Post on 11-Aug-2015
1
Trabajo final de Matemáticas
Susana Ceniceros Becerra 1 “a”
2
Indice Algebra Definicion Operaciones Algebraicas Suma……………………………………………………………………………………………………………………………………………..3 Ejemplo de Suma Resta Ejemplo de Resta Multiplicacion…………………………………………………………………………………………………………………………………4 Ejemplo de Multiplicacion Division/Ejemplos…………………………………………………………………………………………………………………………..5 Monomio entre monomio & Polinomio entre polinomio/Ejemplos Polinomio entre polinomio/Ejemplos……………………………………………………………………………………………6 Conclusiones Prductos Notables Binomio a una potencia Binomio al cuadrado/Ejemplos Binomio al cubo/ Ejemplos…………………………………………………………………………………………………………….7 Binomio a potecia superior/Ejemplo Binomio termino comun/Ejemplo Binomio Conjugado/Ejemplo Conclusion………………………………………………………………………………………………………………………………………8 Factorizacion Factor Comun/Ejemplo Agrupacion/Ejemplo…………………………………………………………………………………………………………………….. 9 Trinomios Cudraticos TCP/Ejemplo ax2+bx+c/Ejemplo Diferencia de Cuadrados /Ejemplo Suma y Diferencia de cubos/Ejemplo Conclusion……………………………………………………………………………………………………………………………………10 Division Algebraica Simplificacion/Ejemplo Multiplicacion y Division/Ejemplo………………………………………………………………………………………………..11 Suma y Resta/Ejemplo Conclusion Fraccion Compleja Ecuaciones Lineales……………………………………………………………………………………………………………………12 Una Incognita/Ejemplo………………………………………………………………………………………………………………..13 Graficas ………………………………………………………………………………………………………………………………….14-15 Dos incognitas/Ejemplo …………………………………………………………………………………………………………15-16 Problemas Ecuacion Caudraticas Metodos Ecuacion Incompleta/Ejemplo…………………………………………………………………………………………………….17 Sin termino Lineal/Ejemplo Formula General/Ejemplo……………………………………………………………………………………………………………18 Graficas ………………………………………………………………………………………………………………………………….19-20 Conclusion……………………………………………………………………………………………………………………………………20
3
Algebra Parte de las matemáticas que estudia la relación de números y variables para construir modelos matemáticos. Si bien la palabra "álgebra" viene de la palabra árabe (al-Jabr, بر ج sus orígenes se remontan a ,(الlos antiguos babilonios, que habían desarrollado un avanzado sistema aritmético con el que fueron capaces de hacer cálculos en una forma algebraica. Con el uso de este sistema fueron capaces de aplicar las fórmulas y soluciones para calcular valores desconocidos. Este tipo de problemas suelen resolverse hoy mediante ecuaciones lineales, ecuaciones de segundo grado y ecuaciones indefinidas.
yx
x
x
73
053
13
2
2
3
Estos son ejemplos de Expresión Ecuación Y Función Algebraicas Clasificación por términos Monomio (1) Binomio (2) Trinomio (3) Polinomio (4) Por grado exponente mayor Lineal (1) Cuadrático (2) Cubico (3) 4° 5° 6° grado etc. Depende de la suma de los exponentes
Operaciones Algebraicas Suma La suma (algebraica) es la operación binaria que tiene por objetivo el reunir dos o más sumandos, en una sola expresión llamada suma o adición. El modo de resolverla es
Los coeficientes son lo que se suman
Signos iguales se suman
Signos diferentes se restan(ordenar signo del mayor al menor)
Ordenar y Clasificar
4
Ejemplos
43612324354
24
37
6
1
4
7
8
7
2
5
6
12
3
4
4
3
124815237253425
222
2333232
zyzyyzzy
xxxxx
aaaaaaaaaaaa
1°polinomio cubico 2°trinomio cuadrático 3°trinomio lineal Resta La resta (algebraica) es la operación binaria que tiene por objetivo hallar el sumando desconocido, cuando se conocen la suma o adición el minuendo y uno de los sumandos (el sustraendo)
Se cambia el signo a todos los términos de la expresión antecedidos por (-)
Sumar
Ordenar y clasificar
Ejemplos
3108326252465
36
127
24
55
3
5
9
2
2
3
4
5
3
85
8
3
6
1
7513562527
258644256102736
581494138645634
811334653478745
34234234
23523525
23423234
xyxyxxyyxyxy
Invetado
yxxyyx
yyxyxyyyxyxyyxy
xxxxxxxxxxx
mmmmmmmmmmm
nmnmnmnnm
1°trinomio lineal 2°polinomio 4° 3°polinomio 5° 4°polinomio 5° 5°trinomio lineal
6°polinomio cuadratico
Multiplicación Se resuelven
Los coeficientes se multiplican aplicando la ley de los signos
Los exponentes de las mismas literales se suman
Se aplica la ley distributiva
Se simplifica “sumando” términos semejantes
Ordenar y clasificar
5
Ejemplos
3322322
2
23422
5
232
232
23422
610242634
20264253
3
4
9
5
70
11
35
54
35
63
2
7
7
3
9
4
3
1
5
2
61210202435
4
3
40
83
2
3
15
8
2
3
5
2
2
1
4
5
3
4
11101212413
617512425232
3
17
12
1
2
11
4
1
4
3
3
2
2
1
abbabaabbabab
yyyy
zzzzzzzz
mmmmmmmm
aaaaaa
xxxxxx
xxxxxxxx
1°polinomio 4° 2°polinomio cubico 3°polinomio cubico 5°polinomio 4° 6°trinomio cuadrático 7°trinomio 5° Un terreno rectangular mide 2x-4 metros de largo y 5x-3 metros de ancho ¿Cuál es el modelo matemático que expresa su área?
(2x-4)(5x-3)= 122610 2 xx trinomio cuadratico En una tienda se compra tres diferentes artículos A, B y C A cuesta 3x por unidad se compran 5. B cuesta 4x-2 por unidad y se compraron 3 unidades y C cuesta ¾ x por unidad y se compraron 7 unidades ¿Cuál es el modelo matemático del costo final? A= (3x)(5)=15x monomio lineal B= (4x-2)(3)=12x-6 binomio lineal
C=( ¾ x)(7) = x4
21 monomio lineal
División Existen tres tipos +Monomio entre monomio +Polinomio entre polinomio +Polinomio entre monomio
6
Monomio entre Monomio & Polinomio entre Monomio *Los coeficientes se dividen o simplifican aplicando la ley de los signos *Los exponentes de las mismas literales se restan; si queda residuo se indica donde estaba el mayor *El coeficiente solo se indica arriba si es lo único que queda Ejemplo
xyyxxy
yxxyxyyx
aaa
a
aaa
xxxx
xxxx
mnnmnmn
m
nm
nmnmnmnm
54312
10862
2
552
2
5104
32145
1510520
61054
2
1220108
2222
35
3
468
23234
53357
32
83654729
Polinomio entre polinomio +Se divide dentro de la casita +El numero Siempre se divide entre el primer termino +Después se multiplica el producto por el segundo +Y al pasarlo se le cambia el signo Ejemplo
11237
337114
132132
372a
122
242
432
823
2
2334
23
2
yy
yy
aaaa
aa
xxx
xx
xx
xx
Si un espacio rectangular tiene un área de 6x2-19x y la anchura es 3x-5 ¿Cuánto mide la base? 2x-3
7
Conclusión
Mi conclusión sobre este tema es que este tipo de problemas son la base de el resto para poder aprender a utilizarlas sin necesidad de esta checando siempre el procedimiento Productos notables Es la multiplicación de expresiones algebraicas especiales mediante la aplicación de reglas para obtener el resultado Binomio a una Potencia Los binomio a una potencia es la multiplicación de (n) veces un mismo binomio Binomio al cuadrado Resultado es un TCP +Cuadrado del primer termino +Doble producto de los dos términos +Cuadrado del segundo termino Ejemplo (3a+4)2= 9a2+24a+16 (2x2-5)2= 4x4-20x2+25 (7m+8n)2= 49m2+112mn+64n2
Binomio al cubo +Cubo del primero +Triple del producto del cuadrado del primero por el segundo +Triple del producto del cuadrado del segundo por el primero +Cubo del segundo Ejemplo (4a+5)3= 64a3+240a2+300a+125 (2a3-7)3= 8a9-84a6-294a3-343 (5m+4)3= 125m3+300m2+240m+64
8
Binomio a Potencia superior Se utiliza el triangulo de Pascal, multiplicando los dos términos por los números indicados
Ejemplo
72958321944034560345601843409634
10242560256012803203242
16962162168123
36912151863
24681052
2344
yyyyyyy
xxxxxx
xxxxx
Binomio con término común +Se saca el cuadrado del común +Suma o resta de los diferentes por el común +Producto de los diferentes Ejemplo
4541
65252535
8224
151645232
2422
22
2
2
aaaa
babababa
mmmm
xxxx
Binomio conjugado +Cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo Ejemplo
9163434
4997373
111
933
2
422
xxx
aaa
xxx
Conclusión Que es estos métodos son lo inverso de los de Factorización
9
Factorización
Ejemplos Factor común
yxxyxyyx
aaaa
34124
25105
22
2
Agrupación
yxzyzxz
yxwywxw
yxzwyzxzywxw
Factorizacion
Factor Común
El metodo que debe probarse en primer lugar, se aplica cuando todos los terminos tengan una
misma variable y/o sus coeficientes sean multiplos de un mismo
numero
Trinomios Cuadraticos
TCP
TCP(Trinomio al CuadradoPerfecto). No existe
factor común los extremos tienen raíz exacta y ek termino central es e
doble producto de dichas raices
x2+mx+nNo tiene factor común ni es TCP.Se
factoriza a dos binomios con termino común
ax2+bx+c No tiene factor común ni es TCP.Se
factoriza por agrupación
Diferencia de cuadradosEs un binomio donde los terminos se restan y tienen raíz caudrada exacta, se factoriza a binomios
conjugados
AgrupaciónNo existe factor común la expresion
se divide en parejas comunes (al menos cuatro terminos)
Suma o Diferencia de Cubos a3+-b3=(a+-b)(a2+-ab+b2)
10
Trinomios Cuadráticos TCP
22 74914 nnn
x2+ mx+ n
71711924
6742
594514
103030020
695415
2
2
2
2
2
aaaa
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
ax2+ bx+ c
5723532
122326
43212112
2356135
345342152068
345215148
2
2
2
2
2
2
mmmm
yyyy
xxxx
xxxx
mmmmmm
mmmm
Diferencias de Cuadrados
7272494
1212144
131319
85856425
2
2
336
22
mmm
xxx
xxx
bababa
Suma o Diferencia de cubos
2520165412564
39327
23
26339
xxxx
babababa
Conclusión Es lo inverso a productos notables debe analizarse cual ecuación debe ser utilizada para poder obtener el resultado correcto
11
División Algebraica Simplificación
6
3
186
93
1
4
54
204
4
4
168
16
2
2
2
2
ba
ba
x
x
xx
xx
x
x
xx
x
Multiplicación y división
divisiónbc
ad
d
c
b
a
ciónmultiplicabd
ac
d
c
b
a
*
5
1
276
4512
454
1514
3
3232
62
32
3
94
64
45
124
1812
3
153
2
24
16
84
82
4
6
2
126
102
25
103
144
17
3114
45
16
217
134
53
123
56
127
96
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
22
2
2
2
2
x
x
xx
xx
xx
xx
yx
yxx
yx
x
yx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
xyx
yx
xx
yxyx
yx
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
12
Suma y Resta
227
28123
2
2
145
3416
2444102
127
4
6
2
11
23
1
3
1
312
94
3423
3
2
2
23
22
2
2
22
xxx
xx
xxx
x
aaaa
aaa
aaaa
a
mm
mm
m
m
m
m
aaa
a
aa
a
aa
a
Conclusión Se tienen que emplear los mismos métodos de Factorización para resolverlas El método de factorización debe analizarse ya que solo por un método se pueden resolver esto radica en el resultado. Fracción Compleja Fracción en la que el numerador o el denominador, o ambos, contienen fracciones. Primero halle el mínimo común denominador (MCD) de los Denominadores de todas las expresiones racionales que están tanto en el Numerador como en el denominador, luego multiplique arriba y abajo de la Fracción compleja por el MCD encontrado, cancelando factores y simplificando. Después factorice el numerador y el denominador de la fracción compleja y Simplifique. Son fracciones dentro de una fracción. Ecuaciones lineales Una ecuación lineal (grado mayor =1) representa una línea recta tipo: y=a+bx a=ordenada al origen (interacción en y) b= pendiente (inclinación)
13
Una incógnita
76
87
32
32514325
267
20
1
3
2
2
5
3
7
52
34
30
2
1
3
2
4
35
9
15
25432232343
3
9
27
279
1017413
1041713
4314755128
432715324
x
xxxx
x
xxxx
x
xxx
x
xxxxx
x
x
x
xx
xx
xxxx
xxxx
14
Graficas
Y=5x-1 B=.2 A=-1
Y=2x+3
A=3 B=-1.5 Y= 1/2x +2
15
A=2 B=-4 Dos incógnitas
21
74
432
yx
yx
yx
16
021
943
3
17
22
17
20
1053
64
nm
nm
nm
ba
ba
ba
1216
1253
82
9
21
9
3
32
325
yx
yx
yx
qp
qp
qp
5
11
5
18
243
52
17
13
17
41
25
723
ih
ih
ih
nm
nm
nm
17
Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $1.5 niños se se vendieron 1000 boletos recaudando $3500 ¿Cuántos de cada tipo se vendieron? Se vendieron 200 boletos de niño y 800 boletos de adulto Si se mezcla una aleación que tiene 30% de Ag con otra que contiene 55% del mismo metal para obtener 800kg aleación al 40% ¿Qué cantidad de cada una debe de emplearse? 120kg de la aleación del 30% y 680kg de la aleación de 55%
Ecuaciones cuadráticas Una ecuación cuadrática representa una parábola vertical donde las raíces son el punto de con x El modelo es ax2+bx+c=0 Métodos de resolución + Ecuaciones cuadráticas incompletas +Sin término lineal +Formula General +Completar TCP Ecuaciones cuadráticas incompletas *Sin término Independiente *Una de las respuestas siempre es 0
8
7
0
078
3
0
03
3
0
0217
2
1
2
2
1
2
2
1
2
x
x
xx
x
x
xx
x
x
xx
18
Sin término lineal *Se despeja
5
5
025
4142.1
4142.1
0105
2
2
0164
2
1
2
2
1
2
2
1
2
x
x
a
x
x
x
x
x
x
Completar el TCP *Se intercambia el término lineal para completar un TCP *Se nivela la ecuación *Se despeja Formula General
ix
ix
itt
ix
ix
iyy
x
x
mm
x
x
aa
a
acbb
75.125.0
75.125.0
012
0714.5821412.0
0714.582142.0
01037
8647.0
6424.0
0529
1
2
023
2
4
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
19
Graficas Y=x2-1 A=-1 B=-1 C=1
Y=x2+5x+6 A=-3 B=-2 C=6
20
Y=-x2-4 ¿? Conclusiones Finales En el primer parcial se nos dieron las bases para el Algebra se nos enseño la clasificación, los grados, las operaciones de suma resta, multiplicación y división esta fue la base para el siguiente nivel ya que estas se aplicarían después en los productos notables. Esto nos lleva al segundo parcial donde se nos explicaron los binomios a diferentes potencias, los conjugados y los de termino común en si el resultado de estos son los que se resolverán en Factorización donde se utilizan los diferente s métodos mencionados en el mapa conceptual los resultados de estos son como los de productos notables (en sí).Fracciones algebraicas son una combinación de los diferentes métodos de factorización. Ecuaciones lineales se utiliza el despeje para poder obtener el resultado esto servirá para algunos métodos de Ecuaciones cuadráticas en lo personal el método que mas me agrada para dos incógnitas es el de determinantes. Todo tiene un orden y se debe de seguir para poder resolver las incógnitas.
21