Debió de introducirse grave confusion en las medidas empleadas por los comerciantes,dimanada de las distintas varas españolas introducidas en la colonia, pues en una nota alfragmento de las ordenanzas hechas en 1536 por D. Antonio de Mendoza, consta que sedispuso: "Otrosí, por cuanto en esta ciudad no hay medida con que se midan las tierras, elExmo. Sr. virey mandó hacer una medida, así para esta ciudad como para toda estaNueva-España, porque toda la medida sea igual, y con ella se midan las tierras que sehubieren de medir, así en esta ciudad como fuera de ella, y que esta ciudad la tenga porpadron...”

FUENTE: Diccionario Universal de Historia y Geografía, T. V, México, 1854, pp. 208-213.

Todo depende de la vara con que se mida:

VARA DE: EQUIVALENCIAEN METROS:

ALICANTE 0’912CANARIAS 0’842CASTELLÓN 0’906CIUDAD REAL 0’839HUESCA 0’772CASTILLA 0’8359

Le voy a vender baratas estas “varas”

de paño. Espero hacer más negocios en el

futuro

Yo desconozco lo que mide una vara, aquí medimos en “canas”

La vara, como ya conoces, era una medida de longitud que se utilizabaen muchos sitios. En Castilla y Andalucía equivalía a 0’835905 m

La cana era una medida de longitud que se utilizaba en Cataluña.Equivalía a 1’559 m

Esta escena transcurre antes de la implantación del metro

VARA CASTELLANA Y PATRÓNMATERIAS: Acero, maderaINSTITUCIÓN: Real Academia de la HistoriaAUTOR: Rojo, A.

Hay una forma de comparar las dos medidas. Si lo hacemos,

podremos pasar de varas a canas con una simple multiplicación

¡Explíquemelo!¡Vamos allá!

a

a

b

b c

c

b

b

b

b

b

c

n

Cana Vara

v

b c5

2• a b c c c c 6 6

5

21 6• • • •

v a b c c c 1 65

2

3 7

2• • •

n v a c c c 3 7

21 6

6 9

2• • •

n

v

c

c

6 9

23 7

2

1 8 6•

•' . . .

¡Para pasar de canas a varas, aproximadamente,hay que multiplicar por 1’86!

v sólo cabe una vez en n, y sobra un segmento a.Ahora compararemos v con a: a cabe una vez en v, y sobra otro segmento b.A continuación compararemos a con b, y asísucesivamente.

b cabe seis veces en a y sobra c

c cabe dos veces y pico en b, como no tenemos una lupano podemos precisar más, aunque vienen a ser unas dos veces y media. No obstante,la diferencia con la realidad es tan pequeña que el error que cometeremos será insignificante

Veamos otros ejemplos de

comparación de longitudes que nos

aclaren el procedimiento

m n

= 2·4b + b = 9b

= 9b + 4b = 13b

m

n

b

9b 13 13

9

m 13/9·n

b

a = 4b

Siguiendo con el proceso, comparamos b con a: b cabe exactamentecuatro veces en a. Se terminaron las comparaciones.

m = n + a

Comparemos n con m: n cabe una vez en m y sobra un segmento a.

a

a

n = 2a + bb

Ahora comparamos a con n: a cabe dos veces en n y sobra otro segmento b.

COMPARACIÓN DE LOS SEGMENTOS m Y n DEL DIBUJO

m n

Comparemos estos dos nuevos segmentos:a

n cabe dos veces en m y sobra un segmento a

m = 2n + a

c

Por último, ¡hemos vuelto a tener suerte suerte!, y dosveces c encajan exactamente en b: fin del proceso.

b = 2c

= 2c + c = 3c

= 9c + c = 11c

= 22c + 3c = 25c

mn

cc

2511

2511

.

a = b + c

Continuando el proceso, b cabe una vez en a y sobra c

b

c

n = 3a + b

Ahora comparamos a con n: a cabe tres veces en n y sobra b

a

b

25/11·nm

En tu cuaderno tienes estos dos segmentos.Utiliza un compás y una regla sin graduar (aúnno se ha inventado el metro) para compararlos.Observa los resultados que obtienen el restode tus compañeros.

A continuación compararemos dos segmentos más conocidos.Intentaremos hallar la relación entre un segmento que mide 1 y otro que mide 8Veamos como dibujar este último segmento:

2

28

8 u

Hemos llamado u al segmento unidad

u8

u

a

a

c

b

8= 2·u+ au=a+ba=4·b+c

b

bbb

c

d

de

ddd e

cb

bb=c+d

c=4·d+e

d e

Como no tenemos una lupa más grande, y los segmentos d y e son muy pequeños y parecidos, podemos detener el proceso considerando que la diferencia entre ambos no es significativa y que son prácticamente iguales:

d ec d e e 4 5• •b c d e 6 •a b c e 4 2 9• •u a b e 3 5 •

8 2 9 9 • •u a e

8 9 9

3 5

9 9

3 52 8 2 8

u

e

e

•

•' . . . . .

Hemos conseguido una aproximación del valor de raíz de 8 igual a 99/35

Hemos visto varios ejemplos de comparación.

En algunos casos, uno de los segmentos terminaba encajando en elanterior y se terminaba el proceso.

En otros, no podíamos continuar con precisión porque la parte sobrante era tan pequeña que hubiésemos necesitado una potente lupa o un microscopio para proseguir. Realizábamos una estimacióny obteníamos un valor aproximado de la relación entre los segmentos.

La pregunta clave es: si dispusiéramos de un microscopio todo lopotente que quisiésemos y de unos aparatos de medida exactos, ¿tendría que llegar necesariamente un momento en que alguno delos segmentos encajara en el anterior?

Siempre que terminamos el proceso, obtenemosun segmento como fracción del otro. Si todo proceso ha de detenerse tendremos, en particular, que raíz de 8 se podrá escribir de manera exacta como una fracción. Como ya sabes, este número no es racional: al compararlo con la unidad el proceso no puede detenerse.

Actividades:. Sean m, n, p y q números naturales:

* Si comparamos dos segmentos que miden m y n respectivamente,

¿cuánto mide el mayor segmento que encaja en ambos?

* ¿Y si comparamos dos segmentos de medidas m/n y p/q?