UNIDAD III

DIAGRAMA DE TALLOS Y HOJAS

El diagrama de tallos nos permite sacar la mediana

20 13 8 6 1015 15 10 7 812 16 18 12 15

13 2 20 13 1414 16 13 15 1513 13 18 16 14

11 5 12 15 1610 15 13 18 157 13 15 15 15

8 9 16 14 1113 8 18 15 1710 6 15 13 14

16 81312

2 0 01 5 2 3 5 6 8 2 0 5 3 4 3 6 3 9 8 3 5 6 4 5 4 1 0 5 2 3 5 5 8 5 6 5 5 3 0 6 8 5 4 5 3 1 2 4 6 3 20 8 3 6 7 8 2 7 6 3 8 9 8 6 8

2 0 01 0 0 0 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 8 8 8 8 90 2 3 3 6 6 6 7 7 8 8 8 8 8 9

INTERVALOS NI2 - 4 35 - 7 58 - 12 911 - 13 1614 - 16 2417 - 19 520 - 22 2

CENTROGRAMA

Los centrogramas son gráficos circulares, el que se divide en proporciones al tamaño de la frecuencia del intervalo.

INTERVALOS ni 0 %2 - 4 3 16.88 4.695 - 7 5 28.12 7.818 - 12 9 50.62 14.0611 - 13 16 90.00 25.0014 - 16 24 135.00 37.517 - 19 5 28.12 7.8120 - 22 2 11.25 3.12

4.39%

7.81%

14.06%

25%

37.5%

7.81%

3.12%

%

4.69 %

7.81 %

14.06 %

25.00 %

37.5 %

7.81 %

3.12 %

LEYENDA

16.88

45.00 %95.62

185.62 %

320.62%348.75%

360.00%

º A

16.88 %45.00 %95.62 %185.62 %320.62 %348.75 %360.00 %

LE-YEN-DA

INTERVALOS ni º A %2 - 4 3 16.88 4.695 - 7 5 45.00 7.818 - 12 9 95.62 14.0611 - 13 16 185.62 25.0014 - 16 24 320.62 37.517 - 19 5 348.75 7.8120 - 22 2 360.00 3.12

POLÍGONO SUAVIZADO

Yi ni nis3 3 2.76 5 5.79 9 10.0012 16 16.3315 24 15.0018 5 10.3321 2 2.33

3 6 9 12 15 18 210

5

10

15

20

25

30

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

MEDIA ARITMÉTICA MEDIANA

MODA MEDIA GEOMÉTRICA

CUANTILES

POBLACIÓN Y MUESTRA

MEDIDAS DE DISPERCIÓN

MEDIA ARITMÉTICA

Es el valor de equilibrio en la variable, es decir su valor puede estar alterado o cambiado de ubicación según se altere o modifique los valores extremos. Puede ser calculado con datos simples, datos ponderados, datos agrupados.

MEDIDAS

DE TENDENCIA CENTRAL

=

MEDIA ARITMÉTICA

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Datos simples

Yi

30292827262015105

190Yi

Datos ponderados

Yi ni Yi ni U Uni

30 1 30 4 4

29 2 58 3 6

28 8 224 2 16

27 10 270 1 10

26 20 520 0 0

20 17 340 -6 -102

15 5 75 -11 -55

10 3 30 -16 -48

=SY in

=190

9

= Unin= 155267=

Yi– ot

= 26 + 155267

=23.36

5 1 5 -21 -21

190 67 1552 -190

n Yi Uni

U=

Metodoorigen de trabajo

= ot + Uni C

Datos agrupados

INTERVALO Yi niYi ni U Uni

40 44 42 3 30 -4 -1245 49 47 5 58 -3 -1550 54 52 10 520 -2 -2055 59 57 18 1026 -1 -1860 64 62 40 2480 0 065 69 67 13 871 1 1370 74 72 7 504 2 1475 79 77 3 231 3 980 84 82 1 82 4 4

5 100 5802 -25

C n Yi ni Uni

=4

MétodoDirecto

n

=23.36=

= 155267

=Unin

= 26 + 1552 . 567

= ot + Uni C

MEDIANA

En el ámbito de la estadística, la mediana, representa el valor de la variable de posición central en un conjunto de datos ordenados. De acuerdo con esta definición el conjunto de datos menores o iguales que la mediana representarán el 50% de los datos, y los que sean mayores que la mediana representarán el otro 50% del total de datos de la muestra.

DATOS SIMPLES:

Yi 1/Yi 20 0.0519 0.05318 0.05617 0.05916 0.06315 0.06714 0.07113 0.07711 0.09110 0.110 0.687

MétodoDirecto Método Origen de Trabajo

n

FORMULA

H= n 1/Yi

H= 10 0.687

H= 14,56

DATOS PONDERADOS:

Yi ni Ni220 2 13119 3 12918 6 12617 10 12016 18 11015 40 9214 30 5213 10 2212 5 1211 3 710 4 4

131n

DATOS AGRUPADOS:

INTERVALOS

Ni Ni

2 4 3 35 7 5 88 10 9 1711 13 16 3314 16 24 5717 19 5 6220 22 2 64

64n

MODA O VALOR MODAL

En estadística, la moda es el valor con una mayor frecuencia en una distribución de datos.

FORMULA

Pos mediana= n+1 2 Posmed= 131+1 2Posmed= 66

Mediana= 15

FORMULA

Med= Yi+1 (n/2- Ni-1) cNi

Med= 10.5+ (0.9375) 3

Med= 13,3

Datos simples:

Yi2019 1817 1615

NO EXISTE MODA

Yi201918171615158

MODA=15

DATOS PONDERADOS:

Yi ni20 2

19 318 617 1016 1815 4014 113 1012 511 310 2

MODA=15

DATOS AGRUPADOS:

INTERVALOS

ni

2 4 35 7 58 10 911 13 1614 16 2417 19 520 22 2

64N

MEDIA ARMONICA

La media armónica, denominada H, de una cantidad finita de números es igual al recíproco, o inverso, de la media aritmética de los recíprocos de dichos valores y es recomendada para promediar velocidades.

FORMULA:

Mod: Yi-1 + ()

Mod: 13.5 8 3 8+19

Mod: 14,39

DATOS SIMPLES:

Yi 1/yi20 0.0519 0.05318 0.05617 0.05916 0.06315 0.06714 0.07113 0.07711 0.09110 0.110 0.687

DATOS PONDERADOS:

Yi ni ni/Yi20 2 0.119 3 0.15818 6 0.33317 10 0.58816 18 1.12515 40 2.66714 40 213 10 0.16912 5 0.41711 3 0.27310 4 0.4

9.997

Datos agrupados:

intervalos

Columna1

Yi ni ni/Yi

2 4 3 3 15 7 6 5 0.8

38 10 9 9 111 13 12 16 1.3

314 16 15 24 1.617 19 18 5 0.2

820 22 21 2 0.1

0

FORMULA:

H= n 1/Yi

H= 10 0.687

H= 14,56

FORMULA

H= nni/Yi

H= 11 9.997

H= 1.100

FORMULA

H= n ni/Yi

H= 64 6.14

H= 10,42

64 6,14

DEBER

Calcular la mediana de los siguientes datos:

DATOS SIMPLES

Y1

30

29

28

27

26

20

15

10

5

Mediana:

Pos. Md.= nH2

mda=26

Pos. Md.=102

Pos. Md.= 5

DATOS PONDERADOS

Y1 ni Ni

30 1 67

29 2 66

28 8 64

27 10 56

26 20 46

20 17 26

15 5 9

10 3 4

5 1 1

Pos. Mediana: Mediana:

Pos. Md.= nH2

mda= 26

Pos. Md.=682

Pos. Md.= 34

DATOS AGRUPADOS INTERVALOS

Intervalos Y1 ni Ni40 - 44 42 3 345 - 49 47 5 8

50 - 54 52 10 1855 – 59 57 18 3660 – 64 62 40 7665 – 69 67 13 8970 – 74 72 7 9075 – 79 77 3 9980 - 84 82 1 100

100

∑ nPos. Mediana:

Pos. Md.= n2

= 100

2

Pos. Md.= 50

Mediana:

Mda= Y 1+( n

2−¿−1¿

)×cMda= 59,5+(50−36

40 )×5

Mda= 61,25

Calcular la moda de los siguientes datos:

DATO S SIMPLES

Y1

30

29

28

27

26

20

15

10

5

Mo= No existe.

DATO S PONDERADOS

Y1 ni

30 1

29 2

28 8

27 10

26 20

20 17

15 5

10 3

5 1

Mo= 20

DATOS AGRUPADOS INTERVALOS

Intervalos ni

40 - 44 3

45 - 49 5

50 - 54 10

55 – 59 18

60 – 64 40

65 – 69 13

70 – 74 7

75 – 79 3

80 - 84 1

Mo=Y i+( ∆1

∆1+∆2 )×cMo= 59,5+( 22

22+27 )×5

Mo= 59,5+( 2249 )×5

Mo= 61, 74

∆1= 40 - 18 ∆2= 40 -13∆1= 22 ∆2= 27

DATO S SIMPLES DATO S PONDERADOS

Y1 1Yi

30 0,033

29 0,034

28 0,036

27 0,037

26 0,038

20 0,05

15 0,067

10 0,1

5 0,2

0, 595

𝚺 1Yi

Y1 ni ¿Yi

30 1 0,033

29 2 0,069

28 8 0,286

27 10 0,370

26 20 0,769

20 17 0,85

15 5 0,33

10 3 0,3

5 1 0,2

67 3,207

n 𝚺 ¿Yi

H= n

Σ1Yi

H= n

Σ ¿Yi

H= 9

0,595 H=

673,207

H= 15,13 H= 20,89

DATOS AGRUPADOS INTERVALOS

Intervalos ni Y1 ¿Yi

LA MEDIA GEOMÉTRICA

Sea una distribución de frecuencias  (x , n ). La media geométrica, se define como la raíz enésima del producto de

los N valores de la distribución.

Si los datos están agrupados en intervalos, la expresión de la media geométrica, es la misma, pero utilizando la marca

de clase (Xi).

El empleo más frecuente de la media geométrica

es el de promediar variables tales como porcentajes, tasas,

números índices. etc., es decir, en los casos en los

que se supone que la variable presenta

variaciones acumulativas.

Ventajas e inconvenientes:

*En su cálculo intervienen todos los

valores de la distribución.

*Los valores extremos tienen menor

influencia que en la media aritmética.

*Es única, aunque su cálculo es más

complicado que el de la media aritmética.

40 - 44 3 42 0,07145 - 49 5 47 0,10650 - 54 10 52 0,19255 – 59 18 57 0,31660 – 64 40 62 0,64565 – 69 13 67 0,19470 – 74 7 72 0,09775 – 79 3 77 0,03980 - 84 1 82 0,012

100 1,672n 𝚺 ¿

Yi

H= n

Σ ¿Yi

H= 100

1,67 2

H= 59,81

MEDIA GEOMÉTRICA

DATO S SIMPLES

Yi

20

19

18

17

16

15

14

13

Fórmula:

G=8√20×19×18×17×16×15×14×13

G= 16,34

DATO S PONDERADOS

Yi ni log Yi ni × log × Yi

20 3 1,30103 3,90309

19 4 1,27875 5,115

18 10 1,25527 12,5527

17 18 1,23045 22,1481

16 30 1,20412 36,1236

G=n√π Yi

15 35 1,17609 41,16315

14 42 1,14613 48,137716

13 35 1,11394 38,9879

12 20 1,07918 21,5836

11 18 1,04139 18,74502

10 16 1, 16,

9 17 0,95424 16,22208

8 3 0,90309 2,70927

7 2 0,84509 1,69018

253 285,08115

n Σ ni log Yi

G= antilog𝐱( Σ∋logYi¿ )

G= antilog𝐱( 285,08115253 )

G= antilog𝐱 1,12680

G= 13,39

Fórmula:

G= Σ∋ logYi¿

Se transforma la fórmula a logaritmo y se saca luego el antilogaritmo:

DEBER

Calcular la media geométrica para los siguientes datos:

Intervalos Yi ni log Yi ni × log × Yi

6 – 12 9 4 0,95424 3,81697

13 – 19 16 10 1,20412 12,04119

20 – 26 23 9 1,36172 12,25555

27 – 33 30 35 1,47712 51,69924

34 – 40 37 25 1,56820 39,20504

41 – 47 44 17 1,64345 27,93869

48 – 54 51 5 1,70757 8,53785

55 – 61 58 3 1,76343 5,29028

62 - 68 65 3 1,81291 5,43874

111 166,22355

n Σ ni log Yi

G=n√π Yi¿

=

= 80464

=Unin

=12.56

=12 + 12 . 3 64

k

G= antilog + log ( Σ∋log Yi¿ )

G= antilog + log ( 166,22355111 )

G= antilog + log (1 ,49751 )

G= 31,4420

= ot + Uni C

FORMA DESCENDENTE

INTERVALO Yi niYi ni U Uni

18 20 19 7 133 3 2115 17 16 19 304 2 3812 14 13 9 247 1 199 11 10 6 60 0 06 8 7 10 70 -1 -103 5 4 2 8 -2 -4

MétodoDirecto Método Origen de Trabajo

n

=

= 82364

=Unin

=12.86

=10 + 61 . 3 64

0 2 1 1 1 -3 -33 64 823 61

C n Yi ni Uni

= ot + Uni C

CUANTILESSon medidas posicionales que determinan valores porcentuales en los cuales están ubicados estos elementos y son:

Cuartiles Quintiles deciles percentiles.

EjerciciosCon datos simples

Yi

20

19

18

17

16

MétodoDirecto Método Origen de Trabajo

n

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

Pos Cu1 = n+1 Pos Q2 = 2(n+1) Pos Cu3 = 3(n+1)

4 4 4

Pos Cu1 = 15+1 Pos Cu2 = 2(16) Pos Cu3 = 3(16)

4 4 4

Pos Cu1 = 4 Pos Cu2 = 8 Pos Cu3 = 12

Cu1 = 9 Cu2 = 13 Cu3 = 17

Cu amplitudsemiintercuartilica

Cu Cu3-Cu1 = 17-9 = 4

2 2

Q3 = 3(16) Q4 = 4(16)

5 5

Q3 = 9,6 Q4 = 12,8

D8 = 8(n+1) D9 = 9(n+1)

10 10

D8 12,8 D9 14,4

P25 = 25(16) P50 = 50(16)

100 100

P25 = 4 P50 = 8

P75 = 75(16) P90 = 9(16)

100 100

P75 = 12 P90 = 1,44

Con datos ponderados

Yi ni Ni Pos Cu1 = 128+1 = 32,25

20 2 128 4

19 3 126

18 6 123 Cu1 = 12

17 8 117

16 10 109 Pos Cu2 = 2(129)

15 18 99 4

14 30 81

13 15 51 Cu2 = 14

12 14 36

11 9 22 Pos Cu3 = 3(129)

10 6 13 4

9 3 7 Cu3 5

8 2 4

7 1 2 Cu =Cu3-Cu1 = 15-02 = 1,5

6 1 1 2 2

128  

Q3 = 3(n+1) = 3(129) = 77,4 Resp. Q3 = 14

5 5

Q4 = 4(n+1) = 4(129) = 103,2 Resp. Q4 = 16

5 5

D8 = 8(n+1) = 8(129) = 206,4 Resp. D8 = 16

10 10

D9 = 9(n+1) = 9(129) = 116,4 Resp. D9 = 17

10 10

P25 = 25(n+1) = 25(129) = 32,3 Resp. P25 = 12

100 100

P50 = 50(n+1) = 50(129) = 64,5 Resp. P50 = 14

100 100

P45 = 45(n+1) = 45(129) = 96,75 Resp. P45 = 12

100 100

P90 = 90(n+1) = 90(129) = 116,1 Resp. P90 = 8

100 100

Con datos de intervalos

Intervalos ni Ni

20 - 26 3 3

27 - 33 4 7

34 - 40 6 13

41 - 47 8 21

48 - 54 18 39

55 - 61 40 79

62 - 68 20 99

69 - 75 15 114

76 - 82 3 117

83 - 89 1 118

7 118  

c n  

Pos Cu1 = Yi-1 + 1n/4-Ni-1

Pos Cu3 = Yi-1 + 3n/4-Ni-1

ni ni

Pos Cu1 = 1(118) = 29,5

Pos Cu3 = 3(118) = 88,5

4 4

Cu1 = 50,81 Cu3 = 65

Pos Q3 = Yi-1 + 3n/5-Ni-1 Pos Q4 = Yi-1 + 4n/5-Ni-1

ni ni

Pos Q3 = 3(118) = 70,8Pos Cu3 = 4(118) = 94,4

5 5

Q3 = 66,87 Q4 = 64,2

Pos D8 = Yi-1 + 8n/10-Ni-1 Pos D9 = Yi-1 + 9n/10-Ni-1

ni ni

Pos D8 = 8(118) = 94,4 Pos D9 = 9(118) = 106,9

10 10

D8 = 64,2 D9 = 71,86

Pos D25 = Yi-1 +

25n/100-Ni-1

Pos D90 = Yi-1 +

90n/100-Ni-1

ni ni

Pos D25 =

25(118) = 29,5

Pos D25 =

90(118) = 106,2

100 100

P25 = 50,81 P90 = 71,86