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UNIVERSIDAD AUTONOMA DE AGUASCALIENTES
Libreta de Fisica I M.C. David Arellano Báez
Víctor Manuel Gómez Herrera
Aguascalientes , Ags., A 7 de octubre de 2013
Física I
- Contenido
Unidad I: La física y los sistemas de medida
Longitud
Masa
Tiempo
Temperatura termodinámica
Intensidad luminosa
Cantidad de sustancia
Intensidad de corriente eléctrica
Unidad II: Vectores
Unidad III: Cinemática
Unidad IV: Dinámica
Unidad V: Trabajo y energía
- Evaluación
Parciales 70% (Jueves 2a semana: par. 1 y 2 Jueves 1er semana: par.
3)
Mini examen 30%
Unidad 1 “La física y los sistemas de medidas”
Física:
Es la ciencia que estudia las propiedades de la materia y las leyes que tienden
a modificar su estado o su movimiento sin cambiar su naturaleza. Decimos también
que la física es el estudio de las fuerzas y las interacciones que existen entre ellas:
Mecánica: Rama de la física que se encarga del estudio del movimiento.
Nos ayuda a comprender por ejemplo:
Porque que es posible sacar un mantel de una mesa de vasos sin que estos se muevan o porque si lanzamos desde una misma altura dos esferas idénticas una de hierro y otra de madera simultáneamente llegan al suelo.
Porque si una persona en el autobús te pisa con tacón de aguja te duela más que si trajera tenis.
Porque el campeón de salto que saltó 2.45 metros en la tierra, en el sol saltaría 7 cm y en la luna saltaría una casa de dos pisos.
Termodinámica: Estudio de la energía y los cambios físicos de origen térmico.
Nos ayuda a comprender porque sentimos el calor o el frio, o porque al poner un papel sobre una moneda de metal y luego colocar sobre el papel, en la parte que esta la moneda, un cigarrillo encendido, observamos que el papel no se quema.
Acústica y ondas:
Vivimos en un mundo en el cual las ondas nos rodean por todas partes ondas sonoras, ondas luminosas, ondas de radio.
Ramas de la física
Mecánica Termodinámica Acústica y ondas Electromagnetismo Física moderna Óptica
La televisión la radiofonía y el radar son algunas de las muchas maravillas modernas que funcionas gracias a las ondas.
Así pues la acústica se encarga del estudio de las propiedades del sonido y cuando estudiamos las ondas en general nos interesa su clasificación y los modos en que se propagan.
Un estudio de particular interés es el de las ondas sísmicas producidas en los
terremotos y el de la resistencia de los materiales y las estructuras.
Óptica: Se encarga del estudio del comportamiento y los fenómenos relacionados con la luz.
Debido a este estudio sabemos que la luz se propaga en línea recta, que además está formada por pequeñas partículas llamadas fotones, debido a esto, es sensible a la gravedad, por lo que hoy en día observamos estrellas que no se encuentran en el lugar que las vemos o que inclusive muchas de ellas ya no existen.
Electromagnetismo:
Rama que estudia la interacción de los campos eléctricos y magnéticos y las causas que lo originan debido a esto comprendemos del funcionamiento de las células del organismo o la construcción de tejidos del cuerpo humano.
Los impulsos nerviosos se transmiten a través de las neuronas gracias a procesos electroquímicos que permiten la creación de corrientes eléctricas en una sola dirección.
Física moderna:
Estudia todos aquellos fenómenos que se producen a la velocidad de la luz o muy cercanas a ella una de las partes más importantes es la física cuántica que describe el comportamiento de la materia, luz y los acontecimientos a escala subatómica.
Definición de medir:
Medir: Comparar una cantidad con otra de la misma especie.
Magnitudes fundamentales
Usaremos comúnmente los sistemas de medición internacional (SI) e inglés. La diferencia de estos sistemas se da para las unidades usadas para medir masa y longitud.
Las magnitudes fundamentales son: Tiempo, longitud, masa, temperatura termodinámica, cantidad de sustancia, intensidad luminosa, intensidad de corriente eléctrica.
Cada sistema utiliza “patrones de medida” específicos para cada una de sus unidades fundamentales.
- Investigar cual es el patrón de las magnitudes fundamentales para el SI y el sistema inglés
CENAM (centro nacional de meteorología)
Los sistemas de medida manejan las siguientes unidades fundamentales
SI Ingles Longitud Metro(m) Pie(ft)
Masa Kilogramo(Kg) Slug Tiempo Segundo(s)
Temperatura termodinámica
Grados Kelvin(°K)
Cantidad de sustancia Mol Intensidad luminosa Candela(Cd)
Intensidad de corriente eléctrica
Ampere(A)
.
- Factores de conversión
Notación científica
3 = 3x100
3 = 3000x10-3
3 = .003x103
Expresado como x10-4
3x10-3 + 5x10-4 = 3x10-3 + 0.5x10-3 3x10-3 + 5x10-4 = 30x10-4 + 5x10-4
= (3 + 0.5) x10-3 30x10-4 + 5x10-4 = (30 +5) x10-4
= 3.05 x10-3 = 35 x10-4
(3x10-3) (5x10-4)
= 3 * 5 (x10-3 * x10-4) am * an = am+n
= 15 x10-3-4
= 15 x10-7
15x10-5 = 15 x10-5 x103 = 5x10-5+3 = 5x10-2
3x10-3 3
Las cifras significativas se cuentan desde el primer número distinto de 0
0.3525 = 3.525x10-1
0.03525 = 3.525x10-2
0.003525 = 3.525x10-3
0.0000525 = 5.250x10-5
Precisión: En una multiplicación la precisión es determinada por el número que
tiene menos cifras.
5.254 5.254
* 4.32453 * 4.32453
22.72108062 22.721
En la suma son necesarios todos los decimales
5.254 + 4.32453 = 9.57853
- Patrones de medida
Longitud: (unidad: metro)
El metro es la longitud que recorre la luz en el vacío durante un intervalo de
tiempo de 1/299792458 de segundo.
Masa: (unidad: kilogramo)
Un kilogramo es igual a la masa del prototipo de Platino – Iridio conservado
en el laboratorio internacional de pesas y medidas.
Tiempo: (unidad: segundo)
Un segundo es igual a 9192631770 periodos de radiación, asociada a la
transición hiperfina del estado base del átomo de Cesio – 133.
Temperatura termodinámica: (unidad: grado Kelvin)
Un grado Kelvin es igual a la 1/273,16 parte de la temperatura
termodinámica del punto triple del agua (el punto triple del agua tiene una
temperatura de cero grados centígrados, 273,16 °K)
Cantidad de sustancia (unidad: mol)
Un mol es igual a la cantidad de sustancia de un sistema. La cual contiene
tantos elementos estructurales, cuantos átomos contienen 0.012 Kg de Carbono –
12.
Intensidad luminosa (unidad: Candela)
Una candela es igual a la fuerza de la luz en una dirección dada de una fuente
que genera irradiación monocromática de frecuencia 5x10-12 Hz, y la fuerza de
irradiación en esta dirección es igual a 1/683 watt/steradian
Intensidad de corriente eléctrica (unidad: Ampere)
Un ampere es igual a la corriente no cambiante que pasa por dos conductores
paralelos rectos infinitamente largos y de área de corte despreciable, que se sitúan
en el vacío a una distancia de 1 metro uno del otro y que provocan en cada
segmento de 1 metro de longitud una fuerza de interacción de 2x10-7 N
Tabla de prefijos
Factor Prefijo Símbolo 1024 Yotta Y 1021 Zetta Z 1018 Exa E 1015 Peta P
A partir de la definición de 1 in = 2.54cm, determine cuantos:
a) Kilómetros hay en una milla
b) Pies hay en 1 kilometro
1 in = 2.54 cm
1 ft = 12 in
1 milla = (1 milla) (
) (
) (
) (
)
1 milla= (1 milla) (1.609344 Km/milla)
Factor de conversión millas a Km
1 milla = 1.609 Km
Cuantas millas hay en un kilometro
1 km = 1 km (
)
1 km = 1km (0.621 mi/km)
Factor de conversión de km a millas
1 km = 0.621 millas
Conversión de ft a km
1012 Tera T 109 Giga G 106 Mega M 103 Kilo K 102 Hecto H 101 Deca da
Factor Prefijo Símbolo 10-1 deci d 10-2 centi c 10-3 mili m 10-6 micro µ 10-9 nano n 10-12 pico p 10-15 femto f 10-18 atto a 10-21 lepto l 10-24 yocto y
1 ft = 1ft (
) (
) (
)
1 ft = 1ft (3.048 x10-4 km/ft)
Factor de conversión de ft a km
1 ft = 3.048 x10-4 km
Conversión de km a ft
1 km = 1 km (1/3.048 x10-4 ft/km)
Factor de conversión de ft a km
1 km = 3280.83 ft
Cuantos nanosegundos tarda la luz en viajar 1 ft en el vacío
Velocidad = 299 792.458 km/seg
Aprox luz
299 792.458 km/seg = 299 792.458 km/seg (
)
= 983571056.4 ft/s
= 983571056.4 ft/s (
)
299 792.458 km/seg = 983571056 x109 ft/ns
= 9. 83571056x1017 ft/ns
El disco duro de una computadora que data del 95 tenía una capacidad de 30
MB. ¿Cuantas palabras podía almacenar de 8 caracteres?
30 MB palabras 8 bits = 1 byte
1 carácter = 1 byte
1 KB = 210 byte
1 MB =220 byte
30 MB =30 MB (
) = 31457280 bytes
# de palabras = (
) = 3932160 palabras
Palabras de 8 bytes
Cual es el equivalente semanal de un salario de 36k. Considere que el año tiene 52 semanas
1
1
1
Una lotería ofrece 10M dólares como premio mayor, pagado en 20 años ¿Por cuánto es el cheque recibido cada mes?
1 1 1
1 1 (1 1
) 1
Enrico Fermi dijo una vez que el periodo de una clase estándar (50 min) es cerca de 1 micro centuria ¿Qué tan larga es una micro centuria en minutos? ¿Cuál es la diferencia porcentual con la aproximación de Fermi?
1 1 1 1
1 1 (
1 ) (
1 ) (
1 )
1 1
1 1 1 1 1 b) Error Porcentual
1 1
Una sustitución conveniente del número de segundos en un año es 1 ¿dentro de que porcentaje de error es esto correcto? Considere que el año tiene 365.25
1 1 (
1 ) (
1 ) (
1 )
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1
Si un vehículo lleva una velocidad de 55 mi/hr ¿cuál es su velocidad equivalente en m/s?
⁄ ⁄ (1
1 ) (1
)
⁄ ⁄
Un galon fluido es igual a 231 in3. ¿Cuál es el volumen en cm3 de un tanque que contiene 16 galones de gasolina
1
1 1
1 1 (
1 )
1
1 1 ( 1
1 )
Un año luz es igual a la que recorre la luz en un año. Calcule el factor de conversión entre año luz a mtrs. Encuentre la distancia a la estrella próxima centaury (4x10v16)en años luz. Considere que el año tiene 365.25 dias y que la velocidad de la luz es de 3x10v8 m/seg.
1 ⁄
1 1
1 ⁄ 1
1 ⁄ 1
1 1
1 1 (1
1 )
- Análisis dimensional – Dimension: naturaleza cualitativa de una cantidad física dada. Asociado a cada cantidad medida o calculada hay una dimensión. En mecánica la masa, longitud y tiemo son elementales e independientes y se utilizan como dimensiones fundamentales. En toda ecuación:
a) Las dimensiones de las cantidades de ambos miembros de la ecuación, deben ser iguales; si la ecaucion tiene una constante puede ser que esta tenga dimensiones, si no las tiene se llama “constante adimensional”
b) Solo podemos sumar y/o restar cantidades que contengan las mismas dimensiones.
c) Podemos multiplicar y/o dividir cantidades que contengan distintas dimensiones. Las dimensiones resultantes serán el producto o el cociente de las dimensiones de los factores.
Ejercicio: verifique la compatibilidad dimensional de:
1
Donde:
⁄
[Longitud] = L [Tiempo] = T [Masa] = M
[ ] [ 1
]
[ ] [ ] [
] [
1
] [
] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] (la suma de 3 longitudes es una longitud) La ecuación es dimensionalmente compatible. Encuentre las dimensiones fundamentales de la Fuerza.
[ ] [ ][ ]
[ ] [ ][ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
Encuentre las dimensiones fundamentales de la constante de la gravitación universal y la constante eléctrica.
[ ][
]
[ ][ ]
[ ] [ ][ ]
[ ]
El análisis dimensional consiste en investigar, en nuestro caso en magnitudes de longitud, masa y tiempo las unidades físicas sin considerar factores numéricos y sin emplear ningún sistema de unidades en particular. Observación: Cuando analizamos las dimensiones de una cantidad esta se encierra entre corchetes.
Ejercicio:
Para mantener a un objetoque se mueve en circulo a velocidad constante (rapidez
constante) se
requiere una fuerza llamada “fuerza centrípeta” Realic un análisis dimencional de
la fuerza centrípeta
F = ma vbrc
[F]=[m a vbrc] [F]=[Kg]a[m/s]b[m]c [F]= Ma L b+c T-b MLT2 = Ma L b+c T-b
A=1, b=2 , b+c=1 c=-1
Sustituimos F = ma vbrc = mv2/2
Un hoto importante del universo justo de la gran explosión es el tiemplo
Planck(Tp) cuyo valor depende de 3 constantes fundamentales , a saber:
1. Velocidad de la luz(c) que es la constante fundamental de la relatividad y
cuyo valor es aproximadamente igual a 299,792.458 Km/s
2. La constante de la gravitación universal de newton(g) es la constante
fundamental de la gravedad y tiene un valor aproximado de 6.67x10-
11m3/KgS2
3) La constante de Planck constante fundamental de la mecánica cuántica
(h) y que tiene un valor de 6.63x10-34KgM2/S
Con base en un análisis dimensional calcule el valor del tiempo Planck:
T = cgh t=ca gb bc
[T]= [m/s]a[m3/KgS2]b[34KgM2/S]c = La T-a L-2b Mc L2c T-c = T-a-b-c La+3b+2c M-b+
encontrar valores de a b c
1 11 1 1
1
R1<->R2 1 1 1 1 1
1
R2+R1 1 1 1 1 1
1
R1 R1 R
1 1 1 1
11
1/2R3 1 1 1 1 1
1
1 1 1
1 1 1
1 1
a= -5/12 , b=1/2 , c= ½
Sustituimos
T = c1/2 g-5/2 h1/2 T =√
= √
= 1.35x10-43
Vectores
Introduccion:
En algebra hemos visto que la expresión 3x – 6y = 5 representa a todos los
pares ordenados (x,y) que satisfacen la ecuación, siendo su representación gráfica
una línea recta cuya
pendiente es de .5.
En física manejamos 2 tipos de cantidades. Las cantidades escalares que se
representan exclusivamente con la magnitud y la unidad correspondiente y las
cantidades vectoriales que se representan usando magnitud, dirección y la unidad
correspondiente.
Usamos a los vectores para representar a las cantidades vectoriales como efectos
de ellas tenemos, fuerza, desplazamiento, velocidad y aceleración, campo eléctrico,
magnético y gravitatorio, momento lineal, etc.
Pero las cantidades escalares usamos un solo número real como ejemplo de
cantidad escalar es trabajo, potencia, energía, masa, tiempo, carga eléctrica,
temperatura.
Gráficamente un escalar se representa con un punto, mientras que un vector
como un segmento de línea que tiene la misma dirección que el vector y en su
punto final le colocamos una punta de flecha.
Notación:
Un vector se representa con una flecha arriba de su nombre y por lo general
en mayúsculas, la magnitud del vector se representa usando barras verticales
dobles a cada lado del vector.
A = A
||A|| = A
Usamos además otro vector al que lamamos vector unitario debido a que su
magnitud es igual a 1 y lo representamos usando un gorrito en lugar de una flecha
=
Magnitud de un vector
Geométricamente la magnitud es la distancia entre el punto inicial y el final del
vector o la longitud del segmente de recta.
Analíticamente la magnitud es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados
de las componentes es decir
Si = <a1 , a2 , … , an >
| = √a1 a … an
Dirección:
Si tenemos una línea recta podemos movernos a lo largo de ella en sentidos
opuestos, donde a cada uno de ellos le asignamos un signo que puede ser más o
menos . Una vez que se asigna el signo decimos que la línea esta orientada y que
tenemos un eje. Asi en un eje tenemos la dirección positiva y negativa.
En R2 o en el plano las direcciones se representan mediante un Angulo que se
mide a partir de la dirección de referencia, (semieje x positivo) y hasta la dirección
que deseamos determinar siempre en sentido anti horario.
En la expresión o R3 usamos 3 ángulos para determinar su dirección estos
son:
Angulo alfa que se mide del eje x positivo hasta el vector.
Angulo beta que se mide del eje y positivo hasta el vector.
Angulo gama que se mide del eje z positivo hasta el vector.
= <ax,ay> ʘ = Tan.1 (
) + ʙ
= <ax , ay , az >
Alfa = arcos(
) Beta = arcos(
) + Gama = arcos(
)
Operaciones con Vectores
Ejercicio: Sea , 1,
A) Calcule
, 1, 1,
,
B) Calcule
, 1, 1,
,
C) Calcule
, 1, 1
1 1 1
D) Proyección de sobre
Proy
=
|| ||= √ √ 1 1
Proy
,
, ,
, 1 , 1
E) Angulo entre
|| || || || cos cos
|| |||| || cos (
|| |||| ||)
|| || √ 1
|| || √ 1 1
cos (
) 1 .
Los 3 finalistas de un concurso de TV se colocan en el centro de un campo
plano grande, cada uno cuenta con una regla graduada de 1m, una brújula, una
calculadora, una pala y (en diferente orden para cada concursante) los siguientes
desplazamientos.
A) 72.4m, 32° al este del norte
B) 57.3m, 36° al sur del oeste
C) 17.8m al sur
Los 3 desplazamientos llevan al punto donde están enterradas las llaves de
un Ferrari ultimo modelo. Dos concursantes comienzan a medir de inmediato; sin
embargo la ganadora primero calcula a donde
debe ir. ¿Qué calculo?
1.- Encontrar las coordenadas (x,y)= || ||
cos , || || sin
-Para -
X= || || cos cos
Y=|| || sin sin 1
, 1
-Para –
X= || || cos cos 1
Y=|| || sin sin 1
,
-Para –
X= || || cos 1 cos
Y=|| || sin 1 sin 1
, 1
, 1 , , 1
, 1 1 , 1
*No necesitamos el vector , si no su magnitud y el Angulo*
|| || √ 1 1
tan (
) tan (
1
) 1 1
Sabemos que
Si ( 1, , … , )
Entonces
1
|| ||
Donde || || √ 1
Así como
|| || despejamos
|| ||
|| ||
Si ( 1, 1 )
Entonces
1
|| ||
|| ||
cos sin
tan (
1)
Siempre medido a partir del semieje x positivo y en sentido anti horario.
Así
|| ||
|| || cos sin
|| || cos || || sin
1 || || cos
|| || sin
Si ( 1, , 1 )
Entonces
1
|| ||
|| ||
|| ||
cos cos cos
Donde , son los ángulos directores del vector , así
|| || =|| || cos cos cos = || || cos || || cos
|| || cos
|| || cos
|| || cos
|| || cos
Luego, si tenemos 2 vectores, paralelos entonces
Como
|| || y || ||
Entonces
1
|| ||
Como , entonces
1
|| ||
Así
|| || (1
|| || )
|| ||
|| ||
Sea || ||
|| ||
-En Resumen-
Si ( 1, , … , )
|| || √ 1
1
|| ||
En si 1
|| || √ 1
tan (
) cos( ) sin( )
1 || || cos
|| || sin
En si 1
|| || √ 1
cos cos cos
1 || || cos
|| || cos
|| || cos
|| ||
Dirección de es la inclinación de la recta directriz sobre la que está el vector
incluyendo la punta de flecha.
Si 1, 1,
Entonces 1 1
Si A = 2i+3j, este es un vector cuyo punto final es (2,3) y su punto inicial es el
origen. Así, si P (P1, P2,…, Pn) y Q (Q1, Q2,…, Qn) si A = PQ con P como punto
inicial y Q como punto final.
A = < Q1 - P1, Q2– P1,…, Qn – Pn>
-Operaciones-
Suma
Si A = <a1, a2,…, an € Rn y B = <b1, b2,…, bn € Rn entonces la suma que
denotamos como “ A B ” está dada por:
A + B = <a1, a2,…, an> + <b1, b2,…, bn>
A + B = <a1+ b1, a2+ b2,…, an+ bn>
A = PQ = Q - P P
Q
En R2 sea A= a1i + a2j y B= b1i + b2j
Sea
A + B = (a1+ b1) i + (a2+ b2) j
Multiplicación de un escalar por un vector
Sea k € R y A a1, a2,…, an € Rn y el producto escalar K por el vector A que
denotamos como kA es un vector por:
kA =k <a1, a2,…, an>
kA = <ka1, ka2,…,kan>
Observe que:
|| kA || = (Ka1)2+(Ka2)2 … Kan)2
|| kA || = k2 (a1)2+( a2)2 …, an)2
|| kA || =K ||A||
-Demostración –
Si k>1 el vector va en la misma dirección que A y su magnitud es |k| ||A||
Si 0<k<1 el vector va en la misma dirección que A y su magnitud es |k| ||A||
Si-1< k<0 el vector va en la dirección opuesta que A y su magnitud es |k| ||A||
A B
Si k<-1 el vector va en la dirección opuesta que A y su magnitud es |k| ||A||
Si k=1 el vector KA=A
Si k=-1 el vector KA=A es un vector que va en la dirección opuesta que A y su
magnitud es la misma q A
Resta
Si A y B son dos vectores en R, entonces la resta de A y B que denotamos como A
- B es un vector dado por:
A – B = A + (- B)
A - B = <a1- b1, a2- b2,…, an-bn>
Gráficamente
Producto Punto
i * i = 1 j * j = 1 k * k = 1
i* j = 0 i * j = 0 j* k = 0
j * i = 0 k * i = 0 k * j = 0
Si A = a1i + a2j + a3K y B=b1i +b2j + b3k
Luego
A B = (a1i + a2j + a3K) (b1i +b2j + b3k)
A B = a1i*b1k+a1i*b2j+ai*b3k+a2j*b1i+a2j*b2j+a2j*b3k+a3k*b1i+a3k*b2j+a3k*b3k
A B = (a1 b1) ii+ (a1 b2)ij + (a1 b3)ik+ (a2 b1) ji+ (a2 b2) jj+ (a2 b3)jk + (a3 b1)ki +
(a3 b2) kj+ (a1 b3) kk
= a1*b1 + a2*b2 + a3*b3
A
B A - B
En general si A = <a1, a2,…, an> y B = <b1, b2,…, bn> el producto punto que
denotamos como A B es un escalar dado por:
A B = <a1, a2,…, an> * <b1, b2,…, bn>
A B = <a1* b1+ a2* b2 ,…, an* bn>
-Propiedades-
1. A B=|| A ||2
2. A 0= 0
3. A B = B A
4. A ( B + C ) = A B + A C
5. (kA) B = k( A B ) = A (kB )
6. Si A ≠ y B ≠ A B
7. A B =|| A || || B || Cos α y α 1
Demostración
h B Sen α
||A - B||2=||A||2||B||2- A B Cos α
(A - B)(A - B)= ||A||2||B||2- A B Cos α
α
h
|| A ||
|| B || A - B
b=||B|
|
a=||A||
c = A - B
C2 = a2+b2 - 2ab cos α (Ley de los cosenos)
A*A-A*B-B*A+B*B=||A||2||B||2-2||A||| B Cos α
||A||2-2A*B+||B||2=||A||2||B||2- A B Cos α
A*B A B Cos α
Y el ángulo entre A y B es α arcos
| | )
Proyección Ortogonal
a B Cos α
UA =
Proy A B = || Proy A B || UA B
Y || Proy A B B Cos α
Asi
Proy A B B Cos α * A A
Sabemos A B A B Cos α
|| B || Cos α A * B A
Proy A B = (A * B ) * A || A ||2
Producto Cruz
α
|| A ||
|| B ||
A x B B
i x i = 0 j x j = k k x k = -j
i x j = -k i x j = 0 j x k = i
j x i = j k x i = 0 k x j = 0
Si A = a1i + a2j + a3K y B=b1i +b2j + b3k
A x B = (a1i + a2j + a3K) x (b1i +b2j + b3k)
A x B = a1i*b1k+a1i*b2j+ai*b3k+a2j*b1i+a2j*b2j+a2j*b3k+a3k*b1i+a3k*b2j+a3k*b3k
k
i
j
A x B =(a1 b1) ii+ (a1 b2)ij + (a1 b3)ik+ (a2 b1) ji+ (a2 b2) jj+ (a2 b3)jk + (a3 b1)ki +
(a3 b2) kj+ (a1 b3) kk
A x B =(a2b3-a3b2)i+(a3b1-a1b3)j+(a1b2-a2b1)K
Demuestre que el producto cruz se puede escribir como el determinante de una matriz de 3x3
= (a2b3-a3b2)i + (a3b1-a1b3)j + (a1b2-a2b1)k
= (a2b3-a3b2)i - (a1b3-a3b1)j + (a1b2-a2b1)k
|
| I - | 1 1
| j + | 1 1
| k
1 |
| 1 | 1 1
| 1 | 1 1
| k
| 1 1
| | 1 1
|
Propiedades:
A B B A
A (B C) A B A C
(B C) A B A C A
( B ) B (A B) A K A
‖A B‖ ‖A‖‖B‖ sin
A B A ≠ y B ≠ A B
A B A A B B
‖A B‖
α
( ) ( )
A (B C) (A C)B (A B)C
‖A B‖ ‖A‖
‖B‖
(A B)
: A (B C) (A C)B (A B)C
, , ;
|
|
|
|
[ ] [ ] [ ]
( )
( )
( )
[ ] [ ] [ ]
( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ( )
( ) ]
( ) ( ) ( )
A (B C) (A C)B (A B)C
( ) ( )
, ,
|
|
( ) ( )
‖A B‖ ‖A‖‖B‖ sin
‖A B‖ A B A B
‖A B‖ A (B B)A (B A)B
‖A B‖ (B B) A A (B A) A B
‖A B‖ ‖B‖
‖A‖
A B
‖A B‖ ‖B‖
‖A‖
(‖A‖‖B‖ cos )
‖A B‖ ‖B‖
‖A‖
1 cos
‖A B‖ ‖B‖
‖A‖
sin
‖A B‖ ‖A‖‖B‖ sin
Un automóvil recorre hacia el este una distancia de 54 km, luego al norte de 32 km, y luego en dirección a 28ᵒ al norte de este 27 km. Dibuja el diagrama vectorial del desplazamiento y determina el desplazamiento total del automóvil desde el punto de arranque.
‖A‖ cos ‖A‖ sin
cos sin
cos ᵒ sin ᵒ
cos ᵒ sin ᵒ 1
‖R‖ √
tan
tan
ᵒ
ᵒ
28ᵒ 12.67 km
32 km
54 km
Un aeroplano viaja 209 km en línea recta formando un ángulo de 22.05ᵒ al este del norte. ¿A qué distancia al norte y a cual al este viajo el aeroplano desde el punto de partida? Al este cos ᵒ km Al norte sin ᵒ 1 1 km Tres vectores coplanares están expresados con respecto a cierto sistema de coordenadas rectangulares como siguen:
1 ‖B‖ con una dirección de 142.81ᵒ y ‖C‖ con una
dirección de 270ᵒ. Encuentre el vector resultante de estos vectores (componentes, magnitud y dirección).
cos 1 1ᵒ, 1 1ᵒ
cos ᵒ, ᵒ
‖C‖
‖B‖
1
1 1 ‖ ‖ √ 1 1
tan
tan
ᵒ ᵒ
Cierto vector en el plano XY está dirigido 250° en sentido antihorario a partir del
semieje positivo x, tiene una magnitud de 7.4 unidades. El vector tiene una
magnitud de 5 unidades y es paralelo al eje Z, calcule:
a) Producto punto de A Y B
b) Producto cruz de A y B
Como
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ sin sin
‖ ‖ ‖ ‖
‖ ‖ cos
250°
90°
-6.95
X
Y
Z
-2.53
90°
A B
= -2.53 -6.95 + 0
250 + 90= 340
Si está a 90°, es perpendicular
cos
1
[
]
Una estación de radar detecta a un cohete que se aproxima desde el este. En el
primer contacto, la distancia al cohete es de 12 000 pies a 40° sobre el horizonte. El
cohete es rastreado sobre otros 123° en el plano este-oeste, siendo la distancia de
contacto final de 25 800 pies. Calcule el desplazamiento del cohete durante el
periodo de contacto del radar.
√ 1 1 cos 1
‖ ‖ cos ‖ ‖ 1 cos 1
=9192.53i + 7713.45j
1 1
P1 P2
40°
123°
N
E O
S
‖ ‖
‖ ‖
‖ ‖ 1
cos 1 cos 1 1
Q1 Q2
=(Q1-P1)i + (Q2-P2)j =(-24672.66-9192.53)I +(7543.18-7713.45)j
1 1 Desplazamiento
‖ ‖ √ 1 1 Distancia recorrida por el
proyectil
Una rueda de 45 cm de radio gira sin resbalamiento a lo largo de un piso horizontal
como se muestra en la figura. En el tiempo T1, P está en el punto de contacto entre
la rueda y el piso, en un tiempo T2 la rueda ha rodado media vuelta ¿Cuál es el
desplazamiento de P en el intervalo?
,
1 1
√ 1 1
1 Distancia recorrida por el punto
πR
2R
Tres Vectores están dados por
A=3i +3j -2k
B=-1i -1j +2k
C=2 i+2j +1k
Obtener:
a)
( ) [ 1 1
]
( 1 ) ( )
( )
1 1
( ) 1
b)
(-1+2)i +(-4+2)j +(2+1)k= i-
2j+3k
( ) 1
( )
c)
( ) [
]
( )= (18-(-10))i +(16-18)j +(15-(-24))k
( )
( )
[ 1
]
( ) ( 1 )
( ) 1
( ) 1
( )
1 1
1
( ) 1 1 1 1 1
( ) 1
Un rio fluye de sur a norte a 5km/hr. En este rio una lancha va de este a oeste,
perpendicular a la corriente a 7km/hr. Vista por una águila suspendida en reposo
sobre la ribera. ¿Qué tan rápido y en qué dirección viaja la lancha?
5km/hr
7km/hr
ǁ ǁ=√ =8.6
Θ tan
1 1 °
Un avión sale del aeropuerto de Galisto y vuela 170km/hr en una dirección 68°
al este del norte; luego cambia el rumbo y vuela 230 km a 48° al sur del este,
para efectuar inmediatamente un aterrizaje de emergencia en un potrero. ¿En qué
dirección deberá volar una cuadrilla de rescate enviada por el aeropuerto para
llegar directamente al avión averiado?
1 cos 1
=157.6 +63.6
1 cos 1
=153.9 - 107.3
11 1
ǁ ǁ=√ 11 1 = 329.4km
Θ tan
1°
68°
48°
CINEMATICA
La cinematica es la rama de la fisica que se encarga de estudiar el movimiento sin
atender las causas que lo producen.
Posicion Desplazamiento
Velocidad Velocidad Promedio
Vel. instantanea
Aceleracion Promedio
Aceleracion Ac. Instantanea
Desplazamiento:
En nuestro caso
- =
=
Distancia neta recorrida(d)
d=ǁ ǁ=| |
Velocidad Promedio:
En nuestro caso: =
X+∆x
∆x
x
∆t
t t+∆t
Rapidez promedio (v)
v=ǁ ǁ = |
|
Velocidad instantánea
lim
lim
En nuestro caso
=
lim
Aceleración Promedio
=
=
=
=
; -
Aceleracion instantánea
=
=
(
)
=
Aceleracion Promedio
=
=
ti=0 tf=0
=
|
=
|
=
Movimiento con aceleración constante
Con aceleración constante existen 3 casos:
a=0, a≠0, a=g
a=0
como
=
Si el movimiento en el espacio
= Vx + Vy + Vz y d = dVx + dVy + dVz
De igual forma + +az
Luego
+ +az =
+ +az )dt= d d y d z
Por igualdad
dVx=axdt- ∫a dt C o
dVy=aydt-Vy ∫aydt Cy oy
dVz=azdt- z ∫azdt Cz oz
= Vx + Vy + Vz = V0x + V0y + V0z
Además =
= x + y + z
d = x + y + z
d dy dz
(Vx + Vy + Vz )dt = d dy dz
Vxdt=dx- ∫ dt
Vydt=dy-y ∫ ydt y y y y
Vzdt=dz-z ∫ zdt z z z z
X=Vxt+ex Para t=0 x0=Vx(0)+ex=x0
y=Vyt+ey y0=Vy(0)+ey=y0
z=Vzt+ez z0=Vz(0)+ez=z0
Posicion de la particula
X=Vxt+x0
y=Vyt+y0 V=
d=Vt+x0
z=Vzt+z0
= (Vxt+x0) + (Vyt+y0) +(Vzt+z0)
Para a=0
= (Vxt+x0) + (Vyt+y0) +(Vzt+z0)
= Vx + Vy + Vz
= 0 + 0 + 0
a≠0 Por definición
=
Como = dVx + dVy + dVz
= ax + ay + az
dVx + dVy + dVz = (ax + ay + az )dt
dVx = axdt-- ∫a dt a t C v
dVy = aydt-- y ∫aydt ayt C y v y
dVz = azdt-- z ∫azdt azt Cz z v z
V0x=Cx
V0x=axt + v0x
V0y=ayt + v0y
V0z=azt + v0z
= (axt + v0x) + (ayt + v0y) + (azt + v0z)
Ademas
=
= dt
= x + y + z d = dx + dy +d z
dx + dy +d z = [(axt + v0x) + (ayt + v0y) + (azt + v0z) ]dt
dx = (axt + v0x)
∫ a t v dt a
+ V0x + ex; ex =x0
x = x0 +voxt +
ax
₀ v₀ t ½ aₓ t²
y y₀ v₀y t ½ ay t²
z z₀ v₀z t ½ az t²
Para a≠
₀ v₀ t ½ aₓ t² i ₀ v₀ t ½ aₓ t² j z₀ v₀z t + ½ az t²)k
₀i y₀j z₀k v₀ i v₀yj v₀zk t ½ aₓi ayj + azk) t²
= 0 + 0t + ½ t2
=(axt + v0x)i + (ayt + v0y)j + (azt + v0z)k
=(vxi + vyj + vzk)t + (v0xi + v0yj + v0zk)= + 0
= axi + ayj + azk =
Para a=0
=(vxt + x0)i + (vyt + y0)j + (vzt + z0)k
=(vxi + vyj + vzk )t + (x0i + y0j + z0k)= t + 0
=vxi + vyj + vzk = v0xi + v0yj + v0zk= 0 = 0
=0i +0j + 0k =
Ya vimos que
=
axi + ayj + azk =
=
x +
y +
z
Luego
x
X0
Vx
v0x X0 v0x X0 v0x
z
z0
y
y0 v0y
Vy Vz
v0z
∆t=7.2 min ∆t2=27 min
ax=
x ax=
y ax=
z
Así
ax=
x *
ay=
y *
az=
z *
ax=
x *
ay=
y *
az=
z *
ax=
x vx ay=
y vy az=
z vz
Luego
axdx = vx dvx aydy = vy dvy azdz = vz dvz
∫
= ∫
∫
= ∫
∫
= ∫
ax x | =½ vx2 | ay y | = ½ vy
2 | az z | = ½ vz2 |
ax(x-x0) = ½ (vx2 – v0x2) ay(y-y0) = ½ (vy2 – v0y2) az(z-z0) = ½ (vz2 – v0z2)
2ax(x-x0) = vx2 – v0x2 2ay(y-y0) = vy2 – v0y2 2az(z-z0) = vz2 – v0z2
vx2 = v0x2 + 2ax(x-x0) vy
2 = v0y2 + 2ay(y-y0) vz2 = v0z2 + 2az(z-z0)
vx2 + vy2 + vz2 = v0x2+ v0y2 + v0z2 + 2ax(x-x0) + 2ªy(y-y0) + 2az(z-z0)
vx2 + vy2 + vz2 = v0x2+ v0y2 + v0z2 + 2(ax(x-x0) + ay(y-y0) + az(z-z0))
vx2 + vy2 + vz2 = v0x2+ v0y2 + v0z2 + 2( (axi + ayj + azk) – (xi + yj + zk) – (x0i + y0j +
z0k))
* = 0 * 0 + 2 * ( - 0)
Ejercicio
Usted maneja su Masserati sobre una carretera recta durante 5.2 mi a 43
mi/hr, en cuyo punto se queda sin gasolina camina 1.2 millas hacia adelante, hasta
la estación más próxima durante 27 min. ¿Cuál fue la velocidad promedio desde el
momento en que arranco su auto hasta que llego a la estación?
5.2 mi 1.2
43 mi 27 min
t = v/d = 5.2 mi / 43 mi/hr = 72 hrs = 7.2 min
t t t2 = 7.2 + 27 = 34.2 min
=
= 6.4 mi / 34.2 min = 0.18 mi/min
*
= 11.22 mi/hr
Si usted viaja en la carretera interestatal 10 de San Antonio a Houston la mitad del
tiempo a 35 mi/hr y la otra mitad a 88 km/hr. En el viaje de regreso voaja la mitad
de la distancia a 35 mi/hr y la otra mitad a 35 mi/hr. ¿Cuál es la velocidad
promedio?
a) De S.A a Houston
b) De Houston a S.A
c) Para todo el viaje
35 mi/hr 88.5 mi/hr
t/2 t/2
v = d/t d = vt
a)
d1 = (35 mi/hr)(t/2) d1 = (55 mi/hr)(t/2)
v = d1 + d2/t1 + t2 = [ (35 mi/hr)(t/2) + (55 mi/hr)(t/2) ] / (t/2) + (t/2)
v = [ (90 mi/hr)(t/2) ] / t = 90/2 mi/hr = 45 mi/hr
b)
35 mi/hr 55 mi/hr
d1= d/2 d2= d/2
v = d/t t = d/v
t1 = d1 / v1 = (d/2) / (35 mi/hr) t2 = d2 / v2 = (d/2) / (55 mi/hr)
v = (d1 + d2) / (t1 + t2) = (d1 + d2) / [ (d/2) / (35 mi/hr) ] + [(d/2) / 55 mi/hr]
v = d / (d/2)[(55 + 33) / (55 * 33)] = 2(55*33) / 90 = 3850 / 90 mi/hr = 42.77
mi/hr
c)
v = d / t = ( 1 + 2 ) / 2 = [ (45 mi/hr) + (42.77 mi/hr) ] / 2 = 43.88 mi/hr
Usted frena desde la velocidad de 85 km/hr hasta a 45 km/hr en una distancia de
105 mts.
a) Si suponemos que la aceleración es constante. ¿Cuál es el valor de está
durante el frenado?
b) Cuánto tiempo transcurrirá en el frenado.
c) Si continuamos frenando con la misma aceleración cuanto tiempo nos
tomaría detenernos.
85 km/hr 0.105 km 45 km/hr
Datos:
Vi = 85 km/hr Vf = 45 km/hr D = 105 mts
V2 = vi2 + 2a(x-x0) a = (v2 – vi2) / (2(x-x0))
a = [(45 km/hr)2 - (85 km/hr)2] / [2 (0.105 km)]=[(2025 km2/hr2) – (7225
km2/hr2)]/ 0.21 km
a = (-5200 km2/hr 2) / 0.21 km = -24761.90 km/hr2
-24761.90 km/hr2 (1000 mts/1 km)[(1 hr)2/ (3600 s)2] = -1.91 m/s2
b)
t = (v – vi ) / a = [(45 km/hr) - (85 km/hr)] / -24761.90 km/hr2
t = (-40 km/hr) / -24761.90 km/hr2 = 1.67 x 10-3 h = 5.81 s
c)
Tiempo para detenerse (con la misma aceleración)
85 km/hr 45 km/hr 0
Vi = 45 km/hr v = 0 a = -24761.90 km/hr2
V = vi + at t = ( v – vi ) / a
t = 1.8 x 10-3 hr = 6.54 seg
Una partícula α en el núcleo de un átomo de Helio viaja a lo largo de un tubo recto
de 2m de longitud que forma parte de un acelerador de partículas; Si ponemos una
aceleración uniforme
A. ¿Cuál es la aceleración de la partícula si llega a una velocidad de 0.1 Mega
Metros/ Seg y sale a .005 Giga Metros/seg?
B. ¿Cuánto tiempo estuvo en el tubo?
Nota: Exprese sus resultados en segundos y en m/
0.1Mm 2m 0.005 Gm
V =.01 Mm = 0.1x1 m = 100 000 m
VF =0.005Gm = 0.005x1 m = 5 000 000 m
d ΔR m
V=d/t V=Vi X=xi+vit+a = +2a(x-x0) V=Vi
+ at
A. Acceleration
=
1
B. Tiempo
V=Vi + at
1
Un cuerpo se deja caer libremente desde el reposo, determine: posición, velocidad
y aceleración del cuerpo después de que han trascurrido 1, 2,3 y 4 segundos.
Datos
g 1
El referencial será y+
X g+
g -g y+
y
y yt 1 y0=0m V0y=0m/s
g 1
1
V=V0 + ayt
V=0m/s + gt
V=gt
Para t=1s
1 1
1m
1 1
Para t=2s
1
1m
1
Para t=3s
1
1m
Para t=4s
1
1m
Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad de
25.2 m/s
A. Cuanto tiempo tarda en llegar a su punto más elevado
B. A que altura se eleva
C. En cuanto tiempo estará a 27m sobre el suelo
El referencial será
ay
Y
x,t ay=-g=9.81
1
1
Como es el tiempo para la altura máxima
La altura máxima es
Si y=27m t=?
A=
B=
C=
( √ )
( √(
) )
1, 1
1 1 1
Un cohete es lanzado desde el reposo de una base submarina situada a 125m por
debajo de la superficie, se mueve verticalmente hacia arriba con una aceleración
desconocida pero constante y llega a la superficie en 2.15s. Cuando traspasa la
superficie los motores apagan y continúa elevándose.
¿A qué altura máxima llegara medida a partir de la base?
-g y yt 1
Y=125m 1 m (
) 1 s 1 1
2.155 125m y
1
11
Ahora altura máxima
11
1
11
1
= 11.85s
y yt 1
1 m 11
11 s 1 1
11 s =814.9m
Una partícula se mueve en el plano XY de modo tal que sus coordenadas X y Y
varían con el tiempo de acuerdo con
t y t 1
Con X y Y en m y t en segundos. Encuentre la posición, velocidad y aceleración de la
partícula para un tiempo de 3s además determine el vector desplazamiento,
velocidad promedio y aceleración promedio para un intervalo de 2 a 4s.
Y(t)
ΔR
prom
X(t) a prom
t y t 1 t=3s
1 s s s 1
1 s 1 s j
i j
1
1
1 s 1 1 1
ti=2s tf=4s Δt
1
s s s 1
s s s 1
ΔR
prom
a = ΔV / Δt Δ 1 î ĵ – (– î ĵ
V = (3t2 – î 1 tĵ Δ î ĵ
ΔV = V(tf) – V(ti) a = ΔV / Δt
V(tf) = (3(4)2 – î 1 ĵ 1 î ĵ a î ĵ
V(ti) = (3(2)2 – î 1 ĵ – î ĵ a 1 î ĵ
Un esquiador desciende por una pendiente plana de la ladera de una
montaña, la pendiente de descenso norte-sur forma un ángulo de 10° con la
horizontal. Un viento que sopla desde el oeste da al esquiador una aceleración
lateral de 0.54 m/s2. En la esquina noroeste de la pendiente, el esquiador sale con
una componente de la velocidad cuesta debajo de 9 m/s y una componente lateral
de 0 m/s, La pendiente sin fricción tiene 125m de latitud y 25 m de ancho.
a) ¿Donde deja el esquiador a pendiente? b) ¿Cuál es la velocidad en ese punto?
Nota: La aceleraci n gravitatoria a lo largo de un plano inclinado es: gsen θ
a)
R0 î ĵ posici n inicial
V0 = 0î + m s ĵ
a0 = 0.54m/s2 î + gsen(θ ĵ
a0 = 0.54m/s2 î + (9.81
m s sen 1 ĵ
Dado que
R = R0 + V0 t + ½ a t2
Entonces
xî 1 ĵ î ĵ m î
m s ĵ t
½(0.54m/s2 î 1 m s sen 1 ĵ t2
xî 1 ĵ m s ĵ t m s2î t2 ĵ t2
Separando términos
**xî = 0.27m/s2 î t2
1 ĵ m s ĵ t ĵ t2
ĵ t2 m s ĵ t – 1 ĵ
Resolvemos:
√
√ 1
√
1
t1 √
1 t
√
1 1
**Calculamos el valor de x b)
x = (0.27m/s) t2 V = V0 + a t
x = (0.27m/s)(7.93s)2 î ĵ m s î
ĵ m s2(7.93s)
x = 16.97m î ĵ m s î
1 ĵ m s
î ĵ m s
:. R = 1 î 1 ĵ ||V|| = √ m s m s
:. ||V|| = 22.90m/s
Los frenos de un automóvil pueden generar una desaceleración de 14ft/s2, si
usted va a 85mi/h y de repente ve una patrulla federal, entra en pánico,
inmediatamente trata de disminuir la velocidad, debajo del límite que es de 55mi/h
a) ¿Cuál es el tiempo mínimo que le tomara disminuir a esta velocidad? b) ¿Qué distancia recorre en ese tiempo?
a)
a = -14ft/s2
1 ft s 1 ft s (
) m/s2
V0 = 85mi/h
mi m mi h (1 m
1mi) (1h
s) m s
Vf = 55mi/h
mi m mi h (1 m
1mi) (1h
s) m s
Sabemos que
⇒
1
:. t = 3.1425s
b)
x = x0 + V0x t + ½ a t2
x = 0m + (37.99m/s)(3.1425s) + ½(-4.2672m/s2)(3.1425s)2
:. x = 98.31m
Un tren que partió del reposo se desplaza a velocidad constante y va a 33m/s
y 160m adelante iba a 54m/s calcule:
a) Aceleración b) Tiempo que le toma recorrer los 160m c) Tiempo para una velocidad de 33m/s d) Distancia recorrida del reposo a que alcanza los 33m/s
a)
x0 = 0m V0 = 33m/s
x = 160m Vf = 54m/s
V2 = V02 + 2a(x – x0)
1 1
:. a =
b)
x = x0 + V0 t + ½ a t2
160m = 0m + (33m/s) t + ½ (5.70m/s2) t2
(2.85m/s2) t2 + (33m/s) t – 160m = 0
Resolvemos por formula general
√ m s 1
m s √ m s
m
t m s
m t
m s
m 1 s
:. t =3.67s.
c) d)
V = a t + V0 x = x0 + V0 t + ½ a t2 con x0 = V0 =0
½
:. t = 5.78s :. x = 95.21m
Dos objetos inician caída libre a partir del reposo, desde la misma altura, con
una diferencia de un segundo entre sí ¿Cuánto tiempo después de que él primer
objeto comenzó a caer estarán a 10m de distancia entre sí?
a = -9.81m/s V0 = 0m/s y0 = 0m
y = y0 + V0 t + ½ a t2
y = 0m + (0m/s)t +½(–m/s2)t2
y= (–4.905m/s2)t2
Con t =2 Con t = 1
y = (–4.905m/s2)(2s)2 y = (–4.905m/s2)(1s)2
y = –19.62m y = –4.905m
d = y2 – y1 = –4.905m – (–19.62m) = 14.715m
Ecuación partícula 1 Ecuación Partícula 2
y1 = (–4.905m/s2)(t)2 y2 = (–4.905m/s2)(t –1)2
1s -4.905m
2s -19.62m
14.715m
y2 = (–4.905m/s2)(t2 – 2t +1)
y2 – y1 = –4.905 m/s2 (t2 – 2t +1) – (–4.905m/s2)(t)2
y2 – y1 = –(4.905 m/s2)t2 + (9.81 m/s2)t – 4.905 m/s2 + (4.905m/s2)t2
y2 – y1 =(9.81 m/s2)t – 4.905 m/s2
10m = (9.81 m/s2)t – 4.905 m/s2
1
1 1 1
:. t = 1.5193s