Post on 20-Feb-2016
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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE COMERCIO Y ADMINISTRACIÓN ESCA
UNIDAD DE POSGRADOS
MAESTRÍA EN CIENCIAS EN ADMINISTRACIÓN Y DESARROLLO DE LA EDUCACIÓN
MADE
TESIS
TEMA:
El rendimiento académico de los estudiantes de Investigación de Operaciones 1 de Ingeniería Industrial del Tecnológico de Estudios
Superiores de Ecatepec
QUE PARA OBTENER EL GRADO PRESENTA
Alumna: Lizbet Guadalupe Soto Navarrete.
Directora de Tesis: Elia Olea Deserti.
INDICE
Resumen
Abstract
Introducción
CAPITULO 1
1 SITUACION PROBLEMÁTICA
1.1 Planteamiento del problema 1
1.2 Objetivos 8
1.3 Preguntas de Investigación 9
1.4 Justificación 10
1.5 La Investigación de Operaciones en el Tecnológico de Estudios
Superiores de Ecatepec (TESE)
13
CAPITULO 2
2 LAS MATEMATICAS
2.1 Surgimiento de las Matemáticas en la época antigua 16
2.1.1 Matemáticas Egipcias 20
2.1.1.1 Las primeras operaciones matemáticas 26
2.1.2 Matemáticas Griegas 36
2.1.3 Matemáticas Mayas 42
2.2 ¿Por qué aprender Matemáticas? 49
2.3 La aplicación de las Matemáticas a nivel superior 54
2.3.1 La Investigación de Operaciones en el siglo XX 57
2.3.1.1 Modelos de Aplicación 63
2.3.1.2 Áreas de aplicación de la Investigación de Operaciones 66
2.3.1.3 La Importancia de la Investigación de Operaciones en la
Ingeniería Industrial
68
CAPITULO 3
3 ESTRATEGIA METODOLOGICA
3.1 Generalidades sobre el desarrollo de esta tesis 74
3.2 El método 75
3.3 Hipótesis general y variables 77
3.3.1 Hipótesis nulas 79
3.4 Población e integración de grupos 81
3.5 Instrumentos
3.5.1 Cuestionario sobre las características de los alumnos 83
3.5.1.1 Pilotaje, confiabilidad y validez 84
3.5.2 Exámenes de diagnóstico, parciales y de evaluación global 87
CAPITULO 4
4.1 ANALISIS E INTERPRETACION DE DATOS 92
Hipótesis nulas 113
Correlación 113
Regresión múltiple 114
Elaboración de la ecuación de predicción 115
CONCLUSIONES
117
ANEXO I Cuestionario aplicado para pilotaje
Cuestionario definitivo aplicado a los estudiantes de
Investigación de Operaciones 1 para esta Investigación
120
122
ANEXO II Examen Diagnóstico 124
ANEXO III 1er. Examen de Investigación de Operaciones 1 tipo A
1er. Examen de Investigación de Operaciones 1 tipo B
126
128
ANEXO IV 2do. Examen de Investigación de Operaciones 1 tipo 1
2do. Examen de Investigación de Operaciones 1 tipo 2
130
131
ANEXO V 3er. Examen de Investigación de Operaciones 1 tipo A
3er. Examen de Investigación de Operaciones 1 tipo B
132
133
ANEXO VI Examen Global de Investigación de Operaciones 1 134
Referencias bibliohemerográficas y electrónicas 135
Siglas
Glosario
INDICE DE TABLAS Y FIGURAS
TABLA No. 1 Porcentajes de reprobación en Investigación de
Operaciones 1 de 2005 a 2007
6
TABLA No.2 Definición de Variables 78
TABLA No. 3 Resumen de la muestra turno matutino 82
TABLA No. 4 Resumen de la muestra turno vespertino 82
TABLA No. 5 Resultados del pilotaje del cuestionario 85
TABLA No. 6 Género, Estado Civil y Situación Laboral 93
TABLA No. 7 Tipo de vivienda y ubicación 95
TABLA No. 8 Actividad Extracurricular 96
TABLA No. 9 Hipótesis nulas 113
FIGURA 1 Edades de la población de alumnos 92
FIGURA 2 Género, Estado Civil y Situación Laboral de la población de
Investigación de Operaciones 1
94
FIGURA 3 Promedio de calificaciones de matemáticas 3 y
matemáticas 4
97
FIGURA 4 Calificaciones del examen diagnóstico de la población de
Investigación de Operaciones 1
98
FIGURA 5 Calificaciones del examen diagnóstico de los grupos
matutino expuesto a la variable experimental y no expuesto
a ella
99
FIGURA 6 Calificaciones del examen diagnóstico de los grupos
vespertino expuesto a la variable experimental y no
expuesto a ella
100
FIGURA 7 Promedio de calificaciones del grupo matutino no expuesto
a la variable experimental
101
FIGURA 8 Promedio de calificaciones del grupo matutino expuesto a la
variable experimental
102
FIGURA 9 Promedio de calificaciones finales de los grupos matutino 103
FIGURA 10 Porcentaje de alumnos aprobados del grupo matutino
expuesto a la variable experimental
104
FIGURA 11 Porcentaje de alumnos aprobados del grupo matutino no
expuesto a la variable experimental
105
FIGURA 12 Calificaciones finales de los grupos matutino expuesto a la
variable experimental y no expuesto a ella
106
FIGURA 13 Promedio de calificaciones del grupo vespertino no
expuesto a la variable experimental
107
FIGURA 14 Promedio de calificaciones del grupo vespertino expuesto a
la variable experimental
108
FIGURA 15 Porcentaje de alumnos aprobados y no aprobados del grupo
vespertino expuesto a la variable experimental
109
FIGURA 16 Porcentaje de alumnos aprobados y no aprobados del grupo
vespertino no expuestos a la variable experimental
110
FIGURA 17 Calificaciones finales de los grupos vespertino expuesto a la
variable experimental y no expuesto a ella
111
RESUMEN
La Investigación de Operaciones tiene gran importancia en la industria para la toma
de decisiones, por lo que numerosas organizaciones en todo el mundo en el área de
inventarios, producción y control de la producción, en proyectos de inversión, en la
prospección de nuevos productos se apoya en ella.
Por tanto, esta investigación que se desarrolló en el Tecnológico de Estudios
Superiores de Ecatepec fue respecto a la asignatura de Investigación de
Operaciones 1, a partir de que se ha observado un problema de bajo rendimiento
escolar, que se corroboró mediante los datos semestrales del 2005-1 al 2007-1 en
los que se detectó que el porcentaje de reprobados fluctuaba entre el 56 y 60, se
detectó que los estudiantes tenían problemas para entender los métodos
matemáticos originado por una deficiencia en la comprensión y práctica mínima de
operaciones fundamentales, fraccionales, algebraicas y matriciales.
Se partió de la hipótesis general de que si a los alumnos antes de cursar la
asignatura de Investigación de Operaciones 1 en el programa se agregaba una
unidad que permitiera el estudio y ejercitación de estas operaciones se facilitaría la
interpretación de los modelos matemáticos, indispensable para la toma de decisiones
en el área, lo cual a futuro, como profesionales en el campo de trabajo repercutiría en
el ámbito económico de las empresas.
De ahí, que a través del método experimental, se probó la hipótesis, por lo que a
partir de la existencia de dos grupos de estudiantes de la carrera de Ingeniería
Industrial (matutino y vespertino) se formaron cuatro grupos en los que se realizó su
integración al azar haciendo uso de tablas de números aleatorios quedando dos
grupos matutinos y dos vespertinos. En ambos turnos, uno fue expuesto al estudio
de las operaciones fundamentales y el otro como grupo control en el que el programa
se desarrollo de forma acostumbrada.
En el semestre 2008-1 se probó la hipótesis. Para visualizar las características
generales de los estudiantes se les aplicó un cuestionario, se realizó una prueba
diagnóstica, tres exámenes parciales y se integró un examen global para los alumnos
reprobados, a partir de los datos se calcularon el coeficiente de correlación de
Pearson, una regresión lineal y se formuló la ecuación que puede ser usada como
pronóstico y ser aplicada para grupos con características y condiciones similares a
las de esta tesis.
Como conclusión se observó que los grupos sometidos a la variable que fue la
unidad 1 (revisión, explicación y ejercitación de operaciones fundamentales (suma,
resta, multiplicación y división), fraccionales, algebraicas y matriciales) antes de
programa de Investigación de Operaciones 1 aumentaron su rendimiento.
De acuerdo a las hipótesis nulas se rechazaron cuatro de ellas correspondientes a
los promedios de calificaciones, corroborándose que sí hay diferencia entre los
grupos expuestos (matutino y vespertino) y el grupo control, con respecto a promedio
general, promedio del primero y segundo parcial, así como en el promedio general de
Investigación de Operaciones 1.
Abstract
Operations research is of great importance in industry for decision-making, so
many organizations around the world in the area of inventory, production and
control of production, investment projects in the exploration of new products based
on it.
Therefore, this research developed in the Technology of Advanced Studies in
Ecatepec (Tecnológico de Estudios Superiores de Ecatepec) was about the
discipline of Operations Research 1, from which there has been a problem of poor
school performance, which was verified by data from 2005-1 to 2007-1 semester
in which it was detected that the percentage was between 56 disapproved and 60
percent, was detected that the students had trouble understanding mathematical
methods caused by a deficiency in understanding and practice of fundamental
operations minimum, fractional, and matrix algebra.
It is generally hypothesized that if students before making the subject of an
Operations Research in the program added a unit that allowed the study and
practice of these operations would facilitate the interpretation of mathematical
models, essential for decision making in the area which in future as professionals
working in the field would affect the economic of enterprises (industries).
Hence, through the experimental method was tested the hypothesis as from the
existence of two groups of students from the Industrial Engineering degree
morning and evening shifts are four groups in which their integration was
performed to random using tables of random numbers leaving two morning and
two evening groups. in two shifts, one was exposed to the study of the
fundamental operations and the other as a control group in which the development
program as usual.
In the 2008-1 semester hypothesis was tested. To display the general
characteristics of the students answered a questionnaire, we made a diagnostic
test, three partial exams and integrates a comprehensive review for students
complained of from the data we calculated the Pearson correlation coefficient, a
linear regression equation was formulated that can be used as prognostic and be
applied to groups with similar characteristics and conditions of theses areas.
As a conclusion it was observed that the groups with the variable that was 1 unit
(revision, explanation and practice of fundamental operations (addition,
subtraction, multiplication and division), fractional algebraic and matrix) before the
Operations Research program 1 increased performance.
According to the null hypothesis was rejected four of them corresponding to the
mean scores, found that if no difference between the exposed groups (morning
and afternoon) and the control group with respect to general average, average first
and second partial as well as the overall average of Operations Research 1.
SIGLAS
ANOVA Análisis de la varianza o análisis de varianza con un factor o
Modelo factorial con un factor
AWT Tablilla de madera de Ajmím.
CACECA Consejo Nacional de Acreditación en la Enseñanza de la Contaduría
Y Administración A.C.
CACEI Consejo de Acreditación de la Enseñanza de la Ingeniería, A.C.
CANAIC Consejo Nacional de Acreditación en Informática y Computación.
DGIT Dirección General de Institutos Tecnológicos.
EMLR Rodillo de Cuero Matemático Egipcio.
IFORS International Federation of Operacional Research Societies.
IO Investigación de Operaciones
IO1 Investigación de Operaciones 1
PMM Papiro Matemático de Moscú
PMR Papiro Matemático de Rhind.
SCOOP Scientific Computation of Optimum Programs.
SEAC Normas Electrónico/Oriental Automática de la Computación (ordenador)
TESE Tecnológico de Estudios Superiores de Ecatepec
UCR Unidad de Certificación y Registro
URRS Unión de Repúblicas Socialistas Soviéticas.
GLOSARIO
Acreditación. Proceso que se inicia cuando la entidad productora de un servicio asume cumplir un modelo-estándar para el ámbito en el que se desarrolla.
Artífice. Persona que ejecuta científicamente una obra mecánica o aplica a ella alguna de las bellas artes.
Alfabeto Dórico. Alfabeto de forma rectilínea y angulosa, que se usó en lo antiguo.
Alfabeto Jónico. Alfabeto griego, utilizado para escribir la lengua griega, tuvo su desarrollo en un período alrededor del siglo IX AC, utilizándose hasta nuestros días, tanto en el griego moderno, como en su extensión hasta las matemáticas, astronomía, etc.
Agrimensura. Considerada antiguamente la rama de la topografía destinada a la delimitación de superficies, la medición de áreas y la rectificación de límites. En la actualidad la comunidad científica internacional reconoce que es una disciplina autónoma, con estatuto propio y lenguaje específico que estudia los objetos territoriales a toda escala, focalizándose en la fijación de toda clase de límites. De este modo produce documentos cartográficos e infraestructura virtual para establecer planos, cartas y mapas, dando publicidad a los límites de la propiedad o gubernamentales.
Análisis de Sensibilidad. Lo que trata es de identificar el impacto en los resultados del problema original luego de determinadas variaciones en los parámetros (precios, costos, recursos, un nuevo producto una nueva restricción), variables o restricciones del modelo, sin que esto pase por resolver el problema nuevamente.
Cognitivo. Este término es utilizado por la psicología moderna, concediendo mayor
importancia a los aspectos intelectuales que a los afectivos y emocionales, en este
sentido se tiene un doble significado: primero, se refiere a una representación
conceptual de los objetos. La segunda, es la comprensión o explicación de los
objetos.
Ecuación. Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar.
Ecuaciones Diofánticas. Ecuación algebraica con una o más incógnitas y coeficientes enteros, de la que interesan únicamente sus soluciones enteras.
Ecuaciones Lineales. Es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En el sistema cartesiano representan rectas.
Electrodinámica. Movimiento de un flujo de cargas eléctricas que pasan de una molécula a otra, utilizando como medio de desplazamiento un material conductor como, por ejemplo, un metal.
Época Predinástica. Época (prehistórica e histórica) anterior a la unificación. Pertenece al Neolítico (Hacia el milenio VI A. C., comenzaron a desarrollarse, en torno a pequeñas aldeas, actividades sedentarias de agricultura y ganadería, dando inicio al Neolítico en Egipto) y muestra el proceso de formación del Estado Egipcio.
Ergonomía. Estudio de datos biológicos y tecnológicos aplicados a problemas de mutua adaptación entre el hombre y la máquina.
Examen diagnóstico. Prueba que se hace al inicio para observar las habilidades y conocimientos de un grupo, en la cual se contemplan los conocimientos previos básicos necesarios para entender los temas contemplados en una materia.
Examen global. Prueba que se realiza para los estudiantes que no han reprobado una materia, en el cual se incluyen los temas totales de la materia en cuestión.
Forma canónica. Es una forma algebraica de equivalencia utilizada en la programación lineal que es:
Máx. Z = Cx
Sujeto a Ax < b
X > 0
Fonológico. Es un fenómeno natural de las lenguas por las cuales unos sonidos influyen sobre otros, y se provocan cambios en la articulación o sonido en un determinado contexto sonoro o se producen reestructuraciones.
Helénico. Perteneciente a Grecia.
Hidrodinámica. Rama de la física que estudia la dinámica de fluidos.
Investigación de Operaciones. Es la aplicación, por grupos interdisciplinarios, del método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas, con el fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de la organización.
Sintaxis. Parte de la gramática que enseña a coordinar y unir las palabras para formar las oraciones y expresar conceptos.
Sistema hierático. Escritura de los antiguos egipcios, que era una abreviación de la
jeroglífica.
Karnak. "ciudad fortificada", llamada en el Antiguo Egipto Ipet Sut, (el lugar más venerado) es una pequeña población de Egipto, situada en la ribera oriental del río Nilo, junto a Luxor. Era la zona de la antigua Tebas que albergaba el complejo religioso más importante del Antiguo Egipto.
Método Simplex. Es un procedimiento general para resolver problemas de programación lineal. Desarrollado por George Dantzing en 1947, se usa en forma rutinaria para resolver problemas grandes. Es un proceso algebraico. Sin embargo sus conceptos fundamentales son geométricos. La comprensión de estos conceptos geométricos proporciona una fuerte intuición sobre la forma en que opera el método simplex.
Modelo. Es una representación simplificada e idealizada de algún aspecto de la realidad.
Modelo matemático. Modelo científico que utiliza formulismos matemáticos (signos, letras, símbolos, etc.), para expresar relaciones, proposiciones sustantivas de hechos, variables, parámetros, relaciones entre variables y/o entidades u operaciones.
Modelos analógicos. Se basan en la representación de las propiedades de un sistema cuyos problemas se quieren resolver utilizando otros sistemas cuyas propiedades son equivalentes, por ejemplo las propiedades de un sistema hidráulico son equivalentes a las de un sistema eléctrico o, inclusive, económico.
Modelos icónicos. Son imágenes a escala del sistema cuyo problema se quiere resolver, por ejemplo fotografías, maquetas, dibujos y modelos a escala.
Modelos simbólicos. Son conceptualizaciones abstractas del problema real a base del uso de de letras, números, variables y ecuaciones. Son fáciles de manipular y se pueden hacer con ellos un gran número de experimentos.
Número perfecto. Es un número natural que es igual a la suma de sus divisores propios positivos, sin incluirse él mismo. Dicho de otra forma, un número perfecto es aquel que es amigo de sí mismo. Así, 6 es un número perfecto, porque sus divisores propios son 1, 2 y 3; y 6 = 1 + 2 + 3.
Número primo. Es el número que solo se puede dividir entre si mismo y la unidad.
Obelisco. Pilar muy alto, de cuatro caras iguales un poco convergentes y terminadas por una punta piramidal muy achatada, que sirve de adorno en lugares públicos.
Obnubilar. Impedir pensar con claridad, poner borrosa la visión, dejar fascinado o embelesado.
Ostraca. Fragmentos de vasos cerámicos rotos que se aprovechaban para varios fines, entre ellos el de escribir con tinta sobre ellos notas de diversos caracteres. Tienen la particularidad de que se conservan muy bien en condiciones que no pueden ser resistidas por los papiros. En Grecia se usaban en votaciones para decidir si una persona debía ser proscrita o no de la sociedad; de ahí surgió el término ostracismo. En Egipto se usaban para todo tipo de anotaciones de la vida diaria, negocios, recibos, cartas, etc. El término «ostrakón» aparece en Job 2:8 en la versión LXX: «Kai elaben ostrakon» («Y tomaba... un tiesto»).
Papiro. Lámina sacada del tallo de esta planta y que empleaban los antiguos para escribir en ella. Planta vivaz, indígena de Oriente, de la familia de las Ciperáceas, con hojas radicales, largas, muy estrechas y enteras, cañas de dos a tres metros de altura y un decímetro de grueso, cilíndricas, lisas, completamente desnudas.
Policulturales. Formando a partir de los contactos entre distintas comunidades de vidas y que aportan sus modos de pensar, sentir y actuar. Los intercambios culturales no tendrán todas las mismas características y efectos; pero es a partir de estos contactos que se produce el mestizaje cultural, una cultura no evoluciona si no es a través del contacto con otras culturas. Pero los contactos entre culturas pueden tener características muy diversas.
Programación Lineal. Es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de ecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal.
Productividad. Es la razón entre la producción obtenida por un sistema productivo y los recursos utilizados para obtener dicha producción. También puede ser definida como la relación entre los resultados y el tiempo utilizado para obtenerlos: cuanto menor sea el tiempo que lleve obtener el resultado deseado, más productivo es el
sistema. Es el indicador de eficiencia que relaciona la cantidad de producto utilizado con la cantidad de producción obtenida.
Propedéutica. Enseñanza preliminar para el estudio de una disciplina.
Rhind. Apellido de A. Henry Rhind, joven escocés anticuario que en 1858, obtuvo en Luxor, un papiro bastante ancho, que decían haber hallado en las ruinas de Tebas. El documento en un principio había sido un rollo de unos 5,5 m de largo por 33 cm de alto, pero estaba roto en dos pedazos y le faltaban algunos fragmentos. Algunos de estos fragmentos aparecieron, medio siglo más tarde, en los archivos de la Historic Society, de Nueva York. Habían sido obtenidos por el coleccionista Edwin Smith. El papiro de Rhind fue adquirido, a la muerte de éste, por el British Museum, donde se conserva en la actualidad.
Satírico. Es un subgénero lírico que expresa indignación hacia alguien o algo, con propósito moralizador, lúdico o meramente burlesco.
Simiente. Parte del fruto que es producto de la fecundación del óvulo y que contiene el embrión de una nueva planta.
Simulación. Técnica numérica para conducir experimentos en una computadora digital. Estos experimentos comprenden ciertos tipos de relaciones matemáticas y lógicas, las cuales son necesarias para describir el comportamiento y la estructura de sistemas complejos del mundo real a través de largos periodos de tiempo.
Sistema de créditos. se denomina crédito al valor que se otorga a una asignatura o actividad de aprendizaje de acuerdo con ciertos elementos, como los objetivos educativos que cumple, su complejidad, el tiempo que requiere para ser realizada, los medios que son necesarios, su carácter en la formación del estudiante, etc. De acuerdo con estos elementos, el valor variable de las actividades de aprendizaje se expresa en unidades numéricas.
Sistema hierático. Permitía a los escribas del Antiguo Egipto escribir de forma rápida, simplificando los jeroglíficos cuando lo hacían en papiros, y estaba íntimamente relacionada con la escritura jeroglífica. Fue, durante amplios periodos, la escritura utilizada en textos administrativos y religiosos, y su nombre fue utilizado por primera vez por Clemente de Alejandría en el siglo II.
Tablilla de Ajmin. Tabla de posiciones de base 10 usada por los egipcios.
Tabla de Erastotenes. Tabla de números primos
Tipo de modelos. Los modelos se clasifican por sus dimensiones, funciones, propósitos, temas o grados de abstracción. Los tipos de modelos básicos son: icónicos, analógicos y simbólicos (matemáticos). Por su aplicación hay modelos de inventarios y por técnica, modelo de programación lineal y modelos de toma de decisión.
Tipos de toma de decisiones. Modelos en que se toma una decisión bajo certidumbre, incertidumbre, riesgo o en conflicto.
Topología. Es el estudio de aquellas propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas. Disciplina matemática que estudia las propiedades de los espacios topológicos y las funciones continuas. La Topología se interesa por conceptos como proximidad, número de agujeros, el tipo de consistencia (o textura) que presenta un objeto, comparar objetos y clasificar, entre otros múltiples atributos donde destacan conectividad, compacidad, metricidad o metrizabilidad.
Variable en ecuaciones matemáticas. Es un símbolo que representa un elemento no especificado de un conjunto de datos y puede tomar cualquier valor.
Introducción
Los cambios revolucionarios originaron gran aumento en la división de trabajo y la
separación de las responsabilidades administrativas en las organizaciones. Sin
embargo esta evolución creó nuevos problemas que ocurren hasta la fecha en varias
organizaciones. Uno de éstos es la tendencia de muchos de los componentes a
convertirse en imperios relativamente autónomos, con sus propias metas y sistemas
de valores. Este tipo de problemas, y la necesidad de encontrar la mejor forma de
resolverlos, proporcionaron el surgimiento de la Investigación de Operaciones, la cual
aspira a determinar la mejor solución (óptima) que conlleva una toma de decisiones
que repercute en la planeación de las actividades en la empresa.
Debido a ello los Ingenieros Industriales cuyo campo de acción está en las
organizaciones de cualquier tipo y giro sus funciones se relacionan con los procesos
para la fabricación de bienes y/o servicios. Sus actividades se privilegian en la
transformación como en la administración.
Por lo anterior en esta investigación se toca un punto nodal que favorecerá la
preparación de estos profesionales de la Ingeniería ya que se estudio el índice de
reprobación a través del método experimental, con el objetivo de incrementar el
rendimiento escolar.
La materia de Investigación de operaciones 1 es importante para los estudiantes y
profesores de la División de Ingeniería Mecatrónica e Industrial del Tecnológico de
Estudios Superiores de Ecatepec, puesto que proporciona las bases de la toma de
decisiones tanto en el control de inventarios, en la planeación de la producción, así
como en la decisión de incorporar nuevos productos en los proyectos de inversión.
Sin embargo los estudiantes de la carrera de Ingeniería Industrial en la materia de
Investigación de Operaciones 1, así que este trabajo tiene la finalidad de analizar el
rendimiento escolar en los estudiantes del curso de Investigación de Operaciones 1
usando el método experimental, después de someterlo a la acción de una variable
(unidad 1 que se anexó al programa de estudio en los grupos experimentales).
Se inicio con el planteamiento de la situación problemática del periodo 2005-1 al
2007-1, se plantea el objetivo general, las preguntas de investigación, la justificación
de esta investigación, así como la perspectiva de la Investigación de Operaciones en
el Tecnológico de Estudios Superiores de Ecatepec.
En el capitulo 2 se presenta la historia de las matemáticas, la aplicación de las
matemáticas en el nivel superior, como se relaciona esta con la Investigación de
Operaciones y la importancia de esta ultima en el campo de acción de la Ingeniería
Industrial.
Para el capitulo 3 se ve la estrategia metodológica donde se describe puntualmente
el método, la hipótesis general e hipótesis nulas la integración de los grupos (uno
matutino y uno vespertino que es la población total en el Tecnológico de Estudios
Superiores de Ecatepec en la asignatura Investigación de Operaciones 1) y la acción
de la variable, se formaron cuatro grupos (dos matutinos y dos vespertinos) de los
matutinos uno fue expuesto a la variable experimental (30 alumnos) y un grupo no
expuesto a ella (29 alumnos) al igual que en el vespertino (20 estudiantes para cada
uno) quedando 99 alumnos en total y se establecieron las hipótesis nulas.
En el capitulo 4 se incluyen los datos, resultados del proceso de evaluación, se
graficaron los datos correspondientes a las características de los alumnos, así como
el resultado del examen de evaluación, 1er. Parcial, 2do. Parcial, 3er. Parcial, y
examen global, se compararon los resultados de las evaluaciones de los grupos
expuestos y no expuestos (por turno). Se probaron las hipótesis y se elaboró la
ecuación de regresión múltiple, por último en las conclusiones a partir de los cálculos
se hizo una prueba de hipótesis que permitió decidir cuales hipótesis nulas se
aceptaban y cuales se rechazaban. También se incluyo un apartado de anexos en
el que se pueden consultar los instrumentos utilizados en las evaluaciones.
Agradecimientos
A dios por permitirme pertenecer a esta familia maravillosa que siempre me han apoyado.
A mi mamá por haberme enseñado a estudiar con
una tablita. A mi hermana por su comprensión incondicional y
sus regaños. A mi hijo que es la fuente de inspiración y
motivación para superarme día con día. A mis amigas Cayito por haberme invitado a
iniciar una maestría, aunque desistió y no inicio. A Irma por siempre estar dispuestas a escucharme y ayudarme en todo.
A mi directora de tesis Dra. Elia Olea por
su paciencia, guía y entusiasmo transmitido para concluir esta investigación.
CAPITULO I
SITUACION PROBLEMÁTICA
1
CAPITULO 1
1 SITUACION PROBLEMATICA
1.1 Planteamiento del problema
El Tecnológico de Estudios Superiores de Ecatepec (TESE) se constituyó el 15 de
agosto de 1990. Como resultado de la firma de un convenio de coordinación entre la
Secretaría de Educación Pública del Gobierno Federal y el Gobierno del Estado de
México. Se estableció la creación, operación y apoyo financiero, con el propósito de
contribuir al impulso y consolidación del desarrollo de la educación superior
tecnológica en la entidad, de ahí que el Tecnológico, de acuerdo a lo establecido en
el artículo 5° del decreto constitucional, se rige por La Junta Directiva que es la
máxima autoridad de la Institución. En la que participan representantes de los
gobiernos federal, estatal y municipal y de los sectores social y empresarial de
Ecatepec, además del director general.
Durante 15 años el TESE atendió y formó diferentes generaciones de profesionales;
sin embargo en el 2005 entra en operación el Nuevo Modelo Educativo Hacia el Siglo
XXI el cual es representado como un sistema que confluye en un gran proceso
central denominado proceso educativo. De manera fundamental el modelo, gira en
torno al ser humano y a su aprendizaje desde una óptica de la construcción del
conocimiento y el cultivo de la inteligencia en todas sus formas. Cabe mencionar que
2
dicho proceso es alimentado por la sinergia de cinco aspectos estratégicos; que se
refieren a lo académico, de planeación, de administración de recursos, el de
vinculación y difusión de la cultura y por último el correspondiente a la innovación y
calidad.
De esta forma a partir del semestre 2005-2, las licenciaturas que se imparten en el
Tecnológico utilizan los planes y programas de estudio de la Dirección General de
Institutos Tecnológicos (DGIT), y se cursan en nueve semestres. Los planes de
estudio de las licenciaturas del TESE son flexibles y están basados en el sistema de
créditos, donde los alumnos pueden elegir su carga académica de acuerdo a su
propio ritmo y circunstancia. Cabe mencionar que este centro de estudios en los
últimos años logró que el Consejo de Acreditación de la Enseñanza de la Ingeniería,
A.C. (CACEI), aprobara los programas académicos de las carreras de Ingeniería
Electrónica, Mecánica, Química, Bioquímica, en Sistemas Computacionales y en
Industrial. Por otra parte, el Consejo Nacional de Acreditación en Informática y
Computación (CONAIC), acreditó el programa académico de la Licenciatura en
Informática. De igual forma el programa académico de la Licenciatura en Contaduría
fue aprobado por el Consejo Nacional de Acreditación en la Enseñanza de la
Contaduría y Administración, A.C. (CACECA).
Es importante mencionar que las Licenciaturas e Ingenierías en el primer semestre,
tienen un número fijo de asignaturas que todos los alumnos deben cursar;
posteriormente, la seriación de los cursos establecido en el plan de estudios y el
3
número de créditos aprobados, determinan la inscripción de los estudiantes y las
asignaturas no acreditadas se deben cursar en el periodo escolar inmediato
siguiente. A partir del séptimo semestre los alumnos estudian las asignaturas de
especialidad que define su orientación profesional en cada carrera y, de manera
obligatoria, en el noveno semestre realizan una residencia profesional en los
sectores público, privado o social, lo que tiene un valor en créditos. Aunque de
acuerdo al peso que se otorga a las materias el alumno podrá establece su carga
académica respetando un mínimo de 38 créditos y un máximo de 64 por semestre.
Respecto a la planeación curricular es necesario indicar que cada una de las
carreras ofertadas por el tecnológico cuenta con sus objetivos a los cuales se
pretende llegar, los perfiles a alcanzar en los futuros profesionistas y el campo
laboral en el que se podrán desarrollar.
Considerando estos aspectos generales ahora se centrará la atención en la
licenciatura de ingeniería industrial tema de esta tesis en la que de acuerdo a la
información de la Dirección General del Tecnológico de Estudios Superiores de
Ecatepec el objetivo es formar profesionales que contribuyan al desarrollo
sustentable, con una visión sistémica, para responder a los retos que presentan los
constantes cambios en los sistemas de producción de bienes y servicios en el
entorno global, con ética y comprometidos con la sociedad.
4
El perfil de egreso del ingeniero industrial hace referencia al desarrollo de las
competencias tales como el diseño, administración y mejora sistemas integrados de
abastecimiento, producción y distribución de bienes y servicios; estructura y
funcionamiento básico para la operación de maquinaria, herramientas, equipos e
instrumentos de medición y control; participación en proyectos de transferencia,
asimilación, desarrollo y adaptación de tecnologías, además de presentar una
conducta apropiada en equipos de trabajo inter y multidisciplinarios en ambientes
cambiantes y policulturales, destacando el uso de técnicas y métodos cualitativos y
cuantitativos para la toma de decisiones en los que las matemáticas (Investigación
de Operaciones 1) son indispensables. Así que con base en su formación
profesional, tiene la capacidad y la creatividad para convertirse en empresario.
La carrera de Ingeniería Industrial está conformada por un plan de estudios de 9
semestres, en los cuales se abordan diferentes materias que son la base para los
próximos profesionistas. En el quinto semestre se encuentra localizada la materia de
Investigación de operaciones 1 (IO1), que requiere del aprendizaje de los semestres
anteriores. Es una asignatura de suma importancia ya que proporciona las bases
para la toma de decisiones en los proyectos de inversión, rentabilidad y planeación y
control de la producción.
La investigación de operaciones es la aplicación de la metodología científica a través
de modelos, primero para presentar el problema y segundo para resolverlo. De
hecho la investigación de operaciones opera en grupos interdisciplinarios para el
5
control de las organizaciones o sistemas (hombre- máquina) a fin de que produzcan
soluciones que mejor sirvan a los objetivos de toda organización.
La investigación de operaciones se utiliza en 3 tipos de problemas:
1.- Determinísticos. Son aquéllos en que la solución de cada problema tiene solo una
posibilidad. Sin embargo, como hay varias alternativas existen distintas soluciones
con diferente efectividad asociada a los objetivos de sistema. Por lo tanto se tiene la
necesidad de tomar una decisión.
2.- Con riesgo. Son aquéllos en los que cada alternativa del problema tiene varias
soluciones. Cada solución puede ocurrir con una cierta probabilidad. La distribución
de estas probabilidades se conoce o se pueden estimar.
3.- Bajo incertidumbre. Son aquéllos en los que cada alternativa del problema tiene
varias soluciones. Sin embargo se ignora con que probabilidad o distribución
probabilística ocurrirán estas soluciones.
En el análisis de la Investigación de Operaciones se distinguen problemas que no
son claros y pueden existir diferencias entre el grupo que tiene el problema y el grupo
de investigación de operaciones que desea atenderlo y de esta forma puede
resolverse cuando se manejan los mismos conceptos al plantear el problema y al
implementar los modelos, facilitando la comunicación.
6
Adicionado a lo anterior, los modelos que utiliza la investigación de operaciones son
matemáticos y toman la forma de ecuaciones los cuales son de decisión y permiten
calcular los valores aproximados o exactos de las componentes controlables del
sistema para que pueda comportarse mejor de acuerdo a criterios establecidos.
Aunque los estudiantes de Ingeniería Industrial cuentan con los antecedentes
académicos para encontrar las soluciones a las ecuaciones derivadas de los
modelos en la asignatura de IO1, se tiene un número alto de reprobados que de
acuerdo a las estadísticas proporcionadas por la Unidad de Certificación y Registro
(UCR) fluctuó entre el 56% y el 60% en el periodo 2005-1 a 2007-1.
Tabla No. 1 Porcentaje de reprobación en Investigación de Operaciones 1 de
2005 a 2007
Año
2005
2006
2007
Semestre
1er.
Aprobado
Sí No
2do.
Aprobado
Sí No
1er.
Aprobado
Sí No
2do.
Aprobado
Sí No
1er.
Aprobado
Sí No
2do.
Aprobado
Sí No Investigación
de Operaciones
1
40%
60%
44%
56%
46%
54%
47%
53%
40%
60%
44%
56%
De acuerdo a lo observado los porcentajes de reprobación mostrados en la tabla
No.1 pudieran deberse a que se le otorga poca utilidad a las operaciones
matemáticas básicas, además de que parece ser el reflejo de las bases deficientes
en el conocimiento de las mismas que traen como antecedentes formales y que
necesitan usar en la Investigación de Operaciones 1.
7
Respecto al trabajo docente, se quiere mencionar que en el semestre del 2006-1 en
esta materia se han cambiado las técnicas didácticas y se ha planeado mayor
número de ejercicios, solicitándoles a los estudiantes que investiguen la teoría, todo
ello basado en la técnica demostrativa por lo que se resuelven los ejercicios prácticos
en clase y se elaboran tablas-resumen de los pasos seguidos en la aplicación de
cada uno de los modelos utilizados en investigación de operaciones 1. Sin embargo
se pudo identificar que existían problemas en cuanto a la aplicación de operaciones
básicas.
Aunque se ha pretendido propiciar un mayor aprendizaje en los siguientes dos
semestres (2006-2 y 2007-1) se han seguido presentando porcentajes altos de
estudiantes reprobados en Investigación de Operaciones 1 corroborándose que lo
que influye en la solución de los problemas es el desconocimiento y la poca habilidad
que tienen en la aplicación de las operaciones aritméticas, fraccionales, algebraicas y
matriciales.
Con lo anterior mencionado la formulación del problema puede plantearse con la
siguiente pregunta:
¿Los alumnos que cursan la materia de Investigación de Operaciones 1 elevarían su
rendimiento escolar al proporcionarles, al inicio del curso, el estudio de las
operaciones aritméticas, fraccionales, algebraicas y matriciales de tal forma que se
amplíe su comprensión y se tenga mayor seguridad en su aplicación?
8
1.2 Objetivos1
Objetivo General
Analizar el rendimiento escolar en los estudiantes del curso de Investigación de
Operaciones 1, después de someterlos a la acción de una variable experimental que
es una unidad adicionada al programa en la que se revisan las operaciones
aritméticas fundamentales (suma, resta, multiplicación y división), algebraicas y
matriciales.
1 Aquí no se requiere de objetivos específicos ya que el proceso del mismo es solo probar la acción de
una variable en un grupo experimental y tomar una decisión sobre las hipótesis nulas como resultado
de un cálculo estadístico.
9
1.3 Preguntas de Investigación
1.- ¿El número de temas contenidos en el programa de Investigación de Operaciones
1 influye en el rendimiento escolar de los alumnos?
2.- ¿La profundidad de los temas que se estudian en el programa de Investigación de
Operaciones 1 afecta en el rendimiento escolar de los alumnos?
3.- ¿Realizan actividades extracurriculares los alumnos que toman la materia de
Investigación de Operaciones 1?
4.- ¿La trayectoria académica de los alumnos en las materias que son básicas para
Investigación de Operaciones 1, influyen en el aprovechamiento de la misma?
5.- ¿Cuáles son las características (género, edad y estado civil) de los alumnos que
cursan la materia de Investigación de Operaciones 1?
6.- ¿El que el alumno esté inscrito en un turno mixto influye en el aprovechamiento
de la materia de investigación de operaciones 1?
7.- ¿Cuál es el nivel socioeconómico de los alumnos inscritos en Investigación de
Operaciones 1?
10
1.4 Justificación
La ingeniería, la aplicación sistemática del conocimiento científico al desarrollo y uso
práctico de la tecnología, ha pasado de ser un arte a una ciencia por sí misma. El
conocimiento científico ofrece un medio para estimar cuál será el comportamiento de
las cosas incluso antes de hacerlas u observarlas. Además, la ciencia con
frecuencia sugiere nuevos tipos de conducta que nunca se habían imaginado antes,
y así conduce a nuevas tecnologías. Los ingenieros usan el conocimiento de la
ciencia y la tecnología, junto con estrategias de diseño, para resolver los problemas.
De acuerdo a lo anterior los avances del conocimiento científico y tecnológico de los
últimos siglos continúan desarrollándose, con el gran potencial de mejorar la calidad
de vida de la población del mundo y con profundas implicaciones para la economía
global. La experiencia a través de los años ha demostrado que no se puede pensar
en desligar el desarrollo socioeconómico y cultural de un país de sus avances en
ciencia y tecnología, o de su aplicación para resolver sus problemas más
importantes. Sin embargo es necesario destacar que para el estudio de la Ingeniería
una de las áreas que requieren conocimiento óptimo son las matemáticas, por lo
tanto, esta área es fundamental para el modelado y simulación de problemas y en la
toma de decisiones basado en la interpretación de resultados. De hecho la materia
de Investigación de operaciones 1 es importante para los estudiantes y profesores de
la División de Ingeniería Mecatrónica e Industrial del Tecnológico de Estudios
Superiores de Ecatepec, puesto que representa la toma de decisiones tanto en la
11
planta de la producción, así como en la decisión de incorporar nuevos productos en
los proyectos de inversión.
Por lo anterior, el contar con los datos de un grupo al que se ha proporcionado el
estudio de las operaciones fundamentales aritméticas, fraccionales, algebraicas,
además de las matriciales, proveerá de información que permitirá determinar si incluir
la aclaración, corrección y ejecución en estas operaciones repercute positivamente
en el desarrollo y solución de los modelos matemáticos que se utilizan en la
investigación de Operaciones y por tanto en los resultados de su rendimiento escolar.
De esta forma el proveer de información al respecto servirá de arranque para decidir
si se adiciona al inicio del programa de Investigación de Operaciones 1 esta unidad
de estudio correspondiente a la ejercitación y aplicación de operaciones aritméticas,
fraccionales, algebraicas y matriciales que sienten las bases del conocimiento previo
que se necesita en esta asignatura y posteriormente en materias de ciencias básicas
(física, química y matemáticas).
Esta investigación, también estará en posibilidad de turnar los datos a la División de
Ingeniería Mecatrónica e Industrial para implementar en otras materias de ciencias
básicas una unidad adicional que mejore en los alumnos el rendimiento académico
que hasta ahora se ha venido presentando y poder observar las repercusiones que
se tendrán en las ciencias básicas, así como permitir hacer ajustes en la misma, todo
ello, en pocas palabras, permitirá tomar decisiones a nivel de administración
curricular.
12
En otro orden de ideas, esta tesis beneficiará a nivel de coordinación a la División de
Ingeniería Mecatrónica e Industrial ya que este trabajo es considerado como
proyecto divisional y de esta forma ayudará a mejorar la labor de los docentes que
integran la misma. Ello dará la pauta para modificar la imagen que se tiene de que el
área de ciencias básicas es normal el tener índices altos de reprobados.
13
1.5 La Investigación de Operaciones en el Tecnológico de Estudios Superiores de
Ecatepec (TESE)
En el Tecnológico de Estudios Superiores de Ecatepec (TESE) se imparten carreras
a nivel superior las cuales son:
Informática
Contaduría
Ingeniería en Sistemas Computacionales
Ingeniería Industrial
Ingeniería Química
Ingeniería Electrónica
Ingeniería Bioquímica
Ingeniería Mecatrónica
En las carreras de Informática, Ingeniería en Sistemas Computacionales e Ingeniería
Industrial como parte del currículo se encuentra la materia de Investigación de
Operaciones para la formación de los futuros profesionistas.
La licenciatura en Informática tiene contemplada la asignatura de Investigación de
Operaciones en el quinto semestre. Este curso proporciona los elementos formales y
operacionales para el análisis cuantitativo de las operaciones de una organización y
tiene como objetivo desarrollar la capacidad de los estudiantes para identificar y
14
resolver problemas para poder optimizar y controlar proyectos que surgen en las
organizaciones.
Respecto a la Ingeniería en Sistemas computacionales la Investigación de
Operaciones ayuda a modelar y resolver problemas de Administración de
Operaciones como son Inventarios, Producción, Líneas de espera (colas) entre otras
usando sistemas computacionales y ayudando a la toma de decisiones, de esta
forma el estudiante desarrolla las herramientas de software necesarias para ello.
En la Ingeniería Industrial el uso de la Investigación de Operaciones es para diseñar
e implementar sistemas y procedimientos en la toma de decisiones, así como en la
optimización de recursos (financieros, materiales, humanos, tecnológicos), aplicar las
técnicas para medir y evaluar la productividad, teniendo como objetivo el formular y
aplicar la programación lineal a problemas reales, identificar posibilidades de cambio
en sus sistemas productivos con base en el análisis de sensibilidad.
De acuerdo a lo anterior este profesional utiliza la Investigación de Operaciones para
formular un modelo matemático a partir de datos reales en una organización,
identificar variables (controlables o no controlables) dentro de sus sistema, utiliza
técnicas para la solución de problemas y poder predecir situaciones a partir de la
toma de decisiones anteriores (análisis de sensibilidad) sin tener que formular
nuevamente el problema.
Por lo anterior se puede observar que la Investigación de Operaciones tiene un gran
campo de aplicación en las organizaciones, los futuros profesionistas de Informática
15
e Ingeniería en Sistemas Computacionales toman la Investigación de Operaciones
como un área a la cual hay que darle las herramientas que les permitan ser más
certeros al dar un dato cuantitativo.
Considerando la importancia que tiene la Investigación de Operaciones en la
formación profesional, el TESE proporciona a sus estudiantes las bases que
fortalezcan sus conocimientos, es decir, se integran asignaturas en las diferentes
carreras de su oferta educativa por ejemplo Licenciatura en Informática, Ingeniería en
Sistemas Computacionales e Ingeniería Industrial siendo esta última en donde se
analiza a fondo el tema en cuestión, debido a las necesidades laborales que se le
pueden presentar a un Ingeniero Industrial como son la toma de decisiones,
plantación y control de la producción, diseño de planta, mantenimiento, entre otros
aspectos. Es importante destacar que uno de los objetivos principales de esta
Ingeniería es la optimización de los recursos, los cuales siempre están presentes en
cualquier sistema.
Para poder estudiar y entender la Investigación de Operaciones es necesario contar
con un modelo matemático que describa las características del sistema. Para
estudiar este modelo matemático se requieren de herramientas fundamentales
básicas como son las operaciones aritméticas, fraccionales, algebraicas y
matriciales, así como en algunos casos de la aplicación de conocimientos especiales
tales como algebra lineal, métodos numéricos, calculo diferencial e integral, áreas
bajo la curva, ecuaciones diferenciales, principalmente.
CAPITULO 2
LAS MATEMATICAS
16
CAPITULO 2
2 LAS MATEMATICAS
2.1 Surgimiento de las matemáticas
La Historia de las Matemáticas tiene una función didáctica2 como instrumento de
comprensión profunda de sus fundamentos y de las dificultades de sus conceptos
para así responder mejor a los retos de su aprendizaje. Parece evidente que
conocer, en sentido cotidiano, el tránsito de las percepciones a las ideas y de éstas a
los conceptos, revela las dificultades que los grandes matemáticos encontraron,
información esencial para conocer los obstáculos en los que tropiezan los
estudiantes.
Esto es una cuestión filosófica general sobre didáctica que ha sido objeto de reflexión
permanente, en los últimos cien años, de importantes y famosos matemáticos,
pedagogos e historiadores: Poincar´e, Klein, Toeplitz, K¨othe, Bell, Courant, P´olya,
Puig Adam, Piaget, Lakatos, Boyer, Babini, Kline, Santal´o, M. Guzmán, entre otros
pero también de muchos profesores anónimos que con su experiencia personal, con
sus observaciones y argumentos han ido aportando, en los últimos tiempos,
numerosas ideas y propuestas de este tema.
2 Evolución de la didáctica de las matemáticas como disciplina científica*Josep Gascón Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma de Barcelona.
17
Las Matemáticas tienen una absoluta fuerza creativa interna que se manifiesta en el
pasar histórico en un magnífico espectáculo de creación continua y en muchos
despliegues de intuición, que al ser proyectados en el aula podrían contener un clima
favorable a la investigación, estimulando de forma activa los valores científicos y
provocando en el estudiante el desarrollo de la creatividad por imitación, es decir,
impulsar la intervención en el transcurrir de la ciencia, en un intento de alcanzar uno
de los objetivos de la enseñanza de cualquier ciencia, a saber, enseñar, en alguna
forma, a elaborar ciencia.
La Historia de las Matemáticas es para el profesor un medio de autoformación que
favorece la capacidad de actualización pedagógica y una metodología que permita
plantear activamente el aprendizaje como un redescubrimiento. Además, una fuente
inagotable de material didáctico de ideas y problemas interesantes y, en alto grado,
de diversión y recreo intelectual y por tanto de enriquecimiento personal, científico y
profesional. Asimismo facilita la comprensión de la evolución dinámica de las ideas
que han llevado a los conceptos y técnicas que conforman el contenido de la
educación matemática, la cual ha formado parte siempre de todo sistema educativo,
remontándonos incluso al mundo helénico ya que en la antigua Grecia los primeros
pilares de la educación eran la Aritmética y la Geometría, propedéutica fundamental
18
para el acceso a cualquier otro ámbito del saber cómo describe Platón, una y otra
vez, a lo largo de La República3.
Con espíritu platónico, más allá del carácter instrumental de la Matemática, como
lenguaje y herramienta al servicio de las ciencias y las técnicas, la Historia de las
Matemáticas, al revelar la dimensión cultural de la Matemática, es no sólo un
poderoso instrumento de enriquecimiento de la Matemática, sino y ante todo es un
punto de encuentro donde se aproximan e intiman las Ciencias y las Humanidades.
La ignorancia o el desprecio de la topología de este terreno compartido han
alimentado la polémica sobre las dos culturas ahora tres si incluimos la Tecnología
transferida de forma inevitable al ámbito escolar. Es más, la Historia de las
Matemáticas es un instrumento magistral para la ciencia, para vincular esta actividad
característica del intelecto, la Matemática en el conjunto de los saberes científicos,
artísticos y humanísticos que constituyen la Cultura4.
En efecto, a través del quehacer milenario de generaciones de matemáticos, se
encuentra en la Historia de las Matemáticas muchísima información de intuición y
conocimiento para acceder a la experiencia del descubrimiento científico en
Matemáticas, sin necesidad de grandes medios materiales, aunque sí es
imprescindible inicialmente la motivación, la iniciativa personal y la curiosidad,
3 La república. Platón. Grupo editorial tomo S.A. de C.V. 1ª. Edición, septiembre 2003. 4 Revista suma 45. Febrero 2004, pp. 17-28. La historia de las matemáticas como recurso didáctico e instrumento para enriquecer culturalmente su enseñanza.
19
después la ilusión y el entusiasmo constantes, y en todo momento, la activación de
importantes valores humanos vinculados a la voluntad, como la paciencia, la
perseverancia, la constancia, la persistencia, la tenacidad, la firmeza, el tesón, la
entereza, la dedicación, el empeño; todos ellos son necesarios para alcanzar y
mantener la concentración, la reflexión profunda individual y la curiosidad que
requiere todo estudio e investigación en Matemáticas.
El Trabajo se apoya en numerosas citas de matemáticos artífices de las ideas y
reflexiones de pedagogos, historiadores y filósofos de la Ciencia; y contiene
numerosas cuadros de texto enfatizado, centros de atención con esquemas,
sinopsis, datos biográficos y bibliográficos; recopilación de citas; técnicas y métodos
geométricos aplicados a problemas históricos; aspectos curiosos y singulares;
cuestiones eruditas de gran relevancia en la Historia de la Cultura y del Pensamiento;
relaciones de las cuestiones matemáticas sobre hechos científicos, literarios y
filosóficos; ilustraciones contextuales en las que Arquímedes o la Matemática son
piezas artísticas de una gran belleza.
20
2.1.1 Matemáticas Egipcias
Las operaciones fundamentales como la suma, la resta, la multiplicación y la división
que son parte de las matemáticas básicas tienen gran importancia en la forma en
que el hombre utiliza para estar en contacto con el mundo, todo requiere ser
concertado simbólicamente en un número al cual se agregan, quitan o reparten
aquellos aspectos que se representan. Desde el momento en que se fueron
descubriendo más recursos matemáticos para controlar la información iniciaron su
aplicación en la producción, por ello es indispensable incluir en el marco teórico el
origen de las operaciones fundamentales en las culturas que se cree fueron las
precursoras para llegar a la toma de decisiones tal y como se hace ahora en el curso
de Investigación de operaciones 1 y posteriormente en el campo profesional de
algunas ingenierías y la informática.
Por lo anterior este capítulo se inicia con las matemáticas en el Antiguo Egipto que
constituyeron la rama de la ciencia que más se desarrolló. Se pueden ubicar a partir
del papiro Rhind, que anuncia las Reglas para estudiar la naturaleza y para
comprender todo lo que existe, todo misterio, todo secreto. De hecho el Imperio
Antiguo se dice que los egipcios dedicaron la aritmética para usos prácticos, con
muchos problemas del tipo: cómo un número de panes se pueden dividir en partes
iguales entre un número de personas.
21
Los problemas de los papiros de Moscú y Rhind (es el más importante documento
matemático del antiguo Egipto, comprado por Golenishchev en el año 1883, a través
de Abd-el Radard, una de las personas que descubrió el escondite de momias reales
de Deir el Bahari)5 se expresan en un contexto educativo, y se han encontrado tres
definiciones abstractas del número y otras formas más complejas de aritmética. Las
tres definiciones abstractas están en la tablilla de madera de Ajmin, el papiro de
método de sumas (EMLR) y el papiro matemático de Rhind, el cual contiene una
tabla de la serie egipcia de la fracción 2/n (101 entradas) y 84 problemas. Se toma
una forma de aritmética que se busca en fracciones unitarias que eran precedidas a
menudo por un número entero. Tomando las fracciones de los números enteros y de
la unidad juntas como una declaración, como cocientes y restos, o simplemente
como aritmética del resto. Las formas más complejas de aritmética incluyen el uso
de tablas de fracciones, así como restos de la sustracción no aditiva y de la división.
Los restos son precedidos por series binarias y seguidos por un factor de
posicionamiento en la tablilla de Ajmin, el papiro matemático (PMR) y otros textos.
En el Imperio del Antiguo Egipcio se uso un sistema numérico de base 10 y en el
Imperio Nuevo se utilizaron fracciones unitarias y tablas de segundos resultados.
Los escribas solucionaron varios problemas matemáticos muy complejos, 84 de los
cuales se explican en el papiro matemático de Rhind. Sin embargo aunque se
desarrolló el sistema de base 10, que no era un sistema posicional, se permitió el uso
5 http://www.egiptología.org/ciencia/matematicas/papiro_moscu.htm
22
de grandes números y también de fracciones en la forma de fracciones unitarias:
fracciones del Ojo de Horus, y varias fracciones binarias6. En esa misma época, las
técnicas egipcias de construcción incluyeron sistemas de topografía, marcando el
norte por la situación del sol al mediodía.
Antes del 2000 AC, comenzaron a aparecer referencias claras que citaban
aproximaciones para π y raíces cuadradas7. Las relaciones del número exacto,
tablas aritméticas, los problemas del álgebra y aplicaciones prácticas con pesos y
medidas también comenzaron a aparecer alrededor del 2000 AC, con varios
problemas solucionados por métodos aritméticos abstractos.
El PMR se fecha a partir del Segundo periodo intermedio de Egipto (circa 1650 AC),
se identifica como copia de un papiro del Imperio Medio. También incluye fórmulas
y métodos para cálculo de áreas, y operaciones aritméticas para la adición, la
substracción, la multiplicación y la división de las fracciones unitarias. Contiene
evidencia de otros conocimientos matemáticos, incluyendo números compuestos y
primos; medias aritméticas, geométricas y armónicas; y un método simple de la tabla
de Eratóstenes y del número perfecto. También muestra cómo solucionar ecuaciones
lineales de primer orden así como sumar series aritméticas y geométricas.
6 http://profesoramendijuliette.com/post/2007/05/16/numeracion-antigua-egipcia-y-medidas 7 Maza Gomez, Carlos.(2000). Las matemáticas en el antiguo Egipto. Sus raíces económicas. España: Universidad de Sevilla, Servicios de publicaciones, p.159.
23
Los papiros de Berlín, escritos alrededor del 1300 AC, muestran que los antiguos
egipcios habían solucionado dos ecuaciones de segundo grado, Diofánticas, aunque
el método de Berlín para solucionar x² + y² = 100 no se ha confirmado en un segundo
texto. Otras fuentes son el papiro matemático de Moscú (PMM), el papiro de Reisner,
la tablilla de madera de Ajmim (Museo de El Cairo) (AWT), y varios otros textos que
incluyen prescripciones médicas.
En el antiguo Egipto, fueron utilizados dos tipos de numeración. Uno, escrito en
jeroglíficos, era un sistema decimal, con signos distintos para las potencias 10, tales
como 10, 100, 1000, hasta el infinito, que se usó en el periodo Predinástico. El
segundo, el sistema hierático, escrito con un nuevo tipo de cifras que asimilaba un
número a un símbolo y se diferenció del sistema jeroglífico por simplificar los
símbolos para poder escribir más rápido, y comenzó alrededor 2150 AC.
Una numeración jeroglífica tardía fue modificada y adoptada en el Periodo Romano
para las aplicaciones oficiales, y las fracciones egipcias se retomaron en las
situaciones cotidianas. El sistema usado en el antiguo Egipto era decimal,
redondeando a menudo al número más alto, y escrito con jeroglíficos.
24
Los siguientes jeroglíficos fueron utilizados para designar las potencias de diez:
Valor 1 10 100 1.000 10.000 100.000 1 millón, o
infinito
Jeroglífico
o
Los múltiplos de estos valores fueron expresados repitiendo el símbolo tantas veces
como fuera necesario pudiendo escribir los números dentro del texto. Por ejemplo,
una piedra tallada de Karnak muestra el número 4622, escrito de izquierda a derecha
y de arriba hacia abajo como:
25
Además de este sistema de numeración, en la antigua lengua egipcia podían escribir
los números con las palabras que los representaban, es decir, podían escribir treinta
en lugar de 30, aunque esto no era frecuente para la mayoría de los números8.
Treinta, por ejemplo, se escribía como:
El número 30 era:
Para los números hieráticos utilizaron un símbolo para cada número, sustituyendo las
cifras que habían sido utilizadas para designar múltiplos de la unidad. Por ejemplo,
utilizaban dos símbolos para escribir tres, treinta, trescientos, etcétera, en un sistema
que reemplazó al modo jeroglífico.
Como la mayoría de los textos administrativos y de contabilidad fueron escritos en
papiros u ostracas y no grabados en piedra como los textos jeroglíficos, emplean el
sistema hierático de escritura, aunque es conveniente aclarar que los casos
encontrados de números escritos en hierático son posteriores al Imperio Antiguo.
Los papiros de Abusir son una recopilación particularmente importante de textos que
utilizan estos números. Boyer demostró en 1958 que esa escritura utilizaba un
sistema de numeración diferente, usando símbolos individuales para los números del
1 al 9, así como en los casos de los múltiplos de 10 (entre 10 y 90) y las centenas a
partir del 100 al 900 y los millares a partir de 1000 a 9000. Un número grande como
8 http://ciencia.astroseti.org/matemticas/articulo_3642_la_numeracion_egipcia.htm.
26
9999 se podía escribir con solamente cuatro signos, combinando los signos para
9000, 900, 90, y 9, opuestas a 36 jeroglíficos9.
En el caso de los papiros matemáticos de Moscú y el de Rhind, también usaron la
escritura hierática. El de Rhind contiene ejemplos de cómo los egipcios hicieron sus
cálculos matemáticos y los números fueron designados poniendo una línea sobre la
letra asociada al número que era escrito, como /A. Este método de escribir números
se extendió por el Cercano Oriente, y los griegos, 1.500 años más tarde, lo usaban
en dos de sus alfabetos, jónico y dórico, para representar sus números: /alfa = 1,
/beta = 2 y así sucesivamente. Respecto a las fracciones, los griegos escribieron 1/n
como n’, por lo que en la numeración y resolución de problemas adoptaron o
modificaron la numeración la aritmética y las matemáticas egipcia.
2.1.1.1 Las primeras operaciones
Suma y resta
Para los signos más y menos, se usaban los jeroglíficos
Y
Si los pies señalaban en la dirección de la escritura, significaban suma, si no resta.
9 Maza Gomez, Carlos. Op. Cit. p.240.
27
La sustracción está descrita en el rollo de cuero EMLR (1800 AC), un documento que
incluye cuatro métodos de suma.
Multiplicación
La multiplicación egipcia se hacía duplicando el multiplicando, y es conocido como
duplicación y mediación.
El método utilizado solo requiere saber sumar:
Si deseamos multiplicar A x B
En la primera columna se escribe la serie: 1, 2, 4, 8...(2n < A) (obteniendo cada cifra
sumando todas las precedentes), escribiendo hasta el último número que no supere
la primera cifra: A.
En la segunda columna se escribe la serie: B, 2B, 4B... (obteniendo cada cifra
sumando todas las precedentes) .
En la tercera columna se marcan las cifras, de la primera columna, cuya suma
resulte igual a A (de mayor a menor) .
El resultado es la suma de las cifras marcadas.
Como un corte corto para números más grandes, el multiplicando se puede también
multiplicar inmediatamente por 10, 100 y cualquier múltiplo de 10.
28
La matemática hierática del Imperio Medio mantuvo esta forma de multiplicación
jeroglífica que era un sistema lento, pero seguro: al escriba le bastaba saber duplicar
las cifras para hacer sus cálculos; por eso no necesitaron crear tablas de multiplicar,
como luego hizo Mesopotamia10.
División
La división se efectuaba por el procedimiento inverso de la multiplicación.
Fracciones
Fracciones en textos matemáticos
Los números racionales se podían también expresar, pero solamente como sumas
de fracciones unitarias, es decir sumas de los inversos de los números enteros
positivos, a excepción de 2/3 y de 3/4. El jeroglífico que indicaba una fracción era
una boca, y significaba la parte:
10 http://ciencia.astroseti.org/matematicas.
29
Las fracciones eran escritas con el signo r encima del número; en notación actual: 1
como numerador, y el número escrito debajo como denominador. Así, 1/3 se
representaba como:
Había símbolos especiales para el 1/2 y para dos fracciones, 2/3 (usado con
frecuencia) y 3/4 (utilizado algo menos):
Si el denominador era demasiado grande, la boca era puesta al principio del
denominador:
30
Fracciones para medidas de capacidad
El Ojo de Horus Udyat: los primeros números racionales11.
Para las medidas agrarias de superficie y capacidad, conservaron un sistema mucho
más antiguo, basado en las divisiones por dos de 1/2, fracciones representadas en el
Ojo de Horus (ojo izquierdo que le fue arrancado por Seth). Cada fracción se
representaba por el jeroglífico correspondiente del ojo:
Fracciones agrarias
Utilizaban un tercer sistema de notación para medir los campos:
de setat,
de setat,
de setat, etc.
11 http://www.egiptomania.com/mitologia/udyat.htm. Como número fraccionario.
31
Repartos proporcionales
Debido al sistema económico y social, donde todo trabajador estaba a cargo del
faraón o los templos, y en el cual en todo comercio o trabajo se operaba por trueque,
los egipcios adquirieron una gran maestría en el manejo de fracciones.
Al escriba correspondía llevar a cabo una gran contabilidad material, tanto el registro
de la producción (suministro de simientes, herramientas, materias primas y recogida
de cosechas), como para el reparto de los bienes de consumo (alimentos, vestidos,)
entre los miembros de las comunidades agrícolas o artesanas. Esto explica la
importancia de los problemas de reparto y de la fidelidad al sistema de fracciones.
• Aplicación práctica de las matemáticas
A los egipcios les interesaba sólo el aspecto aplicado de la ciencia. Esto explica por
qué, especialmente en los cálculos de repartimiento, los escribas tuvieran en cuenta,
además del número de partes, la calidad de la mercancía. Este concepto se llamaba
pesú, que significa literalmente valor de cocina e indica el número de unidades que
se puede obtener de una fanega: si el pesú de un pan es 12, significa que ese pan
tiene 1/12 de fanega; el pesú de una jarra de cerveza (otro elemento fundamental en
la alimentación) significa el número de jarras obtenidas de una fanega de grano.
32
Cuanto más bajo sea el número del pesú, más fuerte es la cerveza, o más grande o
compacto el pan. Este elemento de cálculo es fundamental para remunerar los
servicios, por lo que interviene en numerosos problemas.
Geometría
La Geometría en el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada. Por la naturaleza del
país, cuyas periódicas inundaciones les obligaban a medir continuamente los
campos, desde la antigüedad tuvieron que resolver desde muy antiguo problemas de
geometría y calculaban correctamente la superficie del rectángulo, del triángulo y
tenían una buena aproximación al área del círculo.
Igual que la aritmética, era una ciencia práctica que ofrecía soluciones concretas,
halladas por tanteo, a problemas concretos. Los escribas no dan justificación alguna
para los métodos de cálculo empleados, se limitan a explicar las operaciones que
hay que realizar.
33
Cálculo de superficies
Triángulo
Reconstrucción del procedimiento egipcio para calcular el área del triángulo.
Ese modo material de entender la ciencia se traduce en el modo en que los escribas
del Imperio Medio plantean los problemas. Aparentemente, se basaban en la
representación de un triángulo inscrito en un rectángulo para llegar a la conclusión:
área = altura × base/2, y partían de este conocimiento para el cálculo de otras
superficies como la del trapecio.
Círculo
El mayor éxito de los escribas egipcios fue el cálculo del área del círculo: el sistema
empleado era sustraer 1/9 del diámetro y calcular la superficie del cuadrado
34
correspondiente, lo que da un valor para π de 3’1605, cuando el resto de los pueblos
de la época usaban valor 3.
Cálculo de volúmenes
Los escribas calcularon los volúmenes que les interesaban, como no podía ser
negativo, dedicándose a la pirámide, tronco de pirámide y cilindro. (En el Imperio
Medio, época de la que datan los textos conocidos, todavía se edificaban
pirámides12.
Pirámide
No se localizó ejemplo alguno del cálculo del volumen de la pirámide, pero sí
pruebas de que lo hacían: hay un problema sobre el cálculo del ángulo de inclinación
de una pendiente, un texto satírico sobre el cálculo del número exacto de ladrillos
12 http://almez.pntic.mec.es/~ agos0000/ Historia de las matemáticas
35
necesarios para construir una pirámide, y el hecho de calcular el volumen del tronco
de pirámide.
Papiro de Moscú13:
En resumen, se trata de averiguar el volumen de un tronco de base cuadrada, con
lado de la base inferior a, lado de la superior b y altura h, los cálculos son:
Elevar a al cuadrado y multiplicar el resultado por b;
Elevar b al cuadrado y sumar los resultados de las tres operaciones.
Dividir h entre 3 y multiplicar por el resultado de la anterior serie de operaciones: ese
es el volumen.
La expresión de esta extraña serie de operaciones es la fórmula exacta del volumen
del tronco de pirámide:
V = (h/3) (a² + ab + b²).
13 http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/html/presentacion.html
36
Este problema era necesario de solucionar, porque los obeliscos y muchos otros
elementos arquitectónicos tenían esta forma, y convenía conocer su volumen para la
extracción, transporte y utilización.
Cilindro
Los escribas necesitaban conocer la capacidad de los recipientes empleados en los
almacenes, en su mayoría casi cilíndricos, tanto para llevar la contabilidad de lo
almacenado como para pagar a los obreros y artesanos o cobrar los impuestos.
Se daba gran importancia al utilitarismo, como en todos los problemas, el estudiante
no tenía más que cambiar los números para llegar al resultado correcto, en este caso
el volumen dado es el área del círculo de la base (según el sistema ya visto),
multiplicado por la altura del recipiente.
2.1.2 Matemáticas Griegas
Es difícil determinar el inicio el uso de las matemáticas por este pueblo, pero se
puede considerar que comienza con Tales de Mileto (640-546, s. VI a.C.) a quien se
le considera el primer científico por sus contribuciones astronómicas y matemáticas.
Se le atribuyen las primeras demostraciones de teoremas geométricos mediante el
37
razonamiento lógico. Algunos de esos teoremas fueron: Todo círculo se bisecta
(dividir en dos partes iguales) por su diámetro14.
Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales. Si dos triángulos son
tales que dos ángulos y un lado de uno de ellos son iguales a los de otro triángulo,
ambos triángulos son congruentes. Los ángulos opuestos por el vértice que forman al
cortarse dos rectas son iguales. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es
un ángulo recto.
Después de Tales, cobra gran importancia Pitágoras15, nacido en la isla de Samos,
quien le da el impulso definitivo a las matemáticas con la creación de su gran escuela
en Crotona a orillas del mar al sur de Italia. Se le adjudican varios descubrimientos
matemáticos, entre otros, la demostración del teorema que lleva su nombre o sea el
descubrimiento de los irracionales, el cual fue uno de los acontecimientos más
profundos en la historia de las matemáticas.
Además, los pitagóricos elaboraron un primer grupo de cuatro disciplinas
matemáticas: la aritmética, la música, la geometría plana y la geometría esférica. La
doctrina pitagórica sostenía que todas las razones que rigen el mundo debían ser
razones de números enteros o fraccionarios, ya que todo es número. Estos puntos
de vista fueron combatidos por otra escuela griega importante, la escuela de Elea,
14 http://www.filosofia.tk/soloapuntes/cuarto/hc1/t3hc1/html 15 http://www.portalplanetasedna.com.ar/matematicos_griegos.htm
38
cuya su crítica tomó forma en los trabajos de Parménides y las célebres paradojas de
Zenón.
Posteriormente surge la Primera Escuela de Alejandría cuyo principal representante
fue Euclides (300 a.C.), uno de los personajes que más han influido en la historia de
las matemáticas. Su obra más importante fue el tratado de los Elementos, cuyo
contenido fue trascendental en el desarrollo de la geometría. El método euclidiano
comprende, en primer lugar, una teoría general fundada sobre axiomas considerados
como proposiciones tan claras y evidentes que se admiten sin necesidad de
demostración. Así los Elementos son el conjunto de trece libros sobre geometría y
aritmética. Los seis primeros libros tratan de geometría plana. Del VII al IX sobre
teoría de números, el X sobre segmentos irracionales, y los tres últimos libros hablan
de geometría espacial16.
Por esta época es cuando surgieron los tres problemas clásicos de la matemática
griega, los cuales son la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección
del ángulo. Estos problemas debían resolverse utilizando �earson�� regla sin
marcas y compás, instrumentos que, al parecer son los que utiliza Euclides en su
obra. Son problemas sin solución exacta usando regla y compás, cosa que se ha
probado mucho después, aunque tienen solución por otros métodos. Posteriormente,
16Articulo. Los griegos y las matemáticas. María Teresa Amado Rodríguez. Depto. Latín e griego. Universidad de Santiago de Compostela.
39
aparecen Arquímedes y Apolunio. Apolunio fue el que introdujo en su famoso libro
“Secciones Cónicas” los términos de parábola, elipse e hipérbola espiral.
Después de un largo intervalo durante el cual los progresos son escasos, surge otro
fructífero periodo debido a la Segunda Escuela de Alejandría (100-300 d.C.) en la
que destacan: Nicóman, Ptolomeo (con su célebre sistema del mundo), Diofanto (con
sus grandes investigaciones aritméticas) y Pappus (con su obra “Colección”)17.
Posteriormente a la época de Arquímedes, las matemáticas sufrieron unas
transformaciones radicales. Debido a los cambios, sociales, políticos, culturales y
económicos de la época. La decadencia de la sociedad griega vino acompañada del
asentamiento de la civilización romana, quién se preocupó sólo por las matemáticas
como una forma de hacer frente a los problemas de la vida cotidiana, de hecho su
aportación en matemáticas es prácticamente nula.
Una de sus aportaciones, sistema numérico, de funcionamiento decimal y símbolos
literales, restaba agilidad a los cálculos. Los romanos eran un pueblo práctico, poco
dado a las innovaciones científicas. La mayor utilidad que sacaron a las
matemáticas fue la agrimensura que utilizaba el álgebra y la geometría para medir
terrenos, aplicar fronteras a las ciudades, principalmente los agrimensores utilizaban
17 http://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/grecia/grec.htm
40
procedimientos ya conocidos antes como el uso de triángulos congruentes y otros
tipos de procedimientos utilizados por los griegos.
Una de las causas del poco uso que tuvieron los romanos de las matemáticas fue
que era reconocida su uso por los astrólogos quienes recibían el nombre de
mathematicii y la astrología era condenada en tiempos de los romanos.
Diferenciaban entre geometría y matemáticas, la primera se enseñaba en las
escuelas, pero el arte de las matemáticas, es decir la astrología, fue condenado ya
que se consideraría una herejía.
Durante la Edad Media también existía esa diferenciación un claro ejemplo son las
palabras de San Agustín:” Los buenos cristianos deben cuidarse de los matemáticos
y de todos los que acostumbran hacer profecías, aún cuando estas profecías se
cumplan, pues existe el peligro de que los matemáticos hayan pactado con el diablo
para obnubilar el espíritu y hundir a los hombres en el infierno” (De Genesi ad
litteram, 2, XVII, 37)18.
Así se observa que en varias épocas no solo no se innovó en materia científica, sino
que no se hizo nada por proteger la herencia científica, y por unas causas u otros
muchos libros fueron destruidos. La gran biblioteca de Alejandría fue quemada por
los romanos al intentar destruir la flota egipcia.
18 http://www.sectormatematica.cl/historia.htm
41
Al final del imperio romano no se detecta un avance en términos científicos sino más
un retroceso ya que tanto los cristianos como los musulmanes se dedicaron a
destruir todo tipo de libros al considerarlos paganos. Un ejemplo de esto fue que en
el año 640 tras la toma de Egipto por rebelde mahometanos, los libros fueron
destruidos basándose en la proclama dada por Omar, el conquistador árabe: “Los
libros, o bien contienen lo que ya está en el Corán, en cuyo caso no tenemos que
leerlo, o bien contienen lo contrario de lo que está en el Corán, en cuyo caso no
debemos leerlos”19.
En su juventud Arquímedes viajó a Egipto para estudiar en Alejandría, allí conoció a
Eratóstenes de Cirene, director del Museo de Alejandría. Con el intercambió ideas y
opiniones científicas, de esta correspondencia se identifica lo que se conoce como El
Método.
Por lo anterior se puede mencionar que la Historia de la Ciencia con sus grandezas,
pone al descubierto el proceso cambiante de la actividad científica como desarrollo
siempre abierto, inquieto y vivo, con el interés de descubrir los misterios de la
naturaleza y expresar sus leyes en términos universales y claros, es decir con
representaciones matemáticas, como apuntaría por primera vez Pitágoras y
acentuarían definitivamente Galileo, Newton y Einstein.
19 http://www.portalplanetasedna.com.ar/fin_roma.htm
42
E.T. Bell en su Historia de las Matemáticas afirma que “Ningún tema pierde tanto
cuando se le divorcia de su historia como las Matemáticas” (1985, 54). En efecto, la
Historia de la Matemática favorece la comprensión profunda de los problemas
matemáticos, a través de la comprensión del proceso real de creación de los
conceptos, de las intuiciones e ideas que los propician, de las dificultades que
involucran, de las reformulaciones que sufren, de las cuestiones que resuelven, de
los fenómenos que explican, del contexto social y cultural en que aparecen, de las
necesidades cotidianas que solventan, entre otros aspectos.
2.1.3 Matemáticas Mayas
La civilización maya que surgió hacia finales del siglo XIV a. C. y continuó su
desarrollo hasta el siglo XVI.
El desarrollo fue muy importante en las ciencias y las artes que fueron de suma
importancia. Pero en donde se desarrolló notablemente fue en el campo astronómico
y eran mucho más exactos que los de los europeos en el momento de la invasión20.
El gran aporte que los matemáticos mayas fue la creación del número cero, un
concepto abstracto que permaneció ausente en otras culturas durante siglos,
20 http://www.cientec.or.cr/matematica/mayas.htm
43
representaban el cero con una concha marina, usaban puntos o círculos del uno al
cuatro y rayas que valían cinco hasta contar diez y nueve21.
Los mayas tenían una numeración por posiciones. Tan solo tenían tres símbolos,
pero con ellos consiguieron hacer un gran sistema matemático. Sus símbolos eran:
-Una concha estilizada para el cero.
-Un punto para el uno.
-Una raya para el cinco
Para pasar cuantas unidades había en esa unidad se tendría que multiplicar el
número de símbolos iguales que hay en esa posición, y multiplicarlos por lo que vale
ese símbolo.
Posiciones
Tenían un sistema posicional. Las posiciones se disponían de abajo a arriba, según
el valor. (Cuanta más alta esté la posición, mayor valor tienen)
21 http://www.parque-tikal.com/mathema.htm
44
Las posiciones eran:
-Baktún
-Kaktún
-Tun
-Uinal
-Kin
Valor posicional
Los mayas utilizaban un sistema vigesimal, excepto el paso de Uinal a Tun que se
agrupaba cada 18 en vez de cada 20.22
- Baktún: 144.000
- Kaktún: 7.200
- Tun: 360
- Uinal: 20
- Kin: 1
Los mayas hacían los números alternando las conchas, puntos y rayas, con los
símbolos de las posiciones y el glifo introductorio.
22 http://www.parque-tikal.com/mathema.htm /numeración Maya
45
Función
Los mayas, al sistema matemático, le atribuían función de calendario. Haciendo
unidad principal al Tun que era un año. El calendario maya estaba compuesto por 18
meses de 20 días cada uno, más un conjunto de cinco días llamado Uayeb23.
Los 18 meses eran:
-Pop
-Uo
-Zip
-Zotz
-Tzec
-Xul
-Yaxkin
-Mol
-Chen
-Yax
-Zac
-Ceh
-Mac
23 http://www.mayacalendar.com/numerologiamaya.htm
46
-Kankin
-Muan
-Pax
-Kayab
-Cumku
Origen
El sistema vigesimal o de posiciones y el uso del cero, fue desarrollado por los
abuelos mayas aproximadamente mil años antes que los hindúes desarrollaran el
sistema decimal que se conoce actualmente y que utilizaron con facilidad. Los puntos
y barras fueron inscritos en fechas que aparecen en monumentos, altares y tableros.
• Operaciones fundamentales
Suma
Para hacer una suma de dos números mayas hay que colocar el primer número, y el
otro al lado derecho. Se adicionan los valores, por posiciones y se van colocando
los resultados de cada suma. Si el resultado es 20 o más hay que restarle 20 y la
diferencia será el resultado de esa posición. En la siguiente posición hay que sumar
una unidad más. Excepto si la posición en la que se esta es el Uinal, se usa el 18, en
vez de 20.
47
Resta
Para realizar una resta de números mayas, hay que poner el primer número, y el
siguiente al lado derecho. Se desarrolla la resta por posiciones se van colocando los
resultados. Si en una posición del segundo número hay más que en la misma
posición del primer número, hay que convertir una unidad de la siguiente posición del
primer número en 20, para poder restar. En la siguiente posición se restará 1 unidad
más. Excepto si se esta en el Uinal, que son 18 en vez de 20.
Multiplicación
Para llevar a cabo una multiplicación de números mayas se escribe el primer número
y el otro al lado derecho. Para hacerla hay que ir multiplicando primero las posiciones
bajas y después las altas, como en nuestro sistema decimal. Si el resultado es 20 o
más hay que restarle 20, la diferencia es el resultado de esa posición. En el resultado
de la posición siguiente se sumará 1 unidad más, excepto si se esta en el uinal que
es con 18 en vez de 20.
División
Para colocar una división, se usa primero el dividendo y el divisor al lado derecho.
Para hacerla hay que ir dividiendo las mayores posiciones del primer número entre el
48
segundo número24. Lo que va quedando de cada división se multiplica por 20, se
suma a lo que hay en la siguiente posición y se sigue dividiendo. Excepto si se está
en el Tun que es con 18 en vez de 20.
Para pasar números mayas a árabes hay que colocar el número maya en un lado.
Multiplicar la suma de los valores de los símbolos de cada posición, por el valor
posicional de esa posición. Repetir el mismo procedimiento con todas las posiciones,
y sumar los resultados.
Su sistema numérico era vigesimal, y no decimal como el actual25. Los científicos se
preguntan si usarían los dedos de las manos y los pies para contar. Las técnicas de
observación celeste a simple vista que practicaban los sacerdotes mayas son
estudiadas por los científicos actuales. Se apoyaban en un sistema de referencias
naturales. Describían las posiciones del Sol, la Luna, Marte y registraban los
eclipses. Siguieron con detenimiento los movimientos de Venus, planeta al cual le
asignaban una gran importancia en la determinación de guerras y sacrificios. Algunos
edificios obedecieron a cálculos muy precisos. Durante la puesta solar de los
equinoccios de primavera y otoño, la serpiente luz sube al castillo Chichén Itzá por la
escalera de la pirámide. La proyección solar marca siete triángulos de luz invertidos,
como resultado de la sombra de nueve plataformas del edificio.
24 http://clio.rediris.es/fichas/otras_mayas.htm 25 http://www.ecovisiones.cl/tradiciones/articulos/mayas3.htm
49
2.2 ¿Por qué aprender matemáticas?
Las matemáticas deben enseñarse porque forman parte del pensamiento de toda
persona, asimismo, el dibujo o el deseo de representar objetos, personas, aspectos
de la vida que la rodea. Es natural en los niños que disponen de lápices y papeles
ponerse a dibujar, aun cuando no se les ha enseñado a hacerlo, en la época
primitiva, las tribus lo hicieron aun sin contar con estos elementos.
De tal forma que la imaginación y la lógica son parte del pensamiento humano, lo
primordial en el aprendizaje de las matemáticas, es la actividad intelectual del
alumno, las matemáticas no deberían ser una disciplina separada, situada a un lado
del pensamiento común y que debería ser propósito de estudio solamente de
algunos. Es una fase del pensamiento, de tal forma que no hay pensamientos
concretos al lado de pensamientos abstractos. El pensamiento es conceptual por
naturaleza y predispuesto a las matemáticas.
F. Savater26 afirma que, “ser humano consiste en la vocación de compartir lo que ya
sabemos entre todos, enseñando a los recién llegados al grupo cuanto deben
conocer para hacerse socialmente válidos, pero el hecho de enseñar a nuestros
semejantes y de aprender de nuestros semejantes es también importante para el
establecimiento de nuestra humanidad. No somos iniciadores de nuestro linaje,
aparecemos en un mundo donde ya está vigente la huella humana de mil modos y
26 Savater, Fernando (1997), El valor de educar, Ariel, España.
50
existe una tradición de técnicas, mitos y ritos de la que vamos a formar parte y en la
que vamos también a formarnos”. Las matemáticas forman parte del legado cultural,
es construcción humana, es parte de la cultura de las sociedades.
En las investigaciones hechas por Lerner y Sadovsky27, exponen la forma en que
los niños van aproximándose al conocimiento de la numeración, como establecen
relaciones, las conceptualizaciones a las que llegan, los argumentos que van
elaborando para justificarlas y las construcciones propias de su edad, de esta
manera como pueden apoyarse los docentes para organizar la tarea de
sistematización.
Ahora bien, como se observa también en lingüística, investigadores como Emilia
Ferreiro presenta evidencia del trabajo cognitivo de los niños, antes de toda
enseñanza organizada por instituciones educativas. Con el conocimiento lingüístico
del lenguaje hablado como saber previo, elaboran hipótesis y hacen anticipaciones
que van comparando con la realidad en contacto con las personas que los rodean.
Muestran, por ejemplo, “que poseen un conocimiento de las reglas fonológicas,
sintácticas y semánticas de su lengua absolutamente sorprendente. Un chico de 6
años sabe lo que es un verbo antes de conocer la palabra ‘verbo’. Si le decimos algo
como ‘los patos rápido’ nos dirá ‘¿Qué? ¿Los patos nadan rápido?’ Más aún, un
chico de 3 años conoce la diferencia entre radical y desinencia verbal cuando
27 Lerner, D. y Sadovsky, P. (1994), “El sistema de numeración. Un problema didáctico”, en Didáctica de Matemáticas. Aportes y reflexiones, Parra, C. y Saiz I., Paidós Educador, Buenos Aires.
51
construye formas verbales que no ha escuchado de los adultos, tales como ponió,
poni, puniste. Sus ‘errores’ responden a una búsqueda de coherencia interna dentro
del sistema de la lengua y no a una repetición ciega de lo escuchado en su
entorno”28.
Además las construcciones personales que muestran los niños, continúan en
edades más avanzadas, sin embargo, no es tan fácil detectarlas, por diversos
motivos. También en los conocimientos matemáticos más avanzados los niños y
jóvenes van elaborando explicaciones a preguntas que les plantea la enseñanza o se
plantean a sí mismos.
Por otra parte, las matemáticas son útiles en la vida diaria, sin embargo, para que
algo se considere útil debe satisfacer una necesidad humana, por tal motivo las
matemáticas son útiles ya que se tienen, ahí están, pero al ser grande la variedad de
usos, es necesario ver los diferentes significados para esa palabra. Un pedagogo,
podría decir que las matemáticas son útiles porque enseñan a pensar y razonar con
precisión. Un arquitecto o un escultor podrían mencionar que las matemáticas son
útiles porque llevan a la percepción y creación de la belleza visual. Un filósofo diría
que permiten escapar de las realidades de la vida cotidiana. Un profesor de
matemáticas podría asegurar que las matemáticas son útiles porque le permiten
28 Ferreiro, Emilia (1975): Trastornos de aprendizaje producidos por la escuela. Conferencia pronunciada en Buenos Aires en el III Congreso Latinoamericano de Psiquiatría infantil, con el título: “Trastornos específicos del aprendizajes por desadecuación entre el desarrollo operatorio y el curricular”
52
ganarse el pan. El astrónomo o el físico dirán que las matemáticas resultan útiles
porque son el lenguaje de la ciencia. Un ingeniero civil asegurará que las
matemáticas le permiten construir un puente de forma segura. Un matemático dirá
un sistema matemático es útil cuando es aplicable a otro sistema matemático.
De esta forma, los significados de utilidad de las matemáticas comprenden
elementos estéticos, filosóficos, históricos, psicológicos, pedagógicos, comerciales,
científicos, tecnológicos y matemáticos. Y no se terminan los posibles significados,
por lo tanto se hace necesario saber cómo son útiles las matemáticas en otras áreas,
como son en las matemáticas mismas, en lo científico o tecnológico, en las
matemáticas puras y las matemáticas aplicadas.
Por lo anterior se puede afirmar que las matemáticas son útiles cuando se habla de
una aplicación de la teoría A a la teoría B, de por qué se han utilizado los materiales,
la estructura, las técnicas e intuiciones correspondientes a la teoría A, todo ello con
el propósito de conocer los materiales y estructuras de la teoría B. Así pues las
conexiones o aplicaciones entre unas y otras partes de las matemáticas constituyen
aspectos que suelen calificarse de puros.
También es cierto que ni los métodos ni las demostraciones son únicos ya que los
teoremas se pueden demostrar de diversos modos. Puede ser, que una cierta
aplicación de A para demostrar la verdad de algunos resultados de la teoría B no sea
primordial y se prefiera, por alguna razón histórica, establecer B por medio de C o D.
53
Así, durante varios años, el teorema del número primo fue demostrado por la teoría
de funciones de variable compleja, por el hecho de la noción de número primo es
más sencilla que la de número complejo y se consideró que valía la pena tratar de
establecer dicho teorema sin recurrir a números complejos. Cuando finalmente se
alcanzó esta meta, la utilidad que tenía la teoría de variable compleja en la teoría de
números había cambiado.
Ahora bien, la función en la cual las matemáticas encuentran aplicaciones externas a
sus intereses propios se denominan matemática aplicada, que es interdisciplinaria, y
lo ideal sería que se dedicaran a ella personas que no tuvieran interés sobre las
matemáticas. Puesto que la vida se desarrolla en actividades de producción y
consumo, de compra, venta e intercambio, se debería tener un concepto claro, así
como la posición que ocupa esta disciplina con respecto a estas actividades básicas.
Las aplicaciones de las matemáticas tienen utilidad común en la preparación de
textos y la investigación matemática. Pero, está rodeada de mitos y
predisposiciones, sin embargo, la utilidad común son tan claros como cuando la
cajera de una tienda obtiene el total de la compra, o cuando se realiza un
presupuesto, se tienen aplicaciones claras de las matemáticas a nivel de utilidad
común. Estos cálculos pueden ser sencillos y realizables por personas sin grandes
conocimientos matemático, pero son matemáticas y los cálculos relativos a
recuentos, mediciones y precios constituyen el grueso del total de operaciones
matemáticas a nivel de utilidad común.
54
Pero al pasar a las matemáticas superiores las aplicaciones son más difíciles de
observar y comprobar. Una organización puede tener a su servicio personal
formación matemática y disponer de un equipo de informáticos porque los aspectos
teóricos de su actividad pueden quedar plasmados en términos matemáticos. Nada
de ello significa que las matemáticas que allí están haciendo alcancen el nivel de
utilidad común. Las matemáticas aplicables al nivel de utilidad común pueden
fracasar o ser bloqueadas por varios motivos diferentes, o puede ocurrir que un
modelo matemático requiera muchos parámetros, en donde los valores, no estén
disponibles.
De tal forma que en un texto común de matemáticas aplicadas se pueda encontrar,
por ejemplo, con un análisis del problema de Laplace para una región bidimensional,
sin embargo, esta teoría tiene importantes aplicaciones, en electrodinámica e
hidrodinámica, aunque se quisiera identificar una utilidad común.
2.3 La aplicación de las matemáticas a nivel superior
Las matemáticas son utilizadas en la vida cotidiana y su proceso de construcción
está respaldado en abstracciones (separar por medio de una operación intelectual
las cualidades de un objeto para considerarlas aisladamente o para considerar el
mismo objeto en su pura esencia o noción) sucesivas. Los progresos importantes en
esta disciplina han iniciado de la necesidad de resolver problemas concretos, propios
55
de los grupos sociales. Por ejemplo, los números, que son familiares para todos,
surgieron de la necesidad de contar y son también una abstracción de la realidad que
se fue desarrollando durante largo tiempo. Este progreso está relacionado a las
particularidades culturales de los pueblos: todas las culturas tienen un sistema para
contar, aunque no todas cuenten de la misma manera.
En la construcción de los conocimientos matemáticos, los niños también parten de
experiencias concretas y a medida que van haciendo abstracciones, pueden dejar de
necesitar de los objetos físicos. El diálogo, la relación y la confrontación de puntos
de vista ayudan al aprendizaje y a la construcción de conocimientos, así, el proceso
es reforzado por la interacción con los compañeros y con el maestro. El éxito en el
aprendizaje de esta disciplina depende, en buena medida, del diseño de actividades
que promuevan la construcción de conceptos a partir de experiencias concretas, en
la interacción con los otros. En esas actividades las matemáticas serán para el
estudiante herramientas funcionales y flexibles que le permitirán resolver las
situaciones problemáticas que se le planteen.
Las matemáticas ayudan a resolver problemas de diferente índole, como el científico,
el técnico, el artístico y la vida cotidiana. Aun cuando todas las personas construyen
conocimientos fuera de la escuela que permiten enfrentar problemas, esos
conocimientos no bastan para actuar eficazmente en la práctica diaria. Los
procedimientos generados en la vida cotidiana para resolver situaciones
problemáticas absorben mucho tiempo, son complicados y poco eficientes, si se les
56
compara con los procedimientos convencionales que permiten resolver las mismas
situaciones con más facilidad y rapidez. El contar con las habilidades, los
conocimientos y las formas de expresión que la escuela proporciona permite la
comunicación y comprensión de la información matemática presentada a través de
medios de distinta índole.
Se considera que una de las funciones de la escuela es brindar situaciones en las
que los estudiantes utilicen los conocimientos que ya tienen para resolver ciertos
problemas y que, a partir de sus soluciones iniciales, comparen sus resultados y sus
formas de solución para hacerlos evolucionar hacia los procedimientos y las
conceptualizaciones propias de las matemáticas.
Castillo-Cruz29, discute en su obra La investigación y desarrollo en la administración
que pocos administradores de carrera llegan a puestos directivos, asimismo,
comenta que los ingenieros con una especialidad en administración acceden más
fácilmente a dichos puestos, esto debido a que la mayoría de los profesionistas para
la solución de problemas se basan en experiencias empíricas y no en modelos
matemáticos.
29 Castillo-Cruz, R. (1995). Investigación y desarrollo en la administración. México: UAM
57
2.3.1 La Investigación de Operaciones en el siglo XX
En la historia se identifican muchas situaciones en las que se observa una
colaboración entre científicos y militares con el fin de dictaminar la decisión óptima en
la batalla. Por esta razón muchos expertos consideran el inicio de la Investigación
Operativa en el siglo III A.C., durante la II Guerra Púnica, con el análisis y solución
que Arquímedes que propuso para la defensa de la ciudad de Siracusa, sitiada por
los romanos. Entre sus inventos se encontraban la catapulta, y un sistema de
espejos con el que incendiaba las embarcaciones enemigas al enfocarlas con los
rayos del sol.
Para 1503, Leonardo DaVinci participó como ingeniero en la guerra contra Pisa ya
que conocía técnicas para realizar bombardeos, construir barcos, vehículos
acorazados, cañones, catapultas, y otras máquinas bélicas30.
Un antecedente más de la aplicación de la Investigación Operativa fue con F. W.
Lanchester, quien hizo un estudio matemático sobre la potencia balística de las
fuerzas de oposición y desarrolló, a partir de un sistema de ecuaciones diferenciales,
la Ley Cuadrática de Combate de Lanchester, con la que era posible determinar el
desenlace de una batalla militar.
30 http://www.phpsimplex.com/historia.htm
58
Thomas Edison también empleó la Investigación Operativa, contribuyendo, con sus
grandes ideas, en la guerra antisubmarina a través de la protección anti-torpedos
para los barcos. Otro más de los antecedentes que se tienen de lo que ahora se le
conoce como Investigación de Operaciones es en los años 1759 cuando el
economista Quesnay empieza a utilizar modelos primitivos de programación
matemática. En 1874 otro economista Walras, hace uso de técnicas militares.
Los modelos lineales de la Investigación de Operaciones, tienen como iniciadores a
Jordán en 1873, Minkowksy en 1896 y a Farkas en 1903. Los modelos dinámicos
Pearson estadísticos tienen su origen con Markov a fines del siglo pasado.
Desde el punto de vista matemático, en los siglos XVII y XVIII, Newton, Leibnitz,
Bernoulli y Lagrange, trabajaron en obtener máximos y mínimos condiciones de
ciertas funciones. El matemático francés Jean Baptiste-Joseph Fourier hizo
esquemas de métodos de la actual programación lineal. Y en los últimos años del
siglo XVIII, Gaspar Monge asentó los antecedentes del Método Gráfico por su
desarrollo de la Geometría Descriptiva31.
Janos Von Neumann publicó en 1928 su trabajo “Teoría de Juegos”, que proporcionó
fundamentos matemáticos a la Programación Lineal. Después, en 1947, observo la
31 Métodos y modelos de Investigación de Operaciones. Vol.1Modelos determinísticos. Juan Prawda. Primera Edición, Octava reimpresión 1989, pp.23-25
59
similitud entre los problemas de programación lineal y la teoría de matrices que
desarrolló. En 1939, el matemático ruso L. Kantorovich, en cooperación con el
matemático holandés T. Koopmans, desarrolló la teoría matemática llamada
“Programación Lineal”, por la que les fue concedido el premio Nobel.
A finales de los años 30´s y principios de los 40´s, George Joseph Stigler planteó un
problema particular conocido como régimen alimenticio optimal, conocido como
problema de la dieta, que surgió a raíz de la preocupación del ejército americano por
asegurar unos requerimientos nutricionales al mínimo costo para sus tropas. El cual
fue resuelto mediante un método heurístico (inventar o descubrir) cuya solución era
diferente por unos céntimos de la solución presentada años después por el Método
Simplex.
Durante los años 1941 y 1942, Kantorovich y Koopmans estudiaron por primera vez,
de forma independiente, el problema del transporte conociéndose como problema de
Koopmans-Kantorovich. Para su solución, emplearon métodos geométricos que
están relacionados con la teoría de convexidad de Minkowski.
Sin embargo se considera la nueva ciencia llamada Investigación Operativa o
Investigación de Operaciones hasta la II Guerra Mundial, durante la batalla de
Inglaterra, donde la Fuerza Aérea Alemana, es decir la Luftwaffe, sometía a los
británicos a un duro ataque aéreo ya que éstos tenían una capacidad aérea
pequeña, aunque experimentada en el combate. El gobierno británico, buscando
60
algún método para defender su país, convocó a varios científicos de diferentes
disciplinas para tratar de resolver el problema de obtener el máximo beneficio de los
radares de que disponían. Gracias a su trabajo determinando la localización óptima
de las antenas y la mejor distribución de las señales consiguieron duplicar la
efectividad del sistema de defensa aérea.
Valorando la importancia de esta nueva disciplina, Inglaterra creó otros grupos de la
misma índole para obtener resultados óptimos en la contienda. Al igual que Estados
Unidos, al unirse a la Guerra en 1942, creando el proyecto Scientific Computation Of
Optimum Programs (SCOOP), donde se encontraba trabajando George Bernard
Dantzig, quien desarrolló en 1947 el algoritmo del método Simplex.
Durante la Guerra Fría, la antigua Unión de Repúblicas Socialistas Soviéticas
(URRS), excluida del Plan Marshall, quiso controlar las comunicaciones terrestres,
incluyendo rutas fluviales, de Berlín. Para evitar la rendición de la ciudad, y su
subordinación a formar parte de la zona comunista alemana, Inglaterra y Estados
Unidos decidieron abastecer la ciudad, o bien mediante grupos escoltados (lo que
podría dar lugar a nuevos enfrentamientos) o mediante puente aéreo, rompiendo o
evadiendo en cualquier caso el bloqueo de Berlín. Se decidió por esta segunda
opción, iniciando la Luftbrücke (puente aéreo) el 25 de junio de 194832. Éste fue otro
de los problemas en los que participó el grupo SCOOP, en diciembre de ese mismo
32 http://investigacionoperativa.blogspot.com/2007/02/historia-de-la-investigacin-operativa.html
61
año y se consiguió abastecer con 4500 toneladas diarias, y tras estudios de
Investigación Operativa se optimizó el abastecimiento hasta llegar a las 8000~9000
toneladas diarias en marzo de 1949. Esta cifra era la misma que se hubiera
transportado por medios terrestres, por lo que los soviéticos decidieron levantar el
bloqueo el 12 de mayo de 1949.
Tras la Segunda Guerra Mundial, la organización de los recursos de Estados Unidos
(energía, armamentos, y todo tipo de suministros) estimó oportuno aplicar modelos
de optimización, resueltos mediante la programación lineal. Al mismo tiempo, que
se desarrolla la doctrina de la Investigación Operativa, se desarrollan las técnicas de
computación y los ordenadores principalmente dichos (hardware) gracias a los
cuales se redujo el tiempo de resolución de los problemas.
El primer resultado de las técnicas de Investigación de Operaciones fue dado en el
año 1952, cuando se usó un ordenador SEAC del National Bureau of Standars para
obtener la solución de un problema. El éxito en el tiempo de resolución fue tan
alentador que de inmediato se usó para todo tipo de problemas militares, como
determinar la altura óptima a la que deberían volar los aviones para localizar los
submarinos enemigos, gestión de fondos monetarios para logística y armamento e
incluso determinar la profundidad a la que se debían enviar las cargas para alcanzar
los submarinos enemigos de forma que causara el mayor número de bajas, que se
tradujo en un aumento de hasta cinco veces en la eficacia de la fuerza aérea.
62
Durante las décadas de los años 50´s y 60´s, crece el interés y el desarrollo de la
Investigación Operativa, debido a su aplicación en el ámbito del comercio y la
industria. Por ejemplo, el problema del cálculo del plan óptimo de transporte de
arena de construcción a las obras de edificación de la ciudad de Moscú, en los que
había 10 puntos de origen y 230 de destino. Para resolverlo, se usó un ordenador
Strena, que empleó 10 días en el mes de junio de 1958, y tal solución aportó una
reducción del 11% de los gastos respecto a los costos originales.
En 1958 se aplicaron los métodos de la programación lineal33 a un problema
concreto: el cálculo del plan óptimo del transporte de arena de construcción a las
obras de edificación de la ciudad de Moscú. En este problema había 10 puntos de
partida y 230 de llegada.
Anteriormente ya se habían planteado estos problemas en una disciplina conocida
como Investigación de Empresas o Análisis de Empresas, que no disponían de
métodos tan efectivos como los desarrollados durante la Segunda Guerra Mundial
(por ejemplo el Método Simplex). Las aplicaciones no bélicas de la Investigación
Operativa se extienden tanto como se imagine, con problemas que van desde la
alimentación, ganadería, distribución de campos de cultivo en agricultura, transporte
33 Revista electrónica de ADA. Vol.1 (1) 2007. Relada 1(1): 37-42, 2007ISSN: 1988-5822 Introducción a la toma de decisiones en las nuevas tecnologías. Antonio Alonso-Ayuso. Javier M. Moguerza. Alberto Olivares. Celeste Pizarro
63
de mercancías, localización, distribución de personal, problemas de redes, colas,
grafos, entre otros.
2.3.1.1 Modelos de aplicación
El enfoque de la Investigación de Operaciones es el modelaje. Un modelo es una
herramienta que sirve para lograr una visión bien estructurada de la realidad. Por lo
tanto, el propósito del modelo es proporcionar un medio para analizar el
comportamiento de las componentes de un sistema con el fin de optimizar su
desempeño. La ventaja que tiene el sacar un modelo que muestre una situación
real, es que permite analizar la situación sin interferir en la operación que se realiza,
puesto que el modelo es como si fuera “un espejo” de lo que ocurre.
Para aumentar la abstracción del mundo real, los modelos se clasifican como: 1)
icónicos, 2) análogos, 3) simbólicos.
Los modelos icónicos son la representación física, a escala reducida o aumentada de
un sistema real, cuyo problema se quiere resolver. Por ejemplo, las fotografías, las
maquetas, dibujos y modelos a escala de barcos, automóviles, aviones, canales, etc.,
son modelos icónicos.
Los modelos análogos esencialmente requieren la sustitución de una propiedad por
otra con el fin de permitir la manipulación del modelo. Después de resolver el
64
problema, la solución se reinterpreta de acuerdo al sistema original. Por ejemplo las
propiedades de un sistema hidráulico son equivalentes a las de un sistema eléctrico
o inclusive, económico.
Los modelos más importantes para la investigación de operaciones, son los modelos
simbólicos o matemáticos, que emplean un conjunto de símbolos y funciones para
representar las variables de decisión y sus relaciones para describir el
comportamiento del sistema. El uso de las matemáticas para representar el modelo,
el cual es una representación aproximada de la realidad, permite aprovechar las
computadoras de alta velocidad y técnicas de solución con matemáticas avanzadas.
Estos tipos de modelos son fáciles de manipular y se pueden hacer con ellos un gran
número de experimentos. De las tres clases de modelos, los simbólicos son los más
económicos de construir y operar.
Un modelo matemático comprende principalmente tres conjuntos básicos de
elementos. Estos son: 1) variables y parámetros de decisión, 2) restricciones y 3)
función objetivo34.
1. Variables y parámetros de decisión. Las variables de decisión son las incógnitas
(o decisiones) que deben determinar resolviendo el modelo. Los parámetros son los
valores conocidos que relacionan las variables de decisión con las restricciones y
34 Investigación de Operaciones. Kamlesh, Daniel Solow. Prentice hall, 1996. Pp.12-51
65
función objetivo. Los parámetros del modelo pueden ser determinísticos o
probabilísticos.
2. Restricciones. Para tener en cuenta las limitaciones tecnológicas, económicas y
otras del sistema, el modelo debe incluir restricciones (implícitas o explícitas) que
restrinjan las variables de decisión a un rango de valores factibles.
3. Función objetivo. La función objetivo define la medida de efectividad del sistema
como una función matemática de las variables de decisión.
La solución óptima será aquélla que produzca el mejor valor de la función objetivo,
sujeta a las restricciones.
Concepto de optimización.
Una característica adicional, es que la Investigación de Operaciones intenta
encontrar la mejor solución, o la solución óptima, al problema bajo consideración.
En lugar de contentarse con sólo mejorar el estado de las cosas, la meta es
identificar el mejor curso de acción posible. Aún cuando debe interpretarse con
todo cuidado, esta búsqueda de la optimalidad es un aspecto muy importante dentro
de la Investigación de Operaciones.
66
2.3.1.2 Áreas de aplicación de la Investigación de Operaciones.
Investigación de Operaciones significa hacer investigación sobre las operaciones.
Esto dice algo del enfoque como del área de aplicación. Por lo tanto, la
Investigación de Operaciones se aplica a problemas que se refieren a la conducción
y coordinación de operaciones o actividades dentro de una organización. La
naturaleza de la organización es esencialmente inmaterial y, de hecho, la
Investigación de Operaciones se ha aplicado en los negocios, la industria, la milicia,
el gobierno y los hospitales principalmente35.
Así, la gama de aplicaciones es extraordinariamente amplia. Casi todas las
organizaciones más grandes del mundo (alrededor de una docena) y una buena
proporción de las industrias más pequeñas cuentan con grupos bien establecidos de
Investigación de Operaciones. Muchas industrias, incluyendo la aérea y de
proyectiles, la automotriz, la de comunicaciones, computación, energía eléctrica,
electrónica, alimenticia, metalúrgica, minera, del papel, del petróleo y del transporte,
han empleado la Investigación de Operaciones. Las instituciones financieras,
gubernamentales y de salud están incluyendo cada vez más estas técnicas.
Por lo anterior específicamente, se consideran algunos problemas que se han
resuelto mediante algunas técnicas de Investigación de Operaciones. La
35 http://www.investigacion-operaciones.com
67
programación lineal se ha usado con éxito en la solución de problemas referentes a
la asignación de personal, la mezcla de materiales, la distribución y el transporte y
las carteras de inversión. La programación dinámica se ha aplicado con buenos
resultados en áreas tales como la planeación de los gastos de comercialización, la
estrategia de ventas y la planeación de la producción. La teoría de colas (líneas de
espera) ha tenido aplicaciones en la solución de problemas referentes al
congestionamiento del tráfico, al servicio de máquinas sujetas a descomposturas, a
la determinación del nivel de la mano de obra, a la programación del tráfico aéreo, al
diseño de presas, a la programación de la producción y a la administración de
hospitales. Otras técnicas de Investigación de Operaciones, como la teoría de
inventarios, la teoría de juegos y la simulación, han tenido exitosas aplicaciones en
una gran variedad de contextos.
68
2.3.1.3 La importancia de la Investigación de Operaciones en el campo profesional
del Ingeniero Industrial
La investigación de operaciones ha tenido un impacto impresionante en el
mejoramiento de la eficiencia de numerosas organizaciones en todo el mundo. En el
proceso, la investigación de operaciones ha hecho contribuciones significativas al
incremento de la productividad dentro de la economía de varios países. Hay ahora
más de 30 países que son miembros de la International Federation of Operational
Research Societies (IFORS), en la que cada país cuenta con una sociedad de
investigación de operaciones.
Sin embargo es conveniente mencionar algunos aspectos que han influido al
desarrollo y aplicación de la Investigación de Operaciones. De hecho se tiene que la
humanidad logró muchos de sus progresos en los siglos más recientes, como
consecuencia de la aplicación del método científico a la administración (Planeación,
Organización y Control de Operaciones).
La Ingeniería Industrial nació cuando el hombre aplicó el método científico a los
problemas administrativos36. Ejemplo antiguo sobre organización, el que se narra en
La Biblia en el libro de Éxodo, cuando Moisés, atendiendo el consejo de su suegro
Jetro procede a nombrar los jueces que resolverán los problemas del pueblo de
36 http://usuarios.lycos.es/imoyasevich/a_ing/ingenieria/ingindustrial.htm
69
Israel. Otro ejemplo antiguo lo constituye la reparación de los antiguos barcos en
Venecia, mediante una línea de ensamble sobre la que trabajadores expertos
efectuaban trabajos especializados.
Para 1832, Charles Babbage escribió sobre la economía de la maquinaria y los
fabricantes, demostrando conocimientos en Ingeniería Industrial. Para finales del
siglo XIX Frederick W. Taylor, convirtió la Ingeniería Industrial en una profesión,
mereciéndole el título de padre la de administración científica37, mediante su trabajo
que maximizó el rendimiento de los mineros, determinando que la única variable
realmente significativa era el peso combinado de la pala y su carga, diseñando
diferentes palas para diferentes tipos de materiales. Otro hombre importante en los
principios de la administración científica fue Henry L. Gantt quien trabajó en resolver
el problema de la planeación de la producción.
Mientras que Taylor se enfocaba en resolver un problema único, Gantt adoptó un
punto de vista más amplio al observar los diferentes pasos en una operación
completa, asimismo cambió de interés alejándose de lo particular de la
administración hacia aspectos más amplios pasando de la Ingeniería Industrial a la
Investigación de Operaciones con un enfoque multidisciplinario a problemas
37Ingeniería Industrial (11ª. Ed.). 2004. Métodos, estándares y diseño del trabajo. Benjamín Niebel
p.519.
70
complejos, se reconoció la necesidad de tener especialistas, reunidos que trabajaran
en equipos de investigación con sistemas completos, en vez de partes del sistema.
En 1915 Ford W. Harris describió el primer modelo sobre el tamaño de lote
económico de inventario, posteriormente contribuyeron al desarrollo de modelos de
control de inventarios H. S. Owen (1925), Benjamín Cooper (1926), R.H. Wilson
(1926) y W. A. Mueller (1927). Las técnicas matemáticas del control de inventarios
son de las más antiguas herramientas de la Investigación de Operaciones.
En 1917, el matemático Danés A. K. Erlang, que trabajaba en la compañía telefónica
de Copenhage, publicó el trabajo Soluciones a algunos problemas en la teoría de
probabilidades importantes en las centrales telefónicas automáticas, contenía
fórmulas de tiempo de espera que más tardes fueron empleadas por la Oficina Postal
Británica para calcular el número de circuitos necesarios.
Por lo anterior las necesidades humanas dieron origen a algunas especialidades de
la ingeniería y sus principales aportes al bienestar de la humanidad.
A finales del siglo XIX, en Estados Unidos ya se impartía la licenciatura en ingeniería
industrial. Por ello habrá que preguntarse ¿Qué trabajo deberían desempeñar los
ingenieros industriales, que no pudieran desempeñar cualquiera de las otras
especialidades de la ingeniería que ya existían? La respuesta es sencilla. Mientras
los ingenieros mecánicos, eléctricos y químicos, entre otros, eran especialistas en su
área, y diseñaban y operaban las máquinas y dispositivos de su especialidad, no
existía personal preparado que, además de entender los términos de los otros
71
especialistas, pudieran controlar y administrar tales procesos. Control significa
proporcionar todos los insumos necesarios para la producción, programarla, controlar
el personal operativo, dar mantenimiento a los equipos y preocuparse por elevar la
eficiencia del trabajo. En general, todas estas tareas las vino a desempeñar el
ingeniero industrial, desde su creación.
De esta manera, todas las actividades relacionadas con una industria pertenecen a la
ingeniería industrial, sin incluir las tecnologías que se emplean en los procesos
productivos, así, el ingeniero industrial puede encargarse desde la determinación de
la localización óptima de la industria, la optimización de los procesos, la utilización de
la maquinaria, y de la mano de obra, el diseño de la planta, la toma de decisiones
para la automatización de procesos, hasta la planeación de la producción, lo cual
implica controlar los inventarios tanto de materia prima como de producto terminado,
también planea el mantenimiento de todos los equipos.
Nuevamente se tiene un campo de la ingeniería con una extensa aplicación, por lo
que también se subdividió en una serie de especialidades como son ingeniero en
procesos de manufactura, industrial administrador, industrial en administración y
planeación de la producción, industrial en control de calidad, industrial en sistemas,
industrial en pulpa y papel, industrial en evaluación de proyectos y otras.
No hay necesidad en enfatizar que la ingeniería industrial es una de las
especialidades de la ingeniería que no sólo está relacionada con otras ingenierías en
72
la misma industria, sino que está en contacto con todas las áreas de la industria
distintas de la ingeniería, es decir, la ingeniería industrial guarda estrecha relación
con la alta dirección, con los administradores, con las finanzas, principalmente, por lo
que se puede considerar que tiene un enfoque interdisciplinario por necesidad.
El impacto de la investigación de operaciones continuará aumentando. Así se tiene
que al inicio de la década de los años 90´s, el U.S. Bureau of Labor Statistics predijo
que la Investigación de Operaciones sería el área profesional clasificada como la
tercera en más rápido crecimiento para los estudiantes universitarios en Estados
Unidos, graduados entre 1990 y 2005, siendo que en este último año habría 100,000
personas trabajando como analistas de investigación de operaciones38.
De esta forma, el ingeniero industrial no es mecánico, eléctrico ni químico, sino la
persona encargada del control y la optimización de los procesos productivos, tarea
que normalmente no realizan las otras especialidades. Día con día, el campo de
actividad del ingeniero industrial está más definido, y por la variedad que debe tener
en su profesión, en el sentido de poder entender el lenguaje de todas las demás
especialidades, su formación es interdisciplinaria. Esto representa una
característica de esta rama de la ingeniería y sus tareas dentro de la empresa, las
que están claramente definidas respecto a las que desempeñan otras especialidades
de la ingeniería.
38 http://www.geocities.com/jairo_marin/
73
El Ingeniero Industrial generalmente es un asesor y ayudante de la gerencia quien se
encarga del diseño de sistemas para obtener utilización máxima y control de los
resultados de la empresa. Trabaja estrechamente con el obrero, los supervisores y
atiende los problemas de operación para lograr mejoras que beneficien a todas las
partes afectadas.
El Ingeniero Industrial es el principal contribuyente en los grupos de planeación e
investigación de operaciones.
CAPITULO 3
ESTRATEGIA METODOLOGICA
74
CAPITULO 3
3 ESTRATEGIA METODOLOGICA
3.1 Generalidades sobre el desarrollo de esta tesis
• Se detectó el alto índice de reprobación en la materia de Investigación de
Operaciones 1 de los alumnos de la Licenciatura de Ingeniería Industrial (5to.
Semestre).
• Se planteó el problema.
• Se inició la construcción del marco teórico.
• De acuerdo a la experiencia como docente de la asignatura de Investigación
de Operaciones 1 se estableció la hipótesis.
• Se decidió probar la hipótesis sometiendo a un grupo al estudio de las
operaciones fundamentales, fraccionales, algebraicas y matriciales.
• Se dividieron los grupos tanto matutino como vespertino en dos, de forma
aleatoria.
• Se elaboró una unidad, que se anexó al programa de Investigación de
Operaciones 1 antes de las unidades que conforman el programa que se
estudia en el semestre, la cual contiene una revisión de temas como son:
operaciones fundamentales, fraccionales, algebraicas y matriciales. Dicha
unidad se abordó durante las primeras semanas.
75
• Al inicio del curso se aplicó un cuestionario a todos los alumnos para averiguar
sus características personales.
• También se realizó un examen (evaluación diagnóstica) que se aplicó al total
de los alumnos.
• Se compararon las calificaciones obtenidas por los grupos sometidos a la
acción de la variable y a los que no se sometieron a ella.
• Se calcularon medidas de tendencia central y correlación.
• Se obtuvieron conclusiones.
3.2 El método
Se utilizó el método experimental en el que se puede manipular una variable
(experimental) no comprobada. Las condiciones deben estar rigurosamente
controladas, para describir el porqué se produce una situación o acontecimiento, o
sea, el experimento es una situación provocada por el investigador quien introduce
determinadas variables de estudio manipuladas por él para controlar el aumento o
disminución de esas variables y su efecto en las conductas observadas. La variable
que se manipuló fue el estudio de una unidad (revisión, aplicación y ejercitación) que
se agregó al programa de Investigación de Operaciones 1 referente a las
operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación y división), fraccionales,
76
algebraicas y matriciales (variable experimental) con el objetivo de observar si había
modificación en el rendimiento académico de los estudiantes al final del semestre.
De acuerdo a Tamayo y Tamayo39 el método experimental tiene varias etapas que en
caso del problema de Investigación de Operaciones 1 corresponden a:
• Identificación y definición del problema. Con base en la experiencia docente
los alumnos de Investigación de Operaciones 1 de la carrera de Ingeniería
Industrial tienen dificultades con las operaciones fundamentales (suma, resta,
multiplicación y división), fraccionales, algebraicas y matriciales. Esto les
impide llegar a revolver de forma adecuada los modelos que se utilizan en la
Investigación de Operaciones para la toma de decisiones tan importante en la
Ingeniería Industrial, además de ser alumnos de 5° semestre que ya pasaron
por cuatro cursos de matemáticas.
• Establecimiento de la Hipótesis.
• Respecto al plan experimental, en este trabajo de Investigación se consideró
el total de la población, que son dos grupos uno matutino con un total de 59
alumnos y el grupo vespertino con un total de 40 estudiantes.
39 Tamayo y Tamayo. (2006).El proceso de la Investigación Científica.México. Limusa. Pág. 47
77
• Se elaboraron cinco instrumentos de medición que permitieron hacer una
evaluación diagnóstica, evaluación formativa (tres exámenes parciales) y
evaluación sumatoria (examen final global). Asimismo se construyó un
cuestionario que permitiera identificar las características de los alumnos.
• Realización del Experimento. A dos grupos se sometieron a la acción de la
variable, así como a 2 grupos que no se expusieron a esta acción. A ambos
grupos (experimental y control) se les sometieron a tres exámenes parciales
(los mismos para cada grupo) y al final se compararon los resultados.
• Respecto al tratamiento de datos, se calcularon medidas de tendencia central
y de correlación.
3.3 Hipótesis General y Variables
Ya que a los estudiantes que integran el grupo experimental se les incluye en su
programa de Investigación de Operaciones 1 la unidad uno, la que estudiaron antes
78
del programa de la asignatura, esta unidad es la variable independiente y el resultado
a nivel de rendimiento escolar al final del ciclo escolar es la variable dependiente.
Tomando en consideración que se aplicaría un método experimental y cuya hipótesis
es la explicación tentativa al problema, ésta se define de la siguiente forma:
A los alumnos que se les someta al estudio de la unidad 1, variable que se refiere a
la revisión, explicación y ejercitación de operaciones fundamentales (suma, resta,
multiplicación y división), fraccionales, algebraicas y matriciales mejorarán su
rendimiento escolar.
Tabla No.2 Definición de variables
Definición de Variables
Operacional
Unidad 1. Revisión/estudio que al inicio del curso de Investigación de Operaciones 1 se realiza respecto a operaciones fundamentales para obtener resultados reales. Se estudian las operaciones fraccionales en las que no se pueden utilizar unidades totales, en algebraicas para poder de manera idónea aplicar las constantes y matriciales de tal manera que se manejen vectores de una mejor forma. Rendimiento escolar: Desempeño de los estudiantes en Investigación de Operaciones 1 en la toma de decisiones ante modelos matemáticos determinísticos, con riesgo y bajo incertidumbre (variable dependiente)
Los estudiantes resuelven ejercicios de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con fracciones, adicionando sumas, restas, multiplicaciones y divisiones aritméticas y algebraicas. Participación y resolución apropiada de problemas matemáticos por parte de los estudiantes de Investigación de Operaciones 1, lo que se traduce en calificación/promoción.
79
3.3.1 Hipótesis nulas
Las hipótesis nulas son aquéllas que establecen que no existen diferencias
significativas entre los grupos. Su importancia radica en que es de directa
comprobación, es decir se acepta o se rechaza a través de una prueba (coeficiente
de correlación de Pearson40), por lo que siempre se redactan en negativo indicando
que no hay relación entre las variables. El hecho de calcular la correlación que
indica asociación, lo que se pretende es rechazarlas41, o sea demostrar que si hay
relación entre las variables.
En el caso de esta investigación, también contribuye a determinar las diferencias
entre los grupos sometidos a prueba (el experimental y el de control).
A continuación se presentan las hipótesis nulas establecidas para esta investigación.
• No hay diferencia en el rendimiento escolar entre el grupo control y el grupo
experimental (el que se expuso a la revisión de operaciones fundamentales al
inicio del programa de Investigación de Operaciones 1)
40 Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers. (1989). Probabilidad y Estadistica para Ingenieros. México. Ed. Interamericana 6a. p.292 41 William W. Hines, Douglas C. Montgomery. (2004). Probabilidad y Estadística para Ingeniería. México. Ed. CECSA 3ª. p.
80
• No hay diferencia en el promedio general entre el grupo control y grupo
experimental (el que se expuso a la revisión de operaciones fundamentales al
inicio del programa de Investigación de Operaciones 1).
• No hay diferencia en el promedio de Matemáticas 4 entre el grupo control y
grupo experimental (el que se expuso a la revisión de operaciones
fundamentales al inicio del programa de Investigación de Operaciones 1).
• No hay diferencia en las calificaciones del 1er. Parcial de Investigación de
Operaciones 1 entre el grupo control y grupo experimental (el que se expuso a
la revisión de operaciones fundamentales al inicio del programa de
Investigación de Operaciones 1).
• No hay diferencia en las calificaciones del 2do. Parcial de Investigación de
Operaciones 1 entre el grupo control y grupo experimental (el que se expuso a
la revisión de operaciones fundamentales al inicio del programa de
Investigación de Operaciones 1).
• No hay diferencia en las calificaciones del 3er. Parcial de Investigación de
Operaciones 1 entre el grupo control y grupo experimental (el que se expuso a
la revisión de operaciones fundamentales al inicio del programa de
Investigación de Operaciones 1).
• No hay diferencia en Promedio General en Investigación de Operaciones 1
entre el grupo control y grupo experimental (el que se expuso a la revisión de
operaciones fundamentales al inicio del programa de Investigación de
Operaciones 1).
81
• No hay diferencia en la calificación del examen diagnóstico obtenido entre el
grupo control y grupo experimental (el que se expuso a la revisión de
operaciones fundamentales al inicio del programa de Investigación de
Operaciones 1).
3.4 Población e integración de grupos
La población total de estudiantes de Investigación de Operaciones 1 en el semestre
2008-1 estuvo integrado por 99 alumnos adscritos a dos grupos, uno matutino y uno
vespertino. Se realizó una división de los grupos en forma aleatoria42, reasignando a
los alumnos, quedando un total de cuatro grupos, dos matutinos y dos vespertinos de
los cuales un grupo de cada uno fueron sometidos a la acción de la variable
experimental. La división de los grupos se observa en las tablas No.3 y No. 4.
42 William W. Hines, Douglas C. Montgomery. (2004). Probabilidad y Estadística para Ingeniería. México: Ed. CECSA. 3a. Apéndice Tabla XV.
82
Tabla No. 3 Resumen de la muestra del turno matutino
Grupos turno matutino
Sometidos a la variable experimental
No sometidos a la variable experimental
Género Núm. Estudiantes Género Núm. Estudiantes
Hombres 20 Hombres 19
Mujeres 10 Mujeres 10
TOTAL 30 TOTAL 29
Tabla No. 4 Resumen de la muestra del turno vespertino
Grupos turno vespertino
Sometidos a la variable experimental
No sometidos a la variable experimental
Género Núm. Estudiantes Género Núm. Estudiantes
Hombres 17 Hombres 16
Mujeres 3 Mujeres 4
TOTAL 20 TOTAL 20
83
3.5 Instrumentos
3.5.1 Cuestionario sobre las características de los alumnos.
Este cuestionario se aplicó a toda la población. Se integró por un grupo de
preguntas sobre las características generales del estudiante, se averiguó respecto a
su edad, género, estado civil y en algunas preguntas se investigaron datos
socioeconómicos referidos al tipo de vivienda y si trabajan. También se investigó
sobre sus actividades extracurriculares, turno en el que tomaban clases y semestre.
Además se incluyeron quince preguntas de las cuales once son mixtas (cerradas con
preguntas abiertas) en las que se les pedía una opinión positiva o negativa y las
razones de la misma, el resto de las preguntas (4 preguntas) eran abiertas. Aquí se
averiguó sobre su situación como estudiante (regular, irregular, rematriculado o
revalidación), promedio, si gozaban de beca y específicamente sobre el programa de
Investigación de Operaciones 1 con relación a los problemas que tienen con respecto
a esta materia43.
43 Ver anexo 1.
84
3.5.1.1 Pilotaje, Confiabilidad y Validez
Con el propósito de detectar posibles dificultades por parte de los alumnos para
entender el lenguaje usado, así como para identificar los aspectos que requerían
alguna modificación se realizó una aplicación piloto de la primera versión del
cuestionario para obtener información de los estudiantes. El primer grupo de
preguntas sobre las características generales del estudiante fueron contestadas por
15 alumnos de sexto semestre que previamente habían cursado la materia.
Teniendo en cuenta las sugerencias realizadas por los alumnos durante la aplicación
piloto del instrumento, se realizaron algunas modificaciones. Estas consistieron en
sustituir unas palabras por otras de uso más común para los alumnos, ya que se
observó que los estudiantes en algunas ocasiones mostraban dificultad para definir
su disposición acerca de la afirmación que se hacía en algunos reactivos. De tal
manera que la siguiente tabla muestra las modificaciones al instrumento.
85
Tabla No. 5 Resultados del pilotaje del cuestionario
Pregunta Original
Pregunta Corregida
No. Pregunta
Quedó como: 3.- ¿Materias que debes? 3.- ¿Cuántas materias debes?
9.- ¿Se te dificultan las operaciones
fundamentales?
9.- ¿Se te dificultan las operaciones
fundamentales (sumas, restas,
multiplicaciones y divisiones)?
10.- ¿Tienes problemas con operaciones
fundamentales con fracciones?
10.- ¿Tienes problemas con operaciones
fundamentales con fracciones
(quebrados)?
14.- ¿Cuántas horas a la semana
dedicas para hacer ejercicios donde
practicas tus operaciones
fundamentales, con fracciones y
algebraicas de IO1 extra-clase?
14.- ¿Cuántas horas a la semana
dedicas para hacer ejercicios donde
practicas tus operaciones
fundamentales, con fracciones y
algebraicas de IO1 fuera del horario de
clase?
16.- ¿La Investigación de Operaciones
formula matemáticamente problemas?
16.- ¿La Investigación de Operaciones
formula matemáticamente los problemas
que ahí se analizan?
86
Confiabilidad
Una vez que se tuvo el cuestionario definitivo, se explicó y se calculó la confiabilidad
mediante el coeficiente alfa de cronbach´s.
Realiabity Statics44
Cronbach´s Alpha
Cronbach´s Alpha
Pearson Standardizad
Items
No. Of Items
0.815
0.782
13
Validez
La validez se realizó mediante juicio de expertos por lo que se pidió a 2 profesores
del área de matemáticas que lo revisaron de tal forma que el cuestionario estuviera
realmente orientado a la recolección de datos referentes a las características
generales de la población de estudiantes de Investigación de Operaciones 1.
44 Calculado mediante el Statistical Package for the Social Sciences (SPSS) versión 17.
87
3.5.2 Exámenes de diagnóstico, parciales y evaluación global
• Examen diagnóstico
Se consideró pertinente aplicar una evaluación, para observar si los alumnos cuentan
con los conocimientos necesarios para que puedan utilizar los métodos que se usan
en la Investigación de Operaciones 1. Por lo tanto se elaboró un examen
diagnóstico cuyo objetivo era obtener información sobre el nivel de habilidad de los
estudiantes para realizar operaciones aritméticas fundamentales, fraccionales,
algebraicas y matriciales. Dicha evaluación se integró por un total de once preguntas
de las cuales cinco eran de operaciones fundamentales algebraicas (suma, resta,
multiplicación y división), tres se refieren a operaciones matriciales, una (con tres
incisos) a operaciones fraccionales y una (con tres incisos) a operaciones
fundamentales45.
• Examen 1ª. Evaluación Parcial Académica
Este primer examen parcial tuvo como objetivo obtener información sobre el nivel de
conocimientos adquiridos en la unidad que se estudió antes del programa de la
materia y la primera unidad del programa de Investigación de Operaciones 1. Dicha
evaluación se integró por un total de tres apartados de los cuales el primero estuvo
45 Ver anexo 2.
88
integrado por operaciones fundamentales algebraicas (suma, resta, multiplicación y
división), matriciales, fraccionales y operaciones fundamentales, la segunda parte se
integro por un problema que el estudiante debía formularlo matemáticamente y el
último apartado contenía un problema lineal para convertirlo a la forma canónica
(fórmula general de los primeros problemas de Investigación de Operaciones 1)46 .
• Examen 2ª. Evaluación Parcial Académica
El segundo examen parcial tenía como objetivo determinar el nivel de conocimientos
adquiridos en los temas del programa de la asignatura (métodos para resolver
problemas matemáticos de Investigación de Operaciones). Dicha evaluación se
integró por un total de tres apartados de los cuales el primero contenía un problema
para resolver por el método gráfico, la segunda parte constaba de un problema para
utilizar el método simplex y en el último apartado se incluyó un problema en cuya
solución debía utilizar un método de doble fase y comprobar con la técnica M47
(métodos que se utilizan para resolver problemas de minimizar y maximizar).
46 Ver anexo 3. 47 Ver anexo 4.
89
• Examen 3er. Evaluación Parcial Académica
El tercer examen parcial se elaboró y aplicó con el fin de determinar el nivel de
conocimientos adquiridos en los temas del programa de la asignatura
correspondiente al tema de análisis de sensibilidad (métodos para resolver
problemas matemáticos de Investigación de Operaciones a partir de un resultado
inicial). Dicha evaluación se integró por un solo apartado en el cual se solicitaba al
estudiante el resolver el problema por el método dual simplex (método que resuelve
cualquier problema lineal) e incluía incisos de cambios en los vectores recursos,
costos, nueva actividad, coeficientes tecnológicos y nuevas restricciones,
concluyendo el programa de la asignatura48.
• Examen Evaluación global Académica (Extraordinario)
El examen global que en el caso de este centro educativo solo se aplica a los
estudiantes cuyo promedio no alcanza una calificación aprobatoria tiene como
objetivo identificar el nivel de conocimientos adquiridos durante el curso de
Investigación de Operaciones 1 y de esta forma acreditar la materia.
Dicha evaluación se integró por un total de tres apartados. El primero era un
problema para resolver por el método gráfico, en la segunda parte se pedía que a
48 Ver anexo 5.
90
partir de un problema se utilizara el método que mejor lo resolviese (simplex, dos
fases, técnica M o dual simplex) y el último apartado se basaba en el resultado de la
segunda parte del examen aunque se hicieron modificaciones en los vectores
(recursos, costos, tecnológicos, nuevas actividades y nuevas restricciones), que
corresponde a la última parte del programa que se refiere al análisis de
sensibilidad49.
49 Ver anexo 6.
CAPITULO 4
ANALISIS E INTERPRETACIÓN DE DATOS
91
CAPITULO 4
4.1 Análisis e Interpretación de datos
En este capítulo se incluyó lo referente a la información que se obtuvo de los
alumnos que cursaron la materia de Investigación de Operaciones 1 en el semestre
2008-1. La población correspondiente a ese ciclo observado (turno matutino y
vespertino) estuvo integrada por 99 estudiantes.
El análisis se inició con las características generales de la población de dicha
asignatura, las cuales se tomaron de referencia para balancear los grupos.
Posteriormente se presentaron los datos de la prueba diagnóstica y la información
correspondiente al promedio final de la asignatura, tanto de los grupos que fueron
expuestos a la variable experimental como los que no, así como el análisis propio de
la variable experimental (unidad 1 al inicio del programa de Investigación de
Operaciones 1).
92
Características generales de los estudiantes de Investigación de Operaciones 1
Edad
En la figura 1 se presentan las edades de los alumnos en un rango de 19 a 42 años,
obteniéndose que el 64% de los estudiantes tienen una edad que fluctúa entre 19 y
22 años, observándose un 36% en edades de 23 a 42 años.
Tomando en consideración el resultado anterior, se observa que la población está
dentro de la edad promedio de cualquier estudiante de educación superior, a nivel
nacional.
Figura 1. Edades de la población de alumnos
93
Género, Estado Civil y Situación Laboral
En la Tabla 6 y la figura 2 se muestra la situación respecto al género, estado civil y
situación laboral, en cuanto a género se identificó que el 77% masculino (44%
trabajan de los cuales 33% son solteros y 10% casados, el resto 34% no trabajan de
estos el 29% son solteros y el 5% casados), el resto 22% femenino (8% trabajan y
son solteras, el 14% no trabajan de las cuales son solteras), corroborándose que
aún persiste la tendencia de que en las licenciaturas de ingeniería predominan
estudiantes de género masculino, siendo también estos los que están incorporados
al ámbito laboral antes de terminar sus estudios.
Tabla 6. Género, Estado Civil y Situación Laboral
Género
Estado Civil
Situación laboral
Total Sí
trabaja No
Trabaja
Femenino
Soltero
8
8%
14
14%
22
22%
Casado
0
0%
0
0%
0
0%
Masculino
Soltero
33
34%
29
29%
62
63%
Casado
10
10%
5
5%
15
15%
Total
51
52%
48
48%
99
100%
94
Figura 2. Género, Estado Civil y Situación Laboral de la población de Investigación
de Operaciones 1
De manera general respecto al estado civil y a la información sobre su situación
laboral, se observa que el 84% de los jóvenes son solteros, el resto 15% son
casados; además del total de la población del 52% trabajan (10% casados y 42%
solteros), del resto 48% no trabajan (43% soltero y 5% casados).
Por lo que se puede deducir que al no tener otras responsabilidades familiares, casi
la mitad de los estudiantes tienen más oportunidades de dedicarse a sus asignaturas
y con posibilidades de concluir sus estudios de licenciatura.
95
Tipo de Vivienda y Ubicación
En relación con el tipo de vivienda y ubicación de la misma como se muestra en la
tabla 7, se obtuvo que el 85% de los alumnos cuentan con vivienda propia, el 20% de
ellas están localizadas a una distancia de 0 a 5 km del centro educativo, 9% estan
ubicadas entre 5 a 10 Km y por ultimo un 21% localizadas a más de 10 Km, por lo
cual se tiene un 42% de viviendas con una cercania al centro educativo de 0 a 10
Km, siendo favorable en cuanto al nivel de vida, además de que los estudiantes
utilizan poco tiempo para trasladarse de su casa al TESE.
Tabla 7. Tipo de vivienda y ubicación
Tipo de vivienda
Cercanía de la colonia al TESE
Total
No reportó distanca
(omitió colonia)
0 a 5 Km
5 a 10 Km
Más de 10 Km
Prestada
1
1%
1
1%
5
5%
0
0%
7
7%
Rentada
1
1%
5
5%
2
2%
0
0%
8
8%
Propia
34
35%
20
20%
9
9%
21
21%
84
85%
Total
36
37%
26
26%
16
16%
21
21%
99
100%
96
Por lo anterior, se puede decir que el nivel socioeconómico de este grupo de
alumnos es estable dado que son solteros, cuentan con casa propia, el 48% solo
están dedicados a estudiar, aunque llama la atención que la mayoría 92% no
realizan actividad extracurricular ya sea de carácter artístico, deportivo y/o cultural,
como se muestra en la tabla 8, solo el 8% realizan actividad extracurricular (7%
masculino-soltero y 1% femenino-soltero) corroborándose que los estudiantes
solteros tienen más tiempo para dedicar a sus estudios y alguna otra actividad.
Tabla 8. Actividad Extracurricular
Género
Estado civil
Realiza actividad Extracurricular
Total No
Sí
Masculino
Casado
15
15%
0
0%
15
15%
Soltero
55
56%
7
7%
62
63%
Femenino
Casado
0
0%
0
0%
0
0%
Soltero
21
21%
1
1%
22
22%
Total
91
92%
8
8%
99
100%
97
Situación Académica∗
En cuanto a las materias que anteceden a la Investigación de Operaciones 1 y que
son Matemáticas 3 y Matemáticas 4, se identifica un promedio general en cada una
de ellas de 7, representando un 48% y 52 % respectivamente, como se observa en la
figura 3.
Figura 3. Promedio de calificaciones de Matemáticas 3 y Matemáticas 4
∗ La calificación numérica mínima aprobatoria en el TESE es de 7.
98
Examen diagnóstico
Para poder preparar el ambiente del estudio de esta investigación y someter a los
grupos a la influencia de la variable experimental (Unidad 1 del programa de
Investigación de Operaciones 1), se aplicó un examen diagnóstico igual para toda la
población estudiantil que se tomó en esta investigación. Dicha prueba permitió
determinar el nivel de conocimientos y habilidades en operaciones fundamentales
(suma, resta, multiplicación y división), fraccionales (quebrados), algebraicas,
gráficas de ecuaciones lineales y operaciones matriciales, detectándose una
deficiencia en operaciones fundamentales en la población en general de los
estudiantes de la asignatura de Investigación de Operaciones 1. Como se observa
en la figura 4, solo el 16% de los estudiantes consiguieron una calificación
aprobatoria, el resto 84% no aprobaron el examen diagnóstico.
Figura 4. Calificaciones del examen diagnóstico de la población de Investigación de
Operaciones 1
99
A continuación se presenta en la figura 5 los grupos matutinos tanto el no expuesto
como el expuesto a la variable experimental para observar de una forma más clara
las calificaciones obtenidas en el examen diagnóstico y tener los antecedentes al
inicio de la unidad 1 del programa de Investigación de Operaciones 1.
El grupo matutino no expuesto a la variable experimental tiene una calificación
promedio de 4.62, de tal forma que solo el 24% de los estudiantes aprobaron el
examen diagnóstico, el resto 76% lo reprobaron. Por otra parte el grupo expuesto
tiene una calificación promedio de 4.97, así que el 23% aprobaron el examen
diagnóstico y el 77% no lo aprobaron.
Figura 5. Calificaciones del examen diagnóstico de los grupos matutino expuesto a la
variable experimetal y no expuesto a ella
100
Con respecto a los grupos vespertinos el no expuesto a la variable experimental y el
expuesto a ella, como se observa en la figura 6 la calificación promedio del grupo no
expuesto es de 3.5, de tal forma que sólo el 5% de los estudiantes aprobaron el
examen diagnóstico, el resto 95% lo reprobaron. El grupo expuesto a la variable
experimental tiene una calificación promedio de 2.95, pero no se tiene ningún alumno
aprobado, es decir, los 20 alumnos de este grupo están con calificación reprobatoria.
Figura 6. Calificaciones del examen diagnóstico de los grupos vespertino expuesto a
la variable experimetal y no expuesto a ella
101
Resultado Examen diagnóstico & Calificaciones 1ro. 2do. y 3er. Parcial
Turno Matutino
En el grupo matutino no expuesto a la variable experimental como se observa en la
figura 7, la calificación promedio del primer parcial es de 6.59 teniendo un incremento
de 1.97 puntos (de 4.62 a 6.59) con respecto al examen diagnóstico, para el segundo
parcial pasó de 4.62 a 5.0 (incremento de 0.38 puntos), para el tercer parcial se
puede observar un decremento de 0.83 (de 4.62 a 3.79), hacia el promedio final de la
materia se aumenta de 4.62 a 4.86 y finalmente para el global la calificación pasa de
4.62 a 1.52, registrándose un incremento del 9% en el promedio general del grupo,
de tal forma que no se tiene un incremento significativo en este grupo, ya que no se
están reforzando los conocimientos de operaciones fundamentales, algebraicas,
fraccionales y matriciales.
Figura 7. Promedio de calificaciones del grupo matutino no expuesto a la variable experimental∗
∗De acuerdo al software utilizado para la graficación de los datos, es importante mencionar que el programa usa una (,) para separar los enteros de los decimales.
102
Respecto al grupo que fue expuesto a la variable experimental como se tiene en la
figura 8, la evaluación del promedio del primer parcial es de 7.43 existiendo un
incremento con respecto al examen diagnóstico de 2.46 en la calificación (de 4.97 a
7.43), así como en el segundo y tercer parcial se incrementó en 1.16 (de 4.97 a 6.13)
y 0.80 (de 4.97 a 5.77) respectivamente, obteniéndose como resultado un aumento
del 1.26 (de 4.97 a 6.23) en la calificación final en la asignatura de Investigación de
Operaciones 1.
Figura 8. Promedio de calificaciones del grupo matutino expuesto a la variable
experimental
103
De lo anterior se puede concluir que con la variable experimental (unidad 1 al inicio
del curso de Investigación de Operaciones 1) se obtiene un incremento general en la
evaluación final en el 25% en el promedio general del grupo expuesto a la variable
experimental, puesto que se están reforzando las operaciones fundamentales,
algebraicas, fraccionales y matriciales, como se muestra en la figura 9.
Figura 9. Promedio de calificaciones finales de los grupos matutino
104
En la figura 10 se muestra el porcentaje de alumnos aprobados y no aprobados del
turno matutino expuestos a la variable experimental, en donde se tiene que en el
examen diagnóstico solo el 23% consiguieron una calificación aprobatoria el resto no.
En el primer parcial se tiene un 70% de aprobados y el 30% no aprobaron; para el
segundo parcial el 23% aprobaron quedando el 77% con calificación no aprobatoria;
en el tercer parcial se tiene un 53% de aprobados. Esto se refleja en el resultado del
semestre 2008-1 en el que se identifica igualdad en el número de aprobados y no
aprobados, es decir el 50% para ambos. Sin embargo cabe resaltar que existe un
incremento en la calificación del grupo expuesto a la variable experimental con el no
expuesto a la misma.
Figura 10. Porcentaje de alumnos aprobados y no aprobados del grupo matutino
expuesto a la variable experimental
105
Respecto a los alumnos no expuestos a la variable experimental como se observa el
la figura 11, se obtuvo que tanto en el examen diagnóstico como en los parciales, así
como en el promedio general de Investigación de Operaciones 1 y el examen global
se tiene mayor porcentaje de no aprobados (76% en el promedio general y 83% en el
examen global) que de aprobados, de tal forma que el grupo no expuesto a la
variable experimental al no recibir el reforzamiento de las operaciones
fundamentales, quebrados, algebraicas y matriciales sigue teniendo un índice alto de
reprobación.
Figura 11. Porcentaje de alumnos aprobados y no aprobados del grupo matutino no
expuesto a la variable experimental
106
Comparando las calificaciones finales de los grupos matutinos, como se observa en
la figura 12, se presenta un incremento en las calificaciones aprobatorias del grupo
expuesto a la variable, además de obtener mayor cantidad de alumnos con
calificaciones de 7 que es la calificación mínima aprobatoria, después de no tener
estudiantes con calificación aprobatoria en el examen diagnóstico.
Figura 12. Calificaciones finales de los grupos matutino expuesto a la variable y no
expuesto a ella.
107
Turno Vespertino
En el grupo vespertino no expuesto a la variable experimental como se observa en la
figura 13, la calificación promedio del primer parcial es de 5.85 teniendo un
incremento de 2.35 puntos (de 3.50 a 5.85) con respecto al examen diagnóstico, para
el segundo parcial pasó de 3.50 a 4.55 (incremento de 1.05 puntos) en referencia a
la prueba diagnóstica, para el tercer parcial se puede observar un aumento de 1.0
(de 3.5 a 4.5). Considerando el examen diagnóstico y el promedio final de la
materia, éste se incrementa de 3.50 a 4.9 y finalmente, para el global se observa
una calificacion promedio de 0.83, de tal forma que en ninguno de los exámenes se
tiene un promedio aprobatorio, resaltando que son los grupos a los que no se les
reforzaron las operaciones fundamentales, quebrados, algebraicas y matriciales.
Figura 13. Promedio de calificaciones del grupo vespertino no expuesto a la variable
experimental
108
Respecto al grupo que fue expuesto a la variable experimental como se tiene en la
figura 14, la evaluación del promedio del primer parcial es de 6.05 existiendo un
incremento con respecto al examen diagnóstico de 3.1 en la calificación (de 2.95 a
6.05), así como en el segundo se tiene un promedio de 5.2 observandose un
aumento en la calificación de 2.25 (2.95 a 5.2) y en el tercer parcial se incrementó en
1.2 (de 2.95 a 4.15). En el promedio final de Investigación de Operaciones 1 se
observa una calificación de 4.9 con un aumento de 1.2 con respecto al examen
diagnóstico (2.95 a 4.9) y para el examen global un promedio de 1.15.
Figura 14. Promedio de calificaciones del grupo vespertino expuesto a la variable
experimental
De lo anterior se puede concluir que con la variable experimental (unidad 1 al inicio
del curso de Investigación de Operaciones 1) se obtiene un incremento general en la
evaluación final en el 67% en el promedio general del grupo expuesto a la variable
experimental con respecto al examen diagnóstico, aún cuando no hay una diferencia
109
en cuanto al promedio general de los grupos vespertinos (expuesto a la varible y no
expuesto).
En la figura 15 se muestra el porcentaje de alumnos aprobados y no aprobados del
turno vespertino expuestos a la variable experimental, en donde se tiene que en el
examen diagnóstico solo el 5% consiguieron una calificación aprobatoria el resto no.
En el primer parcial se tiene un 55% de aprobados y el 45% no aprobaron; para el
segundo parcial el 35% aprobaron quedando el 65% con calificación no aprobatoria;
en el tercer parcial se tiene un 40% de aprobados.
Figura 15. Porcentaje de alumnos aprobados y no aprobados del grupo vespertino
expuesto a la variable experimental
110
Respecto a los alumnos no expuestos a la variable experimental como se observa en
la figura 16, se obtuvo que tanto en el examen diagnóstico como en los parciales, así
como en el promedio general de Investigación de Operaciones 1 y el examen global
se tiene un gran porcentaje de no aprobados (65% en el promedio general y 100%
en el examen global). Por lo tanto se corrobora que el grupo no expuesto a la
variable experimental al no recibir el reforzamiento de las operaciones
fundamentales, quebrados, algebraicas y matriciales, sigue teniendo un índice alto
de reprobación.
Figura 16. Porcentaje de alumnos aprobados y no aprobados del grupo vespertino
no expuesto a la variable experimental
Además considerando que el grupo expuesto a la variable experimental no tenía
ningún porcentaje de alumnos con calificación aprobatoria, el incremento en el
111
porcentaje de calificaciones aprobatorias es muy significativo, ya que se logran
reafirmar los conocimientos de operaciones fundamentales, fraccionales, algebraicas
y matriciales, desarrollando habilidades para poder utilizar modelos de Investigación
de Operaciones 1 y de esta forma puedan resolver problemas para la toma de
decisiones.
Comparando las calificaciones finales de los grupos vespertinos, como se observa en
la figura 17, se presenta un incremento en las calificaciones aprobatorias del grupo
expuesto a la variable, además de obtener mayor cantidad de alumnos con
calificaciones de 7 que es la calificación mínima aprobatoria, después de no tener
estudiantes con calificación aprobatoria en el examen diagnóstico.
Figura 17. Calificaciones finales de los grupos vespertinos expuesto a la variable y no
expuesto a ella.
112
Con base en los datos obtenidos y graficados, se calcularon correlaciones que a
través de un coeficiente permitió identificar si había una asociación significativa
entre las variables y que al mismo tiempo se tomó la decisión de aceptar o rechazar
las hipótesis nulas.
“El análisis de correlación intenta medir la intensidad de las relaciones entre dos
variables por medio de un solo número denominado coeficiente de correlación
(coeficiente de correlación producto-momento de Pearson o sólo coeficiente de
correlación muestral). El coeficiente de correlación de Pearson es, quizá, el mejor
coeficiente y el más utilizado para estudiar el grado de relación lineal existente entre
dos variables cuantitativas”50.
El nivel crítico permite decidir sobre la hipótesis nula. Se rechaza la hipótesis nula y
se concluye que existe relación entre las variables cuando el nivel crítico sea menor
que el nivel de significación establecido (generalmente, 0.05).
Así, considerando los niveles críticos de correlación se puede aceptar o rechazar la
hipótesis nula (Ho), lo cual se resume en la tabla No. 9.
50 Walpole, Ronald E, Myers Raymond, Myers Sharon, Ye Keying. (2007). Probabilidad & Estadistica para ingeniería y ciencias. México: Ed. PEARSON. 8a. p.434.
113
Tabla 9. Hipótesis nulas
51 Grupo control el que no fue sometido a la variable (estudio de la unidad adicional al inicio del programa de Investigación de Operaciones 1) 52 Grupo experimental fue el sometido a la variable (estudio de la unidad adicional al inicio del programa de Investigación de Operaciones 1)
Ho
Correlación Significativa
Aceptación / Rechazo Ho
No hay diferencia en el promedio general entre el grupo control51 y grupo experimental52.
0.000
Se rechaza la Ho Sí hay diferencia en el promedio general entre el grupo control y grupo experimental.
No hay diferencia en el promedio de Matemáticas 4 entre el grupo control y grupo experimental.
0.159
Se acepta la Ho No hay diferencia en el promedio de Matemáticas 4 entre el grupo control y grupo experimental.
No hay diferencia en las calificaciones del 1er. Parcial de Investigación de Operaciones 1 entre el grupo control y grupo experimental.
0.042
Se rechaza la Ho SÍ hay diferencia en las calificaciones del 1er. Parcial de Investigación de Operaciones 1 entre el grupo control y grupo experimental.
No hay diferencia entre las calificaciones del 2do. Parcial de Investigación de Operaciones 1 entre el grupo control y el grupo experimental.
0.044
Se rechaza la Ho Si hay diferencia entre las calificaciones del 2do. Parcial de Investigación de Operaciones 1 entre el grupo control y el grupo experimental.
No hay diferencia entre las calificaciones del 3er. Parcial de Investigación de Operaciones 1 entre el grupo control y el grupo experimental.
0.110
Se acepta la Ho No hay diferencia entre las calificaciones del 3er. Parcial de Investigación de Operaciones 1 entre el grupo control y el grupo experimental.
No hay diferencia en el promedio general de IO1 entre el grupo control y el grupo experimental.
0.045
Se rechaza la Ho Sí hay diferencia en el promedio general de IO1 entre el grupo control y el grupo experimental.
No hay diferencia en la calificación del examen diagnóstico obtenido entre el grupo control y el grupo experimental.
0.129
Se acepta la Ho No hay diferencia en la calificación del examen diagnóstico obtenido entre el grupo control y el grupo experimental.
114
La tabla resumen presenta los datos que contrastan la hipótesis nula de que el valor
poblacional de R es cero y, por tanto, permite decidir si existe relación lineal
significativa entre la variable dependiente (grupo) y el conjunto de variables
independientes (promedio general, 1er. Parcial IO1, 2do. Parcial IO1 y promedio
general de IO1) tomadas juntas. El valor del nivel crítico Sig=0.006 indica que sí
existe relación lineal significativa.
Modelo
Coeficientes no estandarizados
Coeficientes
estandarizados
t B Error Estandar Beta
1 (Constante) ,232 ,632 ,367
Promedio general ,581 ,195 ,309 2,984
Promedio Gral. IO1 -,092 ,119 -,208 -,771
1er. Parcial IO1 ,085 ,077 ,195 1,108
2do. Parcial IO1 ,074 ,082 ,171 ,903
La tabla de coeficientes de regresión lineal contiene la información necesaria para
construir la ecuación de regresión mínimo-cuadrática. La columna encabezada
Resumen del ANOVA
Modelo Suma de cuadrados gl Media cuadrática F Sig.
1 Regresión 17,298 4 4,324 3,823 ,006
Residual 106,339 94 1,131
Total 123,636 98
115
coeficientes no estandarizados se encuentran los coeficientes (Bk) que forman parte
de la ecuación en puntuaciones directas:
Pronóstico en Grupo = 0.232 + 0.581 Promedio Gral. -0.092 Prom.Gral.IO1 +0.085
1er.Parcial IO1 + 0.074 2do.Parcial IO1
Estos coeficientes no estandarizados se interpretan de la siguiente manera, el
coeficiente correspondiente a la variable promedio general, que vale 0.581, indica
que, si el resto de las variables se mantienen constantes, a un aumento de una
unidad en promedio general le corresponde, en promedio, un aumento de 0.581 de
calificación en pronóstico del grupo.
Es importante señalar que estos coeficientes no son independientes entre sí. De
hecho, reciben el nombre de coeficientes de regresión parcial porque el valor
concreto estimado para cada coeficiente se ajusta teniendo en cuenta la presencia
del resto de variables independientes.
El signo del coeficiente de regresión parcial de una variable puede no ser el mismo
que el del coeficiente de correlación simple entre esa variable y la dependiente. Esto
es debido a los ajustes que se llevan a cabo para poder obtener la mejor ecuación
posible. Aunque existen diferentes explicaciones para justificar el cambio de signo
de un coeficiente de regresión, una de las que deben ser más seriamente
116
consideradas es la que se refiere a la presencia de un alto grado de asociación entre
algunas de las variables independientes (colinealidad).
Los coeficientes Beta están basados en las puntuaciones típicas y, por tanto, son
directamente comparables entre sí. Indican la cantidad de cambio, en puntuaciones
típicas, que se producirá en la variable dependiente por cada cambio de una unidad
en la correspondiente variable independiente (manteniendo constantes el resto de
variables independientes).
Estos coeficientes proporcionan una pista muy útil sobre la importancia relativa de
cada variable independiente en la ecuación de regresión. En general, una variale
tiene tanto más peso (importancia) en la ecuación de regresión cuanto mayor (en
valor absoluto) es su coeficiente de regresión estandarizado. Observando los
coeficientes Beta de la tabla la variable promedio general es la más importante;
después 1er. Parcial IO1; en seguida 2do. Parcial IO1 y por último promedio general
IO1.
Las pruebas t sirven para contrastar la hipótesis nula de que un coeficiente de
regresión vale cero en la población. Un coeficiente de cero indica ausencia de
relación lineal, de modo que los coeficientes significativamente distintos de cero nos
informan sobre qué variables son relevantes en la ecuación de regresión.
117
CONCLUSIONES
El objetivo inicial de esta investigación era ver los cambios a nivel de rendimiento
escolar en la asignatura de Investigación de Operaciones 1, haciendo un
comparativo entre los grupos sometidos a la influencia de una variable (grupo
experimental), que en este caso era el estudio y la práctica de una unidad que se
agregó al programa al inicio y se refería a la revisión, explicación y ejercitación de
las operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación y división),
fraccionales, algebraicas y matriciales, lo cual es indispensable que los
estudiantes lo sepan para la formulación y modelación matemática. Después de
un semestre en que se sometieron a las mismas evaluaciones al grupo
experimental (expuesto) y el grupo control (no expuesto) se obtuvieron los
siguientes hallazgos:
� Respecto al rechazo/confirmación de las hipótesis nulas
• Se rechazan cuatro de las hipótesis nulas y se convierten en positivas, las
cuales se presentan a continuación:
� Sí hay diferencia en el promedio general entre el grupo control
y grupo experimental.
118
� SÍ hay diferencia en las calificaciones del 1er. Parcial de
Investigación de Operaciones 1 entre el grupo control y grupo
experimental.
� Si hay diferencia entre las calificaciones del 2do. Parcial de
Investigación de Operaciones 1 entre el grupo control y el
grupo experimental.
� Sí hay diferencia en el promedio general de IO1 entre el grupo
control y el grupo experimental.
• Se aceptan las hipótesis nulas:
� No hay diferencia en el promedio de Matemáticas 4 entre el
grupo control y grupo experimental.
� No hay diferencia entre las calificaciones del 3er. Parcial de
Investigación de Operaciones 1 entre el grupo control y el
grupo experimental.
� No hay diferencia en la calificación del examen diagnóstico
obtenido entre el grupo control y el grupo experimental.
� En relación al rendimiento escolar se concluye:
Los grupos que fueron sometidos a la variable experimental tanto el matutino
como el vespertino obtuvieron mayor cantidad de alumnos con calificaciones
119
aprobatorias observándose un incremento en sus calificaciones con respecto al
examen diagnóstico.
� De acuerdo a la ecuación de regresión lineal se puede pronosticar que al
hacer la revisión de estas operaciones se tendrá un aumento en su
rendimiento escolar siempre y cuando se trate de grupos similares que
estén en las mismas condiciones de aprendizaje.
ANEXO I
120
ANEXO I Cuestionario aplicado para pilotaje
Con el propósito de identificar los factores que intervienen en tu rendimiento académico de la materia de Investigación de Operaciones, te solicito contestes las siguientes preguntas, no sin antes agradecerte el tiempo dedicado a este cuestionario, así como tu valiosa colaboración y atención prestada. Instrucciones: Subraya la respuesta que más refleja tú situación. En caso de las preguntas abiertas responde claramente en las líneas en blanco. NOMBRE: ______________________________________________________________________ Edad: _______________ (años cumplidos) Género: Femenino_____Masculino___
Estado Civil: A) Soltero B) Casado C) Divorciado D) Unión Libre
E) Otra Específica: ___________________________________________________ Tu vivienda es: A) Propia B) Rentada C) Otra Especifica: ________________________ Colonia en la que vives: ___________________________________________________________ ¿Trabajas actualmente? NO ______ SI _____ ¿En qué horario? _________________________ ¿Realizas alguna actividad extracurricular? NO _____ SI _____ ¿Cuál?_____________________ Turno escolar: A) Matutino B) Vespertino C) Mixto ¿Porqué tienes este turno?_________________________________________________________ ¿Qué semestre cursas actualmente?: ________________________________________________ 1.- Eres alumno A) Regular B) Irregular ¿Por qué? ____________________________ 2.- Tienes beca: NO _____ SI _____ ¿Qué tipo de beca? _______________________ 3.- En caso de ser alumno irregular ¿Materias que debes? _____________________________________________________________
4.- ¿Qué promedio general tienes?: __________________________________________________ 5.- ¿En qué Programa estas cursando la Carrera? A) Anterior B) Actual 6.- ¿Qué promedio obtuviste en matemáticas 3? ________________________________________ 7.- ¿Qué promedio obtuviste en matemáticas 4? ________________________________________
121
8.- ¿En la materia de Investigación de Operaciones 1 se te dificultaron o te causan problemas los temas?
NO_____ SI _____ ¿Por qué? ______________________________________________________
______________________________________________________________________________. 9.- ¿Se te dificultan las operaciones fundamentales?
NO_____ SI _____ ¿Por qué? ______________________________________________________
______________________________________________________________________________. 10.- ¿Tienes problemas con operaciones fundamentales con fracciones?
NO_____ SI _____ ¿De qué tipo? ___________________________________________________ ______________________________________________________________________________. 11.- ¿Se te dificultan las operaciones fundamentales algebraicas?
NO_____ SI _____ ¿Cuáles? _______________________________________________________
______________________________________________________________________________. 12.- ¿Te causan problemas las operaciones matriciales (suma, multiplicaciones y divisiones)
NO_____ SI _____ ¿De qué tipo? ___________________________________________________
______________________________________________________________________________. 13.- ¿El temario de la materia de Investigación de Operaciones 1 te parece muy extenso?
NO_____ SI _____ ¿Por qué? ______________________________________________________
______________________________________________________________________________. 14.- ¿Cuántas horas a la semana dedicas para hacer ejercicios donde practicas tus operaciones fundamentales, con fracciones y algebraicas de IO 1 extra-clase?
______________________________________________________________________________. 15.- ¿La Investigación de Operaciones te ayuda en la toma de decisiones?
NO_____ SI _____ ¿De qué forma? __________________________________________________ ______________________________________________________________________________. 16.- ¿La Investigación de Operaciones formula matemáticamente los problemas?
NO_____ SI _____ ¿De qué manera? ________________________________________________ ______________________________________________________________________________. 17.- Menciona los 3 tipos de problemas que utiliza la Investigación de Operaciones 1.- ____________________________________________________________________________ 2.-_____________________________________________________________________________ 3.-_____________________________________________________________________________
122
Cuestionario definitivo aplicado a los estudiantes de Investigación de Operaciones 1 para esta Investigación
Con el propósito de identificar los factores que intervienen en tu rendimiento académico de la materia de Investigación de Operaciones, te solicito contestes las siguientes preguntas, no sin antes agradecerte el tiempo dedicado a este cuestionario, así como tu valiosa colaboración y atención prestada. Instrucciones: Subraya la respuesta que más refleja tú situación. En caso de las preguntas abiertas responde claramente en las líneas en blanco. NOMBRE: ______________________________________________________________________ Edad: _______________ (años cumplidos) Género: Femenino _____Masculino _____ Estado Civil: A) Soltero B) Casado C) Divorciado D) Unión Libre
E) Otra Específica: ___________________________________________________ Tu vivienda es: A) Propia B) Rentada C) Otra Especifica: ________________________ Colonia en la que vives: ___________________________________________________________ ¿Trabajas actualmente? NO ______ SI _____ ¿En qué horario? _________________________ ¿Realizas alguna actividad extracurricular? NO _____ SI _____ ¿Cuál?_____________________ Turno escolar: A) Matutino B) Vespertino C) Mixto ¿Porqué tienes este turno?_________________________________________________________ ¿Qué semestre cursas actualmente?: ________________________________________________ 1.- Eres alumno A) Regular B) Irregular ¿Por qué? ____________________________ 2.- Tienes beca: NO _____ SI _____ ¿Qué tipo de beca? _______________________ 3.- En caso de ser alumno irregular ¿Cuántas materias que debes? _____________________________________________________ 4.- ¿Qué promedio general tienes?: __________________________________________________ 5.- ¿En qué Programa estas cursando la Carrera? A) Anterior B) Actual
6.- ¿Qué promedio obtuviste en matemáticas 3? ________________________________________ 7.- ¿Qué promedio obtuviste en matemáticas 4? ________________________________________
123
8.- ¿En la materia de Investigación de Operaciones 1 se te dificultaron o te causan problemas los temas?
NO_____ SI _____ ¿Por qué? ______________________________________________________
______________________________________________________________________________. 9.- ¿Se te dificultan las operaciones fundamentales (sumas, restas, multiplicaciones y divisiones?
NO_____ SI _____ ¿Por qué? ______________________________________________________
______________________________________________________________________________. 10.- ¿Tienes problemas con operaciones fundamentales con fracciones (quebrados)?
NO_____ SI _____ ¿De qué tipo? ___________________________________________________
______________________________________________________________________________. 11.- ¿Se te dificultan las operaciones fundamentales algebraicas?
NO_____ SI _____ ¿Cuáles? _______________________________________________________
______________________________________________________________________________. 12.- ¿Te causan problemas las operaciones matriciales (suma, multiplicaciones y divisiones)
NO_____ SI _____ ¿De qué tipo? ___________________________________________________
______________________________________________________________________________. 13.- ¿El temario de la materia de Investigación de Operaciones 1 te parece muy extenso?
NO_____ SI _____ ¿Por qué? _____________________________________________________
______________________________________________________________________________. 14.- ¿Cuántas horas a la semana dedicas para hacer ejercicios donde practicas tus operaciones fundamentales, con fracciones y algebraicas de IO 1 fuera del horario de clases?
______________________________________________________________________________. 15.- ¿La Investigación de Operaciones te ayuda en la toma de decisiones?
NO_____ SI _____ ¿De qué forma? __________________________________________________ ______________________________________________________________________________. 16.- ¿La Investigación de Operaciones formula matemáticamente los problemas que ahí se analizan?
NO_____ SI _____ ¿De qué manera? ________________________________________________ ______________________________________________________________________________. 17.- Menciona los 3 tipos de problemas que utiliza la Investigación de Operaciones 1.- ____________________________________________________________________________ 2.-_____________________________________________________________________________ 3.-_____________________________________________________________________________
ANEXO II
124
ANEXO II EXAMEN DIAGNOSTICO
NOMBRE: _____________________________________ SEMESTRE: ______ RESUELVA LAS OPERACIONES SIGUIENTES: 1.- 4m – 2n +3 – (-m+n) + (2m-n) 2.- (3x – 6y + 7) 4ab 3.- (1/2 a – 2/3 b) 2/5 a 4.- (4x – 3y) ( 5x – 2y) 5.- 4/3 (- 19/4 + 3/4 m) 6.- Grafica las siguientes rectas X + Y = 10 y 2/3 X – 1/2 Y = 21/14
125
7.- Encuentre el valor de X y Y de las siguientes ecuaciones por gauss Jordán 2 X + 3/8 Y = 12 1/2 X – 1/3 Y = 14 8.- Encuentre la transpuesta de esta matriz 5 6 3 4 2 1 10 20 30 9.- Obtenga la matriz identidad 1/8 3/16 5/8 1 0 0 8 6 -5 0 1 0 -3/2 5/2 6/4 0 0 1 10.- Resuelva las siguientes operaciones a) 16/9 - 4/3 + 19/5 = b) (-3/7) / (4/9) = c) (8/19) (9/15) = 11.- Resuelva las siguientes operaciones
a) 14 + 35 – 4 + 10 -9 =
b) (23 / 4) =
c) (23 x 6) – (12/3) =
ANEXO III
126
ANEXO III 1er. EXAMEN
INVESTIGACION DE OPERACIONES I
TIPO A TIPO A TIPO A TIPO A NOMBRE: __________________________________________________________________ I.-RESUELVA LAS SIGUIENTES OPERACIONES 1.- 4m – 2n +3 + (2m-n) 2.- (13x – 8y +1 7a) 4ab 3.- (1/3 a – 4/3 b) 2/5 a 4.- (2x – 6y) ( 3x – 4y) 5.- 1/3 (- 17/4 + 5/4 m) 6.- Realice la siguiente multiplicación de matrices 5 6 3 1 4 5 4 2 1 x 0 5 5 10 20 30 11 10 8 7.- Obtenga la matriz identidad 1/8 3/16 5/8 1 0 0 8 6 -5 0 1 0 -3/2 5/2 6/4 0 0 1
127
II.FORMULE Y RESUELVA POR METODO GRAFICO Y POR SIMPLEX EL SIGUIENTE PROBLEMA LINEAL La compañía World Light produce dos dispositivos para lámparas (productos 1 y 2) que requieren partes de metal y componentes eléctricos. La administración desea determinar cuantas unidades de cada producto fabricar para maximizar la ganancia. Por cada unidad del producto 1 se requieren 1 unidad de partes de metal y 2 unidades de componentes eclécticos, para el producto 2 se utilizan 3 partes de metal y 2 unidades eléctricos. La compañía tiene 200 unidades de partes de metal y 300 de componentes eléctricos. Cada unidad del producto 1 da una ganancia de $ 1 y cada unidad del producto 2, hasta 60 unidades, da una ganancia de $ 2. Cualquier exceso de 60 unidades del producto 2 no genera ganancia, por lo que fabricar más de esa cantidad esta fuera de consideración. III.- CONSIDERE EL SIGUIENTE PROBLEMA LINEAL Y ESCRIBALO EN FORMA CANONICA MAX Z = 2 X1 - 3 X2 + 2 X3 - 4 X4 SUJETO A X1 + X2 + X3 = 1 X1 – 2 X2 -X4 = 7 X1 < 0 X2 > 0 X3 NO RESTRINGIDA X4 NO RESTRINGIDA
128
1er. EXAMEN INVESTIGACION DE OPERACIONES I
TIPO BTIPO BTIPO BTIPO B
NOMBRE: __________________________________________________________________ I.-RESUELVA LAS SIGUIENTES OPERACIONES 1.- 14m – 12n +13 + (12m-n) 2.- (3x –18y + 9a) a 3.- (1/2 a – 4 b) 5 a 4.- (12x – 16y) (13x – 8y) 5.- 2/3 (- 7/4 + 9/4 m) 6.- Realice la siguiente suma de matrices 15 16 13 10 14 51 14 21 11 + 10 15 15 10 20 30 10 1 18 7.- Obtenga la matriz identidad 1/9 5/16 3/8 1 0 0 10 16 -1 0 1 0 -1/2 1/2 7/4 0 0 1
129
II.FORMULE Y RESUELVA POR METODO GRAFICO Y POR SIMPLEX EL SIGUIENTE PROBLEMA LINEAL La compañía produce dos dispositivos para autos (productos A y B) que requieren partes de metal y componentes eléctricos. La administración desea determinar cuántas unidades de cada producto fabricar para maximizar la ganancia. Por cada unidad del producto A se requieren 2 unidades de partes de metal y 1 unidad de componentes eclécticos, para el producto B se utilizan 2 partes de metal y 2 unidades eléctricos. La compañía tiene 100 unidades de partes de metal y 200 de componentes eléctricos. Cada unidad del producto A da una utilidad de $ 2 y cada unidad del producto B, hasta 40 unidades, da una ganancia de $ 3. Cualquier exceso de 40 unidades del producto B no genera utilidad, por lo que fabricar más de esa cantidad esta fuera de consideración. III.- CONSIDERE EL SIGUIENTE PROBLEMA LINEAL Y ESCRIBALO EN FORMA CANONICA MAX Z = 2 X1 - 3 X2 + 2 X3 - 4 X4 SUJETO A X1 + X2 + X3 = 1 X1 – 2 X2 -X4 = 7 X1 < 0 X2 > 0 X3 NO RESTRINGIDA X4 NO RESTRINGIDA
ANEXO IV
130
ANEXO IV 2do. EXAMEN
INVESTIGACION DE OPERACIONES I
TIPO 1 NOMBRE: ______________________________________________________________________________ RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS I.- FORMULE Y RESUELVA EL SIGUIENTE PROBLEMA LINEAL RESUELVA POR METODO GRAFICO La compañía de seguros PRIMO está en proceso de introducir dos nuevas líneas de productos: seguros de riesgo especial e hipotecas. La ganancia esperada es de $5 por el seguro de riesgo especial y de $2 por unidad de hipoteca. La administración desea establecer las cuotas de venta de las nuevas líneas para maximizar la ganancia total esperada. Los requerimientos de trabajo son los siguientes:
HORAS - HOMBREDEPARTAMENTO RIESGO ESPECIAL HIPOTECA DISPONIBLE
SUSCRIPCIONES 3 2 2400ADMINISTRACION 0 1 800RECLAMACIONES 2 0 1200
HORAS - HOMBRE POR UNIDAD
II.- EL PROBLEMA 1 RESUELVA POR METODO SIMPLEX Y COMPARE LOS RESULTADOS (METODO GRAFICO Y METODO SIMPLEX) III.- RESUELVA POR EL METODO DE PENALIZACION (TECNICA M) Y METODO DE DOS FASES (DOBLE FASE) Y COMPARE LOS RESULTADOS MAX Z = 2 X1 + 3 X2 SUJETO A X1 + 2 X2 < 4 X1 + X2 = 3 X1, X2 > 0
131
2do. EXAMEN
INVESTIGACION DE OPERACIONES I
TIPO 2 NOMBRE: ______________________________________________________________________________ RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS I.- FORMULE Y RESUELVA EL SIGUIENTE PROBLEMA LINEAL RESUELVA POR METODO GRAFICO La compañía está en proceso de introducir dos nuevas líneas de productos: A y B. La utilidad esperada es de $10 por el producto A y de $20 por unidad del B. La compañía desea establecer las cuotas de venta de las nuevas líneas para maximizar la ganancia total esperada. Los requerimientos de trabajo son los siguientes:
HORAS - HOMBREDEPARTAMENTO A B DISPONIBLE
1 2 3 48002 1 0 16003 2 2 2400
HORAS - HOMBRE POR UNIDAD
II.- EL PROBLEMA 1 RESUELVA POR METODO SIMPLEX Y COMPARE LOS RESULTADOS (METODO GRAFICO Y METODO SIMPLEX) III.- RESUELVA POR EL METODO DE PENALIZACION (TECNICA M) Y METODO DE DOS FASES (DOBLE FASE) Y COMPARE LOS RESULTADOS MAX Z = 4 X1 + 6 X2 SUJETO A 2 X1 + 4 X2 < 4 2 X1 + 2 X2 < 6 2 X1 + 2 X2 > 6 X1, X2 > 0
ANEXO V
132
ANEXO V 3er EXAMEN
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
TIPO A
NOMBRE: ______________________________________________________________
1.- MIN Z = 2 X 1 + 3 X 2 S. A 2 X 1 + 2 X 2 < 30 A) RESUELVA EL PRIMAL POR DUAL SIMPLEX X 1 + 2 X 2 > 10 B) CAMBIA C 2 DEL PRIMAL A $ 7.00
X1,x2 > 0 5
C) CAMBIA EL PRIMARIO a 1 5
D) X3 < 20 10 E) CAMBIA EL VECTOR RECURSOS
5 F) CONSIDERE UNA NUEVA ACTIVIDAD X6 CON UN 2 COSTO DE 1 Y COEFICIENTES TECNOLOGICOS 4
133
3er EXAMEN INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
TIPO B
NOMBRE: ______________________________________________________________
1.- MIN Z = 4 X 1 + 6 X 2 S. A 4 X 1 + 4 X 2 < 60 A) RESUELVA EL PRIMAL POR DUAL SIMPLEX 2 X 1 + 4 X 2 > 20 B) CAMBIA C 2 DEL PRIMAL A $ 7.00
X1,x2 > 0 5
C) CAMBIA EL PRIMARIO a 1 5
D) X3 < 20 10 E) CAMBIA EL VECTOR RECURSOS
5 F) CONSIDERE UNA NUEVA ACTIVIDAD X6 CON UN 2 COSTO DE 1 Y COEFICIENTES TECNOLOGICOS 4
ANEXO VI
134
ANEXO VI EXAMEN GLOBAL INVESTIGACION DE OPERACIONES I
EXAMEN 1
NOMBRE: _______________________________________________________ GRUPO: ______ RESUELVA EL SIGUIENTE PROBLEMA 1.- GIAPETTO´S, manufactura dos tipos de juguetes de madera: soldados y trenes. Un soldado se vende en 27 dólares y requiere 10 dólares de materia prima. Cada soldado que se fabrica incrementa la mano de obra variable y los costos globales de Giapetto en 14 dólares. Un tren se vende en 21 dólares y utiliza 9 dólares de su valor en materia prima. Todos los trenes fabricados aumentan la mano de obra variable y los costos globales de Giapetto en 10 dólares. La fabricación de soldados y trenes de madera requiere dos tipos de mano de obra especializada: carpintería y acabados. Un soldado necesita dos horas de trabajo de acabado y una hora de carpintería. Un tren requiere una hora de acabado y una hora de carpintería. Todas las semanas, Giapetto consigue todo el material necesario, pero solo 100 horas de trabajo de acabado y 80 de carpintería. La demanda de trenes es por lo menos de 20, pero se venden cuando mucho 40 soldados por semana. Giapetto desea maximizar las utilidades semanales (ingresos - costos). Diseñe un modelo matemático para la situación de Giapetto que se use para maximizar las utilidades semanales de la empresa. Determine: a) FORMULE EL PROBLEMA LINEAL I.- RESUELVA EL PROBLEMA LINEAL ANTERIOR POR EL METODO GRAFICO II.- RESUELVA EL PROBLEMA 1 POR ALGUNO DE LOS METODOS UTILIZADOS EN INVESTIGACION DE OPERACIONES 1 (SIMPLEX, DOS FASES, TECNICA M O DUAL SIMPLEX III.- APARTIR DE LOS RESULTADOS DEL APARTADO ANTERIOR CONSIDERE LOS SIGUIENTES CAMBIOS A) Considere que los recursos se modifican a 120 hrs de acabado, 60 hrs de carpintería, la demanda de soldados es cuando mucho de 30 y la demanda de trenes es cuando menos de 10. B) Considere que se desea hacer un nuevo juguete carros de madera, este nuevo producto se vende en 23 dólares y utiliza 10 dólares de su valor en materia prima y en mano de obra 11 dólares, además se utilizan dos horas en acabado y dos horas en carpintería. ¿Conviene producir este carro? y ¿Por qué? c) Considere que la cantidad de trenes que hay que producir es de 20, como se modifica el resultado de GIAPETTO´S
135
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