Post on 23-Nov-2018
Bases para el manejo algebraico en el área
económico-administrativa
U N I DAD 2
Introducción
Los logaritmos son un tema fundamental para el desarrollo de las matemáticas f inancieras, ya
que están involucrados en casi todos los problemas de tasas de interés, anualidades, entre otros,
de ahí la importancia de aplicarlos adecuadamente.
En esta unidad se presentan, además de las propiedades de los logaritmos y sus
aplicaciones, las leyes de los exponentes, cuyo manejo es importante para simplif icar expresiones
y para plantear y resolver ecuaciones. Se pondrá mucho énfasis en los exponentes fraccionarios,
los cuales se util izan también para resolver ecuaciones.
Competencia
Al f inalizar la unidad, el alumno podrá:
Resolver problemas de la empresa en el ámbito financiero y administrativo tomando
decisiones basadas en la aplicación de las herramientas aritméticas y algebraicas.
Contenido
2.1. Exponentes y su aplicación en decisiones de inversión y oportunidades
de negocio.
2.2. Exponentes fraccionarios.
2.3. Radicación.
2.4. Raíz cuadrada.
2.4.1. Raíces de orden superior.
2.4.2. Raíces y exponentes fraccionarios.
2.5. Logaritmos y su aplicación a crecimiento de población e inversiones
2.6. Identif icación de los procesos donde se requiere aplicar las bases matemáticas a la
solución eficiente de problemas económico-administrativos.
2.1. Exponentes y su aplicación en decisiones de in versión y oportunidades de negocio
En la unidad anterior se revisaron las leyes de los exponentes y se aplicaron en algunas decisiones
de negocios. A continuación se plantean otros ejemplos que nos muestran la ut ilidad de los
exponentes para faci litar las operaciones necesarias que permiten determinar si una inversión
resulta conveniente o no.
Ejemplo 1
El gobierno de un país ha determinado que su población actual es de 10 327 183 habitantes
y que ha aumentado anualmente con un factor de 1.041. Se desea determinar cuál será el
tamaño de la población dentro de tres años para determinar la amplitud de los proyectos
sociales durante estos años.
Sabemos que la población inicial es de 10 327 183 habitantes, y que, el factor de
crecimiento es de 1.041, esto signif ica que al cabo de un año la población habrá
aumentado y serán:
(10 327 183)(1.041) habitantes
La cantidad anterior es ahora la población inicial para el segundo año. Como
el factor de crecimiento se mantiene constante, para el f inal del segundo año la
población será:
(10 327 183)(1.041) (1.041) habitantes
Aplicando la ley de los exponentes tendremos:
2(10 327 183)(1.041)(1.041) (10 327 183)(1.041)
Nuevamente, la cant idad anterior es ahora la población inicial para el tercer año.
Como el factor de crecimiento se mantiene constante, para el f inal del tercer año
la población será:
2(10 327 183)(1.041) (1.041) habitantes
Aplicando la ley de los exponentes obtenemos:
2 3(10 327 183)(1.041) (1.041) (10 327 183)(1.041)
Finalmente realizamos las operaciones:
3(10 327 183)(1.041) (10 327 183)(1.12811) 11 650 218
Respuesta: Aproximadamente 11 650 218 habitantes
¿Te imaginas cuántas operaciones habríamos tenido que hacer si nos hubieran pedido el cálculo
para 6 o 12 años?
Si observas la última expresión, verás que el resultado se puede expresar como:
Población final = ( población inicial) ( factor de crecimiento)n donde n representa el
número de periodos durante los cuales se calcula el crecimiento de la población.
Veamos otro ejemplo.
Ejemplo 2
Una compañía ha iniciado una promoción en la venta de equipo de cómputo y renta de internet.
Su éxito ha sido tan grande que planea comprar la producción total de sus actuales proveedores.
Sin embargo, antes de hacerlo desea determinar si tendrá clientes suficientes para un pedido tan
amplio. Con base en los datos de las primeras semanas se determinó que el número de ventas
ha crecido semanalmente con un factor de 1.28 teniendo inicialmente 200 clientes. Si se logra
mantener esta tendencia, ¿cuántos clientes tendrá dentro de 7 semanas?
Si hacemos las cuentas de manera semejante al ejemplo anterior, obtendremos que
el número de clientes para la semana 7 estará dado por 7(200)(1.28)
Realizando las operaciones obtenemos
7(200)(1.28) (200)(5.63) 1 126
Respuesta: Dentro de 7 semanas tendrá aproximadamente 1 126 clientes
Ejemplo 3
Un t rabajador gana $3 000 y se le ofrece un aumento bimestral de 3.5%, ¿cuánto ganará
en tres años?
El sueldo inicial es $3 000 y el aumento es de 3.5% = 0.035 cada bimestre, por
lo tanto, al terminar el primer bimestre la cantidad aumentada será:
(3 000)(0.035)
Que agregado al sueldo inicial nos da:
(3 000) (3 000)(0.035) (3 000)(1 0.035)
Por lo tanto al inicio del segundo bimestre su sueldo será:
(3 000)(1 0.035)
Para el segundo bimestre a la cantidad anterior se le aumenta el:
3.5% = 0.035
Por lo tanto, al terminar el segundo bimestre la cantidad aumentada será:
(3 000)(1 0.035)(0.035)
Agregando esta cantidad al sueldo que se tenía al inicio del segundo bimestre se tiene:
(3 000)(1 0.035) (3 000)(1 0.035)(0.035) (3 000)(1 + 0.035)(1 + 0.035) Aplicando las leyes de los exponentes tenemos:
(3 000)(1 + 0.035)(1 + 0.035) = (3 000)(1 + 0.035)2
Siguiendo este procedimiento, y considerando que en un año hay 6 bimestres, el
sueldo más los aumentos correspondientes serán:
(3 000) (1 + 0.035)6
Finalmente, al término del tercer año el sueldo total será:
6 3 18(3 000)((1 0.035) ) (3 000)(1 0.035)
Realizamos las operaciones y obtenemos:
18(3 000)(1.035) (3 000)(1.8575) 5 572.47
Respuesta: El sueldo final a los 3 años será de aproximadamente $5 572.47
Como puedes ver, el sueldo final se obtuvo con la siguiente ecuación: (1 )F C i n,
donde C es el sueldo inicial, i es el porcentaje de aumento, expresada como número decimal,
n es el número de periodos durante los cuales se realiza el análisis y F es el valor del sueldo al
final del último periodo.
Veamos otro ejemplo.
Ejemplo 4
Si actualmente Juan recibe un sueldo de $3 500, ¿qué le conviene más, un aumento de 2%
trimestral durante un año o un aumento de 8% anual?
H agamos los cálculos para cada situación.
Si acepta un aumento de 8% anual al término del año tendrá:
Sueldo final:
= 3 500(1 0.08)
Realizamos las operaciones y obtenemos:
3 500(1 0.08) 3 780
Para calcular la siguiente opción ut ilizaremos el razonamiento seguido en el
ejemplo anterior, recordando que un año tiene 4 t rimestres.
Si acepta un aumento de 2% trimestral al término del primer año tendrá:
Sueldo final:
4 4(3 500)(1 0.02) (3 500)(1.02)
Realizando las operaciones tendremos:
4(3 500)(1.02) (3 500)(1.082) 3 788.5
Respuesta: Le conviene más el aumento de 2% trimestral.
Nota: La ley de crecimiento natural es una ecuación que podemos expresar como:r nA Pe (e
que nos presenta la cantidad total A, que se obtiene si P aumenta
cont inuamente a un porcentaje r durante n años.
Apliquemos la ley de crecimiento natural en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 5
La población de cierta ciudad en el año 2001 era de 200 000 habitantes y crece 3% anual, según
la ley del crecimiento natural. Encuentra la cantidad de habitantes que habrá en 2007.
Sabemos que la población inicial es:
P = 200 000.
El porcentaje decrecimiento es:
r = 3% anual.
El cálculo es para:
n = 6 años.(2006 - 2007)
Aplicando la ley de crecimiento natural se tiene que:
0.03 6(200 000)( )A e
Uti lizando la calculadora para realizar las operaciones tenemos:
0.18(200 000)(2.71828) A
Por lo tanto:
(200 000)(1.197 217) 239 443.4A
Respuesta: Para el año 2007 habrá aproximadamente 239 444 habitantes.
Ejemplo 6
La población de cierta ciudad es de 500 000 habitantes y crece 23.1% anual, según la
ley del crecimiento natural. Encuentra la cant idad de años que se requerirán para que se
duplique la población.
Sabemos que la población inicial es:
P = 500 000
El porcentaje de crecimiento es:
r = 23.1% anual.
Se requiere que la población final se duplique, por lo que:
A= 2 (500 000)= 1 000 000
Queremos determinar el número de años n.
Aplicando la ley de crecimiento natural se tiene:
0.2311 000 000 (500 000)( ) ne
O bien:
0.2311 000 000 (500 000)(2.71828) n
A partir de este momento, tendremos que continuar por exploración, dándole
valores a n y elevado la expresión (500 000) (2.718 28)(0.231)(n) hasta obtener un
valor cercano a A= 1 000 000.
Para n = 1 tendremos 0.231 1(500 000)(2.71 828)
Para n = 2 tendremos 0.231 2(500 000)(2.71 828) Para n = 3 tendremos 0.231 3(500 000)(2.71 828) Para n = 4 tendremos 0.231 4(500 000)(2.71 828) Respuesta: La población se duplicará dentro de 3 años aproximadamente.
Nota: El método uti lizado para resolver el ejercicio anterior será mejorado
aplicando las propiedades de la función logaritmo.
Actividad 1
Resuelve los siguientes problemas (redondea tus resultados a cuatro decimales).
a) Se le ha solicitado a un laboratorio un cultivo de bacterias, de aceptar el pedido deberán
entregarlo en 24 horas y en caso de incumplimiento serán fuertemente multados.
Se requiere que el cultivo de bacterias específ ico pese 1 200 gramos. El laboratorio
sabe que este tipo de cultivos crece cada hora conforme a un factor de 1.18. Si en
este momento la colonia de bacterias que posee pesa 70 gramos, ¿deberían aceptar el
pedido o sería mejor rechazarlo?
b) ¿Cuánto se ganará dentro de cinco años, si el sueldo actual es de $25 000 y se ofrece
un aumento de 7% trimestral?
c) Si el sueldo actual de un trabajador es de $1 500, ¿qué le conviene más, un aumento de 2%
bimestral durante cinco años o un aumento de 3% trimestral durante tres años?
2.2. Exponentes fraccionarios
Base
m
nExponente fraccionario
aRecordemos la expresión que representa una potencia,
pero ahora con exponentes fraccionarios.
En la unidad 1 vimos que la potencia con
exponente n entero y base a es igual que multiplicar
n veces la base a. De hecho, se permitía que el exponente tomara cualquier valor entero, positivo,
negativo o cero. Sin embargo, no existe ningún entero n que pueda satisfacer la ecuación:
(5 )(5 ) 5n n
Ya que:
si n > 0, entonces 5 5n y por lo tanto (5 )(5 ) 5 5n n
si n = 0, entonces 05 1 y por lo tanto (5 )(5 ) 1 1 1n n
si n = m con m > 0, entonces
15 5 < 1
5n m
m
y por lo tanto
1 1(5 )(5 ) 1
5 5n n
m m
Si consideramos que también podemos ut ilizar exponentes fraccionarios y suponemos
que podemos usar las leyes de los exponentes, ¿cuánto debe valer n para que la siguiente
igualdad sea válida?
(5 )(5 ) 5n n
De acuerdo con las leyes de los exponentes:2(5 )(5 ) 5 5n n n n n
Por lo que la ecuación inicial se transforma:
2 15 5 5n
Cuya solución es 2 1n , es decir, 12
n1 1 1 1
12 2 2 25 5 5 5 5
Si seguimos aplicando la ley de los signos tendremos:
1 m mn na a
De esta forma podemos extender las leyes de los exponentes para fracciones:
mn
, kl
y números 0a , 0b .
m k m kn l n la a a
Ejemplo: 1 1 13
334 4 45 5 5 5
mm knn l
k
l
aa
a
Ejemplo: 5 2 13
53 3
2
3
44 4
4
km km ln lna a
Ejemplo:
2 77 142
44 43 3 3
( )m m mn n nab a b
Ejemplo: 2 2 23 3 3(5 3) 5 3
mmnn
mn
a ab b
Ejemplo:4433
43
2 23 3
1mn
mn
aa
Ejemplo:2
42
4
13
3
Nota: Nunca olvides que es necesario 0a , porque aunque mna puede
tener sent ido para a < 0, y algún mn
, también puedes llegar a resultados
contradictorios.
Por ejemplo:
1 12 2 2(( 1) ) (1) 1
y
1 2212 2( 1) ( 1) ( 1) 1
Por lo tanto:
11 22 22(( 1) ) ( 1)
La diferencia proviene de aplicar las leyes de los exponentes a una base negativa,
en este caso (–1).
Ejemplo 7
Simplif ica las siguientes expresiones.
a) 1 2 1 2 3 4 72 3 2 3 6 6a a a a a
b)
33 1 12 5 755 4 20 20
14
aa a a
a
c)
1 13 13 33 77 37 21
3 121 7
1 1 1a a a
aa a
d)
4 423 2 2 23 2 6 4 21 2134 3 7 34 7 12 21
6 112 2
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
b ba b a b a b
a a
e)
55 10 5 15 22 6 6 3 36
115 553 326 26
a a a a ab bb bb
Actividad 2
Simplif ica las siguientes expresiones.
a) 4 53 4a a
b)
32
4
aa
c)
67
52
a
a
d)
23 35a
e)
45 5
10
ab
f )
64 2
23a b
2.3. Radicación
En la unidad anterior aprendimos a elevar un número
a una potencia entera. Sin embargo, en algunas
ocasiones resulta necesario realizar el proceso inverso:
dado un número encontrar otro que elevado a la
potencia indicada coincida con el primero. En esta
sección aprenderemos a resolver este t ipo de situaciones y comprenderemos su relación con
los exponentes enteros y fraccionarios.
2.3.1. Raíz cuadrada
El Teorema de Pitágoras establece: “ Para un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa
es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. 2 2 2c a b
c
b
a
Por lo tanto, si sabemos que a= 3 y b= 4 y deseamos
determinar el valor de c, tendremos:
2 2 2(3) (4) 9 16 25c
Es decir, c es un número que elevado al
cuadrado da 25.
Observemos que 2(5) 25 y también
2( 5) 25 .
Como la hipotenusa es una longitud, debe ser positiva, determinamos que:
c = 5
En general, se dice que una raíz cuadrada r de un número a es un número tal que al
elevarlo al cuadrado da como resultado a.
Entonces:
si 2r a , se dice que r es una raíz cuadrada de a.
Por ejemplo:2(2) 4 y 2( 2) 4
Con lo cual tenemos que 2 y 2 son raíces cuadradas de 4.
Por lo tanto, si r es una raíz cuadrada de a, entonces –r también lo es, ya que:
r r r r a2 2( ) ( )( )
Se uti liza el símbolo a para denotar la raíz cuadrada no negativa de a y el
símbolo a para denotar la raíz cuadrada negat iva de a.
GradoRadicando
n a n
Observa: Normalmente se buscan raíces cuadradas con valores reales, por
este motivo cuando le pides a una calculadora que calcule 4 te marca
error, pues el cuadrado de cualquier número real, sea positivo o negat ivo,
siempre es positivo, por lo cual decimos que no existen raíces cuadradas reales
de números negat ivos.
Ejemplo 8
Relaciona las siguientes potencias con las raíces cuadradas correspondientes.
a) Si 22 4 , entonces 4 2
b) Si 24 16 , entonces 16 4
c) Si 23 9 , entonces 9 3
Del mismo modo que existen las leyes de los exponentes, podemos hablar de las
propiedades de la raíz cuadrada, que se resumen en la siguiente tabla:
( )( ) ( )( )a b a b
Ejemplo:
324 (81)(4) ( 81)( 4) (9)(2) 18
a ab b
Ejemplo:
25 25 59 39
Ejemplo 9
Uti liza las propiedades de la raíz cuadrada para simplif icar las siguientes expresiones.
a) 225 (9)(25) ( 9)( 25) (3)(5) 15
b) 7 056 (4)(36)(49) ( (4)(36))( 49) ( 4)( 36)( 49) (2)(6)(7) 84
c) 14 400 (4)(9)(16)(25) ( 4)( 9)( 16)( 25) (2)(3)(4)(5) 120
d) 81 81 9 3
144 12 4144
e) 64 64 8
121 11121
f )
75 7525 5
33
2.3.2. Raíces de orden superior
Si realizamos un razonamiento semejante al uti lizado para encontrar la raíz cuadrada, pero
permit iendo que el valor de n sea cualquier valor entero posit ivo, se puede definir la raíz de
grado n de un número a como el número b tal que a = bn.
Y escribimos:
na b que es equivalente a nb a
En donde al símbolo se le llama radical, al número a se le llama radicando y al
número n se le llama grado o índice de la raíz .
De esta forma podemos decir que:
4 es la raíz cúbica o de grado t res de 64 porque 43 = 64 y se representa como:
34 64
2 es la raíz cuarta o de grado cuatro de 16 porque 24 = 16 y se representa como:
42 16
3 es la raíz quinta o de grado cinco de 243 porque 35 = 243 y se representa como:
53 243
Observa: Normalmente, la raíz cuadrada se escribe sin índice, , en vez de 2 .
Siempre debes tener presente los siguientes puntos:
Si n es par, an siempre es mayor o igual que cero, así que un número negativo no
puede tener raíz de grado par.
Si n es par, y tenemos la igualdad b= an, entonces b= ( a )n; por lo tanto, b tendrá
dos raíces de grado par, a y –a
Si n es impar, todo número (posit ivo o negativo) tiene exactamente una raíz.
N ota: A part i r de este momento, a menos que se especif ique lo contrario,
consideraremos que los radicandos son mayores o iguales que cero,
de esta forma la raíz de grado n siempre será posit iva y única, lo cual
faci l itará su estudio.
Ahora veamos los principios básicos para la obtención de raíces de grado mayor que 2:
Nuevamente, podemos hablar de las propiedades de las raíces de grado n que se
resumen en la siguiente tabla:
n nn a b abPor ejemplo:
3 3 33216 (27)(8) ( 27)( 8) (3)(2) 6
n
nn
a abb
Por ejemplo:
555
5
96 9632 2
33
( )m mnn a a
Por ejemplo:2 24 44( 16) 16 256 4
m nm n a a
Por ejemplo:2 3 26 3 2729 729 729 9 3
Ejemplo 10
Relaciona las siguientes potencias con las raíces correspondientes.
a) Si 33 27, entonces 3 27 3
b) Si 62 64, entonces 2 64 2
c) Si 45 = 1 024, entonces 5 1 024 4
d) 35 125 , entonces 1
33(125) 125 5
e) 48 4 096, entonces 14 4(4 096) 4 096 8
f) 57 16 807, entonces 15 5(16 807) 16 807 7
Ejemplo 11
Uti liza las propiedades de las raíces de grado n para simplif icar las siguientes expresiones.
a) 223 3 3( 9) 9 81
b) 4
44
16 16 281 381
c) 3 3 3 3316 (8)(2) 8 2 2 2
d) 3 664 64 2
2.3.3. Raíces y exponentes fraccionarios
¿Te has preguntado cuánto puede valer 342 o
1216 ?
Aunque ya sabemos que existen potencias fraccionarias y hemos aplicado sus leyes en
algunos ejemplos algebraicos, aún no hemos aprendido a realizar este tipo de cálculos. Sin
embargo, podremos resolverlos si relacionamos, de manera adecuada, las raíces de grado n con
los exponentes fraccionarios.
Al inicio de esta sección se estableció que el exponente que hace válida la ecuación:
5 5n es 12
n y se llegó a la siguiente ecuación:
1 1
2 25 5 5
Es decir, 1
25 multiplicado por sí mismo es 5, entonces 1
25 es la raíz cuadrada de 5. Esto
sugiere la siguiente def inición:1
225 5 5
Si hacemos lo mismo para cualquier n entero positivo tendremos:1
nna a con a 0 y n un entero positivo.
Generalizado y aplicando las leyes de los exponentes y radicales se tiene:1
( )nm m
mn na a a
con 0a y n un entero positivo.
Veamos como lo podemos aplicar.
Ejemplo 12
U ti l iza las propiedades de los exponentes y las raíces para simpli f icar las siguientes
expresiones:
a) 1 1 1 15
15 15 533 3 3 3(64 ) (64) ( ) ( 64) 4a a a a
b) 1
24 41 1 24 6
24 2444 4 4
1 1 1 1(16 )
2(16 ) 16( ) 2a
aa a a
c)
36
3 23 336 3 96 2 22
3 38 3 123882 2 3 2
( 100)(100) ( ) (10)100
149 (7)(49) ( ) ( 49)
aa aa
b bb b
d) 3
3 3216 ( 16) 4 64
e) 2 1
23 33 33 3 9 9
f) 3 1
37 77 75 5 125 125
Ejemplo 13
Uti l iza las propiedades de los exponentes y las raíces para simpl i f icar las siguientes
expresiones:
a) b a b a
b a b a b a b ab ab a
8 44 4
10 5 10 54 18 4 8 4 24 44
224( ) ( )
b) a b a b a b a b a b a b42 9 3
3 3 342 9 42 9 42 9 2 2 37 7 7 21 21 721 21 7( ) ( ) ( )( )
c) a b a b a b a b a b36 2412 12
14 36 24 36 24 36 24 3 23 12 12( )
Actividad 3
Utiliza las propiedades de los exponentes y las raíces para simplif icar las siguientes expresiones.
a) 3 27
b) 39( 8)
c) 48( 25)
d) 23(64)
e) 13 44
5 34
a b
a b
2.5. Logaritmos y su aplicación a crecimiento de po blación e inversiones
Ref lexión: John Napier (o Neper) (1550-1617), matemático y teólogo escocés,
simultáneamente con John Brigg (1561-1631), matemático inglés, introdujeron el concepto de
logaritmos como una herramienta matemática práct ica y teórica.
Antes del advenimiento de las calculadoras y computadoras, los logaritmos eran
usados en estadística, navegación, astronomía y otras ramas de las matemáticas prácticas, ya
que gracias a sus propiedades se pueden transformar multiplicaciones en sumas, divisiones en
restas y potencias en productos.
En la actualidad, los logaritmos han dejado de tener la importancia computacional que
tenían hace algunos años; sin embargo, siguen teniendo importancia para describir algunos
fenómenos naturales, por ejemplo: la escala Ritcher, que se ut iliza para medir la intensidad de
un temblor y es una escala logarítmica.
La palabra logaritmo, que se debe a Napier, está formada de las palabras griegas
(logos), que significa razón o cociente, y o (arithmos), con el significado de número, y se
def ine, literalmente como un número que indica una relación o proporción.
Observa los números que aparecen en la siguiente tabla:
30 = 1 40 = 1 50 = 1 100 = 1
31 = 3 41 = 4 51 = 5 101 = 10
32 = 9 42 = 16 52 = 25 102 = 100
33 = 27 43 = 64 53 = 125 103 = 1 000
34 = 81 44 = 256 54 = 625 104 = 10 000
De el los se puede decir que el exponente al que se tiene que elevar es:
el número 3 para obtener 81 es 4: 34= 81
el número 4 para obtener 64 es 3: 43= 64 Forma exponencial
el número 5 para obtener 25 es 2: 52= 25
el número 10 para obtener 1 es 0: 100= 1
Usando estas af irmaciones decimos, respectivamente, que el logaritmo de base:
3 del número 81 es 4 y se escribe log3 (81) = 4
4 del número 64 es 3 y se escribe log4 (64) = 3
Forma logarítmca5 del número 25 es 2 y se escribe log
5 (25) = 2
10 del número 1 es 0 y se escribe log10
(1) = 0
En general, el logaritmo base a, a > 0, de un número x, x > 0, es el exponente y, al
que tenemos que elevar la base para que obtengamos el número x, y se escribe como:
log ( )a x y yx a
Nota: Si la base es 1, todas las potencias son iguales a 1.
Observa: En tu calculadora encontrarás dos funciones que te permitirán
resolver cualquier problema de logaritmos: la función log (logaritmo base
diez) e ln (logaritmo natural o base e). Si calculas log (10) e ln ( e) en ambos
casos te dará 1.
Sus propiedades se pueden resumir en la siguiente tabla:
log logna n a
y
ln lnna n a
Ejemplo:
2log(12) 2 log(12)32
3ln(7) ln(7)
2
log( ) log logab a b
y
ln( ) ln lnab a b
Ejemplo:
log(7 ) log(7) log( )a a
ln((8)(2)) ln(8) ln(2)
log log loga
a bb
y
ln ln lna
a bb
Ejemplo:
13log log(13) log(21)
21
57ln ln(57) ln( )b
b
log( ) log( ) (log log )nab n ab n a b
y
ln( ) ln( ) (ln ln )nab n ab n a b
Ejemplo:
10log(5 ) (10)(log(5) log( ))a a76
7ln((9)(11)) (ln(9) ln(11))
6
Ejemplo 14
Cambia las siguientes expresiones de la forma exponencial a la logarítmica y viceversa.
a) 433 81, entonces log (81) 4
b) 455 625, entonces log (625) 4
c) 31010 1 000, entonces log (1 000) 3
d) 1
77 7, entonces log (7) 1
e) 12
49
1log (7) , entonces 49 7
2
f) 42log (16) 4, entonces 2 16
g) 2
14
1log (16) 2, entonces 16
4
Ejemplo 15
Uti l iza las propiedades de los logaritmos para escribir como un solo logaritmo las
siguientes expresiones.
a) log3 (41)+ log
3 (10)–log
3(2)
Primero simplif iquemos la expresión:
3 3log (10) log (2)
3 3 3 3 3
10log (41) log (10) log (2) log (41) log
2
Realizamos la división indicada:
3 3 3 3
10log (41) log log (41) log (5)
2
Ahora simplif iquemos la expresión:
3 3log (41) log (5)
3 3 3log (41) log (5) log ((41)(5))
Realizamos la mult iplicación indicada:
3 3log ((41)(5)) log (205)
Por lo tanto:
3 3 3 3log (41) log (10) log (2) log (205)
b) 9 9 9log (35) (4)(log (15) log (3))
Recuerda que pr imero debemos realizar las operaciones ent re paréntesis, por
lo que empezaremos simplif icando la expresión:
9 9(log (15) log (3))
9 9 9 9 9
15log (35) (4)(log (15) log (3)) log (35) (4) log
3
Realizamos la división indicada:
9 9 9 9
15log (35) (4) log log (35) (4)(log (5))
3Ahora simplif iquemos la expresión:
9(4)(log (5))
49 9 9 9log (35) (4)(log (5)) log (35) log (5 )
Simplif icamos la expresión anterior y obtenemos:
49 9 9 4
35log (35) log (5 ) log
5
Finalmente, como:
(35) (7)(5)
9 9 94 4 3
(7)(5)35 7log log log
5 5 5
Por lo tanto:
9 9 9 9 3
7log (35) (4)(log (15) log (3)) log
5
c) 16
log2 (49)
13
log2 (7)
Primero nos concentraremos en los factores 16
y 13
1 16 3
2 2 2 2
1 1log (49) log (7) log 49 log 7
6 3
Ahora simplif iquemos la expresión anterior:1
1 1 66 3
2 2 2 13
49log 49 log 7 log
7
Aplicando la ley de los exponentes tenemos:1 1
1 1 13 36 2 2
2 2 21 13 3
49 49 49log log log
77 7
Como 12(49) 49 7 , entonces:
11 132 3
2 2
49 7log log
7 7
Finalmente:
13
2 2
7log log (1) 0
7
Por lo tanto:
16
log2 (49)
13
log2 (7) = 0
Ahora veamos cómo se pueden aplicar las propiedades del logaritmo a problemas de
crecimiento poblacional y de inversión.
Ejemplo 16
Una bacteria se reproduce por bipartición (se divide en dos) cada segundo. Si se requieren
15 975 bacterias para preparar vacunas, ¿cuánto t iempo habrá que esperar si en este
momento sólo se cuenta con una bacteria?
Como se reproducen por bipart ición, la expresión que nos permite saber cuantas
bacterias hay cada segundo es 2n, donde n representa los segundos que han
transcurrido.
Por lo tanto:
2 15 975n
Como nos interesa conocer el valor de n, podemos uti lizar las propiedades de los
logaritmos.
Aplicamos logaritmo en base 10 en ambos lados de la ecuación y obtenemos:
log(2 ) log(15 975)n
Usando las propiedades del logaritmo:
( ) log(2) log(15 975)n
Finalmente:
log(15 975)
log(2)n
Con ayuda de la calculadora obtenemos (redondea a 4 decimales):
n4.2 034
13.9 6480.3 010
Respuesta : Habrá que esperar 14 segundos para obtener las 15 975 bacterias.
Ejemplo 17
¿Cuánto t iempo tardará en triplicarse un sueldo de $3 500 si se solicita un aumento de
2% anual?
Uti licemos el razonamiento seguido en el ejemplo 4.
Si el sueldo actual es de $3 500 y deseamos se triplique con un aumento de 2%$3 500 y deseamos se triplique con un aumento de 2% y deseamos se t riplique con un aumento de 2%
anual, tendremos:
3(3 500) 10 500
10 500 = 3 500(1 0.02)n
Entonces:
10 500=(1.02)
3 500n
O bien:
3 (1.02)n
Ahora podemos aplicar el logaritmo base 10 en ambos lados de la ecuación:
log(3) log(1.02 )n
Aplicando las propiedades del logaritmo tenemos:
log(3) ( )(log(1.02))n
Por lo tanto:
log(3)
log(1.02)n
Con ayuda de la calculadora obtenemos (redondea a cuatro decimales):
n
0.4 77155.4 767
0.0 086
R espuesta: Se tendrá que esperar aproxi madamente 55.48 años; como
el aumento ocur re cada año, habrá que esperar 56 años, para t r ipl icar
el sueldo.
Actividad 4
1. Uti liza las propiedades de los logaritmos para resolver las siguientes operaciones
(redondea tus resultados a cuatro decimales).
a) 4log(125)
b) 8
log9
2. Cambia las siguientes expresiones de la forma exponencial a la logarítmica y viceversa.
a) 53 243
b) 64 = 1 296
c) 6log (7 776) 5
d) 17
log (117 649) 6
e) 34
16log 2
9
3. Escribe como un solo logaritmo las siguientes expresiones.
a) log7 (15) + log
7 (19) – log
7 (27) =
b) 5 5 5log (45) (3)(l og (75) log (5)) =
c) 12
log (49)23
log (7) =
2.6. Identificación de los procesos donde se requie re aplicar las bases matemáticas a la solución eficiente de problemas económico-admi nistrativos
En las secciones anteriores se aplicaron las propiedades de los exponentes, raíces y logaritmos
principalmente a ejercicios de t ipo algebraico. En los siguientes ejemplos veremos la forma
en qué podemos aplicar estas mismas propiedades a problemas económico-administrat ivos
para resolverlos de manera ef iciente.
Ejemplo 18
¿Qué porcentaje de aumento anual debe solicitarse si se desea que un sueldo de $2 000 se
duplique en tres años? (Redondea a cuatro decimales.)
Tenemos:
Sueldo inicial:
C = $2 000
Tiempo:
n = 3 años
Sueldo final esperado:
F = 2(2 000)= $4 000
Deseamos determinar el porcentaje de aumento que se necesita = i.
Como vimos en los ejemplo 3 y 4 el sueldo f inal después de 3 años está dado
por:
4 000 = (2 000) (1+ i)3
Por lo tanto, tendremos:
34 000(1 )
2 000i
O bien:32 (1 )i
Si sacamos la raíz de grado 3 de ambos lados de la igualdad:33 32 (1 )i
Se t iene:
3 2 1 i
Por lo tanto, el porcentaje de aumento buscado es:
3 2 1 (1.2599) 1 0.2599i
Respuesta: Se requiere un aumento del 25.99% anual aproximadamente.
Ejemplo 19
Se ofrece un trabajo con un sueldo inicial de $12 000 y un aumento anual constante que
permit irá duplicarlo en 10 años, ¿qué porcentaje de aumento anual se está ofreciendo?
(redondea a cuatro decimales.)
Nuevamente podemos realizar un análisis como en el ejemplo anterior.
Tenemos sueldo inicial:
C = $12 000
Tiempo:
n = 10 años
Sueldo final esperado:
F = 2 (12 000)= $24 000
Deseamos determinar el porcentaje de aumento:
= i
El sueldo final después de 10 años es dado por:
24 000 = (12 000) (1+ i)10
Por lo tanto tendremos:
1024 000(1 )
12 000i
Es decir:
102 (1 )i
Si sacamos la raíz de grado 10 de ambos lados de la igualdad:
1010 102 (1 )i
Se t iene:
10 2 1 i
Por lo tanto, el porcentaje de aumento buscado es:
10 2 1 (1.0718) 1 0.0718i
Respuesta: Se está ofreciendo un aumento de 7.18% anual aproximadamente.
Ejemplo 20
La población de cierta ciudad es de 500 000 habitantes y crece 2.1% anual, según la ley del
crecimiento natural. Se considera que los servicios públicos actuales resultarán ineficientes en
el momento en que la población llegue a 1 000 000 de habitantes, por este motivo, se planean
iniciar obras que ayuden a prevenir esta situación. Determina en cuántos años deberán estar
listas dichas obras para garantizar que los servicios públicos continúen siendo adecuados.
Sabemos que la población inicial es:
P = 500 000
El factor de crecimiento es:
r = 2.1% = 0.021
La población final será:
A = 1 000 000
Determinar los años (n)
La ley de crecimiento natural queda de la siguiente forma:
0.0211 000 000 (500 000)( ) ne
Entonces:
0.0211 000 000
500 000ne
Por lo tanto:0.0212 ne
Ahora podemos aplicar el logaritmo natural (base e) en ambos lados de la
ecuación:
0.021ln(2) ln( )ne
Utilizando las propiedades del logaritmo tenemos:
ln(2) (0.021)( )(ln( ))n e
Como ln( ) 1e , entonces:
ln(2) (0.021)( )n
Por lo tanto:
ln( )n
.2
0 021
Con ayuda de la calculadora obtenemos:
0.6931533
0.021n
Respuesta: Las obras deberán estar listas en aproximadamente 33 años.
Ejemplo 21
Un cultivo de bacterias crece 10% cada minuto, si en este momento se cuenta con sólo 5
bacterias y se requieren 1 000 para la fabricación de una vacuna, ¿cuánto t iempo se tendrá
que esperar?
Sabemos que la población inicial es:
P = 5
El factor de crecimiento es:
r = 10% = 0.10 cada minuto
La población final:
A = 1 000
Determinar los minutos (n).
La ley de crecimiento natural queda de la siguiente forma:
0.1200 ne
Entonces:
0.11 000
5ne
Por lo tanto:0.1200 ne
Ahora podemos aplicar el logaritmo natural (base e) en ambos lados de la ecuación
y obtendremos:
0.1ln(200) ln( )ne
Por las propiedades del logaritmo natural tendremos:
ln(200) (0.1)( )(ln( ))n e
Como:
ln( ) 1e
ln(200) (0.1)( )n
Por lo tanto:
ln(200)0.1
n
Con ayuda de la calculadora obtenemos:
n5.2 983
52.9830.1
Si en lugar de aplicar el logaritmo natural aplicamos el logaritmo base 10
obtendremos:
0.1log(200) log( )ne
Por las propiedades del logaritmo base 10 tendremos:
log(200) (0.1)( )(log( ))n e
Finalmente:
log(200)
(0.1)(log( ))n
e
Con ayuda de la calculadora obtenemos:
2.3 01052.98
(0.1)(0.4 343)n
Observa que obtuvimos el mismo resultado que en el análisis hecho con el
logaritmo natural.
Respuesta: La población necesaria de bacterias estará lista en 53 minutos.
Ejemplo 22
Para ofrecer un servicio óptimo, una compañía planea abrir una sucursal en el momento
en que logre triplicar el número actual de clientes. Con base en los datos de los primeros
meses se determinó que la clientela está creciendo mensualmente con un factor de 1.28. Si
actualmente cuenta con 200 clientes, ¿en cuántos meses será necesaria la nueva sucursal?
Si hacemos las cuentas de manera semejante al ejemplo 2, obtendremos que el
t iempo de espera para t ripl icar el número actual de clientes está dado por:
600 (200)(1.28) n
Entonces:
600=(1.28)
200n
Por lo tanto:
3 (1.28)n
Ahora podemos aplicar el logaritmo base 10 en ambos lados de la ecuación:
log(3) log(1.28 )n
Por las propiedades del logaritmo tendremos:
log(3) ( )(log(1.28))n
Por lo tanto:
log(3)4.45
log(1.28)n
Respuesta: La nueva sucursal se necesitará en aproximadamente cuatro meses y medio.
Ejemplo 23
Si se cuenta con un sueldo actual de $5 000, ¿cuánto tiempo tendrá que esperarse para
duplicarlo, si se acepta un aumento de 2% trimestral?
Nuevamente uti licemos el razonamiento seguido en el ejemplo 4.
Si nuestro sueldo actual es de $5 000 y deseamos que se duplique con un aumento
de 2% trimestral tendremos:
10 000 = 5 000(1 0.02)n
Entonces:
10 000=(1.02)
5 000n
Por lo tanto:
2 (1.02)n
Ahora podemos aplicar el logaritmo base 10 en ambos lados de la ecuación:
log(2) log(1.02 )n
Por las propiedades del logaritmo tendremos:
log(2) ( )(log(1.02))n
Por lo tanto:
log(2)
log(1.02)n
Con ayuda de la calculadora obtenemos:
0.30 10335.003
0.0 086n
Respuesta: Se tendrá que esperar 36 trimestres.
Actividad 5
Resuelve los siguientes planteamientos (redondea tus resultados a cuatro decimales).
a) ¿Qué porcentaje de aumento anual debe sol icitarse si se desea que un sueldo de
$7 000 se duplique en cuatro años?
b) Se ofrece un trabajo con un sueldo inicial de $10 000 y un aumento anual
constante que permitirá triplicarlo en 8 años. ¿Qué porcentaje de aumento anual
se está ofreciendo?
c) Un cult ivo de bacterias crece 47% cada hora, si en este momento se cuenta con
sólo 10 bacterias y se requieren 17 000 para producir una vacuna, ¿cuántas horas
se tendrá que esperar?
d) Para poder abrir una franquicia se debe contar con un público potencial de 700
personas. En este momento se analiza la posibi l idad de establecerse en una nueva
plaza comercial. Con base en los datos de los primeros meses se determinó que
la clientela potencial es de 150 personas y que está creciendo mensualmente en
un factor de 1.38. ¿En cuántos meses se contará con el público necesario para
abrir la franquicia?
e) ¿Cuantos años se tendrá que esperar para triplicar un sueldo de $55 000, si se
acepta un aumento de 2% anual?
Autoevaluación
1. Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a:
3
5 2
6
ab
a)
5 36 2a
b
b)
35
2
36
2
a
b
c) 152
9
ab
2. Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a:
5 60 204 a b
a) 60 209 a b
b) 3a b
c) 1
60 20 9( )a b
3. Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a:
log3 (41) + log
3 (7) – log
3 (2)
a) 3
(41)(7)log
2
b) 3log ((41)(7)( 2))
c) 3log (41 7 2)
4. Se ofrece un trabajo con un sueldo inicial de $10 000 y un aumento anual constante que
permitirá duplicarlo en 12 años, ¿qué porcentaje de aumento anual se está ofreciendo?
a) 8.7%
b) 5.95%
c) 4.87%
5. Un cultivo de bacterias crece 20% cada minuto, si en este momento se cuenta con sólo
7 bacterias y se requieren 1 000 para producir una vacuna, ¿cuánto t iempo se tendrá
que esperar?
a) Aproximadamente 30 minutos.
b) Aproximadamente 27 minutos.
c) Aproximadamente 25 minutos.
6. Si se cuenta con un sueldo de $15 500 ¿cuantos bimestres se tendrá que esperar para
triplicarlo, con un aumento del 3.5% bimestral?
a) 30 bimestres.
b) 32 bimestres.
c) 29 bimestres.
Respuestas a las actividadesActividad 1
a) El peso inicial del cultivo de bacterias es de 70 gramos y crecen cada hora conforme
un factor de 1.18, por lo tanto, después de 24 horas el cultivo pesará:
24(70)(1.18) (70)(53.11) 3 717.6 gramos
Como el pedido solicita 1 200 gramos, sí se puede cubrir en el tiempo establecido.
Respuesta: Sí deben aceptar el pedido.
b) Si el porcentaje de aumento es de 7% trimestral y si cada año tiene 4 trimestres, al
término del primer año tendremos:
4(25 000)(1 0.07)
Por lo tanto, al término del quinto año se tendrá:
Sueldo final = 4 5(25 000)((1 0.07) ) pesos
Aplicando la ley de los exponentes:
4 5 20(25 000)((1 0.07) ) (25 000)(1.07)
H aciendo los cálculos:
20(25 000)(1.07) (25 000)(3.87) 96 750
Respuesta: A l término de los cinco años se tendrá un sueldo de aproximadamente
$96 750
c) H agamos los cálculos para cada caso.
Pr imero revisemos la cant idad que se obt iene al aceptar un aumento de
2% bimest ral .
Como un año tiene 6 bimestres, después de un año se tendrá:
6 6(1 500)(1 0.02) (1 500)(1.02)
Por lo tanto, al término del año se tendrá un sueldo de:
Sueldo final = 6 5(1 500)((1.02) ) pesos
Aplicando la ley de los exponentes:
6 5 30(1 500)((1.02) ) (1 500)(1.02)
H aciendo los cálculos:
30(1 500)(1.02) (1 500)(1.81 136) 2 717.04
Ahora revisemos la cant i dad que se obt i ene al aceptar un aumento del
3% trimestral.
Como un año tiene 4 trimestres, después de un año se tendrá:
4 4(1 500)(1 0.03) (1 500)(1.03)
Por lo tanto, al término del tercer año se tendrá un sueldo de:
Sueldo final 4 3= (1 500)((1.03) ) pesos
Aplicando la ley de los exponentes:
4 3 12(1 500)((1.03) ) (1 500)(1.03)
H aciendo los cálculos:
12(1 500)(1.03) (1 500)(1.4 258) 2 138.70
Respuesta: Conviene más aceptar un aumento del 2% bimestral durante los
cinco años.
Actividad 2
Resuelve las siguientes operaciones.
a) 4 5 4 5 16 15 313 4 3 4 12 12a a a a a
b)
33 3 3 8 52 442 2 2 2
542
1( )
aa a a a a
a a
c)
66 5 6 5 12 35 2377 2 7 2 14 14
235142
1aa a a a a
aa
d) a a a a
23 23 6 235 35 15 5
e) aa a a a
b b bb b
45
45
44 5 455 455
410 8 21010 5
( )
( )
f )
624 6 64 24 122 2
2 4 63 2 23 6 24 6 2 3
1 1a b a b a b a b
a b a b
Actividad 3
Uti liza las propiedades de los exponentes y las raíces para simplif icar las siguientes expresiones.
a) 3 27 3 porque 33 = (3) (3) (3) = 27
b) 3 11 3 13
39 9 39 9 3( 8) 8 8 8 8 8 2
c) 4 11 4 14
48 88 8 212
1 1 1( 25) 25 25 25 25
52525
d) 2
2 233(64) ( 64) (4) 16
e) 13 4 13 44 1 1
13 5 4 3 8 8 2 24 4 44 445 35 34
( ) ( )a b a b
a b a b a b a b a ba ba b
Actividad 4
1. Resuelve las siguientes operaciones.
a) 4log(125) 4 log(125) (4)(2.0 969) 8.3 876
b) 8
log log(8) log(9) 0.05129
2. Cambia las siguientes expresiones de la forma exponencial a la logarítmica y viceversa.
a) 533 243 entonces log (243) 5
b) 466 1 296 entonces log (1 296) 4
c) 56log (7 776) 5 entonces 6 7 776
d) 6
17
1log (117 649) 6 entonces 117 649
7
e) 2
34
16 3 16log 2 entonces
9 4 9
3. Escribe como un solo logaritmo las siguientes expresiones:
a) log7 (15) + log
7 (19) – log
7 (5) =
Primero simplif icamos la expresión:
log7 (19) – log7 (5)
7 7
19log7 (15) + log7 (19) – log7 (5) = log (15) log
5
Ahora simplif icamos los términos restantes:
7 7 7
19 19log (15) log log (15)
5 5
Como (15) es divisible entre (5) tenemos:
7 7
19log (15) log ((3)(19))
5
H acemos la mult iplicación indicada:
7 7l og ((3)(19)) log (57)
Finalmente:
log7 (15) + log7 (19) – log7 (27) = log7 (57)
b) log5 (45) – ( 3 ) (log
5 (75) – log
5 (5)) =
Primero simplif icamos la expresión encerrada entre paréntesis:
5 5
75log5 (45) – ( 3 ) (log5 (75) – log5 (5)) = log (45) (3) log
5
Realizamos la división indicada:
5 5 5 5
75log (45) (3) log log (45) (3) log (15)
5
Aplicamos la propiedad de la potencia de los logaritmos:
35 5 5 5log (45) (3) log (15) log (45) log (15 )
Simplif icamos los términos restantes:
35 5 5 53
45 1log (45) log (15 ) log log
15 75
Finalmente:
log5 (45) – ( 3 ) (log
5 (75) – log
5 (5)) = 5
1log
75
c) 12
log (49) – 23
log (7) =
Primero aplicamos la ley de la potencia de los logaritmos:
1 22 3
1 2log (49) – log (7) = log 49 log 7
2 3
Simplif icamos los términos restantes:
1 22 3
23
7log 49 log 7 log
7
Simplif icamos la división indicada:
2 11
3 323
7log log 7 log 7
7
Finalmente:
13
1 2log (49) – log (7) = log 7
2 3
Actividad 5
a) Tenemos un sueldo inicial
C = $7 000
Tiempo:
n = 4 años
Sueldo final esperado:
F = $14 000
Deseamos determinar el porcentaje de aumento = i
Como el sueldo f inal después de 3 años es dado por:414 000 (7 000)(1 )i
Entonces tendremos:
414 000(1 )
7 000i
O bien:
42 (1 )i
Si sacamos la raíz de grado 4 de ambos lados de la igualdad:
44 42 (1 )i
Aplicando la ley de los exponentes:
4 2 1 i
Por lo tanto, el porcentaje de aumento buscado es:
4 2 1i
H aciendo los cálculos:
i (1.18 921) 1 0.1 892
Respuesta: Se requiere de una aumento de 18.92% anual aproximadamente.
b) Tenemos
Sueldo inicial es:
C = $10 000
Tiempo:
n = 8 años
Sueldo final esperado:
F = $30 000
Deseamos determinar el porcentaje de aumento = i
Como el sueldo f inal después de 8 años es dado por:830 000 (10 000)(1 )i
Por lo tanto, tendremos:
830 000(1 )
1 000i
O bien:83 (1 )i
Si sacamos la raíz de grado 8 de ambos lados de la igualdad:88 83 (1 )i
Aplicando la ley de los exponentes:
8 3 1 i
Por lo tanto, el porcentaje de aumento buscado es:
8 3 1i
H aciendo los cálculos:
(1.1 472) 1 0.1 472i
Respuesta: Se requiere un aumento de 14.72% anual aproximadamente.
c) La población inicial es:
P = 10
El factor de crecimiento es:
r = 47% cada hora
La población final:
A = 17 000
Determinar las horas (n).
La ley de crecimiento natural queda de la siguiente forma:
0.4717 000 (10)( ) ne
Entonces:
0.4717 000
10ne
Por lo tanto:
0.471 700 ne
Ahora podemos aplicar el logaritmo natural en ambos lados de la ecuación:
0.47ln(1 700) ln( )ne
Por las propiedades del logaritmo natural tendremos:
ln(1 700) (0.47)( )(ln( ))n e
Como:
ln( ) 1e
ln(1 700) (0.47)( )n
Por lo tanto:
ln(1 700)15.83
0.47n
H aciendo los cálculos:
n7.4 384
15.830.47
Respuesta: La población necesaria de bacterias estará lista en 16 horas.
d) El t iempo que se tendrá que esperar para alcanzar el número de clientes requerido
está dado por:
(150)(1.38) 700n
Entonces:700
(1.38)150
n
O bien:
n(1.38) 4.6667
Ahora podemos aplicar el logaritmo base 10 en ambos lados de la ecuación y
obtendremos:
log(4.6 667) log(1.38 )n
Por las propiedades del logaritmo tendremos:
log(4.6 667) ( )(log(1.38))n
Por lo tanto:
log(4.6 667)
log(1.38)n
H aciendo los cálculos:
0.6694.78
0.1 399n
Respuesta: Se contará con el público necesario dentro de 5 meses.
e) El sueldo actual es de $55 000 y deseamos que se triplique con un aumento de
2% anual.
165 000 = 55 000(1 0.02)n
Entonces:
165 000=(1.02)
55 000n
Por lo tanto:
3 (1.02)n
Ahora podemos aplicar el logaritmo base 10 en ambos lados de la ecuación:
log(3) log(1.02 )n
Por las propiedades del logaritmo tendremos:
log(3) ( )(log(1.02))n
Por lo tanto:
log(3)
log(1.02)n
H aciendo los cálculos:
0.47 71255.48
0.0 086n
Respuesta: Se tendrán que esperar 56 años para triplicar el valor del sueldo inicial.
Respuestas a la autoevaluación
1. c)
2. b)
3. a)
4. b)
5. c)
6. b)