622 x 23 =23 x 2 =24 x 2 =32 x 32 =33 x 3 =32 x 33 =33 x 33 =34 x 3 =43 x 40 =
22 x 2 x 23 =3 x 32 x 3 =42 x 42 x 4 =5 x 5 x 52 =62 x 62 x 6 =72 x 7 x 7 =82 x 8 x 83 =92 x93 x 9 =9 x 92 x 90 =10 x 100 x 102 =
Calcula y completa los exponentes que faltan (utiliza tinta roja).
26 x 2 = 28
23 x 2 = 27
64 x 6 = 610
73 x 7 = 711
84 x 8 = 812
95 x 9 = 913
108 x 10 = 1014
119 x 11 = 1115
123 x 124 x 12 = 1210
145 x 146 x 14 = 1418
157 x 152 x 15 = 1513
238 x 239 x 23 = 2320
357 x 356 x 35 = 3524
429 x 425 x 42 = 4219
537 x 534 x 53 = 5322
615 x 612 x 61 = 6119
756 x 752 x 75 = 7520
817 x 812 x 81 = 8115
COCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASEEl cociente de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma base ycuyo exponente es la resta de los exponentes.
Curso Introductorio Verano 2015Recopiló: Mtro. Jordán Z. Aguilar Gómez
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Ejemplos: 26: 23 = 26-3 = 23
48: 42 = 48-2 = 46
Escribe en forma de una sola potencia los siguientes cocientes.Después, calcula su valor.
38 : 35 = 33 = 2754 : 53 =69 : 67 =710 : 78 =812 : 810 =913 : 911 =103 : 10 =112 : 112 =123 : 12 =134 : 132 =
205 : 202 =306 : 303 =407 : 404 =503 : 502 =603 : 600 =704 : 700 =805 : 80 =906 : 902 =1007 : 100 =2005 : 1000 =
Calcula y completa los exponentes que faltan (utiliza tinta roja).
48 : 4 = 46
59 : 5 = 54
78 : 7 = 76
89 : 8 = 83
910 : 9 = 97
1016 : 10 = 1010
1115 : 11 = 114
1216 : 12 = 1212
1312 : 13 = 139
3515 : 35 = 3512
4120 : 41 = 415018 : 50 = 509
6217 : 62 = 624
7519 : 75 = 752
8021 : 80 = 8010
8230 : 82 = 8221
9045 : 90 = 9020
9532 : 95 = 9517
POTENCIA DE UNA POTENCIALa potencia de una potencia es otra potencia de igual base y cuyo exponente esel producto de los exponentes.
Ejemplos: (23 )2 = 23 x 2 = 26
Curso Introductorio Verano 2015Recopiló: Mtro. Jordán Z. Aguilar Gómez
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(44 )3 = 44 x 3 = 412
Escribe en forma de una sola potencia.
(32 )3 =(43 )2 =(52 )2 =(64 )3=(75 )2 =(84 )5 =(97 )3 =(104 )2 =(115 )6 =(127 )9 =
(234 )5 =(305 )6 =(414 )7 =(506 )4 =(653 )5 =(727 )3 =(802 )4 =(853 )2 =(973 )4 =(992 )6 =
Calcula y completa los exponentes que faltan (utiliza tinta roja).
(24 ) = 28
(32 ) = 36
(43) = 412
(54 ) = 516
(68 ) = 624
(74 ) = 736
(89 ) = 818
(95 ) = 930
(103 ) = 1018
(235 ) = 2320
(307 ) = 3021
(426 ) = 4218
(507 ) = 5042
(653 ) = 6524
(724 ) = 7216
(753 ) = 7515
(842 ) = 8420
(893 ) = 8921
POTENCIA DE UN PRODUCTO La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado a dicha potencia. Ejemplos: (5 x 3)2 = 52 x 32
(4 x 2 x 5)3 = 43 x 23 x 53
Curso Introductorio Verano 2015Recopiló: Mtro. Jordán Z. Aguilar Gómez
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CBTis No. 212 Apuntes de AritméticaAcademia de Matemáticas
Escribe el resultado como producto de potencias.
(2 x 3)3 =(4 x 2)2 =(3 x 5)4 =(5 x 7)3 =(8 x 9)5 =(7 x 10)2 =
(2 x 3 x 4)2 =(4 x 5 x 6)3 =(6 x 7 x 8)4 =(8 x 9 x 10)5 =(10 x 11 x 12)6=(13 x 14 x 15)7=
Escribe en forma de una sola potencia.
22 x 32 x 42 = (2 x 3 x 4)2
33 x 43 x 53 =56 x 76 x 86 =47 x 97 x 57 =910 x 810 x 710 =
117 x 127 X 137 =148 x 158 X 168 =217 x 207 X 197 =329 x 409 x 539 =438 x 528 X 628 =
Completa los exponentes que faltan (utiliza tinta roja).
23 x 43 x 5 = (2 x 4 x 5)3
34 x 5 x 64 = (3 x 5 x 6)4
5 x 66 x 86 = (5 x 6 x 8)6
64 x 3 x 54 = (6 x 3 x 5)4
7 x 85 x 95 = (7 x 8 x 9)5
53 x 93 x 8 = (5 x 9 x 8)3
6 x 8 x 93 = (6 x 8 x 9)3
94 x 10 x 11 = (9 x 10 x 11)4
12 x 13 x 14 = (12 x 13 x 14)6
15 x 12 x 13 = (15 x 12 x 13)7
21 x 16 x 30 = (21 x 16 x 30)8
35 x 26 x 41 = (35 x 26 x 41)9
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES Suma de Fracciones A
Objetivo:
Curso Introductorio Verano 2015Recopiló: Mtro. Jordán Z. Aguilar Gómez
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Suma y resta de fracciones Comparación de fracciones utilizando las reglas de proporción
Utilizando un algoritmo sencillo podemos aprender a sumar fracciones mentalmente.
Veamos: Sean a /b y c/d dos fracciones cualesquiera. Si las deseamos sumar podemos seguir la siguiente regla:
bdbcad
dc
ba
se multiplican cruzado y los productos se suman se multiplican los denominadores
Veamos un ejemplo:
El jefe de Vero repartió los trabajos de contabilidad de urgencia entre algunos de los contables. A Vero le tocó una cuarta parte (1/4) de los trabajos de urgencia más la tercera (1/3) parte del trabajo que le iba a tocar al empleado que faltó. En total , ¿que parte del trabajo tiene que realizar Vero?
14+ 1
3=
1(3)+4(1)( 4 )(3)
=3+412
= 712
Solución: Vero tuvo que realizar 7/12 del trabajo.
Notita para darle pensamiento: (para darle "coco")
¿A Vero le tocó más de la mitad del trabajo o menos de la mitad del trabajo?
Solución:
Para comparar fracciones utilizamos las siguientes reglas de las proporciones:Curso Introductorio Verano 2015
Recopiló: Mtro. Jordán Z. Aguilar Gómez12
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a. Si ab= c
d entonces ad=bc
b. Si ab< c
d entonces ad<bc
c. Si ab> c
d entonces ad>bc
Volviendo a Vero, ¿7/12 es menor o mayor que 1/2 ?
712
¿ 12
entonces 7(2) > 12(1), por lo tanto 712
> 12
De modo que Vero realizó más de la mitad del trabajo.
Veamos otro ejemplo:
A María le tocaba una tercera parte de la herencia de su padre. Su madre le cedió a ella dos quintas partes adicionales que le tocaban a ella. ¿En total qué parte de la herencia la tocó a María?
Solución:
13+
25=
1 (5 )+3 (2)15 =
5+615 =
1115
A María le tocó 11/ 15 de la herencia de su padre.
Suma de Fracciones B
Para sumar dos fracciones, hay que tener en cuenta de que existen 2 tipos de fracciones:
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CBTis No. 212 Apuntes de AritméticaAcademia de Matemáticas
1. Fracciones homogéneas ( 14
, 34
, 54 )
2. Fracciones heterogéneas ( 13
, 25
, 37 )
Las fracciones homogéneas son las fracciones que tienen el mismo denominador; y
las fracciones heterogéneas son las fracciones que tienen diferentes denominadores.
Ejemplo de suma de fracciones homogéneas:
15+ 3
5=4
5 Son fracciones homogéneas ya que tienen el mismo denominador. Las fracciones homogéneas, en suma, se suman los numeradores y el denominador se queda igual.
27+ 3
7=5
7
Ejemplo de suma de fracciones heterogéneas:
14+ 1
2 <Aquí es diferente, las fracciones son
heterogéneas; los denominadores son diferentes.>
Para sumar fracciones heterogéneas:
1. Se multiplican los denominadores. 2. Se multiplica cruzado y se coloca en el numerador.
Curso Introductorio Verano 2015Recopiló: Mtro. Jordán Z. Aguilar Gómez
14
CBTis No. 212 Apuntes de AritméticaAcademia de Matemáticas
3. Se suman los productos para obtener el numerador.
14+ 1
2
Paso 1 : 14+ 1
2=❑
8 <Se multiplicaron los denominadores 4 · 2 = 8>
Paso 2 : 14 +
12=
(2 ∙1 )+(4 ∙1)8
< Se multiplicó cruzado>
Paso 3: 2+48
=68
< Se suman los productos para obtener el numerador.>
Paso 4:
6282
=34
< Se simplifica la fracción si es posible.>
Resta de Fracciones
En la resta de fracciones, se utilizan las mismas reglas de la suma de fracciones; pero en este caso hay que restar.
Ejemplo 1:
59−1
9=4
9
Ejemplo 2:
23−1
2=
(2 ∙2 )−(3∙ 1 )6
=4−36
= 16
Ejercicios de Fracciones Primera Parte
Curso Introductorio Verano 2015Recopiló: Mtro. Jordán Z. Aguilar Gómez
15
CBTis No. 212 Apuntes de AritméticaAcademia de Matemáticas
Ejercicios:
A. Simplifique las siguientes Fracciones.
1. 3 6
2. 15 45
3. 4 9
4. 2 8
5. 6 12
6. 12 48
B. En los ejercicios 7 a 10, relaciona las siguientes parejas de fracciones, empleando el signo > o < entre ellas.
7. 611 2
9 8. 411 6
7
9. 49 12
17 10. 43 9
2
C. Suma las siguientes fracciones.
11. 95+ 1
5=¿ 12. 2
3+ 5
3=¿
13. 12+ 2
3=¿ 14. 5
6+ 1
5=¿
15. 37+ 1
2=¿ 16. 1 1
8+2 1
4=¿
17. 9
11+ 5
7=¿ 18. 3
2+ 4
3=¿
D. Resta las siguientes fracciones.
Curso Introductorio Verano 2015Recopiló: Mtro. Jordán Z. Aguilar Gómez
16
CBTis No. 212 Apuntes de AritméticaAcademia de Matemáticas
19. 67−1
7=¿ 20.
611
−12=¿
21. 43−5
2=¿ 22.
58−1
8=¿
23.911
−15=¿ 24. 2
12−1 1
4=¿
25. 34−1
2=¿ 26. 7
9−1
3=¿
Soluciones:
1. 1/2; 2. 1/3; 3. 4/9; 4. 1/4; 5. 1/2; 6. 1/4 ; 7. > ; 8. >; 9. < ; 10. < ; 11. 2 ; 12. 1 1/6 13. 1 1/6 ; 14. 1 1/30
15. 3 ; 16. 3 3/8 17. 118/77 18. 1/6 19. 5/7 20. 1/22 21. -7/6 22. 1/2 23. 34/55 24. 19/20 ; 25. 1/4 ; 26. 4/9
Multiplicación y División de Fracciones
Multiplicación de Fracciones Curso Introductorio Verano 2015
Recopiló: Mtro. Jordán Z. Aguilar Gómez17
CBTis No. 212 Apuntes de AritméticaAcademia de Matemáticas
En la multiplicación de fracciones, las fracciones homogéneas y heterogéneas se multiplican de la misma forma:
Ejemplo: 23
∙ 34= 6
12= 2 ∙3
2 ∙ 2∙ 3=1
2
División de Fracciones
En la división de fracciones, siempre se cambia a multiplicación y la segunda fracción cambia a su recíproco.
Ejemplo:
35
÷ 43=3
5∙ 3
4= 9
20
Ejemplo:
37
÷ 12=3
7∙ 21=6
7
Fórmulas para recordar
ac+b
c=a+b
cSuma de Fracciones homogéneas
Curso Introductorio Verano 2015Recopiló: Mtro. Jordán Z. Aguilar Gómez
Factorización y simplificación
18
CBTis No. 212 Apuntes de AritméticaAcademia de Matemáticas
ac+ b
d=ad+bc
cdSuma de Fracciones heterogéneas
ac−b
c=a−b
cResta de Fracciones homogéneas
ac−b
d=ad−bc
cdResta de Fracciones heterogéneas
ac
∙ bd=ab
cdMultiplicación de Fracciones
ac
÷ bd=a
c∙ d
b=ad
bcDivisión de Fracciones
Curso Introductorio Verano 2015Recopiló: Mtro. Jordán Z. Aguilar Gómez
19