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8/17/2019 Texto Mecanica de Los Fluidos y Maquinas de Flujo
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MECÁNICA DE LOS FLUIDOS Y MÁQUINAS DE FLUJO.
TEXTO BÁSICO PARA LA MAESTRÍA EN EFICIENCIA ENERGÉTICA.
ELABORADO POR
Dr.C. Ing. Leonel Martínez Díaz.
Profesor Auxil iar.
Dpto. de Ingeniería Mecánica.
Universidad de Cienfuegos
Dr.C. José JáureguiProfesor Titular.
Universidad Central de las Villas
2007.
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ÍNDICE DE MATERIAS
Tema 1: Los flu idos y la Hidrostática-----------------------------------------------------
1.1. Introducción.----------------------------------------------------------------------------------
1.2. Propiedades Fundamentales de los Fluidos.--------------------------------------
1.3. Variación de la presión en un flu ido estático.-------------------------------------
1.3.1. Propiedades de la presión hidrostática.
1.3.2. Ecuaciones diferenciales de equilibrio del líquido (Ecuaciones de
Euler).---------------------------------------------------------------------------------------------
1.3.3. Equil ibr io del fluido bajo la acción de la fuerza de gravedad.------------
1.3.4. Unidades y Escalas para medición de la presión.-----------------------------
1.4. Aplicaciones.----------------------------------------------------------------------------------Tema II: Fluidodinámica.-----------------------------------------------------------------------
2.1- Las ecuaciones de continuidad. -----------------------------------------------------
2.2 Ecuación de Bernoulli . Cavitación.---------------------------------------------------
2.3. La ecuación de cantidad de movimiento.-----------------------------------------
2.3.1 Aplicación del teorema de la cantidad de movimiento----------------------
Tema III. Flujo de un fluido real.-----------------------------------------------------------
3.1. Introducción..------------------------------------------------------------------------------
3.2 Regímenes de corr iente.---------------------------------------------------------------
3.3. Perdidas de carga por fricción--------------------------------------------------------
3.4. Perdidas menores ó Resistencia hidráulica local.-----------------------------
3.5. Cálculo hidráulico de tuberías.------------------------------------------------------
3.5.1 Cálculo hidráulico en tuberías s imples.-----------------------------------------
3.5.2 Tipos de problemas que se pueden presentar en el cálculo de una
tubería simple. Solución analítica. Solución gráfica.---------------------------------
3.5.3. Cálculo de Sistemas de Tuberías en Serie-------------------------------------
3.5.4 Cálculo de sistemas de tuberías en paralelo.----------------------------------
3.5.5. Cálculo de sistemas de tuberías ramificadas.--------------------------------
Tema IV : Teoría General de las Máquinas de Flujo.----------------------------------
4.1. Máquinas centrífugas. Teoría general de funcionamiento.--------------------
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4.2. Transformaciones energéticas en las máquinas centrífugas.
Ecuación de Euler.---------------------------------------------------------------------
4.3. Influencia del ánguloβB2B en la carga de impulsión. --------------------------
4.4. Parámetros de trabajo. Potencia y rendimientos. ---------------------------
4.5. Teoría de semejanza.------------------------------------------------------------------
4.6. Curvas características de funcionamiento de las bombas centrífugas.---
4.7. Oportunidades de ahorro de energía en las máquinas de flu jo.--------------
Tema V. Selección de las Máquinas de Flujo..----------------------------------------
5.1. Criterios Técnicos para la Selección de las Bombas.-------------------------
5.1.1 Diseño del sistema.------------------------------------------------------------
5.1.2. Satisfacción de las demandas de carga y flu jo.---------------------
5.1.3. Naturaleza del fluido a bombear.-----------------------------------------
5.1.4. Selección del material.-------------------------------------------------------
5.1.5 Condiciones del lado de succión.------------------------------------------------
5.1.6. La cavitación en las Bombas Rotodinámicas.------------------------------
5.1.7. Prevención de La cavitación en Bombas Rotator ias de Engranes--------
5.1.8. Efectos de la cavitación-----------------------------------------------------
5.1.9. Predicción de la cavitación------------------------------------------------
5.1.10. Mejoramiento de la succión--------------------------------------------
5.1.11. Presión neta disponible en la entrada (NIPA) -----------------------
5.1.12. Condic iones que afectan la Succión de las Bombas Rotodinámicas.---
5.2. Evaluación económica de la selección de las máquinas de flujo.Oportunidades de ahorro de energía en el proceso de selección de lasmáquinas de flujo.---------------------------------------------------------------------------
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5.2.1. Ejemplos de Ahorro de Energía y Costos en Sistemas De Bombeo-----
5.2.2 Requisitos de capacidad variable-------------------------------------------------
5.2.3 Selección de la bomba adecuada-------------------------------------------------
5.2.4 Guía para Selección del tipo eficiente de bomba-----------------------------
5.2.5. Evaluación de límites del rendimiento de succión.-------------------------
5.2.6. Funcionamiento sin máxima eficiencia.-----------------------------------------
5.3. Bombas especiales.------------------------------------------------------------------
5.4. Estimación de costos de bombas centrífugas y motores eléctricos-----
5.5. Costo del acoplamiento para la unidad motriz----------------------------------
5.6 Reducción de los Costos de Bombeo con unidades motrices de velocidad
variable.------------------------------------------------------------------
5.7. Factores hidráulicos del sistema de bombeo.--------------------------
5.8. Ahorros de energía con el ajuste de la velocidad de la bomba-------------
5.9. Valoración técnico económica de la selección.------------------------------5.10. Selecc ión de Ventiladores-------------------------------------------------
5.10.1. Efectos sobre la selección----------------------------------------------
5.10.2 Lineamientos para la selecc ión.---------------------------------------
5.10.3. Aplicaciones-------------------------------------------------------
Tema VI. Explotación de las Máquinas de Flu jo.------------------------------
6.1. Criterios técnicos de regulación de la capacidad de las máquinas deflujo. ---- -----------------------------------------------------------------------------------
6.2. Acoplamientos de bombas. ------------------------------------------------------
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6.2.1. Bombas en paralelo.-----------------------------------------------------------------
6.2.2. Bombas en ser ie.---------------------------------------------------------------------
6.2.3. Bomba de reserva.---------------------------------------------------------------
6.2.4. Bombas con motores de dos velocidades.------------------------------------
6.3. Desgaste por cavi tación en Bombas.--------------------------------------------
6.4. Diagnóst ico de problemas de las bombas centrífugas.---------------------
6.4.1. Golpe en una pieza de la Bomba----------------------------------------------
6.4.2. Bolsas de gas---------------------------------------------------------
6.4.3. Bolsas de gas en el tubo de succión------------------------------------
6.4.4. Bolsas de gas en la carcasa--------------------------------------------
6.4.5. Bolsas de gas en los tubos de descarga-------------------------------
6.4.6. Entradas de aire en Bombas que manejan agua--------------------
6.5. Efecto de la viscosidad.-------------------------------------------------------
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Capítulo I: Los fluidos y la Hidrostática.
1.1. Introducción.
La mecánica de los fluidos es una ciencia que tuvo sus orígenes alrededor del siglo
quinto antes de cristo. Hasta inicios de pasado siglo XX el estudio de la hidráulica
se desarrollaba en dos grupos:
Un primer grupo estaba formado fundamentalmente por ingenieros hidráulicos que
trabajaban empíricamente.
Un segundo grupo que se encontraba formado por matemáticos que efectuaban el
tratamiento analítico.
Con el desarrollo de la ciencia y la experimentación se vio que era necesario llevara cabo el estudio de la mecánica de los fluidos de forma unida por ambos grupos
de forma que hoy día esta ciencia ha alcanzado una gran desarrollo debido a la
aplicación de las matemáticas y la gran información obtenida por la vía
experimental.
En cualquier instalación industrial, maquinas de flujo, dispositivo, maquinas
rodantes etc., existe un fluido en movimiento o en reposo, esto hace que sea
necesario el estudio de la mecánica de los fluidos y la aplicación de sus leyes en su
diseño, construcción y explotación. Por otra parte esta ciencia aporta al estudio de
otras ciencias tales como la termodinámica y la transferencia de calor etc. De lo
anterior se desprende la gran importancia del estudio de la mecánica de los fluidos.
Es importante a la hora de analizar cualquier calculo o investigación experimental
en el campo de la mecánica de los fluidos tomar correctamente las dimensiones y
unidades en que se expresa cualquier magnitud. Podemos decir que la unidad
define la variable, si se conocen las dimensiones en que se expresa cada variable,
sabremos las unidades en que se darán cada una de ellas en cualquier sistema de
unidades.
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A continuación ofrecemos las dimensiones y unidades en el Sistema Internacional
para las magnitudes más importantes teniendo en cuenta los dos sistemas de
dimensiones fundamentales:
Sistema Masa, Longitud y Tiempo; MLT.
Sistema Fuerza, Longitud y Tiempo; FLT
Representación DimensionalMagnitud
Sistema MLT Sistema FLT
Unidades
(SI)
Masa M F*T²/L Kilogramo (Kg.)
Longitud L L Metro (m)
Tiempo t t Segundo (s)
Temperatura
Grado absoluto.
Grado ordinario.
T T
Kelvin (k)
Grado Celsius (°C)
Fuerza M*L/t² F Newton (N)
Energía M*L²/t² F*L Joule (J = Nm)
Potencia M*L²/t³ F*L/t Watt (W = J/s)
Presión M/L*t² F/L² Pascal (Pa = N/m²)
1.2. Propiedades Fundamentales de los Fluidos.
UDensidad.U (ρ). Se define como la masa (M) comprendida en la unidad de volumen
(Vo). O sea:
Vo
M = ρ
Dimensionalmente seria:
3 L
M = ρ
Según el sistema internacional:
43
²*
m
s N
m
kg == ρ
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Según el sistema Métrico:
43
²*
m
skgf
m
UTM == ρ
Densidad de una mezcla de líquidos:
La densidad de una mezcla de líquidos en la cual no se producen cambios físico-
químicos esenciales puede calcularse con aproximación admitiendo que el volumen
de la mezcla es igual a la suma de los volúmenes parciales de los componentes.
nmez
Xn X X
ρ ρ ρ ρ +++= ....
1
2
2
1
1 (1-1)
Donde: XB1, BXB2,..... BSon las partes másicas de los componentes de la mezclaB.
ρBmezB, ρB1,B ρB2, B......... Son las densidades de la misma mezcla y de sus
componentes.
Por una fórmula análoga:
1
11
ρ ρ ρ
X X
sol x
−+= (1-2)
Donde:
ρB
sB
- Densidad de la solución (Suspensión).X - Parte de masa de la fase líquida.
ρB1 B- Densidad de la fase líquida.
ρBsol B- Densidad de la fase sólida.
En el intervalo de temperaturas comprendido entre 0 °C y 100 °C a densidad del
agua, con una precisión suficiente para los cálculos técnicos puede considerarse
igual 1000 kg/m³.
La densidad de una mezcla de gases es:
ρBmez B= yB1BρB1B+ yB2BρB2 B+........ + yBnBρBn B (1-3)
Donde:
yB1B, yB2, B.... Son las partes en volumen de los componentes de la mezcla gaseosa.
ρB1B, ρB2, B.... Son las densidades correspondientes de los componentes.
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La densidad disminuye al aumentar la temperatura, lo cual se puede demostrar a
través de la ecuación:
dt t d
* β ρ
ρ −= (1-4)
Donde:
βt – Coeficiente de dilatación volumétrica por temperatura.
De aquí se puede observar que sí:
dt > 0 (aumento de temperatura) entonces dρ < 0 (disminución de densidad).
dt < 0 (disminución de temperatura) entonces dρ > 0 (aumento de densidad).
Los cambios anteriores son más apreciables en los gases que en los líquidos. Por
ejemplo un cambio de temperatura desde 0 °C hasta 50 °C en el agua hace que su
densidad disminuya en un 1,18 % y con el mismo cambio de temperatura en el aire
la densidad disminuye en un 15,46 %. Esto demuestra una de las diferencias que
existen entre los líquidos y los gases.
Por otra parte al aumentar la presión hay una pequeño aumento de la densidad, lo
cual puede verse en la ecuación:
E
dpdp p
d == * β
ρ
ρ
Donde:βp – Coeficiente de compresión volumétrica.
E – Modulo de elasticidad volumétrica.
O a través de la ecuación:
p p
o
∆−=
*1 β
ρ ρ (1-5)
Donde:
ρ y ρBo Bson la densidad a las presiones p y pBo.
En el caso de líquidos para hidrosistemas al aumentar la presión hasta 40 Mpa
la densidad aumenta solamente en un 3 %. Po eso en la mayoría de los casos se
puede considerar que los líquidos son incompresibles, pero a altas presiones y
cuando tienen lugar oscilaciones elásticas hay que tener en cuenta la
compresibilidad.
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En el caso de los gases, los cambios de densidad si son apreciables con los
cambios de presión. De esto se infiere que los gases son fluidos compresibles y la
densidad a cualquier valor de presión puede determinarse de la ecuación de los
gases ideales:
RT
p= ρ ( 1-6 )
Donde:
p – Presión absoluta.
R – Constante particular de los gases.
T – Temperatura absoluta.
U
Volumen específico. (v)U
Es el inverso de la densidad, por tanto:
M
Vov =
Las dimensiones en que se expresa así como sus unidades serán las inversas de
la densidad (ρ).
En la mayoría de los textos y manuales de mecánica de los fluidos e hidráulica y
otros se ofrecen tablas donde aparecen los valores de la densidad en función de la
temperatura a un valor de presión dado. En la tabla 1 se ofrece esta información.
UPeso específico (γ).U Es el peso (G) de la unidad de volumen (Vo) de una
sustancia o sea:
Vo
G=γ
U
Dimensionalmente:U
U
Según el SIU
U
Según el sistema métricoU
.
3 L
F 3m
N 3m
kgf
El peso específico al igual que la densidad es dependiente del número de
moléculas por unidad de volumen, por tanto al aumentar la temperatura aumenta la
actividad de las moléculas y la separación entre estas por lo que habrá menos
moléculas en un volumen dado disminuyendo el peso específico. Al aumentar la
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presión ocurre lo contrario y debe esperarse un aumento del mismo. En el caso de
los líquidos no es significativo el cambio pero para los gases si es apreciable. La
justificación de tales cambios es similar a los cambios que experimenta la densidad
pues esta y el peso específico están relacionados por la siguiente expresión.
γ=ρ*g (1-7)
Donde:
g – Aceleración de la gravedad.
De la ecuación anterior se desprende que el peso específico cambia con el lugar,
debido a la dependencia de la aceleración de la gravedad y esta depende de la
altura del lugar respecto al nivel del mar.
Para el agua a 4 °C tenemos que el peso específico es igual a 10³ kgf/m³ o lo que
es igual a 9 810 N/m³.Los valores del peso específico a distintas temperaturas se ofrecen en tablas en
diversos textos de mecánica de los fluidos así como en manuales. En la tabla 1 se
da información al respecto.
U
Densidad relativa, Peso específico relativo o gravedad especif ica (δ
).
Se define como la relación entre la densidad de una sustancia y la densidad
del agua a 40 °C. Como la densidad y el peso específico están relacionados por laecuación (1-7) también la densidad relativa se conoce como peso especifico
relativo. De lo anterior se deduce que:
Patm
C agua
liq
Patm
C agua
liq
°=
°=
4040 γ
γ
ρ
ρ δ (1-8)
Donde:
ρliq, γliq. – Densidad y peso específico a la temperatura dada respectivamente.
ρagua 40°C, γagua 40°C – Densidad y peso específico del agua a 40°C
respectivamente.
Como se observa la densidad relativa depende de la temperatura por lo que en
cálculos precisos de la densidad debe especificarse la temperatura para
seleccionar dicho valor. Valores precisos de la densidad relativa se pueden
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encontrar en tablas físicas internacionales; no obstante en soluciones de problemas
, aun cuando las temperaturas no sean exactamente las mismas pueden usarse los
valores de la tabla 1( Texto en preparación).
La relación (1-8) es solo para líquidos. Para el caso de los gases la densidad que
se toma como referencia es la del aire libre de CO2 e hidrógeno a 0°C y a una
presión de 1atm.
Presión de Vapor (pv)
Todos los líquidos tienen una tendencia a vaporizarse, o sea, a pasar de la fase
líquida a la fase gaseosa (vapor). Cuando tiene lugar la vaporización dentro de una
espacio cerrado, a la presión parcial que ejercen las moléculas gaseosas (del
vapor) en estas condiciones se le conoce como presión de vapor.
La presión de vapor varía con la temperatura del líquido. Si la temperaturaaumenta, también lo hace la presión del vapor debido a la mayor vaporización por
el aumento de la actividad molecular.
Cuando la presión encima de un líquido es igual o menor a la presión de vapor del
líquido ocurre la ebullición. La ebullición del agua, por ejemplo, puede ocurrir a la
temperatura ambiente si reduce la presión suficientemente. A 20°C el agua tiene
una presión de vapor de 2,347 kPa y el mercurio tiene una presión de vapor de
0,173 Pa, esto hace precisamente, además de alta densidad que el mercurio sea
muy adecuado para usos en dispositivos e instrumentos para medir presión, pues
es considerado un líquido poco volátil.
Uno de los índices que caracteriza la evaporación del líquido es la temperatura de
su ebullición, a la presión atmosférica normal, cuanto más alta es la temperatura
de ebullición, tanto menor es la evaporación del líquido. ..
Compresibilidad, Elasticidad.
Todos los fluidos se pueden comprimir por la aplicación de presión, y en este
proceso se acumula energía elástica; suprimiendo conversiones de energía
perfectas, los volúmenes del fluido comprimido de esa manera se expanden
volviendo a sus volúmenes originales, al cesar la aplicación de la presión. Lo
anterior hace que los fluidos constituyan un medio elástico y en ingeniería se
acostumbra a resumir esta propiedad por un modulo de elasticidad (K o E).
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En la mayor parte de los casos, un liquido se puede considerar incompresible; pero
para situaciones que comprenden cambios grandes en la presión, su
compresibilidad es importante también cuando existen cambios de temperatura, por
ejemplo, en la convección libre.
Para el caso de líquidos, el modulo elástico a la compresión (E) se define como:
V
dv
dp E −= (1-9)
Donde:
dp – Cambio de presión, N/m²
dv – Cambio de volumen.
V – Volumen inicial.Es evidente que el modulo de elasticidad se expresa en unidades de presión.
Para obtener una idea sobre la incompresibilidad de los líquidos, consideremos un
volumen de agua de 1m³ a 20°C al cual se le aplicará una presión de 0,1 Mpa ≈ 1
atm:
E
Vdpdv =−
en este caso:V = 1m³
dp = 0,1 *10P
6PN/m².
E = 2,2*10P
9PN/m² (Tabla 1) (2 ).
Sustituyendo:
²/10*2,2
²/10*1,0*19
63
m N
m N mdv =−
3
3
10*2,21,0*1m
dv =−
22000
1 3mdv =−
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3510*5,4 mdv −=−
345cmdv =−
O sea el volumen disminuye en la magnitud de 1/22000 m P3 Po lo que es lo mismo
45cmP
3P.
P
P Al comprimir un líquido, su resistencia aumenta a una mayor compresión.
La ecuación (1-9) también puede ser puesta de la siguiente forma teniendo en
cuenta la densidad del líquido.
ρ ρ
ρ ρ
d
dp
d
dpk ==
)1
(
o
²ad
dpk ==
ρ ρ (1-10)
Donde “a” es la velocidad de propagación de las ondas longitudinales en un medio
elástico, igual a la velocidad del sonido.
La compresibilidad también se caracteriza por el coeficiente de compresión
volumétrica βp, que no es más que el inverso del modulo de elasticidad
volumétrico, o sea:
dp
dv
V *
1−= β
(m²/N) (1-11)
En el caso de los gases la compresión tiene lugar de acuerdo con diversas leyes de
la termodinámica:
Proceso Isotérmico (t = constante)
= ρ p constante o =
γ p constante
En este caso k = p (N/m²)
Proceso Isentrópico
k k v pv p 221*1 =
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Valores de la tensión superficial para algunos líquidos se dan en la tabla 1.3
del Apéndice.
U
Capilaridad.
La elevación o descenso de un líquido en un tubo capilar (h) (o en
situaciones Físicas análogas, tales como en medios porosos (Figura 1.1) vienen
producidos por la tensión superficial, dependiendo de las magnitudes relativas de la
cohesión del líquido y de la adhesión del mismo a las paredes del tubo.
Si la adhesión > Cohesión el líquido asciende en el tubo.
Si la adhesión < Cohesión el líquido desciende en el tubo.
La capilaridad tiene importancia en tubos de diámetros aproximadamente
menores de 10 milímetros.Para una gota esférica de radio r, la presión interna p necesaria para
balancear la fuerza de tensión debido a la tensión superficial (σ) se calcula como:
r p
σ 2=
(1-12)
Para el chorro de líquido cilíndrico de radio r, es aplicable la ecuación:
r p σ = (1-13)
La elevación o depresión capilar (h) para el agua destilada, agua de grifo a
68 °F y mercurio en dependencia del diámetro se da en la figura 1.6 (Street) Pág.
19.
Esta altura (ver figura 1.2.1) también se puede calcular por:
d
k
h = ;(mm) (1-14)
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Mercurio Agua.
Para agua k = +30
Para alcohol k = +12
Para mercurio k = -14Con el fenómeno de capilaridad se tropieza al utilizar los tubos de cristal en
los aparatos para medir la presión, así como en algunos casos de efluencia del
líquido. Las fuerzas de tensión superficial adquieren gran papel en un líquido que
se encuentra en las condiciones de imponderabilidad, por ejemplo durante la
circulación del aceite por los conductos de un avión en picada donde la fuerza de
inercia supera la fuerza de gravedad.
U
Viscosidad.
De todas las propiedades de los fluidos, la viscosidad requiere la mayor
consideración en el estudio del flujo de fluidos. La viscosidad es aquella propiedad
de un fluido por virtud de la cual ofrece resistencia al corte durante el movimiento.
La viscosidad puede ser absoluta (dinámica) (µ) y cinemática (ν).
U
Viscosidad dinámica (µ):U Se caracteriza por las fuerzas internas de fricción
que surgen durante el desplazamiento de dos capas contiguas del fluido y que
actúan por metro cuadrado de superficie para un gradiente de velocidad dv/dy=1,
donde dy es el espesor de la capa y dv el diferencial de velocidad.La ley de viscosidad de Newton afirma que dada una rapidez de deformación
angular en el fluido, el esfuerzo cortante es directamente proporcional a la
viscosidad. (Ver figura 1.2)
Figura 1.1. Efecto de la capilaridad
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Matemáticamente el principio de viscosidad de Newton se expresa:
dy
dvx yx µ τ = (1-15)
A partir de esta expresión se pueden determinar las dimensiones de la
viscosidad.
[ ] [ ]
²
*² L
t F
L
t
L L
F
dy
dv ===
τ µ
Según el SI: sm
kg
s Pam
s N
**²
*
===µ
Según el sistema métrico: ²
*
m
skgf =µ
Según el sistema Ingles: s ft
Slug
ft
slbf
*²
*==µ
Según el sistema CGS: Poisecm
sdina==
²
*µ
1Pa*s = 10 Poise
Figura 1.2. Gradiente de velocidad debido a la viscosidad
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Donde:
vx – Componente X de la velocidad del fluido.
τByx – BEsfuerzo cortante que se ejerce en la dirección X sobre la superficie de un
fluido, situada a una distancia constante Y, por el fluido existente en la región
donde Y es menor.
También se conoce como densidad de flujo de cantidad de movimiento.
dy
dvx - Gradiente transversal de velocidad.
IMPLICACIONES Y RESTRICCIONES DEL PRINCIPIO DE VISCOSIDAD DE
NEWTON.Tanto τ como µ son independientes de la presión. En general, la viscosidad
aumenta en forma muy ligera al aumentar la presión, pero el cambio es
despreciable para la mayor parte de los problemas de ingeniería. Solo adquiere
importancia cuando los cambios de presión son relativamente grandes.
Cualquier esfuerzo de corte τ, por pequeño que sea, causara un flujo, porque las
fuerzas tangenciales aplicadas deben producir un gradiente de velocidad.
Cuando 0=dydv
, τ = 0, sin importar la magnitud de µ , el esfuerzo cortante en
fluidos reposo es cero.
La ecuación se limita al movimiento laminar (en capas sin desplazamientos
transversales).
El perfil de velocidad no puede ser tangente a un limite sólido, porque eso
requeriría ahí un gradiente de velocidad infinito y un esfuerzo de corte infinito entre
el flujo y el sólido.
La viscosidad al variar la temperatura se comporta de forma diferente a engases y líquidos, lo cual se explica por la naturaleza que las origina en ambos
fluidos.
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U
En líquidos:U
Si aumenta la temperatura disminuye la viscosidad pues la causa de
la viscosidad aquí esta dada por la cohesión entre las moléculas y al aumentar la
temperatura disminuye dicha cohesión.
U
En gases:U
Si aumenta la temperatura aumenta la viscosidad ya que esta está
condicionada por el movimiento caótico de las moléculas que aumenta al aumentar
la temperatura.
Esta influencia puede verse para los líquidos por la siguiente formula.
)( ot t oe
−−= λ µ µ (1-16)Donde:
µ y µBo Bson la viscosidad a la temperatura t u t BoB.
λ es un coeficiente cuyo valor para los aceites cambia de 0,023 a 0,033.
U
Viscosidad cinemática (ν): UEs la relación entre la viscosidad dinámica y la densidad.
ρ ν =
(1-17)
Las dimensiones de la viscosidad dinámica son: L²/t
Según el sistema internacional: s
m²
Según el sistema Ingles: s
ft ²
Según el sistema CGS: Stoke s
cm=
²
Para determinar la viscosidad cinemática en función de la temperatura pueden
darse gráficos o formulas empíricas. Para el agua puede emplearse la siguiente
ecuación:
,²000221,00337,01
10*5,177 8t t ++
= −ν ( s
m²) (1-18)
Aunque es muy conveniente el uso amplio de dos viscosidades, µ y ν, puede
resultar tanto sorprendente como difícil el hecho de que términos de µ, el agua es
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más viscosa que el aire pero en términos de ν, el aire es más viscoso que el agua,
porque el aire es relativamente mucho menos denso que el agua.
Los fluidos que cumplen con la ley de viscosidad de Newton se denominan fluidos
U
Newtonianos.U
Todos los gases y la mayor parte de los líquidos sencillos, se
comportan de acuerdo a la ley anterior. Los fluidos que no obedecen a esta ley
sencilla (fundamentalmente pastas, suspensiones, polímetros de elevado peso
molecular, pinturas de aceite y la sangre se denominan fluidosU
No NewtonianosU
.
UFluidos no Newtonianos:
Acorde a la ley de viscosidad de Newton al representar gráficamente τByx B frente a
dy
dvx para un fluido determinado, debe obtenerse una línea recta que pasa por el
origen de coordenadas y cuya pendiente es la viscosidad del fluido a una cierta
temperatura y presión. La experiencia demuestra que para todos los gases y los
líquidos homogéneos no polimerizado τByx B es directamente proporcional ady
dvx. Sin
embargo, existen algunos materiales industrialmente importantes que no se
comportan de acuerdo con la ley de viscosidad de Newton. Se conocen a estas
sustancias con el nombre de fluidos No Newtonianos.
EL tema del flujo No Newtoniano constituye actualmente una parte de otra ciencia
más amplia que es la REOLOGÍA, es decir la ciencia del flujo y la deformación, que
estudia las propiedades mecánicas de los gases, líquidos, plásticos, sustancias
asfálticas y materiales cristalinos. Por lo tanto, el campo de la Reología se extiende
desde la mecánica de los fluidos Newtonianos por una parte, hasta elasticidad de
Hooke por otra. La región comprendida entre ellas corresponde a la deformación y
flujo de todos los tipos de materiales pastosos y suspensiones.
El comportamiento reológico, en estado estacionario, de la mayor parte de los
fluidos puede establecerse mediante una fórmula generalizada de la ecuación de
viscosidad de Newton.
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22
dy
dvx yx η τ = (1-19)
De esta ecuación se deduce:
Si η disminuye al aumentardy
dvx el comportamiento se denomina
PSEUDOPLASTICO:
Si η aumenta al aumentardy
dvxel comportamiento se denomina DILATANTE.
Si η resulta independiente del gradiente de velocidad el fluido se comporta como
Newtoniano y entonces η = µ.
Se han propuesto numerosas ecuaciones empíricas o modelos matemáticos paraexpresar la relación que existe en estado estacionario, entre
τByx B ydy
dvx. A continuación se presenta un resumen de cinco modelos
representativos. Todas las ecuaciones contienen parámetros empíricos positivos,
cuyo valor numérico puede determinarse correlacionando los datos experimentales
de τByx B frente ady
dvxa temperatura y presión constantes.
UModelo de BINGHAM.
oo yxdy
dvxτ µ τ ±= * si o yx τ τ > (1-20)
dy
dvx=0 o yx τ τ <
La ecuación anterior (1-20) se utiliza con signo (+) si τByx B es positivo, y con signo (–)
si τB
yxB
es negativo.Toda sustancia que se comporta de acuerdo con este modelo de dos parámetros
se denomina PLASTICO DE BINGHAM; permanece rígida mientras el esfuerzo
cortante es menor de un determinado valor τBo, Bpor encima del cual se comporta de
forma semejante a un fluido Newtoniano, este modelo resulta exacto para muchas
suspensiones finas y pastas.
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23
UModelo de OSTWALD-DE WALE:
dy
dvx
dy
dvxm
n
yx
1−
=τ (1-21)
La ecuación anterior también se conoce con el nombre de LEY DE LA POTENCIA.
Para n=1 se transforma en la LEY DE VISCOSIDAD de Newton, siendo m=µ; por
tanto, la desviación del valor n con respecto a la unidad es una medida del grado
de desviación del comportamiento Newtoniano.
Cuando n1 el comportamiento es Dilatante.
Los valores de m y n dependen del tipo de fluido y se dan en (1)
UModelo de ELLIS.
yx yxody
dvxτ τ φ φ
α
)(1
1
−+= (1-22)
Este modelo consta de tres parámetros positivos ajustables: ,oφ 1φ y α .
Si α >1 y valores bajos de τByx B el modelo tiende hacia la ley de Newton.
Si α
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25
Figura 1.3. Modelos de fluidos no Newtonianos.
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26
En estadoU
no estacionarioU
pueden existir otras formas de comportamiento no
newtoniano. Por ejemplo:
Fluidos Tizo trópicos: Presentan una disminución limitada de η con el tiempo, al
aplicar repentinamente un esfuerzo cortante τByx B(ver ecuación 1-19).
Fluidos Reopécticos: Presentan un aumento de η con el tiempo al aplicar un
esfuerzo de corte τByx.B
Fluidos Visco elásticos: Recobran parcialmente la forma original al cesar el
esfuerzo de corte.
1.3. Variación de la presión en un fluido estático.
Antes de iniciar el estudio para el cálculo de la presión en el seno de un fluido en
reposo es necesario recordar lo que se ofrece a continuación.
1.3.1. Propiedades de la presión hidrostáticaU
.
La presión hidrostática cumple con las siguientes propiedades
• La presión hidrostática en la superficie exterior del líquido está siempre
dirigida según la normal al interior del volumen del líquido que se analiza.
• La presión hidrostática en cualquier punto interior del líquido es igual en
todas las direcciones, es decir, la presión no depende del ángulo de
inclinación de la superficie sobre la que actúa.
Demostración de lo anterior se puede observar en el texto HIDRÁULICA de B.
NEKRASOV ( ).
1.3.2. Ecuaciones diferenciales de equil ibrio del líquido (Ecuaciones de Euler).Para obtener lo anterior partamos del siguiente esquema de análisis.
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27
Condiciones:
Tomar un volumen elemental de fluido de forma de paralelogramo de aristas dx, dy,
dz.
Fluido inmóvil.
La presión p es función de las coordenadas x, y, z pero junto al punto M es igual a
lo largo de todas las tres aristas del paralelogramo. P=f(x,y,z).
Fuerzas másicas que actúan: La gravedad y otras tales como la de inercia )reposo
relativo del líquido), centrífuga etc.
Χ .... Componente en x de la fuerza resultante de masa por unidad de
masa.
Υ .... Componente en y de la fuerza resultante de masa por unidad de
masa
Z ..... Componente en z de la fuerza resultante de masa por unidad de
masa.
U Objetivo:
Figura 1.4. Esquema de análisis para la obtenciónde las
Y
X
Z
dx
dy
dz
N p
dx x
p p
δ
δ +
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Encontrar ecuaciones de equilibrio del liquido referidas al punto M y con ello
encontrar la variación de presión en cualquier sentido.
Para llegar a lo anterior se plantea el equilibrio de fuerzas en los tres ejes
coordenados.
Eje X.
0=Χ+⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∂+− dxdydz dydz dxdx
p p pdydz ρ
Simplificando:
0=Χ+∂
− dxdydz dxdydz dx
p ρ
y por ultimo:
01 =Χ+∂−dx
p
ρ
Para los demás ejes se procede de igual forma y se obtiene en general lo siguiente:
⎪⎪⎪
⎭
⎪
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪
⎨
⎧
=Ζ+∂
−
=Υ+∂−
=Χ+∂
−
01
01
01
dz
p
dy p
dx
p
ρ
ρ
ρ
(1-25)
Las ecuaciones (1-25) representan, las ecuaciones diferenciales de equilibrio del
líquido (ecuaciones de Euler). Cada una de estas ecuaciones caracteriza la
variación de la presión durante el cambio de cada una de las coordenadas.Para el uso práctico de las ecuaciones anteriores (1-21) es conveniente obtener
una ecuación equivalente a estas, para tal objetivo se multiplica porU
ρdxU
la primera
ecuación, porUρ
dyU
la segunda ecuación y porUρ
dzU
la tercera y finalmente se suman
obteniéndose:
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29
( )dz dydx z
p
y
pdx
x
pΖ+Υ+Χ=
∂∂
+∂∂
+∂∂
ρ
Téngase en cuenta que el miembro izquierdo de la igualdad representa el
diferencial total de la presión (dp) por tanto queda:
dz dydxdp Ζ+Υ+Χ= ρ (1-26)La ecuación (1-26) representa la ecuación fundamental diferencial de la
hidrostática tanto para líquidos como para gases.
1.3.3. Equilibrio del fluido bajo la acción de la fuerza de gravedad.
En este caso tenemos que:
X=0, Y=0, y Z=-gSustituyendo en (1-26) se obtiene:
gdz dp ρ −= (1-27)La ecuación anterior relaciona el cambio de elevación (profundidad). Es valida tanto
para fluidos incompresibles como compresibles. A continuación analicemos cada
uno de estos casos.
UFluido Incompresible.
En este caso la densidad (ρ) es constante, por tanto al integrar (1-27) queda:
C gz p +−= ρ (1-28)Donde C es la constante de integración.
La ecuación anterior puede ponerse de la siguiente forma:
const Z g
p=+
ρ (1-29)
La ecuación (1-29) representa la ecuación fundamental de la hidrostática para
fluidos incompresibles. Puede adoptar otras formas.
Analicemos la siguiente figura 1.5.
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30
Figura 1.5. Variación de la presión en un líquido en reposo.
Planteando (1-29) para la situación anterior entre pBo By p:
g
p Z
g
p Z oo
ρ ρ +=+ (1-30)
ó
( )
h Z Z
pero
g Z Z p p
o
oo
=−
−+= ρ
y queda entonces:
gh p p o ρ += Que es la forma más tradicional de la ecuación fundamental de la hidrostática.
Retomando la ecuación (1-29)
const Z g
p=+
ρ
pB0
Zo
h
Z
p
M
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Aquí: Z – Altura de nivelación, [L]
g
p
ρ - Altura piezométrica, [L]
Z g
p
+ ρ - Altura Hidrostática. [L]
Es importante destacar que la altura piezométrica representa la altura de la
columna de líquido correspondiente a la presión p.
La ecuación (1-29) nos dice que la altura en reposo permanece constante para todo
su volumen.
UConclusiones de la ecuación fundamental de la hidrostática:
• La presión aumenta al aumentar la profundidad (h) para un líquido en
reposo.• A una misma profundidad (h) la presión permanece constante. La superficie
que está formada por puntos de igual presión se denomina Superficie de
Nivel. Todos los planos horizontales son superficies de nivel.
U
Análisis energético de los términos de la ecuación fundamental de la hidrostática.
Primeramente para ello hagamos un análisis dimensional del término g
p
ρ
F
FL
t
L
L
Ft L F
g
p=
²
²²:
4
ρ =
De esta forma la altura piezométrica representa la energía por unidad de peso que
tiene el fluido en virtud de su presión estática y como F
FL= [L], entonces los
términos de la ecuación fundamental de la hidrostática g
p
ρ y Z tendrán
dimensiones de longitud y su significado energético no es más que la unidad de
peso en virtud de su presión y de su altura de nivelación respectivamente.
U
Fluido Compresible.
U
Caso 1. Gas perfecto Isotérmico.
Unidad de Energía
Unidad de Peso
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33
Aplicar difererencial a (1-33) y despejar dz.
β
dt dz = (1-34)
Despejar ρ de la ecuación de los gases ideales.
RT
p= ρ
(1-35)
Sustituir (1-34) y (1-35) en (1-27): gdz dp ρ −=
β
dT
RT
pg dp −=
Integrando al considerar g = constante; entre los limites p, p Bo By T, TBoB.
T
T
R
g
p
p o
o
lnln β
= (1-36)
Finalmente sustituyendo (1-33) en (1-36) tenemos:
β
β
R
g
o
oo
z T
T p p ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛
+
=
Aquí TBoB debe expresarse en grados absolutos (K). Observar que también en este
caso al aumentar la altura z la presión p disminuye.
1.3.4. Unidades y Escalas para medición de la presión.
La presión puede expresarse con referencia a cualquier nivel arbitrario. Los niveles
usuales son cero absoluto y presión atmosférica local. Cuando se expresa como
una diferencia entre su valor y un vacío completo se denomina Presión absoluta y
cuando se expresa como una diferencia entre su valor y la presión atmosférica local
se llama presión manométrica. En la figura 1.6. se muestra lo antes expuesto.
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Figura 1.6. Escala de medición de la presión.
1.4. Aplicaciones.
U
Problema 1.
En un recipiente cilíndrico con líquido viscoso gira un vástago de diámetro (d) y una
longitud (l) coaxial con el recipiente ( figura 1.7 ). Para la rotación a la velocidad
angular (w) se consume una potencia (N). Suponiendo que en el espacio libre de
magnitud (δ) entre el vástago y la pared del recipiente la velocidad va distribuida
según la ley
Pabs= 0
PBmanB
PBabsB ( + )
PBvacíoB
PBatm.B
PBabs
B ( - )B
Figura 1.7. Principio del viscosímetrorotatorio
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lineal y despreciando el rozamiento en el extremo del vástago, determinar el
coeficiente de viscosidad del líquido (µ).
UI.- Datos.
- Velocidad angular. (w)
- Diámetro del vástago.(d)
- Diámetro del cilindro. (D)
- Potencia consumida. (N)
II – Calcular la viscosidad dinámica (µ)
III - Solución:
1.- Considerando que se cumple el principio de la viscosidad de Newton,
planteamos.
dy
dvµ τ =
(I)
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226
Figura 1.8. Esquema de análisis de un fluido
entre cilindros concéntricos
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2.- Si se cumple la ley de distribución lineal para la velocidad en el espacio anular
de espesor (δ) el perfil de velocidades es el que se muestra en la figura 1.8.
3.- Entonces:
Si Y = 0 v = 0
Si Y = δ v = v (Velocidad tangencial del vástago)
– Integrando:
∫∫ =
v
dvdy00
µ τ
δ
y tenemos:
vτδ = Despejando µ:
v
τδ µ =
– La tensión tangencial (τ ).
Se conoce que N = T*w donde T es el torque.
EL torque2
d F T t = , donde F BtB es la fuerza tangencial.
La fuerza tangencial A F t τ = y dl A π =
– Teniendo en cuenta lo antes expuesto, obtenemos finalmente:
l d
N 3²
4
πω
δ µ =
U
Problema 2:
2
d D −=δ ,
2
d v ω =
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228
En la figura 1.9 está representado el esquema de un aparato para la calibración de
manómetros. La presión del aceite en la cámara que se transmite a ambos
manómetros se crea atornillando el embolo buzo de diámetro d = 1cm. Determinar
cuantas revoluciones habrá que tener el embolo buzo para crear una presión de250 atm, si el paso de tornillo es t = 2 mm y el volumen de la cámara es igual a
300 cmP
3P. El coeficiente de compresión volumétrica del aceite es βBpB = 0,47 * 10 P
-4
Pcm²/kgf.
1. Datos:
d = 1 cm.
∆p = 250 atm.
t = 2 mm.
βBpB = 0,47 * 10 P-4
P cm²/kgf
VB0B = 300 cmP3
P
2. Calcular el número de revoluciones.
- La variación de volumen (∆V) relacionada con la variación de presión (∆p).
p pVoV ∆−=∆ β
donde:
Figura 1.9. Aparato para la calibración demanómetros
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p
V
V p
∆∆
−=0
1 β
- La variación de volumen relacionada con el número de revoluciones y el paso
(t).
4
²d t nV r π
=∆
- Igualando ambas expresiones y despejando el número tenemos:
²4
0
td
p pV
nr π
β ∆
=
-Sustituyendo cada variable por sus valores:
esrevolucionnr 4,22=
UProblema 3:
Se tiene un tanque el cual contiene Fuel Oil y se le añade Crudo cubano como se
observa en la figura 1.10. Se presenta la necesidad de limpiar el mismo, pero la
bomba según la instalación no puede succionar el Crudo cubano (C.C). ¿Cómosacar el C.C para limpiar el tanque?
)²1(*2,0*14,3
250*300*10*47,04
4−
=r n
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Figura 1.10. Fluidos inmiscibles.
I – Solución.
-La densidad del crudo cubano es superior a la de Fuel Oil.
ρBccB>ρBfoB
-A 30°C ρBccB>ρBagua.
Entonces si se añade agua al tanque a esta temperatura la misma ocupará la
parte superior.
-Pero a 70°C ρBaguaB>ρBcB
Como la variación de densidad con la temperatura es más sensible en C.C que en
el agua, la solución más acertada es:
Añadir agua a una temperatura de 70°C de forma que la misma pase al fondo del
tanque y que el C.C ascienda de manera que pueda ser succionado.
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231
Tema II: Fluidodinámica.
2.1- Las ecuaciones de continuidad.
Para llegar a las diferentes ecuaciones de continuidad partiremos de la
ecuación general que nos permite encontrar la razón de cambio de unapropiedad extensiva (N) cualquiera con el tiempo en un volumen de trabajo.
En la figura 2.1 se muestran un volumen de control fijo en el espacio y un
sistema. En el instante de tiempo t ambos coinciden y ocupan las regiones I y
II. En el instante t+∆t el sistema se ha desplazado hacia una nueva posición
ocupando el área II y III. El volumen de control se mantiene fijo en su posición
ARBL.
N puede ser: Masa (M), Energía (E), Cantidad de movimiento (MV).
La propiedad intensiva de N la denominamos por η y se determina por la relación:
M
N =η
Límite del Sistema entiempo Ut+∆tU
Superficie de control yLímite del sistema en eltiempo
U
tU
IIIII
IL
B
R
Figura 2.1. Volumen de control y sistema en diferentes instantes de
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La rapidez de cambio de N para el sistema se formula en términos del
volumen de control y se puede hallar mediante el siguiente procedimiento:
En la expresión anterior:
ρ- es la densidad de fluido,
dv- es el diferencial de volumen del volumen de control.
Dividiendo por ∆t y pasando al límite cuando ∆t 0 nos queda:
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
∆
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +
=∆
∆ ∫∫∫∫
∆+→∆
t
dvdvdvdv
t
N t II I t t III II t
ρ η ηρ ρ η ηρ
0lim
Teniendo en cuenta las propiedades de los límites:
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
∆
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
∆
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=∆∆
∫∫∫∫∆+
→∆∆+
→∆t
dvdv
t
dvdv
t
N t I t t III t
t II t t II
t
ηρ ηρ ηρ ηρ
00 limlim
Haciendo un análisis por separado:
• Para el primer límite: Cuando 0→∆t el volumen II tiende a ser el volumen
de control (VC) por tanto:
t II I t t III II
sist sist dvdv dvdv N N t t t ⎠ ⎞⎜⎜
⎝ ⎛ + −
⎠ ⎞⎜ ⎜
⎝ ⎛
+= − ∫∫∫∫∆+
∆ + ρ η ηρ ρ η ηρ
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233
∫∫∫
∂∂
=
⎪⎪⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧
∆
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆+→∆
VC
t II t t II
t dvt t
dvdv
ηρ
ηρ ηρ
0lim
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234
t
dv
t I
∆⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∫ηρ
• Para el segundo límite:
La integralt t III
dv∆+
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∫ ηρ → representa lacantidad de N que atraviesa parte de la superficie de control representada
por ARB, y por tanto en el límite cuando 0→∆t se transforma en el flujo
exacto de N por unidad de tiempo que sale del volumen de contro l.
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∆
⎟⎟ ⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∆+∫t
dvt t III
ηρ
La integralt I
dv⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ∫ηρ → representa la cantidad de N que pasaría hacia el
interior del V.C. en el intervalo de tiempo analizado a través de la porción de
superficie de control representada por ALB.
En el límite cuando 0→∆t la integral:
--es el flujo de N por unidad de tiempo que entra al VC.
Por lo que los dos últimos límites pueden resumirse en el siguiente término:
Flujo de N/unidad de tiempo quesale por ARB
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235
Flujo de N/unidad de tiempo =)∫
SC
Ad V ρ η
Que no es más que el Flujo de N/unidad de tiempo a través de la superficie de
control.
Teniendo en cuenta lo anterior se puede resumir que:
∫ ∫∂∂
+=∆
∆
SC VC dvt Ad V t
N
ηρ ηρ
Por tanto la velocidad de variación con el tiempo de N en un sistema en el
instante t se puede hallar mediante:
1. La velocidad de variación con el tiempo de N en el interior del volumen decontrol y
2. El flujo de N por unidad de tiempo a través de la superficie de control en el
instante t.
Hay que tener en cuenta que el primer término del miembro derecho de la
ecuación anterior hay un producto escalar por lo que en dependencia del ángulo
que formen el vector V y el vector dA así será el signo que adopte la integral de
línea.
A partir de la ecuación anterior se pueden obtener las ecuaciones que rigen los
principios básicos de la mecánica de los fluidos, tales como las leyes de
conservación de la masa y la energía.
Ecuación general de conservación de la masa.
Ecuación generalque interrelacionasistema y volumen
de control
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236
En este caso:
N = Masa (M); 1=== M
M
M
N η
Como la masa no varia en un sistema:
0=∆
∆=
∆∆
t
M
T
N
Teniendo en cuenta lo anterior queda:
El flujo puede estar entrando hacia el volumen de control (V.C.) ó saliendo del
mismo. En la figura 2.2 se muestra esta particularidad, siendo V el vector
velocidad en una sección determinada de salida o entrada de flujo, dA el vector
diferencial de área que representa un área determinada de entrada o salida del
volumen de control. Este vector dA siempre es perpendicular al área
correspondiente y saliendo siempre de la misma. θ es el ángulo que forman el
vector velocidad V y el vector diferencial de área dA. El producto VdA en la
integral de línea es un producto escalar. La doble integral cerrada de línea
significa que hay que integrar a través de la superficie de control y donde quiera
que haya una entrada de flujo ó salida del mismo hay que aplicar una doble
integral y sumarlas todas teniendo en cuenta que en dependencia del ángulo que
formen el vector V y el Vector dA ( 0P
0P ó 180
P
0P ) así será el signo que adopte cada
integral de superficie.
∫ ∫∂∂
−= SC VC
dvt
A d V ρ ρ Ecuación General de Conservación de la Masa
V Bent.B V BsalB
Entrada alVolumende control
θ = 180 Po
Salida delVolumen decontrol.
θ= 0Po
V.C.
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Ecuaciones de continuidad.
a. Flujo Permanente.
Para un flujo permanente el miembro derecho de la ecuación general de
conservación de la masa se anula pues no varían las propiedades del flujo en
relación al tiempo, aunque pueden variar con el espacio. Por tanto la ecuación se
convierte en la siguiente:
∫ = 0dAV ρ
Para un volumen de control (V.C) con una entrada y una salida como el que se
muestra en la figura 2.3 en toda la trayectoria de la superficie de control( S.C.)
hay una entrada y una salida de flujo por lo que solo habrán dos integrales de
superficie.
Integrando a través de la superficie de control
∫ ∫ =+1 2
0222111 A A
Ad V Ad V ρ ρ
V.C.
S.C.
V
B1
dA1
VB2
dAB2
Figura 2.3. Volumen de control con una entrada y una
salida de flu o
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238
Teniendo en cuenta que:
2 2 2 2
1 1 1 1
dA V d V
dA V d V
=
− =
Nos queda:
0222111 =+− AV AV ρ ρ ;
222111
*
AV AV m ρ ρ == ; s
UTM
s
kg ;
Donde m es el flujo másico expresado en unidades de masa porunidad de tiempo.
a) Flujo Permanente e incompresible:
Teniendo en cuenta que la densidad es constante
∫ = 0 Ad V
c) Flujo permanente, unidireccional, incompresible con una entrada y
una salida.
Ecuación de conservación de la masa en forma diferencial.
La ecuación de conservación de la masa también se puede obtener en forma
diferencial y para ello se puede partir del análisis de un volumen de control
infinitesimal de forma paralepipeda fijo respecto a los ejes x, y, z. (Figura 2.4)
sl
smCte AV AV ;;
3
2211 ==
V
Y
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239
En un flujo V(x, y, z) medido con relación a x, y, z para obtener la ecuación
de conservación de la masa en forma diferencial se calculan los flujos
netos en masa a través de cada una de las tres direcciones y se suman
los mismos.
U
Para la dirección X:
• Flujo másico de entrada ( B1B) por unidad de área.
B1B= xV ρ −
• Flujo másico de salida ( B2B) por unidad de área.
B2B = dxV x
V x x )( ρ ρ ∂∂
+
• El flujo neto a través de las caras cuyas aristas son dydz es:
yz = ( ) dydz dxV
xV V x x x ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂++− ρ ρ ρ
yz = ( )dxdydz V x
x ρ ∂∂
,2-1.
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240
Procediendo de igual forma para los demás pares de caras tenemos
que:
• xz = ( )dxdydz V y
x ρ ∂∂ , 2-2.
• xy = ( )dxdydz V z
x ρ ∂∂ , 2-3.
Sumando las ecuaciones 2-1, 2-2 y 2-3 se obtiene el flujo neto en
masa para todo el volumen de control ( ).
= ( ) ( ) ( ) dxdydz V z
V y
V x
z y x ⎥⎦⎤⎢
⎣⎡
∂∂+
∂∂+
∂∂ ρ ρ ρ , 2-4.
La variación de la masa en el interior del volumen de control por
unidad de tiempo (∆m) es:
( )∫ ∫ ∂∂
−=∂∂
−=∂∂
−=∆VC VC
VC t
dV t
dV t
m ρ ρ
ρ
dxdydz t
m∂∂
−=∆ ρ
, 2-5.
Igualando 2-4 y 2-5 se obtiene la ecuación general de conservación
de la masa en forma diferencial:
( ) ( ) ( )t
V z
V y
V x
z y x ∂∂
−=∂∂
+∂∂
+∂∂ ρ
ρ ρ ρ
2-6
Esta ecuación también puede ponerse de la siguiente forma:
2-7
ρ - Densidad del fluido.
V - Campo de velocidad.
Tener presente que divergencia en un campo vectorial (A) es:
( ) t V div ∂∂−= ρ ρ
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241
z
z A
y
y A
x
x AdivA
∂∂
+∂
∂+
∂∂
=
Si el flujo es permanente:
( ) ( ) ( ) 0=∂∂+∂∂+∂∂ z y x V z V yV x ρ ρ ρ
Si el flujo es bidimensional:
( ) ( ) 0=∂∂
+∂∂
y x V y
V x
ρ ρ
Si el flujo es unidimensional:
( ) 0=∂∂
xV x
ρ
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242
2.2. Ecuación de Bernoulli . Cavitación.
La ecuación de Bernoulli se puede obtener partir de las ecuaciones
diferenciales del movimiento de un líquido (ecuaciones de Euler) que seobtienen a continuación.
Consideraciones:
Fluido ideal compresible o incompresible:
Flujo no permanente.
Cualquier tipo de fuerzas másicas.
Similar al equilibrio del líquido se toma un elemento de líquido en
forma de paralepipedo (Figura 2.5)
Figura 2.5. Volumen elemental de fluido.
El análisis es similar para cada uno de los ejes por lo que solo se
realiza para el eje x. En este caso actúan las siguientes fuerzas:
a) Fuerza de presión hacia la derecha pdA.
b) Fuerza de presión hacia la izquierda dAdx x
p p ⎟
⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
∂∂
+
aquí
dx=dy=dz.
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243
c) Fuerza másica por unidad de masa (X) a lo largo del eje x. Su
resultante es ρdxdydzX.
Aplicando la segunda ley de Newton queda:
dt
dvxdxdydz dxdydz dydz
dx
pdx p pdydz ρ ρ =+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∂+−
Simplificando y dividiendo por ρdxdydz y haciendo un análisissimilar para los demás ejes coordenados queda:
donde:
X – Fuerza másica por unidad de masa en el eje X.
Y – Fuerza másica por unidad de masa en el eje Y.
Z – Fuerza másica por unidad de masa en el eje Z.
dt
dvx,
dt
dvy,
dt
dvz son las aceleraciones en los ejes x, y, z
respectivamente.
dt
dvz Z
z
p d
dt
dvyY
y
p d
dt
dvx X
x
p d
=+∂
−
=+∂
−
=+∂
−
ρ
ρ
ρ
1
1
1
Ecuaciones de Euler parael movimiento del líquidono viscoso.
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246
L a ecuación anterior se corresponde con la Ecuación de Bernoulli para flujo
permanente y fluido ideal (µ=0) , incompresible de densidad uniforme
Donde:
H – Energía mecánica total del líquido por unidad de peso.
γ
p- Energía mecánica por unidad de peso en virtud de la presión, [L]; m.
g
V
2
² -Energía mecánica por unidad de peso en virtud de la velocidad, [L];
m.
Z – Energía mecánica por unidad de peso en virtud de la altura, [L]; m.
Si la ecuación 2-9 se multiplica por γ nos queda:
cte Z V
p =++ 12² ρ
2
²V p
ρ + = Pt (Presión total del líquido)
p = Presión estática.
2
²V ρ = Pd (Presión dinámica)
Si Z=cte, tenemos que:
cteV
p =+2
² ρ
Por lo que se deduce que la presión total en un fluido ideal que no
cambia de altura es constante de sección en sección, o sea:
PtB1B= PtB2B=.......=Pt Bn
U
Representación grafica de la ecuación de Bernoulli .
Consideremos un tubo de sección variable con cambio de altura como el que se
muestra en la figura 2.6
g
V
2
²2
L.E
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247
B B B B
2
1B
En este caso H1 =H2 (La viscosidad µ=0, se considera que no hay
viscosidad.)
L.E. – Línea de energía Total.
L.G.H. – Línea de gradiente hidráulico o de alturas piezométricas.
Para el caso del líquido real:
∑ −+= 2121 h H H
∑ −21h - Perdidas de energía que experimenta el líquido al pasar de
la sección 1-1 a la sección 2-2 motivado por la fricción.
Gráficamente se puede ver en la figura 2.7 que se muestra va
continuación:
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∑ −++=+ 2121 h H H H H T B
Figura 2.7. Representación gráfica de la ecuación de Bernoulli.
En el grafico anterior las velocidades se han designado como las
velocidades medias en cada sección (vm ).
Para el caso de existir trabajo mecánico entre dos secciones comopor ejemplo el aportado por una bomba (B) el extraído por una turbina (T)
la ecuación de Bernoulli se convierte en la ecuación de la energía en la
siguiente forma:
H1- Carga total en la sección 1-1.
HB- Carga aportada por la Bomba.
H2- Carga total en la sección 2-2.
Ht- Carga extraída por la turbina.
Σh1-2 – Perdidas de energía.
Todos los términos de la ecuación anterior se expresan en dimensión de
longitud (L).
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Para el caso en que solo exista una bomba, como se muestra en el
gráfico de la figura 2.8 la ecuación queda:
H1 + HB = H2 + ∑ h 1-2 .
Figura 2.8. Sistema de bombeoCavitación.
La Cavitación es un fenómeno muy importante de la mecánica de los fluidos y de
particular influencia en el funcionamiento de toda maquina hidráulica.
En las últimas décadas la tecnología del diseño de turbinas y bombas centrífugas
ha tenido un avance importante, el cual sumado a los incrementos en los costos
de fabricación, ha llevado a desarrollar equipos con mayores velocidades
específicas para minimizar esta Influencia, lo que determina un incremento en el
riesgo de problemas en la succión, especialmente cuando operan fuera de su
condición de diseño.
Por CAVITACION se entiende la formación de bolsas localizadas de vapor dentro
del líquido, pero casi siempre en las proximidades de las superficies sólidas que
limitan el liquido.
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250
En contraste con la ebullición, la cual puede ser causada por la introducción de
calor o por una reducción de la presión estática ambiente del líquido, la
CAVITACION es una vaporización local del líquido, inducido por una reducción
hidrodinámica de la presión (Figura 2.9). La zona de vaporización local puede serestable o pulsante, y esto altera usualmente el campo normal del flujo. Este
fenómeno se caracteriza, entonces, por la formación de bolsas (de vapor y gas) en
el interior y junto a los contornos de una corriente fluida en rápido movimiento.
La condición física fundamental para la aparición de la cavitación es,
evidentemente, que la presión en el punto de formación de estas bolsas caiga
hasta la tensión de vapor del fluido en cuestión. Puesto que las diferencias de
presión en máquinas que trabajan con líquido son normalmente del mismo orden
que las presiones absolutas, es claro que esta condición puede ocurrir fácilmente
y con agua fría, donde la presión de vapor es de alrededor de 20 cm sobre el cero
absoluto.
Figura 2.9: Comparación entre Ebullición y Cavitación
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251
Las regiones de depresión local solo pueden existir como consecuencia de la
acción dinámica del movimiento, y una forma de esta acción proviene de la
inevitable conversión de la presión en energía cinética.
La cavitación puede ser demostrada mediante la ecuación de Bernoulli. Si lavelocidad del fluido se incrementa (por ejemplo en una reducción de área en la
sección 2-2, figura 2.10), la presión descendería. Este descenso de presión al
acelerar el líquido podría conducir a que la presión sea igual ó menor que la
presión de saturación de vapor de dicho fluido a la temperatura correspondiente.
Cuando un líquido fluye a través de una región donde la presión es igual ó menor
que su presión de vapor, él liquido hierve y forma burbujas de vapor. Estas
burbujas son transportadas por el líquido hasta llegar a una región de mayor
presión( sección 3-3, figura 2.10), donde el vapor regresa al estado líquido de
manera súbita, implotando bruscamente las burbujas. Si las burbujas de vapor se
encuentran cerca o en contacto con una pared sólida cuando cambian de estado,
las fuerzas ejercidas por el líquido al aplastar la cavidad dejada por el vapor dan
lugar a presiones localizadas muy alto, ocasionando picaduras sobre la superficie
sólida. El fenómeno generalmente va acompañado de ruido y vibraciones, dando
la impresión de que se tratara de grava que golpea con diferentes partes de la
máquina.
Las consecuencias ó, mejor dicho, los fenómenos acompañantes de la cavitación,
tal como pérdida de sólidos en las superficies límites (llamado erosión por
cavitación o PITTING), ruidos generados sobre un ancho espectro de frecuencias
(frecuencia de golpeteo: 25.000 c/s), vibraciones, pérdidas y alteraciones de las
propiedades hidrodinámicas pueden - con pocas excepciones - ser consideradas
como perjudiciales y por lo tanto indeseables. Por lo tanto este fenómeno debe ser
evitado o, como mínimo, puesto bajo control.
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Sección SecciónSección1-1 3-3
2-2
PresiónEstática
Presión
deVa or
LongitudFigura 2.10. Variación de la presión de un fluidoen un conducto de sección variable
Los efectos no perjudiciales de la cavitación incluyen su uso para limpieza, o en
bombas de condensación donde la cavitación puede ser utilizada como reguladorde flujo.
La cavitación destruirá toda clase de sólidos: los metales duros, concreto, cuarzo,
metales nobles, etc.
Sin embargo la cavitación no constituye un fenómeno inevitable, sino un efecto
que debe ser juzgado y evaluado desde el punto de vista económico.
La cavitación se divide en el proceso de formación de burbujas y en el de
implosión de las mismas. Este fenómeno siempre comienza por un proceso de
nucleación. En agua a presión no deberían de existir burbujas de gas no disuelto,
pero no es así, existen burbujas de gas sub-microscópicas. El tamaño de estas
burbujas incrementa si hay una presión negativa y puede dar lugar a burbujas de
cavitación aún si la presión esta por encima de la presión de saturación
correspondiente., es por esto que la cavitación comienza por un proceso de
nucleación llamándose NUCLEOIDES a las pequeñas burbujas que sirven de
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253
base para que alrededor de ellas se formen las cavidades que intervienen en le
fenómeno de la CAVITACIÓN.
TIPOS DE CAVITACION:
Por lo dicho precedentemente hay dos tipos de cavitación, uno con flujo y otro
enemos en tuberías donde la presión estática del líquido
, por él se
e gas parecen favorecer el comienzo de la cavitación,
tenido bajo de gas se demora el comienzo de la cavitación, ya que la
la cavitación comienza al alcanzar la presión de
estando el líquido estático:
(a) Cavitación por flujo
(b) Cavitación por ondas
Ejemplos del tipo (a) los t
alcanza valores próximos al de la presión de vapor del mismo, tal como puede
ocurrir en la garganta de un tubo venturi, a la entrada del rodete de una bomba
centrífuga o a la salida del rodete de una turbina hidráulica de reacción.
Los ejemplos del tipo (b) aparecen cuando estando el líquido en reposo
propagan ondas, como las ultrasónicas [3] denominándose Cavitación Acústica, o
típicas ondas por reflexión sobre paredes o superficies libres debido a ondas de
compresión o expansión fruto de explosiones y otras perturbaciones como en el
caso del golpe de ariete, denominadas Cavitación por Shock.
CONTENIDO DE AIRE
Los altos contenidos d
debido a que originan una mayor cantidad de burbujas. Por otra parte un
contenido levado de aire (presión parcial de aire) disminuye la velocidad de
implosión.
Con un con
resistencia a la tracción del agua en este caso comienza a jugar un papel
considerable. Para un contenido
de un 10% del valor de saturación
vapor. Con elevados contenidos de aire la presión para el comienzo de lacavitación es superior a la presión de vapor, ya que en este caso el crecimiento de
las burbujas está favorecido por la difusión de gas en el líquido .
IMPLOSION DE LA BURBUJA
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La bolsa, ya aumentada de tamaño, es arrastrada a una región de mayor presión y
finalmente estalla, mejor dicho, IMPLOTA. Esta acción periódica está
generalmente asociada a un fuerte ruido crepitante.
El aumento de tamaño de las burbujas o bolsas reduce los pasajes aumentandoasí la velocidad de escurrimiento y disminuyendo por lo tanto más aun la presión.
Tan pronto como la presión en la corriente supera la tensión de vapor después de
pasar la sección más estrecha, se produce la condensación y el colapso de la
burbuja de vapor. La condensación tiene lugar instantáneamente. El agua que
rodea a las burbujas que estallan golpean entonces las paredes u otras partes del
fluido, sin amortiguación alguna.
Teniendo en cuenta la condensación del vapor, con distribución espacial uniforme
y
ocurriendo en un tiempo muy corto, puede ser tomado por cierto que las burbujas
no
colapsan concéntricamente.
Se ha analizado el desarrollo de una burbuja en la vecindad de una pared,
teóricamente, y calculado el tiempo de implosión y la presión demostrándose que
la tensión superficial acelera la implosión y aumenta los efectos de la presión.
Muchos efectos trae aparejado el colapso de la burbuja, relacionados con los
diferentes
parámetros tales como la influencia del gradiente de presión, la deformación inicial
en la forma de la burbuja, velocidad del fluido en la vecindad de los límites sólidos,
etc.
En estos estudios puede ser tomado como válido que las cavidades no colapsan
concéntricamente en la vecindad de una pared. Se forma un micro-jet que choca
con la superficie sólida donde trasmite un impulso de presión, como se ve en laFigura 2.11.
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Figura 2.11. Colapso de una Burbuja con la subsiguiente formación del Jet.
2.3. La ecuación de cantidad de movimiento
La ecuación de impulso o cantidad de movimiento puede ser obtenida a partir de
la ecuación que interrelaciona sistema y volumen de control antes obtenida :
∫ ∫∂∂
+=∆
∆
SC VC
dvt
Ad V t
N ηρ ηρ
Teniendo en cuenta que en este caso la propiedad extensiva N es la cantidad de
movimiento( P ) .
P= M⎯ V
Donde: M- masa del fluido contenida en el volumen de control
V- velocidad del fluido. Magnitud vectorial.
Entonces la propiedad intensiva η es igual a la velocidad V.
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Teniendo en cuenta que al variar la cantidad de movimiento con el tiempo surge
una fuerza entonces la ecuación que en la forma siguiente:
sd )( +d t = F SC VC
rrrrr
vvvv ⋅∫⋅∫∂
∂
∑ ρ ρ
En la ecuación anterior :
dv- diferencial de volumen del volumen de control.
ds – vector diferencial de área que representa un área determinada de entrada ó
salida del volumen de control.
Esta es una ecuación vectorial, donde el primer término del miembro derecho nos
evalúa las variaciones temporales de la cantidad de movimiento dentro del
volumen de control, mientras que el segundo término estudia la cantidad de
movimiento que entra y sale por la superficie de control. Estas variaciones de
cantidad de movimiento entre flujo entrante y saliente de la superficie de control,
(considerando flujo permanente) darán lugar a una fuerza sobre el elemento sólido
ó fluido sometido a estudio.
Si descomponemos dicha ecuación vectorial en sus tres ecuaciones escalares una
para cada eje coordenado, obtendremos:
Por ejemplo en la dirección X
sd +d t
= F SC VC X rr
⋅⋅∫⋅∫∂∂
∑ vvvv XX ρ ρ
Al elegir un volumen de control resulta ventajoso tomar las superficies por donde
cruza el flujo, perpendicularmente a la dirección de la velocidad.
Si la velocidad es constante en dichas superficies, y el flujo es permanente,
obtenemos:
X11X22 vvvv S -S = F 1122 X ρ ρ ∑
Recordando la ecuación de continuidad, que nos da el flujo másico que entra y
sale de un volumen de control
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21 vv S =S =m 2211 ρ ρ &
Q=Q=m21
ρ ρ &
Siendo m& la masa por unidad de tiempo que atraviesa el volumen de control.
Considerando el fluido como incompresible nos queda:
( )X1X2 vv −Q= F X ρ
Lo mismo se obtendría para los otros dos ejes coordenados.
2.3.1 Aplicación del teorema de la cantidad de movimiento.
En figura 2.12. se muestra un chorro de fluido que penetra por el conducto y se
divide uniformemente en dos chorros que experimentan un cambio de 180 P0P
respecto a la dirección inicial. SE pide calcular la fuerza resultante del chorro
sobre la semiesfera.
Figura 2.12. Aplicación del principio de Impulso y cantidad de Movimiento
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Aplicando la ecuación de la cantidad de movimiento para el volumen de control de
la figura 1 en dirección Y, considerando flujo permanente y fluido incompresible,
tenemos:
sd )( + sd )( = F 2S21S1Y rrrr
221Y1vvvv ρ ρ ∫∫∑ Integrando llegamos a
S +S = F 21Y rrrr
2Y21Y1 vvvv ρ ρ ∑ (2-10)
Dado que los vectores velocidad y la sección de paso son perpendiculares, el
ángulo que forman los vectores normales a la sección con los vectores velocidad
serán de 180º y cero grados respectivamente. con lo cual obtenemos:
cos0ºSvvcos180ºSvv 22Y211Y1 ρ ρ += F Y ∑ (2-11)Las velocidades Y1v y Y2v forman respectivamente un ángulo de cero y 180
grados respecto el eje de las Y, con lo cual podemos decir que:
11Y1 v)º0cos(vv ==
22Y2 v)º180cos(vv −==
De donde
S -S -= F 21Y 2211 vvvv ρ ρ ∑ (2-12)
Por otro lado, aplicando Bernoulli entre los puntos 1 y 2, y despreciando las
pérdidas de carga, obtenemos:2g
V =
2g
V 2
221
(2-13)
De donde V1 = V2.
Dado que el caudal entrante al volumen de control es igual al caudal saliente, la
ecuación 2-11 nos queda:
QV 2-= F Y ρ ∑ (2-14)
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Ecuación que nos dá la fuerza teórica que el líquido ejerce sobre la semiesfera. El
signo negativo nos indica que la fuerza Fy es en dirección decreciente del eje de
las Y.
Observar que en este caso no hay variación de la cantidad de movimiento en ladirección horizontal por lo tanto la única fuerza del fluido sobre el copo esférico
será en la dirección vertical.
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Capitulo III. Flujo de un fluido real.
3.1. Introducción..-
El flujo de un fluido real, o sea teniendo en cuenta su viscosidad, en una tuberíaviene acompañado de una pérdida de energía, que suele expresarse en términos
de energía por unidad de peso de fluido circulante, que se denomina pérdida de
carga y que tiene dimensiones de longitud.
Estableciendo la ecuación de energía entre dos secciones de una tubería (Primer
Principio de Termodinámica: Q-W=∆E), se tiene:
Considerando proceso adiabático (Q=0), sin trabajo técnico entre las dos
secciones (Weje=0), y teniendo en cuenta que para el flujo de líquidos, se puede
suponer flujo incompresible (ρ=cte) y sin variación de energía interna (û1=û2), y
además en régimen estacionario en una tubería de sección constante, la velocidad
media no se modifica en cada sección (v1=v2); con todo lo anterior se tiene:
El trabajo de flujo entre las dos secciones, viene determinado por:
Al trabajo consumido por los esfuerzos viscosos, se le suele denominar energía
pérdida (Wviscoso = Ep). Al término de energía pérdida por unidad de peso se le
denomina pérdida de carga hp ó Σh, que con las consideraciones anteriores tiene
la expresión:
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En el caso de tuberías horizontales, la pérdida de carga se manifiesta como una
disminución de presión en el sentido del flujo.
La pérdida de carga esta relacionada con otras variables fluidodinámicas según el
tipo de flujo, laminar o turbulento. Además de las pérdidas de carga lineales (a lo
largo de los conductos), también se producen pérdidas de carga singulares en
puntos concretos como codos, ramificaciones, válvulas, etc.
Es necesario conocer el tipo de régimen de flujo en que circula el fluido para
poder determinar las pérdidas de carga a lo largo de conductos.
3.2 Regímenes de corriente.
Los flujos viscosos se pueden clasificar en laminares o turbulentos teniendo en