Definición y notación

El triángulo

• Un triangulo es una superficie plana TRILATERA; es decir tiene TRES LADOS y por lo tanto TRES ANGULOS y TRES VERTICES.

• *Es el polígono con menos lados.• Los vértices de un triangulo son los puntos en

donde se cortan sus lados.

Clasificación de los triángulos*

• Clasificación según sus lados

Triángulo escaleno

Triángulo isósceles

Triángulo equilátero

Triangulo escaleno.

• Es aquel que ninguno de sus lados son iguales.

• Las letras minúsculas se emplean para designar sus lados y se ponen en correspondencia con los ángulos opuestos

A B

C

ab

c

Triángulo isósceles*

• Es aquel que tie

ne dos de

sus lados ig

uales.

A

C

Bc

ab

Triángulo equilátero*

• Es aquel que tiene sus tres lados iguales a=b=c.

• También se le llama acutángulo por tener sus tres ángulos iguales ∟a=∟b=∟c y estos miden siempre 60° A B

C

Clasificación de los triángulos según sus ángulos

Rectángulo

Obtusángulo

Acutángulo

Triángulo rectángulo*

• Tiene un ángulo recto de 90°

• Al lado opuesto se le llama hipotenusa

• Los lados perpendiculares se llaman catetos .

C B

A

c

b

a

Hipotenusa

Cateto

Cateto

Lado recto 90°

Triángulo obtusángulo*

• Es aquel que tiene un ángulo obtuso (mayor de 90°)

D

E

F

Ángulo obtuso

Triángulo acutángulo*

• Es aquel que tiene sus tres ángulos agudos .• A los Δ acutángulo y obtusángulo se les llama

también oblicuángulos.

A

B

C

Rectas y puntos notables en un triángulo

Medianas Mediatrices

Bisectrices

Alturas

Las rectas notables son

• Segmento trazado desde un vértice hasta el punto medio de lado

opuesto.

Mediana*

Mediatriz *

• Perpendicular trazada en el punto medio de cada lado.

Bisectriz*• La bisectriz de un ángulo es la recta que

partiendo de su vértice divide al ángulo en dos partes exactamente iguales.

Altura*• Perpendicular trazada desde un vértice al lado

opuesto o su prolongación. Hay tres alturas, una correspondiente a cada lado.

Puntos notables*

*Las rectas donde se cortan

lasa rectas notables en un

triangulo son:

• Centro de gravedad del triangulo en donde se cortan las rectas notales.

• Punto de intersección de las tres mediatrices; este punto es el centro del circulo circunscrito al triángulo.

Baricentro Circuncentro

• Punto donde se interceptan las bisectrices, o sea el centro del circulo inscrito en el triángulo.

• Punto donde se cortan las tres alturas del triángulo.

Incentro* Ortocentro*

Propiedades de los triángulos*

*La altura correspondiente a la base de un triangulo isósceles es también la mediana, mediatriz y bisectriz de dicho triángulo.

*En dos triángulos congruentes, a ángulos congruentes se oponen lados congruentes y viceversa. Estos lados y ángulos se llaman HOMÓLOGOS.

*En todo triangulo un lado es menor que la suma de otros dos y mayor que su diferencia.

*En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo y viceversa.

*En dos triángulos que tienen dos lados respectivamente congruentes, y no congruente el ángulo comprendido, a mayor ángulo se opone mayor lado.

Teoremas sobre los triángulos*

La suma de los ángulos

interiores de un triángulo es igual a 180°

La suma de los 2 ángulos agudos de un triangulo recto es igual a

90°

La suma de los tres ángulos ext.

Es igual a 4 ángulos rectos

=360°

Un ángulo externo = a la suma de los 2

ángulos internos que

no le son adyacentes

*congruencia*

Triángulos congruentes*

Son los que tienen igual forma y

tamaño.

Si dos triángulos son congruentes por consiguiente tendrán sus lados y ángulos correspondientes iguales.

Si dos triángulos son congruentes, sus

elementos homólogos son iguales

(homólogos=correspondientes).

• Razón de un numero “a” a otro numero “b”, de la misma especie, es el cociente indicado del primero entre el segundo.

• El numerador de la razón es el antecedente y el denominador es el consecuente

RAZONES

• La igualdad de dos razones es una proporción.

• Una proporción se escribe a:b=c:d y se lee “a” es a “b” como “c” es a “d”

• Las literales a y d son los extremos y b y c los medios.

• Si los medios son iguales la proporción

es continua 2:8::8:32

PROPORCIONES

El cuarto termino de una proporción se

denomina cuarta proporcional

2:3=4:x

Si los 2 medios de una proporción son

iguales ,se denomina medio proporcional

entre y el primero y el cuarto

27:9=9:3

La tercera proporcional es el cuarto termino de una proporción en que los

medios son iguales como a:b=b:cb es la media proporcional de a y c, y c

es la tercera proporcional.

Propiedades de las proporciones*

*en toda proporción el producto de los medios es

igual al producto de los extremos .

a:b::c:d entonces ad=bc

*una proporción se puede transformar en otra,

invirtiendo los términos de cada razón.

2:x::8:5 entonces x:2::5:8

En toda proporción un extremo cualquiera es igual al producto de los medios

entre el extremo conocido.En a:b::c:d ; a=bc/d , o

d=bc/a

En toda proporción un medio es igual al producto

de los extremos entre el medio conocido.

En x:y::z:w; y=xw/z, o z=xw/y

La media proporcional, aplicando el principio 4,

será igual a la raíz cuadrada del producto de los

extremos .Si b3:x::x:27;x²=81; x=81=9

Semejanza*

Si dos figuras son semejantes

llamamos partes homologas a aquella

parte de una de la figura y su imagen bajo la semejanza.

Los polígonos semejantes, tienen la misma forma aunque no

necesaria mente el mismo tamaño.

Se denomina

polígonos semejantes

los que tienen sus

ángulos

correspondientes

congruentes

RAZÓN DE SEMEJANZA*

Teorema básico de la proporcionalidad

*toda recta paralela a uno de los lados de un triangulo determina un triangulo semejante al dado.

a b

d

e

c

Es la razón de 2 lados homólogos

I) Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes.

II) Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y congruente en ángulo comprendido (l.a.l.).

III) Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados proporcionales (l.l.l.)

TEOREMAS*

Teorema de pitágoras*

Teorema*

El cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triangulo rectángulo es igual a la suma delos cuadrados construidos sobre los catetos.

C²=a²+b²