Tesis_Preciado

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS

DE TELECOMUNICACIÓN

Contribución al Procesado de Señal Fotónica

con Estructuras Resonantes

Tesis Doctoral

Miguel Ángel Preciado Díaz

DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA FOTÓNICA

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS

DE TELECOMUNICACIÓN

Contribución al Procesado de Señal Fotónica

con Estructuras Resonantes

Miguel Ángel Preciado Díaz

Ingeniero de Telecomunicación

Director

Miguel Ángel Muriel Fernández

Doctor Ingeniero de Telecomunicación

Tribunal

Nombrado por el Mgfco. y Excmo. Sr. Rector de la Universidad Politécnica de Ma-

Presidente

......................................................................

Vocales

......................................................................

Secretario

......................................................................

Realizado el acto de defensa y lectura de la Tesis el día ........ de ...................... de

20....., acuerda otorgar la calicación de .....................................................

Resumen

En la actualidad, existe un gran interés en las aplicaciones del procesado de se-

ñal con dispositivos todo-ópticos, ya que permiten realizar operaciones en tiempos

varios órdenes de magnitud menores que en el dominio electrónico. Concretamente,

el trabajo desarrollado en esta Tesis Doctoral se ha centrado en el estudio de estruc-

turas ópticas resonantes. La primera parte de la Tesis trata sobre esta familia de

dispositivos ópticos, que incluye la cavidad óptica simple, las estructuras de cavida-

des, los medios periódicos unidimensionales, y los cristales fotónicos. En particular,

se hace hincapié en los dispositivos correspondientes a las aplicaciones propuestas

en esta Tesis:

Las estructuras de cavidades ópticas paso-todo, que consisten en la combina-

ción de un cierto número de cavidades ópticas simples en una conguración

que permite un aprovechamiento óptimo de la energía de la señal de entrada,

puesto que su eciencia energética, al menos teórica, es del 100%.

Las redes de difracción de Bragg en bra, que consisten en la implementación

en bra óptica de medios periódicos unidimensionales, y son empleados habi-

tualmente como simples reectores selectivos en frecuencia, pero que permiten

procesamientos mucho más sosticados y complejos.

En la segunda parte de la Tesis, se comentan las contribuciones al procesamiento de

señal fotónica con estructuras resonantes. Se analiza el estado del arte y se presentan

las contribuciones originales del trabajo desarrollado en esta Tesis Doctoral, en las

siguientes aplicaciones:

Conformado de pulsos, que consiste en la obtención de formas de pulsos ópticos

bien denidas a partir de una fuente de láser pulsado.

Derivación óptica temporal, que consiste en la realización de la operación de-

rivada respecto de la variable temporal de una cierta señal óptica de entrada.

Integración óptica temporal, que consiste en la realización de la operación

integral respecto de la variable temporal de una cierta señal óptica de entrada.

Multiplicación de la tasa de repetición de pulsos, que consiste en aumentar la

tasa de repetición de un tren periódico de pulsos ópticos de entrada con un

cierto factor de multiplicación.

Generación de ráfagas de pulsos, que consiste en la obtención de una secuencia

de un cierto número de pulsos ópticos a partir de un pulso individual.

Finalmente, comentar que estos dispositivos ópticos han sido utilizados en con-

guraciones y modos de funcionamiento poco habituales, siendo novedosos para las

algunas de las aplicaciones propuestas.

Abstract

Nowadays, there is a great interest in signal processing applications with all-

optical devices, since they can perform operations in a time several orders of magni-

tude lower than that of electronics. In particular, the work of this Thesis is focused

on the study of optical resonant structures. The rst part of the Thesis deals with

this family of optical devices, which includes a simple optical cavity, structures of

optical cavities, one-dimensional periodic media, and photonic crystals. Specically,

the devices corresponding to the applications proposed in this Thesis are emphasi-

Structures of all-pass optical cavities, which consist in the combination of

several simple optical cavities, in a conguration with an optimum use of

the energy of the input signal, since the energy eciency is 100%, at least

theoretically.

Fiber Bragg gratings, which consist in the implementation of a one-dimensional

periodic media in an optical ber, and are usually used as simple frequency

selective reectors, but they can perform much more sophisticated and complex

processing.

The second part of the Thesis deals with the original contributions to photonic signal

processing with resonant structures. The state of art is analyzed, and the original

contributions of the work of the Thesis are presented, for the following applications:

Pulse shaping, used to obtain well dened optical pulses waveforms from a

pulsed laser source.

Temporal optical dierentiation, which performs the operation of dierentia-

tion of an optical input signal on the temporal variable.

Temporal optical integration, which performs the operation of integration of

an optical input signal on the temporal variable.

Pulse repetition rate multiplication, which increases the repetition rate multi-

plication of an optical input periodic pulse train, with a factor of multiplica-

Generation of burst of pulses, which obtains a sequence of a certain number

of optical pulses from a single pulse.

Finally, it is worth noting that these optical devices have been applied in unusual

congurations and modes of operation, which are original in some of the proposed

applications.

Agradecimientos

Sin duda, en primer lugar, mi agradecimiento va dirigido a mi director de Tesis,

Prof. Miguel Ángel Muriel, por compartir generosamente sus conocimientos, por el

tiempo y esfuerzo dedicados en su labor de orientación y tutela, y por su inconfor-

mismo y búsqueda de la excelencia que exige y aplica en su trabajo. Igualmente,

agradecer por la gran libertad que he gozado a la hora de enfocar el estudio y la

investigación, que me ha permitido crecer como investigador. También por lo que ha

supuesto realizar esta Tesis Doctoral, la oportunidad de aplicar verdaderamente los

conocimientos adquiridos durante mis estudios de Ingeniería de Telecomunicación,

dedicándome a algo tan apasionante como la investigación cientíca.

En segundo lugar, al Ministerio de Educación y Ciencia (actual Ministerio de

Ciencia e Innovación), por la nanciación aportada mediante los proyectos Plan

Nacional de I+D+I TEC2007-68065-C03-02 y Plan Nacional de I+D+I, TEC2004-

04754-C03-02.

Igualmente debo agradecer a los profesores y centros que me han acogido en las

estancias breves que he realizado en este periodo. A Prof. Erich Ippen, del Optics

and Quantum Electronics Group en elMassachusetts Institute of Technology, a Prof.

Salvador Sales, del Grupo de Comunicaciones Ópticas y Cuánticas, en la Universidad

Politécnica de Valencia, y a Dr. Morten Ibsen, del Optoelectronics Research Center

en University of Southampton. Sin duda, han sido experiencias enriquecedoras, que

me han aportado conocimientos en temas experimentales, y contactos que serán de

gran importancia en mi futura carrera investigadora. Agradecer también a Prof. Ian

Bennion, por su aceptación para una futura colaboración en Photonics Research

Group, en Aston University.

También tengo que agradecer a María, por su gran ayuda durante esta Tesis

desde la secretaría del departamento, más allá de que le correspondía.

Y, como no, a toda los compañeros y ex-compañeros del TFO. A mis ex-compañeros

de la sala B-102, Víctor y Álvaro; a Helen, Antonio, David, Guillermo, Isabel, Vero,

François, Kike, Nico, Tania y Jose; a los cristaleros David cehpeh, Ania, Nour,

Eva, Bea, Xabi y Morten; y al agregado telemático, Omar y Judith. A todos ellos

gracias por los buenos ratos que hemos echado en las comidas, las cañas, los partidos

de fútbol... En denitiva, gracias por hacer de estos cuatro años en la escuela una

época de mi vida que siempre añoraré.

También agradecer a mis amigos fuera del TFO, que han sido un gran apoyo

a nivel personal durante el transcurso de la Tesis. A Natalia, por su generosidad,

apoyo, y labor consultora. A Jose, Carmen, Andrés, Llillo, Isa y Raúl, por seguir

juntos después de tantos años de amistad. A Julio y Fulvia, por su amistad y sufrida

hospitalidad. A Jose Cristo y Rebeca, por la época que estuvieron en Madrid, y

aquellos míticos Metrorocks. A Pablo, Noe y Manu, por la gran convivencia que

tuvimos en aquel piso que compartimos en la calle Leñeros.

Finalmente, agradecer a mis padres, Cándido y Catalina; y a mis hermanos,

Guadalupe, Víctor, Paloma y María. Por su apoyo incondicional en todo momento

y por estar ahí siempre que les he necesitado.

Índice general

1. Introducción 1

1.1. Organización y contribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Recomendaciones sobre literatura relacionada . . . . . . . . . . . . . 4

Parte I Estructuras Ópticas Resonantes 5

2. Estructuras de Cavidades Ópticas 7

2.1. Cavidad óptica simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2. Estructuras de cavidades ópticas simples . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3. Medios periódicos unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4. Cristales fotónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3. Redes de Difracción de Bragg en Fibra 17

3.1. Tipos de FBGs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2. Modos de funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3. Diseño analítico de FBGs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4. Estructuras Paso-Todo de Cavidades Ópticas 31

4.1. Cavidad simple paso-todo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2. Estructuras multi-cavidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Parte II Contribuciones al Procesado de Señal Fotónica 43

5. Aplicaciones del Procesado de Señal Fotónica 45

5.1. Conformado de pulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.2. Derivación temporal óptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.3. Integración temporal óptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.4. Generación de trenes de pulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

ÍNDICE GENERAL

6. Procesador Fotónico de Pulsos Ópticos Basado en un Par de

FBGs Opuestamente Chirpeadas 53

6.1. Diseño de las FBGs opuestamente chirpeadas . . . . . . . . . . . . . 54

6.2. Conformación de pulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.3. Derivador temporal óptico de orden arbitrario . . . . . . . . . . . . . 59

6.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7. Procesador Fotónico de Pulsos Basado en FBGs en Modo Trans-

misión 67

7.1. Relaciones de la amplitud la fase espectral en una FBG en modo

transmisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7.2. Conformador de pulsos con una FBG en modo transmision . . . . . . 70

7.3. Derivador temporal óptico de primer orden con una FBG de periodo

uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

7.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8. Derivador y Multiplicador de Tasa de Repetición de Pulsos me-

diante una LC-FBG 81

8.1. Diseño de la FBG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

8.2. Ejemplos y resultados de simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

8.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

9. Integrador mediante una FBG de Periodo Uniforme en Reexión 87

9.1. Diseño de la FBG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

9.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

9.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

10.Multiplicador de Tasa de Repetición de Pulsos mediante Estruc-

turas Paso-Todo de Cavidades 93

10.1. Diseño de ltros para MTRP con envolvente uniforme . . . . . . . . . 94

10.2. Cavidad simple para 2×, 3×, y 4× MTRP . . . . . . . . . . . . . . . 96

10.3. Combinaciones de cavidades para 3×, 4×,6× y 12× MTRP . . . . . . 100

10.4. Efecto de las desviaciones de los parámetros de las estructuras . . . . 105

10.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

11.Generación de Ráfagas de Pulsos mediante Estructuras Paso-

Todo de Cavidades 113

11.1. Búsqueda de soluciones óptimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

11.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

ÍNDICE GENERAL

11.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

12.Conclusiones Finales y Trabajo Futuro 121

12.1. Resumen y conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

12.2. Líneas abiertas para el trabajo futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Parte III Apéndices 125

A. Láser Pulsado 127

B. Publicaciones Cientícas y Méritos del Autor 133

C. Índices de Figuras, Tablas, y Nomenclatura 179

Bibliografía 189

ÍNDICE GENERAL

Capítulo 1

Introducción

Uno de los más espectaculares logros tecnológicos del último siglo ha sido el

incremento de velocidad y reducción de tamaño de los dispositivos electrónicos. Hoy

en día, disponemos de chips con miles de millones de transistores, que pueden realizar

operaciones en tiempos de picosegundos. Sin embargo, los desarrolladores de chips

se están encontrando con algunos límites fundamentales de la electrónica. Estos

límites pueden ser superados mediante la electrónica cuántica, que está basada en

los principios de la mecánica cuántica aplicada al procesamiento de la información.

No obstante, la tecnología actual se encuentra aún en un estado muy primario de

desarrollo.

Una solución inmediata para superar los límites fundamentales de la electrónica

consiste en el procesamiento todo-óptico de la información, que tiene un gran interés

en diferentes áreas, tales como comunicaciones ópticas, metrología, sensado, procesa-

miento de imagen, computación óptica, ingeniería de microondas... El enorme ancho

de banda y las capacidades de procesamiento concurrente dan lugar a velocidades

de procesamiento varios órdenes mayores que en electrónica. Así pues, ha surgido

un creciente interés en encontrar substitutos en tecnología todo-óptica de dispo-

sitivos electrónicos para aplicaciones de procesamiento de señal. Cabe mencionar

que los dispositivos todo-óptico no pueden sustituir todas las operaciones realizadas

por los dispositivos electrónicos de forma eciente. Sin embargo, existen diferentes

aplicaciones de procesamiento de señal fotónica mediante dispositivos todo-ópticos

realizadas con una gran eciencia en comparación con la electrónica.

En esta Tesis Doctoral, se han investigado y propuesto diferentes soluciones ba-

sadas en dispositivos ópticos resonantes, concretamente redes de difracción de Bragg

en bra (que denominaremos FBGs1 en en resto de la Tesis), y estructuras ópticas

paso-todo de cavidades ópticas, para algunas de estas aplicaciones de procesado de

1Siglas de su denominación en inglés, ber Bragg grating

1. Introducción

señal, tales como la derivación temporal, la integración temporal, el conformado de

pulsos, la multiplicación de la tasa de repetición de pulsos, y la generación de ráfagas

de pulsos.

Es importante comentar que la presente Tesis Doctoral tiene un marcado ca-

rácter teórico, y los resultados obtenidos han sido validados mediante simulaciones

numéricas usando los modelos teóricos de los dispositivos, empleando la herramienta

de software Matlab2. Los modelos empleados permiten predecir de forma bastante

precisa su comportamiento.

En algunas de las aplicaciones se han propuesto conguraciones y modos de

uso innovadores de estos dispositivos ópticos. Así pues, las redes de difracción de

Bragg en bra se han empleado en modo transmisión, y se han combinado en una

conguración poco habitual. Además, se han propuesto estructuras novedosas de

cavidades ópticas paso-todo.

1.1. Organización y contribuciones

Esta Tesis Doctoral está dividida en tres partes, cada una de las cuales consiste

en diferentes capítulos.

En la Parte I se presentan la familia de estructuras ópticas resonantes conside-

radas en la Tesis:

En el Capítulo 2 se presenta la familia de dispositivos ópticos consistentes

en estructuras de cavidades ópticas. Dentro de esta familia de dispositivos

se incluyen los medios periódicos, como las redes de difracción de Bragg o los

cristales fotónicos, que pueden ser interpretados como estructuras de cavidades

idénticas distribuidas uniformemente en longitud, área, o volumen.

El Capítulo 3 trata sobre las redes de difracción de Bragg en bra, describien-

do de forma cualitativa su funcionamiento, modos y conguraciones. Además

se incluye la base teórica necesaria para su diseño analítico en aplicaciones de

procesado de señal.

En el Capítulo 4 se presentan y discuten las estructuras paso-todo de cavida-

des ópticas, mostrando las diversas posibilidades de combinación de cavidades

y de bloques de estructuras.

En la Parte II se detallan las contribuciones de esta Tesis al estado del arte del

procesado de señal fotónica:

2Matlab es una marca registrada de The MathWorks Inc.

1.1. Organización y contribuciones

En el Capítulo 5 se presentan de forma introductoria las aplicaciones del

procesado de señal fotónica, con especial hincapié en las aplicaciones tratadas

en la Tesis.

En el Capítulo 6 se presentan las contribuciones publicadas en [Prec 07a,

Prec 07c], donde se propone un procesador fotónico basado en un par de redes

de difracción de Bragg en bra opuestamente chirpeadas para el conformado

de pulsos y la derivación temporal de orden arbitrario.

En el Capítulo 7 se presentan las contribuciones publicadas en [Prec 08b,

Prec 09a], donde se propone y demuestra el uso de las redes de difracción de

Bragg en bra en modo transmisión como un derivador temporal de primer

orden y como conformador de pulsos.

En el Capítulo 8 se presenta la contribución publicada en [Prec 07c], donde

se propone una única red de difracción de Bragg en bra linealmente chirpea-

da para realizar la operación de derivación temporal de orden arbitrario, y

simultáneamente, la multiplicación de la tasa de repetición de pulsos.

En el Capítulo 9 se presenta la contribución publicada en [Prec 08e], donde

se propone una sencilla técnica basada en una red de difracción de Bragg en

bra de periodo uniforme para realizar la operación de integración temporal.

En el Capítulo 10 se presentan las contribuciones publicadas en [Prec 08c,

Prec 08a,Prec 08d], donde se proponen una serie de estructuras paso-todo de

cavidades ópticas para la multiplicación de la tasa de repetición de un tren

periódico de pulsos de entrada, con una gran eciencia energética (idealmente

del 100%).

En el Capítulo 11 se presenta la contribución publicada en [Prec 09b], donde

se proponen estructuras paso-todo de cavidades ópticas acopladas para la ge-

neración de ráfagas de pulsos a partir de un único pulso, con una gran eciencia

energética (idealmente del 100%).

Finalmente, el Capítulo 12 contiene resumen y conclusiones, así como las

posibles líneas de trabajo futuro a raíz del trabajo presentado en esta Tesis

Doctoral.

En la Parte III se incluyen varios apéndices. Se incluye un apéndice con una breve

introducción sobre las fuentes de entrada supuestas en los sistemas propuestos, los

láseres pulsados. Asimismo, también contiene un apéndice sobre las publicaciones

1. Introducción

y méritos del autor, donde se adjuntan copias de las principales publicaciones re-

lacionadas directamente con esta Tesis Doctoral. Además, se incluyen los índices

de guras y tablas, la nomenclatura empleada y la bibliografía empleada en las

referencias.

1.2. Recomendaciones sobre literatura relacionada

En esta sección se recomienda literatura relacionada con los diferentes temas

que se tratan en esta Tesis Doctoral. En primer lugar, sobre fotónica en general, se

recomienda [Yari 06], pues es muy sintético y conciso, con una base teórica analítica

muy sólida. Otro libro recomendable es [Sale 07], ya que es muy completo y detallado.

Concretando en los dispositivos fotónicos empleados en esta Tesis, en cuanto a las

redes de difracción de Bragg en bra, se recomiendan las Tesis Doctorales [Carb 99,

Azan 01, Skaa 00], los libros [Otho 99,Yeh 88], y el capítulo correspondiente en el

libro [Yari 06]. También sería aconsejable la consulta del libro [Kash 99]. En cuanto

a las estructuras de cavidades ópticas, se recomiendan los correspondientes capítulos

de los libros [Sale 07,Yari 06].

También se considera conveniente recomendar bibliografía sobre procesamiento

de señales, ya que es uno de los pilares de esta Tesis Doctoral. En concreto, en pri-

mer lugar se recomendarían los libros [Oppe 96,Oppe 89], y como lectura adicional

y libros de consulta [Poul 99,Papo 62,Proa 96]. Para conocer más sobre la fuente de

entrada considerada en esta Tesis Doctoral, que consiste en un láser pulsado, se reco-

miendan los correspondientes capítulos de los libros [Sale 07,Yari 06]. Con carácter

muy introductorio, se ha incluido sobre láser pulsado el Apéndice A. Finalmente, so-

bre sistemas de comunicaciones ópticas, que es el campo nal de aplicación de lo pre-

sentado en esta Tesis Doctoral, se recomiendan los libros [Agra 02,Agra 05,Capm 98].

Notación empleada

Finalmente, se introducen unos pequeños apuntes sobre la notación empleada en

el presente documento de Tesis Doctoral, para evitar una excesiva reiteración en el

mismo. Las señales espectrales se representan en la frecuencia angular banda base

ω = ωopt − ω0, donde ω0 es la frecuencia angular central, y ωopt es la frecuencia

angular óptica. Las señales temporales, por tanto, se representan como envolventes

complejas con una frecuencia angular central portadora ω0, en función de la variable

temporal t. Se va a emplear j = (−1)12 como unidad imaginaria, F como operador

transformada de Fourier, y H como operador de transformada de Hilbert [Papo 62].

Parte I

Estructuras Ópticas Resonantes

Capítulo 2

Estructuras de Cavidades Ópticas

En este capítulo se presentan las estructuras ópticas resonantes, que constitu-

yen una familia de dispositivos pasivos y lineales, con comportamiento espectral

resonante, que pueden ser empleados para el procesado de señales mediante ltra-

do lineal, y constituyen los bloques fundamentales empleados en las aplicaciones de

procesamiento de señal propuestas en esta Tesis Doctoral. Vamos a considerar las

siguientes estructuras ópticas resonantes:

1. Cavidad óptica simple

2. Combinación de cavidades ópticas simples

3. Medios periódicos unidimensionales

4. Medios periódicos de dos y tres dimensiones (cristales fotónicos)

Todas las estructuras, incluyendo los medios periódicos, son interpretable como una

combinación de cavidades ópticas simples. Algunas de las estructuras mencionadas

en la lista anterior permitirían un procesamiento simultaneo en los dominios espa-

cial y temporal. Sin embargo, en la presente Tesis se emplean estás estructuras en

aplicaciones de procesamiento de las señal óptica en el dominio del tiempo.

Todas estas estructuras serán consideradas sistemas lineales e invariantes en el

tiempo, de forma que se pueden caracterizar mediante su respuesta impulsiva tem-

poral o su respuesta espectral.

2.1. Cavidad óptica simple

Una cavidad óptica simple, o resonador óptico, consiste, en su caso más sen-

cillo, en dos reectores alineados y separados una cierta longitud, de manera que la

2. Estructuras de Cavidades Ópticas

Figura 2.1: Cavidad Fabry-Perot

Figura 2.2: Transmisividad y reectividad de un Fabry-Perot simétrico, para variosvalores de reectividad de espejos R.

energía de un haz óptico incidente es atrapada parcialmente dentro de la cavidad.

Los reectores de la cavidad pueden ser dos supercies reectantes de un material

transparente de diferente índice de refracción, o bien dos espejos paralelos espacia-

dos (ver Fig. 2.1). También cabe mencionar que es habitual el caso de reectores

curvos, lo cual permite un connamiento transversal de la luz y un factor de ca-

lidad mayores que en el caso plano. Esta cavidad es comúnmente conocida como

interferómetro Fabry-Perot, denominado así por sus inventores [Fabr 99]. Se ca-

racterizan por tener una respuesta discreta en tiempo, espectralmente periódica,

estando presente intrínsecamente en los láseres para la generación de haces ópticos

monocromáticos. En la Fig. 2.2 se puede observar la reectividad y transmisividad

espectral de un Fabry-Perot simétrico con haces incidente y reejado normales a

las supercies reectoras, con ambos espejos de reectividad R, representando para

diferentes valores de R. De estas grácas se puede observar su aplicación como ltro

selectivo en transmisión, aumentando el factor de selectividad del mismo a medida

que la reectividad de los espejos aumenta.

Un caso de particular interés consiste en el interferómetro de Gires-Tournois,

2.1. Cavidad óptica simple

Figura 2.3: Cavidad Gires-Tournois

Figura 2.4: Fase espectral en reexión de un Gires-Tournois para varios valores dereectividad de espejo frontal R

en el cual uno de los espejos produce una reexión total, como se puede observar

en la Fig. 2.3. Este dispositivo se comporta como un ltro sólo-fase (o paso-todo),

de manera que tiene una eciencia energética teórica del 100%, para un caso ideal

sin pérdidas. Realiza un procesamiento solo-fase de la señal, ya que no modica la

densidad espectral de potencia de la señal de entrada, comportándose por tanto como

un ecualizador óptico. En la Fig. 2.4, se muestra la fase espectral de la respuesta

en reexión del Gires-Tournois, para diferentes valores de reectividad R del espejo

frontal. Obviamente, la función espectral de reectividad del Gires-Tournois (en

el caso ideal) es constante e igual a la unidad, mientras que la transmisividad es

también constante e igual a cero.

Los anillos resonantes son un caso particular de cavidad óptica, denominados

así por su conguración en anillo. Es posible conseguir esta conguración tanto

en espacio libre, usando tres espejos de manera que la luz circule en el camino

triangular denido por los espejos, o bien mediante una guía de onda curva cerrada

con forma de anillo que esté acoplada con otra(s) guía(s). En este caso la energía

Figura 2.5: Comparativa de un anillo resonante con dos acoplos, y un interferómetroFabry-Perot

Figura 2.6: Comparativa de un anillo resonante con un acoplo, y un interferómetroGires-Tournois.

2.2. Estructuras de cavidades ópticas simples

Figura 2.7: Ejemplos de cavidades ópticas de dos y tres dimensiones

de la señal incidente es atrapada en el anillo en lugar de entre los dos espejos.

En la Fig. 2.5 se muestra un anillo resonante con dos acoplamientos, comparado

con un interferómetro Fabry-Perot. Se puede demostrar que ambos dispositivos son

totalmente equivalentes, ya que tienen una respuesta espectral semejante. Se tendrá

una conguración muy particular cuando el acoplamiento del anillo se produzca

con una sola guía (ver Fig. 2.6). Se puede demostrar que en este caso tenemos una

cavidad semejante al interferómetro Gires-Tournois. La principal diferencia entre

ambos radica en que, en la práctica, las pérdidas de la conguración en anillo son

más signicativas debido al scattering y a las perdidas de la guía debido al radio

de curvatura en anillos pequeños, de manera que la reectividad tendrá una cierta

caída, pudiendo incluso llegar a cero para ciertas componentes espectrales, situación

denominada critical coupling (acoplamiento crítico) [Darm 06].

No estaría completa esta recopilación de cavidades ópticas simples sin mencionar

también las cavidades ópticas de dos y tres dimensiones. En la Fig. 2.7 se muestran

tres ejemplos de cavidades, con forma rectangular, disco, cúbica, y esférica. Estos

resonadores se caracterizan por tener, en general, un gran número de modos en un

cierto rango de frecuencias comparado las cavidades anteriores [Yari 06].

2.2. Estructuras de cavidades ópticas simples

Podemos obtener estructuras más complejas combinando cavidades ópticas sim-

ples. La forma más común de combinar cavidades tipo Fabry-Perot consiste en con-

catenar reectores formando una multi-cavidad. También se puede conseguir una

estructura equivalente mediante la concatenación de anillos resonantes acoplados.

En la Fig. 2.8 se muestran ambas estructuras. Además, los anillos resonantes permi-

ten muchas posibilidades de combinación, pudiendo dar lugar a una gran variedad

de estructuras ópticas, como se muestra en la Fig. 2.9.

Figura 2.8: Estructuras ópticas mediantes (a) reectores y (b) anillos acoplados.

Figura 2.9: Estructuras ópticas basadas en combinaciones de anillos resonante: (a)en cascada, (b) acoplados en círculo, (c) embebidos, y (d) acoplados en matriz 2×2.

2.3. Medios periódicos unidimensionales

Un grupo de estructuras ópticas de particular interés en esta Tesis doctoral,

consiste en las estructuras ópticas paso-todo. Éstas se caracterizan por realizar un

procesamiento paso-todo de la señal (no afectan a la amplitud de la respuesta es-

pectral, sólo a su fase), de manera que no alteran la densidad espectral de potencia

de la señal de entrada. Así pues, en el caso idealizado de cavidades sin pérdidas,

tienen una eciencia energética teórica del 100%. Se comentan con más detalle en

el Capítulo 4.

2.3. Medios periódicos unidimensionales

Los medios periódicos unidimensionales incluyen una gran variedad de disposi-

tivos de diversa tecnología. Su característica principal consiste en la periodicidad

del índice de refracción del medio, que produce una reexión distribuida de la señal

luminosa que se propaga en una determinada banda de reexión, que por analogía

con el movimiento de electrones en sólidos cristalinos también denominada banda

prohibida o bandgap. Al igual que en el caso de las cavidades ópticas simples, es-

tamos interesados en las aplicaciones de procesamiento temporal de la señal de

entrada, de manera que solamente consideraremos el caso en que coinciden la direc-

ción de propagación y la dimensión espacial de periodicidad del índice de refracción.

Es posible interpretar esta estructura como como una secuencia periódica de cavi-

dades ópticas idénticas y distribuidas uniformemente en la longitud, es decir, el caso

periódico de la multicavidad mostrada en la Fig. 2.8 de la Sección 2.2.

La propagación de ondas en medios periódicos es muy similar al movimiento

de electrones en solidos cristalinos, de manera que usando conceptos físicos presta-

dos de la física de estado sólido como ondas Bloch, zonas de Brillouin, bandas de

energía, y banda prohibida o bandgap, se pueden analizar la estructura de banda

fotónica de un medio periódico para los modos TE y TM, según diferentes direccio-

nes de incidencia [Yari 06]. En esta Tesis, al igual que en el caso de las cavidades

simples, estamos interesados en el caso de incidencia normal. Se puede demostrar

que aparecen múltiples bandas prohibidas fotónicas, o bandas de reexión, pro-

porcionales a las amplitudes de las correspondientes componentes espaciales de la

expansión de Fourier de la función de la constante dieléctrica [Yari 06]. Un caso

particular sería el de estructuras formadas por secuencias periódicas de anillos reso-

nantes acoplados, también llamadas guías de ondas ópticas de anillos acoplados, o

CROWs1, empleadas en diferentes aplicaciones como diseño de ltros ópticos, líneas

de retardo, interacciones ópticas no-lineales mejoradas, y arrays de amplicadores

1de su denominación inglesa Coupled resonator optical waveguides

Figura 2.10: Ejemplos de varias estructuras periódicas: (a) pila de capas de dieléc-tricos (b) FBG (c) CROW

láser [Oliv 01,Hryn 00,Happ 03,Fabr 99,Darm 06,Baye 99,Yari 99].

Otro caso particular consiste en la variación sinusoidal de la constante dieléctrica

y el índice de refracción, en el que solamente aparece una única banda de reexión.

Este es el caso de las FBGs [Otho 99,Kash 99], que se comentan con más detalle en

el Capítulo 3, y han sido propuestas en esta Tesis Doctoral para diferentes aplicacio-

nes. Es importante mencionar que estas aplicaciones podrían ser extendidas a otras

implementaciones de medios periódicos unidimensionales. Hay que comentar que,

en general, las FBGs sólo son periódicas de forma local. Esto permite, mediante un

diseño adecuado, que el procesamiento de señal que realizan no se limite a las de un

simple ltro selectivo en una determinada banda de reexión o bandgap. Así pues, se

emplean para muy diversas aplicaciones de procesamiento de señal más sosticadas,

comentadas en la Parte II de la Tesis.

2.4. Cristales fotónicos

Los cristales fotónicos son dispositivos ópticos consistentes en medios de propaga-

ción que se caracterizan por una función dieléctrica periódica (o, equivalentemente,

una función de índice de refracción periódica). Así pues, los medios periódicos uni-

2.4. Cristales fotónicos

dimensionales y, por tanto, las FBGs, son un caso particular de cristal fotónico. Se

ha establecido una analogía entre la propagación de la luz en los cristales fotónicos

y la de los electrones en cristales semiconductores, donde estos encuentran bandas

prohibidas de propagación, o bandgaps, según ciertos valores de energía y ciertas

direcciones. Si él índice de refracción del cristal fotónico tiene suciente contraste,

tendremos un fenómeno similar, apareciendo bandgaps fotónicos, que no permiten

la propagación de la luz para ciertas frecuencias y direcciones. Cuando esta banda

prohibida cubre todas las direcciones, el resultado es el de una banda prohibida com-

pleta, como ocurre en un semiconductor entre la banda de valencia y de conducción.

En un cristal fotónico esto permite denir zonas espaciales donde no se permite la

propagación de la luz para ciertas frecuencias [Joan 95,Yari 06].

Al igual que se comentó en en la sección 2.3 para los medios periódicos uni-

dimensionales, los cristales fotónicos también se pueden analizar como como una

estructura de cavidades ópticas simples de varias dimensiones, idénticas y distribui-

das uniformemente en la supercie o el volumen del cristal fotónico. Las principales

aplicaciones de los cristales fotónicos consisten en el procesamiento espacial de la luz,

utilizando las bandas prohibidas fotónicas para controlar el ujo de la luz, permi-

tiendo que se propague en ciertas zonas espaciales, y restringiéndolo en otras. Se han

propuesto para diversas aplicaciones, como multiplexores ópticos [Niem 06,Cent 99],

implementación de anillos resonadores [Ghaf 07, Djav 08], y divisores de haz [Ba-

yi 00, Yu 03]. Aunque estas estructuras ópticas no han sido empleadas explícita-

mente en esta Tesis Doctoral, estas sugieren un gran potencial en aplicaciones de

procesamiento de señal fotónica, ya que permiten implementar todas las estructuras

resonantes contenidas en esta Tesis, tanto cavidades simples, como medios unidi-

mensionales. Además, como línea de trabajo futuro, su capacidad de procesamiento

teniendo en cuenta las dimensiones transversales de propagación podrían dar lugar

a nuevas e interesantes aplicaciones.

Figura 2.11: Ejemplos de cristales fotónicos de (a) una, (b) dos y (c) tres dimensiones

Capítulo 3

Redes de Difracción de Bragg en

Es sobradamente conocido que la bra óptica tiene muy buenas propiedades de

dispersión y atenuación para la propagación de señales ópticas, y ha posibilitado las

comunicaciones a distancias y tasas binaras enormes. Por otra parte, la fotosensibi-

lidad en bras ópticas consiste en un cambio permanente en el índice de refracción

del núcleo de la bra bajo la exposición de luz, y se observó casualmente en bras

cuyos núcleos tenían grandes concentraciones de germanio, al inyectar en el núcleo

de la bra luz ultravioleta entorno a 480 nm [Hill 78, Kawa 78], y entorno a 240

nm en exposición transversal externa [Melt 89]. Las características de la luz que

induce esta fotosensibilidad dependen de las características del núcleo de la bra.

Así, se ha observado fotosensibilidad en bras con otro tipo de dopantes diferentes

al germanio, a diferentes longitudes de onda ultravioleta, aunque las bras ópticas

dopadas con germanio siguen siendo las más utilizadas.

El descubrimiento de la fotosensibilidad en las bras ópticas ha dado lugar a

una nueva clase de componente en bra, denominados redes de difracción de Bragg

en bra, que habitualmente se suele encontrar en la literatura cientíca como ber

Bragg gratings y que se suelen denominar por sus siglas FBG, o sencillamente como

grating.

En general, la perturbación del índice de refracción del núcleo de la FBG se puede

considerar localmente periódica, provocando el acoplamiento de potencia óptica de

la señal que se propaga a lo largo de la estructura en otros modos de propagación.

Los modos que se acoplan pueden ser codireccionales, contradireccionales, o incluso

en acoplarse en potencia no guiada fuera de la bra. En el presente trabajo nos

ocupamos de FBGs en la que la luz se acopla en el modo contradireccional, de

manera que el acoplamiento entre modos se puede interpretar como una reexión

3. Redes de Difracción de Bragg en Fibra

distribuida de la señal óptica que se propaga a lo largo de la FBG. La frecuencia

resonante o frecuencia de Bragg, a la cual se produce el acoplamiento entre modos

depende del periodo de la perturbación, y puede variar a lo largo de la FBG.

A diferencia de la reexión que se produciría en un reector común, en las FBG la

reexión viene acompañada de un determinado ltrado. En esta tesis supondremos

que las FBGs se comportan como un sistema lineal e invariante en el tiempo (que

suele ser una excelente aproximación en la mayoría de los casos), de manera que

se puede caracterizar mediante su respuesta impulsiva temporal, o bien mediante

su respuesta espectral. Hay que tener en cuenta que una FBG es un sistema SIMO

(single input multiple output, entrada simple salida múltiple), ya que podemos con-

siderar dos salidas, la del modo de reexión, correspondiente a la señal óptica que

se reeja en la FBG, y la del modo transmisión, correspondiente a la señal óptica

que se propaga a través de la FBG. Las respuestas espectrales de los modos de re-

exión y transmisión se suelen denominar respectivamente coecientes de reexión

y coeciente de transmisión, mientras que las respectivas densidades espectrales de

potencia se denominan habitualmente reectividad y transmisión, las cuales están

relacionadas por ser complementarias (su suma es una constante, igual a 1 despre-

ciando pérdidas).

En su caso más sencillo, el ltrado en reexión se suele considerar como un simple

paso de banda, de manera que la FBG se comporta como un reector selectivo de

frecuencias. En cuanto al ltrado en modo transmisión, tendríamos un ltro rechazo

de banda, correspondiente a la banda prohibida o bandgap cuya propagación está

restringida en ese medio. Sin embargo, diseñando apropiadamente los parámetros

de la perturbación inscrita en la bra, se pueden conseguir procesamientos extre-

madamente sosticados. Así pues, las FBGs han sido propuestas en muy diversas

aplicaciones tales como compensación de dispersión [Hill 94,Imai 98], conformado de

pulsos [Petr 01a,Parm 08], transformador de Fourier en tiempo real [Muri 99], trans-

formador de Hilbert en tiempo real [Asgh 09], multiplicación de la tasa de repetición

de pulsos mediante el efecto Talbot temporal [Azan 99], OCDMA [Grun 99,Petr 01b],

derivación temporal [Berg 07,Kuli 07,Riva 07,Prec 07c,Prec 07b,Prec 08b] e inte-

gración temporal [Ngo 07a,Azan 08,Prec 08e, Slav 08]. En la Parte II se comentan

las aplicaciones de las FBGs en procesamiento de señal fotónica propuestas en esta

tesis doctoral

Existen diferentes modelos para la síntesis y simulación numérica de FBGs [Ya-

ri 06]. En concreto, en esta Tesis Doctoral se ha empleado un modelo de grating

discretizado [Skaa 00], en el que la FBG se descompone en una serie de reectores

ideales, tanto para el análisis mediante matrices de transferencia [Yari 06], como

3.1. Tipos de FBGs

para la síntesis mediante un algoritmo de inverse scattering [Fece 99, Capm 07b],

basado en el layer peeling discreto [Skaa 01b]. Se ha empleado la herramienta soft-

ware Matlab1 para implementar los diferentes algoritmos de simulación y síntesis

numérica de las FBGs.

En el resto del capítulo se comentan los tipos y modos de funcionamiento de las

FBGs, en la Sección 3.1 y en la Sección 3.2, respectivamente. También se explican

las herramientas analíticas empleadas en el diseño de FBGs, en la Sección 3.3.

3.1. Tipos de FBGs

Existen diferentes tipos de FBGs en función de la modulación del índice de

refracción del núcleo de la bra, el cual se puede expresar de la siguiente forma en

general:

n(z) = nmed +4nmax

2p(z) cos

)(3.1)

donde nmed representa el índice de refracción medio, que consideraremos constante,

∆nmax describe el máximo de la modulación del índice de refracción, p(z) es una

función real que dene el perl del grating, Λ(z) es el periodo del grating, y z es una

variable espacial que representa la posición longitudinal en la bra. En ocasiones

también se suele trabajar con el índice de refracción efectivo del modo de propaga-

ción, neff , que está relacionado con los anteriores mediante nmed = neff + ∆nmax2

Dependiendo de la variación de estos parámetros, podemos denir los siguientes

tipos de red:

FBG de periodo uniforme: Λ(z) = Λ0

• FBG uniforme: p(z) = 1

• FBG de periodo uniforme general: p(z) es una función de z.

FBG de periodo no uniforme: Λ(z) y p(z) funciones de z.

• linealmente chirpeada: Λ(z) = Λ0 + CΛz, con CΛ el factor de chirpeado

del periodo espacial

• arbitraria: Λ(z) y p(z) son funciones arbitrarias de z.

Además hay que tener en cuenta que pueden existir saltos de fase en el grating,

habitualmente de valor π rad, que se pueden modelar como un salto de fase π, i.e.

1Matlab es una marca registrada de The MathWorks Inc.

Figura 3.1: Reectividad y transmisión típicos de una FBG uniforme

un cambio de signo, en la función p(z) (otros valores de salto de fase no se pueden

modelar así, ya que p(z) es una función real)

FBG de periodo uniforme

El caso más sencillo es la FBG uniforme, en la cual tanto el perl como el

periodo permanecen constantes en toda la longitud de la perturbación ( p(z) = 1,

Λ(z) = Λ0), con lo que el índice de refracción de la FBG se puede expresar como:

n(z) = nmed +4nmax

)(3.2)

En la Fig. 3.1 se muestra la respuesta en reexión y transmisión típica. A la

frecuencia central de la banda de reexión se la denomina frecuencia de Bragg, que

en unidades de frecuencia angular se puede escribir como:

ωB =πc

nmedΛ0

donde c es la velocidad de la luz en el vacío.

Se puede demostrar que el máximo de reectividad R(ω), que se produce a la

frecuencia de Bragg (en ωopt = ωB), se puede obtener de:

max(R(ω)) = tanh(κmaxL)2 (3.4)

3.1. Tipos de FBGs

donde L es la longitud de la FBG, y κmax es la constante de acoplo, que se puede

interpretar como una medida del acoplamiento del modo incidente al modo reejado

por unidad de longitud, y se puede obtener de la siguiente expresión [Yari 06]:

κmax =ωopt4c4nmax (3.5)

Cabe mencionar que en esta Tesis se ha supuesto un coeciente de connamiento

del haz en la bra η igual a la unidad. En general, habría que usar la expresión

κmax = η ω4c4nmax.

Como se puede observar en la Ec. 3.4, a medida que el producto κmaxL aumenta,

también aumenta la reectividad máxima. Además, si comparamos una serie de

FBGs uniformes de mismo κmax, para diferentes longitudes de red, observaremos que

al aumentar la longitud de la FBG, el ancho de la banda reejada aumenta hasta

un cierto límite. Este límite es al ancho de la banda prohibida o bandgap de la FBG

correspondiente a ese valor de κmax, que se puede obtener de la expresión [Yari 06]:

4ωgap = 2κmaxc

nmed(3.6)

En un modelo mas genérico de red de periodo uniforme tendremos una función

arbitraria de perl de grating p(z). En este caso no se suele hablar de bandgap de

anchura ∆ωgap, ya que la capacidad de modular el acoplamiento espacial mediante

la función de perl de grating p(z) permite realizar diversos tipos de procesamiento

fotónico sensiblemente más complejos y sosticados que un simple ltrado selecti-

vo de frecuencias (ver Capítulo 5). Además, es corriente expresar el coeciente de

acoplamiento como una función de z, como κ(z) = κmaxp(z). En la Sección 3.3 se

muestran las expresiones necesarias para su diseño.

FBG linealmente chirpeada

Las FBG chirpeadas (C-FBGs ) son un tipo especial de FBG en el que el periodo

de la perturbación varía con la posición en la bra, de manera que en cada punto

de la bra cambia la frecuencia de acoplamiento de los modos. En su versión más

simple, la variación del periodo es lineal a lo largo de la bra, denominándose FBGs

linealmente chirpeadas (LC-FBGs):

Λ(z) = Λ0 + CΛz (3.7)

donde Λ0 es el periodo fundamental, CΛ es el factor de chirpeado del periodo, y

consideramos la coordenada longitudinal a lo largo de la red z = [−L/2, L/2], con L la

Figura 3.2: Reectividad y retardo de grupo típicos de una LC-FBG, suponiendouna función de perl de grating apodizado de tope plano.

longitud de la red. Para anchos de banda grandes, suele ser recomendable expresar

el chirpeado en función de la frecuencia espacial K(z) = 2π/Λ(z), para asegurar la

linealidad del retardo de grupo en la banda de interés, resultando:

K(z) = K0 + CKz (3.8)

donde K0 es la frecuencia espacial fundamental del grating, y CK es el factor de chir-

peado de la frecuencia espacial, que esta relaciona con CΛ mediante CK = −2πCΛ/Λ20.

Una característica importante de las LC-FBGs es que el retardo de grupo varía li-

nealmente con la frecuencia, de hecho una de las aplicaciones típicas de las LC-FBGs

es la compensación de dispersión cromática [Hill 94].

3.2. Modos de funcionamiento

Una FBG tiene dos modos de funcionamiento, dependiendo de cual sea la señal

tomada como salida. En el modo reexión, la salida es la señal reejada, compuesta

por las componentes espectrales correspondientes al bandgap o banda de reexión

de la FBG. En el modo transmisión, la salida es la señal transmitida, que contiene

las frecuencias fuera del bandgap, cuya propagación por la FBG sí está permitida,

transmitiéndose por el otro extremo de la FBG.

3.2. Modos de funcionamiento

Figura 3.3: Montajes de una FBG en reexión empleando un circulador óptico o unacoplador óptico 2× 2

Modo reexión

Es el modo habitual de empleo de las FBGs, especialmente para aplicaciones de

procesamiento de señal, ya que permite la obtención de respuestas casi arbitrarias

mediante un diseño apropiado. En este modo de funcionamiento, las señales de en-

trada y salida, correspondientes al haz incidente y reejado de la FBG, se solapan

espacialmente, de manera que hay que separarlas mediante algún dispositivo ópti-

co. Una forma sencilla y económica, aunque bastante ineciente energéticamente,

consiste en emplear un acoplador 2 × 2 para realizar esta separación de haces. La

señal tiene que pasar dos veces por el acoplador hasta alcanzar nalmente la salida,

perdiendo en el mejor de los casos un 75% de la potencia óptica de la entrada. Otra

forma de desacoplar los haces incidente y reejado, con mayor eciencia energética,

pero más costosa, consiste en emplear un circulador óptico como elemento separador

(ver Fig. 3.3)

Modo transmisión

En este caso, la señal de salida considerada es la que se propaga a través de

la FBG, denominada señal transmitida. El montaje es extremadamente sencillo,

ya que no se requiere ningún elemento adicional, salvo quizás elementos de pro-

tección de la entrada, como un aislador óptico (aunque muchas fuentes láser lo

incluyen internamente). Sin embargo, las FBGs en transmisión no son adecuadas

en muchas aplicaciones, debido a que relaciones de amplitud/fase de su respuesta

espectral [Carb 97,Skaa 01a] impiden obtener una respuesta arbitraria. Aún así, el

Figura 3.4: FBG en transmisión.

uso en modo transmisión ofrece interesantes propiedades. En particular, dado que

no se requiere el uso de un acoplador o circulador óptico, la eciencia energética se

incrementa, el coste y la complejidad del sistema de reduce, y se evitan otros incon-

venientes como la no-linealidad el circulador óptico con altas intensidades ópticas.

También puede ser interesante en sistemas WDM (del inglés Wavelength Division

Multiplexing, multiplexación por división en longitud de onda) el hecho de que la

señal de salida presente no sólo la parte de señal procesada en la banda operativa

de la FBG, sino también todo el resto de señal fuera de esta banda. Además, el uso

en modo transmisión reduce la sensibilidad de la respuesta en fase frente a errores

de fabricación respecto del modo reexión [Hint 98]. En concreto, en esta Tesis Doc-

toral se ha propuesto el empleo de las FBGs en modo transmisión en aplicaciones

de conformado de pulsos y derivación temporal óptica de primer orden, como se

comenta en el Capítulo 7.

3.3. Diseño analítico de FBGs

En este apartado se explica el diseño analítico de FBGs, que permite la obtención

de una determinada respuesta espectral de manera relativamente sencilla. Se va a

hacer uso de la aproximación de Born, válida en baja reectividad (aproximación

excelente para una reectividad máxima menor de 10%), que consiste en asumir

que la respuesta impulsiva en reexión de la FBG, hR(t), es una versión escalada de

la función de perl de grating, p(z). A partir de hR(t) se puede hallar directamente

la respuesta espectral en reexión, o coeciente de reexión, HR(ω), mediante la

transformada de Fourier, i.e. HR(ω) = FhR(t).

Como se comenta en los ejemplos del Capítulo 7, si se desea diseñar una FBG

para su uso en transmisión, se calculará la respuesta en reexión que da lugar a la

respuesta en transmisión deseada, teniendo en cuenta que la solución no es única,

puesto que siempre existirán innidad de FBGs con diferente respuesta en reexión

que dan lugar a la misma respuesta en transmisión.

Figura 3.5: Respuesta impulsiva y reectividad correspondientes a una FBG de perlde grating triangular, para (a) baja, (b) media y (c) alta reectividad.

Diseño de FBGs de periodo uniforme

En el caso de redes de periodo uniformes, la frecuencia central siempre se asumirá

igual a la frecuencia de Bragg denida en Ec. 3.3, i.e., ω0 = ωB = πcnmedΛ0

ejemplo, supongamos el caso de una FBG uniforme, p(z) = 1, z ∈ [0, L], en la que la

perturbación correspondiente a una FBG uniforme consiste en una onda sinusoidal

modulada por una función rectángulo. En baja reectividad, usando la aproximación

de Born, se puede deducir que la respuesta impulsiva en el modo de reexión es

rectangular, hR(t) = h0 para t ∈ [0, T ], hR(t) = 0 para t /∈ [0, T ] , y T = 2nmedL/c,

donde h0 denota una constante real. El correspondiente coeciente de reexión,

HR(ω) = FhR(t), es decir, HR(ω) ∝ sinc( ωπT

) (despreciando el término de fase

lineal, retardo puro) [Poul 99]. Además, para un FBG uniforme, se puede determinar

el máximo del coeciente de reexión mediante [Otho 99] HR(0) = κmaxL. Así pues,

en caso de estar interesados en hallar el coeciente de acoplamiento requerido para

conseguir un cierto valor de coeciente de reexión, habría que usar:

κmax =HR(0)

L(3.9)

Figura 3.6: Perles de grating para una FBG de periodo uniforme, obtenidos me-diante inverse scattering para conseguir una respuesta impulsiva en reexión deenvolvente triangular, para (a) baja, (b) media y (c) alta reectividad.

Siguiendo el mismo razonamiento, para una función perl de grating con forma

triangular simétrica, p(z) = 1−∣∣2zL− 1∣∣, z ∈ [0, L], tendremos una respuesta impul-

siva con forma igualmente triangular (ver Fig. 3.5), con hR(t) ∝ 1 −∣∣2tT− 1∣∣ para

t ∈ [0, T ], hR(t) = 0 para t /∈ [0, T ] , y T = 2L/nmed. El coeciente de reexión,

HR(ω), será su transformada de Fourier, en este caso HR(ω) ∝ sinc2( ωπT/2

) (despre-

ciando el término de fase lineal, retardo puro) [Poul 99]. En general, para un cierta

función de perl de grating p(z), bajo la aproximación de Born, se puede deducir

que HR(0) = κmax´ L

0p(z)dz. Por tanto, en caso de estar interesados en hallar el

coeciente de acoplamiento requerido para conseguir un cierto valor de coeciente

de reexión, habría que usar:

κmax =HR(0)´ L

0p(z)dz

(3.10)

A partir de una máxima reectividad mayor del 10%, la aproximación de Born

deja de ser precisa, ya que se produce una saturación de la reectividad, una varia-

ción de la fase espectral, y una distorsión de la respuesta impulsiva (ver Fig. 3.5).

Esto no implica que no sea posible utilizar las FBGs en alta reectividad, ya que

existen algoritmos que calculan los parámetros del grating correspondiente a una de-

terminada respuesta impulsiva fuera del régimen de baja reectividad, denominados

en la literatura como algoritmos inverse scattering [Fece 99,Skaa 01a,Capm 07b].

Sin embargo, hay que tener en cuenta que estos algoritmos no siempre son la

mejor solución a un problema de diseño, puesto que pueden dar lugar a gratings

complicados. Además, es muy importante la precisión en la fabricación de la FBG,

sobre todo respecto del valor exacto del coeciente de acoplamiento, ya que el per-

l de grating que se obtiene mediante inverse scattering solamente es válido si se

da lugar a la reectividad máxima de diseño. En la Fig. 3.6 se muestran perles

calculados para conseguir una respuesta impulsiva triangular con una FBG de pe-

riodo uniforme, calculados para reectividad baja, media, y alta. A continuación se

muestra un ejemplo de diseño analítico de una FBG de periodo uniforme en baja

reectividad, hacendo uso de la aproximación de Born.

Ejemplo: Diseñar una FBG de periodo uniforme, para obtener una res-

puesta impulsiva hR(t) triangular simétrica, de duración total T = 10 ps,

donde la reectividad máxima es HR(0) = 0.3, asumiendo una frecuencia

central en su frecuencia de Bragg, ω0/2π = ωB/2π = 193 THz, y nmed = 1.45.

En primer lugar, para poder realizar un diseño analítico, es necesario validar

la condición de Born. En este caso la reectividad máxima se puede obtener de

|HR(0)|2 =0.09, con lo cual podemos asumir que la función de perl de grating p(z)

será una versión escalada y normalizada de hR(t), que podemos obtener como una

función triangular simétrica normalizada de anchura total L:

p(z) = 1−∣∣∣∣2zL − 1

∣∣∣∣ , z ∈ [0, L] (3.11)

La longitud de la FBG se puede obtener de L = cT/2nmed = 1.03 mm. El

acoplamiento máximo se puede obtener de Ec. 3.10, obteniéndose κmax = 0.3L/2

580.4 m−1. Considerando un índice de connamiento de haz η = 1, utilizando Ec. 3.5,

tendríamos una modulación máxima del índice de refracción ∆nmax = 5.74× 10−4.

Finalmente, el periodo de la red puede ser determinado fácilmente a partir de 3.3,

de manera que Λ0 = πcnmedωB

, en este caso 535.63 nm.

Así pues, podemos escribir la función del índice de refracción del núcleo de la

FBG como:

n(z) = 1.45 + 2.87× 10−4

∣∣∣∣ 2z

1.03× 10−3− 1

∣∣∣∣) cos

535.63× 10−9

)z ∈ [0, 1.03× 10−3] m (3.12)

Diseño de FBGs linealmente chirpeadas

La aplicación de la aproximación de Born implica un mapeo espacio-tiempo,

ya que la función espacial del perl del grating, p(z), es mapeada en la función

temporal de la respuesta impulsiva hR(t). En caso de FBGs linealmente chirpea-

das (LC-FBGs), si la dispersión introducida por la misma es suciente, se produce

también un mapeo espacio→tiempo→frecuencia [Azan 02b], de manera que la fun-

ción de perl de grating p(z) se mapea simultáneamente en la función temporal

hR(t), y en la función espectral HR(ω). En realidad, el principio es el mismo que

el del transformador de Fourier en tiempo real [Muri 99], que a su vez está basado

en la condición de Fraunhofer en óptica espacial, junto con la dualidad espacio-

tiempo [Koln 94, Howe 06], que consiste en aplicar la equivalencia existente entre

la difracción paraxial de haces ópticos en el espacio y la distorsión de pulsos ópti-

cos medios dispersivos. En denitiva, cuando a una señal óptica contiene suciente

dispersión lineal (fase espectral cuadrática), sus formas en el dominio del tiempo y

de la frecuencia son versiones escaladas, de manera que existe un mapeo tiempo-

frecuencia. De hecho, podemos aplicar las condiciones de dispersión deducidas en el

transformador de Fourier en tiempo real [Muri 99], que emplea este fenómeno para

realizar un mapeo frecuencia-tiempo mediante la introducción de dispersión lineal

con una LC-FBG, y poder obtener así la transformada de Fourier de la señal óptica:

∣∣∣φR∣∣∣ ∆t2

8π(3.13)

donde φR =dφ2

dω2 es el coeciente de dispersión de primer orden de la FBG, y

φR(ω) = ∠HR(ω). En nuestro caso ∆t será la anchura temporal de la señal resultante

de compensar la dispersión de la repuesta impulsiva hR(t).

Por su parte las expresiones correspondientes al factor de chirpeado CK y la

longitud L de la FBG, son [Muri 99]:

CK = −4n2med/(c

2φR) (3.14)

L =∣∣∣φR∣∣∣ c∆ωg/(2nmed) (3.15)

donde ∆ωg es el ancho de banda total de la FBG.

En cuanto al la función de perl de grating, tenemos la versión escalada norma-

lizada de la respuesta espectral:

p(z) = norm(∣∣∣HR

(ω = signo (CK) ∆ωg

)∣∣∣) (3.16)

Figura 3.7: Ejemplos de mapeo espacio-frecuencia.

donde z ∈[−L

], signo(x) = x

|x| , y norm(f(x)) = f(x)max(|f(x)|) .

Es posible extender lo anteriormente expuesto a regímenes de alta reectividad.

En principio, el espectro HR(ω) resultante sería una versión escalada y saturada de

p(z). Existen diferentes aproximaciones analíticas del efecto de alta reectividad de

una LC-FBG [Muri 97], que se pueden consultar en [Carb 99]. Así pues, es posible

calcular la función de perl p(z) que da lugar a una ciertaHR(ω), precompensando el

efecto de la saturación espectral mediante una función de anti-saturación. Es impor-

tante tener en cuenta que la precompensación mediante el empleo de la función de

anti-saturación permitirá la obtención de una cierta reectividad deseada, pero ha-

brá una distorsión de la fase espectral en reexión, que está directamente relacionada

con la fase espectral en transmisión [Carb 99]. En particular, en la presente Tesis

Doctoral se han usado una aproximación basada en la el logaritmo [Bova 88], ya que

ha sido la que ha mostrado mayor concordancia con los resultados de simulación:

p(z) = norm

(√− ln

∣∣∣HR

(ω = signo (CK) ∆ωg

)∣∣∣2)) (3.17)

Por su parte, ∆nmax y κmax se pueden obtener a partir de [Long 02]:

∆nmax =nmedω0

πφRRmax (3.18)

κmax =nmed4c

πφRRmax (3.19)

donde Rmax es el valor de la reectividad máxima deseada, Rmax = max(|HR (ω)|2

En caso de realizar un diseño en alta reectividad, habría que tener en cuenta

la función de anti-saturación empleada. En caso de emplear la aproximación del

logaritmo (Ec. 3.17), se debería emplear un valor de Rmax precompensado, Rmax =

max(− ln

(1− |HR (ω)|2

En los Capítulos 6 y 8 existen varios ejemplos sobre el diseño de FBGs linealmente

chirpeadas bajo la condición de mapeo espacio-tiempo-frecuencia.

Capítulo 4

Estructuras Paso-Todo de Cavidades

Ópticas

Los ltros paso-todo, ó solo-fase, se caracterizan por no afectar a la densidad es-

pectral de potencia de la señal de entrada, solamente a su fase espectral, permitiendo

así un procesamiento con una eciencia energética teórica del 100%. Estos ltros se

han empleado en varias aplicaciones de procesamiento de señal óptica. Por ejemplo,

una aplicación esencial en comunicaciones ópticas consiste en la compensación de

dispersión [Ouel 87, Ibse 03,Gnau 90,Shu 05], en los cuales el ltro aplica a la señal

de entrada una fase espectral con una componente cuadrática (dispersión lineal) y/o

cúbica (dispersión de tercer orden) que compensa la dispersión introducida por un

canal óptico dispersivo. También se han empleado para la multiplicación de la tasa

de repetición de pulsos y generación de ráfagas de pulsos (ver Sección 5.4).

Existen multitud implementaciones ópticas de ltros paso-todo de diferente tec-

nología, incluyendo FBGs chirpeadas [Azan 99,Azan 03,Hill 94,Ouel 87], modulador

espacial de lineas espectrales [Wein 88,Wein 90,Cara 07] y Arrayed Waveguide gra-

tings [Seo 03].

En este capítulo se presenta un conjunto de estructuras de cavidades ópticas que

permiten la implementación de ltros paso-todo de respuestas de distinta comple-

jidad, en función del número de cavidades combinadas. En primer lugar, hay que

decir que se va a considerar que estas estructuras tienen un comportamiento lineal

e invariante en el tiempo, lo cual permite su caracterización mediante la respuesta

impulsiva temporal, o la respuesta en frecuencia.

Es importante mencionar que es posible implementar cavidades paso-todo me-

diante el uso de FBGs adecuadamente diseñadas [Shu 03,Shu 06]. Asimismo, también

es posible implementar cavidades ópticas mediante estructuras de cristal fotónico,

en concreto se pueden diseñar circuitos ópticos de cristal fotónico para la implemen-

4. Estructuras Paso-Todo de Cavidades Ópticas

Figura 4.1: Cavidad óptica simple en sus dos posibles implementaciones, basadas enuna anillo resonante, y una cavidad tipo Gires-Tournois.

tación de anillos resonantes [Ghaf 07,Kuma 04].

4.1. Cavidad simple paso-todo

El caso básico sería el interferómetro Gires-Tournois, que consiste en una cavidad

elemental tipo Fabry-Perot, en la cual una de las capas reectantes produce una

reexión total (coeciente de reexión igual a la unidad). Obviando las pérdidas, es

evidente que toda la potencia óptica incidente debe ser reejada, por lo que no se

afecta a la densidad espectral de potencia de la señal de entrada, solamente a su

fase espectral. En conguración de anillo resonante, el equivalente al interferómetro

Gires-Tournois consiste en un anillo con un solo punto de acoplamiento. Se puede

demostrar que la respuesta espectral de ambos ltros es completamente equivalente

en el caso ideal. Es posible modelar esta cavidad mediante tres parámetros:

El coeciente de reexión de la capa parcialmente reectora r en el caso del

Gires-Tournois, o bien el coeciente de acoplamiento del anillo K = 1− r2 (en

lo siguiente consideraremos únicamente el parámetro r).

El rango espectral libre, FSR (Free spectral range)

El factor de transmisión de amplitud de ida y vuelta (o round trip amplitud

transmision factor) , denotado por a = exp (−αLc/2) donde α es el coeciente

de pérdida de potencia, Lc es la longitud de la cavidad.

Podemos expresar la función de transferencia de la cavidad óptica simple paso-

todo como [Yari 06,Darm 06]:

Hsimple (ω) =r − a exp

(−j(

))1− ra exp

(−j(

)) (4.1)

Para poder realizar un procesamiento solo-fase, las pérdidas de la cavidad deben

ser despreciables (a ≈ 1), obteniendo así un ltro paso-todo, en el que |Hsimple (ω)| =1, y:

∠Hsimple (ω) = φsimple (ω) = −2 arctan

((1 + r

1− r

2FSR+φ0

donde φ0 = (ω0/FSR) es la fase de ida y vuelta que introduce la cavidad en la señal

óptica, a la frecuencia angular central ω0.

En la Fig. 4.2 se representa la función de retardo de grupo τsimple (ω) = −dφsingle(ω)/dω

para varios valores de φ0 (en concreto φ0 = 0, φ0 = π/2 y φ0 = −π/2 ) , con r = 0.7

y a = 1. Como se puede observar, el parámetro φ0 se maniesta en τsimple (ω) con

un desplazamiento en frecuencia. En la Fig. 4.3 se representa el retardo de grupo

τsingle (ω) para diferentes valores de r, con a = 1, y φ0 = 0. Como se puede obser-

var, diferentes valores de r afectan a la forma del retardo, de manera que un valor

alto de r hace que la forma del retardo de grupo sea más abrupta, y que el factor

de calidad de la cavidad aumente. Esto provoca que la respuesta de la cavidad sea

más sensible a φ0, puesto que un pequeño desplazamiento en frecuencia provoca una

gran variación del valor de τsingle (ω) entorno a la frecuencia de resonancia, donde

se produce el pico de retardo de grupo.

Es posible representar la respuesta espectral de la cavidad paso-todo (a ≈ 1)

como transformada Z [Oppe 89], haciendo el cambio de variable Z = exp(

jωFSR

resultando la ecuación:

Hsimple (Z) =r − e−jφ0Z−1

1− r · e−jφ0Z−1(4.2)

En el plano complejo Z [Oppe 89], se puede deducir fácilmente que tenemos un

polo en Zp = r ·e−jφ0 , y un cero en Zc = r−1e−jφ0 , como muestra en la Fig. 4.4. En la

Fig. 4.5 se representa la correspondiente respuesta impulsiva discreta para diferentes

valores de r (para cavidad sin pérdidas, a ≈ 1):

hsimple(t) =∞∑i=1

hnδ (t− nT ) (4.3)

donde hn son constantes complejas y T = FSR−1.

Figura 4.2: Representación del retardo de grupo en función de la frecuencia, paradistintos valores de φ0 (φ0 = 0 en continua, φ0 = π/2 en discontinua, y φ0 = π enpunteado)

Figura 4.3: Representación del retardo de grupo en función de la frecuencia, paradistintos valores de r (0.9 en discontinua, 0.7 en continua, y 0.5 en punteada)

Figura 4.4: Diagrama polo-cero de la cavidad óptica simple.

Figura 4.5: Respuesta impulsiva de la cavidad óptica para diferentes valores de r

Figura 4.6: Efecto de las pérdidas en la amplitud de la respuesta espectral represen-tada en un ancho espectral igual a un FSR, donde se ha tomado r = 0.5, y valoresde pérdidas a =0.95, 0.9, 0.75, y 0.5, representados en línea continua, discontinua,punteada, y discontinua punteada, respectivamente.

No idealidades

Existen varias no idealidades a tener en cuenta en una cavidad óptica. En general,

sobre todo en caso del anillo resonante, habría que tener en cuenta las pérdidas en la

cavidad (a < 1). Además, siempre van a existir errores de fabricación, que provocan

una cierta variación en los valores exactos de r y de φ0. Esto es especialmente

delicado en el caso de φ0, ya que una variación en el camino óptico de la cavidad

igual a una proporción de una longitud de onda provocará un cambio de la misma

proporción de 2π rad en el valor de φ0. Estos tres efectos afectan a las posiciones del

par polo-cero de la cavidad, que se encuentran respectivamente en Zp = r ·a ·e−jφ0 , y

en Zc = r−1a·e−jφ0 . Al contemplar las pérdidas, el ltro dejará de comportarse como

un ltro paso-todo, y de tener una eciencia energética del 100%. Además, se puede

observar que en el caso a = r, el cero se encuentra en la circunferencia unidad,

i.e., |Zc| = 1. Esta situación provoca la eliminación total de ciertas componentes

espectrales de la señal de entrada, y se conoce como acoplamiento crítico (critical

coupling) [Darm 06]. En Fig. 4.6 se muestra el efecto de las pérdidas en la respuesta

espectral en una cavidad óptica simple con r = 0.5, produciéndose acoplamiento

crítico para a = r = 0.5, donde se puede observar la eliminación de las componentes

espectrales entorno a la frecuencia central de la gráca.

Otro efecto que hay que tener en cuenta consiste en que, en la práctica, debido a

la dispersión que sufre el pulso en el guiado a través del anillo, así como de la depen-

4.2. Estructuras multi-cavidad

dencia con la frecuencia de diversos parámetros de la cavidad, el ltro solamente se

podrá considerar espectralmente periódico en un cierto ancho de banda nito. Desde

el punto de vista del dominio del tiempo, el razonamiento equivalente consiste en

considerar que la respuesta impulsiva no es perfectamente discreta, de manera que

en lugar de la secuencia de deltas de Dirac descrita en la Ec. 4.3, está compuesta

por una serie de pulsos muy estrechos. La aproximación como ltro discreto (i.e.

espectralmente periódico) será buena siempre que los pulsos de entrada sean signi-

cativamente más anchos que los pulsos que componen la respuesta impulsiva, que

en tal caso podrán ser aproximados como funciones deltas de Dirac.

Las cavidades ópticas simples paso-todo pueden ser combinadas para formar es-

tructuras paso-todo de cavidades más complejas, aumentando las posibilidades de

procesamiento fotónico de la estructura. Para mantener la característica periódica

espectral de la estructura resultante, se debe cumplir que los FSRs de las cavidades

que se combinan tengan una proporción racional, siendo el FSR de la estructura

resultante igual al mínimo común múltiplo de los FSRs de las cavidades que se

combinan. La estructura tendrá, por tanto, una respuesta espectral periódica, res-

presentable en el plano complejo Z [Oppe 89]. En el caso más sencillo, todas las

cavidades combinadas tendrán el mismo FSR, igual al FSR de la estructura resul-

tante, y la respuesta espectral de la estructura estará compuesta por un conjunto de

pares de polos y ceros, con tantos pares como cavidades combinadas. En la Fig. 4.7 se

muestra un ejemplo de un posible diagrama polo-cero para una estructura de orden

4. Al aumentar el orden de la estructura, que vendrá determinado por el número de

cavidades combinadas, aumentarán las capacidades de procesamiento de la misma.

En la Fig. 4.8 se muestran varios ejemplos de respuestas impulsivas para estructu-

ras de orden 4, que se puede representar mediante hestru(nT ) =∑∞

i=1 hnδ (t− nT ),

donde T = FSR−1 igual al periodo temporal de la estructura, y hn son constantes

complejas.

Estructura en cascada

La estructura en cascada resulta particularmente sencilla en caso de anillos re-

sonantes, ya que consiste en una secuencia de anillos acoplados a una guía común.

En el caso de una implementación mediante cavidades basadas en reectores, la es-

tructura resulta algo mas compleja porque se hace necesario el uso de un circulador

óptico, o de un dispositivo similar, para conectar las diferentes cavidades.

Figura 4.7: Diagrama polo-cero de una estructura óptica de orden 4.

Figura 4.8: Ejemplos de coecientes |hn| de la respuesta impulsiva para estructurasde orden 4.

Figura 4.9: Estructuras ópticas paso-todo en cascada: mediante (a) anillos acopladosy (b) Gires-Tournois (GTs)

La respuesta espectral de esta estructura se puede obtener muy fácilmente, mul-

tiplicando las respuestas espectrales de cada una de las cavidades simples. Así pues,

la respuesta espectral correspondiente a una estructura de N cavidades en cascada

sería:

Hcasc(ω) =N∏i=1

Hsimple,i(ω) (4.4)

donde Hsimple,i(ω) es la respuesta espectral correspondiente a la i-ésima cavidad

óptica paso-todo, descrita en la Ec. 4.1.

Si consideremos por simplicidad el caso de anillos de igual FSR, se obtendría

una estructura con este mismo FSR. Si de nuevo aplicamos Z = exp (jω/FSR),

usando 4.2, se obtiene que la respuesta espectral representada en Z [Oppe 89] tiene

la siguiente forma:

Hcasc(Z) =N∏i=1

Hsimple,i(Z) =N∏i=1

ri − e−jφ0,iZ−1

1− rie−jφ0,iZ−1

Podemos ver que los polos y los ceros de la estructura resultante están formados

por los pares de polos de cada cavidad añadida, Zp,i = ri ·e−jφ0 , Zc,i = r−1i e−jφ0,i . Así

pues, hay una relación directa entre cada par polo-cero, y los parámetros (ri, φ0,i)

de cada una de las cavidades. De esta forma, cada vez que se añade una cavidad a

la estructura, se añade un par polo-cero, sin afectar al resto de polos y ceros de la

estructura.

Estructura acoplada

Se puede implementar mediante una secuencia de reectores terminada por un

espejo totalmente reectante, o equivalentemente, mediante una cadena de anillos

acoplados terminada en un anillo sin acoplar por un extremo, como se muestra en la

Fig. 4.10. Como se puede comprobar, la implementación por secuencia de reectores

no requiere de ningún elemento adicional, al contrario que en la estructura acoplada,

por lo que resulta signicativamente más sencilla.

Figura 4.10: Estructuras ópticas paso-todo acopladas: (a) reectores y (b) anillosacoplados.

La respuesta espectral no se puede obtener de forma tan directa como en el caso

anterior, ya que requiere usar el método de análisis por matrices de transferencia

[Capm 90]. Para un sistema de orden N, se obtendría una respuesta espectral de la

forma:

Hacop(Z) =N∏i=1

pi − e−jϕiZ−1

1− pie−jϕiZ−1(4.5)

donde la amplitud y la fase de los polos y ceros son función del conjunto de pará-

metros de todas las cavidades de la estructuras, i.e.:

pi = pi (ri, φo,i)ϕi = ϕi (ri, φo,i)

Al no existir una asociación directa entre cada par polo-cero y cada cavidad de la

estructura, el diseño se complica respecto de la estructura acoplada, donde sí existe

esta asociación.

Estructuras híbridas

Las anteriores estructuras de cavidades se pueden combinar en cascada, obtenien-

do estructuras cuya respuesta espectral es el producto de las respuestas espectrales

de cada estructura, i.e. :

Hhib(Z) =N∏i=

Hestru,i(Z)

donde Hestru,i(ω) es la respuesta espectral correspondiente a la i-ésima estructura

combinada.

Figura 4.11: Agregación de pares polo-cero en estructura híbrida.

En la Fig. 4.11 se muestra un ejemplo de combinación de una estructura acoplada

con una en cascada. También se muestra como el conjunto de pares polo-cero de

la estructura resultante está formado por los correspondientes a cada una de las

estructuras que se combinan, suponiendo por simplicidad que ambas estructuras

tienen mismo FSR. Así pues, el orden total de la estructura resultante será igual a

la suma de los órdenes de las estructuras que se combinan.

Además, los anillos resonantes permiten muchas posibilidades de combinación,

pudiendo dar lugar a innidad de estructuras ópticas complejas, algunas de las cuales

se muestran en la Fig. 4.12. Como línea de trabajo futura, sería interesante estudiar

las diferentes posibilidades de combinación de los anillos y las propiedades de las

estructuras resultantes, así como posibles ventajas y capacidades en aplicaciones de

procesamiento de señal fotónica.

Figura 4.12: Ejemplos de estructuras ópticas paso-todo basadas en anillos resonantes.

Parte II

Contribuciones al Procesado de

Señal Fotónica

Capítulo 5

Aplicaciones del Procesado de Señal

Fotónica

En la presente Tesis Doctoral se han estudiado en profundidad y hecho contri-

buciones en las siguientes aplicaciones:

Conformado de pulsos.

Derivación temporal óptica.

Integración temporal óptica.

Multiplicación de la tasa de repetición de pulsos.

Generación de ráfagas de pulsos.

En las siguientes secciones del capítulo se comenta el estado del arte de cada una de

estas aplicaciones, mencionando las contribuciones realizadas, que se explican detalle

en los demás capítulos de la Parte II. Cabe mencionar que existen otras aplicaciones,

que no se van a explicar con detalle puesto que no han sido tratadas en esta Tesis,

entre las que destacamos:

Transformador de Fourier en tiempo real [Muri 99], que realiza la transformada

de Fourier de señales de entrada limitadas en tiempo, de forma análoga al efecto

Fraunhofer espacial.

OCDMA (optical code division multiplexing, multiplexación óptica por divi-

sión en código) [Grun 99] que consiste en la codicación y decodicación de

bits mediante códigos ópticos, que emplean simultáneamente los dominios de

tiempo y frecuencia para llevar a cabo la multiplexación.

Transformador de Hilbert en tiempo real [Asgh 09], que realiza la transformada

de Hilbert de la señal de entrada.

5. Aplicaciones del Procesado de Señal Fotónica

5.1. Conformado de pulsos

Las técnicas de conformado de pulsos para la obtención precisa de formas de

onda temporales en el régimen de picosegundos y sub-picosegundos son de gran

importancia en diferentes aplicaciones. Durante muchos años, nuevas técnicas todo-

ópticas han sido desarrolladas. Los pulsos conformados son tales que, al propagarse

por una bra óptica con muy altas intensidades, el efecto no lineal de la bra junto

con la forma concreta del pulso da lugar a diferentes características útiles en muchas

aplicaciones, en diversos campos como las comunicaciones ópticas, la metrología, o

el sensado. Así pues, los pulsos de tope plano [Petr 01a,Parm 06a,Oxen 07] tienen

aplicación en experimentos de física ultra-rápida mediante medidas bombeo-sonda

(pump-probe measurements), en conmutación óptica, y en la eliminación de las os-

cilaciones temporales de una fuente de pulsos (time jitter) . Los pulsos parabólicos

(forma parabólica en intensidad) se aplican aprovechando la auto-modulación de

fase (SPM, del inglés self-phase modulation) para la generación de grandes anchos

de banda de manera no-lineal (supercontinuum generation) [Parm 06b]. Los pul-

sos diente de sierra han sido propuestos para la conversión de longitud de onda,

mediante su superposición con una fuente de pulsos en la entrada [Parm 08], para

aplicaciones de OTDM (optical time division multiplexing, multiplexación óptica por

división en tiempo).

En óptica de bloques se han propuesto diferentes técnicas de conformado de

pulsos. Por ejemplo, en [Wein 88,Wein 00,Huan 08], se emplean gratings espaciales

para descomponer y recomponer la luz en sus diferentes componentes espectrales en

el espacio, mientras que una serie de moduladores de cristal líquido manipulan las

diferentes componentes espectrales de la señal dispersada. Una solución alternativa

basada en el mismo principio, que resuelve las limitaciones inherentes a la óptica

de bloques, consiste en el empleo del dispositivo óptico arrayed waveguides grating

(AWG) [Kuro 97, Take 00,Miya 06], que se trata de un dispositivo integrable que

permite igualmente la separación espectral de una señal luminosa en múltiples salidas

para la manipulación de las diferentes componentes espectrales.

Otra solución posible consiste en el empleo de FBGs, que han sido propuestas

en diferentes aplicaciones de conformado de pulsos mediante ltrado lineal de la se-

ñal de entrada [Petr 01a,Azan 02b,Parm 08]. El método más extendido es emplear

una red de periodo uniforme [Petr 01a,Parm 08], haciendo uso del mapeo espacio-

tiempo que se produce entre la función de perl del grating, y la respuesta impul-

siva. En [Azan 02b] se propone una LC-FBG para conformar pulsos aprovechando

que, en condiciones de suciente dispersión, es posible extender el mapeo espacio-

tiempo, que en principio solamente sería válido en baja reectividad (aproximación

5.2. Derivación temporal óptica

de Born), a regímenes de alta reectividad. Sin embargo, la señal de salida contiene

una componente dispersiva, y requiere un ancho de banda signicativamente mayor

al realmente necesario para la conformación del pulso.

En esta tesis doctoral se han realizado varias contribuciones al estado del arte

de la conformación de pulsos mediante FBGs:

En [Prec 07a] se ha propuesto un sistema basado en un par de FBGs opuesta-

mente chirpeadas, que se comenta en el Capítulo 6.

En [Prec 08b] se ha propuesto un sistema basado en una FBG en modo trans-

misión, que se comenta en el Capítulo 7.

Figura 5.1: Ejemplos de conformadores de pulsos ópticos.

5.2. Derivación temporal óptica

Un derivador temporal óptico consiste en un dispositivo que realiza la derivación

temporal de la envolvente de una determinada señal óptica de entrada. Generalizan-

do, un derivador temporal óptico de orden N es un dispositivo que realiza a derivada

temporal N-ésima de la envolvente compleja de un pulso óptico arbitrario. Esta ope-

ración es realizada por dispositivos ópticos a velocidades varios órdenes de magnitud

mayores que en electrónica. Estos dispositivos encuentran importantes aplicaciones

como bloques básicos constructivos en circuitos de procesamiento de señal óptica

ultra-rápida [Ngo 04]. Por ejemplo, existen aplicaciones de metrología [Li 07,Li 08],

y conformado de pulsos de tope plano [Park 06]. Además, los derivadores ópticos

son de inmediato interés para la generación de pulsos de Gauss-Hermite de orden

N, los cuales pueden ser utilizados para la síntesis de cualquier forma temporal por

superposición [Silv 89], con un interés inmediato para la generación de pulsos en

sistemas UWB [Silv 07,Chen 07,Aiel 03,Gord 08], que han emergido como alterna-

tiva de futuro a tecnologías como Wi y Bluetooth en la red de acceso personal de

banda ancha.

La operación temporal del derivador de orden N se puede expresar mediante

fout(t) = dNfin(t)/dtN , donde fin(t) y fout(t) son las envolventes complejas de la

entrada y salida del sistema respectivamente.

Figura 5.2: Ejemplos de derivadores temporales ópticos. Las señales temporales estánrepresentadas como la amplitud de su envolvente compleja, donde la linea punteadaindica un desfase de π rad respecto de la línea continua.

Existen diferentes implementaciones todo-ópticas de derivadores temporales, in-

cluyendo ltros transversales de óptica integrada [Ngo 04], y redes de difracción de

Bragg de periodo largo [Slav 06]. Las FBGs han sido propuestas como derivador

temporal óptico. Concretamente, en [Berg 07,Kuli 07] se utilizan FBGs de periodo

uniforme con saltos de fase dispuestos de tal forma que permiten obtener una deriva-

ción temporal en una pequeña porción del ancho de banda total de la FBG, entorno

a la frecuencia central de la misma. En [Riva 07] se han propuesto FBGs linealmente

chirpeadas en transmisión para la obtención de derivación temporal óptica de orden

par, siendo necesario añadir un segundo elemento derivador de primer orden para

conseguir el orden impar.

En esta Tesis Doctoral se han realizado varias contribuciones al estado del arte

de la derivación temporal óptica mediante FBGs:

En [Prec 07b] se ha propuesto un sistema basado en un par de FBGs opuesta-

mente chirpeadas para la implementación de derivadores de orden arbitrario

y ancho de banda sintonizable, que se comenta en el Capítulo 6.

5.3. Integración temporal óptica

En [Prec 07c] se ha propuesto un sistema basado en una FBG linealmente chir-

peada para la implementación de derivadores de orden arbitrario, que permite

simultáneamente la multiplicación de la tasa de repetición de pulsos, que se

comenta en el Capítulo 8.

En [Prec 08b] se ha propuesto un sistema basado en una FBG en modo trans-

misión para la implementación del derivador de primer orden, que se comenta

en el Capítulo 7.

5.3. Integración temporal óptica

El integrador temporal óptico es, junto con el derivador temporal, uno de los

bloques básicos esenciales en circuitos de procesamiento de señal óptica ultra-rápida

[Ngo 06a]. Realiza la integral temporal de la intensidad (integrador coherente) o de la

envolvente compleja (integrador incoherente) de una determinada señal de entrada, y

ha encontrado aplicaciones concretas como detector de solitón oscuro y conformador

de pulsos [Ngo 06a, Ngo 06b, Ngo 07b]. Asimismo, han sido propuestos [Slav 08]

como elementos esenciales para la computación de problemas complejos de ingeniería

denidos mediante ecuaciones diferenciales [Simm 91].

En concreto, esta Tesis Doctoral está enfocada en el integrador temporal cohe-

rente [Ngo 06a,Ngo 06b,Ngo 07b,Pand 91,Ngo 07a], cuya operación en el dominio

temporal se puede expresar como fsal(t) =´ t−∞ fent(t)dt, donde fent(t) y fsal(t) son

las envolventes complejas de la entrada y la salida del sistema, respectivamente.

Figura 5.3: Ejemplos de integradores temporales ópticos. Las señales temporalesestán representadas como la amplitud de su envolvente compleja, donde la lineapunteada indica un desfase de π rad respecto de la línea continua.

Concretamente, las FBGs han sido propuestas como integradores temporales óp-

ticos en [Ngo 07a,Azan 08, Slav 08]. En [Ngo 07a] se ha demostrado que una FBG

con salto de fase en transmision y régimen de muy alto acoplamiento (reectividad

muy alta, cercana al 100%) puede aproximar la respuesta el integrador sobre un

cierto ancho de banda limitado. En [Azan 08], una FBG uniforme (con respuesta

impulsiva aproximadamente rectangular) es usada aprovechando el hecho de que la

convolución temporal de una señal de entrada arbitraria con una función rectangu-

lar puede ser considerada como una integración temporal para una cierta ventana

temporal de validez. En [Slav 08] se propone una FBG chirpeada en transmisión,

con la particularidad de que la FBG está en inscrita en una bra óptica dopada con

Erbio, de manera que permite introducir una ganancia óptica en la misma.

Los integradores ópticos pasivos [Pand 91,Ngo 07a,Azan 08] no requieren ningún

elemento de ganancia (medio activo), y pueden efectuar operaciones cercanas a la

integración temporal ideal, aunque no están indicadas para cualquier tipo de señal

o aplicación.

En esta Tesis Doctoral se ha realizado una contribución que consiste en un inte-

grador pasivo basado en una FBG en reexión de periodo uniforme [Prec 08e], y se

comenta en el Capitulo 9.

5.4. Generación de trenes de pulsos

Las técnicas para la generación de trenes de pulsos a muy altas tasas de repetición

resultan muy atractivas para futuros sistemas de comunicaciones a altas velocidades.

Se han explorado diferentes técnicas para la generación de trenes de pulsos periódicos

a velocidades de repetición mayores que las que se pueden conseguir mediante láseres

pulsados (ver Apéndice A). Una alternativa consiste en la multiplicación de la tasa

de repetición de pulsos (MTRP) de una fuente de menor tasa mediante la aplicación

de un ltrado en amplitud y/o fase espectral. Otra técnica muy similar consiste en

la generación de ráfagas de pulsos a partir de un pulso individual (ver Fig. 5.4).

En el dominio de la frecuencia, un tren periódico de pulsos ideal está compues-

to por una secuencia de componentes espectrales discretas, y las técnicas MTRP

se basan en cambiar periódicamente la amplitud y/o la fase de estas componentes

espectrales mediante ltrado lineal. Por ejemplo, en [Cara 07] se emplea el siste-

ma de conformación espectral mediante gratings espaciales propuesto en [Wein 90],

comentado en la Sección 5.1, para realizar un procesamiento solo-fase sobre cada

una de las líneas espectrales de la entrada. En [Seo 03] se han propuesto tam-

bién los AWG, donde se aprovecha la generación de ráfagas de pulsos intrínseca

del AWG para obtener MTRP. También es posible aplicar ltros periódicos para

5.4. Generación de trenes de pulsos

Figura 5.4: Ejemplos de generadores de trenes de pulsos.

modicar la amplitud/fase de las componentes espectrales de la entrada de for-

ma periódica [Yian 03, Xia 05, Xia 06, Huan 00, Azan 02a, Slav 05]. Otra alter-

nativa consiste en la introducción de una fase espectral cuadrática mediante ele-

mentos ópticos dispersivos, para lo cual se pueden emplear bras ópticas o LC-

FBGs [Arah 98, Shak 98,Azan 99], que consiguen MTRP mediante la auto-imagen

producida por el efecto Talbot temporal [Azan 99], que a su vez están basadas en el

efecto Talbot espacial junto con la dualidad espacio-tiempo [Koln 94,Howe 06]. Se

puede demostrar que las diferentes componentes espectrales son modicadas de for-

ma espectralmente periódica mediante un ltrado solo-fase, dando como resultado

un tren periódico con envolvente uniforme.

En cuanto a la generación de ráfagas de pulsos a partir de un pulso individual, se

ha propuesto el procesador fotónico de óptica de bloque basado en gratings espaciales

de [Wein 90]. De nuevo, existe una implementación alternativa basada en AWG

[Kuro 97,Leai 02,Mura 06], integrable, que permite la generación de ráfagas de tope

plano, y que resuelve las limitaciones prácticas de la óptica de bloque. También

han sido propuestas las FBGs en [Azan 03, Garc 07], donde se superponen varias

LC-FBGs en la misma bra para conseguir ráfagas de pulsos, con alta eciencia

energética.

En esta Tesis doctoral se han realizado varias contribuciones al estado del arte de

la generación de trenes de pulsos mediante estructuras paso-todo de cavidades óptica,

que idealmente realizan un procesamiento solo-fase, con una eciencia energética

teórica del 100%:

En [Prec 08c,Prec 08a,Prec 08d] se proponen varias estructuras de cavidades

para MTRP, que se comentan en el Capítulo 10.

En [Prec 09b] se proponen estructuras de cavidades para la generación de

ráfagas de pulsos, que se comentan en el Capítulo 11.

Capítulo 6

Procesador Fotónico de Pulsos

Ópticos Basado en un Par de FBGs

Opuestamente Chirpeadas

En este capítulo se presenta y explica un procesador fotónico compuesto por

dos FBGs linealmente chirpeadas en dos aplicaciones de procesado de señal, apor-

tadas como contribución en esta Tesis Doctoral: como conformador de pulsos óp-

ticos [Prec 07a], y como derivador temporal óptico [Prec 07b]. En la Fig. 6.1 se

muestra un esquema del procesador fotónico. La primera FBG, FBGa (conformador

espectral) conforma la amplitud de la respuesta espectral del sistema. La segun-

da FBG, FBGb (compensador de dispersión), cancela la dispersión introducida por

FBGa. Obviamente, el orden de las FBGs puede ser arbitrariamente seleccionado.

Este sistema guarda una analogía con el procesador fotónico empleado en [Wein 88,

Wein 00, Cara 07], donde un par de gratings espaciales se encargan de descompo-

ner y recomponer espacialmente las diferentes componentes espectrales de la señal

de entrada, mientras que una serie de moduladores de cristal líquido manipulan

las diferentes componentes espectrales para realizar el procesamiento deseado. En

nuestro caso, FBGa descompone la señal en sus diferentes componentes espectrales

y, de forma simultánea, la fuerza de acoplamiento en cada punto de FBGa modu-

la las diferentes componentes espectrales de la señal de entrada, realizando así la

conformación espectral. Finalmente, FBGb elimina la dispersión introducida por la

anterior FBG. Este esquema ha sido previamente propuesto y experimentalmente

utilizado en dos aplicaciones [Grun 99,Litt 05]. En [Grun 99], se introducen saltos

de fase en el grating, con un perl de grating plano en FBGa, de manera que se ge-

neran bits espectralmente codicados en fase para su uso en OCDMA. En [Litt 05],

se presenta un sistema que se comporta como un ltro gaussiano cuya frecuencia

6. Procesador Fotónico de Pulsos Ópticos Basado en un Par de FBGs Opuestamente

Chirpeadas

Figura 6.1: Esquema del procesador fotónico basado en dos FBGs opuestamentechirpeadas.

central y ancho de banda es sintonizable mediante la variación del chirp y el periodo

central de ambas FBGs mediante la aplicación de un gradiente de temperatura.

6.1. Diseño de las FBGs opuestamente chirpeadas

En esta sección se van a exponer algunos aspectos teóricos y expresiones nece-

sarias para el diseño de las FBGs del sistema propuesto. El diseño de la red confor-

madora, FBGa, está basado en el mapeo espacio-tiempo-frecuencia, ya explicado en

la Sección 3.3.

Expresamos la respuesta espectral de FBGa con Ha(ω) =√Ra(ω)φa(ω), donde

Ra(ω) es su reectividad, y φa(ω) es su fase espectral. Como ya se mostró en la

Sección 3.3, para conseguir un correcto mapeo espacio-tiempo-frecuencia, se debe

cumplir:

∣∣∣φa∣∣∣ ∆t2g8π

donde φa = d2φa/dω2 es el coeciente de dispersión lineal, y ∆tg es la duración de la

respuesta impulsiva de FBGa, una vez cancelada la dispersión con FBGb, de manera

que corresponderá con la duración temporal de la respuesta impulsiva del sistema

completo.

Es importante destacar que la condición de Ec. 6.1 no es requerida en caso de

que la respuesta de la FBG sea auto-función de la transformada de Fourier (por

ejemplo las funciones Gaussiana y las de Hermite-Gauss), ya que entonces el perl

del grating se mapea en la respuesta espectral e impulsiva para cualquier valor de

dispersión (suponiendo régimen de baja reectividad).

Una vez seleccionado el valor de dispersión necesario para conformar espectral-

mente la respuesta en frecuencia deseada, se pueden obtener los valores de chirpeado

de frecuencia espacial CK y longitud L mediante (ver Sección 3.3):

6.2. Conformación de pulsos

CK =4n2

c2φa(6.2)

∣∣∣φR∣∣∣ c∆ωg2nmed

donde ∆ωg es el ancho de banda de la respuesta del grating, y nmed es el índice de

refracción medio.

A partir de Ecs. 6.2 y 6.3 podemos deducir:

L c∆ωg∆t2g

16πnmed=c∆tg(TBP )

16πnmed=

c(TBP )2

16πnmed∆ωg(6.4)

donde TBP = ∆tg∆ωg es aproximadamente igual al producto ancho de banda -

tiempo de la respuesta impulsiva correspondiente al sistema completo. Así pues, de

Ec. 6.4, se observa que cuanto mayor es el ancho de banda, menor será la longitud

de grating requerida para esta conformación. Efectivamente, el ancho de banda ja

el producto CKL, y cuanto menor sea la duración de la respuesta impulsiva deseada

(mayor ancho espectral), menor será la dispersión requerida y, por tanto, la longitud

del grating.

Como se ha comentado, existen al menos dos sistemas, para nuestro conocimiento

[Grun 99, Litt 05], que utilizan un esquema similar a este. Para una aplicación de

OCDMA espectral, similar al presentado en [Grun 99], podemos usar Ec. 6.4 con

TBP = N(TBPchip), donde TBPchip es el producto tiempo-ancho de banda de un

chip espectral, y N es el número de chips, de manera que nalmente obtenemos Lc(TBPchip)2N2/16πnav∆ωg. En caso de diseñar un sistema con ancho de banda ajustable,

como el usado en [Litt 05], debemos aplicar Ec. 6.4 con el menor valor de ancho

de banda ajustable por el sistema, ∆ωg,min, obteniendo Lc(TBP )2/(16πnav∆ωg,min). En

el caso particular de que el ltro sea gaussiano, como es el caso concreto del ltro

presentado en [Litt 05], la condición sobre la dispersión y longitud no es requerida, ya

que, como se ha comentado anteriormente, un perl gaussiano se mapea en tiempo

y frecuencia para cualquier valor de dispersión. Finalmente, el resto de parámetros

de la red se diseña tomando las expresiones obtenidas en la Sección 3.3.

En esta sección se presenta la aplicación del procesador fotónico basado en FBGs

opuestamente chirpeadas para la conformación de formas de pulsos determinadas

(ver Sección 5.1 para más información sobre el conformado de pulsos) propuesto en

Chirpeadas

Figura 6.2: Esquema del sistema conformador de pulsos

[Prec 07a]. En este caso, FBGa se emplea para conseguir la amplitud de la respuesta

espectral del pulso deseado mediante un mapeo espacio-frecuencia, lo cual permite

obtener formas de pulsos extremadamente estrechos, gracias al gran ancho de banda

característico de las LC-FBGs, signicativamente mayor que los típicos de las FBGs

de periodo uniforme. Como ya se ha comentado, la segunda red FBGb se encarga de

cancelar la dispersión introducida a la salida del sistema. Es importante diferenciar

este sistema del propuesto en [Azan 02b], donde se emplea una LC-FBG y el mapeo

espacio-tiempo-frecuencia para mapear el perl del grating en la respuesta impulsiva

temporal deseada (se aprovecha el mapeo espacio-tiempo extendida a régimen de

alta reectividad en condiciones de mapeo espacio-tiempo-frecuencia). En nuestro

caso, el perl del grating se mapea en la respuesta espectral del ltro para obtener

forma espectral del pulso deseado (se aprovecha el mapeo espacio-frecuencia). Otra

diferencia importante es que la señal a la salida está libre de dispersión. Además,

el ajuste del ancho de banda de las FBGs [Litt 05] se traduce en la posibilidad de

obtener un sistema conformador de pulsos de anchura temporal variable.

Para reejar las posibilidades del conformador de pulsos, se muestran tres ejem-

plos en los que pulsos gaussianos provenientes de una fuente láser pulsado son con-

formados como pulsos triangulares. La teoría necesaria para el diseño de FBGa se

basa en el mapeo espacio-frecuencia, ya comentado en la Sección 3.3, donde hay que

tomar ∆tg = ∆tpulso, la anchura temporal del pulso a conformar, en las expresiones

correspondientes. Para todos los ejemplos vamos a suponer una frecuencia de por-

tadora (ω0/2π) de 193 THz, y un índice efectivo de refracción neff = 1.45. En el

primer ejemplo vamos a suponer que el pulso gaussiano de entrada tiene un FWHM

de 0.7596 ps (correspondiente a una desviación estándar en frecuencia de 0.5 THz),

y que el ancho total de el pulso triangular a conformar es de 10 ps. Así pues, la fun-

ción espectral del pulso de entrada y del pulso de salida verican respectivamente,

Fin(ω) ∝ exp(−ω2/δ2in) , Fout(ω) ∝ sinc2(ω2/δ2

out), donde ∝ indica proporcionalidad,

δin = 4.443 × 10−12 rad/s y δout = 1.2566 × 1012 rad/s. Consideramos una banda

de interés de (∆ω/2π) de 2 THz centrada en ω0 La respuesta espectral del sistema

cumple:

Hsis =Fout(ω)

Fin(ω)

= |Hsis| exp (jφsis (ω)) = (Ra (ω)Rb (ω))1/2 exp (j (φa (ω) + φb (ω)))

donde Hsis(ω) es la respuesta espectral del sistema, φsis es la fase espectral del

sistema, y Ra(ω), Rb(ω), φa(ω), y φb(ω) son respectivamente la reectividad y fase

de FBGa y FBGb. De las expresiones de Fin(ω) y Fout(ω) tenemos que la respuesta

espectral del sistema debe cumplir:

Hsis(ω) ∝ sinc2

)(6.6)

Como se ha comentado anteriormente, FBGa realiza la conformación espectral,

mientras que FBGb compensa la dispersión introducida por FBGa. La respuesta

de FBGb debe ser plana, de manera que no afecte a la magnitud de la respuesta

espectral en la banda de interés, afectando únicamente a su fase. Así pues, la forma

de la respuesta espectral del sistema solamente se verá afectada FBGa en la banda

de interés, de manera que la reectividad de FBGa debe ser igual a la del sistema,

que por Ec. 6.6 sería:

Ra(ω) = |Hsis (ω)|2 = Casinc4

)(6.7)

donde Ca=0.1 para conseguir una máxima reectividad del 10% en la frecuencia

central (ω = 0).

Usando la expresión de Ec. 6.1, tenemos que el parámetro dispersivo de FBGa

debe satisfacer φa 3.979 × 10−24 s2/rad, donde se ha usado el valor ∆tg ≈ 10 ps,

y se escoge el valor φa = −2.5 × 10−22 s2/rad. Además, usando Ec. 3.18, obtenemos

∆nmax,a = 7.8345 × 10−5, nmed,a = 1.45004, y Λ0 = 535.612 nm. Por otra parte,

hacienda uso de Ecs. 6.1 y 6.3, se obtiene CK,a = 3.7432× 105 rad/m2 y La = 32.47

cm, donde se ha tomado ∆ωg,a = ∆ω. Finalmente, usando Ec. 3.17, correspondiente

a la aproximación logarítmica [Bova 88], se obtiene:

Chirpeadas

Figura 6.3: Resultados de simulación: (a) pulso de entrada (línea discontinua) ypulso de salida para primer (linea continua) y segundo (linea punteada) ejemplo;(b) pulso de entrada (línea discontinua) y pulso de salida (línea continua) parael tercer ejemplo; (c) amplitud de la respuesta espectral ideal (línea continua), yresultado de simulación para el primer ejemplo (indistinguible de la ideal), y para elsegundo ejemplo (línea punteada);(d) amplitud de la respuesta espectral ideal (líneacontinua), y resultado de simulación para el tercer ejemplo (línea punteada).

pa(z) =

[−9.491 ln

(1− 0.1sinc4

((z − La/2)

((z − La/2)2

0.0625L2a

La segunda red, FBGb, compensa la dispersión introducida por FBGa, de manera

que se tiene φb = −φa = 2.5 × 10−22 s2/rad, y una respuesta plana en la banda de

interés. La Fig. 6.3(a) muestra la forma temporal del pulso de salida del sistema

obtenida de la simulación numérica del sistema, donde se puede observar que se

obtiene a la salida una forma temporal triangular, como se pretendía.

Como segundo ejemplo, suponemos las mismas señales que en el primero, pero

en esta ocasión se ha elegido intencionadamente un valor de dispersión que no es

sucientemente grande para cumplir Ec. 6.1, φa = −4 × 10−24s2/rad . Imponiendo

de nuevo una máxima reectividad del 10%, obtenemos ∆nmax,a = 6.1949 × 10−4,

nmed,a = 1.45031, Λ0 = 535.512 nm, CK,a = 23.4038 × 106 rad/m2. El perl del

6.3. Derivador temporal óptico de orden arbitrario

grating se puede expresar de nuevo con Ec. 6.8, empleando en este caso un valor de

longitud de grating La = 0.5195 cm. En Fig. 6.3(a) se muestra la forma temporal

del pulso de salida del sistema. Como era de esperar, no obtenemos un resultado

satisfactorio, ya que la dispersión introducida es insuciente para poder conformar

adecuadamente el espectro de la señal.

Finalmente, como tercer ejemplo, tomamos versiones escaladas de las señales

de los dos primeros ejemplos (diez veces más corta), de manera que tenemos un

pulso gaussiano de entrada con FWHM de 74.96 fs, y una forma triangular a la

salida de ancho 1 ps. Siguiendo el mismo proceso, la condición de dispersión para un

correcto mapeo espacio-frecuencia es φa 3.979×10−26s2/rad, y se escoge φa = 2.5×10−24s2/rad. Imponiendo de nuevo una máxima reectividad del 10%, se obtiene

∆nmax,a = 7.8364 × 10−4, nmed,a = 1.45039, Λ0 = 535.481 nm, CK,a = 3.745 ×107 rad/m2. El perl del grating se puede expresar de nuevo con Ec. 6.8, con La =

3.247 cm. Comparado con el primer ejemplo, tenemos un grating 10 veces más corto

para un pulso cuya anchura espectral es 10 veces mayor, lo cual concuerda con Ec.

6.4. En 6.3(b) se muestra la forma temporal del pulso de salida del sistema, donde

se puede comprobar que la forma temporal del pulso de salida es la forma triangular

deseada.

Las Figs. 6.3(c) y (d) comparan la amplitud de respuesta espectral ideal deseada,

y la obtenida de la simulación de FBGa. Como se puede comprobar, en los ejemplos

primero y tercero la respuesta ideal y simulada prácticamente coinciden, siendo

indistinguibles para el primer ejemplo. Sin embargo, en el segundo ejemplo, FBGa

no mapea correctamente el perl del grating en la repuesta espectral, debido a

una mala elección de la longitud del grating (dispersión insuciente para el mapeo

espacio-frecuencia).

En esta sección se presenta la aplicación del procesador fotónico basado en FBGs

opuestamente chirpeadas para la derivación temporal óptica propuesto en [Prec 07b]

(ver Sección 5.2 para más información sobre la derivación temporal óptica). Apar-

te de las ventajas inherentes de las FBGs (solución todo-bra, bajas pérdidas de

inserción, y bajo coste), respecto de otros sistemas derivadores basados en FBGs,

este esquema proporciona una implementación directa de un derivador de orden N,

evitando la concatenación de N derivadores de primer orden. Además, esta solución

está especialmente indicada para los grandes anchos de banda característicos de las

Chirpeadas

Figura 6.4: Esquema del sistema propuesto para la derivación temporal óptica deorden arbitrario.

LC-FBGs, y tiene la posibilidad de ajuste y sintonización del ancho de banda y la

frecuencia central [Litt 05]. En Fig. 6.4 se muestra un esquema del sistema, en una

conguración que emplea un circulador óptico de 4 puertos.

Como se comentó en la Sección 5.2, la operación temporal del derivador de

orden N se puede expresar mediante fout(t) = dNfin(t)/dtN , donde fin(t) y fout(t)

son las envolventes complejas de la entrada y salida del sistema respectivamente.

Podemos igualmente expresar esto en frecuencia como Fout(ω) = (jω)NFin(ω) donde

Fin(ω) y Fout(ω) son F fin(t) y F fout(t), respectivamente. Así pues, la respuesta

espectral de un derivador ideal de orden N es:

HN(ω) = Fout/Fin = (jω)N (6.9)

Además, en un sistema real tenemos un ancho de banda nito, de manera que

tenemos que enventanar la función de la respuesta espectral:

HN,w(ω) = HN(ω)W (ω) = (jω)NW (ω) (6.10)

donde W (ω)es una función de enventanado, que deberá ser seleccionada para que se

cumpla:

HN,w(ω) =

≈ (jω)N ω ∈ banda operativa

= trans(ω) ω ∈ banda de transición

≈ 0 ω /∈ banda total del grating

(6.11)

donde la banda operativa es la región espectral donde la función de derivación opera

con precisión, y trans(ω) es una función de transición.

El objetivo es obtener una respuesta espectral del sistema compuesto por ambas

FBGs, Hsis(ω), proporcional a la respuesta espectral del derivador:

Hsis(ω) = Ha(ω)Hb(ω) = (Ra(ω)Rb(ω)1/2 exp (j (φa + φb)) ∝ HN,w(ω) (6.12)

donde Ha(ω), Hb(ω), Ra(ω), Rb(ω) , φa y φb son respectivamente la respuesta espec-

tral en reexión, reectividad y fase de cada FBG (FBGa y FBGb). En este esquema

asumimos que FBGb es un compensador de dispersión, de manera que consideramos

que Rb(ω) presenta una respuesta ideal plana en la banda de interés. Así pues, la

forma de la reectividad está solamente inuenciada por FBGa, y tenemos:

Ra(ω) ∝ |Hsis(ω)|2 ∝ |HN,w(ω)|2 =∣∣ωNW (ω)

∣∣2 (6.13)

Respecto de la fase, tenemos dos FBGs opuestamente chirpeadas de manera que

φa(ω) = −φb(ω) = φa, donde φ denota dφ(ω)2/dω2, y φa es un valor constante,

que se obtiene del diseño de la dispersión requerida en ambas redes. Para obtener

esta respuesta espectral debemos diseñar el sistema de la misma manera que se ha

descrito en el apartado anterior, utilizando la condición de dispersión descrita por

Ec. 6.1, teniendo en cuenta que un orden de derivador impar implica que un salto

de fase de π debe ser introducido en el centro del grating.

Tres ejemplos de diseño, para derivadores de ordenes 1, 2, y 4, son desarrollados

y numéricamente simulados. En todos los ejemplos asumimos una frecuencia de

portadora (ω0/2π) de 193 THz, un índice de refracción efectivo de neff,a = 1.45 ,

una banda de interés de (∆ω/2π) =5 THz centrada en ω0 , un ancho de banda de

FBGa igual al ancho de la banda de interés, ∆ωg,a = ∆ω, y una reectividad máxima

para FBGa del 90%. En el primer ejemplo diseñamos un sistema que implementa un

derivador de primer orden. La respuesta espectral ideal correspondiente es H1(ω) =

jω, y se ha elegido una función ventana basada en la tangente hiperbólica,Wth(ω) =

(1/2)[1 + tanh(4− |16ω/∆ω|)]:

Hsis(ω) ∝ H1,w(ω) = H1(ω)Wth(ω) =

[1 + tanh (4− |16ω/∆ω|)] ω ≤ ∆ω2

0 ω > ∆ω2

(6.14)

La red conformadora espectral (FBGa), debe ser diseñada para mapear apropia-

Chirpeadas

damente la respuesta espectral deseada. A partir de la duración de F−1 H1,w (ω),obtenemos ∆ta ≈ 2 ps, que usada en Ec. 6.1 nos lleva a un valor de dispersión∣∣∣φa(ω)

∣∣∣ 1.5915 × 10−25 s2/rad. Elegimos un valor que satisfaga sucientemente

esta inecuación,∣∣∣φa∣∣∣ = −1.6× 10−23 s2/rad. Además, el orden impar del derivador

de primer orden implica que un salto de fase π debe ser introducido en FBGa en el

centro del grating. La reectividad resultante de FBGa en la banda de interés es:

Ra(ω) = CR (ω/∆ωg,a) [1 + tanh (4− |16ω/∆ωg,a|)]2 (6.15)

donde CR = 2.8494 es una constante tal que se tenga una reectividad máxima de

max (Ra (ω)) = 0.9.

Usando Ec. 3.18, obtenemos ∆nmax,a = 1.4484 × 10−3, nav,a = 1.45072. Usando

Ecs. 6.2 y 6.3, obtenemos CK,a = 5.8543×106 rad/m2 y La = 5.1936 cm. El periodo

fundamental de grating de FBGa se puede obtener como Λ0,a = πc/(navω0) = 535.36

nm. El periodo de grating de FBGa varía desde 542.39 nm hasta 528.51 nm a lo

largo de la longitud del grating. Esto supone una variación relativa de periodo del

2.591%, lo cual es un valor bastante grande, pero que entra dentro de las técnicas de

fabricación actuales. Finalmente, usando Ec. 3.17, correspondiente a la aproximación

logarítmica [Bova 88], se obtiene:

pa(z) = CA

(− ln

1− C2

∣∣∣∣ zLa∣∣∣∣2N [1 + tanh

∣∣∣∣16z

∣∣∣∣)]2) 1

(6.16)

donde CA = 0.659 es una constante de normalización, y N = 1. Además, el pará-

metro del dispersión de FBGb es el opuesto al correspondiente a FBGa, φb(ω) =

−φa(ω) = −1.6× 1023 s2/rad , que debe presentar una respuesta espectral plana en

la banda de interés (perl de grating plano, suavizado en los extremos para evitar

rizados en el retardo de grupo).

Como segundo ejemplo, se diseña un derivador de segundo orden usando el mis-

mo procedimiento. De nuevo tenemos aproximadamente ∆tg,a ≈ 2 ps, de manera

que obtenemos los mismos parámetros tecnológicos que en el anterior ejemplo. El

perl del grating es dado por Ec. 6.16, con los valores CR = 13.568 y N = 2 (tene-

mos mismos La y CA que en el primer ejemplo). Finalmente, en el tercer ejemplo,

Figura 6.5: Las grácas (a), (b) y (c) muestran la amplitud de la respuesta espectralcorrespondiente al conformador espectral (continuo) para el primer, segundo y tercerejemplo, y para el derivador ideal de primer, segundo y cuarto orden (discontinuo),respectivamente. Las grácas (d), (e) y (f) muestran la fase del conformador espectral(punteado), del compensador de dispersión (discontinuo), y del sistema completo(continuo), respectivamente.

Figura 6.6: Las grácas (a), (b), y (c), muestran las formas temporales de los pulsosde entrada (discontinua), el pulso de salida del derivador ideal (continuo), y el pulsode salida correspondiente al sistema diseñado en el primer, segundo y tercer ejemplo(punteados, indistinguibles del continuo), respectivamente.

Chirpeadas

diseñamos un derivador de orden cuatro. Tenemos de nuevo ∆tg,a ≈ 2 ps, y los

mismos parámetros tecnológicos, con un perl de grating descrito por 6.16, donde

CR = 243.1, y N = 4 (mismos La y CA que en los anteriores ejemplos). Las Figs. 6.5

y 6.6 muestran los resultados obtenidos en nuestras simulaciones para estos ejemplos.

Las Figs. 6.5 (a), (b), y (c), comparan las respuestas espectrales del conformador

espectral (FBGa) y el derivador ideal, en los ejemplos de derivador de orden uno,

dos y cuatro, respectivamente. Las Figs. 6.5 (d), (e), y (f) muestran la respuesta en

fase del conformador espectral (FBGa), el compensador de dispersión (FBGb), y el

sistema completo, en los ejemplos de derivador de orden uno, dos y cuatro, respec-

tivamente. La Fig. 6.6 muestra la forma temporal de los pulsos de entrada y salida

para el sistema diseñado y el derivador ideal en los ejemplos de derivador de orden

uno, dos y cuatro, respectivamente. Se ha aplicado un pulso de entrada gaussiano

fent(t) ∝ exp(−t2/(2σ2)), con σ = 500 fs.

6.4. Conclusiones

Se ha presentado un procesador fotónico basado en dos FBGs opuestamente chir-

peadas, propuesto como contribución de esta Tesis Doctoral en dos aplicaciones de

procesado de señal fotónica: conformado de pulsos [Prec 07a] y derivación tempo-

ral óptica de orden arbitrario [Prec 07b]. Este sistema está especialmente indicado

para los grandes anchos de banda propios de las LC-FBGs, que requerirían una red

uniforme excesivamente corta con una modulación del índice de refracción enorme.

También es importante destacar que, para una misma aplicación, la solución no es

única, ya que longitud y el chirpeado del grating pueden ser modicados en un cierto

rango, de manera que se tiene un cierto grado de libertad para ajustar parámetros

tecnológicos más fácilmente realizables (acoplamiento máximo, longitud, factor de

chirpeado,. . . ). Este sistema requiere la cancelación de las dispersiones introduci-

das por ambas FBGs, lo cual implica una cuidadosa monitorización del chirpeado

de ambos gratings. Esto ha sido logrado experimentalmente [Grun 99], incluso con

chirpeados ajustables mediante gradiente temperatura en [Litt 05]. Precisamente la

posibilidad de variación de chirpeado permite que el sistema tenga un ancho de ban-

da adaptable, lo cual constituye una propiedad muy interesante en las aplicaciones

prácticas de este procesador. En el caso del conformador de pulsos, esto permitiría la

reconguración del sistema para conseguir la conformación de pulsos de diferentes

anchos temporales. En el caso del derivador temporal, esta posibilidad permitiría

ajustar el ancho de banda operativo a la señal de entrada, permitiendo la operación

de derivación para diversas señales de entradas, y una optimización de la eciencia

6.4. Conclusiones

energética del sistema.

Chirpeadas

Capítulo 7

Procesador Fotónico de Pulsos

Basado en FBGs en Modo

Transmisión

En este capítulo se presenta una técnica basada en una FBG en modo transmi-

sión, propuesta para dos aplicaciones de procesamiento de señal, el conformado de

pulsos [Prec 09a] y la derivación temporal óptica de primer orden [Prec 08b]. El uso

de las FBGs en modo transmisión consiste en tomar, como señal de salida, la señal

óptica transmitida que atraviesa la FBG, en lugar de la señal reejada. Aunque las

FBGs son usadas típicamente en reexión, separando la señal incidente de la ree-

jada mediante un circulador óptico o dispositivo similar, también existen algunas

aplicaciones basadas en FBGs en transmisión, tales como compensadores de disper-

sión [Hint 98, Litc 97, Skaa 01a], integrador temporal óptico [Ngo 07a,Asgh 08], y

derivador temporal óptico de orden par [Riva 09].

Cabe mencionar que las FBGs en transmisión no son adecuadas en muchas

aplicaciones, debido a las relaciones de amplitud/fase de su respuesta espectral

[Carb 97, Skaa 01a]. Sin embargo, su uso en modo transmision ofrece interesantes

propiedades. En particular, dado que no se requiere un circulador óptico o elemen-

to equivalente, la eciencia energética se incrementa, el coste y la complejidad del

sistema de reduce, y se evitan otros inconvenientes como la no linealidad el circula-

dor óptico con altas intensidades ópticas. También puede ser interesante en sistemas

WDM el hecho de que la señal de salida presente, no sólo la parte de señal procesada

en la banda operativa de la FBG, sino también todo el resto de señal fuera de esta

banda. Además, el uso en modo transmisión reduce la sensibilidad de la respuesta en

fase frente a errores de fabricación respecto del modo reexión [Hint 98,Skaa 01a].

La Fig. 7.1 muestra un esquema del sistema propuesto. Las relaciones ampli-

7. Procesador Fotónico de Pulsos Basado en FBGs en Modo Transmisión

Figura 7.1: Esquema de una FBG en transmisión. La FBG procesa la señal que seencuentra en el canal WDM correspondiente. La señal de salida incluye también laparte de señal correspondiente a los restantes canales WDM.

tud/fase espectral en una FBG en transmisión, que son la base para un correcto

diseño en procesamiento de señales ópticas, se explican en la Sección 7.1. En en la

Sección 7.3 se explica la aplicación como conformador de pulsos de tope plano. En la

Sección 7.2 se explica la aplicación como derivador temporal óptico de primer orden.

Finalmente, se concluye el capítulo en la Sección 7.4.

7.1. Relaciones de la amplitud la fase espectral en

una FBG en modo transmisión

Las FBGs en transmisión son sistemas cuya respuesta espectral carece de ceros

y solamente tiene polos en el semi-plano izquierdo del plano complejo de ω, lo cual

hace que sean sistemas de fase mínima, que son sistemas en los que todos los polos

y los ceros de la respuesta espectral se encuentran en el semi-plano izquierdo del

plano complejo de ω. En los sistemas de fase mínima, la amplitud y la fase de la

respuesta espectral, Hmin(ω), están relacionadas por la transformada logarítmica de

Hilbert [Skaa 01a,Papo 62]:

∠Hmin (ω) = Hln |Hmin (ω)|ln |Hmin (ω)| = C0 +H−1 ∠Hmin (ω)

donde ln() denota la función de logaritmo natural, y C0 es un número real arbitrario.

En el dominio del tiempo, dada una cierta amplitud de respuesta espectral, la fase

mínima espectral es aquella para la cual la respuesta impulsiva es causal y cumple

que su energía está máximamente concentrada en el origen de tiempo. Expresado de

manera más formal, dada una cierta amplitud espectral |Hmin (ω)|, la fase espectral

7.1. Relaciones de la amplitud la fase espectral en una FBG en modo transmisión

mínima ∠Hmin (ω) será aquella en la que se minimiza:

|hmin(τ)|2 dτ , ∀t > 0 (7.2)

donde hmin(t) = F−1 Hmin es causal y estable.

Como guía orientativa, suelen cumplir la condición de fase-mínima los siste-

mas cuyas respuestas impulsivas tienen formas simétricas estrictamente limitadas

en tiempo, como una forma triangular simétrica, un rectángulo, o los pulsos pa-

rabólicos. También suelen cumplirla las que tienen un comportamiento monótono

decreciente, como seria una rampa decreciente, o una exponencial decreciente. Por

el contrario, no cumplen la condición de fase mínima las respuestas impulsivas con

comportamientos monótonos crecientes, como una rampa creciente, o una exponen-

cial creciente (limitados temporalmente), ya que la función inversa temporal tiene

la misma amplitud espectral y minimiza más el cómputo de Ec. 7.2. Tampoco la

cumplen las que tienen formas simétricos con caídas asintóticas a ambos lados (t > 0

y t < 0), como por ejemplo las que tienen forma de pulso gaussianos, senos hiper-

bólicos o formas similares, ya que no son causales.

En cualquier caso, la mejor forma de vericar si una señal o sistema cumple la

condición de fase mínima es aplicar la expresión de la transformada de Hilbert a

la expresión analítica de la señal [Papo 62]. En caso de carecer de expresión analí-

tica, también es posible hacer una comprobación numérica mediante herramientas

software, como Matlab.

A la hora de diseñar una FBG para su uso en transmisión, el objetivo del diseño

va a ser una determinada amplitud de respuesta espectral |HT (ω)|. No tenemos

un control directo sobre la fase espectral en transmisión ∠HT (ω), sino que esta

vendrá jada por la expresión 7.1. A su vez, la amplitud de la respuesta espectral

en transmisión viene determinada por la respuesta en reexión mediante |HT (ω)| =√1− |HR(ω)|2. Como se puede observar, la fase de la respuesta espectral en reexión

∠HR(ω) es un grado de libertad en el diseño, de manera que se puede conseguir el

mismo procesamiento en transmisión con una innidad de diferentes perles de FBG,

siempre que tengan igual |HR(ω)|.

7.2. Conformador de pulsos con una FBG en modo

transmision

La generación de formas de pulso bien denidas se requieren para un gran rango

de aplicaciones, como se comentó en la Sección 5.1. Las relaciones amplitud/fase

espectral impuestas en el modo transmisión de las FBGs, comentadas en la Sec-

ción 7.1, restringen su uso ya que no se tiene control sobre la fase espectral. Sin

embargo, como se muestra en esta sección, una FBG en transmision puede ser em-

pleada en aplicaciones de conformación de pulsos ópticos [Prec 09a]. En concreto,

se muestra un ejemplo de conformación de pulsos de tope plano, aunque también

se podrían conseguir otras formas de onda. Los pulsos de tope plano son altamente

deseables para varias aplicaciones importantes: enventanado óptico, muestreo óp-

tico, conmutación óptica no lineal, y un gran rango de experimentos de ultrafast

pumpprobe [Petr 01a,Lee 02,Park 06].

Supongamos las envolventes complejas fin(t) y fout(t), correspondientes a la en-

trada y la salida del sistema, respectivamente, donde t denota la variable temporal.

Es posible obtener un pulso de tope plano en fout(t) a partir de un pulso de entrada

fin(t) estrecho comparado con la anchura total del pulso de salida, si se cumple la

relación fout(t) ∝ fin(t)⊗ rect(t/T ), donde rect(t) es la función rectangular, T es la

anchura total del rectángulo, ⊗ denota el operador de convolución temporal, y ∝ de-

nota proporcionalidad. Las correspondientes funciones espectrales Fin(ω) y Fout(ω)

están relacionadas mediante Fout(ω) ∝ sinc (ωT/2)Fin (ω), donde sinc(ω) es la fun-

ción sinc. Así pues, la respuesta espectral de la FBG en transmisión debe cumplir

HT (ω) ≈ HT,ideal (ω) = Fout (ω) /Fin (ω) ∝ sinc (ωT/2), donde HT (ω) nunca puede

alcanzar exactamente HT,ideal (ω), ya que una FBG no tiene ceros en transmision.

Como se ha comentado anteriormente, la amplitud y la fase de la respuesta espectral

de una FBG en transmisión están relacionadas mediante la transformada de Hilbert

logarítmica (THL), ya que su respuesta espectral es de fase mínima (ver sección 7.1),

por lo que no es posible imponer arbitrariamente|HT (ω)| y ∠HT (ω) para obtener la

respuesta necesaria para una conformación de pulsos arbitraria. Afortunadamente,

y obviando términos de fase lineal, podemos asumir que |sinc (ω)| y ∠sinc (ω) son

pares THL, dado que la función rectangular cumple la condición de fase mínima [Oz-

ca 07]. Así pues, si tenemos una FBG con |HT (ω)| ≈ |HT,ideal (ω)| ∝ |sinc (ωT/2)|,automáticamente la fase quedará jada a ∠HT (ω) ≈ ∠HT,ideal (ω) = ∠sinc (ωT/2),

donde se están obviando los términos de fase constante y lineal.

Además, dado que las respuestas espectrales en transmisión y reexión están

relacionadas mediante |HR (ω)| =√

1− |HT (ω)|2, el objetivo de diseño es conseguir

7.2. Conformador de pulsos con una FBG en modo transmision

que la respuesta espectral de la FBG en reexión cumpla localmente |HR (ω)| =√1− |C · sinc (ωT/2)|2, donde C ≤ 1 es una constante real. Varias aproximaciones

deben ser realizadas para obtener una FBG realizable. En primer lugar, debemos

aplicar una función de enventanado, ya que en la práctica tenemos un ancho de

banda nito. Además, debemos tener en cuenta que una reectividad del 100% es

imposible, pero podemos obtener valores de reectividad cercanos a este. Teniendo

estos aspectos en cuenta, nalmente obtenemos::

|HR (ω)| = W (ω)√Rmax

(1− |C · sinc (ωT/2)|2

)(7.3)

donde Rmax < 1 es la máxima reectividad de la FBG, y W (ω) es la función de

enventanado. Finalmente, en el diseño de la FBG, debemos aplicar un algoritmo de

inverse scattering para obtener el perl del grating.

Cabe destacar la independencia de este diseño respecto de ∠HR(ω), que es un

grado de libertad, y puede ser arbitrariamente seleccionada. Sin embargo, debemos

señalar que se han obtenido mejores resultados en nuestro algoritmo de inverse

scattering mediante la selección de ∠HR(ω) como la fase máxima correspondiente a

|HR(ω)|.Como ejemplo, se diseña una FBG de periodo uniforme en transmision en ba-

se a las ideas introducidas anteriormente, donde asumimos una frecuencia central

de (ω0/2π) = 193 THz, y nos referiremos a este grating como FBG1. La amplitud

de la respuesta espectral en reexión deseada,|HR(ω)|, se dene mediante Ec. 7.3,

con C = 1, Rmax = 0.9999, T = 50 ps, y la función de enventanado W (ω) em-

pleada es un coseno alzado con un factor roll-o de 1/3, y una anchura total de

400 GHz. Para caracterizar completamenteHR(ω), es necesario denir su fase. Se

asigna a ∠HR(ω) la fase máxima correspondiente a |HR(ω)| (otra fase podría ser

arbitrariamente asignada). Usando un algoritmo de inverse scattering, obtenemos el

coeciente de acoplamiento κ(z) mostrado en Fig. 7.2. Cabe mencionar que, aun-

que κ(z) es complejo en general, es posible asumir que es real en FBGs de período

uniforme. Esto es legítimo siempre que se adopte una opción adecuada en el origen

z = 0 [Yari 06]. La longitud de la FBG requerida es de L = 10 cm, con un índice de

refracción medio de nmed = 1.452, un periodo de grating de Λ0 = 534.888 nm, y un

factor de acoplamiento máximo de max (|κ(z)|) = 2858.87 m−1. Cada cruce por cero

de κ (z) en Fig. 7.2 implica un salto de fase espacial de π, de manera que tendremos

un número considerable de saltos de fase en el grating (entorno a 50), pero que se

encuentra dentro de lo realizable mediante la tecnología actual, ya que las FBGs

pueden ser extremadamente sosticadas [Ibse 03].

Figura 7.2: Perl del grating obtenido mediante inverse scattering en representaciónpositiva/negativa, donde cada cruce por cero de κ (z) implica un salto de fase de πen el grating.

La Figura 7.3(a) muestra la magnitud y fase de la respuesta espectral de la FBG

en transmisión que se obtiene mediante simulación numérica. Se puede observar

que la fase de la respuesta espectral en la banda operativa, que se puede estimar

aproximadamente como 120 GHz, consiste en un término de fase lineal (retardo

puro), más una serie de saltos de fase de π correspondientes a la función sinc. Para

resaltar la sencilla escalabilidad de esta propuesta, y el potencial en procesamiento

WDM multi-banda, consideramos un sistema compuesto por FBG1 y una segunda

red, FBG2 , que consiste en una FBG equivalente a FBG1, pero con un diferente

periodo de grating y frecuencia central (Λ0 = 535.582 nm y ω0 = 192.75 THz,

respectivamente). La respuesta espectral del sistema completo, mostrada en Fig.

7.3(b), se ha obtenido mediante la simulación numérica de cada una de las FBGs,

y el empleo del método de matrices de transferencias [Yari 06] (estrictamente no

es posible calcularla mediante la multiplicación directa de las respuestas espectrales

de las FBGs en transmisión, ya que hay un pequeño solapamiento de las bandas de

ambas FBGs entorno a la frecuencia de 192.875 THz).

La Figura 7.4 muestra las formas de onda temporales de la salida obtenidas

numéricamente. En Fig. 7.4(a) se considera FBG1 con una forma de onda de entrada

de un pulso óptico gaussiano de 7 ps, con una anchura espectral de 128.08 GHZ

(ambos anchos FWHM) con una frecuencia central de 193 THz. Como se puede

observar, el pulso de salida exhibe la deseada forma de tope plano. En Fig. 7.4(b) y

7.4(c) se considera una señal compuesta por cuatro pulsos ópticos gaussianos, cada

uno de ellos a una frecuencia central diferente (192.5, 192.75, 193 and 193.25 THz),

7.2. Conformador de pulsos con una FBG en modo transmision

Figura 7.3: Respuesta espectral en transmisión de (a) FBG1, y (b) el sistema com-puesto por la concatenación de FBG1 y FBG2.

todos ellos con una anchura temporal de 7 ps (FWHM). En Fig. 7.4(b) aplicamos

esta señal a FBG1. Se puede observar como FBG1 procesa únicamente el pulso

dentro de su banda resonante, dejando el resto de pulsos correspondientes a otras

bandas inalterados. En Fig. 7.4(c), aplicamos la misma señal al sistema compuesto

por la concatenación en transmisión FBG1-FBG2, y se puede observar que el sistema

únicamente procesa los pulsos dentro de sus respectivas bandas resonantes. En ambos

casos, la señal de salida incluye los pulsos fuera de sus bandas resonantes inalterados.

Cabe mencionar que en estos diseños se consigue una eciencia energética óptima,

ya que se tiene una respuesta espectral máxima (igual a la unidad) en el centro de

la banda resonante. Además, es posible concatenar un número arbitrario de FBGs

en diferentes canales y en posiciones muy distantes entre sí, unidos únicamente

por bra óptica, sin necesidad de usar ningún componente adicional. También es

importante comentar que la reectividad máxima y la anchura espectral de la FBG

elegidas en el diseño están relacionadas con la calidad del pulso de tope plano que

se genera, en términos de lo abrupto de los ancos del pulso, y lo plano de su

tope. Asimismo, también están relacionadas con la complejidad de fabricación de

la FBG en términos de longitud, fuerza de acoplamiento y complejidad del perl.

Para encontrar una solución de compromiso entre complejidad de la FBG y calidad

del pulso, únicamente se puede sugerir emplear prueba y error mediante un software

de síntesis y simulación de FBGs, dependiendo de las limitaciones concretas de la

tecnología empleada, y de los requerimientos de la aplicación.

Figura 7.4: Resultados temporales de los ejemplos de derivador con una FBG enmodo transmisión, con pulsos de entrada gaussianos de 7-ps.

7.3. Derivador temporal óptico de primer orden con

una FBG de periodo uniforme

La respuesta espectral de un derivador temporal óptico de primer orden es

Hdiff (ω) = Fout (ω) /Fin (ω) = jω, cuya fase presenta un salto de fase de π en

la frecuencia central ω = 0, y cuya magnitud es |Hdiff (ω)| = |ω|. Por otra par-

te, la amplitud y fase espectral en transmisión están relacionadas por medio de la

transforma de Hilbert logarítmica (ver sección 7.1).

Supongamos un salto de fase de π local en HT (ω) en ω = 0, en un cierto intervalo

|ω| < W , donde podemos aproximar ∠|HT (ω) ≈ ± (π/2) signo (ω), donde W es

una constante real positiva que denota el radio del intervalo. Es posible hacer una

estimación de ln |HT (ω)| localmente para |ωε| < ε a partir de Ec. 7.1, aplicando la

integral de la transformada de Hilbert [Poul 99]:

7.3. Derivador temporal óptico de primer orden con una FBG de periodo uniforme

ln |HT (ωε)| = C0 +1

−∞

∠HT (Ω)

Ω− ωεdΩ = C0 +

−∞

∠HT (Ω + ωε)

≈ C0 +1

I ± W

(π/2) sign (Ω + ωε)

= C0 +I

π∓ ln (|ωε| /W )

= ∓ (C1 |ωε|) (7.4)

donde ε es un valor sucientemente pequeño de manera que podemos aproximar´W−W

∠HT (Ω+ωε)Ω

dΩ ≈ I±´W−W

(π/2)sign(Ω+ωε)Ω

dΩ y´ −W−∞

∠HT (Ω+ωε)Ω

dΩ+´∞W

∠HT (Ω+ωε)Ω

dΩ ≈I, con I =

´ −W−∞

∠HT (Ω)Ω

dΩ+´∞W

∠HT (Ω)Ω

dΩ; C1 es un número real positivo (arbitrario,

dado que contiene al también arbitrario C0), y se ha supuesto implícitamente que

se debe tomar el valor principal Cauchy en las anteriores integrales impropias.

A partir de la solución positiva de Ec. 7.4, nalmente se deduce|HT (ωε)| ≈C1 |ωε|. Así pues, dado que ∠ (HT (ω)) está unívocamente relacionada con ln |HT (ω)|[Skaa 01a], se puede esperar que si |HT (ω)| ∝ |ω| se cumple localmente, también se

obtiene el deseado salto de fase de π en ω=0, y por lo tanto, se obtiene la respues-

ta espectral del derivador temporal de primer orden, en amplitud y fase, para un

cierto ancho de banda. Cabe mencionar que la solución negativa de 7.4 conduce a

|HT (ω)| ∝ |ω|−1, lo cual coincide con el salto de fase de π observado en [Ngo 07a]

al aproximar la amplitud de la respuesta espectral del integrador con una FBG con

salto de fase en transmisión.

Dado que las respuestas espectrales en reexión y transmisión están relaciona-

das mediante |HR (ω)| =√

1− |HT (ω)|2 , la respuesta espectral en reexión debe

cumplir |HR (ω)| =√

1− |C1ω|2 (una función semi-circunferencia). Varias aproxi-

maciones deben ser realizadas para conseguir esta respuesta espectral con una FBG

realizable. En primer lugar, vamos a tener un ancho de banda nito en un siste-

ma real. Además, para reducir la complejidad del grating requerido, se proponen

las funciones lorentziana y gaussiana [Papo 62] como funciones de aproximación de

|HR (ω)| en la banda operativa. En Fig. 7.5, se representan las funciones de apro-

ximación, junto con la función ideal limitada en banda. Además, hay que tener en

cuenta que es imposible conseguir con una FBG un cero perfecto en transmision.

Sin embargo, es posible imponer una caída en transmision sucientemente grande.

Finalmente, el perl del grating se obtiene mediante la aplicación de un algoritmo

de inverse scattering.

Como ejemplo, diseñamos una FBG de periodo uniforme usando las ideas intro-

Figura 7.5: Amplitud de la respuesta espectral de la FBG (a) en reexión, y (b) entransmisión, correspondientes a ideal limitado en banda (continuo), aproximacióngaussiana (punteado), y aproximación lorentziana (discontinuo).

ducidas anteriormente, donde asumimos una frecuencia central de (ω0/2π) = 193

THz, usamos la aproximación gaussiana en |HR (ω)| con una anchura FWHM de

0.56 THz, e imponemos una caída de transmisión de −20 log (|HT (ω = 0)|) = 60

dB (reectividad máxima de 99.9999%). Mediante la aplicación de un algoritmo de

inverse scattering obtenemos el coeciente de acoplamiento κ (z), que esta repre-

sentado en Fig. 7.6 en tres escalas diferentes para una clara visualización. El valor

máximo del coeciente de acoplamiento max (κ (z)) = 6555.1 m−1, es un valor re-

lativamente alto, pero es posible con la tecnología actual. Como se puede observar,

κ(z) consiste en un fuerte pico al principio, y en una caída asintótica al nal, cuyo

valor nal es de 16.67 m−1 (0.254% del valor máximo). Cabe destacar que κ(z) no

debe ser excesivamente recortada espacialmente en la parte nal, ya que esta parte

nal es importante para conseguir la caída de transmisión en ω = 0.

Así pues, la FBG resultante de periodo uniforme tiene una longitud de L = 10

cm, un índice de refracción medio de nmed = 1.452, y un periodo de grating de

Λ0 = 534.888 nm. La Figura 7.7 muestra la amplitud y fase de la respuesta espectral

de la FBG en transmisión, HT (ω), obtenida mediante simulación numérica. Como se

puede observar, la fase de HT (ω) presenta el deseado salto de fase de π en ω = 0. En

la banda operativa, que puede ser estima en unos 400 GHz, la amplitud de HT (ω)

es aproximadamente proporcional a |Hdiff (ω)|, y la fase es aproximadamente lineal

(retardo puro).

7.3. Derivador temporal óptico de primer orden con una FBG de periodo uniforme

Figura 7.6: Perl de grating obtenido mediante inverse scattering en representadoen diferentes escalas.

Figura 7.7: Respuesta espectral en transmisión de la FBG diseñada (continuo) y elderivador ideal (punteado) .

Figura 7.8: Formas de onda temporales del pulso de entrada (discontinuo) y pulsode salida correspondientes la FBG (continuo) y el derivador ideal (punteado), queson difícilmente distinguibles.

La Figura 7.8 muestra las formas de onda temporales obtenidas numéricamente

mediante la simulación de la FBG, comparando los resultados del derivador ideal

y de la FBG diseñada, donde todas las señales de entrada consideradas están es-

pectralmente centradas en ω0. En Fig. 7.8(a) y 7.8(b) se considera las formas de

onda de entrada de un pulso óptico gaussiano de 7-ps (con una anchura espectral

de 126.08 GHz), y su primera derivada, respectivamente, donde tanto el ancho es-

pectral como el temporal están expresados como FWHM. Como se puede observar,

los resultados para el derivador FBG concuerdan muy bien con los resultados del

derivador ideal. La eciencia energética, calculada como la razón entre la energía de

la señal de entrada y la energía de la señal de salida, en decibelios, es de -37.065 y

-26.328, respectivamente, para cada señal considerada.

Finalmente, en Fig. 7.9, se muestra la dependencia de la longitud de la FBG

y la precisión del derivador con la caída de transmisión de la FBG. Se considera

un pulso de entrada gaussiano de 7 ps con varias FBGs en transmisión, diseñadas

con la misma función de aproximación en |HR (ω)| (gaussiana con un FWHM de

0.56 THz), con una caída de transmisión que varía de 20 dB a 80 dB. La precisión

del derivador se estima mediante el coeciente normalizado de correlación cruzada,

Corr, que mide la similitud entre el pulsos de salida del derivador ideal, y el obtenido

mediante la FBG [Papo 62]:

7.4. Conclusiones

Figura 7.9: Longitud de grating (rectángulos, linea punteada) y coeciente de co-rrelación cruzada, Corr (círculos, linea discontinua), que representa la precisión deoperación. Trece FBGs se han diseñado y simulado, asumiendo la misma banda deoperación, para diferentes caídas de transmisión con valores que van de 20 a 80 dB,y con una señal de entrada gaussiana de 7-ps.

Corr = max

∣∣∣∣∣∣∣

´∞−∞ fout,FBG (t) f ∗out,ideal (t) dt(´∞

−∞ |fout,FBG (t)|2 dt´∞−∞ |fout,ideal (t)|

2 dt)1/2

∣∣∣∣∣∣∣ (7.5)

donde fout,FBG (t), y fout,ideal (t) son las envolventes complejas de las señales de

salida correspondientes a la FBG y al derivador ideal, respectivamente, y * denota

el complejo conjugado.

La longitud se obtiene mediante una apropiada limitación del perl de grating

obtenido mediante el algoritmo inverse scattering. Como se puede observar en Fig.

5, cuanto menor sea el mínimo en transmisión (mayor máximo de reectividad)

tendremos una mayor precisión de operación, pero también una FBG más larga

(un cero de transmisión solo se podría conseguir mediante una hipotética FBG de

longitud innita). Además, existen muchos factores que pueden afectar a la caída de

transmisión en la frecuencia central, por ejemplo, no uniformidades espaciales de la

bra, que pueden restringir la obtención de una determinada caída de transmisión

en la práctica.

7.4. Conclusiones

En este capítulo se han presentado dos aplicaciones de procesamiento de señales

ópticas mediante el uso de FBGs en modo transmisión, como conformador de pul-

sos [Prec 09a], y como derivador temporal óptico de primer orden [Prec 08b]. En

ambos casos el principio básico en el diseño consiste en tener en cuenta la ligadura

existente entre la amplitud y la fase espectral de una FBG en transmisión, que están

relacionadas mediante la transformada de Hilbert logarítmica.

En el primer caso se aplica en la conformación de un pulso de tope plano aprove-

chando que la amplitud y la fase de una función sinc pueden ser considerados pares

de la transformada de Hilbert logarítmica [Ozca 07], de manera que al diseñar una

FBG cuya respuesta espectral se aproxima en amplitud a la función sinc, la fase

espectral automáticamente converge a la fase de la función sinc.

En cuanto al derivador óptico de primer orden, se ha demostrado analíticamente

mediante la expresión integral de la transformada de Hilbert que una amplitud de

respuesta espectral proporcional al módulo de la frecuencia angular en banda-base

(suponiendo una determinada frecuencia central), corresponde con una fase consis-

tente en un salto de fase de π en la frecuencia central, más una componente lineal.

Así pues, se obtiene el módulo y la fase de la respuesta espectral del derivador óptico

de primer orden. Es importante mencionar que las LC-FBGs han sido propuestas en

transmisión como derivadores temporales de orden par [Riva 07], necesitando una

red adicional para obtener ordenes impares, para obtener el salto de fase espectral

de π en la frecuencia central. Sin embargo, en este trabajo hemos demostrado que

haciendo uso de las relaciones amplitud fase espectral de las FBG en transmisión, es

posible hacer un diseño adecuado de manera que se consigue la respuesta espectral

de un derivador de orden impar empleando una única FBG.

Los ejemplos de diseño anteriores se realizan utilizando una FBG de periodo

uniforme, sin embargo, debido a la independencia de la respuesta en transmisión

con respecto de la fase espectral en reexión, es posible utilizar FBGs de periodo

no-uniforme, siempre que el módulo de la respuesta espectral en transmisión sea el

requerido. En concreto, es posible emplear FBGs linealmente chirpeadas, lo cual per-

mitiría reducir el coeciente de acoplamiento obtenido en los ejemplos, y simplicar

así la fabricación de estas FBGs en la práctica.

Finalmente redundar en las ventajas del empleo de las FBGs en transmisión: alta

eciencia energética, simplicidad, escalabilidad, permitiendo introducir un procesa-

dor fotónico basado en una FBG en transmisión en cualquier punto de un enlace

óptico sin utilizar más elementos que bra óptica. Además, la salida de este procesa-

dor fotónico contiene las componentes fuera de la banda operativa de procesamiento,

lo cual puede ser interesante en sistemas WDM.

Capítulo 8

Derivador y Multiplicador de Tasa

de Repetición de Pulsos mediante

una LC-FBG

Este capítulo trata sobre la técnica propuesta en [Prec 07c] para la derivación de

orden arbitrario de los pulsos de trenes periódicos de pulsos, que permite de forma

simultánea multiplicar la tasa de repetición, mediante una única LC-FBG operando

en reexión (más información sobre la derivación temporal óptica en la Sección

5.2). Se muestra un esquema del sistema en la Fig. 8.1. Se deben satisfacer dos

condiciones para que una correcta operación. Primero, la dispersión introducida por

el grating debe ser sucientemente grande para que se produzca un mapeo espacio-

frecuencia, de manera que la función perl del grating se mapee en la respuesta

espectral de la misma [Azan 02b]. En segundo lugar, se debe vericar la condición

de Talbot temporal [Azan 99], con lo cual conseguiríamos que la forma del pulso no

se vea afectada por la dispersión, e incluso tendríamos la posibilidad de aumentar

la tasa de repetición. Además de las ventajas implícitas de las FBGs, este esquema

evita la concatenación de N derivadores de primer orden, lo cual permite una mayor

eciencia energética y reduce la complejidad de la implementación, permitiendo

además realizar simultáneamente la multiplicación de la tasa de repetición de pulsos.

8.1. Diseño de la FBG

Haciendo un desarrollo similar al mostrado en el derivador temporal de la Sección

6.3, se llegaría a que se requiere una respuesta en frecuencia para obtener el derivador

de orden N enventanado:

8. Derivador y Multiplicador de Tasa de Repetición de Pulsos mediante una LC-FBG

Figura 8.1: Esquema del sistema. El tren de pulsos periódico es procesado por unaLC-FBG.

HN,w(ω) = HN(ω)W (ω) = (jω)NW (ω) (8.1)

donde W (ω)es una función de enventanado, que deberá ser seleccionada para que se

cumpla:

HN,w(ω) =

≈ (jω)N ω ∈ banda operativa

= trans(ω) ω ∈ banda de transición

≈ 0 ω /∈ banda total del grating

donde la banda operativa es la región espectral donde la función de derivación opera

con precisión, y trans(ω) es una función de transición. Así pues, la FBG linealmente

chirpeada deberá ser diseñada para conseguir una reectividad :

R(ω) = |HN,ω(ω)|2 =∣∣ωNW (ω)

∣∣2 (8.3)

Si comparamos con el derivador de orden arbitrario propuesto en [Prec 07b],

comentado en la Sección 6.3, podemos ver que en este caso la función de respuesta

espectral se obtiene con una única LC-FBG. Al no haber una segunda red cancela-

dora de dispersión, a la salida del sistema tendremos un término dispersivo añadido,

de manera que la señal de salida estará dispersada. Como se ha dicho, en la en-

trada se supondrá un tren periódico de pulsos, de manera que, si los pulsos están

sucientemente dispersados, interferirán unos con otros. Bajo ciertas condiciones de

dispersión, es posible que estas interferencias den lugar a la misma secuencia de

pulsos de la entrada, con la posibilidad de aumentar la tasa de repetición de pulsos.

A este fenómeno se le denomina auto-imagen o efecto Talbot temporal [Azan 99].

La dispersión introducida debe guardar una relación con el periodo de la señal de

8.2. Ejemplos y resultados de simulación

entrada, la condición de Talbot temporal:

∣∣∣φR∣∣∣ =s

s ∈ Nm ∈ N

donde φR(ω) es la fase de la respuesta espectral de la FBG en reexión, φR =

d2φR/dω2es el coeciente de dispersión lineal, T es el periodo temporal del tren pe-

riódico de entrada, s/m debe ser una fracción irreducible racional. La multiplicación

de la tasa de repetición se producirá en caso de que Ec. 8.4 se cumpla para m > 1.

Como resultado, la señal reejada tendrá una tasa de repetición m veces la de la

señal de entrada.

Además, para conseguir el mapeo espacio-frecuencia, la dispersión debe cumplir

la siguiente condición [Muri 99,Azan 02b]:

∣∣∣φR∣∣∣ ∆t2g8π

donde ∆tg es la anchura temporal del pulso conformado de salida de la FBG.

Cabe destacar que en la mayoría de los casos T 2 (∆tg)2, de manera que la

condición para el efecto Talbot temporal de Ec. 8.4 impone un valor de dispersión

bastante mayor que el requerido para satisfacer el mapeo espacio-frecuencia de Ec.

8.5. Así pues, en la mayoría de las situaciones la condición de Talbot temporal exige

emplear una longitud de FBG mayor que la estrictamente necesaria para cumplir

la condición del mapeo espacio-frecuencia. Finalmente, el resto de parámetros de la

red se diseña tomando las expresiones obtenidas en la Sección 3.3.

Se muestran ejemplos de derivadores de orden primero y cuarto. Asumiremos

una frecuencia de portadora (ω0/2π) de 193 THz, un índice efectivo de refracción

neff=1.45, una banda de interés (∆ω/2π) de 5 THz entrada en ω0 , un ancho de banda

del grating ∆ωg = ∆ω, una reectividad máxima del 50%, y un periodo del tren de

pulsos de entrada de Tin = 40 ps.

Para el primer ejemplo (derivador de primer orden), la respuesta espectral co-

rrespondiente es H1(ω) = jω. Para la ventana se escoge una función basada en la

tangente hiperbólica W (ω) = Wth(ω) = (1/2)[1 + tanh(4− |16ω/∆ωg|)], de manera

que se tiene H1,w(ω) = H1(ω)Wth(ω). La reectividad deseada se obtiene de Ec. 8.3:

R(ω) = CR(ω/∆ωg) [1 + tanh (4− |16ω/∆ωg|)]2

donde CR= 2.1238 es una constante de normalización para conseguir una reectivi-

dad máxima del 50%.

A partir de la duración de F−1 [H1,w (ω)] se obtiene ∆tg ≈ 2 ps. Usando las

expresiones 8.4 y 8.5 se deducen las condiciones de la dispersión para satisfacer

simultáneamente Talbot temporal y el mapeo espacio-frecuencia: φR = sm

2.5464 ×10−22 s2/rad y φR 1.5915× 10−25s2/rad. Elegimos φR = −1.2732× 10−22 s2/rad,

donde se ha tomado s = 1 y m = 2, de manera que la tasa de repetición de entrada

se multiplica por dos, obteniendo un periodo temporal de la señal de intensidad

óptica de salida de Tout = Tin/2 = 20 ps. Además, el orden impar del derivador de

primer orden implica que un salto de fase de π rad debe ser introducido en el grating

en z = 0.

Usando las expresiones de la Sección 3.3 (Ecs. 3.18, 3.14 y 3.15) se obtiene

∆nmax = 2.8160× 10−4, nmed = 1.45014, CK = −7.3508× 105 rad/m2 y L = 41.346

cm. El periodo fundamental del grating se puede obtener de Λ0 = πc/(nmedω0) =

535.574 nm. Finalmente, usando Ec. 3.17, obtenemos la función de perl de grating

que modula el índice de refracción del núcleo de la LC-FBG:

p(z) = CA

(− ln

1− C2

∣∣∣∣ zLa∣∣∣∣2N [1 + tanh

∣∣∣∣16z

∣∣∣∣)]2) 1

donde CA = 1.2011 es una constante de normalización, y N = 1.

Como segundo ejemplo se diseña un derivador de orden cuarto siguiendo la misma

metodología. De nuevo tenemos ∆tg ≈ 2 ps, obteniendo los mismos parámetros

tecnológicos que en el primer ejemplo. La tasa de repetición de salida también será

el doble que la de entrada. El perl del grating estará dado por Ec. 8.6, donde

CR = 181.02, y N = 4 (mismos L y CA que en el primer ejemplo).

Las Figs. 8.2(a), (b), y (c) muestran los resultados de la simulaciones correspon-

dientes al primer ejemplo, y las Figs. 8.2(d), (e) y (f) muestran las correspondientes

al segundo ejemplo. Las respuestas espectrales del FBG diseñado y el derivador

ideal se muestran en las Figs. 8.2(a) y (d) para el primer y segundo ejemplo, respec-

tivamente. El pulso de salida correspondiente a una entrada gaussiana descrita por

fin,1(t) ∝ exp (−t2/(2σ2)) , con σ = 800 fs, se muestran en las Figs. 8.2(b), y (e) para

el primer y segundo ejemplo, respectivamente. El pulso de salida correspondiente a

un pulso descrito por fin,2(t) ∝ dfin,1(t)

dt∝ t exp (−t2/(2σ2)) se muestran en las Figs.

8.2(c), (f) para el primer y segundo ejemplo, respectivamente.

Figura 8.2: Las grácas (a) y (d) muestran la amplitud de la respuesta espectral co-rrespondientes a la FBG (continuo), y al derivador ideal (discontinuo), para el primery segundo ejemplo, respectivamente. Las formas de onda temporales se muestran enlas grácas (b) y (c) para el primer ejemplo, y en (c) y (f) para el segundo, dondese representa el pulso de entrada (punteado) y el pulso de salida correspondientes ala FBG simulada (continuo), y al derivador ideal (punteado, indistinguible en (b) y(c), y difícilmente distinguible en (e) y (f) ).

8.3. Conclusiones

En este capítulo se ha presentado una aplicación de un procesador fotónico ba-

sado en una única LC-FBG, que realiza simultáneamente un ltrado de amplitud

para obtener la respuesta espectral de un derivador, y un ltrado en fase que pro-

voca el efecto Talbot temporal. El ltrado en amplitud explota el hecho de que

el perl del grating de una LC-FBG se mapea en la respuesta espectral al intro-

ducir suciente dispersión (mapeo espacio-frecuencia), mientras que el ltrado en

fase introduce el término de dispersión necesario para cumplir simultáneamente la

condición del efecto Talbot temporal, y el mapeo espacio-frecuencia. La principal

diferencia con [Prec 07b] consiste en que no se requiere una segunda FBG para

compensar la dispersión introducida por la primera FBG. Además, el efecto Talbot

temporal permite la posibilidad de incrementar simultáneamente la tasa de repe-

tición de pulsos. Así pues, con una sola LC-FBG es posible obtener un derivador

temporal de orden arbitrario, lo cual supone una gran simplicidad y eciencia ener-

gética del sistema, con posibilidad de multiplicar la tasa de repetición de pulsos.

Como se ha comentado, en la mayoría de los casos la condición Talbot hace que

se cumpla sobradamente la condición del mapeo espacio frecuencia. De esta forma,

la longitud de la FBG requerida para que se produzca el efecto Talbot es bastante

mayor que la estrictamente necesaria para el mapeo espacio-frecuencia. Así pues,

a partir de las Ecs. 8.5 y 3.15 se puede deducir que la longitud de grating que se

requeriría en los ejemplos para obtener simplemente el mapeo espacio-frecuencia

sería L 0.051 cm , lo cual se puede satisfacer para L > 5 cm. Sin embargo, la

longitud de grating diseñado en ambos ejemplos (41.346 cm) es signicativamente

más larga. Aun así, se encuentra dentro de la precisión de las técnicas de fabricación

actuales. Por ejemplo, en [Long 02], se consiguió el efecto Talbot temporal con una

FBG linealmente chirpeada de 96 cm. Consideraciones acerca la inuencia del rizado

de retardo de grupo se pueden encontrar en [Mok 04], donde ha sido asociado a la

uctuación de la amplitud en el tren de pulsos de salida.

Capítulo 9

Integrador mediante una FBG de

Periodo Uniforme en Reexión

En este capítulo se explica una sencilla técnica para la implementación de un

integrador temporal óptico (ver Sección 5.3) basado en una FBG de periodo uniforme

en modo reexión [Prec 08e]. Las FBGs ya han sido propuestas anteriormente para

la integración temporal óptica [Ngo 07a,Azan 08, Slav 08]. Así pues, en [Ngo 07a]

se ha demostrado que una FBG con salto de fase, operando en modo transmisión y

régimen de muy alto acoplamiento (reectividad muy alta, cercana al 100%), puede

aproximar la respuesta el integrador sobre un cierto ancho de banda. En [Azan 08],

una FBG uniforme (con respuesta impulsiva aproximadamente rectangular) es usada

aprovechando el hecho de que la convolución temporal de una señal de entrada

arbitraria con una función rectangular puede ser considerada como una integración

temporal para una cierta ventana temporal de validez. En [Slav 08] se propone una

FBG chirpeada en transmisión, con la particularidad de que la FBG está en inscrita

en una bra óptica dopada con Erbio de manera que permite introducir una ganancia

óptica en la misma.

La técnica propuesta en [Prec 08e] consiste en un integrador temporal pasivo

óptico coherente, diseñado para presentar una respuesta impulsiva exponencial de-

creciente en reexión. El método propuesto puede ser diseñado tanto para un régimen

de acoplamiento débil como fuerte, y realiza una integración temporal cercana a la

ideal para pulsos de pocos picosegundos, o por debajo del picosegundo.

9.1. Diseño de la FBG

La operación de un integrador temporal coherente ideal se puede expresar como

fout (t) =´ t−∞ fin (τ) dτ , donde fin (t) y fout (t) son las envolventes complejas de la

9. Integrador mediante una FBG de Periodo Uniforme en Reexión

entrada y salida del sistema, respectivamente. También podemos expresar esto en

frecuencia como Fout (ω) = Fin (ω) / (jω), donde Fin (ω) y Fout (ω) son las trans-

formadas de Fourier de fin (t) y fout (t), respectivamente. Así pues, la respuesta

espectral y la respuesta impulsiva del integrador ideal son, respectivamente:

Hideal (ω) = Fout (ω) /Fin (ω) = 1/ (jω) (9.1)

hideal (t) = u (t) (9.2)

donde u (t) es la función escalón unitario. La Ec. 9.1 implica una ganancia innita en

ω = 0. Así pues, un sistema real nunca puede realizar esta operación ideal, incluso

par el caso de dispositivos activos. Sin embargo, Hideal (ω) puede ser aproximada

de forma bastante precisa con una función Lorentziana compleja [Papo 62], que

corresponde con una respuesta impulsiva exponencial decreciente en el dominio del

tiempo:

Haprx (ω) = A/(jω + τ−1

)(9.3)

haprx (ω) = A exp (−t/τ)u (t) (9.4)

donde A y τ son constantes reales. Cabe mencionar que esta aproximación es ha-

bitualmente empleada en integradores RC pasivos electrónicos. A partir de las Ecs.

9.1 y 9.3, se puede observar que valores grandes de τ implican una operación de

integración precisa. De hecho, para que un pulso de anchura ∆t sea integrado de

forma precisa, se debe cumplir τ ∆t. Sin embargo, como estamos tratando con

un dispositivo pasivo, está claro que |Haprx (ω = 0)| = Aτ ≤ 1 ⇒ A ≤ 1/τ , de ma-

nera que altos valores de τ implican un valor bajo en A , y de Ec. 9.4 se puede ver

que tendremos una amplitud baja en la respuesta impulsiva haprx (ω). A partir de

fsal (t) = fent (t)⊗haprx (t), nalmente se deduce que tendremos una baja intensidad

a la salida, donde el símbolo ⊗ denota la operación de convolución temporal. Así

pues, es necesario adoptar una solución de compromiso entre precisión y eciencia

energética.

Una FBG puede ser diseñada para exhibir una respuesta impulsiva exponencial

decreciente en reexión. Suponiendo un régimen de bajo acoplamiento, el perl del

grating p(z) se puede deducir fácilmente como una función exponencial negativa

espacial (aproximación de Born, ver Sección 3.3). Para un régimen de acoplamiento

fuerte, se debe aplicar un algoritmo de inverse scattering para sintetizar el correspon-

diente perl de grating. Es importante mencionar que, en régimen de acoplamiento

9.2. Ejemplos

débil, la longitud del grating L es del orden de 6τc/2nmed, donde la función expo-

nencial se ha supuesto limitada a 6τ , c es la velocidad de la luz en el vacío, y nmedes el índice de refracción medio de la FBG. Así pues, a partir de τ ∆t se puede

deducir que se debe vericar L 6∆tc/2nmed para tener una operación precisa en

régimen de acoplamiento débil. En cuanto al régimen de acoplamiento fuerte, hay

que tener en cuenta que el grating obtenido de la aplicación de un algoritmo de

inverse scattering normalmente es varias veces más largo que el correspondiente al

acoplamiento débil, dependiendo de la máxima reectividad.

9.2. Ejemplos

Como ejemplo, diseñamos una FBG de periodo uniforme con una reectividad

máxima del 80%, cuya respuestas impulsiva es una exponencial negativa como la

descrita en 9.4, con un tiempo de caída τ = 200 ps, y una frecuencia central de

ω0/2π = 193 THz. La FBG presenta un índice de refracción efectivo en el modo de

la bra no perturbada de neff =1.452, una longitud L = 24 cm, y un periodo de

grating Λ0 = 534.88 nm, que corresponde con una frecuencia de Bragg de 193 THz.

Mediante la aplicación de un algoritmo de inverse scattering, obtenemos el coecien-

te de acoplamiento κ (z) mostrado en Fig.9.1, con un coeciente de acoplamiento

máximo κmax = 43.225 m−1.

Figura 9.1: Función de perl de grating obtenido para la FBG integradora medianteun algoritmo de inverse scattering.

La respuesta espectral en reexión de la FBG se ha obtenido mediante simu-

lación numérica, y se representa en Fig. 9.2, presentando una buena concordancia

con la respuesta ideal, excepto en las frecuencias centrales, donde la respuesta del

integrador ideal tiende a innito. La Fig. 9.3 muestra las formas de ondas tem-

porales obtenidas numéricamente para varias señales de entrada, comparando los

resultados del integrador ideal y de la FBG diseñada, donde todas las señales de

entrada consideradas están espectralmente centradas en ω0. En Fig. 9.3(a) y (b) se

considera como señal de entrada la derivada primera de un pulso gaussiano de 1 ps,

y un pulso gaussiano de 1 ps, respectivamente, donde los anchos temporales están

expresados como FWHM. Como se puede observar, el integrador implementado me-

diante la FBG obtiene un resultado bastante concordante con el correspondiente al

integrador ideal. En el ejemplo de la Fig. 9.3(b), la señal ideal integrada presenta

un valor no nulo para t. Sin embargo, es evidente que la intensidad de salida de

un dispositivo pasivo no puede mantener un valor no nulo constante en t , y la

señal decae con un tiempo de caída de τ = 200 ps. La Fig. 9.3(c) muestra como sería

la salida de la FBG anteriormente diseñada en caso de tener una señal de entrada

con la forma de onda de la derivada primera de un pulso gaussiano de 100 ps, una

duración excesiva para ser adecuadamente procesada por la anterior FBG, ya que

la condición τ ∆t no se cumple.

Figura 9.2: Amplitud y fase de la respuesta espectral correspondiente a la FBGdiseñada (continuo), y a un integrador ideal (punteado).

Finalmente, en la Fig. 9.4 se compara la precisión y la eciencia energética de

ocho FBG integradoras, con longitudes de 24, 12, 6, 3, 1.5, 0.75, 0.375 y 0.1875 cm,

todas ellas diseñadas para una reectividad máxima del 80%, y se aplican sobre

la misma señal de entrada, la derivada primera de un pulso gaussiano de 10-ps. La

eciencia energética del integrador se representa como la razón entre la energía de la

señal de salida y la energía de la señal de entrada, en dB, y la precisión de operación

del integrador ha sido calculada como el grado de similitud entre las señales de salida

correspondientes a la FBG y el integrador ideal, que es estimada con el coeciente

9.3. Conclusiones

Figura 9.3: Resultados de las simulaciones numéricas, donde los pulsos de entradasen (a), (b), y (c) son respectivamente la derivada primera de un pulso gaussiano de1 ps, un pulso gaussiano de 1 ps, y la derivada primera de un pulso gaussiano de100 ps (demasiado largo para ser correctamente procesado). Las grácas muestranlas formas temporales del pulso de entrada (discontinuo) y de los pulsos de salidacorrespondientes a la FBG (continuo), y al integrador ideal (puntado), que sondifícilmente distinguibles en los dibujo (a) y (b).

de auto-correlación normalizado Corr, denido de la misma forma que en Ec. 7.5,

usando fsal,FBG (t), y fsal,ideal (t) correspondientes a la FBG y al integrador ideal,

respectivamente. Como se puede observar en la Fig. 9.4, longitudes mayores implican

mayor precisión, pero también una menor eciencia energética, de manera que una

solución de compromiso deberá ser adoptada para cada caso.

9.3. Conclusiones

En conclusión, se ha propuesto una sencilla solución para la implementación de

un integrador óptico basado en una FBG de periodo uniforme, diseñada para pre-

sentar una respuesta impulsiva exponencial negativa en reexión. Como ejemplo, se

ha diseñado un integrador con una reectividad máxima del 80%, y se ha aplicado

Figura 9.4: Eciencia energética (rectángulos, linea puntada), y coeciente de co-rrelación cruzada normalizado (círculos, línea discontinua), que estima la similitudentre los pulsos de salida correspondientes al integrador ideal y a la FBG diseñada, yrepresenta la precisión de operación. Ocho FBGs integradoras, de longitudes 24, 12,6, 3, 1.5, 0.75, 0.375 y 0.1875 cm, y una reectividad máxima del 80%, se diseñan,simulan, y aplican sobre la derivada primera de un pulso gaussiano de 10 ps.

sobre varias señales de salida. También se han comparado la precisión y la eciencia

energética para varias longitudes de FBG, concluyendo que una solución de com-

promiso debe ser adoptada en la longitud de la FBG, dependiendo de la aplicación

concreta. En cualquier caso, las longitudes mostradas están dentro de los límites tec-

nológicos actuales. Como desventajas podemos mencionar que este método puede

requerir FBGs de gran longitud en caso de querer aplicarlo sobre pulsos muy largos

(cientos de picosegundos, o mayores), y también presenta las limitaciones intrínsecas

de los integradores pasivos.

Capítulo 10

Multiplicador de Tasa de Repetición

de Pulsos mediante Estructuras

Paso-Todo de Cavidades

En el presente capítulo se presenta una técnica para la multiplicación de la tasa

de repetición de pulsos (MTRP) mediante estructuras de cavidades paso-todo, con

una eciencia energética teórica del 100% [Prec 08c, Prec 08a, Prec 08d]. Como

se va a mostrar, las estructuras propuestas pueden ser diseñadas de manera que

permitan obtener diferentes factores de multiplicación de la tasa de repetición de

pulsos (en particular, 2, 3, 4, 6, y 12), mediante un ltrado solo-fase de las diferentes

componentes espectrales de la fuente de láser pulsado.

Las estructuras de cavidades propuestas se pueden implementar mediante ca-

vidades tipo Fabry-Perot, compuestas por supercies parcialmente reectantes, así

como por anillos resonantes. Como se puede ver en la Fig. 10.1, las estructuras pro-

puestas están compuestas por un número de cavidades de 1 a 4. Se demuestra que

mediante estas estructuras se puede conseguir una MTRP de envolvente uniforme

precisa y robusta.

Existen diferentes técnicas para la multiplicación de la tasa de repetición de

pulsos mediante cavidades ópticas. Las técnicas basadas en un ltrado en amplitud

y/o fase [Yian 03,Xia 06,Slav 05], en las que el ltrado afecta a la densidad espectral

de potencia de la señal de entrada, tienen una menor eciencia energética, efecto

que se agrava a medida que el factor de repetición aumenta. En [Azan 02a,Huan 00]

se siguen diferentes estrategias para conseguir un ltrado solo-fase que dé lugar a

las fases espectrales correspondientes el efecto Talbot temporal. En [Azan 02a], el

objetivo de diseño consiste en obtener un sistema con una fase espectral cuadrática

adecuada para la consecución del efecto Talbot temporal. En la práctica, el número

10. Multiplicador de Tasa de Repetición de Pulsos mediante Estructuras Paso-Todo

de Cavidades

Figura 10.1: Arquitectura del sistema. El tren periódico de pulsos es procesadomediante una estructura óptica paso-todo. Se proponen ocho estructuras ópticasdiferentes, donde se muestra la implementación en anillos resonantes.

de cavidades necesario para conseguir una fase cuadrática de calidad puede ser

bastante signicativo. En [Huan 00], las cavidades se combinan y diseñan de manera

que cada cavidad imponga la fase espectral requerida para el efecto Talbot temporal,

y no afecten al resto de componentes espectrales, lo cual requiere cavidades de

alto factor de calidad para que cada cavidad solamente tenga efecto en frecuencias

adyacentes a su frecuencia resonancia.

En la técnica que aquí se propone, las cavidades se diseñan conjuntamente para

conseguir la multiplicación de la tasa de repetición de pulsos con envolvente de tren

uniforme, mediante la optimización de los parámetros de las cavidades de la estruc-

tura óptica empleada, de manera que se maximice la uniformidad de la envolvente

del tren de pulsos. En lo que resta de capítulo se van a explicar algunos aspectos

teóricos sobre la base y el diseño de los parámetros de las estructuras, y se presentan

las diferentes implementaciones propuestas, empezando por la más simple (una sola

cavidad), hasta las más complejas (combinación 4 cavidades), mostrando diferentes

ejemplos de cada una de ellas. Finalmente se resume y concluye este trabajo.

10.1. Diseño de ltros para MTRP con envolvente

uniforme

Consideremos un tren de pulsos periódico de entrada fin(t) =∑∞−∞ a0(t −

nT ) = a0(t) ⊗∑∞−∞ δ(t − nT ), donde a0(t) representa la envolvente compleja de

un único pulso, y T es el periodo temporal de la señal. Usando la transformada de

Fourier, podemos expresar en el dominio de la frecuencia Fin(ω) = F fin(t) =2πTA0(ω)

∑∞n=−∞ δ(ω − n2π

T). Cuando un ltro espectralmente periódico H(ω) =

H(ω + 2πFSR), es aplicado sobre el tren periódico de entrada, con FSR = N/T ,

10.1. Diseño de ltros para MTRP con envolvente uniforme

N ∈ Z, se tiene un una salida que se puede expresar en el dominio de la frecuencia

Fout (ω) = Fin (ω)H (ω) = A0 (ω)2π

∞∑n=−∞

(ω − 2πn

= A0 (ω)2π

∞∑n=−∞

(ω − 2πn

)(10.1)

donde Hn = Hn+N = H(

), con lo cual podemos denir una secuencia periódica

de N elementos Hn. En efecto:

Hn+N = H

T(n+N)

Tn+ 2π

Tn+ 2πFSR

)= Hn (10.2)

Dado que Hn describe una secuencia discretra y periódica, se puede aplicar

la inversa de la transformada discreta de Fourier (IDFT, Inverse discrete Fourier

transform) [Oppe 89] en el cálculo de la envolvente compleja en el dominio temporal

correspondiente a la salida :

fout (t) = F−1 Fout(ω) = F−1 A0 (ω) ⊗ F−1

∞∑n=−∞

(ω − 2πn

= a0 (t)⊗∞∑

n=−∞

(t− n T

∞∑n=−∞

(t− n T

)(10.3)

Cn = IDFTn Hn (10.4)

donde IDFTn denota la n-ésima componente de la inversa de la transformada dis-

creta de Fourier, denota una secuencia de N elementos, y Cn son coecientes

complejos, que cumplen Cn = Cn+N .

A partir de 10.3 se puede observar que la secuencia |Cn| dene la amplitud de

los pulsos del tren periódico de salida, que obviamente no está afectado por la fase de

Cn. Estamos interesados en conseguir una secuencia de pulsos uniforme, que equivale

a conseguir una secuencia |Cn| uniforme. Los valores de estas amplitudes vendrán

determinadas por los valores de la secuencia Hn, que a su vez viene determinada

de Cavidades

por la respuesta espectral del ltro periódico aplicado, H (ω). Así pues, nuestro

objetivo será diseñar los parámetros de las diferentes estructuras ópticas de manera

que su respuesta espectral H (ω) conduzca a una secuencia |Cn| uniforme.

Lo que se plantea no es más que un problema de optimización, donde el espacio

de búsqueda está determinado por los parámetros de las estructuras, y se pretende

minimizar las variaciones de la secuencia |Cn|. Se hace necesario denir una gurade mérito (FM) que cuantique numéricamente la calidad de la solución planteada.

Es posible utilizar diferentes deniciones de la gura de mérito. En particular, se han

utilizado dos deniciones diferentes, sin tener ninguna de ellas una especial ventaja

sobre la otra. La primera denición aprovecha la particularidad de que, por principio

de conservación de la energía, la secuencia óptima se produce cuando la magnitud

de los coecientes son iguales a√N :

FM =N∑n=1

(|Cn| −

√N)2

(10.5)

Otra denición propuesta de FM consiste en usar operadores de media y varian-

FM = var (|Cn|) /med (|Cn|) (10.6)

donde var() y med() denotan respectivamente la varianza y la media de la secuencia

de entrada.

En ambas deniciones el óptimo se produce cuando FM = 0, y es posible medir

la variabilidad de la solución mediante la magnitud del gradiente de la gura de

mérito |∇FM |.

10.2. Cavidad simple para 2×, 3×, y 4× MTRP

El ejemplo básico de estructura óptica paso-todo consiste en la cavidad ópti-

ca simple, con posibles implementaciones en anillos, o en una cavidad tipo Gires-

Tournois, como se muestra en la Fig.10.2. Hay que tener en cuenta que la imple-

mentación con Gires-Tournois requeriría un elemento adicional, como un circulador

óptico o similar, para separar la señal incidente de entrada de la reejada de salida.

La respuesta espectral correspondiente a la cavidad óptica paso-todo es:

Hsimple (ω) =r − a exp (−jφ (ω))

1− ra exp (−jφ (ω))(10.7)

donde r =√

(1−K) es el coeciente de reexión de la cavidad para el caso de

Figura 10.2: Cavidad óptica simple. El tren periódico de pulsos es procesado porla cavidad óptica paso-todo. Dos posibles implementaciones, basadas en una anilloresonante, y una cavidad tipo Gires-Tournois, son propuestas.

implementación Gires-Tournois, a partir del cual se puede calcular el factor de

acoplamiento (en potencia) para la conguración en anillo mediante K = 1 − r2;

a = exp (−αLc/2) es el factor de transmisión de ida y vuelta, y α es el coeciente

de pérdida de potencia, Lc es la longitud de la cavidad, y φ (ω) es la fase de ida y

vuelta:

φ (ω) =ωoptFSR

=(ω + ω0)

FSR+ φ0 (10.8)

donde φ0 es la fase de ida y vuelta de la cavidad en la frecuencia ωopt = ω0.

Con todo esto, si suponemos cavidades sin pérdidas (a = 1), tendremos que la

cavidad se comporta como un ltro solo-fase, |Hsimple (ω)| = 1. Para aplicarlo en

MTRP según lo expuesto en la sección anterior, se debe cumplir FSR ≈ N/T , con

N el factor de repetición deseado, y se utiliza la aproximación y no la igualdad

exacta ya que en la práctica el valor de φ0 se obtiene mediante variaciones muy

pequeñas del FSR de la cavidad. Así pues, tanto la respuesta espectral Hsimple (ω),

como los valores de los coecientes Cn = IDFTnH(

2πTm)

(de Ecs. 10.4 y 10.2),

serán función de los dos parámetros de la cavidad r y φ0.

Empleando la denición de la gura de mérito de Ec. 10.5, se calcula FM para

factores de repetición N=2, N=3, y N=4, que están representadas en las Fig. 10.3(a),

(b), y (c), donde las regiones azules representan soluciones que generan trenes más

uniformes. Las respectivas magnitudes de gradiente |∇FM | están representadas en

las Fig. 10.3(d), (e), y (f), donde las regiones azules representan un valor más bajo del

gradiente y, por lo tanto, una zona menos sensible a la variación en los parámetros de

la cavidad. Estas funciones van a presentar periodicidad en φ0 con periodo 2π/N , y

de Cavidades

Figura 10.3: Figura de mérito y función gradiente para factores 2× (grácas (a) y(d)), 3× (grácas (b) y (e)), and 4× (grácas (c) y (f)).

han sido acotadas en los valores altos para poder incrementar así el contraste visual

de las grácas. Es importante comentar que no se representa FM para otros factores

de repetición N > 4 porque no es posible conseguir trenes de pulsos uniformes con

una sola cavidad para esos factores de repetición con una uniformidad mínimamente

aceptable.

Ejemplos

En estos ejemplos se va a tratar de alcanzar un compromiso razonable entre

uniformidad de tren, y robustez. Las soluciones adoptadas en estos ejemplos no

tienen por qué ser las mejores soluciones para todos los casos, ya que el criterio de

N T/N (ps) FSR(GHz) φ0 (rad) r K

2 5 200 + 2.604× 10−2 π/2 0.4142 0.82843 3.33 300 + 7.46× 10−3 0.1 0.75 0.42754 2.5 400 0 0.97 0.0591

Tabla 10.1: Resumen de parámetros para los ejemplos de 2×, 3×, y 4×, considerandoun tren de pulsos de entrada a 100 GHz.

Figura 10.4: Intensidad del tren de pulsos de salida en un periodo del tren original deentrada (10 ps), para 2×(a), 3× (b), y 4× (c), correspondientes al primer, segundo,y tercer ejemplo, respectivamente.

diseño dependerá de la aplicación en particular, de la realizabilidad práctica de los

parámetros de la cavidad, y la importancia de cada factor a la hora de alcanzar la

solución de compromiso.

Para el primer ejemplo (N=2, i.e., factor de multiplicación 2×), tanto la gura

de mérito como la magnitud del gradiente (Fig. 10.3(a) y (b)) son igual al mínimo

en una amplia zona. En particular, se elige el punto en φ0 = π/2 rad, el que se

produce una solución exacta con gradiente cero en r =√

(2)− 1. La secuencia que

se obtiene de esta solución en el caso ideal es |Cn| =√

12× 1, 1, que modulará

los pulsos del tren de salida.

Para el segundo ejemplo (N=3, i.e., factor de multiplicación 3×) el óptimo de

la gura de mérito (Fig. 10.3(b)) solamente se alcanza de manera exacta para un

valor r = 1, donde precisamente la función gradiente (Fig. 10.3(e)) presenta valores

altos. Se escoge el punto en r = 0.75, φ0 = 0.1 rad, obteniendo una secuencia

|Cn| =√

13× 1.066, 1.092, 0.8189.

de Cavidades

Para el tercer ejemplo (N=4, i.e., factor de multiplicación 4×), de nuevo el óptimo

de la gura de mérito (Fig 10.3(c)) solamente se alcanza de manera estricta en

r = 1, pero en este caso el gradiente Figura 10.3(f) indica una mayor robustez en

valores de r cercanos a 1, de manera que es factible tomar una solución mas cercana

al óptimo. En concreto, se toma r = 0.97, φ0 = 0, y se obtiene una secuencia

|Cn| = 12× 0.9996, 1.0304, 0.9996, 0.9696.

Asumimos un tren de pulsos de entrada con una frecuencia central de ω0

2π= 192

THz, y un periodo T = 10 ps (tasa de repetición de pulsos de 100 GHz). En la

Tabla 10.1, se resumen los parámetros nalmente obtenidos para cada ejemplo,

donde se incluyen tanto r para la implementación Gires-Tournois, como K para la

implementación con anillo resonante. Finalmente, en la Fig. 10.4, se representa los

trenes de pulso de salida resultantes, en intensidad, asumiendo una forma de pulso

gaussiana.

10.3. Combinaciones de cavidades para 3×, 4×,6×y 12× MTRP

En la sección anterior se ha visto como una cavidad óptica simple solamente

puede obtener trenes de pulsos uniformes de salida para valores de r ≈ 1, K ≈ 0

en 3× y 4×, lo cual supone una importante limitación a la hora de conseguir esos

parámetros en una posible implementación práctica. Como se comentó en la Sec-

ción 4.1, valores de r ≈ 1 hacen que la respuesta sea extremadamente sensible a φ0

entorno a la frecuencia de resonancia. Además, las pérdidas se hacen más inuyen-

tes, pudiéndose producir un acoplamiento crítico para valores bajos de pérdidas de

cavidad, a ≈ 1.

Las estructuras ópticas que se proponen en esta sección mejoran las soluciones

de la cavidad simple en términos de realizabilidad y robustez, y además, permiten la

obtención de nuevos factores de repetición. En primer lugar, como se puede observar

en la Fig. 10.5, se proponen dos estructuras basadas en la combinación de dos anillos

idénticos en conguración cascada o acoplados. En lo que resta de capítulo nos

centraremos en la implementación en anillos, por su facilidad para combinarlos,

especialmente en cascada, aunque también sería posible realizar una implementación

mediante cavidades lineales basadas en supercies parcialmente reectantes, de tipo

Fabry-Perot.

La respuesta espectral se puede obtener de manera muy sencilla para la con-

guración cascada mediante la multiplicación directa de las respuestas espectrales

correspondientes a cada anillo ( Ec. 10.7):

10.3. Combinaciones de cavidades para 3×, 4×,6× y 12× MTRP

Figura 10.5: Estructuras ópticas paso-todo para MTRP uniforme para 3×, y 4×,compuestas por dos cavidades idénticas combinadas en cascada o en paralelo.

Hcasc (ω) = (Hsimple (ω))2 =

(r − a exp (−jφ (ω))

1− ra exp (−jφ (ω))

(10.9)

Para la conguración acoplada, es necesario aplicar el método de matrices de

transferencia para obtener la respuesta espectral de la misma [Capm 90,Capm 07a],

obteniendo:

Hacop (ω) =r(1− rae−2jφ(ω)

)−(ae−2jφ(ω)

) (r − ae−2jφ(ω)

)(1− rae−2jφ(ω))− (rae−2jφ(ω)) (r − ae−2jφ(ω))

(10.10)

De nuevo aplicamos la teoría expuesta en la Sección 10.1 para la buscar so-

luciones de MTRP uniforme, utilizando en este caso la denición de la gura de

mérito de la Ec. 10.6. Dado que los anillos son idénticos, es posible caracterizar una

estructura mediante los parámetros de uno de los anillos. Suponiendo que no hay

pérdidas (a = 1), tanto las respuestas espectrales como la gura de mérito se pueden

caracterizar mediante los parámetros K y φ0. En Fig. 10.6 se muestra FM(K,φ0)

y |∇FM(K,φ0)| en una representación de falso color, para 3× y 4× con las es-

tructuras de combinaciones acopladas y cascada. Estas funciones van a presentar

periodicidad en φ0 con periodo 2π/N , y han sido limitadas para valores altos para

incrementar así el contraste de las grácas. Como se puede observar, se consiguen

soluciones óptimas, correspondiente con azul oscuro en la representación de falso

color, con uniformidad de ráfaga y robustez, con valores de parámetros realizables.

La Tabla 10.2 muestra los parámetros óptimos para 3×, y 4× con ambas con-

guraciones (cascada y acoplados), donde se ha seleccionado la región más robusta a

variaciones de parámetros en los casos en los que hay múltiples soluciones, y se han

incluido también los parámetros óptimos obtenidos en la sección 10.2, para 2× con

la cavidad simple.

En la Tabla 10.2 también se ha considerado los casos de cavidades con pérdidas,

incluyendo los casos de a = 0.95, y a = 0.9. Se han calculado los parámetros ópti-

de Cavidades

Figura 10.6: Figura de mérito y función de gradiente para 3× y conguración acopla-da [(a) y (e)], 3× y conguración cascada [(b) and (f)], 4× y conguración acoplada[(c) y (g)], y 4× y conguración cascada [(d) y (h)].

mos para estas conguraciones procediendo de la misma manera que en el caso sin

pérdidas, y se encuentra que estas pérdidas afectan a la eciencia energética y a la

uniformidad del tren de pulsos de salida. La eciencia energética ha sido calculada

mediante Eff = 100 ×∑Nn=1 |Cn|

2, y el error de uniformidad en la envolvente del

tren de pulsos de salida ha sido calculado mediante la expresión:

Err[dB] = 20 log10

[max (|Cn|)mın (|Cn|)

](10.11)

el cual indica la máxima variación de los picos de los pulsos en decibelios. La seve-

ridad de los valores de Eff y Err dependerá de la aplicación concreta.

Además, mediante la combinación de las anteriores estructuras podemos formar

otras estructuras con mayores factores de repetición. Pero hay que tener en cuen-

ta que cuando se combinan ltros espectralmente periódicos, la respuesta espectral

del ltro resultante es el producto de las respuestas espectrales de los ltros que se

combinan, y el FSR resultante es igual al mínimo común múltiplo de los FSR de los

ltros. Como se ha visto anteriormente, con las anteriores estructuras podemos con-

seguir MTRP 2×, 3×, y 4×, con estructuras ópticas que tienen FSRs de 2/T , 3/T

y 4/T . Así pues, para conseguir un mayor FSR tenemos dos posibles combinacio-

nes. La combinación de la estructuras correspondientes a 2× (conguración simple)

y 3× (conguración cascada o acoplados), con el que tenemos como resultado un

FSR = 6/T , un factor de multiplicación 6×. La otra combinación posible sería

la de 3×(conguración cascada o acoplados) y 4×(conguración cascada o acopla-

dos), obteniendo como resultado un ltro periódico de FSR = 12/T , y un factor de

10.3. Combinaciones de cavidades para 3×, 4×,6× y 12× MTRP

N Conguración a K φ0[rad] Err[dB] Eff [ %]1 0.8284 1.571 0 100

2 Simple 0.95 0.8287 1.571 0 92.450.9 0.8298 1.571 0 55.551 0.7393 0.8435 0 100

3 Acoplados 0.95 0.7409 0.8207 0 74.450.9 0.7450 0.8091 0 57.871 0.8571 0.3335 0 100

3 Cascada 0.95 0.8579 0.3004 0 81.150.9 0.8603 0.2552 0 66.171 0.8284 0 0 100

4 Acoplados 0.95 0.8120 0.2162 0.67 83.640.9 0.8092 0.2691 1.51 69.651 0.8284 0 0 100

4 Cascada 0.95 0.8316 0 1.65 81.450.9 0.8390 0 3.11 67.06

Tabla 10.2: Resumen de parámetros óptimos de las cavidades correspondientes a2×, 3×, y 4× MTRP uniforme, para a = 1, a = 0.95, y a = 0.9.

multiplicación 12×. Las estructuras correspondientes a 2× y 4× no pueden ser com-

binadas para conseguir un factor de multiplicación mayor, ya que el FSR resultante

es 4/T , con lo cual el factor de multiplicación no aumentaría, sería 4×. Se puede

deducir fácilmente, a partir de la convolución temporal de las respuestas impulsivas

de los ltros que se combinan, que los coecientes |Cn| de las estructuras resultan-tes preservan la uniformidad del tren de pulsos de salida de las estructuras que se

combinan, con lo cual, si los ltros que se combinan realizan una MTRP uniforme,

la estructura resultante realizará igualmente una MTRP uniforme. En la Fig. 10.7,

se muestran todas las posibles estructuras para 6× y 12× obtenidas mediante la

combinación de las estructuras ópticas anteriormente propuestas para 2×, 3× y 4×.

Ejemplos

En los siguientes ejemplos se diseñan una serie de estructuras de cavidades,

asumiendo implementación en anillos resonantes, y un tren periódico de pulsos con

una frecuencia central de ω0/2π = 192 THz, un periodo temporal de T = 100 ps (tasa

de repetición de pulsos de entrada de 10 GHz), y cavidades sin pérdidas (a = 1). En

concreto, se escoge la conguración en cascada para realizar una MTRP de 3×, cuyosparámetros se pueden obtener de la Tabla 10.2, obteniendo un factor de acoplamiento

para la conguración en anillo de K =0.8571 y un FSR1 = 30 + 2.488× 10−4 GHz.

Se diseña otra estructura para 4×, escogiendo la conguración acoplada, con K2 =

de Cavidades

Figura 10.7: Estructuras ópticas paso-todo para MTRP de envolvente uniforme para(a) 6× y (b) 12×. Estas estructuras están compuestas por las estructuras propuestaspara 2×, 3× y 4×, que se marcan mediante un rectángulo punteado.

Figura 10.8: Intensidad del tren de pulsos de salida para 3× (azul), 4× (rojo), 6×(verde), y 12× (amarillo) correspondientes a las estructuras ópticas diseñadas en losejemplos.

10.4. Efecto de las desviaciones de los parámetros de las estructuras

Figura 10.9: Coeciente de error de uniformidad de envolvente, Err, para las estruc-turas diseñadas en los ejemplos correspondientes a 3× (azul), 4× (rojo), 6× (verde),y 12× (amarillo).

0.8284 y FSR2 = 40 GHz. Además, combinamos estas estructuras para obtener 6×y 12×. Así pues, combinando la estructura anterior para 3× con una cavidad simple

(un solo anillo paso-todo) para 2×, usando como parámetrosK3 = 0.8284 y FSR3 =

20+5.208×10−4 GHz, obtenemos la estructura óptica 6×. Finalmente, combinando

las estructuras 3× y 4× anteriormente diseñadas, se obtiene una estructura para

12×.La Fig. 10.8 muestra la intensidad óptica del tren de pulsos óptico de salida

numéricamente obtenido en estos ejemplos. La Fig. 10.9 muestra la inuencia de

variaciones relativas de frecuencia entre la fuente láser y la estructura y el error de

envolvente. Debido a la naturaleza discreta de la respuesta temporal de las cavidades,

estas variaciones solamente van a afectar a la envolvente del tren de pulsos, no a la

forma individual de cada pulso (obviando la dispersión del guiado en los anillos, que

puede afectar a pulsos extremadamente cortos). Se puede observar que la estructura

para 4× diseñada es la más robusta, y además se puede comprobar que en las

estructuras diseñadas para 6× y 12×, la componente de error dominante es la de el

bloque 3×, presente en ambas como subestructura.

10.4. Efecto de las desviaciones de los parámetros

de las estructuras

Debido a errores de fabricación, variaciones de temperatura, y variaciones de

la frecuencia de la fuente láser respecto del espectro de la estructura, se pueden

producir desviaciones de los valores de los parámetros de las cavidades respecto

de Cavidades

VF [%] Estructura Factor Err[dB]

0.1 Simple 2× ≈0Acoplada 3× 0.23Cascada 3× 0.01Acoplada 4× ≈0Cascada 4× 0.02

0.2 Simple 2× ≈0Acoplada 3× 0.45Cascada 3× 0.28Acoplada 4× <0.01Cascada 4× 0.03

0.5 Simple 2× ≈0Acoplada 3× 1.17Cascada 3× 0.72Acoplada 4× 0.04Cascada 4× 0.06

1 Simple 2× 0.02Acoplada 3× 2.40Cascada 3× 1.44Acoplada 4× 0.17Cascada 4× 0.25

Tabla 10.3: Efecto de la desviación relativa de la frecuencia central del láser deentrada respecto del espectro de la cavidad en la uniformidad del tren de pulsossalida.

VP [%] Estructura Factor Err[dB]0.1 Acoplada 3× 0.13

Cascada 3× 0.07Acoplada 4× ≈0Cascada 4× ≈0

0.2 Acoplada 3× 0.27Cascada 3× 0.14Acoplada 4× ≈0Cascada 4× ≈0

0.5 Acoplada 3× 0.67Cascada 3× 0.36Acoplada 4× 0.01Cascada 4× 0.02

1 Acoplada 3× 1.33Cascada 3× 0.72Acoplada 4× 0.05Cascada 4× 0.07

Tabla 10.4: Efecto de la diferencia de relativa de los valores de φ0 en estructuras decavidades idénticas en la uniformidad del tren de pulsos salida.

de Cavidades

VR [%] Estructura Factor Err[dB]

0.1 Simple 2× 0.01Acoplada 3× 0.04Cascada 3× 0.02Acoplada 4× 0.03Cascada 4× 0.02

Tabla 10.5: Efecto de la desviación de relativa del coeciente de reexión de lascavidades en la uniformidad del tren de pulsos salida.

VK [%] Estructura Factor Err[dB]

Tabla 10.6: Efecto de la desviación de relativa del coeciente de acoplamiento de lascavidades en la uniformidad del tren de pulsos salida.

de Cavidades

de los valores exactos de diseño, lo cual va a afectar a la uniformidad del tren

de pulsos de salida. Se han analizado estos efectos para las tres estructuras básicas

propuestas, simple, cascada y acoplada. Se contemplan las variaciones ∆ω (variación

de los valores de la frecuencia central del laser respecto del espectro de la cavidad),

∆φ0 (en estructuras de dos cavidades, diferencia de los valores de φ0 de las dos

cavidades de la estructura), ∆r (variación del valor del coeciente de reexión de

las cavidades), y ∆K (variación del valor del coeciente de acoplamiento de las

cavidades). En las Tablas 10.3 se recogen los efectos de las desviaciones en el error

de uniformidad, que ha sido cuanticado con el parámetro Err denido en Ec.

10.11. Las variaciones han sido expresadas en términos relativos, en tanto por ciento,

mediante V F = 100× ∆ω2πFSR

, V P = 100× ∆φ0

2π, V R = 100× ∆r

r0y V K = 100× ∆K

donde r0 y K0 son los valores absolutos de de la solución de diseño, respectivamente.

A la vista de los resultados se pueden concluir que la estructura simple para

2× muestra la mayor robustez de todas las estructuras analizadas, y además que la

estructura en cascada muestra mayor robustez que la acoplada en términos generales.

Para evitar estas variaciones, seria deseable conseguir que la frecuencia central del

láser estuviese ajustada al espectro de la cavidad resonante, un control preciso de

los valores de φ0 de las cavidades combinadas, y suciente precisión de fabricación

para tener pocas variaciones en los valores de r y K de las cavidades.

10.5. Conclusiones

En este capítulo se han diseñado y analizado diferentes estructuras ópticas paso-

todo de cavidades, que permiten realizar la multiplicación de la tasa de repetición

de pulsos, con uniformidad del tren de salida, y con una alta eciencia energética

(idealmente del 100% para cavidades sin pérdidas). Para factores de repetición 2×,3×, y 4×, se propone una cavidad óptica simple. Sin embargo, como se ha mostra-

do, aunque las soluciones para 3× y 4× son posibles teóricamente, en la práctica

supone extremar el valor del coeciente de reexión o factor de acoplamiento, una

sensibilidad grande a variaciones de los parámetros, y la exigencia de tener unas

pérdidas de cavidad muy bajas.

También se han propuesto dos estructuras para 3× y 4×, compuestas por dos

cavidades ópticas idénticas en conguración cascada o paralelo. En el diseño de

parámetros de estas estructuras se han obtenido soluciones exactas, robustas, y rea-

lizables. Además, se muestra como combinando las anteriores estructuras se pueden

conseguir mayores factores de repetición, en concreto 6× y 12×. También se ha

analizado el efecto de las pérdidas en al cavidad, que afecta tanto a la eciencia

10.5. Conclusiones

energética, como a la uniformidad del tren de pulsos. Además, se ha mostrado el

efecto de las desviaciones de los parámetros de las estructuras en la uniformidad del

tren de pulsos de salida.

Finalmente comentar que, dada la innidad de posibilidades de combinación de

las cavidades, especialmente de los anillos resonantes, sería interesante investigar

posibles estructuras alternativas que ofrezcan ventajas de simplicidad tecnológica,

robustez, o que consigan otros factores de repetición.

de Cavidades

Capítulo 11

Generación de Ráfagas de Pulsos

mediante Estructuras Paso-Todo de

Cavidades

En este capítulo se presenta una técnica para la generación de ráfagas de pulsos

ópticos (ver Sección 5.4) con envolvente plana mediante estructuras paso-todo de

cavidades ópticas [Prec 09b], donde la eciencia energética es cercana a la unidad

debido a la aplicación del ltrado solo-fase. Consideramos estructuras compuestas

por cavidades acopladas con prácticamente el mismo rango espectral libre, donde

dos tipos de estructuras se proponen: espejos acoplados parcialmente reectantes y

guía de ondas óptica de anillos acoplados (CROWs).

En el resto del capítulo se va a explicar un método para encontrar los parámetros

ópticos óptimos de las cavidades que producen una ráfaga de envolvente plana, y se

muestran los resultados para diferentes números de pulsos por ráfaga y cavidades por

estructura. En los ejemplos, se diseña una estructura óptica basada en una solución

concreta, y se muestran los resultados obtenidos de simulación numérica para varios

casos. Finalmente, se cierra el capítulo con un resumen y conclusión.

11.1. Búsqueda de soluciones óptimas

Una estructura óptica paso-todo de cavidades acopladas con similar FSR, como

la mostrada en la Fig. 11.1, puede ser caracterizada mediante un conjunto de 2×NC

parámetros, donde NC es el número de cavidades. En el caso de cavidades basadas

en espejos, podemos usar dos secuencias de NC elementos en esta caracterización

ri y φi, donde ri denota los coecientes de reexión correspondientes al i-ésimo

espejo, y φi denota el desfase de ida y vuelta (round-trip phase) correspondiente a

11. Generación de Ráfagas de Pulsos mediante Estructuras Paso-Todo de Cavidades

Figura 11.1: Arquitectura del sistema. Un pulso único ultra-corto se procesa me-diante una estructura óptica paso-todo de NC cavidades, generando una ráfaga deNP pulsos de salida. Se proponen dos tipos de cavidades acopladas, cavidades li-neales mediante secuencias de espejos parcialmente reectantes, y anillos resonantesacoplados.

la cavidad i-ésima para ω0. Es bien conocida la equivalencia de esta estructura con

una estructura de anillos acoplados [Yari 06], sin más que usar la relación:

Ki =√

1− r2i (11.1)

donde Ki es el i-ésimo factor de acoplamiento (en potencia) correspondiente a la

cavidad i-ésima.

La respuesta impulsiva de estas estructuras ópticas, h (t), se puede obtener a

partir de la aplicación de la transformada inversa de Fourier a la respuesta espectral

en reexión H (ω), que a su vez se puede calcular mediante la aplicación del método

de matrices de transferencia [Yari 06, Capm 90, Capm 07a]. Dado que todas las

cavidades tienen similar FSR, se obtendrá un ltro espectralmente periódico con ese

mismo FSR. Así pues, se tendrá una respuesta impulsiva discreta en tiempo en h (t)

que puede ser expresada como:

h (t) =∞∑n=1

cnδ (t− nT ) (11.2)

donde T = FSR−1 es el periodo de esta secuencia, y cn son coecientes complejos,

que dependerán de los valores particulares de los 2×NC parámetros de las cavidades

de la estructura, i.e., cn = f (ri , φi , n).

Estamos interesados en generar una secuencia de NP pulsos de similar intensidad

a partir de un único pulso. Denimos una función rectangular causal discreta de

longitud NP :

rectNP [n] =

0, n ≤ 0

1, 1 ≤ n ≤ NP

0, n ≥ NP + 1

(11.3)

Dado que |cn|2 dene la envolvente de la intensidad del tren óptico de pulsos, esta-remos interesados en tener una secuencia

similar a rectNP [n] para conseguir

una envolvente plana. Se dene una gura de mérito (FM) basada en el coeciente

de auto-correlación normalizado [Papo 62] para medir esta similitud:

∑∞n=1 |cn|2 rectNP [n+ k]√

∑∞n=1 |cn|

, k ∈ Z (11.4)

De esta manera, el objetivo será realizar la optimización de esta gura de mérito

en un espacio de búsqueda que consiste en los 2×NC parámetros de la estructura que

maximicen FM, para un cierto número de pulsos por ráfaga NP , y un cierto número

de cavidades NC (cada par NP / NC dene un problema de optimización diferente).

Usando un algoritmo de optimización estocástico1, se han encontrado parámetros

óptimos para NC ∈ [2, 8], y NP ∈ [2, 20]. La Fig. 11.2 muestra un mapa de color

correspondiente a las soluciones óptimas obtenidas, donde se ha representado la

gura de mérito con una función logarítmica, log10 (1− FM), para incrementar el

contraste visual del mapa de colores. Las soluciones precisas corresponden a valores

bajos negativos, que corresponden con celdas azules.

Si comparamos los elementos de una la en Fig. 11.2, correspondiente a un valor

concreto de NP , se puede observar un comportamiento monótono de las soluciones,

mejorando a medida que aumenta el número de cavidades. Esto signica que añadir

una cavidad a la estructura siempre permite mejorar la solución. Sin embargo, si

comparamos los elementos de una columna, correspondiente a un valor concreto de

NC , no se observa necesariamente un comportamiento estrictamente monótono o

regular, ya que cada valor de NP dene un problema de optimización incorrelado

e independiente. La única evidencia deducible es la imposibilidad de conseguir una

buena solución en caso de tener un número insuciente de cavidades para un cierto

número de pulsos, NC NP .

Se denen dos parámetros para caracterizar estas soluciones, variación de am-

plitud (VA), y razón de extinción (RE) del pulso, que se muestran en la Tabla 11.1

para las anteriores soluciones, y denimos como:

V A = 20 log10 (max (|ci|)/ mın (|cj|) (11.5)

RE = 20 log10 (max (|ci|)/ max (|ck|) (11.6)

donde i ∈ [1, NP ], j ∈ [1, NP ], y k ∈ [NP + 1,∞).

Obviamente, estaremos interesados en soluciones con un valor bajo de VA, para

que la secuencia de pulsos sea lo más uniforme posible, y un valor alto de RE, para

que los pulsos fuera de la ráfaga tengan la menor amplitud posible. Cabe mencionar

que la denición de FM en Ec. 11.4 no es única, y se podrían denir otras diferentes,

obteniendo en tal caso diferentes valores de VA / RE. Sin embargo, también hay que

tener en cuenta que la convergencia del algoritmo de optimización se verá afectada

por la denición de FM elegida.

1Se ha empleado el paquete de optimización de Matlab (optimization toolbox )

Figura 11.2: Mapa de color de la representación en falso color de la gura de méritomediante la expresión log10 (1− FM), para una clara identicación de las solucionesprecisas, que corresponden con los valores negativos mas bajos (celdas azules).

Tabla 11.1: Pares de valores VA \ RE en decibelios para las soluciones óptimasencontradas con diferentes valores de NC y NP .

11.2. Ejemplos

Se diseña una estructura para cuatro cavidades y una ráfaga de nueve pulsos

(NC = 4 y NP = 9), según la solución óptima encontrada anteriormente. Da-

do que VA=0.71 dB y RE=15 dB (ver Tabla 11.1), se tiene un buen compromi-

so entre uniformidad de ráfaga y complejidad de la estructura (solo cuatro ca-

vidades). Los parámetros óptimos correspondientes a esta estructura son ri =

0.339, 0.386, 0.483, 0.822, y φi = 0, 0.139, 0.023,−0.037. Para una implemen-

tación con anillos, a partir de la Ec. 11.1 se obtiene Ki = 0.885, 0.851, 0.767, 0.325.Supongamos un pulso de entrada gaussiano con una anchura FWHM de 200 fs. Se de-

berá imponer que FSR−10 > 200 fs, donde FSR0 denota el FSR de la estructura óp-

tica. Se elige FSR−10 = 1 ps, i.e., FSR0 = 1 THz, lo cual, por la Ec. 11.2, lleva a una

tasa de repetición de 1 THz. Los diferentes valores de φi se obtienen en la práctica

mediante variaciones muy pequeñas de los FSR de cada cavidad [Prec 08c,Prec 08a],

i.e. FSRi = FSR0 (1 + εi), donde FSRi se reere al valor exacto del FSR para la

cavidad i-ésima de la estructura, y εi es la variación relativa de FSRi respecto de

FSR0. Asumiendo una frecuencia central de (ω0/2π) = 193 THz para la señal de

entrada, podemos calcular [Prec 08a]εi = 10−3 × 0,−0.114,−0.019, 0.031.

Como ilustración de la baja dependencia respecto de variaciones de la frecuencia

central en la señal de entrada, también se ha simulado la estructura anterior asu-

miendo un pulso similar, a una frecuencia de central diferente (ω′0/2π) = 195 THz.

Las ráfagas de pulsos de salida obtenidas mediante la simulación numérica de la

estructura diseñada para ambas señales de entrada se represente en Fig. 11.3, donde

se pueden observar ráfagas prácticamente idénticas.

Hay que mencionar que en estos ejemplos se han supuesto cavidades ideales

sin pérdidas. En el caso de estructuras basadas en anillos resonantes, las pérdidas

debido al guiado en el anillo pueden ser signicativas. La Tabla 11.2 muestra como

las pérdidas de las cavidades afectan al rendimiento de la estructura en términos

de FM, VA, RE, y eciencia energética, considerando diferentes valores de pérdidas

de potencia, entendida como la pérdida de ida y vuelta en por cavidad en potencia

óptica, asumiendo mismas pérdidas en cada cavidad. Como se podría esperar, la

eciencia energética y la uniformidad de la ráfaga decrecen con las pérdidas de las

cavidades. Además, hay que tener en cuenta que la dispersión introducida por los

anillos puede ser signicativa para pulsos de 200 fs, lo cual podría afectar en la

práctica con un incremento en la anchura y una distorsión de la forma de los pulsos.

11.2. Ejemplos

Figura 11.3: Ráfaga de salida de 9 pulsos obtenida mediante la simulación numéricade la estructura óptima de 4 cavidades, para un pulso de entrada gaussiano de200 fs FWHM a dos frecuencias centrales diferentes: 193 THz (linea azul-continua),y 195 THz (linea roja-punteada), difícilmente distinguibles. Los máximos de cadapulso han sido marcados respectivamente con un triángulo azul hacia la izquierda,y un triángulo rojo hacia la derecha, apareciendo una estrella de seis puntas cuandoambos prácticamente coinciden.

Tabla 11.2: Rendimiento de la estructura diseñada en términos de gura de mérito(FM), variación de amplitud (VA), razón de extinción (RE), y eciencia energética,considerando diferentes valores de pérdidas de potencia (ida y vuelta, por cavidad).

11.3. Conclusiones

Se han propuesto estructuras ópticas paso-todo de cavidades acopladas, para la

generación de ráfagas de pulsos de intensidad uniforme con alta eciencia energética

(idealmente 100% para cavidades sin pérdidas). Se han obtenido parámetros óptimos

para soluciones correspondientes a un número de cavidades de 2 a 8, y un número

de pulsos por ráfaga de 2 a 20.

Dos tipos diferentes de implementación de cavidades se proponen, reectores

acoplados y guías de ondas de anillos acoplados. La opción elegida depende de la

aplicación concreta, teniendo en cuenta que las no-idealidades son más notables para

las estructuras de anillos en la práctica, principalmente las pérdidas de cavidad, que

pueden tener un efecto signicativo en la salida.

En los ejemplos, se han obtenido parámetros de cavidades realizables, y se ha

simulado una estructura concreta para varias entradas a diferentes frecuencias cen-

trales, mostrando así la baja dependencia respecto de variaciones de frecuencia en

la señal de entrada. Así pues, a diferencia de la mayoría de las técnicas de multi-

plicación de la tasa de repetición de pulsos, el sistema no requiere un bloqueo de

la frecuencia central de la fuente láser de entrada con el espectro de la estructura

óptica.

Capítulo 12

Conclusiones Finales y Trabajo

Futuro

12.1. Resumen y conclusiones

El trabajo desarrollado en esta Tesis Doctoral trata sobre aplicaciones del pro-

cesado de señal fotónica empleando estructuras ópticas resonantes, una familia de

dispositivos pasivos y lineales. El objetivo nal ha consistido en investigar equiva-

lencias en tecnología todo-óptica de dispositivos electrónicos para aplicaciones de

procesamiento de señal, ya que el enorme ancho de banda y las capacidades de

procesamiento concurrente dan lugar a velocidades de procesamiento varios órdenes

mayores que en electrónica.

Durante la primera parte de la Tesis se ha presentado la familia de estructuras

resonantes, que incluye una cavidad Fabry-Perot, estructuras de cavidades ópticas,

y medios periódicos como las FBGs o los cristales fotónicos. Las FBGs y los cristales

fotónicos se pueden analizar como una combinación de innidad de cavidades ópti-

cas idénticas distribuidas en la longitud, supercie o volumen. Asimismo, tanto las

FBGs como los cristales fotónicos pueden implementar cavidades ópticas simples,

lo cual reeja lo entrelazada que están entre sí esta familia de dispositivos. Se ha

profundizado en los dispositivos empleados en las aplicaciones propuestas en esta

Tesis: FBGs y estructuras de cavidades ópticas paso-todo. Para cada uno, se han

explicado aspectos concretos, los diferentes modos de empleo, conguraciones, y se

han incluido las expresiones necesarias para el diseño de los mismos.

Durante la segunda parte de la Tesis, se han explicado diferentes aplicaciones

del procesado de señal fotónica, así como las diferentes contribuciones realizadas

mediante el uso de las FBGs y estructuras paso-todo de cavidades ópticas simples.

Como se ha mostrado, las FBGs, que a menudo son consideradas como meros reec-

12. Conclusiones Finales y Trabajo Futuro

tores selectivos en frecuencia en una cierta banda espectral de reexión, o bandgap,

pueden ser empleados en procesamiento fotónico relativamente sosticados y com-

plejos. En particular, se han propuesto aplicaciones de derivación temporal óptica,

integración temporal óptica, y conformado de pulsos. Además, en algunas de estas

aplicaciones se han empleado modos de operación y conguraciones poco usuales en

procesado fotónico, como el modo de transmisión, o las FBGs opuestamente chir-

peadas, que ofrecen diferentes ventajas a los modos de operación convencionales. En

el caso de las FBGs en modo transmisión, no se requiere el uso de un circulador

óptico, la eciencia energética se incrementa, el coste y la complejidad del sistema

de reduce, y se evitan otros inconvenientes como la no linealidad el circulador óptico

con altas intensidades ópticas. Además, puede resultar interesante en algunas apli-

caciones WDM el hecho de que la señal de salida presente no sólo la parte de señal

procesada en la banda operativa de la FBG, sino también todo el resto de señal

fuera de esta banda. Por otra parte, las FBGs opuestamente chirpeadas permiten

ajustar en el diseño los valores longitud y el chirpeado del grating en un cierto rango,

de manera que se tiene un cierto grado de libertad de diseño para seleccionar pa-

rámetros tecnológicos más fácilmente realizables (acoplamiento máximo, longitud,

chirpeado. . . ). Asimismo, resulta especialmente interesante el gran ancho de banda

(característico de las LC-FBGs), así como la posibilidad de ajustarlo mediente una

variación del factor de chirpeado.

Además, se ha propuesto una serie de estructuras ópticas paso-todo basadas en

cavidades resonantes, en aplicaciones de generación de trenes de pulsos mediante

la multiplicación de la tasa de repetición de pulsos, y la generación de ráfagas de

pulsos, con una alta eciencia energética (idealmente del 100% para cavidades sin

pérdidas). Como se ha mostrado, las estructuras propuestas pueden realizar la mul-

tiplicación de la tasa de repetición de pulsos con uniformidad del tren de salida, y

factores de multiplicación de 2×, 3×, 4×, 6× y 12×, empleando diferentes combina-

ciones de cavidades individuales, y de estructuras de cavidades. El objetivo principal

de estos trabajos ha consistido en demostrar la posibilidad de utilizar estas estruc-

turas de cavidades para la multiplicación de la tasa de repetición de pulsos, sin

que las estructuras propuestas sean obligatoriamente las únicas posibles para este

propósito, ya que es posible que haya otras estructuras similares que proporcionen

ventajas respecto de estas, como puede ser simplicidad, conveniencia tecnológica, o

la obtención de otros factores de repetición.

En cuanto a la generación de ráfagas de pulsos se ha mostrado que una estructura

de cavidades ópticas acopladas permite la generación de ráfagas de pulsos a partir de

un solo pulso, con uniformidad de tren y con una relativa independencia respecto de

12.2. Líneas abiertas para el trabajo futuro

variaciones de la frecuencia central de la fuente. Al aumentar el número de cavidades

de la estructura, se aumenta la uniformidad de la ráfaga, y el número de pulsos por

ráfaga con uniformidad aceptable.

12.2. Líneas abiertas para el trabajo futuro

En esta sección se van a intentar trazar las posibles líneas de trabajo futuro, como

continuación de esta Tesis Doctoral. En primer lugar, las posibilidades de procesado

de señal fotónica son enormes, y se deberían investigar y proponer nuevas aplica-

ciones prácticas. Por ejemplo, los conceptos de derivación e integración temporal

óptica son relativamente recientes, y sus aplicaciones concretas todavía no son muy

numerosas. Asimismo, se debería intentar encontrar nuevos bloques conceptuales,

no sólo sustitutos ópticos a dispositivos electrónicos, sino elementos que aprovechen

las particularidades del dominio óptico. Por ejemplo, en el dominio óptico las seña-

les son complejas, operando simultáneamente con la parte real e imaginaria de la

envolvente compleja de la señal, de manera que se debería aprovechar este hecho en

nuevos procesadores fotónicos y aplicaciones concretas.

Respecto de las FBGs, aunque cada vez parece más difícil encontrar nuevas apli-

caciones a estos dispositivos, es muy posible que aún se puedan encontrar muchas

aplicaciones novedosas empleando diseños poco convencionales, altos factores acopla-

mientos, valores de reectividad máxima cercanos al 100%, modos de uso diferentes

al habitual, aplicando relaciones amplitud/fase tanto en el modo transmisión como

en el modo reexión, así como las posibilidades de las FBGs para implementar cavi-

dades ópticas simples. Finalmente, también podría ser fructífero estudiar regímenes

no lineales de funcionamiento de las FBGs.

En cuanto a las estructuras de cavidades, posiblemente los diseños propuestos

puedan ser modicados y optimizados para obtener estructuras más simples y fácil-

mente realizables. Por ejemplo, sería interesante estudiar las diferentes posibilidades

de combinación de los anillos y las propiedades de las estructuras resultantes, así

como las ventajas y capacidades en el procesamiento de señal fotónica. Resulta igual-

mente interesante tener en cuenta la posibilidad de sintonizar los parámetros de las

distintas cavidades de la estructura para conseguir procesamientos recongurables.

Además, las estructuras de cavidades sugieren muchas posibilidades de procesamien-

to de señal fotónica, y un objetivo importante sería encontrar aplicaciones diferentes

de las propuestas en este trabajo.

También se propone investigar procesamientos temporales de señal mediante es-

tructuras de cristales fotónicos, intentando encontrar equivalencias con las anteriores

12. Conclusiones Finales y Trabajo Futuro

estructuras resonantes. En primer lugar, porque los cristales fotónicos engloban de

alguna manera a todos los dispositivos empleados en esta Tesis, ya que las FBGs

no son más que cristales fotónicos de una dimensión, y a las estructuras de cavi-

dades pueden ser implementadas mediante cristal fotónico. Además, su naturaleza

multi-dimensional permitiría realizar un procesamiento de forma simultánea en los

dominios espacio-tiempo-frecuencia, teniendo en cuenta las dimensiones transversa-

les a la propagación de la señal óptica.

Parte III

Apéndices

Apéndice A

Láser Pulsado

De manera muy sintética e introductoria, se adjunta este apéndice sobre la fuente

óptica que genera la señal de entrada considerada en todas las aplicaciones de esta

Tesis Doctoral, el láser pulsado. Para más información se recomienda consultar los

correspondientes capítulos de los libros [Yari 06,Sale 07].

Un láser (Light Amplication by Stimulated Emission of Radiation) es una fuen-

te óptica que emite fotones en un haz coherente. La luz láser es típicamente muy

monocromática, y también se caracteriza por un haz de luz muy estrecho. El láser

fue propuesto como una variante del máser (Microwave Amplication by Stimulated

Emission of Radiation) a nales de los años 50, y fue demostrado experimental-

mente en 1960. Desde entonces el láser se ha convertido en una gran industria con

aplicaciones en campos tan diversos como ciencia, industria, medicina y electrónica

de consumo. Una fuente de luz láser consiste en una cavidad resonante, en el interior

de la cuál hay un medio activo láser, que actúa como amplicador de luz coherente

distribuido.

Los pulsos generados en un láser tienen una gran variedad de aplicaciones en

los más diversos campos. En el campo militar, los pulsos láser pueden ser usados

en láser ranging ; en telecomunicaciones se utilizan para comunicaciones ópticas por

pulsos modulados, en las que la información que se transmite es portada por los

pulsos transmitidos, tanto en espacio libre como en bras ópticas; y el campo de la

ciencia experimental los pulsos han sido utilizados para estudiar una gran variedad

de procesos físicos, químicos y biológicos ultra-rápidos.

La forma más directa para conseguir un láser pulsado consiste en utilizar un

láser de onda continua y modular su salida. La principal desventaja de este método

es que es energéticamente ineciente, dado que se desperdicia la energía de salida

que el láser genera en el espacio entre pulsos. Además, con está técnica no es posible

obtener pulsos tan cortos como con otras técnicas, basadas en la introducción de un

A. Láser Pulsado

Figura A.1: Técnicas básicas de láser pulsado.

elemento en la cavidad láser que provoca un proceso interno de modulación en la

señal óptica. Dependiendo de la forma en que se realice esta modulación podemos

distinguir diferentes técnicas de láseres pulsados, entre las que destacamos: Gain-

switching, Q-switching, Cavity-dumping y Mode-locking.

La técnica Gain-switching es una técnica muy sencilla que consiste en conmu-

tar periódicamente la fuerza del bombeo del medio activo mediante una secuencia

de pulsos activos, de manera que en los momentos en que el bombeo actúe la ganan-

cia del medio activo superara a las pérdidas de la cavidad de manera que se forma

señal láser, mientras que en los momentos en los que se apaga el bombeo sucederá

lo contrario.

La técnica Q-switching consiste en incrementar las pérdidas de la cavidad re-

sonante de forma periódica, y disminuirlas durante un cierto instante de tiempo en

cada periodo. El incremento de pérdidas será tal que atenuará la señal que se pro-

paga en el interior. En el momento en el que la atenuación disminuya se producirá

una amplicación de la señal en la cavidad durante un corto instante de tiempo que

corresponderá con la formación del pulso deseado. Durante el periodo en que no hay

señal (entre pulso y pulso) el bombeo provoca que la inversión de población sea má-

xima, de manera que el pulso que llega al medio activo se encontrará una ganancia

máxima y se formará un pulso intenso. Hay múltiples formas de implementar esta

absorción modulada, entre los que podemos citar la utilización de espejos rotantes,

y moduladores electro-ópticos y acusto-ópticos.

La técnica Cavity-dumping , por su parte, consiste en jugar con la constante de

transmisión de uno de los espejos ópticos, de manera que durante un cierto periodo

de tiempo la transmisión del espejo es mínima, i.e. la reectividad es máxima, y se

produce un efecto de almacenamiento de potencia óptica. A continuación, durante

un cierto instante de tiempo se aumentará la transmisión del espejo hasta un cierto

valor, de manera que durante esa fracción de tiempo libera la energía almacenada

anteriormente dentro de la cavidad láser.

Mode-locking

Los tres primeros métodos son bastante directos y sencillos, ya que de alguna

forma se fuerza la formación del pulso jugando con los parámetros de la cavidad.

Sin embargo, el mode-locking es más bien un conjunto de técnicas cuyo fundamen-

to es más complejo que el de las anteriores técnicas. La principal diferencia del

mode-locking con el resto de técnicas es que el periodo de modulación debe estar

perfectamente sincronizado con el periodo de oscilación de la señal dentro del láser,

y la modulación provoca una interacción entre los diferentes modos del láser.

Las fases de cada modo axial, cada uno de los cuales corresponde con una línea

espectral en el dominio de la frecuencia, juegan un papel fundamental en las carac-

terísticas de la señal que se genera en el láser. En general, la relación de estas fases

es arbitraria y variable en el tiempo, de manera que la forma temporal de señal de

salida del láser en un periodo tendrá aspecto ruidoso, y la forma cambiará con el

tiempo. Por el contrario, en modo-locking las relaciones de fases de los modos del

láser están jas a valores correspondientes a una señal de salida con forma tem-

poral pulsada. Esto se consigue mediante una modulación temporal de la señal del

interior de la cavidad, que provoca un acoplamiento de los modos del láser. Depen-

diendo de si la modulación se realiza mediante técnicas activas o pasivas, se tendrá

mode-locking activo o pasivo.

El esquema más directo de mode-locking activo consiste en situar un modula-

dor óptico en amplitud en la cavidad resonante del láser, o bien modular la ganancia

de la cavidad láser. En el dominio temporal, es fácil entender que está modulación

favorecerá a la formación de pulsos en el máximo del modulador óptico. La modu-

lación realizada por el modulador óptico se puede realizar tanto en amplitud como

en fase, dando lugar al AM mode-locking y al FM mode-locking respectivamente.

Desde el punto de vista del dominio de la frecuencia, la modulación provoca un aco-

A. Láser Pulsado

Figura A.2: Comparación de las señales temporales en tres periodos correspondientesa relaciones de fases arbitrarias entre modos, y relaciones de fase bloqueadas.

plo de la energía de cada uno de los modos en frecuencias adyacentes. Si el diseño

se realiza de forma que estas frecuencias adyacentes coincidan con las posición de

las líneas espectrales correspondientes a los modos adyacentes, se va a producir un

acoplo entre modos, que nalmente van a dar lugar al mode-locking.

En cuanto al mode-locking pasivo, consiste en la colocación de un absorbedor

saturable pasivo en el interior de la cavidad. En encendido del láser comienza el

bombeo del láser, y la ganancia inicial del medio activo es menor que las pérdidas

totales, correspondientes tanto con el absorbedor como con el resto de pérdidas

de la cavidad resonante. Mientras continúe el bombeo, la ganancia del láser irá

aumentando, de manera que en algún momento será mayor que las pérdidas totales.

Esto provocará que comience a propagarse una señal inicialmente débil proveniente

del ruido en la cavidad láser. Esta señal estará compuesta por un conjunto de modos

axiales de amplitud y fase arbitrarias. La señal resultante tendrá un aspecto irregular

y es fácil que se formen picos de intensidad en algún momento. En caso de que

la intensidad del pico sea tal que el absorbedor entre en zona de saturación, el

balance total entre ganancias y pérdidas favorecerá el crecimiento de este pico de

intensidad. Este proceso continuará hasta que el pico de intensidad consuma toda la

energía acumulada en el medio activo, formándose nalmente un pulso estrecho. El

proceso anteriormente explicado ocurre en el mejor de los casos, ya que en este tipo

mode-locking el encendido del láser provoca la generación de un pulso ultra-corto

sólo con una cierta probabilidad. Esto es debido a la no linealidad y a la propia

naturaleza aleatoria del proceso de formación del pulso. La señal que comienza a

Figura A.3: Técnicas de Mode-locking activo y pasivo.

formarse en el encendido del láser tendrá una forma completamente arbitraria que

conducirá a diferentes situaciones. En algunas ocasiones puede ocurrir que no se

forme un único pulso, sino que se formen dos o más pulsos. En otras ocasiones

puede ocurrir que no se llegue a la formación de ningún pulso y se llegue a un

estado en que se propaga una señal difundida a lo largo del periodo, débil y de

aspecto ruidoso. Para evitar esto, una solución consiste en introducir una circuitería

electrónica adicional que detecta la calidad de la señal obtenida y, en caso de que el

resultado no sea satisfactorio, se repetirá el encendido del láser hasta que se llegue a

la formación de un único pulso estrecho en un periodo. Otra posible solución consiste

en aplicar el denominado mode-locking activo-pasivo, que consiste en una técnica

híbrida en la que el absorbedor saturable trabaja en combinación con un modulador

óptico. Otra alternativa consiste en utilizar un láser adicional que genera un tren de

pulsos razonablemente estrechos y adecuados, que se introducen como entrada a un

segundo láser de conguraciónmode-locking pasivo, en el que el absorbedor saturable

tiene un atenuación muy alta, de manera que no puede comenzar a oscilar por sí

solo, pero garantiza que siempre se formará un único pulso por periodo a la salida

del sistema. Las técnicas de mode-locking pasivo se pueden interpretar como una

auto-modulación producida por la propia señal óptica en la cavidad, que al alterar

la atenuación introducida por el absorbedor saturable modula el balance total de

ganancia del medio activo. Por tanto, esta modulación consigue una sincronización

perfecta, de manera que los pulsos conseguidos de esta forma son típicamente más

cortos que los obtenidos mode-locking activo.

A. Láser Pulsado

Apéndice B

Publicaciones Cientícas y Méritos

del Autor

Publicaciones cientícas directamente relacionadas con

la Tesis

Publicaciones en revistas internacionales (se adjuntan copias

de las publicaciones al nal del capítulo)

1. M. A. Preciado and M. A. Muriel, Proposed at-topped pulses bursts gene-

ration using all-pass multi-cavity structures, Optics Express 17, 13875-13880

(2009)

2. M. A. Preciado and M. A. Muriel, Flat-top pulse generation based on a ber

Bragg grating in transmission, Optics Letters 34, 752-754 (2009)

[Selecionada para el número de Mayo de 2009 del Virtual Journal of Ultrafast Science]

3. M. A. Preciado and M. A. Muriel, Repetition Rate Multiplication Using All-

Pass Optical Structures, Optics & Photonics News 19, 37-37 (2008)

4. M. A. Preciado and M. A. Muriel, Design of an ultrafast all-optical die-

rentiator based on a ber Bragg grating in transmission, Optics Letters 33,

2458-2460 (2008)

[Selecionada para el número de Diciembre de 2008 del Virtual Journal of Ultrafast Science]

5. M. A. Preciado and M. A. Muriel, All-pass optical structures for repetition

rate multiplication, Optics Express 16, 11162-11168 (2008)

B. Publicaciones Cientícas y Méritos del Autor

6. M. A. Preciado and M. A. Muriel, Ultrafast all-optical integrator based on a

ber Bragg grating: proposal and design, Optics Letters 33, 1348-1350 (2008)

[Selecionada para el número de Agosto de 2008 del Virtual Journal of Ultrafast Science]

7. M. A. Preciado and M. A. Muriel, Repetition-rate multiplication using a single

all-pass optical cavity, Optics Letters 33, 962-964 (2008)

[Selecionada para el número de Julio de 2008 del Virtual Journal of Ultrafast Science]

8. M. A. Preciado and M. A. Muriel, Ultrafast all-optical Nth-order dierentiator

and simultaneous repetition-rate multiplier of periodic pulse train, Optics

Express 15, 12102-12107 (2007)

9. M. A. Preciado, V. Garcia-Muñoz, and M. A. Muriel, Ultrafast all-optical Nth-

order dierentiator based on chirped ber Bragg gratings, Optics Express 15,

7196-7201 (2007)

10. M. A. Preciado, V. Garcia-Munoz, and M. A. Muriel, Grating Design of Oppo-

sitely Chirped FBGs for Pulse Shaping, IEEE Photonics Technology Letters,

19, 435-437, (2007)

Publicaciones en congresos

M. A. Preciado, M. A. Muriel, Repetition Rate Multiplication by Phase-only

Filtering with Multi-cavity Optical Structures, OPTOEL'09

Otras publicaciones cientícas

Publicaciones en revistas internacionales

V. García-Muñoz, M. A. Preciado, and M. A. Muriel, Simultaneous ultra-

fast optical pulse train bursts generation and shaping based on Fourier series

developments using superimposed ber Bragg gratings, Optics Express 15,

10878-10889 (2007)

Publicaciones en congresos

V. García-Muñoz, C. Caucheteur, S. Bette, M. Wuilpart, M. A. Preciado, M.

A. Muriel, and P. Mégret, Optimized Superimposed Fiber Bragg Gratings

to Reduce Birefringence Eects in WDM Applications, ECOC, vol. 5, 35-36

(2007)

V. M. Preciado, M. A. Preciado, M. A. Jaramillo Morán, Genetic Program-

ming for Automatic Generation of Image Processing Algorithms on the CNN

Neuroprocessing Architecture, CAEPIA 2003, 374-383 (2003)

Patente

M. A. Preciado, M. A. Muriel, Método y sistema para la transmisión de pulsos

ópticos a través de medios dispersivos. (en trámite)

Noticia en prensa

M. A. Preciado, M. A. Muriel, Dispositivos fotónicos más baratos para el

procesamiento de información. (Noticia aparecida en MADRI+D, plataforma

SINC de la FECyT, boletín e-politécnica de la UPM, Europa Press, ADN y

Metro)

Estancias en Centros de Investigación Externos

Noviembre 2009-Mayo 2010 en Aston University, Photonics Research Group,

con Prof. Ian Bennion.

Mayo-Junio 2009 en University of Southampon, Optoelectronics Research Cen-

ter, con Prof. Morten Ibsen.

Mayo-Julio 2008 en la Universidad Politécnica de Valencia, Iteam, Optical and

Quantum Communications Group con Prof. Salvador Sales.

Junio-Agosto 2007 en el Massachusetts Institute of Technology, RLE, Optics

and Quantum Electronics Group, con Prof. Erich Ippen.

Colaboraciones en Proyectos de Investigación

Plan Nacional de I+D+I, TEC2007-68065-C03-02. Procesado de señal fotó-

nica: análisis, diseño y aplicaciones. Ministerio de Educación y Ciencia.

Plan Nacional de I+D+I, TEC2004-04754-C03-02. Tiempo-frecuencia y res-

puestas impulsivas en CDMA. Ministerio de Educación y Ciencia.

Proposed flat-topped pulses bursts generation using all-pass multi-cavity structures

Miguel A. Preciado* and Miguel A. Muriel

ETSI Telecomunicacion, Universidad Politecnica de Madrid (UPM), 28040 Madrid, Spain. *Corresponding author: ma.preciado@upm.es

Abstract: We propose a simple lossless method for the generation of flat-topped intensity pulses bursts from a single utrashort pulse. We have found optimum solutions corresponding to different numbers of cavities and burst pulses, showing that the proposed all-pass structures of optical cavities, properly designed, can generate close to flat-topped pulse busts.

2009 Optical Society of America

OCIS codes: (140.4780) Optical resonators; (140.3538) Lasers, pulsed; (230.1150) All-optical devices; (320.0320) Ultrafast optics; (350.4600) Optical engineering;

References and links

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5. M. A. Preciado and M. A. Muriel, “All-pass optical structures for repetition rate multiplication,” Opt. Express 16, 11162-11168 (2008).

6. M. A. Preciado and M. A. Muriel, “Repetition Rate Multiplication Using All-Pass Optical Structures,” Optics & Photonics News 19, 37-37 (2008).

7. J. Azaña and M. A. Muriel, “Temporal Talbot effect in fiber gratings and its applications,” Appl. Opt. 38, 6700-6704 (1999).

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10. B. Muralidharan, V. Balakrishnan, and A. M. Weiner, “Design of Double-Passed Arrayed-Waveguide Gratings for the Generation of Flat-Topped Femtosecond Pulse Trains,” J. Lightwave Technol. 24, 586- (2006)

11. V. García-Muñoz, M. A. Preciado, and M. A. Muriel, “Simultaneous ultrafast optical pulse train bursts generation and shaping based on Fourier series developments using superimposed fiber Bragg gratings,” Opt. Express 15, 10878-10889 (2007)

12. A. Yariv and P. Yeh, “Wave propagation in periodic media,” in Photonics: Optical electronics in modern

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13. J. Capmany, P. Muñoz, J.D. Domenech, and M. A. Muriel, ”Apodized coupled resonator waveguides,” Opt. Express 15, 10196-10206 (2007).

14. J. Capmany and M. A. Muriel, “A new transfer matrix formalism for the analysis of fiber ring resonators: Compound coupled structures for FDMA,” J. Lightwave Technol. 8, 1904-1919 (1990).

15. A. Papoulis, The Fourier Integral and Its Applications (McGraw-Hill, New York, 1962).

1. Introduction

Researchers have explored several strategies for generating periodic pulse trains at repetition rates beyond those achievable by mode locking or direct modulation, since techniques for creating high repetition rate optical clock sources are highly sought after for future ultrahigh-speed optical communication systems. One alternative is the pulse repetition rate multiplication (PRRM) of a lower rate source, by filtering a periodic pulse train. Particularly,

phase-only filtering methods [1-7], mainly based on temporal Talbot effect [7], are highly desirable because of its high energy efficiency. Another method consists in generating optical pulse bursts from a single ultrashort pulse [8-11], with special interest in flat-topped envelope, and phase-only filtering methods [8,9].

In this Letter, we propose a method for generating flat-topped envelope optical pulse bursts of from a single ultrashort pulse using all-pass structures of optical cavities, where energy efficiency is nearly unity because of applying phase-only filtering. Here we consider structures composed of coupled cavities with practically same free spectral range (FSR), where two types of structures are proposed: partially reflecting coupled mirrors and coupled ring resonators waveguides (CROWs).

In the reminder of this Letter we present a method to find the optimum cavities parameters that lead to flat-topped burst envelope, and show the results for several numbers of burst pulses and cavities. In the examples, we design an optical structure based on a concrete solution, and show the results obtained from numerical simulations for several cases. Finally, we summarize and conclude our work.

Fig. 1. Architecture of the system. A single short pulse is processed by the all-pass optical structure, generating an output burst of NP pulses. Two kinds of coupled cavities structures are proposed, partially reflecting coupled mirrors and coupled ring optical waveguide.

2. Finding optimum solutions

An all-pass optical structure of lossless coupled cavities with similar free spectral ranges, as showed in Fig. 1, can be characterized by a set of 2×NC parameters, where NC is the number of cavities. In the case of mirrors based cavities, we can use the two sequences of NC elements,

ri and i, where ri denotes the reflection coefficients corresponding to the i-th mirror, and

i denotes the round-trip phase corresponding to the i-th cavity. It is well known the equivalency of this structure with CROWs [12,13

], using the relation:

K r (1)

where Ki is the i-th coupling factor of the CROW. The impulse response of these optical structures, h(t), can be obtained from inverse Fourier transform of the spectral response in reflection, H(), which can be calculated by applying the transfer matrix model method [12-14]. Since all the cavities have similar FSRs, we obtain a spectrally-periodic H() with this same FSR too. Thus, we have a discrete-time function h(t) that can be expressed as:

( ) ( )n

h t c t nT

where T=FSR-1

is the period of the sequence, and cn are complex coefficients which are

function of the 2×NC cavities parameters, i.e., cn= f(ri,i,n). Moreover, we are interested in generating a sequence of NP pulses of similar intensity from a single pulse. Let us define a causal discrete rectangular function of length NP:

rect [ ] 1, 0

0,PN P

Since |cn|2 define the envelope of the output burst intensity, we are interested in having a

sequence |cn|2 similar to rect [ ]

PNn in order to have a flat-topped envelope. Let us define a

figure of merit (FM) based on the normalized cross-correlation coefficient [15] to measure this similarity:

max rect , Pn N P n

FM c n k N c k

We are interested in the optimum set of 2×NC parameters ri , i that maximize FM, for a certain number of desired burst pulses NP, and a certain number of structure cavities NC. Using

a stochastic optimization algorithm, we have found optimum parameters for NC [2,8] and

NP [2,20]. Figure 2 shows a color map corresponding to the obtained optimum solutions where, in order to increase the contrast of the color map for of the best solutions, we do not represent FM directly, but a modified value obtained by log10(1-FM). Accurate solutions correspond to low negative values, blue cells in the figure. If we compare the elements of a row in Fig. 2, corresponding to a concrete NP value, we can see the monotonous behavior of the solutions. This means that adding a cavity can always improve the solution. However, if we compare the elements of a column corresponding to a concrete NC value, no strictly monotonous or very regular behavior are necessarily observed, and the impossibility of obtaining a good solution for NP >> NC is the only evidence we can deduce. This shows that each NP value defines an unrelated and independent optimization problem.

Table 1 shows two characteristic parameters of these solutions, the burst amplitude jitter (AJ), and extinction ratio (ER) of the burst, defined as:

20log max min

20log max max

AJ c c

ER c c

where log10 stands for the base 10 logarithm, i[1, NP], j[1, NP], and k[NP+1, ). Obviously, we are interested in solutions with low AJ and high ER values. It is worth noting that a different FM definition to Eq. (4) can be used, in other to get solutions with a different AJ and ER trade off. However, we have to take into account that the optimization algorithm convergence is also affected by the concrete FM definition.

Fig. 2. False-color representation of log10(1-FM), for a clear identification of accurate solutions, which correspond to the lowest negative values (blue cells).

Table 1. Pairs of AJ \ ER values in decibels for optimum solutions with different NC and NP values.

2 3 4 5 6 7 8

2 0.08\7 0.04\8 0.04\9 0.04\10 0.02\10 0.03\10 0.01\11 3 0.25\8 0.14\10 0.11\10 0.08\11 0.08\12 0.07\11 0.03\11 4 0.09\9 0.07\12 0.08\12 0.09\12 0.10\12 0.04\14 0.05\13 5 4.42\13 0.62\9 0.19\8 0.18\10 0.08\11 0.18\11 0.5\12 6 13.1\14 2.81\4 0.25\7 0.19\8 0.14\9 0.12\10 0.09\10 7 11.9\14 2.18\8 0.52\9 0.14\12 0.12\13 0.11\12 0.11\12 8 15.5\18 11.2\8 0.31\8 0.12\11 0.09\12 0.08\12 0.08\13 9 18.4\17 10.9\15 0.71\15 0.08\15 0.03\16 0.02\16 0.02\17

10 17.3\18 11.7\17 8.70\16 0.19\10 0.19\11 0.13\11 0.11\12 11 18.2\22 15.0\19 7.43\13 1.54\12 0.08\10 0.11\13 0.08\14 12 21.3\22 16.5\24 10.6\12 5.29\12 1.06\8 0.11\12 0.08\12 13 21.7\23 20.3\20 12.7\13 6.54\13 1.74\12 0.20\12 0.15\13 14 23.3\26 20.4\21 17.9\12 8.23\14 4.80\10 0.26\11 0.20\12 15 25.5\27 20.7\24 17.6\20 10.6\16 7.00\15 1.74\12 0.22\12 16 26.6\28 25.5\24 20.9\20 13.3\17 8.21\15 4.14\9 0.21\10 17 28.2\30 25.6\29 22.3\19 15.2\15 8.19\14 3.85\16 1.25\9 18 30.0\32 28.5\29 23.6\19 14.8\18 11.8\13 6.80\18 2.83\10 19 31.5\33 28.6\31 24.0\26 16.9\19 11.4\22 9.15\18 4.78\9 20 33.0\35 30.9\32 27.5\26 18.5\21 23.5\22 14.1\20 6.24\12

3. Examples

We design a structure for an optimum solution corresponding to four cavities and nine pulses (NC=4 and NP=9). Since AJ=0.71 dB and ER=15 dB (see Table 1), a good trade-off between burst accuracy and structure complexity (only four cavities) is obtained. The structure

parameters of this solution are ri=0.339, 0.386, 0.483, 0.822 and i=0, 0.139, 0.023, -0.037. For a CROW implementation, from Eq. (1) we can obtain Ki=0.885, 0.851, 0.767, 0.325. Let us assume an input Gaussian pulse with a full width at half maximum (FWHM) of 200 fs. In order to avoid pulses burst interference, we must impose FSR0

-1>200 fs, where FSR0

stands for the FSR of the structure. We choose FSR0-1

=1 ps, i.e., FSR0=1 THz (a length of cavity in the order of 100 µm), which, from Eq. (2), lead to an output pulse burst with a

repetition rate of 1 THz. The different values of i are obtained by very slight variations of the cavities FSR

4,5, i.e., FSRi=FSR0·(1+i), where FSRi is the exact value of the FSR of the i-th

structure cavity, and i is the relative variation of FSRi regarding FSR0. Assuming a central frequency of (0/2)=193 THz for the input signal, we can calculate

4,5 i= 10

-3×0, -0.114, -

0.019, 0.031. In order to illustrate the low dependence of this approach to variations on the central

frequency of the input signal, we have also simulated the previous structure assuming an input pulse of same width at a different central frequency, (0’/2)=195 THz. The output pulses burst obtained from a numerical simulation of the designed structure for both input signals are represented in Fig. 3, where practically identical outputs can be observed.

It is worth noting that, in these examples, we have supposed ideal lossless cavities. In case of CROW structures, the ring resonators losses due to scattering or bending may be significant. Table 2 show how the cavity losses affect to the structure performance in terms of FM, AJ, ER, and energy efficiency (EE), considering several values of round-trip power loss (RTPL) of each cavity, assuming same RTPL for all the cavities of the structure. As expected, the energy efficiency and the pulse train uniformity decrease with the cavity losses. Moreover, the CROW dispersion may be significant for a 200 fs pulse, which affect as a increasing of the pulse width and a distortion of the pulse shape.

Fig. 3. Output burst of 9 pulses obtained from a numerical simulation of the designed optical structure with an input 200 fs FWHM gaussian pulse at 193 THz (blue-solid line), and at 195 THz (red-dotted line), hardly distinguishable. The maximums of each pulse are marked with a blue left-pointing triangle for the first input, and with a red right-pointing triangle for the second one, appearing a six-point star where both coincide.

Table 2. Performance of the designed structure in terms of figure of merit, amplitude jitter, extinction ratio, and energy efficiency, considering several values of round-trip power losses (RTPL).

RTPL (%) Figure of

Amplitude

jitter (dB)

Extintion

ratio (dB)

Energy

efficiency (%)

0 0.9988 0.71 14.7 100

0.5 0.9981 0.87 14.9 98.0

1 0.9975 1.02 15.1 96.1

2 0.9953 1.35 15.4 92.4

3 0.9926 1.71 15.8 88.8

4 0.9891 2.07 16.2 85.5

5 0.9850 2.43 16.6 82.2

4. Conclusion

We have proposed all-pass optical structures composed of coupled cavities for the generation of flat-topped intensity pulse bursts with high energetic efficiency (ideally 100% for lossless cavities). We have obtained the optimum parameters for 2-to-8 cavities and 2-to-20 pulses, where accurate solutions have been found. Two different implementations of coupled cavities are proposed, partially reflecting coupled mirrors and CROWs. The choice depends on the concrete application, taking into account that CROWs non-idealities, mainly cavities losses, may have a significant effect in the output. In the examples, we have obtained readily feasible cavities parameters, and we have simulated the optical structure for inputs of different central frequency. We have showed the low dependence of this approach to frequency variations of the input source. Thus, unlike most of cavities filtering PRRM techniques, the system does not require the locking of the spectrum of the input signal to the spectral response of the optical structure.

Acknowledgements

This work was supported by the Ministerio de Ciencia e Innovacion of Spain under Project “Plan Nacional de I+D+I TEC2007-68065-C03-02”.

Flat-top pulse generation based on a fiber Bragggrating in transmission

ETSI Telecomunicacion, Universidad Politecnica de Madrid (UPM), 28040 Madrid, Spain*Corresponding author: ma.preciado@upm.es

Received October 27, 2008; revised January 23, 2009; accepted January 30, 2009;posted February 8, 2009 (Doc. ID 103231); published March 6, 2009

We propose and analyze a flat-top pulse generator based on a fiber Bragg grating (FBG) in transmission. Asis shown in the examples, a uniform period FBG properly designed can exhibit a spectral response in trans-mission close to sinc function (in amplitude and phase) in a certain bandwidth, because of the logarithmHilbert transform relations, which can be used to reshape a Gaussian-like input pulse into a flat-top pulse.© 2009 Optical Society of America

OCIS codes: 060.3735, 200.4740, 230.1150, 320.5540, 320.7080.

The generation of well-defined pulse forms and pulsesequences is required for a wide range of applica-tions. Particularly, flat-top pulses are highly desiredfor various important applications: optical gating,nonlinear optical switching, and a wide range of ul-trafast pump–probe experiments [1–3]. Fiber grat-ings offer their inherent advantages (all-fiber ap-proach, low insertion loss, and the potential for lowcost), and approaches based on fiber Bragg grating(FBG) in reflection [1,2], and long period Bragg grat-ings (LPBGs) in transmission [3] have been proposedfor flat-top pulse generation. The main drawback ofFBGs in reflection is that it requires an optical circu-lator, or similar device, to separate the incident inputsignal from the reflected output signal. RegardingLPBGs, they present two codirectional modes in theoutput.In this Letter, we propose a flat-top pulse generator

based on an FBG operating in transmission. Severalapplications-based FBGs in transmission approacheshave been previously proposed, such as the disper-sion compensator [4–6], optical integrator [7,8], andoptical differentiator [9]. It is worth noting thatFBGs in transmission are not suitable for many ap-plications because of the amplitude–phase relationsof their spectral response [6]. However, using them intransmission offers interesting properties. Besidesnot requiring the use of a coupler or circulator, thesystem is easily scalable, the energy efficiency is in-creased, the cost and complexity of the system are re-duced, and FBGs in transmission have less sensitiv-ity of the phase response than in reflection to gratingfabrication errors [4,6]. Moreover, the output signalincludes not only the processed signal within theFBG resonant band but also the rest of the input sig-nal (which is transmitted without any distortion),which may be interesting in WDM systems. Figure 1shows a schematic of the proposed system, where thecapabilities of this approach in WDM processing areshown.In the remainder of this Letter, we explain the the-

oretical basis of this method and design and simulatetwo FBGs and apply them in transmission, in singleand concatenated configuration, to several inputwaveforms. Finally, we summarize and conclude ourwork.

Let us suppose finstd and foutstd as the complex en-velopes of the input and output of the system, respec-tively, with t as the time variable. We can obtain aflat-top pulse foutstd from a narrow-enough Gaussian-like pulse finstd if they are related by foutstd~ finstd^ rectst /Td, where rectstd is the rectangular function,T is the rectangle full width, ^ denotes the convolu-tion operator, and ~ denotes proportionality. The cor-responding spectral functions Finsvd and Foutsvd arerelated by Foutsvd~sincsvT /2dFinsvd, where sincsvd isthe sinc function; v is the base-band angular pulsa-tion, i.e., v=vopt−v0, vopt is the optical angular pul-sation; v0 is the central angular pulsation of the sig-nals; and j= s−1d1/2 is the imaginary unit. Thus, thespectral response (SR) of the FBG in transmissionshould meet HTsvd.HT,idealsvd=Foutsvd /Finsvd~sincsvT /2d, where HTsvd can never exactly reachHT,idealsvd, since an FBG has no zeros in transmis-sion. It is well known that the SR magnitude andphase of a FBG in transmission are related by meansof the logarithmic Hilbert transform (LHT), since itsimpulse response is a minimum phase function [6].Thus, we cannot simultaneously impose arbitraryuHTsvdu and /HTsvd, in general. Fortunately, neglect-ing linear phase terms, we can assume thatusincsvT /2du and /ssincsvT /2dd are LHT pairs, sincethe rectangular function can be practically consid-ered a minimum phase function [10]. Indeed, if we

Fig. 1. (Color online) Schematic of the system. An FBGworking in transmission shapes a flat-top pulse in the cor-responding WDM channel. The output signal also includesthe signal in other WDM channels.

752 OPTICS LETTERS / Vol. 34, No. 6 / March 15, 2009

have an FBG with uHTsvdu.uHT,idealsvdu~ usincsvT /2du,we automatically obtain /HTsvd. /HT,idealsvd=/ ssincsvT /2dd, where we neglect constant and lin-ear phase terms.Since the SRs in reflection and transmission are re-

lated by uHRsvdu=Î1− uHTsvdu2, the objective SR of theFBG in reflection must locally satisfy uHRsvdu<Î1− uC sincsvT /2du2, where C ·1 is a real constant.Several approximations have to be done to obtainuHRsvdu with a feasible FBG. First, we have to apply awindow function, since a FBG has a finite bandwidth.Moreover, we have to take into account that a reflec-tivity of 100% is impossible, but we can obtain a re-flectivity close to it. These approximations lead to

uHRsvdu =WsvdÎRmaxs1 − uC · sincsvT/2du2d, s1d

where Rmax,1 is the maximum reflectivity of theFBG, and Wsvd is a window function. Finally, in thegrating design, we have to apply an inverse scatter-ing algorithm [11,12] to obtain the grating profile. Itis worth noting the independence of this design on/HRsvd, which is a degree of freedom and can be ar-bitrarily chosen. However, we want to remark thatwe have obtained the best results of the inverse scat-tering algorithm by choosing /HRsvd as the maxi-mum phase corresponding to uHRsvdu.As an example, we design a uniform-period FBG in

transmission on the ideas introduced above, wherewe assume a central frequency sv0 /2pd=193 THz,and we will refer to this grating as FBG1. The desiredSR in reflection, uHRsvdu, is defined by Eq. (1), withC=1, Rmax=0.9999, T=50 ps, and the window func-tion Wsvd used is a raised-cosine function with a roll-off factor of 1/3 and a total width of 400 GHz. To fullycharacterize the desired response in reflection, we as-sign /HRsvd as the maximum phase correspondingto uHRsvdu (another phase could be arbitrarily as-signed). Using an inverse-scattering algorithm we ob-tain the corresponding coupling coefficient kszd,which is represented in Fig. 2. It is worth noting thatkszd is complex in general but can be assumed real foruniform-period FBGs. This is legitimate provided wetake a proper choice of the origin z=0 [13]. The re-quired grating profile has a length of L=10 cm, anaverage refraction index nav=1.452, a grating period

of L0=534.888 nm, and a maximum absolute cou-pling factor maxsukszdud=2858.87 m−1. Each zerocrossing of kszd in Fig. 2 implies a spatial p-phaseshift in the grating, which implies a significant num-ber (about 50) of p-phase shifts, but it is within cur-rent technology, since FBGs have become extremelysophisticated [14].Figure 3(a) shows the magnitude and phase of the

FBG SR in transmission, obtained from numericalsimulation. It can be observed that the SR phasewithin the operative band, the width of which can beapproximately estimated as 120 GHz, consists of alinear phase term (pure delay), plus the p-phaseshifts corresponding to sinc function.To highlight the easy scalability of this approach

and the potential for multiband WDM processing, weconsider a system composed by the concatenation ofFBG1 and FBG2, a grating equivalent to FBG1 butwith a different grating period and central frequency(L0=535.582 nm and v0=192.75 THz, respectively).The system SR in transmission, shown in Fig. 3(b),was obtained by using the transfer matrix method[13] (it is not exact to calculate it by directly multi-plying the FBG SRs in transmission, since there is alittle overlapping band around 192.875 THz). Figure4 shows the numerically obtained output temporalwaveforms for different input temporal waveforms.In Fig. 4(a), we consider FBG1 with the input wave-forms of a transform-limited Gaussian optical pulseof 7 ps and spectral width of 126.08 GHz (bothFWHM width) with a central frequency of 193 THz.As can be observed, the output pulse exhibits the de-sired flat-top shape. In Figs. 4(b) and 4(c) we considera signal composed of four transform-limited Gauss-ian optical pulse pulses at different central frequen-cies (192.5, 192.75, 193, and 193.25 THz), each with atemporal width of 7 ps (FWHM). In Fig. 4(b) we ap-ply the signal to FBG1. Note that FBG1 processesonly the pulse within its resonant band. In Fig. 4(c),we apply the signal to the concatenation of FBG1 andFBG2, and it can be observed that the resulting sys-tem processes only the pulses within the resonantband of the FBGs. In both cases, the shapes of theprocessed pulses are practically the same as shown inFig. 4(a), and the output also includes the rest of theunprocessed pulses, which remain undistorted.

Fig. 2. (Color online) Grating profile obtained by inversescattering in a positive and negative representation, whereeach zero crossing of kszd implies a spatial p-phase shift inthe grating.

Fig. 3. (Color online) Spectral response in transmission of(a) FBG1; (b) the system composed of FBG1 concatenatedwith FBG2.

March 15, 2009 / Vol. 34, No. 6 / OPTICS LETTERS 753

It is worth noting that the FBG spectral responseat the central frequency is the maximum for passivedevices, uHTsv=0du=1, which implies optimum energyefficiency, which is unreachable for reflective FBGs,since a 100% of reflectivity is not possible. We alsowant to remark that the maximum reflectivity andspectral width of the FBG are related to the flat-toppulse quality in terms of edge sharpness and top flat-ness, and to the grating feasibility in terms of length,coupling strength, and profile complexity. It is sug-gested to use a trial and error design method withFBGs synthesis and simulation software to obtain atrade-off solution between grating feasibility andpulse quality, depending on the concrete limitationsof the technology used and the application require-ments.

In conclusion, in this Letter we have presented aflat-top pulse generator approach based on an FBG intransmission. As it has been shown, we can obtain anFBG SR in transmission close to the sinc function ina certain bandwith in amplitude and phase. Since theamplitude and phase of the FBG SR in transmissionare LHT pairs [6] and amplitude and phase of thesinc function can also be considered LHT pairs [10],when the SR amplitude is close to the sinc functionamplitude the SR phase also becomes close to thesinc function phase. We want to emphasize the highenergetic efficiency, simplicity, scalability, and suit-ability for WDM applications, obtaining a multibandprocessing by simply concatenating several FBGs intransmission at different resonant bands, withoutany additional element except fiber optics.

This work was supported by the Spanish Ministe-rio de Educacion y Ciencia under Project “PlanNacional de I1D1I TEC2007-68065-C03-02.”

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Fig. 4. (Color online) Temporal waveforms of the input sig-nal (dashed curve), and the output signal (solid curve) inthe examples: (a) FBG1 applied over a 7 ps Gaussian pulseat 193 THz; (b) FBG1, applied over a signal composed offour 7 ps Gaussian pulses at several frequencies, whereonly the pulse in the FBG1 resonant band is processed; (c)FBG1 and FBG2 concatenated, applied over the same pre-vious signal, where only the pulses in the FBG1 and FBG2resonant bands are processed. Note that the output signalalso includes the unprocessed pulses outside the FBGresonant bands, which are hardly distinguishable from theinput signal pulses in (b) and (c).

754 OPTICS LETTERS / Vol. 34, No. 6 / March 15, 2009

OPN December 2008 | 37

Optical EngineeringOPTICS IN 2008

Repetition Rate Multiplication Using

All-Pass Optical Structures

Miguel A. Preciado and Miguel A. Muriel

Techniques for creating ultrahigh repetition rate pulse trains are

highly sought after for future ultrahigh-speed optical communication systems. Researchers have explored several strate-gies for generating periodic pulse trains at repetition rates beyond those achiev-able by mode locking or direct modula-tion. One alternative is pulse repetition rate multiplication (PRRM) of a lower rate source by applying phase-only spectral filtering, usually based on the temporal Talbot effect.1

We have recently proposed several all-pass structures based on optical cavities; these perform phase-only spectral filtering for the implementa-tion of repetition-rate multipliers of a periodic pulse train with uniform output train envelopes.2,3 We found optimum solutions for 2 , 3 , 4 , 6 and 12multiplication factors. As can be seen in part (a) of the figure, the proposed optical structures are composed of 1-4 ring resonators (RRs). We found that a single RR structure can achieve three factors of repetition-rate multiplication (2 , 3 and 4 ), being specially suited for 2 in terms of accuracy and robust-ness.2 We presented two structures that achieve accurate and robust solutions for 3 and 4 PRRM, both composed of two identical RRs in cascade or coupled configuration.3 We have also proposed several optical structures for 6 and 12 PRRM by combining filters of 2 , 3 and 4 PRRM.3

Parts (b) and (c) show the results numerically for two of our studies.2,3 Part (b) shows the output pulse train intensity numerically obtained for 2 repetition rate multiplication, where an input repetition rate of 100 GHz was assumed. Part (c) shows the output pulse train intensity numerically obtained for 3 , 4 , 6 and 12 multiplication factors, with an input repetition rate of

10 GHz. !e RR parameters obtained in these examples are readily feasible. We have also analyzed the effect of RR losses on the energetic efficiency and the out-put pulse train envelope uniformity and the effect of the frequency deviations on the envelope uniformity.3

In conclusion, these structures are readily feasible and present an intrinsic high energetic efficiency, ideally of 100 percent, that is only limited by inter-nal RR losses. It is worth noting that, like other spectrally periodic filtering techniques based in optical cavities,4 the system requires the locking of the spectrum of the input signal, which is

(a) Schematic of the system. The periodic pulse train is processed by the all-pass optical

structure. We propose nine optical structures composed of multiple RRs. (b) Output pulse

train intensity of examples for 2 multiplication with a single all-pass RR. (c) Output pulse

train intensity of examples for 3 (blue), 4 (red), 6 (green) and 12 (yellow) multiplication

and the respective optical structures.

typically composed of the mode comb of the laser, to the spectral response of the optical structure.

Miguel A. Preciado (ma.preciado@upm.es) and

Miguel A. Muriel are with the Universidad Politecnica

de Madrid in Madrid, Spain.

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Input periodic pulse train

a1(t) a

Proposed structures

nsity [a.u

Time [ps]

All-pass

optical

structure

Output periodic pulse train

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

00 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Design of an ultrafast all-optical differentiatorbased on a fiber Bragg grating in transmission

Received July 23, 2008; revised September 4, 2008; accepted September 5, 2008;posted September 30, 2008 (Doc. ID 99330); published October 21, 2008

We propose and analyze a first-order optical differentiator based on a fiber Bragg grating (FBG) in trans-

mission. It is shown in the examples that a simple uniform-period FBG in a very strong coupling regime

(maximum reflectivity very close to 100%) can perform close to ideal temporal differentiation of the complex

A first-order optical temporal differentiator is a de-vice that provides the first-order derivative of thecomplex envelope of an arbitrary input optical signal.This operation is performed on optical devices at op-eration speeds several orders of magnitude over elec-tronics. These devices may find important applica-tions as basic building blocks in ultra-high-speed all-optical analog–digital signal-processing circuits [1].Moreover, optical differentiators are of immediate in-terest for the generation of optical monocycle pulsesfrom input-optical Gaussian pulses for ultrawide-band systems, recently emerging as a solution for fu-ture wideband personal access networks [2–4], andgeneration of a Hermite–Gaussian temporal wave-form from an input Gaussian pulse to synthesize anytemporal shape by superposition [5]. Several schemeshave been previously proposed based on integrated-optic transversal filter [1], long-period fiber gratings[6], fiber Bragg gratings (FBGs) [7–10], and two-arminterferometers [11].In this Letter, we propose and analyze a first-order

optical differentiator based on an FBG operating intransmission, with its inherent advantages (all-fiberapproach, low insertion loss, and the potential for lowcost). Regarding other in-fiber differentiators [6–10],our approach requires only a single FBG without anyadditional elements (optical circulator, coupler, FBG,or cladding–core mode converter). It is worth notingthat, although FBGs are typically used in reflection,using them in transmission offers interesting proper-ties. First, since the use of a coupler or circulator isnot required, the energy efficiency is increased, andthe cost and complexity of the system are reduced.Second, we have less sensitivity of the phase re-sponse to grating-fabrication errors in transmissionthan in reflection mode [12,13].In the remainder of this Letter we explain the the-

oretical basis of this method, and, as example, a FBGdifferentiator is designed, numerically simulated,and applied over several input signals. Moreover, wealso compare the accuracy and length of several FBGdifferentiators. Finally, we summarize and concludeour work.The temporal operation of a first-order differentia-

tor can be expressed as foutstd=dfinstd /dt, where finstdand foutstd are the complex envelopes of the input and

the output of the system, respectively, and t is thetime variable. We can also express this in frequencydomain as Foutsvd= jvFinsvd, where Finsvd and Foutsvdare the spectral functions of finstd and foutstd, respec-tively, v is the base-band angular pulsation i.e., v

=vopt−v0, vopt is the optical angular pulsation, v0 isthe central angular frequency of the signals, and j= s−1d1/2 is the imaginary unit. Thus, the spectral re-sponse (SR) of the ideal first-order differentiator isHdiffsvd=Foutsvd /Finsvd= jv, the phase of which pre-sents a p-phase shift at v=0, and the magnitude ofwhich is uHdiffsvdu= uvu.On the other hand, it is well known that the SR

magnitude and phase of an FBG in transmission arerelated by means of the Hilbert transform [12,14]:

arguHTsvdu = HThlnuHTsvduj, lnuHTsvdu = C0

+ HT−1harguHTsvduj, s1d

where HT· stands for the Hilbert transform, ln de-notes the natural logarithmic function, and C0 is anarbitrary real number. Let us suppose a local p-phaseshift in HTsvd at v=0 in a certain interval uvu,Wwhere we can approximate argsHTsvdd. ± sp /2dsignsvd, with W.0 the radius of the inter-val. We can estimate lnuHTsvdu locally for uv«u,« fromEq.(1), applying the Hilbert transform integral [15]:

lnuHTsv«du = C0 +1

pE−`

` argsHTsVdd

V − v«

dV = C0

pE−`

` argsHTsV + v«dd

VdV . C0

pSI ± E

W sp/2dsignsV + v«d

VdVD = C0

p7 lnsuv«u/Wd = 7 lnsC1uv«ud, s2d

where « is a sufficiently small value in the sense thatwe can approximate e−W

W argsHTsV+v«dd /VdV

.e−WW ± sp /2dsignsV+v«d /VdV and e−`

W argsHTsV+v«dd /VdV+eW

` argsHTsV+v«dd /VdV.I, with I

2458 OPTICS LETTERS / Vol. 33, No. 21 / November 1, 2008

=e−`

W argsHTsVdd /VdV+eW` argsHTsVdd /VdV; C1 is a

positive real number (arbitrary, since it contains thearbitrary C0), and it is implicitly supposed that theCauchy principal value of the improper integralsmust be taken. From the positive solution of Eq. (2),we finally deduce uHTsv«du.C1uv«u. Thus, sinceargsHTsvdd is uniquely related to lnuHTsvdu [12], wecan expect that if uHTsvdu~ uvu is locally satisfied, wealso obtain the desired p-phase shift at v=0, andtherefore the entire phase (neglecting constant andlinear terms) and proportional amplitude of the first-order differentiator SR in a certain bandwidth. It isworth noting that taking the negative solution fromEq. (2) leads to uHTsvdu~ uvu−1, which agrees with thespectral p-phase shift observed in [16] when approxi-mating the integrator SR magnitude with a phase-shifted FBG in transmission.Since the SRs in reflection and transmission are re-

lated by uHRsvdu=Î1− uHTsvdu2, the objective SR of theFBG in reflection must locally satisfy uHRsvdu=Î1− uC1vu2 (a semicircumference function). Severalapproximations have to be done in order to achieveuHRsvdu with a feasible FBG. First, we have a finitebandwidth in a real system. Moreover, in order to re-duce the complexity of the grating profile required,we propose Gaussian and Lorentzian functions [14]as approximation functions of uHRsvdu in the limitedbandwidth. In Fig. 1, the resulting approximationand ideal bandwidth-limited functions are repre-sented. Moreover, we have to take into account that aperfect zero in transmission is impossible with anFBG, but a transmission dip can be imposed. Finally,in the grating design, we have to apply an inversescattering algorithm [17] to obtain the grating pro-file.As example we design an uniform-period FBG in

transmission on the ideas introduced above, wherewe assume a central frequency sv0 /2pd=193 THz;we use the Gaussian approximation function inuHRsvdu with a FWHM of 0.56 THz, and we impose atransmission dip −20 logsuHTsv=0dud=60 dB (maxi-mum reflectivity of 99.9999%). By applying an in-verse scattering algorithm, we obtain the coupling co-efficient kszd, which is represented in Fig. 2, in three

different scales for a clear visualization. Note thatthe maximum coupling coefficient maxskszdd=6555.1 m−1, is a very high coupling value but iswithin current technology. As can be seen, kszd con-sists of a strong peak at the beginning and anasymptotic decay at the back, the end value of whichis 16.67 m−1 (0.254% of the maximum value). It isworth noting that kszd must not be excessively spa-tially limited at the back in order to obtain the de-sired transmission dip in v=0. Thus, the resultinguniform-period FBG has a length of L=10 cm, an av-erage refraction index nav=1.452, and a grating pe-riod of L0=534.888 nm. Figure 3 shows the magni-tude and phase of the FBG SR in transmission,HTsvd, obtained from numerical simulation. As it canbe seen, the phase of HTsvd presents the desiredp-phase shift in v=0. In the operation bandwidth,which can be estimated as 400 GHz, the magnitudeof HTsvd is approximately proportional to uHdiffsvdu,and the phase is approximately linear (nondistorting,pure delay).Figure 4 shows the numerically obtained output

temporal waveforms for different input temporalwaveforms, comparing ideal and designed FBG dif-ferentiator, where all the considered input signalsare spectrally centered at v0. In Figs. 4(a) and 4(b),we consider the input waveforms of a 7 ps transform-limited Gaussian optical pulse (with a correspondingspectral width of 126.08 GHz) and its first-order de-rivative, respectively, where both spectral and tempo-ral widths are expressed as FWHM. As can be ob-served, the FBG differentiator results are in verygood agreement with the ideal differentiator results.The energy efficiencies, calculated as the ratio of theoutput signal energy to the input signal energy indecibels, are −37.065 and −26.328 dB, respectively,for each input signal.

Fig. 1. FBG differentiator SR amplitude in (a) reflectionand (b) transmission, corresponding to ideal bandwidth-limited (solid curve), Gaussian approximation (dottedcurve), and Lorentzian approximation (dashed curve)functions.

Fig. 2. Grating profile obtained by inverse scattering indifferent scales.

Fig. 3. Spectral response in transmission of the designedFBG (solid curve) and the ideal differentiator (dottedcurve).

November 1, 2008 / Vol. 33, No. 21 / OPTICS LETTERS 2459

Finally, in Fig. 5, we show the dependence of thedifferentiator accuracy and length on the FBG trans-mission dip. We calculate the output pulse consider-ing a 7 ps Gaussian pulse as input waveform for sev-eral FBG differentiators in transmission, designedwith the same approximation function for uHRsvdu(Gaussian with a FWHM of 0.56 THz), with thetransmission dip varying from 20 to 80 dB. The accu-racy of the differentiator has been calculated as thedegree of similarity between the FBG and the idealdifferentiator output signals, which can be estimatedwith the normalized cross-correlation coefficient,Corr [14]:

Corr =maxSUE−`

fout,FBGstdfout,ideal* stddt

3SE−`

ufout,FBGstdu2dtE−`

ufout,idealstdu2dtD−1/2UD.

where fout,FBGstd and fout,idealstd are the complex enve-lopes of the output signals corresponding to FBG andthe ideal differentiator, respectively, and * denotesthe complex conjugate. The length has been obtainedfrom properly limited grating obtained by the inversescattering algorithm. As it can be seen in Fig. 5,lower minimum in transmission (higher maximum

reflectivity) implies higher accuracy but also longergrating (ideal zero in transmission is achieved onlyby a hypothetical infinite-length FBG). Moreover,there are many factors that can decrease the trans-mission dip magnitude, for instance, spatial nonuni-formity of the fiber, which may restrict the feasibletransmission dip values in practice.In conclusion, in this Letter we have presented a

simple approach based on an FBG in transmission asan ultrafast all-optical differentiator. A key aspect ofthis method is that, because of the logarithmic Hil-bert transform relations between SR amplitude andphase of an FBG in transmission, the requiredp-phase shift appears in the SR phase when the cor-responding amplitude approximates the first-orderdifferentiator SR amplitude. We want to emphasizethe high energetic efficiency and simplicity of the re-sulting scheme compared to other implementations,since only a single FBG working in transmission isrequired to obtain the first-order differentiator, with-out any additional element (optical circulator, FBG,coupler, or cladding–core mode converter). On theother hand, depending on the application require-ments and the design, the required length, couplingcoefficient, and transmission dip may be a fabricationchallenge.

This work was supported by the Spanish Ministe-rio de Educacion y Ciencia under project “Plan Nacio-nal de I 1 D 1 I TEC2007-68065-C03-02.”

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Fig. 4. Temporal waveforms of the input pulse (dashedcurve) and output pulse corresponding to FBG (solid curve)and the ideal differentiator (dotted curve), which arehardly distinguishable in both plots. Input pulses of plots(a) and (b) respectively are a 7 ps Gaussian pulse and thefirst-order derivative of a 7 ps Gaussian pulse.

Fig. 5. Grating length (squares, dotted curve) and cross-correlation coefficient, Corr (circles, dashed curve), whichrepresents the operation accuracy. Thirteen FBG differen-tiators are designed assuming the same operation band-width to obtain transmission dip values from 20 to 80 dBand are applied to a 7 ps Gaussian pulse.

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All-pass optical structures for repetition rate multiplication

ETSI Telecomunicacion, Universidad Politecnica de Madrid (UPM), 28040 Madrid, Spain. ma.preciado@upm.es, muriel@tfo.upm.es

Abstract: We propose and analyze several simple all-pass spectrally-periodic optical structures, in terms of accuracy and robustness, for the implementation of repetition rate multipliers of periodic pulse train with uniform output train envelope, finding optimum solutions for multiplication factors of 3, 4, 6, and 12.

OCIS codes: (070.6760) Talbot and self-imaging effects; (140.4780) Optical resonators; (140.3538) Lasers, pulsed; (230.1150) All-optical devices; (320.7080) Ultrafast devices.

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1. Introduction

The generation of periodic pulse trains at repetition rates beyond those achievable by mode locking or direct modulation is very attractive for future ultrahigh-speed optical communication systems. One alternative is pulse repetition rate multiplication (PRRM) [1-15] of a lower rate source. In frequency domain, an ideal periodic pulse train is composed by a sequence of discrete spectral components, and PRRM techniques are based on periodically changing the amplitude and/or phase of these spectral components by linear filtering. This can be obtained by using a spectrally-periodic filter [1-10] as well as a non-spectrally-periodic filter (typically first order dispersive mediums) [11-14]. In particular, all-pass filtering PRRM methods [6-15] are highly desirable because of its intrinsic high energy efficiency.

In [10], a single all-pass optical cavity (APOC) for uniform envelope PRRM is analyzed in terms of accuracy and robustness, and it is found that, although theoretically three factors of repetition (2, 3 and 4) can be obtained for accurate uniform envelope PRRM, in practice robust solution can only be achieved for factor 2, resulting factor 3 solution specially tricky and unstable.

In this letter, we analyze several all-pass spectrally-periodic optical structures for 3×, 6×,

4× and 12× uniform envelope PRRM. It is worth noting that, although we focus on the ring resonator (RR) implementation of the APOCs, the results obtained can be easily extended to other APOC implementations. As it can be seen in Fig. 1, proposed optical structures are composed by 2-to-4 APOCs. It is demonstrated that, not only accurately uniform envelope but also robust solutions are found for proposed optical structures.

The remainder of this letter is as follows. In section 2, we explain some theoretical aspects about the design of the filter parameters in uniform envelope PRRM. In section 3, two different RR implementations (composed by two identical RR in cascade or coupled

configuration) for 3× and 4× are proposed and analyzed, where the theory previously exposed

is applied to design the RRs parameter. Moreover, we present optical structures for 6× and

12×, obtained by combining the 2×, 3×, and 4× implementations. In section 4, we analyze and discuss several practical examples of application. Finally, we summarize and conclude our work.

Fig. 1. Architecture of the system. The periodic pulse train is processed by the all-pass optical structure. Eight optical structures composed by multiple APOCs are proposed (RR implementation showed).

2. Filter parameters design for uniform Envelope PRRM

In the following, temporal signals are represented as complex envelopes with ω0 as central carrier angular pulsation, and spectral signals are represented in the base-band angular

pulsation ω=ωopt-ω0, where ωopt is the optical angular pulsation. Let us consider an input

periodic pulse train 1 0( ) ( )n

a t a t nT∞

=−∞

= −∑ , where a0(t) represents the complex envelope of

an individual pulse, and T is the temporal period of the signal. When a spectrally periodic

filter H(ω)=H(ω+2πFSR), is applied to the input pulse train 1( )a t , we obtain an output pulse

train [10] 2 0( ) ( )n

a t C a t nT N∞

=−∞

= −∑ , with Cn=IDFTnH(2πm/T), where FSR is the

free spectral range, with FSR≈N/T, N is the desired multiplication factor, IDFTn denotes the n-

th inverse discrete Fourier transform [16], denotes a sequence of N elements, Cn are

complex coefficients, with Cn=Cn+N, and m=1, 2,…, N. The magnitude of the sequence, |Cn|,describes the amplitude of the output pulse train envelope, which obviously is not affected by the phase of Cn. Since we are interested in uniform envelope PRRM with a multiplication

factor N, we have to impose that all the terms of the sequence |Cn| have the maximum uniformity. Thus, we can define a figure of merit (FM) for PRRM with uniform envelope as:

( ) ( )var mean= n nFM C C (1)

where var(Cn) and mean (Cn) denote the variance and mean of the sequence, respectively, and the function the optimum is FM=0. The variability of the solution can be estimated with

the gradient magnitude |∇FM|. Both functions, FM and |∇FM| must be taken into account in the optimization, indicating accuracy and robustness respectively.

3. APOC-based structures for 3×, 4×,6× and 12× PRRM

Structures based in a pair of identical RRs are proposed to obtain stable and exact solution for

uniform envelope 3× and 4× PRRM. As it can be seen in Fig. 2, we propose two possible RRs configurations for each multiplication factor, in cascade and coupled.

Fig. 2. All-pass optical structures for uniform envelope PRRM for 3× and 4× multiplication, both composed by two identical RR in cascade or coupled configuration.

The spectral response can be easily obtained for cascade configuration from:

( ) ( )( )2

φ ωω ω

− ⋅= =

− ⋅ ⋅

casc single j

r a eH H

r a e (2)

where Hsingle(ω) is the spectral response of a single RR [17], r=(1-k)1/2 is the reflectivity of the RR coupler, k is the coupling factor, a=exp(-αLc/2) is the round-trip amplitude transmission

factor, α is the power loss coeffient, Lc is the length of the round-trip length, and φ(ω) is the round trip phase, with:

( ) ( )0 0φ ω ω ω ω ω φ= = + = +opt FSR FSR FSR (3)

where φ0=ω0/FSR is the round-trip phase at ωopt=ω0. Since ω0 is typically several orders

higher than FSR and φ0 can be arbitrarily added a multiple of 2π rad, we can easily deduce that

a desired value of φ0 can be adjusted by very small variations of FSR.

The coupled configuration structure spectral response can be obtained by the transfer model method [18,19]:

( )( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

φ ω φ ω φ ω

φ ω φ ω φ ωω

− − −

− ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅=

− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅

coupled j j j

r r a e a e r a eH

r a e r a e r a e (4)

These optical structures are characterized by the parameters of one of the RRs (since both RRs are identical). Supposing lossless RRs (a=1), these spectral responses, and therefore the

figure of merit, can be parameterized with k and φ0. Figure 3 shows FM (k, φ0) and |∇FM (k,

φ0)| in a false-color representation for proposed 3× and 4× RR implementations (for coupled and cascade configurations in each case). Note that these functions present periodicity in the

variable φ0 with period 2π/N, and have been limited for high values in order to increase the contrast of the plots. As it can be seen, robust and accurate solution, which correspond to dark blue in the false-color scale, can be simultaneously reached with the proposed configurations.

Fig. 3. Figure of merit and gradient function for [(a) and (e)] 3× coupled structure, [(b) and (f)]

3× cascade structure, [(c) and (g)] 4× coupled structure, and [(d) and (h)] 4× cascade structure.

Table 1 shows the optimum filter parameters set for 3× and 4× uniform envelope PRRM, where smoother region solutions have been selected in case of multiple optimum

solutions, and 2× single RR optimum parameters obtained in [10] have been also included. It

is worth noting that we have obtained the same optimum k parameter for 4× in both coupled

and cascade configuration, and it is the same k value as obtained for 2× in [10]. Table 1 also includes the case of RR with losses, for a=0.95 and a=0.9. Proceeding similarly as above, we have calculated the optimum structures parameters. Moreover, RR losses affect to the energetic efficiency and uniformity of the pulse train envelope parameters. The energetic

efficiency can be calculated from 2

[%] 100=

= ×∑N n

Eff C , and the PRRM envelope error

is estimated with an error coefficient:

( ) ( )10[dB] 20log max min =

n nErr C C (5)

which indicates the maximum intensity peak variation in decibels (similar to peak-to-peak amplitude jitter [20]). The severity of Err and Eff values depends on the concrete application.

Table 1. Summary of the Optical Structures Parameters Values Corresponding to 2×, 3×, and 4× Uniform Envelope PRRM, for a = 1, a=0.95, and a=0.9.

N Structure Configuration

a k φ0

Err[dB]

Eff [%]

1 0.8284 1.571 0 100 0.95 0.8287 1.571 0 92.45

2 Single

0.9 0.8298 1.571 0 55.55 1 0.7393 0.8435 0 100

0.95 0.7409 0.8207 0 74.45 3 Coupled

0.9 0.7450 0.8091 0 57.87 1 0.8571 0.3335 0 100

0.95 0.8579 0.3004 0 81.15 3 Cascade

0.9 0.8603 0.2552 0 66.17 1 0.8284 0 0 100

0.95 0.8120 0.2162 0.67 83.64 4 Coupled

0.9 0.8092 0.2691 1.51 69.65 1 0.8284 0 0 100

0.95 0.8316 0 1.65 81.45 4 Cascade

0.9 0.8390 0 3.11 67.06

Moreover, we can combine these filters to obtain higher multiplication factors. When combining spectrally periodic filters, the spectral responses of the resulting filter is the product of the spectral responses of the composing filters, and the FSR of the whole filter is equal to the minimum common multiple of the FSR of the filters. We have exact and stable

RR based filters for 2×, 3×, and 4× PRRM, which FSR are respectively 2/T, 3/T, and 4/T.

Thus, in order to get a higher FSR we have two possible combinations, 2× with 3×, obtaining

FSR≈6/T, and 3× with 4×, obtaining FSR≈12/T. Since the resulting filters terms |Cn|preserve uniformity, 6× and 12× uniform envelope PRRM is performed. All the possible 6×and 12× optical structures obtained by combination of the previous 2×, 3× and 4× filters are showed in Fig. 4 (a) and (b), respectively.

Fig. 4. All-pass optical structures for uniform envelope PRRM for (a) 6× multiplication and

(b) 12× multiplication. These optical structures are composed by substructures corresponding

to 2×, 3×, and 4× multiplication, which are marked with a dashed box.

4. Examples

In these examples we assume an input periodic pulse train with central frequency (ω0/2π)=192 THz, temporal period of T=100 ps (pulse repetition rate of 10 GHz), and lossless RRs (a=1).

The FSR value for 2×, and 3× examples is a slightly different value to N/T in order to obtain

the proper φ0 value. Cascade-RRs configuration is chosen for 3×, which parameters are

obtained from Table 1, with k1=0.739 and FSR1=30+2.488×10-4 GHz. For 4× we choose coupled-RRs configuration, with k2=0.8284 and FSR2= 40 GHz. We reuse these RRs

implementations for 6× and 12×. Thus, combining the 3× designed filter with a 2× single-RR

configuration, which optimum filter parameters are [10] k3=0.8284 and FSR3=20+5.208×10-4

GHz, we obtain the 6× optical structure. Finally, combining the 3× with the 4× designed

filters, we obtain the 12× optical structure. Figure 5 shows the output pulse train intensity numerically obtained for these examples. Figure 6 shows the influence on the envelope error of frequency variations because of laser noise and ring fabrication errors for the previous examples, estimated with the envelope error coefficient used above, Err. Because of the temporal discrete RR response, these variations only affect to the output pulse train envelope, but not to the waveform of each individual pulse. It is worth noting the high robustness of the

4× filter, and the error accumulation in the 6× and 12× examples, which is clearly dominated

by the error contribution of the 3× filter combined in both cases.

Fig. 5. Output-pulse-train intensity for 3×(blue), 4× (red), 6× (green), and 12× (yellow) uniform envelope PRRM corresponding to the examples, and the corresponding optical structures.

Fig. 6. Envelope error coefficient, Err, for 3×(blue), 4× (red), 6× (green), and 12× (yellow).

For RRs with losses, we have to set another RRs parameters, as it was showed in Table 1.

It can be easily deduced that the |Cn| sequence of the resulting filter can be obtained as the

circular convolution of the |Cn| sequences of the combining sub-filters, and from this, that Err and Eff of the resulting filter can be calculated respectively as the sum and product of the corresponding Err and Eff terms of the combining sub-filters. Thus, using Table 1, we can

observe that 2×, 3×, and 6× configurations preserve perfect pulse train uniformity in a

moderate losses range [a ∈ (0.9, 1)], but 4× and 12× examples do not preserve perfect uniformity (see Err in Table 1). However, energetic efficiency is affected by RR losses in all the cases (see Eff in Table 1).

5. Conclusion

In this letter we have proposed and analyzed several all-pass optical structures composed by 2-to-4 APOCs, which achieve robust and accurate uniform envelope PRRM with high

energetic efficiency (ideally 100% for lossless RRs). For 3× and 4× PRRM, we have two different configurations, both composed by two identical RRs in cascade or coupled

configuration. In the parameters design of these four filters (3× and 4× with coupled and cascade configuration), we have obtained accurate and robust solution without trade-off

requirement (in contrast to [10]). For 6× and 12× PRRM, we have several optical structures

obtained by combining filters of 2×, 3×, and 4× PRRM. We have also analysed the effect of RR losses on the energetic efficiency and the output pulse train envelope uniformity. In the examples, we have obtained readily feasible RR parameters, and we have observed the effect

of combining filters in 6× and 12×.

Acknowledgments

This work was supported by the Spanish Ministerio de Educación y Ciencia under Project “Plan Nacional de I+D+I TEC2007-68065-C03-02”.

Ultrafast all-optical integrator based on a fiberBragg grating: proposal and design

Received April 4, 2008; revised April 29, 2008; accepted May 1, 2008;posted May 8, 2008 (Doc. ID 94707); published June 13, 2008

We demonstrate a simple technique for the implementation of an all-optical integrator based on a uniform-period fiber Bragg grating (FBG) in reflection that is designed to present a decreasing exponential impulseresponse. The proposed FBG integrator is readily feasible and can perform close to ideal integration of few-picosecond and subpicosecond pulses. © 2008 Optical Society of America

OCIS codes: 060.2340, 060.3735, 200.4740, 230.1150, 320.5540, 320.7080.

An optical integrator is a recent concept proposed asa basic building block of the ultrafast all-optical sig-nal processing system. It performs the time integralof the intensity (incoherent integrator [1]) or the com-plex envelope (coherent integrator [2–7]) of an arbi-trary optical input signal, finding concrete applica-tions as a dark-soliton detector and pulse shaper[2–4]. Passive optical integrators [5–7] do not requireany gain element (active medium) and can performclose to ideal integration, but they are not suited forall signals and applications.A fiber Bragg grating (FBG) is a low-cost, all-fiber,

passive optical device and has been proposed as anoptical integrator [6,7]. In [6] it has been demon-strated that a transmission phase-shifted FBG in avery strong coupling regime (reflectivity extremelyclose to 100%) can approximate the ideal integratorspectral response over a certain limited bandwidth(below a few hundreds of gigahertz). In [7] a weakcoupling uniform FBG (approximately rectangularimpulse response) exploits the property that the tem-poral convolution of an arbitrary input signal with arectangle signal can be considered as the temporalintegration of the input signal over a limited timewindow. Unfortunately, the output signal inevitablypresents not only a single integrated pulse, but also asecond integrated pulse after the temporal window ofvalidity.In this Letter we propose an optical coherent pas-

sive integrator based on a uniform period FBG, de-signed to present a decreasing exponential impulseresponse in reflection. The proposed method is not re-stricted to a weak or strong coupling regime and per-forms a close to ideal integration of few-picosecondand subpicosecond pulses. In the remainder of thisLetter we explain the theoretical basis of this methodand, as an example, a FBG integrator is designed,numerically simulated, and applied over several in-put signals. Moreover, we also compare the accuracyand energy efficiency of several FBGs of differentlengths. Finally, we summarize and conclude ourwork.In the following, temporal signals are represented

as complex envelopes with v0 as the central carrierangular pulsation and spectral signals are repre-sented in the base-band angular pulsation v=vopt

−v0, where vopt is the optical angular pulsation. The

temporal operation of an ideal optical coherent tem-poral integrator can be expressed as foutstd=e−`

t finstddt, where finstd and foutstd are the complexenvelopes of the input and output of the system, re-spectively, and t is the time variable. We can also ex-press this in the frequency domain as Foutsvd=Finsvd / sjvd, where Finsvd and Foutsvd are the spec-tral functions of finstd and foutstd, respectively, and j= s−1d1/2 is the imaginary unit. Thus, the spectraltransfer and impulse responses of the ideal integra-tor are, respectively,

Hidealsvd = Foutsvd/Finsvd = 1/sjvd, s1d

hidealstd = ustd, s2d

where ustd is the unit step function. Equation (1) im-plies infinite gain at v=0 and finite Foutsvd is only ob-tained if Finsv=0d=0. Therefore, a real system can-not perform this ideal response, even in case of anactive device. However, Hidealsvd can be accuratelyapproximated with a complex Lorentzian function[8], which corresponds to a decreasing exponentialimpulse response in the temporal domain,

Haprxsvd = A/sjv + t−1d, s3d

haprxstd = A exps− t/tdustd, s4d

where A and t are amplitude and time constants, re-spectively. It is worth noting that this approximationis commonly used in electronics passive RC integra-tors. From Eqs. (1) and (3), we can observe that hight values imply an accurate integration operation. In-deed, tDt must be satisfied for accurate operation,where Dt is the input pulse width. However, since wehave a passive device, uHaprxsv=0d u =At#1⇒A#1/t,so high t implies low A, and from Eq. (4) it implieslow haprxstd intensity. From foutstd= finstd ^ haprxstd, thisfinally leads to a low output intensity, where the sym-bol ^ indicates the temporal convolution operator.Hence, it is necessary to reach a trade-off solution be-tween accuracy and energy efficiency.A FBG can be designed to exhibit a decreasing ex-

ponential impulse response. Under the weak cou-pling regime, the grating profile can be easily de-duced as a spatial decreasing negative exponential

1348 OPTICS LETTERS / Vol. 33, No. 12 / June 15, 2008

function (Born approximation). For the strong cou-pling regime, an inverse scattering algorithm [9,10]must be applied to synthesize the corresponding grat-ing profile. It is worth noting that, in the weak cou-pling regime, the grating length L is of in the order of6tc /2nav, where the exponential function has beensupposed limited to a duration of 6t, c is the speed oflight in a vacuum, and nav is the average refractiveindex of the grating. Thus, from tDt we deducethat L6Dt ·c /2nav must be satisfied for accurate op-eration in the weak coupling regime. Regarding thestrong coupling regime, we have to take into accountthat the required grating obtained from inverse scat-tering is usually several times longer than in theweak coupling regime, depending on the maximumreflectivity.As an example we design a uniform period FBG

with a maximum reflectivity of 80%, for which theimpulse response is a negative exponential, as de-scribed in Eq. (4), with a decay time of t=200 ps anda central frequency of v0 /2p=193 THz. The FBG pre-sents an effective refractive index of the mode in theunperturbed fiber neff=1.452, L=24 cm, and a gratingperiod of L0=534.88 nm, which corresponds to aBragg frequency of 193 THz. By applying an inversescattering algorithm we obtain a readily feasible cou-pling coefficient, kszd, shown in Fig. 1, with a maxi-mum coupling coefficient of kmax=43.225 m

−1. Thespectral response in reflection of the FBG is numeri-cally obtained and represented in Fig. 2. It presents agood agreement with the ideal response, except forcentral frequencies, where the ideal integrator re-sponse tends to infinity.Figure 3 shows the numerically obtained output

temporal waveforms for different input temporalwaveforms, comparing ideal and designed FBG inte-grator, where all the considered input signals arespectrally centered at v0. In Figs. 3(a) and 3(b) weconsider the input waveforms of the first-time deriva-tive of a 1 ps transform-limited Gaussian opticalpulse and a 1 ps transform-limited Gaussian opticalpulse respectively, where width is expressed as theFWHM. As it can be observed, the FBG integrator re-sult is in good agreement with the ideal integrator re-sult. In the example of Fig. 3(b), the ideal integratedsignal presents a not-null constant value in t. How-ever, it is obvious that the output intensity of thispassive device cannot be a not-null constant in t,and the FBG output signal presents a decay time

equal to t (200 ps in this example). Fig. 3(c) shows anexample of the first-time derivative of a 100 psGaussian optical pulse as the input temporal wave-form, which is too long to be correctly processed bythe FBG integrator, since the accurate operation con-dition tDt is not satisfied.Finally, in Fig. 4, we compare the accuracy and en-

ergy efficiency of eight FBG integrators with lengthsof 24, 12, 6, 3, 1.5, 0.75, 0.375, and 0.1875 cm, all ofthem with the same maximum reflectivity of 80%when applied over the first derivative of a 10 psGaussian pulse. The energy efficiency of the integra-tor is represented as the ratio of the output signal en-ergy to the input signal energy in decibels, and theaccuracy of the integrator has been calculated as thedegree of similarity between the FBG and the idealintegrator output signals, which can be estimatedwith the normalized cross-correlation coefficient C as[8]

C =maxSUE−`

fout,FBGstdfout,ideal* stddt

3SE−`

ufout,FBGstdu2dtE−`

ufout,idealstdu2dtD−1/2UD ,s5d

where fout,FBGstd, and fout,idealstd are the complex enve-lopes of the output signals corresponding to the FBGand ideal integrator, respectively, and * denotes thecomplex conjugate operator. As can be seen in Fig. 4,longer lengths imply higher accuracy but also lowerenergy efficiency, so a trade-off solution must beadopted for each case.

Fig. 1. Coupling coefficient function of the FBG integrator,obtained by an inverse scattering algorithm.

Fig. 2. Magnitude and phase of the spectral response cor-responding to the designed FBG (solid curve), and to anideal integrator (dotted line).

June 15, 2008 / Vol. 33, No. 12 / OPTICS LETTERS 1349

In conclusion, in this Letter we have presented avery simple optical integrator based on a uniform-period FBG, designed to present a negative exponen-tial impulse response in reflection. As an example wehave designed a FBG integrator with 80% of maxi-mum reflectivity and have applied it over several in-put signals. We have also compared the accuracy andenergy efficiency of several lengths of FBG integra-tors and conclude that a trade-off grating lengthmust be selected, depending on the concrete applica-tion. Some of the lengths of the FBGs analyzed arelonger than typical (approximately millimeters), butthey are within current technology [11,12]. The pro-posed method is readily feasible, presents the inher-ent advantages of FBGs without the requirement of astrong or weak coupling regime to work, and is spe-

cially suited to few-picosecond and subpicosecondpulses. As main drawbacks, this approach may re-quire very long FBGs for accurate integration of longpulses (100 ps or longer); it also presents the intrinsiclimitations of passive integrators.

This work was supported by the Spanish Ministe-rio de Educacion y Ciencia under “Plan Nacional deI1D1I TEC2007-68065-C03-02.”

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Fig. 3. Numerical simulations results, where input pulsesof plots (a)–(c), respectively, are the first-time derivative ofa 1 ps Gaussian pulse, a 1 ps Gaussian pulse, and the first-time derivative of a 100 ps Gaussian pulse (too long to becorrectly processed). Plots show the temporal waveforms ofthe input pulse (dashed curves), and output pulse corre-sponding to FBG (solid curves) and ideal (dotted curves) in-tegrators, which are hardly distinguishable in plots (a) and(b).

Fig. 4. Measures of energy efficiency (squares, dottedcurve) and normalized cross correlation coefficient (circles,dashed curve) that estimate the similarity between the out-put pulse and the ideal integrated pulse and represent theintegration accuracy. Eight FBG integrators applied to thefirst derivative of a 10 s Gaussian pulse are represented,with lengths of 24, 12, 6, 3, 1.5, 0.75, 0.375, and 0.1875 cmand a maximum reflectivity of 80%.

1350 OPTICS LETTERS / Vol. 33, No. 12 / June 15, 2008

Repetition-rate multiplication using a singleall-pass optical cavity

ETSI Telecomunicacion, Universidad Politecnica de Madrid, 28040 Madrid, Spain*Corresponding author: ma.preciado@upm.es

Received December 20, 2007; accepted February 25, 2008;posted March 6, 2008 (Doc. ID 91105); published April 25, 2008

We demonstrate a simple lossless method for the implementation of repetition-rate multiplication of a pe-riodic pulse train. As it is showed, a single all-pass optical cavity (APOC) can increase the repetition rate ofthe output pulse train by factors of 2, 3, and 4. Two different APOC implementations, based on a Gires-Tournois interferometer and an all-pass ring resonator, are proposed and numerically demonstrated.© 2008 Optical Society of America

OCIS codes: 070.676, 070.5753, 320.5550, 230.5750.

Techniques for generating ultrahigh-repetition-ratepulse trains are very attractive for future ultrahigh-speed optical-communication systems. Several tech-niques for generating periodic pulse trains at repeti-tion rates beyond those achievable by mode lockingor direct modulation have been explored. One alter-native is pulse-repetition-rate multiplication (PRRM)of a lower rate source by applying amplitude and/orphase spectral filtering [1–8].PRRM methods based on all-pass filtering, and its

intrinsic high energy efficiency, are highly desirable[1–5]. One of these techniques is based on the propa-gation of the pulse train in a first-order dispersivemedium and the temporal Talbot effect [1–3]. In prac-tice, however, the temporal Talbot condition is hardto satisfy in a wide bandwidth. Another successfulimplementation of all-phase spectral-filtering PRRMis based on a bulk optic pulse shaper that spatiallyseparates the frequency components of the inputpulse and uses amplitude and/or phase filters to pro-cess the signal [4,5].In this Letter, a simple phase-filtering method

based on a single all-pass optical cavity (APOC) forlossless 23, 33, and 43 PRRM, with a uniformpulse-train envelope, is proposed and numericallydemonstrated. Optical cavities and other spectrallyperiodic filters for PRRM have been widely studied[6–8], but this is the first time to our knowledge thatthis simple APOC-based method is proposed. Figure1 shows a schematic of the system. Two kinds ofAPOC devices are proposed, based on an all-pass ringresonator (RR) and a Gires–Tournois interferometer(GTI).The complex envelope of a periodic-input pulse

train can be expressed as a1std=a0std ^ on=−`` dst−nTd,

where a0std represents the complex envelope of an in-dividual pulse, ^ is the convolution operator, and T isthe temporal period of the signal. Using the Fouriertransform, we can express in spectral domain A1svd=vTA0svdom=−`

` dsv−mvTd, where vT=2p /T, and v isthe base-band angular pulsation, i.e., v=vopt−v0,where vopt is the optical angular pulsation and v0 isthe central angular pulsation of the input pulsetrain.

The spectral response of the APOC can be ex-pressed in base-band frequency as

Hsvd = expS− j2 tan−1SS1 + x

1 − xD

3tanS v

2FSR+ foffsetDDD,

x = Hr GTI

s1 − kd1/2 RR, s1d

where FSR is the free spectral range of the filter, r isthe field reflectivity of the partial reflecting mirror ofthe GTI, and k is the coupling factor of the RR, andfoffset=v0 /2FSR. When this filter is applied to an in-put pulse train, the output can be written as

A2svd = A1svdHsvd = A0svdvT om=−`

HsmvTddsv −mvTd.

If we assume FSR T<N, then we can express

HsmvTd = expS− j2 tan−1SS1 + x

1 − xD

3tanSpm

N+ foffsetDDD . s3d

Since Eq. (3) describes a discrete and periodic se-quence with period N in the variable m, we can cal-culate the inverse Fourier transform of Eq. (2) usingthe inverse discrete Fourier transform [9]:

a2std = on=−`

Cna0st − nT/Nd, s4d

hCnj = IDFTnhHsmvTdj, s5d

where a2std represents the complex envelope of theoutput pulse train, IDFTn denotes the nth inversediscrete Fourier transform, hj denotes a sequence ofN elements, and Cn are complex coefficients, with

962 OPTICS LETTERS / Vol. 33, No. 9 / May 1, 2008

Cn=Cn+N. The magnitude of the sequence, huCn u j, de-scribes the amplitude of the output pulse train enve-lope, which obviously is not affected by the phase ofCn. It is worth noting that, for a given N, the se-quence huCn u j is a function in the variable x and a pe-riodic function in the variable foffset with period p /N.If we search values of foffset and x that give as a re-sult a sequence huCn u j whose elements have similaramplitudes, then we obtain uniform envelope PPRMwith N3 multiplication. Using the energy-conservation condition, we can deduce that the opti-mum sequence huCn u j must have all the terms equalto s1/Nd1/2. Thus, we can define a figure of merit forPRRM with a uniform envelope as

FMNsx,foffsetd = on=0

N−1 SuCnsx,foffsetdu − S 1ND1/2D2, s6d

where the optimum is FMNsx ,foffsetd=0. In Figs.2(a)–2(c), we represent this figure of merit in gray-scale for N=2, N=3, and N=4, respectively, wheredarker regions correspond to more accurate solu-tions. In Figs. 2(d)–2(f), we represent the magnitudeof the gradient of the figure of merit u¹FMNsx ,foffsetduin grayscale for N=2, N=3, and N=4, where darkerregions correspond to a lower gradient. Both the FMand its gradient must be taken into account forchoosing the parameter value. Note that the func-tions represented have been limited for high valuesin order to increase the contrast of the plots.At this point, we show examples for 23, 33, and

43 multiplication. In these examples we try to reacha reasonable compromise of accuracy and robustness.The solutions adopted in these examples may not bethe best solutions for all the cases, since the designcriterion depends on how these two factors are pon-dered.For the first example (N=2, i.e., 23 multiplica-

tion), both the FM function and the gradient magni-tude [Figs. 2(a) and 2(d)] are optimum in multiple pa-rameter values. We choose the point x=Î2−1, foffset

=p /4 rad, where both the FM and the gradient are

equal to 0. The values of x, which may seem surpris-ing, have been numerically obtained as the optimumof both functions for foffset=p /4 rad. We obtain a se-quence huCn u j=2−1/23 h1,1j for the output-pulse-trainenvelope.For the second example (N=3, i.e., 33 multiplica-

tion), the optimum of the FM [Fig. 2(b)] is onlystrictly reached for values of x near 1, but the gradi-ent function [Fig. 2(e)] presents a sharp variationthere, so we must get a compromise betweenFM and the gradient. In this case we choosex=0.75, foffset=0.1 rad, and obtain a sequencehuCn u j=3−1/23 h1.066,1.092,0.8189j for the output-pulse-train envelope.For the third example (N=4, i.e., 43 multiplica-

tion), again the optimum of the FM [Fig. 2(c)] isstrictly reached only for values of x near 1, but nowthe gradient function [Fig. 2(f)] varies smoothly inthat region. We choose x=0.97, foffset=0 and obtain asequence huCn u j=0.53 h0.9996,1.0304,0.9996,0.9696jfor the output-pulse-train envelope.In these examples we assume an input periodic

Fig. 1. Architecture of the system. The periodic pulsetrain is processed by an APOC. Two APOC implementa-tions, based on ring resonator and GTI, are proposed.

Fig. 2. Figure of merit and gradient function for [(a) and(d)] 23 multiplication, [(b) and (e)] 33 multiplication, and[(c) and (f)] 43 multiplication.

May 1, 2008 / Vol. 33, No. 9 / OPTICS LETTERS 963

pulse train with a central frequency sv0 /2pd=192 THz, and a temporal period T=10 ps (pulse rep-etition rate of 100 GHz). We can totally characterizethe APOC with FSR, and k for RR implementation, orr for GTI implementation. In Table 1 we represent

the values of the output period T /N, FSR, r, and k forN=2, 3, and 4. From x we can obtain the coupling fac-tor k for RR implementation or the reflectivity factorr for the GTI implementation. For N=2 and N=3, theFSR of the APOC has a slightly different value toN /T in order to obtain the proper foffset value. Figure3 shows the output-pulse-train intensity for these ex-amples, assuming an input Gaussian pulse train,which has been normalized by dividing it by themaximum input intensity.In conclusion, in this Letter we have presented a

simple method for a uniform envelope PRRM with atheoretical energetic efficiency of 100%. We havefound that a single APOC can achieve three factors ofrepetition-rate multiplication (2, 3, and 4). As hasbeen shown, it is specially suited for 23 and 43 mul-tiplication, since 33 multiplication is very restrictedby the variability of the solution. It is worth notingthat the length of the optical cavities designed inthese examples is in the order of 1 mm, which is eas-ily feasible with current technology.

This work was supported by the Spanish Ministe-rio de Educacion y Ciencia under Project “Plan Na-cional de I+D+I TEC2004-04754-C03-02” and “PlanNacional de I+D+I TEC2007-68065-C03-02”.

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Table 1. Summary of Parameter Values Obtained

for 2Ã, 3Ã, and 4Ã Multiplication of an Input Pulse

Train of 100 GHz

T /N(ps)

FSR(GHz) r k

2 5 200+2.604310−2 0.4142 0.8284

3 3.33 300+7.46310−3 0.75 0.4375

4 2.5 400 0.97 0.0591

Fig. 3. Output-pulse-train intensity for (a) 23 multiplica-tion, (b) 33 multiplication, and (c) 43 multiplication, cor-responding to the first, second, and third examples,respectively.

964 OPTICS LETTERS / Vol. 33, No. 9 / May 1, 2008

Ultrafast all-optical Nth-order differentiator and simultaneous repetition-rate multiplier of

periodic pulse train

ETSI Telecomunicacion, Universidad Politecnica de Madrid (UPM), 28040 Madrid, Spain. miguel.preciado@tfo.upm.es, muriel@tfo.upm.es

Abstract: The letter presents a technique for Nth-order differentiation of periodic pulse train, which can simultaneously multiply the input repetition rate. This approach uses a single linearly chirped apodized fiber Bragg grating, which grating profile is designed to map the spectral response of the Nth-order differentiator, and the chirp introduces a dispersion that, besides space-to-frequency mapping, it also causes a temporal Talbot effect.

OCIS codes: (060.2340) Fiber optics components; (230.1150) All-optical devices; (320.5540) Pulse shaping; (999.9999) Fiber Bragg gratings.

References and Links 1. H. J. A. da Silva and J. J. O'Reilly, "Optical pulse modeling with Hermite - Gaussian functions," Opt. Lett.

14, 526- (1989). 2. R. Slavík, Y. Park, M. Kulishov, R. Morandotti, and J. Azaña, "Ultrafast all-optical differentiators ," Opt.

Express 14, 10699-10707 (2006). 3. N. K. Berger, B. Levit, B. Fischer, M. Kulishov, D. V. Plant, and J. Azaña, "Temporal differentiation of

optical signals using a phase-shifted fiber Bragg grating," Opt. Express 15, 371-381 (2007). 4. M. Kulishov and J. Azaña, "Design of high-order all-optical temporal differentiators based on multiple-

phase-shifted fiber Bragg gratings," Opt. Express 15, 6152-6166 (2007). 5. Y. Park, R. Slavik, J. Azaña "Ultrafast all-optical first and higher-order differentiators based on

interferometers" Opt. Lett. 32, 710-712 (2007). 6. M. A. Preciado, V. García-Muñoz, and M. A. Muriel “Ultrafast all-optical Nth-order differentiator based on

chirped fiber Bragg gratings,” Opt. Express 15, 7196-7201 (2007). 7. A. G. Jepsen, A. E. Johnson, E. S. Maniloff, T. W. Mossberg, M. J. Munroe, and J. N. Sweetser, “Fibre

Bragg grating based spectral encoder/decoder for lightwave CDMA,” Electron. Lett. 35, 1096-1097 (1999). 8. M. A. Preciado, V. García-Muñoz, and M. A. Muriel “Grating design of oppositely chirped FBGs for pulse

shaping,” IEEE Photon. Technol. Lett. 19, 435-437 (2007). 9. J. Azaña and L. R. Chen, "Synthesis of temporal optical waveforms by fiber Bragg gratings: a new approach

based on space-to-frequency-to-time mapping ," J. Opt. Soc. Am. B 19, 2758-2769 (2002). 10. S. Longhi, M. Marano, P. Laporta, and V. Pruneri, “Multiplication and reshaping of high-repetition-rate

optical pulse trains using highly dispersive fiber Bragg gratings,” IEEE Photon. Technol. Lett. 12, 1498–1500 (2000).

11. S. Longhi, M. Marano, P. Laporta, O. Svelto, "Propagation, manipulation, and control of picosecond optical pulses at 1.5 µm in fiber Bragg gratings, J. Opt. Soc. Am. B 19, 2742-2757 (2002).

12. J. Azaña and M. A. Muriel, "Temporal Talbot effect in fiber gratings and its applications," Appl. Opt. 38,6700-6704 (1999).

13. J. Azaña and M. A. Muriel, ‘‘Real-time optical spectrum analysis based on the time-space duality in chirped fiber gratings,’’ IEEE J. Quantum Electron. 36, 517–527 (2000).

14. J. T. Mok and B. J. Eggleton, “Impact of group delay ripple on repetition-rate multiplication through Talbot self-imaging effect,” Opt. Commun. 232, 167-178, (2004).

1. Introduction

The letter presents a technique for Nth-order differentiation of periodic pulse train. In addition to the interest in optical computing and information systems, Nth-order differentiators are of immediate interest for generation of Nth-order Hermite-Gaussian (HG) temporal waveform from an input Gaussian pulse, which can be used to synthesize any temporal shape by

superposition [1]. Several all-fiber schemes have been previously proposed based on long-period fiber gratings [2], phase-shifted fiber Bragg gratings (FBGs) [3,4], two-arm interferometer [5], and two oppositely chirped FBGs [6].

A schematic of the proposed general architecture is shown in Fig. 1. This approach exploits the well-known property of linearly-chirped FBGs, which apodization profile maps its spectral response [6-11]. The dispersion introduced by the FBG must meet two conditions: first, it must be high enough so the grating profile of the FBG maps the spectral response of the differentiator [8,9]. Second, it must meet the temporal Talbot condition [12], so dispersion does not affect to the waveform of the output pulses.

Besides the inherent advantages of FBGs (all-fiber approach, low insertion loss, and the potential for low cost), this scheme avoids the concatenation of N first order differentiator devices, which reduce energetic efficiency and increase the implementation complexity. Two different FBG based approaches have been previously demonstrated for all optical N-order time differentiation, namely multiple-phase-shifted FBG [4] and two oppositely chirped FBGs [6]. Concerning the first solution [4], it provides optical operation bandwidths in the tens-of-GHz, while our approach is specially suited for differentiating ultra-broadband optical waveforms (e.g. picosecond and sub-picosecond optical pulses). Regarding the second one [6], it requires two oppositely chirped FBGs, while this approach only requires one FBG. Furthermore, this approach can simultaneously multiply the input repetition rate. As a drawback, the system depends on the repetition rate of the input pulse train.

Fig. 1. Architecture of the system. Periodic pulse train is processed by an apodized linearly chirped FBG.

2. Theory

The analytic expression of an Nth-order differentiator in temporal domain is fout(t)=dNfin(t)/dtN,where fin(t) and fout(t) are the complex envelopes of the input and output of the system

respectively, and t is the time variable. In frequency domain, Fout(ω)=(jω)NFin(ω), where

Fin(ω) and Fout(ω) are the spectral functions of fin(t) and fout(t), respectively (ω is the base-band

frequency, i.e., ω=ωopt-ω0, where ωopt is the optical frequency, and ω0 is the central optical frequency of the signals). Thus, an Nth-order differentiator is essentially a linear filtering

device providing a spectral transfer function of the form HN(ω)=Fout(ω)/Fin(ω)=(jω)N. We are interested in obtaining an analytic expression of a feasible spectral response, so the ideal

spectral response function must be windowed, HN,w(ω) = HN(ω)W(ω) = (jω)NW(ω), where

W(ω) is a window function. The objective is to obtain a spectral response proportional to the differentiator spectral

response. The chirped FBG introduces a dispersion term and we have

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )1/ 2 2

,exp exp 2r r N w N rH R j H j jω ω φ ω ω φ ω ω φ= ∝ + , where

Hr(ω), R(ω), and φr(ω) are the spectral response in reflection, reflectivity and phase of the

FBG, φN(ω)=phase(HN(ω))=phase(HN,w(ω)) and 2 (r rφ φ ω ω 2= ∂ ) ∂ is the first order

dispersion coefficient of the FBG, which is a constant value for linearly chirped FBGs. Regarding the reflectivity, we have:

,( ) ( ) ( )N

N wR H Wω ω ω ω∝ = (1)

The refractive index of the FBG can be written as:

2( ) ( ) ( ) cos )

nn z n z A z z z

∆= + + (

where nav(z) represents the average refractive index of the propagation mode, ∆nmax describes the maximum refractive index modulation, A(z) is the normalized apodization function, Λ0 is the fundamental period of the grating, φ(z) describes the additional phase variation (chirp),

and z ∈ [-L/2 ,L/2] is the spatial coordinate over the grating, with L the length of FBG. In the following we consider a constant average refractive index nav=neff+(∆nmax/2), where neff is the effective refractive index of the propagation mode.

Notice that when N is odd, the differentiator spectral response presents a π-phase shift at ω=0. In our approach, this condition is attained by introducing a π-phase shift in the grating at z=0.

The chirp factor of the FBG, which is defined as CK=∂2φ(z)/∂z2, and the length of the

grating L, can be calculated from [13]:

2 24 /( )K av rC n c φ= − (3)

( )2r g avL c nφ ω= ∆ (4)

where c is the light vacuum speed, and ∆ωg is the grating bandwidth. The phase filtering of the FBG must be designed to cause a Talbot effect. In general, the

pulses waveform of the periodic pulse train is affected by dispersion, but under Talbot condition [12] the pulses are reflected without undergoing distortion (self-image effect). This condition can be expressed as:

2 1, 2,3,...,

1, 2,3,...,2r

where s/m must be an irreducible rational fraction. Repetition rate multiplication can be achieved for m>1. As a result the reflected signal has a repetition rate m times that of the input signal.

Regarding the amplitude filtering, we apply an apodization profile to the grating that is accurately mapped on the spectral response under high dispersion condition [9], which can be expressed as:

/ 8r gtφ π>> ∆ (6)

where ∆tg can be calculated from the temporal length of ( )1

,N wH ω− ℑ

, and 1−ℑ denotes

inverse Fourier transform.

It is worth noting that in most cases T2 >> (∆tg)2, and it is probable that (5) not only

satisfies (6), but greatly exceeds it, so from (4) we can deduce that it is necessary to use a longer FBG than strictly required for space-to-frequency mapping.

The apodization profile can be obtained from the expression [8]:

( )( )

32( ) ln 1 g

sign C zL r

nA z R

πω φ∆

= − −

3. Examples and results

In this section, examples of 1st and 4th order differentiators are designed and numerically simulated. We assume a carrier frequency (ω0/2π) of 193 THz, an effective refractive index neff=1.45, a band of interest (∆ω/2π) of 5 THz centred at ω0 (ω0-∆ω/2 ≤ ωopt ≤ ω0+∆ω/2), a grating bandwidth ∆ωg=∆ω, a maximum reflectivity of 50 %, and a pulse train period T=40 ps.

For the first example (1st order differentiator) the corresponding ideal spectral response is

H1(ω)=jω. We choose a function based on a hyperbolic tangent as window,

W(ω)=Wth(ω)=(1/2)[1+tanh(4-|16ω/∆ωg|)], and we have H1,w(ω)=H1(ω)Wth(ω). The desired reflectivity is obtained from (1):

( ) ( ) 2

( ) 1+tanh 4- 16 R g gR Cω ω ω ω ω = ∆ ∆

where CR= 2.1238 is a normalization constant to get a maximum reflectivity of 50 %.

From the temporal length of ( )1

1,wH ω− ℑ

we obtain ∆tg≈2 ps. Using expressions (5)

and (6) we have -22 22.5464 10 /r

ss rad

mφ = × and

25 21.5915 10 /r s radφ −>> × .

We choose 22 21.2732 10r s radφ −= − × , where s=1 and m=2 have been selected. This

implies that the input repetition rate is multiplied by two, so we have an output period of repetition Tout= Tin/2 =20 ps. The odd order of 1st differentiator implies that π-phase shift must be introduced in the grating at z=0.

Using (7), we obtain ∆nmax=2.8160 × 10-4, nav=1.45014. Additionally, using (3) and (4), we obtain CK=-7.3508×105 rad/m2 and L=41.346 cm. The fundamental period of the grating

can be obtained from Λ0=πc/(navω0)=535.574 nm. Finally, using (7) we obtain the apodization profile function:

2( ) ln 1 1+tanh 4- 16

z zA z C C

= − −

where CA=1.2011 is a normalization constant selected to get a normalized apodization profile

function 0 ≤ A(z) ≤ 1, and N=1.

As a second example we design a 4th-order differentiator using the same methodology. We obtain again ∆tg≈2 ps, and we design the same technological parameters as in the first example (so repetition rate is also doubled). The apodization profile is given by (9), where CR=181.02, and N=4 (same L and CA as for first example).

Figures 2(a), 2(b), and 2(c) show the results from our numerical simulations corresponding to the first example, and Fig. 2(d), 2(e), and 2(f) show the corresponding to second example. The spectral responses of the designed FBG and the ideal differentiator are showed in Fig. 2(a) and 2(d) for first and second example, respectively. The output pulse corresponding to an

input gaussian pulse described by fin,1(t) ∝ exp(-t2/(2σ2)) with σ= 800 fs, are showed in Fig. 2(b), and 2(e) for first and second example, respectively. The output pulse corresponding to an

antisymmetric HG pulse described by fin,2(t) ∝ ∂ fin,1(t)/∂t ∝ t·exp(-t2/(2σ2)) are showed in Fig. 2(c), and 2(f) for first and second example, respectively.

Fig. 2. Plots (a) and (d) show the amplitude of the spectral response corresponding to the FBG (solid), and to an ideal differentiator (dashed) for first and second examples, respectively. The temporal waveforms are showed in plots (b) and (c) for first example, and in plots (e) and (f) for second. Plots (b) and (e) correspond to a Gaussian pulse as input, and plots(c) and (f) correspond to an antisymmetric Hermite-Gaussian pulse as input. In plots (b), (c), (e) and (f) we show the input pulse in dashed line, the ouput pulse for the designed system in solid line, and the output pulse for the ideal differentiator in dotted line (indistinguishable from solid line in (b) and (c), and hardly distinguishable from solid line in (e) and (f)).

From (4) and (6) we obtain that the length of the grating requires L >> 0.051 cm for space-to-frequency, which can be satisfied from L > 5 cm. The length of the grating designed (41.346 cm) is much longer, but is within the accuracy of currently available fabrication techniques, as it can be seen in [11], where Talbot effect was achieved in a 96 cm linearly chirped FBG.

Considerations about the effect of group delay ripple can be found in [14], where it has been associated to the amplitude jitter of the rate-multiplied pulse train.

4. Conclusion

In this letter, an apodized linearly chirped FBG is designed and numerically simulated to simultaneously perform amplitude filtering to obtain the spectral response of the Nth-order differentiator, and phase filtering to cause temporal Talbot effect. The amplitude filtering exploits the fact that apodization profile of linearly chirped FBG maps its spectral response. This idea was used in a previous article published recently [6]. The main difference is that second chirped FBG for compensation of dispersion introducing by first FBG proposed in [6] is not required. This method reduces the number of required FBG to one and in addition the use of the Talbot effect allows repetition rate multiplication. These advantages must be weighed against the disadvantage that the system depends on the input repetition rate, and that the FBG length required for temporal Talbot effect can be much longer than the strictly required for space-to-frequency mapping.

It is worth noting that, unlike other pulse shaping techniques based on chirped FBGs [7-11], where the objective is shaping a specific output pulse from a known input pulse waveform, this system performs an operation (Nth-order temporal differentiation) than can be applied over different input waveforms to get the respective output waveforms.

Acknowledgements

This work was supported by the Spanish Ministerio de Educacion y Ciencia under Project “Plan Nacional de I+D+I TEC2004-04754-C03-02” and “Plan Nacional de I+D+I TEC2007-68065-C03-02”.

Ultrafast all-optical Nth-order differentiator based on chirped fiber Bragg gratings

Miguel A. Preciado, Víctor García-Muñoz, and Miguel A. Muriel

ETSI Telecomunicación, Universidad Politécnica de Madrid (UPM), 28040 Madrid, Spain. miguel.preciado@tfo.upm.es, victorgm@tfo.upm.es, muriel@tfo.upm.es

Abstract: In this letter we present a technique for the implementation of Nth-order ultrafast temporal differentiators. This technique is based on two oppositely chirped fiber Bragg gratings in which the grating profile maps the spectral response of the Nth-order differentiator. Examples of 1st, 2nd,and 4th order differentiators are designed and numerically simulated.

OCIS codes: (060.2340) Fiber optics components; (230.1150) All-optical devices; (320.5540) Pulse shaping; (999.9999) Fiber Bragg gratings.

References and Links 1. N. Q. Ngo , S. F. Yu, S. C. Tjin, and C. H. Kam, "A new theoretical basis of higher-derivative optical

differentiators," Opt. Commun. 230, 115−129, (2004). 2. H. J. A. da Silva and J. J. O'Reilly, "Optical pulse modeling with Hermite - Gaussian functions," Opt. Lett.

14, 526- (1989). 3. R. Slavík, Y. Park, M. Kulishov, R. Morandotti, and J. Azaña, "Ultrafast all-optical differentiators ," Opt.

Express 14, 10699-10707 (2006). 4. N. K. Berger, B. Levit, B. Fischer, M. Kulishov, D. V. Plant, and J. Azaña, " Temporal differentiation of

optical signals using a phase-shifted fiber Bragg grating," Opt. Express 15, 371-381 (2007). 5. Y. Park, R. Slavik, J. Azaña "Ultrafast all-optical first and higher-order differentiators based on

interferometers" Opt. Lett. 32, 710-712 (2007). 6. M. A. Preciado, V. García-Muñoz, and M. A. Muriel “Grating design of oppositely chirped FBGs for pulse

shaping,” IEEE Photon. Technol. Lett. 10, 435-437 (2007). 7. A. G. Jepsen, A. E. Johnson, E. S. Maniloff, T. W. Mossberg, M. J. Munroe, and J. N. Sweetser, “Fibre

Bragg grating based spectral encoder/decoder for lightwave CDMA,” Electron. Lett. 35, 1096-1097 (1999). 8. I. Littler, M. Rochette, and B. Eggleton, "Adjustable bandwidth dispersionless bandpass FBG optical filter,"

Opt. Express 13, 3397-3407 (2005). 9. J. Azaña and M. A. Muriel, ‘‘Real-time optical spectrum analysis based on the time-space duality in chirped

fiber gratings,’’ IEEE J. Quantum Electron. 36, 517–527 (2000). 10. J. Azaña and L. R. Chen, "Synthesis of temporal optical waveforms by fiber Bragg gratings: a new approach

based on space-to-frequency-to-time mapping ," J. Opt. Soc. Am. B 19, 2758-2769 (2002). 11. S. Longhi, M. Marano, P. Laporta, O. Svelto, "Propagation, manipulation, and control of picosecond optical

pulses at 1.5 µm in fiber Bragg gratings, J. Opt. Soc. Am. B 19, 2742-2757 (2002). 12. B. Bovard, “Derivation of a matrix describing a rugate dielectric thin film,” Appl. Opt. 27, 1998–2004

(1988). 13. James F. Brennan III and Dwayne L. LaBrake, "Fabrication of chirped fiber bragg gratings of any desired

bandwidth using frequency modulation," US patent 6728444 (April 2004). 14. I. C. M. Littler, L. Fu, and B. J. Eggleton, "Effect of group delay ripple on picosecond pulse compression

schemes," Appl. Opt. 44, 4702-4711 (2005).

1. Introduction

An Nth-order optical temporal differentiator is a device that provides the Nth-time derivative of the complex envelope of an arbitrary input optical signal. This operation is performed on optical devices at operation speeds several orders of magnitude over electronics. These devices may find important applications as basic building blocks in ultrahigh-speed all-optical analog–digital signal processing circuits [1]. Moreover, Nth-order differentiators are of immediate interest for generation of Nth-order Hermite-Gaussian (HG) temporal waveform from an input Gaussian pulse, which can be used to synthesize any temporal shape by

#80259 - $15.00 USD Received 20 Feb 2007; revised 16 May 2007; accepted 23 May 2007; published 29 May 2007

superposition [2]. Several schemes have been previously proposed based on integrated-optic transversal filter [1], long-period fiber gratings [3], phase-shifted fiber Bragg grating [4], and two-arm interferometer [5].

In this letter we use a technique for temporal differentiation based on the use of two oppositely chirped fiber Bragg gratings (FBG) [6]. As it can be seen in Fig. 1, the system includes two linearly chirped FBGs connected by an optical circulator. The first, FBGa, is the spectral shaper, and provides the spectral response for pulse shaping. The second, FBGb,cancels the dispersion introduced by the first grating. Obviously, the order of the FBGs can be arbitrarily selected.

Fig. 1. Architecture of the system. Input signal is processed by two oppositely chirped FBGs, which are connected by an optical circulator.

This scheme has been previously proposed and experimentally demonstrated in [7] and [8]. Specifically, in [7], phase-shifts are introduced in the shaper FBG to generate spectral-phase-encoded bit. In [8], a bandpass Gaussian FBG optical filter in which the bandwidth can be continuously adjusted is presented. Besides the inherent advantages of FBGs (all-fiber approach, low insertion loss, and the potential for low cost), this scheme can provide a direct implementation of an Nth-order differentiator, avoiding the concatenation of N first order differentiators devices. Furthermore, this approach has the possibility of adjusting the bandwidth and tuning the central wavelength [8].

2. Theory

The temporal operation of a Nth-order differentiator can be expressed as fout(t)=dNfin(t)/dtN,where fin(t) and fout(t) are the complex envelopes of the input and output of the system respectively, and t is the time variable. We can also express this in frequency domain as,

Fin(ω)=(jω)NFout(ω) where Fin(ω) and Fout(ω) are the spectral functions of fin(t) and fout(t),

respectively (ω is the base-band frequency, i.e., ω=ωopt-ω0, where ωopt is the optical

frequency, and ω0 is the central optical frequency of the signals). Thus, the spectral response of the ideal Nth-order differentiator is:

( )( ) j ( )N

out inF Fω ω ω=

( )( ) ( ) ( ) jN

N out inH F Fω ω ω ω= = (1)

Moreover, in a real system we have a finite bandwidth, so we have to window the spectral response function:

( ), ( ) ( ) ( ) j ( )N

N w NH H W Wω ω ω ω ω= = (2)

where W(ω) is a window function, which must be selected to meet:

operative band

( ) ( ) transient band

0 band of interest

H trans

ω ω ω

where the operative band is the region where the differentiator operation works with accuracy, and trans(ω) is a transient function which must have low amplitude values at the edges of the band of interest in order to avoid an abrupt discontinuity. Notice that not any window function verifies this condition on trans(ω), even in the case of a window function presenting low values at the edges of the band of interest.

The objective is to obtain a spectral response of the whole system (composed by the two

FBGs), Hsyst(ω), proportional to the differentiator spectral response:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )1/ 2

,expsyst a b a b a b N wH H H R R j Hω ω ω ω ω φ φ ω= = + ∝ (4)

where Ha(ω), Hb(ω), Ra(ω), Rb(ω), φa(ω), φb(ω) are the spectral response in reflection, reflectivity and phase of the FBGs. In this approach we assume that FBGb is a dispersion compensator, so we can consider that Rb(ω) presents an ideal flat-top response in the band of interest, so the shape of the reflectivity is influenced by FBGa solely. Thus, we have:

,( ) ( ) ( ) ( )N

a syst N wR H H Wω ω ω ω ω∝ ∝ = (5)

Regarding the phase, we have two oppositely linearly chirped FBGs, so

( ) ( )a b aφ ω φ ω φ= − = , where ( )φ ω denotes2 (φ ω ω 2∂ ) ∂ , and aφ is a constant value,

which is obtained from the FBGa design. At this point, we present the theory to design the spectral shaper, FBGa. The refractive

index of FBGa can be written as:

2( ) ( ) ( ) cos )

av a a a

nn z n z A z z z

∆= + + (

where nav,a(z) represents the average refractive index of the propagation mode, ∆nmax,a

describes the maximum refractive index modulation, Aa(z) is the normalized apodization function, Λ0,a is the fundamental period of the grating, φa(z) describes the additional phase variation (chirp), and z ∈ [-La/2 ,La/2] is the spatial coordinate over the grating, with La the length of FBGa. In the following we consider a constant average refractive index

nav,a=neff,a+(∆nmax,a/2), where neff,a is the effective refractive index of the propagation mode. Notice that (1) implies that when N is odd, the differentiator spectral response presents a

π-phase shift at ω=0. In our approach, this condition is attained by introducing a π-phase shift

in the grating of FBGa at z=0. The chirp factor of FBGa, which is defined as 2

, (K a aC z zϕ 2= ∂ ) ∂ , and La can be calculated from [9]:

, ,4 /( )K a av a aC n c φ= − (7)

( ), ,2a a g a av aL c nφ ω= ∆ (8)

where c is the light vacuum speed, and ∆ωg,a is the FBGa bandwidth. It is well known that when a chirped FBG introduces an enough high dispersion, the spectral response of the grating is a scaled version of its corresponding apodization profile [10]. This high dispersion condition can be expressed as:

( )2/ 8a atφ π>> ∆ (9)

where ∆ta is the temporal length of the inverse Fourier transform of the FBGa spectral response without the dispersive term, which can be calculated from the temporal length of

,N wH ω− ℑ

, where 1−ℑ denotes inverse Fourier transform. It is worth noting that the

broader (narrower) bandwidth, the shorter (longer) minimum length of the grating required for FBGa to map properly the spatial profile on the spectral response [6].

If condition (9) is met and Born approximation is applicable, both temporal and spectral envelopes reproduce the shape of the apodization profile function, so we can obtain the apodization profile which corresponds to Ra(ω) [11]. In the case of high reflectivity an approximate function [12] must be applied over Ra(ω). In particular, a logarithmic based function is used in our approach, and we obtain an expression which is valid for both weak and strong gratings:

( ) ( ) ,,

0 max,

32( ) ln 1 g a

a a sign C zL a a

nA z R

πω φ∆

= − −

3. Examples and results

Here we give three design examples for 1st, 2nd and 4th order differentiators, which are numerically simulated. For all the examples we assume a carrier frequency (ω0/2π) of 193 THz, an effective refractive index neff,a=1.45 for FBGa, a band of interest (∆ω/2π) of 5 THzcentred at ω0 (ω0-∆ω/2 ≤ ωopt ≤ ω0+∆ω/2), a FBGa bandwidth ∆ωg,a=∆ω, and a maximum reflectivity for FBGa of 90 %.

In the first example we design a system which implements a 1st-order differentiator. The

corresponding ideal spectral response is H1(ω)=jω, and we choose a function based on a

hyperbolic tangent as window, Wth(ω)=(1/2)[1+tanh(4-|16ω /∆ω|)]:

j1+tanh 4- 16

2 2( ) ( ) ( ) ( ) =

syst w thH H H W

ω ω ωω

ωω ω ω ω

∆≤

The spectral shaper (FBGa) must be designed to properly map the desired spectral

response. From the temporal length of ( )1

1,wH ω− ℑ

we obtain ∆ta≈2 ps. Using

expression (9) we have 25 21.5915 10 /a s radφ −>> × , and choose

23 21.6 10a s radφ −= − × . Moreover, the odd order of 1st differentiator implies that π-

phase shift must be introduced in FBGa at z=0. The desired reflectivity for FBGa in the band of interest is obtained from (5):

( ) ( ) 2

, ,( ) 1+tanh 4- 16 a R g a g aR Cω ω ω ω ω = ∆ ∆

where CR=2.8494 is a normalization constant selected to get a maximum reflectivity

max(Ra(ω))=0.9. Using (10) at the maximum reflectivity and apodization, with max(Aa(z))=1,

we obtain ∆nmax,a=1.4484 x 10-3, nav,a=1.45072.

Additionally, using (7) and (8), we obtain CK,a=5.8543 x 106 rad/m2 and La=5.1936 cm.

The fundamental period of the grating FBGa can be obtained from Λ0,a=πc/(navω0)=535.36 nm. The period of FBGa varies from 542.39 nm to 528.51 nm along the length of the grating. This supposes a relative period variation of 2.591 %, which is within accuracy of currently available fabrication techniques [13].

Finally, using (10) we obtain the apodization profile function:

2( ) ln 1 1+tanh 4- 16

z zA z C C

= − −

where CA=0.659 is a normalization constant selected to get a normalized apodization profile

function 0≤Aa(z)≤1, and N=1. Moreover, the dispersion parameter of the dispersion compensator (FBGb) is

( ) 23 21.6 10b a s radφ ω φ= − = − × , which must present a flat top spectral response in the

band of interest. As a second example we design a 2nd order differentiator using the same methodology. We

obtain again ∆tg,a≈2 ps, so we have the same technological parameters as in the first example. The apodization profile which is given by (13), where CR= 13.568, and N=2 (same La and CA

as for first example).Finally, in a third example, we design a 4th order differentiator. We have again ∆tg,a≈2 ps,

and the same technological parameters, with an apodization profile described by (13), where CR= 243.1, and N=4 (same La and CA as for first example).

Figure 2 shows the results from our numerical simulations corresponding to these examples. Figures 2(a), 2(b), and 2(c) show the phase response of the spectral shaper (FBGa), the dispersion compensator (FBGb), and the whole system, for the first, second and third example, respectively. Figures 2(d), 2(e), and 2(f) compare the spectral responses of the spectral shaper (FBGa) and the ideal differentiator, for the first, second and third example, respectively. Figures 2(g), 2(h), and 2(i) show the temporal waveform of the input pulse and the output pulses of the designed system, and the ideal differentiator, for the first, second and third example, respectively. We have applied an input gaussian envelope pulse, described by

fin(t) ∝ exp(-t2/(2σ2)), with σ = 500 fs (FWHM= 1.177 ps).

It is worth noting that in our simulations we have supposed ideal cancellation of dispersions of both FBGs. In practice this requires a careful monitoring of the chirp profile of each grating in order to avoid excessive phase ripple. This has been achieved in [7], even with tunable chirp in [8]. Considerations about dispersion and phase ripple tolerance can be found in [8] and [14].

Fig. 2. Plots (a), (b), and (c) show the phase response of the spectral shaper (dotted), the dispersion compensator (dashed), and the whole system (solid). Plots (d), (e), and (f) show the spectral response corresponding to the spectral shaper (solid) for first, second and third example, and to ideal 1st, 2nd, and 4th order differentiator (dashed), respectively. Plots (g), (h), and (i) show the temporal waveforms of the input pulse (dashed), the output pulse corresponding to the system (solid) for first, second and third example, and the output pulse corresponding to ideal 1st, 2nd, and 4th order differentiator (dotted), respectively.

4. Conclusion

In this paper, we have presented an Nth-order differentiator based on a pair of oppositely chirped FBGs, and we have analytically designed and numerically simulated three examples, the 1st, 2nd, and 4th order differentiators.

In addition to the inherent advantages of FBGs, we find two main features that could be of practical relevance. Firstly, we can implement a Nth-order differentiator using a single device, which is more energetically efficient than the concatenation of N first order differentiators. Secondly, the proposed scheme allows tuning the central wavelength and adjusting the bandwidth [8] according to the input signal.

Acknowledgments

This work was supported by the Spanish Ministerio de Educacion y Ciencia under Project “Plan Nacional de I+D+I TEC2004-04754-C03-02”.

IEEE PHOTONICS TECHNOLOGY LETTERS, VOL. 19, NO. 6, MARCH 15, 2007 435

Grating Design of Oppositely Chirped FBGs forPulse Shaping

Miguel A. Preciado, Víctor García-Muñoz, and Miguel A. Muriel, Senior Member, IEEE

Abstract—In this letter, we analyze and develop the requiredbasis for a precise grating design in a scheme based on twooppositely chirped fiber Bragg gratings, and apply it in severalexamples which are numerically simulated. We obtain the inter-esting result that the broader bandwidth of the reshaped pulse,the shorter gratings required.

Index Terms—Gratings, optical fiber dispersion, optical filters,optical pulse shaping.

I. INTRODUCTION

OPTICAL pulse shaping and manipulation are critical fea-

tures for ultrafast optics, playing a central role in the area

of optical communication. In this letter, we focus our attention

in optical pulse shaping using a scheme based on two oppo-

sitely chirped fiber Bragg gratings (FBGs). As it can be seen

in Fig. 1, this scheme includes two chirped FBGs connected by

optical circulators. Note that we can use two circulators of three

ports or a single circulator of four ports. The first FBG, FBG , is

the spectral shaper, and provides the spectral response for pulse

shaping, and the second one, FBG , cancels the dispersion in-

troduced by the first grating. Obviously, the order of the FBGs

can be arbitrarily selected.

This scheme has been previously proposed, and experimen-

tally demonstrated in [1] and [2]. In [1], phase-shifts are intro-

duced in the shaper FBG to generate spectral-phase-encoded bit.

In [2], a bandpass Gaussian FBG optical filter inwhich the band-

width can be continuously adjusted is presented. We have found

the necessity of exhaustively analyzing and developing the re-

quired basis to make a precise design. Three examples of design

are developed, with corresponding numerical simulations.

II. THEORY

Suppose a linearly chirped FGB with reflected spectral re-

sponse , where is the angular

frequency, is the reflectivity, and is the phase. The

refractive index can be written as

where represents the average refractive index of the

propagation mode, describes the maximum refractive

Manuscript received November 21, 2006; revised January 16, 2007. Thiswork was supported by the Spanish Ministerio de Educacion y Ciencia underProject Plan Nacional de I+D+I, TEC2004-04754-C03-02.

The authors are with ETSI Telecomunicación, Universidad Politécnica deMadrid (UPM), 28040 Madrid, Spain (e-mail: miguel.preciado@tfo.upm.es).

Digital Object Identifier 10.1109/LPT.2007.892901

Fig. 1. Schematic diagram of the system.

index modulation, is the normalized apodization function,

is the fundamental period of the grating, describes the

additional phase variation (chirp), and is the spatial

coordinate over the grating, with the length of the grating.

In the following, we consider a constant average refractive

index , where is the effective

refractive index of the propagation mode. The additional phase

variation can be expressed as , where

represents the chirp factor, and can be calculated from [3]

where is the first-order dispersion coef-

ficient. Moreover, the length of the grating can be obtained

from the following expression [3]:

where is the light vacuum speed, and is the grating band-

width. It is well known that when a chirped FBG introduces a

high enough dispersion, the apodization profile maps its spec-

tral response [4]. It can be deduced that the dispersion condition

of real-time Fourier transform [3] can be applied. Effectively, if

this condition is met, we have the same envelope in both the

spectral response and the impulse response. This condition can

be expressed as

where is the temporal length of the inverse Fourier trans-

form of the FBG spectral response without the dispersive term,

which is approximately equal to the temporal length of the

pulse reshaped. Furthermore, in the weak-grating limit (Born

Authorized licensed use limited to: IEEE Xplore. Downloaded on April 18, 2009 at 19:50 from IEEE Xplore. Restrictions apply.

436 IEEE PHOTONICS TECHNOLOGY LETTERS, VOL. 19, NO. 6, MARCH 15, 2007

approximation), the apodization profile maps the impulse re-

sponse envelope, so it also maps the spectral response. Notice

that this high dispersion condition is not required if the FBG

response is eigenfunction of the continuous Fourier transform

(e.g., Gaussian and Hermite-Gaussian functions), because then

the apodization profile maps its spectral and impulse response

for any dispersion value. From (3) and (4) we can deduce

where TBP is approximately equal to the time-

bandwidth product of the desired pulse. So from (5) we obtain

that, for a given desired pulse shape, the shorter temporal length

of the pulse, the broader its spectrum, and the shorter minimum

length of the grating. The bandwidth fixes the product chirp-

length of the grating and the shorter temporal length of the

pulse, the less dispersion required, the shorter length and the

greater chirp of the grating.

When this scheme is used for a CDMA approach similar to

[1], we can use (5) with TBP , where TBP is

the time-bandwidth product of one spectral chip, and number

of chips, so . In the case

of designing a bandwidth tunable system as used in [2], we must

apply (5) with the minimum tunable bandwidth, . So,

we obtain . Note that this

condition was not required in [2] since, as it have been said, a

Gaussian response does not require a minimum dispersion con-

dition.

If condition (4) is met and the FBG operate in the weak-

grating limit (Born approximation), we can obtain the apodiza-

tion profile which corresponds to a desired reflectivity

[5], that can be written as

where is central angular frequency and is related to the

apodization function as

where the sign of is equal to the sign of . In the case of high

reflectivity an approximate function [6] must be applied over

the desired reflectivity . In particular, here a logarithmic-

based function is proposed

III. EXAMPLES AND RESULTS

As instance we design three examples in which Gaussian

pulses from a short pulse source are reshaped in triangular ones.

We develop exhaustively the first example, and more briefly the

second and third ones. For all the examples, we assume a car-

rier frequency of 193 THz, and an effective refractive

index for FBG .

In the fist example, we suppose that each Gaussian

input pulse has an full-width at half-maximum (FWHM)

of 0.7496 ps (spectral standard deviation of Thz),

and the total desired width for the reshaped triangular

pulse is 10 ps. Thus, the spectral function for the input

pulse and output pulse are proportional to

and , respectively,

where rad/s and rad/s.

Notice that and , as well as all the spectral func-

tions in the following, are described as analytical signals (only

defined at ). We consider a band of interest of

2 THz centered at . The

spectral response of the system meets the following condition:

where and are the spectral response and the

phase of the system, , , , are the

reflectivity and phase of both FBGs. Thus, we obtain

We suppose an ideal flat-top response for the FBG , so the

shape of the reflectivity is influenced by FBG solely, and we

find that

where is designed to get a maximum reflectivity

value of 10% at . Using expression (4), we have the

dispersion parameter of FBG , s rad,

where have been used ps. We choose

s rad. Moreover, using (8) for FBG with

(11) at (where is imposed), we ob-

tain , , and

nm. Also, we make use of (2) to calculate the

values rad/m . From (3), we obtain

cm, where have been assumed.

Using (7), (8), and (11) we derive

Additionally, the FBG must be designed as a dispersion

compensator with s rad, and

a flat top response in the band of interest. Fig. 2(a) shows

the output pulse of the system in temporal domain obtained

from numerical simulation. Notice that it exhibits the desired

triangular shape.

As a second example, suppose we have the same signals as

in the first example, but we intentionally choose a dispersion

PRECIADO et al.: GRATING DESIGN OF OPPOSITELY CHIRPED FBGs FOR PULSE SHAPING 437

Fig. 2. Simulation results. Plots (a) and (b) show the temporal domain results:(a) input pulse (dashed line) and output pulse for first (solid line) and second(dotted line) examples; (b) input pulse (dashed line) and output pulse (solid line)for third example. Plots (c) and (d) show the FBG spectral response: (c) ideal(solid line) and simulated for first (undistingable from ideal) and second (dottedline) examples; (d) ideal (solid line) and simulated for third example (dottedline).

value s rad, which is not large enough to

meet (4). Imposing again a maximum reflectivity of 10%, we

obtain , ,

nm, rad/m . The apodiza-

tion profile is again described by (12), with cm.

Fig. 2(a) shows the output pulse of the system in temporal do-

main obtained by numerical simulation. As it can be seen, we

obtain neither the desired shape nor width in the output pulse.

Finally, as a third example, we assume we have scaled ver-

sions of the same signals (ten times shorter), so we have an input

Gaussian pulse with an FWHM of 74.96 fs, and a desired re-

shaped triangular pulse with a total width of 1 ps. Following

the former process, we obtain s rad,

and we choose s rad. Imposing again

a maximum reflectivity 10%, we obtain

, , nm,

rad/m . The apodization profile is described by (12), with

cm. As predicted by (5), compared with the first ex-

ample, we have a ten times shorter length for a ten times broader

spectrum. Fig. 2(b) shows the output pulse of the system in tem-

poral domain obtained by simulation, where we get the desired

triangular shape.

Fig. 2(c) and (d) compares the simulated and ideal spectral

response of FBG . As can be seen, in the first and third exam-

ples, the ideal and simulated responses are very similar (undis-

tinguible for first example). However, in the second example,

FBG does not map properly the spatial profile on the spectral

response because of a bad choice of grating length.

In our simulations, we have supposed ideal cancellation of

dispersions of both FBGs. In practice, this requires a careful

monitoring of the chirp profile of each grating to avoid excessive

phase ripple. This has been achieved in [1], even with tunable

chirp in [2]. Considerations about dispersion and phase ripple

tolerance can be found in [2] and [7].

IV. CONCLUSION

We have developed a theoretical basis to design a scheme

based on two oppositely chirped FBGs. The numerically simu-

lated examples show how to use it, and validate this theoretical

work. We have deduced that the broader the handled spectrum,

the shorter the minimum length of the grating, which can be ob-

served in the examples results. Note also that the length of the

grating is not fixed, so it is possible to set a length to obtain the

most realizable technological parameters.

REFERENCES

[1] A. G. Jepsen, A. E. Johnson, E. S. Maniloff, T. W. Mossberg, M.J. Munroe, and J. N. Sweetser, “Fibre Bragg grating based spectralencoder/decoder for lightwave CDMA,” Electron. Lett., vol. 35, pp.1096–1097, 1999.

[2] I. C. M. Littler, M. Rochette, and B. J. Eggleton, “Adjustable bandwidthdispersionless bandpass FBG optical filter,” Opt. Express, vol. 13, pp.3397–3407, 2005.

[3] J. Azaña and M. A. Muriel, “Real-time optical spectrum analysis basedon the time-space duality in chirped fiber gratings,” IEEE J. Quantum

Electron., vol. 36, no. 5, pp. 517–527, May 2000.[4] J. Azaña and L. R. Chen, “Synthesis of temporal optical waveforms by

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[6] B. Bovard, “Derivation of a matrix describing a rugate dielectric thinfilm,” Appl. Opt., vol. 27, pp. 1998–2004, 1988.

[7] I. C. M. Littler, L. Fu, and B. J. Eggleton, “Effect of group delay rippleon picosecond pulse compression schemes,” Appl. Opt., vol. 44, pp.4702–4711, 2005.

Apéndice C

Índices de Figuras, Tablas, y

Nomenclatura

Índice de guras

2.1. Cavidad Fabry-Perot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2. Transmisividad y reectividad de un Fabry-Perot simétrico, para va-

rios valores de reectividad de espejos R. . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3. Cavidad Gires-Tournois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4. Fase espectral en reexión de un Gires-Tournois para varios valores

de reectividad de espejo frontal R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5. Comparativa de un anillo resonante con dos acoplos, y un interferó-

metro Fabry-Perot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.6. Comparativa de un anillo resonante con un acoplo, y un interferóme-

tro Gires-Tournois. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.7. Ejemplos de cavidades ópticas de dos y tres dimensiones . . . . . . . 11

2.8. Estructuras ópticas mediantes (a) reectores y (b) anillos acoplados. 12

2.9. Estructuras ópticas basadas en combinaciones de anillos resonante:

(a) en cascada, (b) acoplados en círculo, (c) embebidos, y (d) acopla-

dos en matriz 2×2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.10. Ejemplos de varias estructuras periódicas: (a) pila de capas de dieléc-

tricos (b) FBG (c) CROW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.11. Ejemplos de cristales fotónicos de (a) una, (b) dos y (c) tres dimensiones 16

ÍNDICE DE FIGURAS

3.1. Reectividad y transmisión típicos de una FBG uniforme . . . . . . . 20

3.2. Reectividad y retardo de grupo típicos de una LC-FBG, suponiendo

una función de perl de grating apodizado de tope plano. . . . . . . . 22

3.3. Montajes de una FBG en reexión empleando un circulador óptico o

un acoplador óptico 2× 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.4. FBG en transmisión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.5. Respuesta impulsiva y reectividad correspondientes a una FBG de

perl de grating triangular, para (a) baja, (b) media y (c) alta reec-

tividad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.6. Perles de grating para una FBG de periodo uniforme, obtenidos

mediante inverse scattering para conseguir una respuesta impulsiva

en reexión de envolvente triangular, para (a) baja, (b) media y (c)

alta reectividad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.7. Ejemplos de mapeo espacio-frecuencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.1. Cavidad óptica simple en sus dos posibles implementaciones, basadas

en una anillo resonante, y una cavidad tipo Gires-Tournois. . . . . . . 32

4.2. Representación del retardo de grupo en función de la frecuencia, para

distintos valores de φ0 (φ0 = 0 en continua, φ0 = π/2 en discontinua,

y φ0 = π en punteado) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.3. Representación del retardo de grupo en función de la frecuencia, para

distintos valores de r (0.9 en discontinua, 0.7 en continua, y 0.5 en

punteada) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.4. Diagrama polo-cero de la cavidad óptica simple. . . . . . . . . . . . . 35

4.5. Respuesta impulsiva de la cavidad óptica para diferentes valores de r 35

4.6. Efecto de las pérdidas en la amplitud de la respuesta espectral repre-

sentada en un ancho espectral igual a un FSR, donde se ha tomado

r = 0.5, y valores de pérdidas a =0.95, 0.9, 0.75, y 0.5, representa-

dos en línea continua, discontinua, punteada, y discontinua punteada,

respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.7. Diagrama polo-cero de una estructura óptica de orden 4. . . . . . . . 38

4.8. Ejemplos de coecientes |hn| de la respuesta impulsiva para estructu-

ras de orden 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.9. Estructuras ópticas paso-todo en cascada: mediante (a) anillos aco-

plados y (b) Gires-Tournois (GTs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.10. Estructuras ópticas paso-todo acopladas: (a) reectores y (b) anillos

acoplados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.11. Agregación de pares polo-cero en estructura híbrida. . . . . . . . . . 41

ÍNDICE DE FIGURAS

4.12. Ejemplos de estructuras ópticas paso-todo basadas en anillos resonantes. 42

5.1. Ejemplos de conformadores de pulsos ópticos. . . . . . . . . . . . . . 47

5.2. Ejemplos de derivadores temporales ópticos. Las señales temporales

están representadas como la amplitud de su envolvente compleja, don-

de la linea punteada indica un desfase de π rad respecto de la línea

continua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.3. Ejemplos de integradores temporales ópticos. Las señales tempora-

les están representadas como la amplitud de su envolvente compleja,

donde la linea punteada indica un desfase de π rad respecto de la

línea continua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.4. Ejemplos de generadores de trenes de pulsos. . . . . . . . . . . . . . . 51

6.1. Esquema del procesador fotónico basado en dos FBGs opuestamente

chirpeadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.2. Esquema del sistema conformador de pulsos . . . . . . . . . . . . . . 56

6.3. Resultados de simulación: (a) pulso de entrada (línea discontinua) y

pulso de salida para primer (linea continua) y segundo (linea puntea-

da) ejemplo; (b) pulso de entrada (línea discontinua) y pulso de salida

(línea continua) para el tercer ejemplo; (c) amplitud de la respuesta

espectral ideal (línea continua), y resultado de simulación para el pri-

mer ejemplo (indistinguible de la ideal), y para el segundo ejemplo

(línea punteada);(d) amplitud de la respuesta espectral ideal (línea

continua), y resultado de simulación para el tercer ejemplo (línea

punteada). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.4. Esquema del sistema propuesto para la derivación temporal óptica de

orden arbitrario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.5. Las grácas (a), (b) y (c) muestran la amplitud de la respuesta es-

pectral correspondiente al conformador espectral (continuo) para el

primer, segundo y tercer ejemplo, y para el derivador ideal de primer,

segundo y cuarto orden (discontinuo), respectivamente. Las grácas

(d), (e) y (f) muestran la fase del conformador espectral (punteado),

del compensador de dispersión (discontinuo), y del sistema completo

(continuo), respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

ÍNDICE DE FIGURAS

6.6. Las grácas (a), (b), y (c), muestran las formas temporales de los

pulsos de entrada (discontinua), el pulso de salida del derivador ideal

(continuo), y el pulso de salida correspondiente al sistema diseñado

en el primer, segundo y tercer ejemplo (punteados, indistinguibles del

continuo), respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.1. Esquema de una FBG en transmisión. La FBG procesa la señal que se

encuentra en el canal WDM correspondiente. La señal de salida inclu-

ye también la parte de señal correspondiente a los restantes canales

WDM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7.2. Perl del grating obtenido mediante inverse scattering en represen-

tación positiva/negativa, donde cada cruce por cero de κ (z) implica

un salto de fase de π en el grating. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7.3. Respuesta espectral en transmisión de (a) FBG1, y (b) el sistema

compuesto por la concatenación de FBG1 y FBG2. . . . . . . . . . . 73

7.4. Resultados temporales de los ejemplos de derivador con una FBG en

modo transmisión, con pulsos de entrada gaussianos de 7-ps. . . . . . 74

7.5. Amplitud de la respuesta espectral de la FBG (a) en reexión, y (b) en

transmisión, correspondientes a ideal limitado en banda (continuo),

aproximación gaussiana (punteado), y aproximación lorentziana (dis-

continuo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

7.6. Perl de grating obtenido mediante inverse scattering en representado

en diferentes escalas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7.7. Respuesta espectral en transmisión de la FBG diseñada (continuo) y

el derivador ideal (punteado) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7.8. Formas de onda temporales del pulso de entrada (discontinuo) y pulso

de salida correspondientes la FBG (continuo) y el derivador ideal

(punteado), que son difícilmente distinguibles. . . . . . . . . . . . . . 78

7.9. Longitud de grating (rectángulos, linea punteada) y coeciente de

correlación cruzada, Corr (círculos, linea discontinua), que representa

la precisión de operación. Trece FBGs se han diseñado y simulado,

asumiendo la misma banda de operación, para diferentes caídas de

transmisión con valores que van de 20 a 80 dB, y con una señal de

entrada gaussiana de 7-ps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8.1. Esquema del sistema. El tren de pulsos periódico es procesado por

una LC-FBG. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

ÍNDICE DE FIGURAS

8.2. Las grácas (a) y (d) muestran la amplitud de la respuesta espectral

correspondientes a la FBG (continuo), y al derivador ideal (disconti-

nuo), para el primer y segundo ejemplo, respectivamente. Las formas

de onda temporales se muestran en las grácas (b) y (c) para el primer

ejemplo, y en (c) y (f) para el segundo, donde se representa el pulso

de entrada (punteado) y el pulso de salida correspondientes a la FBG

simulada (continuo), y al derivador ideal (punteado, indistinguible en

(b) y (c), y difícilmente distinguible en (e) y (f) ). . . . . . . . . . . . 85

9.1. Función de perl de grating obtenido para la FBG integradora me-

diante un algoritmo de inverse scattering. . . . . . . . . . . . . . . . . 89

9.2. Amplitud y fase de la respuesta espectral correspondiente a la FBG

diseñada (continuo), y a un integrador ideal (punteado). . . . . . . . 90

9.3. Resultados de las simulaciones numéricas, donde los pulsos de en-

tradas en (a), (b), y (c) son respectivamente la derivada primera de

un pulso gaussiano de 1 ps, un pulso gaussiano de 1 ps, y la derivada

primera de un pulso gaussiano de 100 ps (demasiado largo para ser co-

rrectamente procesado). Las grácas muestran las formas temporales

del pulso de entrada (discontinuo) y de los pulsos de salida corres-

pondientes a la FBG (continuo), y al integrador ideal (puntado), que

son difícilmente distinguibles en los dibujo (a) y (b). . . . . . . . . . . 91

9.4. Eciencia energética (rectángulos, linea puntada), y coeciente de co-

rrelación cruzada normalizado (círculos, línea discontinua), que esti-

ma la similitud entre los pulsos de salida correspondientes al integra-

dor ideal y a la FBG diseñada, y representa la precisión de operación.

Ocho FBGs integradoras, de longitudes 24, 12, 6, 3, 1.5, 0.75, 0.375 y

0.1875 cm, y una reectividad máxima del 80%, se diseñan, simulan,

y aplican sobre la derivada primera de un pulso gaussiano de 10 ps. . 92

10.1. Arquitectura del sistema. El tren periódico de pulsos es procesado me-

diante una estructura óptica paso-todo. Se proponen ocho estructuras

ópticas diferentes, donde se muestra la implementación en anillos re-

sonantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

10.2. Cavidad óptica simple. El tren periódico de pulsos es procesado por la

cavidad óptica paso-todo. Dos posibles implementaciones, basadas en

una anillo resonante, y una cavidad tipo Gires-Tournois, son propuestas. 97

10.3. Figura de mérito y función gradiente para factores 2× (grácas (a) y

(d)), 3× (grácas (b) y (e)), and 4× (grácas (c) y (f)). . . . . . . . 98

ÍNDICE DE FIGURAS

10.4. Intensidad del tren de pulsos de salida en un periodo del tren original

de entrada (10 ps), para 2×(a), 3× (b), y 4× (c), correspondientes al

primer, segundo, y tercer ejemplo, respectivamente. . . . . . . . . . . 99

10.5. Estructuras ópticas paso-todo para MTRP uniforme para 3×, y 4×,compuestas por dos cavidades idénticas combinadas en cascada o en

paralelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

10.6. Figura de mérito y función de gradiente para 3× y conguración

acoplada [(a) y (e)], 3× y conguración cascada [(b) and (f)], 4× y

conguración acoplada [(c) y (g)], y 4× y conguración cascada [(d)

y (h)]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

10.7. Estructuras ópticas paso-todo para MTRP de envolvente uniforme

para (a) 6× y (b) 12×. Estas estructuras están compuestas por las

estructuras propuestas para 2×, 3× y 4×, que se marcan mediante

un rectángulo punteado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

10.8. Intensidad del tren de pulsos de salida para 3× (azul), 4× (rojo), 6×(verde), y 12× (amarillo) correspondientes a las estructuras ópticas

diseñadas en los ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

10.9. Coeciente de error de uniformidad de envolvente, Err, para las es-

tructuras diseñadas en los ejemplos correspondientes a 3× (azul), 4×(rojo), 6× (verde), y 12× (amarillo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

11.1. Arquitectura del sistema. Un pulso único ultra-corto se procesa me-

diante una estructura óptica paso-todo de NC cavidades, generando

una ráfaga de NP pulsos de salida. Se proponen dos tipos de cavi-

dades acopladas, cavidades lineales mediante secuencias de espejos

parcialmente reectantes, y anillos resonantes acoplados. . . . . . . . 114

11.2. Mapa de color de la representación en falso color de la gura de mérito

mediante la expresión log10 (1− FM), para una clara identicación

de las soluciones precisas, que corresponden con los valores negativos

mas bajos (celdas azules). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

11.3. Ráfaga de salida de 9 pulsos obtenida mediante la simulación numé-

rica de la estructura óptima de 4 cavidades, para un pulso de entrada

gaussiano de 200 fs FWHM a dos frecuencias centrales diferentes: 193

THz (linea azul-continua), y 195 THz (linea roja-punteada), difícil-

mente distinguibles. Los máximos de cada pulso han sido marcados

respectivamente con un triángulo azul hacia la izquierda, y un trián-

gulo rojo hacia la derecha, apareciendo una estrella de seis puntas

cuando ambos prácticamente coinciden. . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

A.1. Técnicas básicas de láser pulsado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

A.2. Comparación de las señales temporales en tres periodos correspon-

dientes a relaciones de fases arbitrarias entre modos, y relaciones de

fase bloqueadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

A.3. Técnicas de Mode-locking activo y pasivo. . . . . . . . . . . . . . . . 131

Índice de tablas

10.1. Resumen de parámetros para los ejemplos de 2×, 3×, y 4×, conside-rando un tren de pulsos de entrada a 100 GHz. . . . . . . . . . . . . . 99

10.2. Resumen de parámetros óptimos de las cavidades correspondientes a

2×, 3×, y 4× MTRP uniforme, para a = 1, a = 0.95, y a = 0.9. . . . 103

10.3. Efecto de la desviación relativa de la frecuencia central del láser de

entrada respecto del espectro de la cavidad en la uniformidad del tren

de pulsos salida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

10.4. Efecto de la diferencia de relativa de los valores de φ0 en estructuras

de cavidades idénticas en la uniformidad del tren de pulsos salida. . . 107

10.5. Efecto de la desviación de relativa del coeciente de reexión de las

cavidades en la uniformidad del tren de pulsos salida. . . . . . . . . . 108

10.6. Efecto de la desviación de relativa del coeciente de acoplamiento de

las cavidades en la uniformidad del tren de pulsos salida. . . . . . . . 109

11.1. Pares de valores VA \ RE en decibelios para las soluciones óptimas

encontradas con diferentes valores de NC y NP . . . . . . . . . . . . . 117

11.2. Rendimiento de la estructura diseñada en términos de gura de mé-

rito (FM), variación de amplitud (VA), razón de extinción (RE), y

eciencia energética, considerando diferentes valores de pérdidas de

potencia (ida y vuelta, por cavidad). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

ÍNDICE DE TABLAS

Nomenclatura

F Operador transformada de Fourier

H Operador transformada de Hilbert

ω Frecuencia angular banda base

ω0 Frecuencia angular central

ωopt Frecuencia angular óptica

AWG Arrayed waveguide grating

C-FBG Chirped ber Bragg grating, red de difracción de Bragg en bra chirpeada

CROW Coupled resonator optical waveguide

FBG Fiber Bragg grating, red de difracción de Bragg en bra

FSR Free spectral range, rango espectral libre

FWHM Full width half maximum, ancho completo a mitad del máximo

IDFT Inverse discrete Fourier transform, Inversa de la transformada discreta de

Fourier

j Unidad imaginaria

LC-FBG Linearly chirped ber Bragg grating, red de difracción de Bragg en bra

linearmente chirpeada

LÁSER Light amplication by stimulated emission of radiation

MTRP Multiplicación de la tasa de repetición de pulsos

OCDMA Optical code division multiple access

OTDM Optical time division multiplexing, multiplexación óptica por división en

tiempo

ÍNDICE DE TABLAS

SIMO Single input multiple output, entrada simple salida múltiple

SPM Self-phase modulation, auto-modulación de fase

THL Transformada de Hilber logarítmica

WDM Wavelength Division Multiplexing, multiplexación por división en longitud

de onda

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