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Variables Aleatorias Bidimensionales
ESTADÍSTICA2º Curso Grado Ingeniería Informática (EXECUTIVE)
Realizado por:David Sánchez RuizFecha: 20-06-2012
Índice
� 1. Introducción a las Variables Aleatorias Bidimensionales.
� 2. Ejercicio completo de vectores aleatorios discretos.
� 3. Ejercicio completo de vectores aleatorios continuos.
� 4. Bibliografía.
1Introducción a las
Variables Aleatorias Bidimensionales
Introducción a V.A.B.� Se trata de variables que surgen cuando se estudian dos características asociadas a
un experimento aleatorio.
� En determinadas ocasiones hay que trabajar en espacios de más de una dimensión,
estableciendo aplicaciones que transforman los sucesos elementales del
experimento aleatorio en puntos del espacio bidimensional.
� También nos puede llegar a interesar estudiar conjuntamente dos características del
fenómeno aleatorio, es decir, estudiar el comportamiento conjunto de dos V.A. para
intentar explicar la posible relación entre ellas. Para ello es necesario conocer la
distribución de probabilidad conjunta.
Ejemplo de gráfica de V.A.B
���, �� = �� � � Ω |���� ≤ �, ���� ≤ �}�
Árbol de V.A.B.
Concepto de V.A.B.� Una variable aleatoria bidimensional es un vector de dos dimensiones cuyos
componentes son variables aleatorias: (X,Y)
� Se clasifican dependiendo de como sean las
variables aleatorias en:
� Discretas: Son aquellas variables que toman
valores finitos en la que existe una función de
probabilidad (masa) conjunta.
� Continuas: Son aquellas variables para las cuales
existe una función de densidad conjunta que
expresa su probabilidad asociada.
V.A.B.D. (Caso discreto)� En las VABD, la masa de probabilidad se encuentra distribuida en un conjunto de
puntos finito o numerable. El par (X,Y):
� La función de distribución se puede calcular sumando las probabilidades de los
puntos incluidos en un intervalo.
� Para cada valor posible (Xi, Yj) podemos asociar un número
con Función de Probabilidad Conjunta, que satisface:
Ejemplo de tabla de frecuencias relativas
��� , �� � � = 1, … , �; � = 1, … , �
��� = ��� = �� , � = �� �
V.A.B.C. (Caso continuo)� Las variables continuas, se caracterizan por tener su masa de probabilidad
distribuida y se define la Función de Densidad Conjunta, f(x,y), satisfaciendo las
siguientes propiedades:
� Para laV.A.B.D. (X,Y) se define su Función de Distribución en:
donde f es la Función de Densidad, si la Función de Distribución tiene segundas
derivadas se cumplirá que:
Ejemplo de representación gráfica
���, �� = ��� ≤ �, � ≤ �� = ��−∞ � �!, "�#!#"�
−∞
V.A.B. (Resumen Casos)
Distribuciones Marginales� Una distribución marginal se obtiene al considerar la distribución
de una de las dos variables de unaV.B, ignorando la otra.
� Las Distribuciones Marginales de X e Y , están dadas por:
◦ Caso Discreto:
◦ Caso Continuo:
Distribuciones Condicionadas
� La distribución condicional
de la variable aleatoria Y ,
cuando X = x, viene dada por:
� La distribución condicional
de la variable aleatoria X ,
cuando Y = y, viene dada por:
Analizaremos el comportamiento de una de las variables cuando la otra toma un determinado valor:
Independencia entre V.A.B.� Siendo X e Y dos variables aleatorias, discretas o continuas, con
Distribución de Probabilidades f(x, y) y Distribuciones marginales
g(x), h(y), diremos que X eY son estadísticamente independientes
si y sólo si,
� Para todo (x, y) en su dominio
de definición. En caso contrario
serán dependientes.
� Este concepto se puede
generalizar para el caso de
n variables aleatorias.
Esperanza
Varianza
Covarianza� Es la medida de asociación lineal más simple entre dos variables.
$%�& = ' �� · ��� = ���)�=1
Caso discreto Caso continuo
$%�& = ' �� · ��� = �� �)� =1
*� = $%�& = � � · +� ��� · #�+∞−∞
*� = $%�& = � � · +� ��� · #�+∞−∞
$%�2& = ' ��2 · ��� = �� �)�=1
$%�2& = ' ��2 · ��� = �� �)� =1
./0%�& = $%�2& − �$%�&�2 ./0%�& = $%�2& − �$%�&�2
12"%�, ��& = $%��& − $%�& · $%�&
$%��& = � � ��+∞−∞ · ���� #�#�+∞
−∞
Caso discreto Caso continuo
$%�2& = � �2+∞−∞ · ��� #�
$%�2& = � �2+∞−∞ · ��� #�
$%��& = ' �� · ��� ��, ����,��
Cambio de Variables (Z)
Solo para caso continuo
� Tiene como objetivo obtener la caracterización de Z a partir de la
X e Y definiendo la Función de Distribución:
siendo
� El procedimiento a seguir será calcular fz(z) y Fz(z):
� 1. Calcular la probabilidad con:
� 2. Utilizar la Función H(y) si lo que te están pidiendo es por
ejemplo: y sustituir en la Fz(z).
� Hallar la función de densidad fz(z) = F´z(z)
�3�3� = ��4 ≤ 3� = ��53� = 6 �, �53 ��, ��#�#�
53 = ��, �� � 72 +. 9. :��, �� ≤ 3}
�3�3� = ��4 ≤ 3�
4 = 5 − �2
2Ejemplo de ejercicio de
V.A.BDiscretas
Ejercicio de V.A.B.D
Sea X la variable aleatoria el número de consultores de Informática de una empresa
e Y el número de consultores que pertenecen al departamento de Continuidad, en
la que se detalla la siguiente tabla de consultores sabiendo que dicha empresa tiene
9 sedes en total:
a) Calcular la función de masa conjunta.
b) Calcular las distribuciones marginales de X eY.
c) ¿Son dependientes o independientes?
d) Calcular las distribuciones condicionadas.
e) Hallar para X eY: la Esperanza, Varianza y Covarianza.
X\Y 0 1 21 2 1 02 1 2 03 0 1 2
Ejercicio de V.A.B.Da) Calcular la función de masa conjunta.
Nos apoyamos en los datos del enunciado y completamos la tabla para X e Y añadiendo las 9 sedes:
X\Y 0 1 21 2/9 1/9 02 1/9 2/9 03 0 1/9 2/9
X\Y 0 1 2 P(X=x)1 2/9 1/9 0 3/92 1/9 2/9 0 3/93 0 1/9 2/9 3/9
P(Y=y) 3/9 4/9 2/9 1
b) Calcular las distribuciones marginales de X e Y.
Completamos la tabla con las funciones de masa marginales, sumando cada fila de X y cada columna de Y. El resultado de la suma de ambas variables tiene que dar 1, sino estarían mal las operaciones:
Ejercicio de V.A.B.DPara X tenemos la siguiente tabla: (función de masa)
X 1 2 3Px 3/9 3/9 3/9
La función de distribución sería la siguiente: (se van sumando los valores de X)
�� ��� = < 0 >� � < 1 3/9 >� 1 ≤ � < 2 6/9 >� 2 ≤ � < 31 >� � > 3 E
Esta sería su gráfica:
Ejercicio de V.A.B.DPara Y tenemos la siguiente tabla: (función de masa)
Y 0 1 2Py 3/9 4/9 2/9
La función de distribución sería la siguiente: (se van sumando los valores de Y)
�� ��� = < 0 >� � < 0 3/9 >� 0 ≤ � < 1 7/9 >� 1 ≤ � < 21 >� � > 2 E
Esta sería su gráfica:
Ejercicio de V.A.B.Dc) ¿Son dependientes o independientes?.
Para saber si son dependientes o independientes se tiene que cumplir esta condición de independencia:
Elegimos un valor cualquiera de la tabla de distribuciones marginales por ejemplo x=1 , y=2 y hallamos lo que vale según la fórmula anterior:
Pxy(1,2) = 0Px(1) � Py(2) = 3/9 � 2/9 = 6/9
Puesto que 0 ≠ 6/9 podemos decir que no cumple la condición, por tanto son dependientes.
��� ��, �� = �� ��� · �� ���
d) Calcular las distribuciones condicionadas.
La probabilidad Py/x (� /x=a) solo está definida si Px(a) ≠ 0, o sea no se incluyen los ceros que tenemos en la tabla.
Py/x (y/x=a) para a= 1, 2, 3
Px/y (x/y=b) para b= 0, 1, 2
Ejercicio de V.A.B.DLa probabilidad Py/x (� /x=a) :solo está definida si Px(a) ≠ 0, o sea no se incluyen los ceros que tenemos en la tabla.
Py/x (y/x=a) para a = 1, 2, 3
Px/y (x/y=b) para b = 0, 1, 2
GHHHIHHHJ� K1 � = 0L M = 2 9L3 9L = 2 3L
� K2 � = 0L M = 1 9L3 9L = 1 3L � K3 � = 0L M = 03 9L = 0
E
Estos serían los resultados de las condicionadas:
GHHHHIHHHHJ� K1 � = 1L M = 1 9L4 9L = 1 4L
� K2 � = 1L M = 2 9L4 9L = 1 2L � K3 � = 1L M = 1 9L4 9L = 1 4L
GHHHIHHHJ� K1 � = 2L M = 02 9L = 0
� K2 � = 2L M = 02 9L = 0 � K3 � = 2L M = 2 9L2 9L = 1
E
GHHHIHHHJ� K0 � = 1L M = 2 9L3 9L = 2 3L
� K1 � = 1L M = 1 9L3 9L = 1 3L � K2 � = 1L M = 03 9L = 0
E
GHHHIHHHJ� K0 � = 2L M = 1 9L3 9L = 1 3L
� K1 � = 2L M = 2 9L3 9L = 2 3L � K2 � = 2L M = 03 9L = 0
GHHHIHHHJ � K0 � = 3L M = 03 9L = 0
� K1 � = 3L M = 1 9L3 9L = 1 3L � K2 � = 3L M = 2 9L3 9L = 2 3L
Ejercicio de V.A.B.De) Hallar para X e Y: La Esperanza, Varianza y Covarianza.
Estos serían los resultados para la X:
$%�& = ' �� · ��� = ���)�=1 = 1 · 1 3L + 2 · 1 3L + 3 · 1 3L = 6 · 1 3L = O
$%�2& = ' ��2 · ��� = ��� =)�=1 12 · 1 3L + 22 · 1 3L + 32 · 1 3L = 1 3L + 4 3L + 9 3L = 14 3L
./0%�& = $%�2& − �$%�&�2 = 14 3L − �2�2 = O PL
ESPERANZA E[X]:
VARIANZA Var[X]:
Estos serían los resultados para la Y:
./0%�& = $%�2& − �$%�&�2 = 4 3L − 8 9L = R SL
ESPERANZA E[Y]:
VARIANZA Var[Y]:
$%�& = ' �� · ��� = �� � = 0 · 3 9L + 1 · 4 9L + 2 · 2 9L = 4 9L + 4 9L = T SL)� =1
$%�2& = ' ��2 · ��� = �� � = 02 · 3 9L + 12 · 4 9L + 22 · 2 9L = 0 + 4 9L + 8 9L = 4 3L)� =1
Ejercicio de V.A.B.DCOVARIANZA:
12"%�, ��& = $%��& − $%�& · $%�&
$%��& = ' �� · ��� ��, ����,�� = 1 · 1 · 1 9L + 2 · 1 · 2 9L + 3 · 1 · 1 9L + 3 · 2 · 2 9L = 20 9L
En estos cálculos no están incluidas las combinaciones cuando x=0 , y=0 o cuando aparezca algún cero en la tabla, ya que el resultado sería 0.
Por tanto,
12"%�, ��& = 20 9L − �2 · 8 9L � = R SL
3Ejemplo de ejercicio de
V.A.BContinuas
Ejercicio de V.A.B.CUn empresario desea montar una empresa de Informática. El negocio tendrá dos áreas
bien diferenciadas, una es el desarrollo de software y otra es la venta y mantenimiento de
ordenadores. Para ello ha realizado un estudio sobre la demanda de mercado en una zona
concreta de Madrid orientado a su negocio y como resultado se deduce que la demanda
conjunta semanal tiene la siguiente densidad:
a) Hallar k para que f(x,y) sea función de densidad.
b) Calcular las densidades marginales de X eY.
c) ¿Son dependientes o independientes?
d) Calcular las densidades condicionadas.
e) Calcular las funciones de distribución de F(xy), G(x) y H(y).
f) Hallar para X eY: la Esperanza, Varianza y Covarianza.
g) Consideremos Z= X+4 Calcular Fz(z).
�,� ��, �� = U)� >� 0 < � < � < 20 VW V� 0V>+2 E
Ejercicio de V.A.B.Ca) Hallar k para que f(x,y) sea función de densidad.
Tenemos que tener en cuenta lo siguiente:
Gráfica de la función:
� � ��, ��+∞−∞ #�#� = 1+∞
−∞
� � )��0 #�#� = � ) %��&0�2
0 #� = ) � �220 #� = )2
0 %�33 &02 = ) · 83 = 1 ; X = PT
Ejercicio de V.A.B.Cb) Calcular las densidades marginales de X e Y.
Estos serían los resultados para la X:
Estos serían los resultados para la Y:
:��� = � ��, ��#� =∞−∞ � 38 · � #� = 38 · � %�&0� = PT · YO�
0
ℎ��� = � ��, ��#� =∞−∞ � 38 · � #� = 38 · %�22 &�2 = 38 · [4 − �22 \ = P]^ · �R − _O�2
�
:��� = <38 �2 >� 0 < � < 20 VW V� 0V>+2
E
ℎ��� = < 316 �4 − �2� >� 0 < � < 20 VW V� 0V>+2
E
Para saber si son dependientes o independientes se tiene que cumplir esta condición de independencia:
Considerando que x ≠ 0, podemos coger los valores x=1.5 e y=1 (1.5 , 1):
Ejercicio de V.A.B.C
38 · � ≠ 38 · �2 · 316 · �4 − �2�
c) ¿Son dependientes o independientes?.
��, �� = :��� · ℎ���
38 · 1.5 ≠ 38 · 1.52 · 316 · �4 − 12� = 916 ≠ 243512
Puesto que no son iguales, podemos decir que no cumple la condición, por tanto son dependientes.
d) Calcular las densidades condicionadas.
ℎ��|�� = ��, ��:��� = K3�8 M ∶ [3�28 \ = 24�24�2 = 1� Condicionada de Y por X cuando g(x) > 0:
g��|�� = ��,��ℎ��� = b3�8 c ∶ b3·�4−� 216 c = �2 �4−� 2� Condicionada de X por Y cuando h(y) > 0:
Para X:
Ejercicio de V.A.B.Ce) Calcular las funciones de distribución de F(xy), G(x) y H(y).
d��� = � �+�#+ =�−∞ � 38 · +2 #+ = 38 · %+33 &0� = 38 · [�33 \ = YPT�
0 d��� =GHIHJ 0 >� � ≤ 0
�38 >� 0 < � < 21 >� � ≥ 2
E
Para Y:
f��� = � �+�#+ =�−∞ � 316 · �4 − +2� #+ = 316 · %4+ − +33 &0� = P]^ · [R_ − _PP \�
0 f��� =GHIHJ 0 >� � ≤ 0
P]^ · KR_ − _PP M >� 0 < � < 2
1 >� � ≥ 2E
Para (X,Y):
�,� ��, �� = U)� >� 0 < � < � < 20 VW V� 0V>+2 E
���, �� =
GHHHHIHHHHJ 0 >� � ≤ 0 ó � ≤ 0
� � 38 · + #! #+ >� � ≥ �+0
�0
� � 38 · + #! #+ + � � 38 · + #! #+ �0
�� >� � > �+
0�
01 >� � ≥ 2
E
Ejercicio de V.A.B.Cf) Hallar para X e Y: La Esperanza, Varianza y Covarianza.
Estos serían los resultados para la X:
./0%�& = $%�2& − �$%�&�2 = 12 5L − �3 2L �2 = P OhL
ESPERANZA E[X]:
VARIANZA Var[X]:
Estos serían los resultados para la Y:
ESPERANZA E[Y]:
VARIANZA Var[Y]:
$%�& = � �+∞−∞ · ��� #� = � �2
0 · 316 �4 − �2�#� = 316 �20 �4� − �3�#� =
= 316 %4�22 − �44 &02 = 316 %2�2 − �44 &0
2 = 316 [2. 22 − 244 \ = 316 · �8 − 4� = PR
$%�& = � �+∞−∞ · ��� #� = � �2
0 · 38 �2#� = �20
38 �3#� = 38 %�44 &02 = 38 · 164 = 4832 = PO
$%�2& = � �2+∞−∞ · ��� #� = � �22
0 · 38 �2#� = 38 %�55 &02 = 38 · 325 = ]Oi
$%�2& = � �2+∞−∞ · ��� #� = � �22
0 · 316 �4 − �2�#� = 316 �20 �4�2 − �4�#� =
= 316 %4 �33 − �55 &02 = 316 K4 · 83 − 325 M = 316 · 6415 = Ri
./0%�& = $%�2& − �$%�&�2 = 4 5L − �3 4L �2 = ]S ThL
Ejercicio de V.A.B.CCOVARIANZA:
12"%�, ��& = $%��& − $%�& · $%�&
Por tanto,
12"%�, ��& = 6 5L − [3 2L · 3 4L \ = 6 5L − 9 8L = P RhL
$%��& � � �� · 38�0 · � #�#� = 38 �2
0 � �2�0 · � #�#� = 38 � �2 j�22 k0
� #� =202
0
38 � �2 · �22 #� =20
38 � �4 · 12 #� =20 = 316 · j�55 k0
2 = 316 · K325 M = i
Ejercicio de V.A.B.Cg) Consideremos Z= X+4 Calcular Fz(z).
�3�4� = ��4 ≤ 3� = ��� + 4 ≤ 3� = ��� ≤ 3 − 4� = �� �3 − 4�
Por tanto,
�3 �4� = �� �3 − 4�
Sustituimos x por z-4 en F(x):
�3�4� =GHIHJ 0 >� 3 − 4 ≤ 0
�3 − 4�38 >� 0 < 3 − 4 < 21 >� 3 − 4 ≥ 2
E
3 − 4 ≤ 0 ; 3 ≤ 4
3 − 4 ≥ 2 ; 3 ≥ 60 ≤ 3 − 4 ≤ 2 ; l0 ≤ 3 − 4 ; 4 ≤ 33 − 4 ≤ 2 ; 3 ≤ 6E | 4 ≤ 3 ≤ 6E
4Bibliografía
Bibliografía� Apuntes de clase de Estadística.
� Clases Online impartidas por el profesor con otros ejemplos prácticos.
� Investigación:
◦ Página Web de donde he extraído algunos diagramas:
� http://www.ugr.es/~metcuant/asignaturas/docencia/Tc-i/mapasconceptuales/tema10/vab0.htm
◦ Teoría:
� http://es.scribd.com/doc/53190552/127/Variables-Aleatorias-Bidimensionales
� http://ocw.unican.es/ensenanzas-tecnicas/teoria-de-la-comunicacion/material-de-clase-
2/TC_Tema_4.pdf
� http://www.ayudamemondon.cl/archivos/3_Variables_Aleatorias_Bidimensionales_y_de_Mayor_Dime
nsion.pdf
◦ Ejemplos de ejercicios:
� http://www.emp.uva.es/inf_acad/hermer/estad2/material/e2ex_resu_varios.pdf