CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS

Trigonometría

TEOREMAS Y POSTULADOS

TRIÁNGULOS

Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo.

Para designar un triángulo se emplea el símbolo y para el plural ‘s .

Para nombrarlo se pueden usar las 3 letras de sus vértices en cualquier orden.

CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS

Se clasifican según la igualdad o la desigualdad de sus lados , o la clase de ángulos que tengan:

Equilátero Isósceles Escaleno

CLASIFICACION DE LOS TRIÁNGULOS SEGÚN SUS LADOS

a) TRIÁNGULO ESCALENO: es aquel que ninguno de sus lados son iguales.

b) TRIÁNGULO ISOSCELES: tiene iguales dos de sus lados.

c) TRIÁNGULO EQUILATERO: tiene sus tres lados iguales; también se le llama acutángulo, por tener sus tres lados iguales (estos miden siempre 60°).

Rectángulo Obtusángulo Acutángulo

Oblicuángulos

CLASIFICACION DE LOS TRIÁNGULOS SEGÚN SUS ÁNGULOS.

a) TRIÁNGULO RECTÁNGULO: tiene un ángulo recto (90°).

b) TRIANGULO OBTUSANGULO: tiene un ángulo obtuso, mayor a 90°.

c) TRIANGULO ACUTANGULO: tiene sus tres ángulos agudos.

RECTAS Y PUNTOS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO

Las rectas notables son: a. Medianas b. Mediatricesc. Bisectrices d. Alturas De cada una de ellas en cualquier

triangulo son tres.

MEDIANA

Segmento trazado desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto.

MEDIATRIZ

Perpendicular trazada en el punto medio de cada lado.

BISECTRIZ

Recta que partiendo de su vértice divide al ángulo en dos partes exactamente iguales.

ALTURA

Perpendicular trazada desde un vértice, al lado opuesto o a su prolongación. Hay tres alturas correspondientes a cada lado.

En un triángulo obtusángulo, las alturas correspondientes a los lados del ángulo obtuso caen fuera del triángulo, por lo tanto el ortocentro también.

A B

C

Ortocentro

Altura Altura

Altura

TRAZOS

TRAZADO DE UNA BISECRIZ: con un ángulo cualquiera, con el compas haciendo centro en el vértice del ángulo y con una distancia cualquiera, se marcan los puntos B y C en los lados del ángulo; con esa misma abertura del compas, haciendo centro en B trazar un arco D, haciendo lo mismo con el punto C, se vuelve a cruzar en el arco D. Uniendo el vértice del ángulo con el punto D, se obtendrá la bisectriz del ángulo.

TRAZADO DE LA MEDIATRIZ: En un segmento cualquiera abrimos el compas a más de la mitad del segmento, y haciendo centro en los dos extremos de él, se trazan los arcos C y D, a cada lado del segmento. Se unen los dos cruces de los arcos hechos con una recta, esta será la mediatriz del segmento.

C

D

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO: se sigue el mismo procedimiento para trazar o localizar el punto medio; solo se unen los arcos r y n sobre el segmento AB y se hará una marca que será M, exactamente el punto medio de un segmento .

n

PUNTOS NOTABLES

Los puntos donde se cortan las rectas notables en un triangulo son:

1.BARICENTRO:

Centro de gravedad del triangulo donde se cortan las medianas.

2.CIRCUNCENTRO: punto de intersección de las tres mediatrices; este punto es el centro del circulo circunscrito al triangulo.

INCENTRO: punto en donde se interceptan las bisectrices, o sea el centro del circulo inscrito del triangulo.

ORTOCENTRO: punto donde se cortan las 3 alturas del triángulo.

PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS

I. La altura correspondiente a la base de un triángulo isósceles es también la mediana, mediatriz y bisectriz de dicho triángulo.

AlturaMedianaMediatrizBisectriz

II. En dos triángulos congruentes, a ángulos congruentes se oponen lados congruentes y viceversa. Estos lados y ángulos se llaman homólogos.

III. En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

IV. En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo y viceversa.

V. En dos triángulos que tienen dos lados respectivamente congruentes, y no congruente el ángulo comprendido, a mayor ángulo se opone mayor lado.

ALGUNOS TEOREMAS IMPORTANTES SOBRE TRIÁNGULOS

TEOREMA 1La suma de los ángulos

interiores de todo triángulo es igual a dos ángulos rectos o sea 180°.

A B

C

M N

x y

<A+<B+<C=

2rt.=

180°

TEOREMA 2

Es un COROLARIO del teorema 1.

La suma de los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo es igual a un recto (90°).

C

AB

<A + <C= 1rt. = 90°

TEOREMA 3La suma de los

tres ángulos exteriores o externos de todo triángulo es igual a 4 ángulos rectos (360°)

A

C

BX

Y

Z

TEOREMA 4:

Un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos internos que no le son adyacentes. A B

C

X

<X = <A + <C

CONGRUENCIA

TRIÁNGULOS CONGRUENTESSon los que tienen igual forma y tamaño. Si dos triángulos son congruentes, sus lados y ángulos correspondientes son iguales.

A B

C70°

60°

50°

C’

A’

B’

50°

70°

60°

MARCAS EN LAS PARTES HOMÓLOGAS

Los triángulos congruentes se pueden sobreponer, entonces los ángulos de un triangulo que coinciden con el otro se llaman, ángulos homólogos y los lados que coinciden serán homólogos.

LOS PRINCIPALES CASOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS SON 3:

Si un triangulo tiene dos lados y el ángulo comprendido congruentes a los elementos correspondientes de otro, entonces los dos triángulos son congruentes.