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Variables Aleatoria Continua

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Variable Aleatoria Continua

Se dice que una v.a. X es continua si su conjunto de posibles valores es todo un

intervalo de números,

esto es,

si para algunos números A < B, cualquier número x entre A y B es posible.

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Variable Aleatoria Continua

Ejemplos de variables aleatorias continuas.

A) La alturas de los hombres mexicanos entre 21 y 40 años

B) El monto de la cartera vencida.

C) El porcentaje de ganancia de cierta inversión.

D) La proporción de ciertos artículos defectuosos.

E) El próximo precio cotizado de las acciones de Industrias X.

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Variable Aleatoria Continua

P(aX b)

b xa

f(x)

b

adxxfbXaP )()(

5

Variable Aleatoria Continua

Para que f(x) sea una fdp legítima:

.1)( gráfica la todabajo área)( .2

. todapara 0)( .1

xfdxxf

xxf

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Variable Aleatoria Continua

manera otra de0

5051

)( xxf

Ejercicio:

Todos los días esperas el autobús para ir a la escuela y cada 5 min. pasa un autobús por la esquina. No siempre llegas a la esquina a la misma hora, ni los autobuses tampoco, así que el tiempo de espera X es una variable aleatoria continua con fdp:

51

0 5

¿Cuál es la probabilidad de tener que esperar entre 1 y 3 minutos?

Distribución uniforme continua

R: 0.40

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Variable Aleatoria Continua

)()()()(

bXaPbXaPbXaPbXaP

Si X es una v.a. continua, entonces, para cualquier número c:

0)( cXP

Además, para cualesquiera dos números a y b, con a < b:

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Variable Aleatoria Continua

manera otra de0

22)4(323

)(2 xxxf

Ejercicio:

Suponga que el error al pronosticar el PIB es una v.a. X continua con fdp:

a) Trace f(x)

b) Hallar P(-1 < X < 1)

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Valor esperado

dxxfxXEX )()(

El valor esperado de una v.a. X continua con fpd f(x) es:

dxxfxhXhEXh )()())(()(

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Varianza

dxxfxXEXVX )()()()( 222

)()()( 22 XEXEXV

La varianza de una v.a. X continua con fpd f(x) es:

La desviación estándar es: )(XVX

Al igual que en el caso discreto, también puede utilizarse la fórmula abreviada:

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Media y Varianza

manera otra de0

5051

)( xxf

Ejercicio: Calcule la media, varianza y desviación estándar del tiempo de espera del autobús:

R: 2.5, 2.08333, 1.4434

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manera otra de0

2083

81

)( xxxf

Suponga que la fdp de la magnitud X de una deuda (en millones de pesos) está dada por:

a) Calcular P(1 ≤ X ≤ 1.5).b) Calcular la probabilidad de que la deuda exceda 1 millón de

pesos.c) Hallar E(X)d) Hallar la desviación estándar.

e) Los intereses anuales de la deuda están de acuerdo a la función C(x) = 1 + 0.01x. Encontrar el valor esperado de los intereses.

a) 0.2969 b) 0.6875c) 1.25d) 0.5204e) 1.0125

Variable Aleatoria Continua

Variable Aleatoria Continua

13

21

0 2

f(x)

x0 2

f(y)

y

1

¿Cuál variable aleatoria, X o Y, tiene menor varianza?

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Media y Varianza

manera otra de0

21112)( 2 xxxf

Ejercicio: La demanda semanal de gas propano (en miles de galones) de una distribuidora en particular es una v.a. X con fdp:

a) Hallar P(X > 1.5)

b) Hallar E(X), V(X) y desviación estándar.

R: a) 0.66

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Se dice que una variable aleatoria continua X tiene una distribución uniforme en el intervalo [a, b] si la función de densidad de probabilidad de X es:

Distribución Uniforme

abxf

1)( bxa si

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Distribución Uniforme

El tiempo que se tarda un artista en terminar un dibujo a lápiz es una variable aleatoria con distribución uniforme entre 20 y 40 min.

Calcula:

1) La probabilidad de que se tarde no más de 35 minutos.2) La probabilidad de que se tarde más de 32 minutos.3) La probabilidad de que se tarde entre 25 y 30 minutos.4) El tiempo promedio que se tarda.

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Distribución NORMAL

xexf

x

2

1)( 2

2

2)(