aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

Teorema de Stokes - aplicaciones

Jana Rodriguez HertzCálculo 3

IMERL

16 de mayo de 2012

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

teorema de stokes

teorema de stokes

teorema de stokesD región de Green

Φ : D → S superficie paramétrica ∂S orientada como ∂DX : S → R3 campo vectorial C1

⇒ ∫∫S

rot X .d~S =

∫∂S

Xdα

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

teorema de stokes

teorema de stokes

teorema de stokesD región de GreenΦ : D → S superficie paramétrica ∂S orientada como ∂D

X : S → R3 campo vectorial C1

⇒ ∫∫S

rot X .d~S =

∫∂S

Xdα

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

teorema de stokes

teorema de stokes

teorema de stokesD región de GreenΦ : D → S superficie paramétrica ∂S orientada como ∂DX : S → R3 campo vectorial C1

⇒ ∫∫S

rot X .d~S =

∫∂S

Xdα

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

teorema de stokes

teorema de stokes

teorema de stokesD región de GreenΦ : D → S superficie paramétrica ∂S orientada como ∂DX : S → R3 campo vectorial C1

⇒ ∫∫S

rot X .d~S =

∫∂S

Xdα

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

aplicación 1 - electromagnetismo

la ley de faraday

ley de faradayE campo eléctrico

H campo magnéticoS superficie con borde C

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

aplicación 1 - electromagnetismo

la ley de faraday

ley de faradayE campo eléctricoH campo magnético

S superficie con borde C

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

aplicación 1 - electromagnetismo

la ley de faraday

ley de faradayE campo eléctricoH campo magnéticoS superficie con borde C

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

aplicación 1 - electromagnetismo

la ley de faraday

ley de faraday

∫C

Edα = circulación del campo elétrico alrededor de C

∫∫S

Hd~S = flujo del campo magnético a través de S

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

aplicación 1 - electromagnetismo

la ley de faraday

ley de faraday

∫C

Edα = circulación del campo elétrico alrededor de C

∫∫S

Hd~S = flujo del campo magnético a través de S

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

aplicación 1 - electromagnetismo

ley de faraday

ley de faraday

∫C

Edα = − ∂

∂t

∫∫S

Hd~S

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

aplicación 1 - electromagnetismo

ley de faraday

observaciónla ley de Faraday se deduce de una de las ecuaciones deMaxwell

ecuación de Maxwell

rot E = −∂H∂t

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

aplicación 1 - electromagnetismo

ley de faraday

observaciónla ley de Faraday se deduce de una de las ecuaciones deMaxwell

ecuación de Maxwell

rot E = −∂H∂t

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

aplicación 1 - electromagnetismo

ley de faraday

observaciónla ley de Faraday se deduce de una de las ecuaciones deMaxwell

ecuación de Maxwell

rot E = −∂H∂t

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

aplicación 1 - electromagnetismo

ley de faraday

demostración−∂H

∂t = rot E x Maxwell

∫C

Edα =

∫∫S

rot Ed~S x Stokes

− ∂

∂t

∫∫S

Hd~S =

−∫∫

S

∂H∂t

d~S =

∫∫S

rot Ed~S =

∫C

Edα

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

aplicación 1 - electromagnetismo

ley de faraday

demostración−∂H

∂t = rot E x Maxwell∫C

Edα =

∫∫S

rot Ed~S x Stokes

− ∂

∂t

∫∫S

Hd~S =

−∫∫

S

∂H∂t

d~S =

∫∫S

rot Ed~S =

∫C

Edα

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

aplicación 1 - electromagnetismo

ley de faraday

demostración−∂H

∂t = rot E x Maxwell∫C

Edα =

∫∫S

rot Ed~S x Stokes

− ∂

∂t

∫∫S

Hd~S =

−∫∫

S

∂H∂t

d~S =

∫∫S

rot Ed~S =

∫C

Edα

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

aplicación 1 - electromagnetismo

ley de faraday

demostración−∂H

∂t = rot E x Maxwell∫C

Edα =

∫∫S

rot Ed~S x Stokes

− ∂

∂t

∫∫S

Hd~S = −∫∫

S

∂H∂t

d~S

=

∫∫S

rot Ed~S =

∫C

Edα

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

aplicación 1 - electromagnetismo

ley de faraday

demostración−∂H

∂t = rot E x Maxwell∫C

Edα =

∫∫S

rot Ed~S x Stokes

− ∂

∂t

∫∫S

Hd~S = −∫∫

S

∂H∂t

d~S =

∫∫S

rot Ed~S

=

∫C

Edα

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

aplicación 1 - electromagnetismo

ley de faraday

demostración−∂H

∂t = rot E x Maxwell∫C

Edα =

∫∫S

rot Ed~S x Stokes

− ∂

∂t

∫∫S

Hd~S = −∫∫

S

∂H∂t

d~S =

∫∫S

rot Ed~S =

∫C

Edα

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

aplicación 1 - electromagnetismo

ley de faraday

demostración−∂H

∂t = rot E x Maxwell∫C

Edα =

∫∫S

rot Ed~S x Stokes

− ∂

∂t

∫∫S

Hd~S = −∫∫

S

∂H∂t

d~S =

∫∫S

rot Ed~S =

∫C

Edα

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

aplicación 2 - electromagnetismo

la ley de ampère

ley de ampèreJ densidad de corriente eléctrica

H campo magnético inducidoS superficie con borde C

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

aplicación 2 - electromagnetismo

la ley de ampère

ley de ampèreJ densidad de corriente eléctricaH campo magnético inducido

S superficie con borde C

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

aplicación 2 - electromagnetismo

la ley de ampère

ley de ampèreJ densidad de corriente eléctricaH campo magnético inducidoS superficie con borde C

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

aplicación 2 - electromagnetismo

la ley de ampère

ley de ampère

∫C

Hdα = circulación del campo magnético alrededor de C

∫∫S

Jd~S = corriente total que atraviesa S

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

aplicación 2 - electromagnetismo

la ley de ampère

ley de ampère

∫C

Hdα = circulación del campo magnético alrededor de C

∫∫S

Jd~S = corriente total que atraviesa S

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

aplicación 2 - electromagnetismo

ley de ampère

ley de ampère

∫C

Hdα =

∫∫S

Jd~S

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

aplicación 2 - electromagnetismo

ley de ampère

observaciónla ley de Ampère se deduce de una de las ecuaciones deMaxwell

ecuación de Maxwellestacionaria

rot H = J

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

aplicación 2 - electromagnetismo

ley de ampère

observaciónla ley de Ampère se deduce de una de las ecuaciones deMaxwell

ecuación de Maxwellestacionaria

rot H = J

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

aplicación 2 - electromagnetismo

ley de ampère

observaciónla ley de Ampère se deduce de una de las ecuaciones deMaxwell

ecuación de Maxwellestacionaria

rot H = J

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

aplicación 2 - electromagnetismo

ley de ampère

demostraciónrot H = J x Maxwell

∫C

Hdα =

∫∫S

rot Hd~S x Stokes

∫C

Hdα =

∫∫S

rot Hd~S =

∫∫S

Jd~S

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

aplicación 2 - electromagnetismo

ley de ampère

demostraciónrot H = J x Maxwell∫

CHdα =

∫∫S

rot Hd~S x Stokes

∫C

Hdα =

∫∫S

rot Hd~S =

∫∫S

Jd~S

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

aplicación 2 - electromagnetismo

ley de ampère

demostraciónrot H = J x Maxwell∫

CHdα =

∫∫S

rot Hd~S x Stokes

∫C

Hdα =

∫∫S

rot Hd~S =

∫∫S

Jd~S

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

aplicación 2 - electromagnetismo

ley de ampère

demostraciónrot H = J x Maxwell∫

CHdα =

∫∫S

rot Hd~S x Stokes

∫C

Hdα =

∫∫S

rot Hd~S

=

∫∫S

Jd~S

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

aplicación 2 - electromagnetismo

ley de ampère

demostraciónrot H = J x Maxwell∫

CHdα =

∫∫S

rot Hd~S x Stokes

∫C

Hdα =

∫∫S

rot Hd~S =

∫∫S

Jd~S

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

aplicación 2 - electromagnetismo

ley de ampère

demostraciónrot H = J x Maxwell∫

CHdα =

∫∫S

rot Hd~S x Stokes

∫C

Hdα =

∫∫S

rot Hd~S =

∫∫S

Jd~S

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

teorema

recordar

teoremaX : R3 \ (p1, . . . ,pn)→ R3

son equivalentes:

1∫C Xdα = 0 para toda C simple cerrada

2 X es de gradientes: X = ∇f3 rot X = ~0

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

teorema

recordar

teoremaX : R3 \ (p1, . . . ,pn)→ R3

son equivalentes:

1∫C Xdα = 0 para toda C simple cerrada

2 X es de gradientes: X = ∇f3 rot X = ~0

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

teorema

recordar

teoremaX : R3 \ (p1, . . . ,pn)→ R3

son equivalentes:1

∫C Xdα = 0 para toda C simple cerrada

2 X es de gradientes: X = ∇f3 rot X = ~0

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

teorema

recordar

teoremaX : R3 \ (p1, . . . ,pn)→ R3

son equivalentes:1

∫C Xdα = 0 para toda C simple cerrada

2 X es de gradientes: X = ∇f

3 rot X = ~0

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

teorema

recordar

teoremaX : R3 \ (p1, . . . ,pn)→ R3

son equivalentes:1

∫C Xdα = 0 para toda C simple cerrada

2 X es de gradientes: X = ∇f3 rot X = ~0

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

teorema

recordar

recordarya demostramos

1 ⇒ 2 ⇒ 3

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

teorema

recordar

recordarya demostramos

1 ⇒ 2 ⇒ 3

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

teorema

objetivo

objetivoveamos

3 ⇒ 1

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

teorema

demostración

demostración

supongamos que rot X ≡ ~0

sea C curva simple cerrada⇒ C bordea una superficie S∫

CXdα

=

∫∫S

rot Xd~S = 0

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

teorema

demostración

demostración

supongamos que rot X ≡ ~0sea C curva simple cerrada

⇒ C bordea una superficie S∫C

Xdα

=

∫∫S

rot Xd~S = 0

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

teorema

demostración

demostración

supongamos que rot X ≡ ~0sea C curva simple cerrada⇒ C bordea una superficie S

∫C

Xdα

=

∫∫S

rot Xd~S = 0

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

teorema

demostración

demostración

supongamos que rot X ≡ ~0sea C curva simple cerrada⇒ C bordea una superficie S∫

CXdα

=

∫∫S

rot Xd~S = 0

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

teorema

demostración

demostración

supongamos que rot X ≡ ~0sea C curva simple cerrada⇒ C bordea una superficie S∫

CXdα =

∫∫S

rot Xd~S

= 0

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

teorema

demostración

demostración

supongamos que rot X ≡ ~0sea C curva simple cerrada⇒ C bordea una superficie S∫

CXdα =

∫∫S

rot Xd~S = 0

aplicación 1 aplicación 2 aplicación 3

teorema

demostración

demostración

supongamos que rot X ≡ ~0sea C curva simple cerrada⇒ C bordea una superficie S∫

CXdα =

∫∫S

rot Xd~S = 0