Post on 11-Apr-2015
La Regla de la Cadena
Tomado de UNIMET Prof. Antonio Syers
Introducción
Recordemos que la regla de la cadena para una función y = f(x) ; y x = g(t), ambas funciones derivables, entonces y es una función derivable con respecto a t y se cumple:
dtdx
dxdy
dtdy
Para funciones de varias variables, la regla de la cadena tiene varias versiones:
Caso 1
Supongamos que z = f(x,y) es una función diferenciable de x y de y, donde x=g(t) y y=h(t) son funciones derivables de t ; entonces z es una función derivable de t y se cumple que:
dtdy
yf
dtdx
xf
dtdz
Veamos esta fórmula de manera gráfica:
Caso 1
Z =f (x,y)
x y
t t
x
z
y
z
dt
dx
dt
dy xf
dtdz
dt
dx
yf
+dtdy
Si representa la temperatura en el punto (x,y) y Son las ecuaciones paramétricas de una curva C , calcule la razón de cambio de la temperatura T a lo largo de la curva
Ejemplo
42 xy3yx)y,x(T
sentyex t ;
T
x
y
t
t
xT
dtdT
dtdx
yT
+dtdy
yT
xT
dt
dx
dtdy
Continuamos…
Si queremos saber cual es la razón de cambio de T cuando t = 0, entonces
0))0(),0((0))0(),0((0
tyxtyxt dt
dy
y
f
dt
dx
x
f
dt
dT
10cos10 0
0
edt
dT
t
)cos()12()32( 324 txyxeyxydt
dT t
Caso 1 ( General)
Suponga que z es una función derivable de las n variables x1 , x2 , x3 ,…, xn , en donde cada xj es una función de t. Por consiguiente z es una función derivable de t y se cumple:
dtdx
xz
...dt
dx
xz
dtdx
xz
dtdx
xz
dtdz n
n
3
3
2
2
1
1
Caso 2
Supongamos que z = f(x,y) es una función derivable de x y de y, donde x = g(s,t), y =h(s,t) y las derivadas parciales de g y h existen . Entonces:
sy
yf
sx
xf
sz
ty
yf
tx
xf
tz
Caso 2
x y
t t
x
y
t
t
s s
s
s
sz
xf
sx
+yf
sy
tz
xf
tx
+y
f
ty
Z =f (x,y)
Supongamos que w = f(x,y,z) es una función derivable de x, y , z, donde x = g(s,t), y =h(s,t), z =k(s,t) y las derivadas parciales de g, h, k existen. Entonces
sz
zf
sy
yf
sx
xf
sw
tz
zf
ty
yf
tx
xf
tw
x y
t t
x
y
t
t
s s
s
s
z
t
t
s
s
z
w=f (x,y,z)
s
z
z
f
s
y
y
f
s
x
x
f
s
w
t
z
z
f
t
y
y
f
t
x
x
f
t
w
Ejemplo
Demuestre que
rseny ,rcos xdonde y),f(x,z Si
222
2
2
yf
xfz
r
1rz
x y
x
y
r r
r
r
Z =f (x,y)
Continuamos…
ry
yf
rx
xf
rz
senyf
cosxf
yyfx
xfz
cosryf
rsenxf
Se sigue que …
2
22cos
xf
rz
22
2 senyf
sencosyf
xf
22
22cosr
yfz
222
22 senrxf
sencosryf
xf
2
22
21
cosxfz
r
22
2 senyf
sencosyf
xf
Por lo tanto
22
222
2
2 1sencos
yf
xfz
rrz
.22
y
f
x
f
Segunda derivadaLa segunda derivada de una función es análoga a la primera, es decir, depende de las mismas variables que depende la función original.
Por ejemplo, supongamos que z = f(x,y) es una función derivable de x y de y, donde x = g(s,t), y=h(s,t). Entonces la función derivada fx(x,y) también depende de x y de y, y además x,y dependen de s y t ( esto también se cumple para fy(x,y)).
Veamos el siguiente ejemplo:
Ejemplo…
Muestre que cualquier función de la forma )atx(g)atx(fz Donde a es una constante, cumple con la ecuación:
2
22
2
2
x
za
t
z
Solución:Sea u = x + at, v = x – at, ;entonces
)v(g)u(fz
xv
)v(gxu
)u(fx
)v(gx
)u(fxz
).()( vguf
)v(g)u(fxx
z
2
2
xv
dv)v(gd
xu
du)u(fd
).()( vguf
Calculemos ahora2
2
t
z
tv
)v(gtu
)u(ft
)v(gt
)u(ftz
)v(g)u(faa)v(ga)u(f
)v(g)u(ft
at
z
2
2
tv
dv)v(gd
tu
du)u(fd
a
)v(g)u(faa)v(ga)u(fa 2
2
222
2
2
x
za)v(g)u(fa
t
z
Ejemplo
rseny ,rcos xdonde y),f(x,z SiDemuestre que: 22
2
2
22
2
yf
xf
rz
r1z
r
1
r
z
senyf
cosxf
rz
Solución: Del ejemplo anterior, tenemos que
cosr
yf
rsenxfz
sen
yf
cosxf
rr
z2
2
senr
fcos
rf yx
cossenyf
cosxf xx
sensen
y
fcos
x
f yy
yy2
xyxx2 fsenfsencos2fcos
cosr
yf
rsenxfz
2
2
Por otra parte,
xf
rsenxf
cosr
yf
cosryf
rsen
xf
cosr
cosrfrsenfrsen xyxx
xf
yf
rsen
rsenfcosrfcosr yxyy
yf
Simplificando resulta,
xx22
yx2
2fsenrfrsenfcosr
z
yy22
yx fcosrfsencosr2
Así,
22
2
2
22
2
yf
xf
rz
r1z
r
1
r
z
COMPRUEBELO!!
Ecuación de Laplace
Definición:Sea f una función, f:IRnIR, diferenciable, se define el Laplaciano de f
Y se denomina la ecuación de Laplace a:
2
2
2
22
y
f
x
ff
0y
f
x
f0f
2
2
2
22
Ejemplo
Supongamos f(x,y) satisface la ecuación de laplace, esto es,
0y
f
x
f2
2
2
2
Demuestre que la función z= f(x – 2y, 2x + y), también satisface la ecuación de laplace.Demostración:Lo que queremos probar es que:
0y
z
x
z2
2
2
2
Sea u = x- 2y, v = 2x + y, entonces
u v
y y
u
v
y
y
x x
x
x
Z =f (u,v)
vf
2uf
xv
vf
xu
uf
xz
xv
uvf
xu
u
f
x
z 2
2
2
2
2
xv
v
fxu
vuf
22
22
2
22
2
2
2
2
v
f4
vuf
4u
f
x
z
vf
uf
2yv
vf
yu
uf
yz
yv
uvf
yu
u
f2
y
z 2
2
2
2
2
yv
v
fyu
vuf
2
22
2
22
2
2
2
2
v
fvuf
4u
f4
y
z
Entonces,
2
2
2
2
2
2
2
2
v
f5
u
f5
y
z
x
z
0v
f
u
f5
2
2
2
2
Ecuación de Laplace para f
Derivación Implícita
Supongamos que una ecuación de la forma F(x,y) = 0 define a y de manera implícita como una función de x, esto es y = f(x), para todo x en el dominio de f(x). Si F es diferenciable podemos calcular dy/dx. En efecto:Tenemos la ecuación
0),( yxF
0 dx
)0(),( d
dx
yxdF
Supongamos que una ecuación de la forma F(x,y,z) = 0 define a z de manera implícita como una función de x y de y, entonces si F es diferenciable podemos calcular z/ x, z/ y .
0dxdy
yF
xF
0dxdy
yF
dxdx
xF
0)F( FF
yFxF
dxdy
yy
x
Supongamos que queremos calcular z/ x
0)z,y,x(F
0
x
)0(),,(
x
zyxF
0dxdz
zF
dxdy
yF
dxdx
xF
0dxdz
zF
xF
0)F( FF
zFxF
xz
zz
x
Supongamos que una ecuación de la forma F(x,y,z) = 0 define a z de manera implícita como una función de x y de y. Demuestre que:
0).(
zz
y FF
F
zFyF
y
z
Ejercicio:
EjemploSupongamos que una ecuación de la forma F(xy,z/y) = 0 define a z de manera implícita como una función de x y de y, esto es z=f(x,y). Calcular z/ x.Solución:Sean u=xy , v = z/y
0yxz
vF
yuF
0dxdv
vF
xu
uF
).0 (
2
v
F
vFuF
y
x
z