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7/25/2019 Valor Medio de Una Función
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Unidad 2. Aplicación de la integración
Actividad 4. Valor medio de una función
TEOREMA DEL VALOR MEDO !ARA "TE#RALE$
Este teorema es importante porque asegura que una función continua en un intervalocerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto.• Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe un número c en este intervalo tal
que
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Demostración:
!rimer ca%o: Si f es constante en el intervalo [a, b] el resultado es trivial puesto que cpuede ser cualquier punto.
$egundo ca%o: Si f no es constante en [a, b] elegimos m ! como el menor maor valor que toma f en el intervalo. "ado que m # f$x% # ! & x ' [a, b] por el teorema deconservación de desigualdades. (plicando propiedades:
entonces
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"ado que f es continua el teorema del valor intermedio asegura que f alcanza cada valor entre su m)nimo su m*ximo. +or lo tanto permite deducir que debe alcanzar el valor
en algún punto c del intervalo. [a, b]. ueda demostrado que existe algún c tal que
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nterpretación gr&fica del teorema para una función po%itiva:
rect*ngulo inscripto $*rea menor que la dela región%
rect*ngulo del valor medio $*rea igual quela de la región%
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rect*ngulo circunscripto $*rea maor que la de la región%
El valor de c no es necesariamente único. Este teorema no especifica cómo determinar c.Solamente garantiza la existencia de algún número c en el intervalo. +ermite unainterpretación interesante para el caso en que f es no negativa en [a, b]. En este caso
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es el *rea ba-o la gr*fica de f entre a b. El teorema asegura que existe un valor c delintervalo al que est* asociado f$c% que corresponde a la altura del rect*ngulo de longitudde la base $b a% su *rea coincide con la de la región.
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El valor de f$c% /allado según el teorema del valor medio para integrales coincide con elvalor promedio o medio de una función por eso a
se le llama valor medio de f en el intervalo [a, b].
'one(ión )ue e(i%te entre el Teorema del valor medio del c&lculo diferencial * delc&lculo integral.
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a bcb
f$b% 0 f $a%
b 0 a
Si tenemos una función 1 continua en el intervalo cerrado [a, b] adem*s es diferenciableen el intervalo abierto $a, b% entonces existe un número c tal que:a 2 c 2 b la derivada de la función en ese punto ser*:
3r*ficamente lo podemos representar de la siguiente manera:
"e esta grafica se desprende la definición del valor promedio de una función
4 podemos ver la relación de
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4 si nombramos a una función g$x% 5 f6$x% podemos reescribir la expresión de la siguientemanera:
que resulta ser el 7eorema del valor medio para integrales.
g$x% es continua en [a, b], entonces existe c tal que g$c% 5 gpromedio