Post on 21-Sep-2018
Verónica González Meza
Ambas bellas, fascinantes y anti-
quísimas: así son las matemáticas
y la música. Pero más allá de eso
(y de que ambas empiezan con
“m”), ¿qué otras relaciones existen entre
estas dos disciplinas? Lee este artículo y
descubre lo bien que suena este asunto.
Durante mucho tiempo se ha considerado
que las matemáticas y la música tienen cierta
similitud y comúnmente se dice que tienen, al
menos, cierta relación. Hay desde luego si-
militudes: ambas tienen algo de mágico, son
tan abstractas que parecen pertenecer a otro
mundo y, sin embargo, tienen gran poder en
nuestra vida diaria. La música cambia su tex-
tura y carácter según el lugar y la época; por
su parte, las matemáticas, aún cuando ge-
neran resultados contundentes y duraderos,
han visto variar su perspectiva y motivaciones
a lo largo de la historia.
La música se crea a partir de algo físico,
pues la producen instrumentos de todo tipo
de materiales; las matemáticas son abstrac-
ciones que pueden representarse muy bien
con ayuda de diversos medios, como regla
y compás o una hoja de cálculo electrónica.
Tanto el matemático como el músico se en-
cuentran ocupados resolviendo problemas
o componiendo o interpretando; ambas dis-
ciplinas han tenido un poder místico desde
la antigüedad. Las matemáticas nacen de
la necesidad práctica de registrar el paso
del tiempo, las observaciones del cielo y
la permanencia de la propiedad privada, y
consisten al principio solamente de números
y conteos; la música está motivada por el
deseo de protegerse de ciertos fenómenos
naturales, de alejar a los espíritus malig-
nos, de atraer la ayuda de los dioses y de
honrarlos mediante sus fiestas, así como de
celebrar el cambio de las estaciones.
González, V. (2012). Música y Matemáticas: vínculo de bien tono [Versión electrónica], Ciencia Compartida, 4, 19-24. Recuperado el (día) de (mes) de (año), de (dirección electrónica).
Armonía celestial
En la mitología griega, las Musas eran
nueve diosas hermanas protectoras de las
artes y las ciencias: Clío, Talía, Melpóme-
ne, Terpsícore, Erato, Polimnia, Calíope,
Urania -protectora de la astronomía- y Eu-
terpe, protectora de lo que hoy llamamos
música. Según esta perspectiva, la música
estaba hermanada con la astronomía. Qui-
zá a ello debamos que en alguna ocasión
un hombre se preguntara: si en la tierra el
movimiento de pequeños objetos producen
un sonido, ¿por qué no lo iba a producir el
movimiento de objetos tan grandes como
las estrellas, el sol y la luna? Y más aún: se
atrevió a asegurar que el sonido provenien-
te del movimiento circular de las estrellas
correspondía a una armonía y llamó a su
teoría “música de las esferas o armonía de
las esferas.”
Si hubiésemos interrogado a aquel maes-
tro -de nombre Pitágoras- sobre el porqué
dicha armonía de las esferas no se distingue
en el silencio, él quizá habría argumentado
que “al ser un sonido permanente desde el
mismo instante del nacimiento, no era distin-
guible del silencio”.
La teoría de la música de las esferas
sobrevivió casi 20 siglos, hasta la época
de Kepler, quien propuso que no era in-
verosímil la existencia de sonidos en la
materia interestelar del espacio exterior,
debido a que ésta forma una especie de
gas sumamente tenue. Sin embargo, la
gran diferencia de acústica entre ese gas
y la atmósfera terrestre “harían desprecia-
ble la energía acústica transmitida hacia
la superficie terrestre.”
Dividir suena bien
Los estudios de Pitágoras sobre aritmé-
tica, geometría y armónica, la naturaleza
de los sonidos musicales, el misticismo de
los números naturales -especialmente los
cuatro primeros, de donde surgía un arre-
glo llamado tetractys (véase la Figura 1)- y
la búsqueda por unificar los fenómenos del
mundo físico y espiritual en términos de
razones y proporciones de enteros lo lleva-
ron a descubrir que, al dividir una cuerda
considerando ciertas razones –como 1:2
(o un medio), 2:3 (o dos tercios) y 3:4 (o
tres cuartos)– se producen sonidos pla-
centeros al oído y construyó una escala a
partir de estas razones. A dichos intervalos
los llamó diapasón, diapente y diatesarón;
ahora los llamamos octava, quinta y cuarta
–respectivamente- porque corresponden a
esas notas de la escala pitagórica diatónica
(do, re, mi, fa, sol, la, si, do).
Hoy sabemos que el motivo por el cual en-
contramos estos intervalos más agradables
que otros tiene que ver con la física de la
cuerda tocada. Cuando una cuerda de 36
cm. se rasga, no sólo se produce una onda
de 36 cm., sino que, además, se forman dos
ondas de 18 cm., tres de 12 cm., cuatro de
9 cm. y así sucesivamente. La cuerda vibra
en mitades, tercios, cuartos, etcétera, y cada
vibración produce “armónicos” y estas lon-
gitudes de onda producen una secuencia
de armónicos de la longitud de la cuerda.
Los sonidos son más agudos y mucho más
suaves que el sonido de la cuerda completa
(llamada “la fundamental”) y generalmente
no se perciben, pero son los que hacen que
los instrumentos musicales suenen diferen-
tes entre sí. La regla que establece que la fre-
cuencia está relacionada con la longitud de
la cuerda fue formulada hasta el siglo XVII,
cuando el franciscano Fray Marín Mersenne
definió algunas reglas sobre la frecuencia de
una cuerda que vibra.
Muchos fueron los interesados en los estu-
dios de Pitágoras en relación con la música.
Arquitas, uno de los más brillantes pitagóri-
cos, escribió tratados de geometría sólida y
también es autor de un texto titulado Sobre
la música. Nicómaco, quien escribió Intro-
ducción a las matemáticas e Introducción
a la geometría, así como Introducción a la
música y un texto sobre armonía, definió la
aritmética como cantidad absoluta y la mú-
sica como cantidad relativa; también habló
de la importancia de las razones de enteros
en su Teoría de la música. Severino Boecio,
filósofo y matemático romano, fue el princi-
pal traductor de la teoría de la música en la
Edad Media; escribió Principios de la músi-
ca, interpretando los trabajos de Nicómaco,
Figura 1: Tetractys, un triángulo de cuatro hileras al
que se le puede asociar una equivalencia geométrica
moderna: el 1 representa el punto; el 2, la línea; el 3,
al plano; y el 4, a los sólidos.
Ptolomeo y Euclides.
Figuras, números, notas…
Muchas composiciones musicales están
íntimamente relacionadas con las transforma-
ciones isométricas básicas que son la traslación,
la reflexión y la inversión (véase el Recuadro 1).
Una transformación de este tipo recoloca una fi-
gura geométrica rígida en el plano, preservando
su forma y tamaño, es decir, la forma original no
se distorsiona con la manipulación.
Podemos hallar el equivalente a las rotacio-
nes, traslaciones y reflexiones en la mayoría
de las melodías populares y el análisis de las
obras maestras musicales también nos llevará
a encontrarlas, no hay una que no las tenga. Ya
sea en las obras de Bach o en las de Mozart,
Haydn, Beethoven, etcétera, incluyendo temas
de los Beatles o cualquier canción de moda,
este es un recurso muy utilizado aunque nor-
malmente no lo asociamos con matemáticas.
Un buen ejemplo de la utilización de ma-
temáticas en la música lo tenemos la quinta
sinfonía de Beethoven, en la que se utiliza lo
que matemáticamente llamamos sucesión de
Fibonacci. Se trata de una secuencia infinita;
el primer número es 1 y cada número sub-
secuente es la suma de los dos anteriores.
Como el primero es 1 y antes no hay nada,
el segundo es 1 (1+0), el tercero es 1+1=2, el
cuarto es 1+ 2=3 y así sucesivamente, de tal
manera que nos queda lo siguiente:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,…
No se sabe si el uso de dichos términos
es deliberado o no; tal vez el compositor
la usa sin saber, sólo porque se oye bien.
Beethoven la emplea en el transcurso de
la obra, la cual está separada por un nú-
mero de compases que pertenecen a la
secuencia. El compositor húngaro Béla
Bartok utilizó frecuentemente la sucesión
de Fibonacci para el diseño de sus com-
posiciones y desarrolló una escala que
denominó “escala Fibonacci”.
Cuando Mozart tenía 22 años -en 1777-
propuso la siguiente idea musical: un vals
de 16 compases que tituló “Juego de da-
dos musical para escribir valses con la
ayuda de dos dados sin ser músico ni sa-
ber nada de composición”, en la que cada
uno de los compases se escoge lanzando
dos dados y anotando la suma del resul-
tado (tenemos 11 resultados posibles, del
2 al 12).
Recuadro 1
El término isometría proviene de dos vocablos griegos, isos (igual) y metron (medida), por lo que isometría viene a significar “de la misma medida”; así, una transformación isométrica se caracteriza por preservar las distancias (o las medidas). La traslación –que significa mover un objeto geométrico en el plano-, la rotación –que equivale a girar un ente geométrico en el plano- y la reflexión –que implica reflejar una figura plana con respecto a un eje- son transfor-maciones isométricas, pues ninguna de las tres altera la forma (medida) de la figura original, sólo su posición u orientación en el plano.
Al son de la matemática
Por su parte, Iannis Xenakis -arquitecto, ma-
temático y compositor- fundó en 1966 la es-
cuela de Música Matemática y Automatizada
en París y enseñó allí y en la Universidad de
Indiana, donde fundó un centro similar. Co-
menzó a aplicar a la música teorías de pro-
babilidad matemática, especialmente la “ley
de los grandes números” (véase el Recuadro
2) y ello derivó en el desarrollo de su “música
estocástica” (en griego significa ‘tendencia a
una meta’) que se caracteriza por masas de
sonido, “nubes”, “galaxias”, donde el número
de elementos es tan grande que la conducta
de un elemento individual no puede ser de-
terminada, pero sí la del todo.
La composición más famosa de Xenakis
fue su primera pieza estocástica, Metastatis,
de 1954. Esta obra sirvió como modelo para
la creación del Pabellón Philips que, junto con
Le Corbusier (arquitecto, pintor y diseñador
suizo), Xenakis construyó para la exposición
internacional de Bruselas de 1958 (ver Figura
2). En tal estructura no hay superficies planas
y de esta forma también se escapa de la cate-
goría lineal del pensamiento musical.
Xenakis fue un compositor prolífico y es-
cribió muchos artículos; en su libro Música
Formal describe sus métodos de composi-
ción y su filosofía. Su tesis doctoral en letras
y humanidades fue publicada con el título
Arte/Ciencia. Aliadas. Xenakis utilizó sobre
todo leyes de probabilidad como base de
sus composiciones, así como otras áreas de
las matemáticas.
En 1984 Julio Estrada, en colaboración
con Jorge Gil, publicó un libro en el cual se
aplica la teoría de grupos finitos y el álgebra
de Boole -que estudia la simetría de las for-
mas- para analizar la estructura de la música
y como una herramienta en la composición
dada la coincidencia de las estructuras
musicales con la simetría (retrogradación,
inversión y retrogradación de la inversión).
¿ÁGUILA O SOL?Todos sabemos que si se lanza una moneda, hay una probabilidad de 50% de salga “águila” y una probabilidad de 50% de que salga “sol”. Eso no significa que si usted lanza la moneda 10 veces van a salir 5 águi-las y 5 soles y esto es perfectamente com-probable. Pero si la lanza 1000 veces tal vez la cantidad real de oportunidades que salga águila o sol esté más cercana a ese 50%-50% puede intentarlo, pero dudo que logre exactamente 500 resultados de cada cara. Si hace la prueba un millón de veces, tampo-co va a obtener exactamente 500, 000 águi-las y 500,000 soles, pero el número se va a acercar mucho a esta proporción. Mientras mayor sea la cantidad de pruebas o eventos, mas nos acercaremos a esa proporción de 50/50%; a esa tendencia se le conoce como la ley de los grandes números.
Tan tan
Otro ejemplo de matemáticas en la música
es el piano, instrumento en el que las teclas
forman grupos de 12 (7 blancas y 5 negras)
y estos grupos se repiten de izquierda a de-
recha. Cada octava tecla blanca cierra un
grupo y abre el otro, y por eso la distancia
musical entre esas teclas se llama octava
(normalmente se llama octava también el
mismo grupo de 12 teclas), y su escala es
igual a 2:1, esto es, la frecuencia de la mis-
ma nota en la siguiente octava es el doble y
la de octava anterior es la mitad.
Así, lo que hoy conocemos sobre matemá-
ticas y su relación con la música, las escalas
y las técnicas de composición se deben a los
estudios y preguntas que generó un hombre
que hace mucho tiempo pensó en su “mú-
sica de las esferas”. Aun cuando su idea fue
equivocada, nos dejó notables aportaciones
sobre la música y con ello se cumple aquello
de que “hay que defender nuestro derecho a
pensar, porque incluso pensar erróneamen-
te es mejor que no pensar”.