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UNIVERSIDAD ABIERTA INTERAMERICANA 23 DE JUNIO DE 2012
LA MECÁNICA CUÁNTICALA MECÁNICA CUÁNTICAEN LA PROFESIÓN DEL EN LA PROFESIÓN DEL
INGENIERO EN SISTEMASINGENIERO EN SISTEMAS
23/06/121
CONTEXTO HISTÓRICO
23/06/12
Estado de la Física hacia 1900
• Fines del siglo XIX y principios del XX, la Física reina absoluta
• Newton había sentado las bases de la mecánica y la gravitación
• Adams y Le Verrier predicen la existencia de Neptuno (1846)
• Maxwell sintetiza las leyes del Electromagnetismo
• Determinismo clásico
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CONTEXTO HISTÓRICO
23/06/12
Max Planck
hnE h = 6,6x10 -34 J.sPremio Nobel de Física 1918
Albert Einstein
hE h
p
Carácter dual (onda-partícula) de la luz.
La energía de un cuerpo negro incandescente se emite sólo como múltiplo de una cantidad elemental.
Premio Nobel de Física 1921
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CONTEXTO HISTÓRICO
23/06/12
Louis De Broglie: Premio Nobel de Física 1929
hE
La materia, que “indudablemente” se propaga como una partícula, a veces se comporta como onda
Niels Bohr: Premio Nobel de Física 1922
Principio de complementariedad : Onda y partícula son aspectos complementarios, aunque incompatibles, de la misma cosa y de la misma situación real.
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CONTEXTO HISTÓRICO
23/06/12
08 2
2
2
2
qVE
qm
h Ecuación de onda
Premio Nobel de Física 1932
Premios Nobel de
Física 1933
Erwin Schrödinger
Paul Dirac
Werner Heisenberg
Principio de incertidumbre
Notación bra-ket
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INTUICIÓN Y MECÁNICA CUÁNTICA
“ Las idealizaciones más o menos esquemáticas que construye nuestro espíritu son susceptibles de representar ciertos aspectos de las cosas, pero entrañan limitaciones y no pueden contener en sus marcos rígidos toda la riqueza de la realidad.“
Louis de Broglie
“Creo que puedo afirmar con seguridad que nadie entiende la mecánica cuántica.“
Richard P. Feynman
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INTUICIÓN Y MECÁNICA CUÁNTICA
23/06/12
h = 6,6x10 -34 J.s
energía
energía x tiempo = acción
“En la evolución de ningún sistema físico la acción toma un valor menor que h.”
“En ningún sistema físico la materia (o energía) se mueve con velocidad superior a c=3x108 m/s (velocidad de la luz)”
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INTUICIÓN Y MECÁNICA CUÁNTICA
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LA MECÁNICA CUÁNTICA EN LA INFORMÁTICA ACTUAL
SEMICONDUCTORES
LÁSER
DISPOSITIVOS DE EFECTO “TÚNEL”
MAGNETO RESISTENCIA GIGANTE
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LA MECÁNICA CUÁNTICA EN LA INFORMÁTICA FUTURA
SPINTRÓNICA
MOLTRÓNICA
NANOTECNOLOGÍA
ENCRIPTAMIENTO CUÁNTICO
COMPUTACIÓN CUÁNTICA
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COMPUTACIÓN CUÁNTICA
Es importante para la comunidad de científicos computacionales entender estos nuevos desarrollos ya que ellos pueden cambiar radicalmente nuestra manera de pensar sobre computación, programación y complejidad. (Eleanor Rieffel)
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ARGUMENTO EPR
LC = La Lógica Clásica es correcta
FMQ = El formalismo de la Mecánica Cuántica es correcto
REA = Posición realista «débil»
COM = La Mecánica Cuántica es completa
SEP = Los sistemas cuánticos son separables
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ARGUMENTO EPR
(¬LC V¬FMQ V¬REA V¬COM V¬SEP)
23/06/12 La Mecánica Cuántica en la profesión del Ingeniero en SistemasLa Mecánica Cuántica en la profesión del Ingeniero en Sistemas
T
13
ARGUMENTO EPR
(REA ΛSEP) → ∆Bell≥2
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Ideas Básicas Sobre Ideas Básicas Sobre Mecánica CuánticaMecánica Cuántica
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23/06/12
IDEAS BÁSICAS SOBRE MECÁNICA CUÁNTICA
¿Por qué la Cuántica confunde nuestra ¿Por qué la Cuántica confunde nuestra percepción Clásica del mundo?percepción Clásica del mundo?
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23/06/1217
IDEAS BÁSICAS SOBRE MECÁNICA CUÁNTICA
Cuántica:Cuántica:
Estados !=
Observables !=
Colapso !=
Clásica:Clásica:
Estados
Observables
¡¿WTF?!
Comentarios sobre la Confusión
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23/06/1218
IDEAS BÁSICAS SOBRE MECÁNICA CUÁNTICA
En Cuántica:En Cuántica:
Estados:Estados:
Observables: Observables:
nn ...2211
pP
Comentarios sobre la Confusión
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23/06/1219
IDEAS BÁSICAS SOBRE MECÁNICA CUÁNTICA
Este principio se aplica a Este principio se aplica a pares de observablespares de observables. . Podemos decir que si los correspondientes operadores Podemos decir que si los correspondientes operadores no son conmutablesno son conmutables, entonces existe una , entonces existe una relación de relación de
incertidumbreincertidumbre entre esos observables. entre esos observables.
Principio de Incertidumbre
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Principio de Incertidumbre
23/06/1220
IDEAS BÁSICAS SOBRE MECÁNICA CUÁNTICA
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23/06/1221
IDEAS BÁSICAS SOBRE MECÁNICA CUÁNTICAPrincipio de Superposición
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23/06/1222
IDEAS BÁSICAS SOBRE MECÁNICA CUÁNTICA
¡Deberíamos ver esto!¡Deberíamos ver esto!
Principio de Superposición
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23/06/1223
IDEAS BÁSICAS SOBRE MECÁNICA CUÁNTICA
Lo que veríamos en realidad es un Lo que veríamos en realidad es un gato vivogato vivo o un o un gato muertogato muerto con igual probabilidad. con igual probabilidad.
Principio de Superposición
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23/06/1224
IDEAS BÁSICAS SOBRE MECÁNICA CUÁNTICAEntrelazamiento
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23/06/1225
IDEAS BASICAS SOBRE MECANICA CUANTICA
Es claro que tenemos un par de objetos con Es claro que tenemos un par de objetos con una relación singular.una relación singular. Es posible tener acciones a distancia entre Es posible tener acciones a distancia entre estos objetos.estos objetos. El colapso del sistema en uno de los objetos El colapso del sistema en uno de los objetos determina al otro.determina al otro.
Entrelazamiento
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23/06/1226
IDEAS BÁSICAS SOBRE MECÁNICA CUÁNTICA
Otro aspecto del entrelazamiento es Otro aspecto del entrelazamiento es que podría utilizarse eludir el que podría utilizarse eludir el principio principio
de incertidumbrede incertidumbre. .
Entrelazamiento
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23/06/1227
IDEAS BÁSICAS SOBRE MECÁNICA CUÁNTICA
Entrelazamiento
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Cuántica en el Hardware Actual
23/06/1228 La Mecánica Cuántica en la profesión del Ingeniero en SistemasLa Mecánica Cuántica en la profesión del Ingeniero en Sistemas
Cuántica en el Hardware Actual
23/06/1229
IncertidumbreGeneralidades:http://www.imsc.res.in/~rsidd/papers/uncert.pdfRelación con computación cuántica:http://io9.com/5602933/quantum-computers-could-overturn-heisenbergs-uncertainty-principleThe uncertainty principle in the presence of quantum memory. Nature physics [1745-2473] Berta, M yr:2010 vol:6 iss:9 pg:659.
Superposición:Generalidades:http://valor_es.blogia.com/2010/012705-el-gato-de-schrodinger-superposicion-cuantica-observacion-y-decoherencia.phphttp://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_superpositionRelación con computación cuántica:http://phys.org/news11087.html
Entrelazamiento:Generalidades:http://plato.stanford.edu/entries/qt-entangle/http://www.scientificamerican.com/article.cfm?id=room-temperature-entanglementRelación con computación cuántica:http://eprints.soton.ac.uk/257639/1/097-116.pdf
Cuántica y hardware actual:Generalidades:Materiales de la catedra EES2. Transistores, compuertas lógicas, microprocesadores, memoria RAM.Relación con computación cuántica:Existen más fenómenos cuánticos que pueden ofrecer nuevos horizontes en computación.
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23/06/1230 La Mecánica Cuántica en la profesión del Ingeniero en SistemasLa Mecánica Cuántica en la profesión del Ingeniero en Sistemas
COMPUTACIÓN CUÁNTICA
23/06/1231 La Mecánica Cuántica en la profesión del Ingeniero en SistemasLa Mecánica Cuántica en la profesión del Ingeniero en Sistemas
Nuevo paradigma de computación diferente a la clásicaSe basa en el uso de Qubits en vez de BitsCambia la forma de realizar las tareas, aprovechando el paralelismo cuánticoLos algoritmos cuánticos utilizan el concepto de superposición de estadosSe modifica la complejidad de las tareas, haciendo abordables problemas clásicamente intratables
INTRODUCCION A LA COMPUTACION CUÁNTICA
23/06/1232
QUBIT
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Bit: Unidad clásica de informaciónToma los valores 0 ó 1Qubit: Quantum bitUnidad cuántica de informaciónSistema cuántico que puede tomar los valores |0> ó |1> al ser observado, perose encuentra en una superposición de ambos estados |Ψ> = a |0> + b |1>con |a|2 + |b|2 = 1donde |0> y |1> es una base ortonormal del espacio vectorial (de dimensión 2) del qubit
23/06/1233
OPERACIÓN DE MEDICIÓN
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Al medir (observar) un qubit, colapsa su función de onda: el qubit toma un valor determinado, dejando el estado de superposición en que se encontraba.
Si se mide en la base {|0>, |1>}M (a |0> + b |1>) dará por resultadoel estado |0> con probabilidad |a|2 óel estado |1> con probabilidad |b|2
23/06/1234
SISTEMA CLÁSICO
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Un sistema clásico de n partículas, con 2 grados de libertad para cada una, se describe indicando el estado de cada partícula en forma independiente.
El sistema se combina a través del producto cartesiano.
El sistema tendrá 2n grados de libertad.
23/06/1235
SISTEMA CUÁNTICO
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Un sistema cuántico de n partículas, cada una representada en un espacio vectorial de 2 dimensiones, no puede describirse siempre considerando sus componentes en forma independiente.El sistema se combina a través del producto tensorial.Aparecen estados entrelazados. El sistema tendrá 2n grados de libertad.
23/06/1236
PRODUCTO CARTESIANO vs. TENSORIAL
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Sean 2 espacios vectoriales de dimensión 2, con bases {v1, v2} y {w1, w2}
El producto cartesiano conduce a un espacio vectorial con base{v1, v2, w1, w2}
El producto tensorial conduce a un espacio vectorial con base{v1 w1, v1 w2, v2 w1, v2 w2}
23/06/1237
MÚLTIPLES QUBITS
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El espacio de estado de 2 qubits, cada uno con base {|0>, |1>}, tiene base{|00>, |01>, |10>, |11>}(dimensión 22)El espacio de estado de 3 qubits, cada uno con base {|0>, |1>}, tiene base{|000>, |001>, |010>, |011>, |100>, |101>, |110>, |111>}(dimensión 23)Un registro de n qubits puede estar en un estado que es superposición de 2n estados !!Paralelismo cuántico en algoritmos de QC
23/06/1238
ENTRELAZAMIENTO DE DOS QUBITS
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El estado |Ψ> = α |00> + β |11> no puede provenir del producto tensorial de 2 qubits independientes(a |0> + b |1>) x (c |0> + d |1>) ≠ α |00> + β |11> Estos estados “extras” entrelazados (entangled) que no tienen análogo clásico conducen a la famosa paradoja de EPR, de “acciones instantáneas a distancia”, usados para la teleportación de estados cuánticos
23/06/1239
UN PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN DISCRETA
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Ejemplo simple: Encontrar los valores de seteo (si) de cada llave, para obtener un mínimo de E(s)
23/06/1240 La Mecánica Cuántica en la profesión del Ingeniero en SistemasLa Mecánica Cuántica en la profesión del Ingeniero en Sistemas
Ejemplo complejo: Encontrar los valores de seteo (si) de cada llave, para obtener un mínimo de E(s), pero ahora con un acoplamiento Ji,j entre las llaves
Con 500 llaves no alcanzaría el tiempo del Universo para probar las 2500
configuraciones posibles (pero con 500 Qubits podría resolverse...)
UN PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN DISCRETA
23/06/1241
REALIZACIÓN FISICA DE QUBITS – REQUERIMIENTOS
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Memoria confiable: Los Qubits deben mantener su estado cuántico (coherencia)Manipulación: Debe ser posible cambiar los estados de los Qubits individualmenteCompuertas Lógicas: Los Qubits deben poder relacionarse a través de operaciones lógicasAcoplamiento: Debe existir acoplamiento entre Qubits pero aislamiento del exterior
23/06/1242 La Mecánica Cuántica en la profesión del Ingeniero en SistemasLa Mecánica Cuántica en la profesión del Ingeniero en Sistemas
Iones en trampas al vacío, levitados eléctricamente, se comportan como pequeños imanes
Los estados |1> y |0> de cada Qubit corresponden a dos orientaciones posibles del momento magnético del ión
Los iones se manipulan utilizando lásers
REALIZACIÓN FISICA DE QUBITS – TRAMPA IÓNICA
23/06/1243 La Mecánica Cuántica en la profesión del Ingeniero en SistemasLa Mecánica Cuántica en la profesión del Ingeniero en Sistemas
Los núcleos atómicos de un grupo de moléculas en dilución, se comportan como pequeños imanes
Los estados |1> y |0> de cada Qubit corresponden a dos orientaciones posibles del momento magnético
Las moléculas se manipulan utilizando ondas de radio en equipos de RMN
REALIZACIÓN FISICA DE QUBITS – ESPINES NUCLEARES
23/06/1244 La Mecánica Cuántica en la profesión del Ingeniero en SistemasLa Mecánica Cuántica en la profesión del Ingeniero en Sistemas
Se establecen corrientes eléctricas en anillos superconductores micrométricos (interrumpidos por una o más junturas Josephson), a muy baja temperaturaLos estados |1> y |0> de cada Qubit corresponden a las orientaciones horaria y antihoraria del sentido de circulación de la corriente en el anillo superconductorLas corrientes se manipulan utilizando campos magnéticos y radiación de microondas
REALIZACIÓN FISICA DE QUBITS – FLUX QUBITS
23/06/1245 La Mecánica Cuántica en la profesión del Ingeniero en SistemasLa Mecánica Cuántica en la profesión del Ingeniero en Sistemas
Defectos cristalinos en diamantesPuntos cuánticosPolarización de fotonesSpin de electrones
REALIZACIÓN FISICA DE QUBITS – OTRAS PROPUESTAS
23/06/1246
HARDWARE CUÁNTICO
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1998: Isaac Chuang (Berkeley), primera computadora cuántica de 1 Qubit2001: IBM, Computadora cuántica de 7 Qubits con la que factorizaron el número 152005: Rainer Blatt (Innsbruck), Computadora cuántica de 8 Qubits2012: Jiangfeng Du (Universidad de Ciencia y Tecnología de Hefei, China), logran factorizar el número 143
23/06/1247
DWAVE
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Empresa canadiense establecida hace 10 años y liderada por Geordie RoseEn 2011 presentó DWave One, la primera “computadora cuántica” de 128 QubitsGran controversia: ¿Es realmente una computadora cuántica?”DWave asegura que lo esLos académicos lo dudanpero...
23/06/1248 La Mecánica Cuántica en la profesión del Ingeniero en SistemasLa Mecánica Cuántica en la profesión del Ingeniero en Sistemas
Lockheed Martin Corporation, fabricante del F35, adquirió en 2011 una DWave One por U$S 10 millones !!
DWAVE
23/06/1249
DWAVE ONE CARACTERÍSTICAS
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El sistema utiliza un procesador denominado Rainier (quantum annealing processor), compuesto por un circuito integrado superconductor con 128 Flux Qubits, que trabaja a 20 mKFunciona aplicando algoritmos basados en computación cuántica adiabática. La solución de un problema coincide con el estado de mínima energía del sistemaEstá diseñado para resolver problemas matemáticos de optimización discreta
23/06/1250 La Mecánica Cuántica en la profesión del Ingeniero en SistemasLa Mecánica Cuántica en la profesión del Ingeniero en Sistemas
CAD layout: En rosa los Flux Qubits, en amarillo las junturas Josephson, en verde los circuitos de control
Varios procesadores Rainier en una oblea. Cada procesador tiene cerca de 25000 junturas Josephson
DWAVE ONE CARACTERÍSTICAS
23/06/1251 La Mecánica Cuántica en la profesión del Ingeniero en SistemasLa Mecánica Cuántica en la profesión del Ingeniero en Sistemas
El sistema es refrigerado con helio líquido, a una temperatura de 20 mK
Se necesitan varias horas para alcanzar la temperatura de funcionamiento, que una vez alcanzada puede mantenerse por meses
Se mantiene aislado de campos magnéticos externos a través de un blindaje magnético con capacidad de filtrado mejor que 1 nT
DWAVE ONE CARACTERÍSTICAS
23/06/1252
DWAVE -VIDEO
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http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=PqSgmCg1kew
23/06/1253 La Mecánica Cuántica en la profesión del Ingeniero en SistemasLa Mecánica Cuántica en la profesión del Ingeniero en Sistemas
PROCESAMIENTO CUÁNTICO
CRIPTOGRAFÍA CUÁNTICA
COMPUTACIÓN CUÁNTICA
23/06/12
1981 Paul Benioff
Ley de Moore
Extenuación de la tecnología tradicional
Computación a nivel de cuanto
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COMPUTACIÓN CUÁNTICA
23/06/12
N bits N estados posibles 1 estado a la vez
N Qubits
Paralelismo cuánticoOperaciones
Estados
2NSuperposición
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COMPUTACIÓN CUÁNTICA
23/06/12
Computadora cuántica
ENTRADA SALIDAMEMORIA
ActualInicial Final
Modifica el estado
PROCESADOR
MÁQUINA DE ESTADO
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COMPUTACIÓN CUÁNTICA
23/06/12
Entrada
Salida
Sπß
ð
Comandos de prueba
Comandos de memoria
Programa π controlando una máquina M = (S, O, T, δ, β)
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COMPUTACIÓN CUÁNTICA
23/06/12
• S Espacio vectorial en el que opera el sistema cuántico. •O Conjunto de transformaciones determinísticas unitarias.
•T Conjunto de mediciones probabilísticas.
• δ Inicializador de la operación.
• β Descriptor de la medición final.
Comandos de memoria
Comandos de prueba
Ingresa el estado inicial
Muestra el estado final
M = (S, O, T, δ, β)
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COMPUTACIÓN CUÁNTICA
Elige su siguiente transición de manera uniformemente
aleatoria entre todas las opciones posibles.
23/06/12
Máquina probabilística
Para un mismo estado inicial no siempre entrega el mismo estado final
Computadora cuántica
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COMPUTACIÓN CUÁNTICA
23/06/12
Categorías del software
• Librerías de clases para lenguajes
clásicos.
• Paquetes para sistemas
algebraicos.
• Simuladores de circuitos
cuánticos.
• Simulación de hardware cuántico.
• Simulación de algoritmos.La Mecánica Cuántica en la profesión del Ingeniero en SistemasLa Mecánica Cuántica en la profesión del Ingeniero en Sistemas6
0
COMPUTACIÓN CUÁNTICA
23/06/12
Algoritmos probabilísiticos con alto grado de efectividad
de ShorFactorización de números grandes
de GroverBúsqueda cuántica de claves DES
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COMPUTACIÓN CUÁNTICA
23/06/12
Computador cuántico
30 Qubits
Procesador convencional
10 Teraflops
=
Procesador convencional
actual
10 Gigaflops
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PROGRAMACIÓN CUÁNTICA
23/06/12
• Constructivo
• Independiente de la arquitectura de hardware.
• Poseer diferentes niveles de abstracción
• Capacidades no-clásicas a nivel semántico
Lenguaje de programación cuántica
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PROGRAMACIÓN CUÁNTICA
23/06/12
• Operaciones unitarias reversibles
• Ubicuidad de los Qubits
• Estados no observables
• Mediciones destructivas
• Falta de una operación de borrado
Lenguaje de programación cuántica - Diseño
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PROGRAMACIÓN CUÁNTICA
23/06/12
Lenguaje de programación cuántica
Concepto clásico Analogía cuántica
Módelo clásico Arquitectura cuántica híbrida
Variables Registros cuánticos
Asignación de variables Compuertas elementales
Entrada clásica Mediciones cuánticas
Subrutinas Operadores
Tipode argumentos Tipos de datos cuánticos
Variables locales Registros a cero
Memoria dinámica Gestión de espacio cero
Expresiones booleanas Condiciones cuánticas
Ejecución condicional Operadores condicionales
Selección Sentencia cuántica IF
Bucles condicionales Bifurcación cuántica
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PROGRAMACIÓN CUÁNTICA
23/06/12
Paradigmas
Imperativo
Funcional
QCLQ-golqGCLQuantum
Lambda Calculi QML
Cambio de estado
Uso de funciones aritméticas
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PROGRAMACIÓN CUÁNTICA
23/06/12
• Alto nivel.
• Independiente de la arquitectura de hardware.
• Sintaxis derivada de lenguajes estructurados C, Java, Pascal.
Utiliza:•Variables y registros cuánticos•Compuertas elementales• Permite mediciones de qubit simple
QCL Quantum Computation Language
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PROGRAMACIÓN CUÁNTICA
23/06/12
QCL Quantum Computation Language
Sintaxis de procedimientosint cash;procedure roulette(int bet) {int n;input "pick a number:",n;cash=cash-bet;if n==floor(37*random()) { cash=cash+36*bet; };}
Sintaxis de funcionesint fibonacci(int n) { if n<2 { return 1; } else {
return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2); }}
Ejemplo de declaraciónqcl> const pi = 3.141592653589793238462643383279502884197;qcl> const I = (0,1);qcl> complex z=exp(I*pi/4);qcl> string msg="Hello World";qcl> real vector v[3]; // v is initialized with [0,0,0]
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PROGRAMACIÓN CUÁNTICA
23/06/12
Arquitectura cuántica híbrida
Lenguaje de programación cuántica
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CRIPTOGRAFÍA CUÁNTICA
23/06/12
Sistemas de clave pública y privada
Sólo aplicable al intercambio inicial de clave
Exige red de fibra óptica
Canal cuántico unidireccional
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CRIPTOGRAFÍA CUÁNTICA
23/06/12 La Mecánica Cuántica en la profesión del Ingeniero en SistemasLa Mecánica Cuántica en la profesión del Ingeniero en Sistemas71
CRIPTOGRAFÍA CUÁNTICA
23/06/12 La Mecánica Cuántica en la profesión del Ingeniero en SistemasLa Mecánica Cuántica en la profesión del Ingeniero en Sistemas72
CRIPTOGRAFÍA CUÁNTICA
23/06/12
El Algoritmo BB84
Tipos de Medición Resultados de medición de fotón
Rectilínea
Circular-izquierda
Circular
Circular-derecha
Vertical
Horizontal
La Mecánica Cuántica en la profesión del Ingeniero en SistemasLa Mecánica Cuántica en la profesión del Ingeniero en Sistemas73
CRIPTOGRAFÍA CUÁNTICA
23/06/12
El Algoritmo BB84
EMISOR
RECEPTOR
1.Canal
cuántico
La Mecánica Cuántica en la profesión del Ingeniero en SistemasLa Mecánica Cuántica en la profesión del Ingeniero en Sistemas74
CRIPTOGRAFÍA CUÁNTICA
23/06/12
El Algoritmo BB84
EMISOR
RECEPTOR
2.Canal
Público
3.Canal
Público
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Tipos de ataqueFuerza bruta ------- Alto poder de computo
Matemáticos
Factorizar n en sus dos factores primos.
No convencionalesAtaque de tiempo
DPA (Differential Power Analysis)
Análisis del sonido
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PARA SABER MÁS
• Paz, Juan Pablo .Einstein contra la mecánica cuántica. Buenos Aires, 2006. En http://www.df.uba.ar/~paz/borges/einstein.pdf
• Kosso, Peter. Appearence and reality. Oxford University Press, 1998
• Feynman, Richard, Física.TIII. Mecánica Cuántica. Addison-Wesley Iberoamericana, México, 1987.
• De Broglie, Louis. La Física Nueva y los Cuantos. Losada, Buenos Aires, 1952
• De la Torre, Alberto. Física Cuántica para Filo-sofos. F C E. Buenos Aires, 1992
• Rieffel, Eleanor. An Introduction to Quantum Computing for Non- Physicists. ACM Computing Surveys, Vol. 32(3), pp. 300 - 335, Sept 2000.
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