Post on 11-Aug-2020
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生産要素価格・生産量所与
生産費用を最小化する生産要素投入量の決定
※ 利潤最大化 ⇒ 費用最小化※ 生産要素市場で価格受容者であれば成立 (生産財市場で市場影響力を持っていたとしても)
§B.3. 費用最小化問題
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C(y;wv, wf , xf ) ≡ minxv∈Rk
+
k�
i=1
wixi +n�
i=k+1
wix̄i
f(xv; x̄f ) = y
§B.3.1. 費用最小化問題と費用関数
s.t.
} }可変費用 固定費用
生産技術制約
}
≡ Cf (wf , x̄f )短期費用関数:
3
短期費用最小化問題 = 可変費用最小化問題:
f(xv; x̄f ) = ys.t.
f(x) = y
長期費用関数:
s.t.
Cv(y;wv, xf ) ≡ minxv∈Rk
+
k�
i=1
wixi
C(y;w) = minx∈Rn
+
n�
i=1
wixi
4
§B.3.2. 生産費用の概念
平均生産性/平均生産物 → 平均費用
限界生産性/限界生産物 → 限界費用
生産の収穫逓増(逓減)→ 費用の“収穫”逓減(逓増)
xO
y y = f(x)
C(y;w)
C(y;w) ≡ wf−1(y)
収穫逓増
収穫逓減
5
総費用
可変費用
固定費用
y
C
ACMC
(a)
(b)
平均総費用
限界費用
平均可変費用
平均固定費用y
O
O
B
A
DE FE
C(y) ≡ C(y;w)
Cf (wf , xf )
Cv(y) ≡ Cv(y;w, xf )
MC(y)
AFC(y) ≡ Cf/y
AC(y) ≡AV C(y) +AFC(y)
平均可変費用:
平均固定費用:
限界費用:
AV C(y) ≡ Cv(y)/y
平均費用:
(微分可能性下で)
§B.3.2. 生産費用の概念
収穫逓増
収穫逓減
固定費用
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補論:制約付最適化問題(ラグランジュ乗数法)
s.t. g(x) ≤ b
minx∈Rk
+
h(x)
s.t. g(x) ≥ b
maxx∈Rk
+
h(x)
ステップ① 等号制約付最適化問題
ステップ② ラグランジュ乗数法
ステップ③ 不等号制約付最適化問題への拡張
ステップ④ クーン・タッカー条件
※ 参考文献: 西村清彦「経済学のための最適化理論入門」第2章, 東京大学出版会 (1990)
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h(x∗ +∆x)− h(x∗) =k�
i=1
h�i(x
∗)∆xi
=k�
i=2
�−h�
1(x∗)
g�1(x∗)
g�i(x∗) + h�
i(x∗)
�∆xi ≤ 0
g(x∗ +∆x)− g(x∗) =k�
i=1
g�i(x∗)∆xi = 0
∆x1 = −�k
i=2 g�i(x
∗)∆xi
g�1(x∗)
ステップ① 等号制約付最適化問題
maxx∈Rk
+
h(x) s.t. g(x) = b
仮定: g�i(x) �= 0 ∀i
最適解:x∗, x∗1 > 0
8
ii) x∗i = 0 ⇒ ∆xi > 0
−h�1(x
∗)
g�1(x∗)
g�i(x∗) + h�
i(x∗) ≤ 0
∴ h�i(x
∗)
g�i(x∗)
≤ λ∗ ≡ h�1(x
∗)
g�1(x∗)
−h�1(x
∗)
g�1(x∗)
g�i(x∗) + h�
i(x∗) = 0
∴ λ∗ ≡ h�i(x
∗)
g�i(x∗)
=h�1(x
∗)
g�1(x∗)
i) x∗i > 0 ⇒ ∆xi ≥ 0 or ∆xi ≤ 0
x∗i > 0 ∀i ⇒ ∇h(x∗) = λ∗∇g(x∗)特に
9
制約無しの最大化問題に転換 → ラグランジュ関数:
1階条件:
L�λ(x
∗,λ∗) = b− g(x∗) = 0
λ∗ =h�1(x
∗)
g�1(x∗)
ラグランジュ乗数:
L�i(x
∗,λ∗) = h�i(x
∗)− λ∗gi(x∗) ≤ 0
x∗iL
�i(x
∗,λ∗) = 0
ステップ② ラグランジュ乗数法
L(x,λ) = h(x) + λ(b− g(x)) → (x∗,λ∗)
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勾配ベクトルの性質
:x* における等高線 h(x) = h(x*) の接線に直交(θ=90°)
∇h(x) · v = �∇h(x)��v� cos θ
∇h(x) · v = 0 i.e.,
∇h(x) ≡ (h�1(x), h
�2(x), . . . , h
�k(x))
h�1(x)v1 + h�
2(x)v2 + · · ·+ h�k(x)vk = 0
:x*での接線方向h(x) = h(x∗)
v = (v1, v2, . . . , vk)
∇h(x∗)
∇h(x∗)
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h の値が最も増加する方向は?
∇h · q = 0
と同じ方向への移動 ⇒ hの値の増加が最大∇h(x∗)
∇h(x∗)
x∗θθ = 0
x∗
∇h(x∗)
x∗
∇g(x∗)
∇h(x∗) = λ∗∇g(x∗)
∇h(x∗)
内点解:
∆h(x∗) = ∇h(x∗) ·∆x
∆x = (∆x1, . . . ,∆xk)
∆x
12
制約下で最大改善方向
h と g の勾配ベクトルが同方向(または逆方向)を向いていない場合:
は最適でない
の接線方向に進むことで目的関数値を改善できる
g(x) = b
h(x) = h(x)
∇g(x)
∇h(x)
x
g(x) = b
cos θ ≡ ∇h(x) ·∇g(x)
�∇h(x)��∇g(x)� �= 1
i) x > 0 & cos θ ≡ ∇h(x) ·∇g(x)
�∇h(x)��∇g(x)� �= 1 ⇒ x
13
ii) 端点解の場合
O
∇h(x∗)
∇g(x∗)
h(x) = h(x∗)
g(x) = b
λ∗ ≡ h�i(x
∗)
g�i(x∗)
>h�j(x
∗)
g�j(x∗)
xi
xj
第 j 要素の増加
便益 < 費用h�j(x
∗) g�j(x∗)
第 i 要素に比べて
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ラグランジュ乗数の意味
制約の変化: b → b+∆b
k�
i=1
g�i(x∗)∆xi = ∆b
∆x1 =∆b
g�1(x∗)
−k�
i=2
g�i(x∗)
g�1(x∗)∆xi
=h�1(x
∗)
g�1(x∗)
∆b +
�−
k�
i=2
h�1(x
∗)
g�1(x∗)
g�i(x∗) + h�
i(x∗)
�∆xi
最大値の変化:
= λ∗∆b
※ 制約値 b の1単位の増加に対する目的関数 h の最大値の変化単位数
= 0
h(x∗ +∆x∗)− h(x∗) =k�
i=1
h�i(x
∗)∆x∗i
最適調整
:
≤ 0 if x∗i = 0 (i.e., ∆x∗
i = 0)
= 0 if x∗i > 0
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ステップ③ 不等号制約の場合への拡張
等号制約付問題に変換:
スラック変数の導入
maxx,s≥0
h(x) s.t. g(x) + s = b
maxx≥0
h(x) s.t. g(x) ≤ b
仮定: g�i(x) �= 0 ∀i
最適解:x∗, x∗1 > 0
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最適解 x*, s* からの逸脱:
[g(x∗ +∆x) + s∗ +∆s]− [g(x∗) + s∗] =k�
i=1
g�i(x∗)∆xi +∆s
g�1(x∗) �= 0仮定:
h(x∗ +∆x)− h(x∗) =k�
i=1
h�i(x
∗)∆xi
=k�
i=2
�−h�
1(x∗)
g�1(x∗)
g�i(x∗) + h�
i(x∗)
�∆xi −
h�1(x
∗)
g�1(x∗)
∆s ≤ 0
∆x1 = −k�
i=2
g�i(x∗)
g�1(x∗)∆xi −
∆s
g�1(x∗)
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∆s = 0 の場合:
=k�
i=2
�−h�
1(x∗)
g�1(x∗)
g�i(x∗) + h�
i(x∗)
�∆xih(x∗ +∆x) − h(x∗) ≤ 0
∴ λ∗ ≡ h�i(x
∗)
g�i(x∗)
=h�1(x
∗)
g�1(x∗)
i) x∗i > 0 ⇒ ∆xi ≥ 0 or ∆xi ≤ 0
ii) x∗i = 0 ⇒ ∆xi > 0
∴ h�i(x
∗)
g�i(x∗)
≤ λ∗ ≡ h�1(x
∗)
g�1(x∗)
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の場合∆s �= 0,∆xi = 0 ∀i = 1, . . . , k
h(x∗ +∆x)− h(x∗) = −λ∗∆s ≤ 0
= 0 ⇐ s∗ > 0
≥ 0 ⇐ s∗ = 0 ∵ ∆s ≥ 0
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ステップ④ ラグランジュ関数の設定とクーン・タッカー条件
Lλ = b− g(x∗) ≡ s∗ ≥ 0
λ∗Lλ = λ∗[b− g(x∗)] = λ∗s∗ = 0
λ∗ ≥ 0
1階条件 (内点解クーン・タッカー条件):
L�i(x
∗,λ∗) = h�i(x
∗)− λ∗gi(x∗) ≤ 0
x∗iL
�i(x
∗,λ∗) = 0
L(x,λ) = h(x) + λ(b− g(x)) → (x∗,λ∗)
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∇h(x∗)
x∗
∇g(x∗)
g(x) = bh(x) = h(x∗)
x∗
s∗ = 0
s∗ > 0
g(x) = b
h(x)λ∗ = 0
O
∇h(x∗)
∇g(x∗)
h(x) = h(x∗)
g(x) = b
xi
xj
内点解かつ s* = 0 の場合 端点解かつ s* = 0 の場合
内点解かつ s* > 0 の場合λ∗ ≡ h�
i(x∗)
g�i(x∗)
>h�j(x
∗)
g�j(x∗)
21
§B.3.3. 費用最小化と費用関数の導出
minx∈Rn
+
w · x s.t. f(x) ≥ y
L(x,λ) = w · x+ λ[y − f(x)]
wi
f �i(x
∗)= λ∗
wi
f �i(x
∗)≥ λ∗
f(x) = y
内点解:
ラグランジュ関数:
1階条件:
端点解:
制約条件:
if x∗i > 0
if x∗i = 0
最小化問題
22
費用最小化問題の1階条件(内点解の場合)
C∗ = w1x1 + w2x2
C = w1x1 + w2x2
C/w2
C/w1C∗/w1
C∗/w2等費線:
f(x) = y等量曲線:
最下方の等費用線:
O
x2
x1 -w1/w2
x∗
w1
w2= TRS12
w1
f �1(x
∗)= λ∗要素 i の増加により
産出量を1単位増加する費用 :限界費用:
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TRS12-w1/w2
x1
x2
O
C∗ = w1x1 + w2x2
C∗/w2
C∗/w1
f(x) = y
w1
f �1(x
∗)> λ∗
w2
f �2(x
∗)= λ∗
w1
w2> TRS12(x
∗, y)
費用最小化問題の1階条件(端点解の場合)
要素1の価格が生産性に比して高い :
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定義B.31(制約付生産要素需要)
最小化1階条件
h(y;w) = [h1(y;w), . . . , hn(y;w)]
制約:産出量 = y (or ≧ y) の下での生産要素需要(関数)
C(y;w) ≡ w · h(y;w)費用関数:
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費用最小化の2階条件(内点解の場合)
L(x∗ +∆x,λ∗) ≈L(x∗,λ∗) +DxL(x
∗,λ∗) ·∆x+1
2∆x ·D2
xL(x∗,λ∗)T∆x
= 0
s.t. f �1(x
∗)∆x1 + f �2(x
∗)∆x2 = 0
i.e., 費用水準 C* の等費用線を含む生産関数の垂直断面が上に凸
※ f が2階連続微分可能な場合: 定義域の任意点でこの条件の成立 ⇔ fが準凹関数
x*における接線方向の逸脱
≤ 0(1階条件)
∴ [∆x1,∆x2]
�f ��11(x
∗) f ��12(x
∗)f ��21(x
∗) f ��22(x
∗)
�T �∆x1
∆x2
�≤ 0
26
f(x) = y
f(x) = y�
f(x) = y��
x1
x2
C∗ = w1x1 + w2x2
O
x∗
x�
x��
>>
27
y,C
y
O -w1/w2
C = w1 x1 +w2 x2
x2
x1
w1 x1 *+w2 x2*
x1 *
x2*
f(x1,x2)
f(x1,x2) = y
費用最小化の2階条件(内点解の場合)
C∗ ≡ w1x∗1 + w2x
∗2
C∗ ≡ w1x1 + w2x2
を含む垂直平面面
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y,C
y
O-w1/w2
C = w1 x1 +w2 x2
x2
x1
w2 x2*
x1 *
x2*
f(x1,x2)
f(x1,x2) = y
端点解の場合の2階条件
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クーン・タッカー条件は満たすが2階条件を満たさない例
f(x) = y
f(x) = y�
f(x) = y��
x1
x2
C∗ = w1x1 + w2x2
O
x∗
x�
x��>
>
30
31
§B.3.4. 長期・短期費用関数
C(y;w) ≡ minxf∈Rn−k
+
C(y;wv, wf , xf )
hf (y;w) ≡ x∗f ≡ (x∗
k+1, . . . , x∗n)
C(y;w) ≡ C(y;wv, wf , hf (y;w))
固定要素について最適化
C(y;w) ≤ C(y;wv, wf , xf )
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∂
∂yC(y;w) =
∂
∂yC(y;wv, wf , hf (y;w))
=∂
∂yC(y;wv, wf , x
∗f ) +
n�
i=k+1
∂
∂xiC(y;wv, wf , x
∗f )
∂
∂yhfi(y;w)
∂
∂yC(y;w) =
∂
∂yC(y;wv, wf , x
∗f )
= 0
∂
∂yC(y;w) <
∂
∂yC(y;wv, wf , xf ) ∀xf �= x∗
f
{
33
y” yO
C 長期総費用曲線
短期総費用曲線
y’
長期限界費用
短期限界費用
短期平均費用
長期平均費用
y
ACMC
O y’ y”
短期平均費用
収穫逓増
収穫逓減
下方包絡線
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定義B.33(代替の弾力性)
σij(x∗) = −
d(x∗i /x
∗j )
d(wi/wj)
wi/wj
x∗i /x
∗j
費用最小化1階条件: wi
wj= TRSij
要素 i,j 間の相対価格が1%増加したときの投入量比の減少%数
(産出量 y の下で)
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O C F
K
J
I
H
G
E
D
(x1*, x2*)B
(x1,x2)A
f(x1,x2) = y
f1 */f2*
f1 /f2 w1 /w2
x2*/x1*x2/x1
x2
x1w1
*/w2*
σ12 ≈∆
x2x1
�x2x1
∆TRS12/TRS12=
BE
ED
�BK
KD
36
d
�wixi
wjxj
�=
xi
xjd
�wi
wj
�+
wi
wjd
�wi
wj
�
=
�1 +
wi/wj
xi/xj
d(xi/xj)
d(wi/wj)
�xi
xjd
�wi
wj
�
= (1− σij)xi
xjd
�wi
wj
�
代替弾力性の解釈
要素 i,j 間の費用シェア比:wixi
wjxj
σ > 1 (代替的) ⇒ 価格上昇<需要減少:費用シェア ⤵σ < 1 (補完的) ⇒ 価格上昇>需要減少:費用シェア ⤴σ = 1 ⇒ 価格上昇=需要減少:費用シェア一定
{
d
�wixi
wjxj
�=
xi
xjd
�wi
wj
�+
wi
wjd
�xi
xj
�