1Matemática discreta. Teoría elemental de números

Teoría elemental de números

Matemática discreta

2Matemática discreta. Teoría elemental de números

Resultados previos

• Axioma: todo subconjunto no vacío de N tiene mínimo, con el orden usual en N.

• Toda sucesión decreciente en N converge.

3Matemática discreta. Teoría elemental de números

Divisibilidad

Divisibilidad

• Si a,b∈Z, a divide a b , a⎥ b, si ∃c∈Z tal que b=a·c. Se dice también que b es múltiplo de a o que a es divisor de b. En caso contrario, a∤b, a no divide a b.

4Matemática discreta. Teoría elemental de números

Divisibilidad

Propiedades de divisibilidad∀a, b, c ∈Z• 1⎥ a a⎥ a a⎥ 0• Si a⎥ b y b⎥ a, entonces a=± b• a⎥ b, entonces a⎥ b·c• a⎥ b y a⎥ c, entonces a⎥ bx+cy ∀x,y ∈Z• Si x=y+z, a⎥ x, a⎥ y, entonces a⎥ z ∀x,y,z ∈Z

5Matemática discreta. Teoría elemental de números

Divisibilidad

División euclídea

Dados a,b∈Z siendo b≠0, existen únicos q,r∈Z tales que a=b·q+r, con 0≤ r<⏐b⏐.

a: dividendo b: divisorq: cocienter: resto

6Matemática discreta. Teoría elemental de números

Números primos

Números primos

• Dado p∈N, p>1, p es primo si∀n∈N n⎥ p ⇒ n=p ó n=1

• Todo natural mayor que 1 es divisible por, al menos, un número primo.

7Matemática discreta. Teoría elemental de números

Teorema fundamental de la aritmética

Números primos

• ∀n∈N, n>1, existen únicos p1, .., pr∈N y existen únicos α1, .., αr∈N* tales que

n= p1α1...pr

αr

Todo natural se descompone de manera única como producto de potencias de números primos.

8Matemática discreta. Teoría elemental de números

Números primos

Máximo común divisorDados a,b∈Z no simultáneamente nulos.• d es divisor común de a y b si d⎥ a y d⎥ b.• El máximo común divisor de a y b, mcd(a,b),

es el mayor de los divisores comunes de a y b.• a y b son primos relativos si mcd(a,b)=1.• Si b≠0 y r es el resto de la división euclídea

entre a y b, entonces:– Los divisores comunes de a y b son divisores de r.– Los divisores comunes de b y r son divisores de a.

9Matemática discreta. Teoría elemental de números

Números primos

Algoritmo de Euclides• Dados a,b∈Z* y r el resto de la división

euclídea entre a y b, entoncesmcd(a,b) = mcd(b,r)

• Nos proporciona un algoritmo para calcular el mcd utilizando la división euclídea.

• mcd(a,b) = mcd(⏐a⏐,⏐b⏐)

10Matemática discreta. Teoría elemental de números

Números primos

Algoritmo de Euclides 2• Sean a,b∈Z+ con a≥b>0, llamamos r0=a y r1=b.Aplicamos sucesivas veces la división euclídea:

r0=q1·r1+ r2. 0< r2< r1r1=q2·r2+ r3. 0< r3< r2

................

rn-2=qn-1·rn-1+ rn 0< rn< rn-1rn-1=qn·rn+ rn+1 rn+1=0

Entonces, el mcd(a,b)=rn

11Matemática discreta. Teoría elemental de números

Números primos

ejemplo• mcd(6,9)=3

9=6·1+36=3·2+0

El último resto distinto de 0 es 3, el mcd.• mcd(24,62)=2

62=24·2+1424=14·1+1014=10·1+410=4·2+24=2·2+0

El último resto distinto de 0 es 2, el mcd.

12Matemática discreta. Teoría elemental de números

Números primos

Teorema de BezoutDados a,b∈N* y mcd(a,b)=d, entonces

∃x,y∈Z tales que d=ax+byIdentidad de Bezout

mcd(a,b)=1 ⇔ ∃x,y∈Z tales que 1=ax+by

• Dados a,b∈Z se verifica– Si p⎥ a·b y p es primo, entonces p⎥ a ó p⎥ b.– Si p⎥ a·b y mcd(a,p)=1, entonces p⎥ b.

13Matemática discreta. Teoría elemental de números

Ecuaciones diofánticas

Ecuaciones diofánticas

• Buscamos soluciones enteras de una ecuación.

• Ecuación diofántica lineal en dos variablesax+by=c a, b, c ∈Z

• Diofanto, s. III a.C.

14Matemática discreta. Teoría elemental de números

Ecuaciones diofánticas

Ecuaciones diofánticas 2

• Dados a,b,c∈Z, mcd(a,b)=d, y dada la ecuación ax+by=c– Si d∤c la ecuación no tiene soluciones enteras.– Si d⎥ c la ecuación tiene infinitas soluciones

enteras. A partir de una solución particular (x0,y0) calculamos el resto de las soluciones

x= x0+(b/d)·n

y=y0-(a/d)·nn ∈Z

15Matemática discreta. Teoría elemental de números

Ecuaciones diofánticas

Ecuaciones diofánticas 3• Para calcular una solución particular:

– dividimos ax+by=c por mcd(a,b)=d y obtenemos a´x+b´y=c´

– como mcd(a´,b´)=1, por la identidad de Bezouta´x+b´y=1 tiene solución.

– Encontramos la solución (x1,y1) de a´x+b´y=1 por el algoritmos de Euclides.

– Una solución particular es (c´x1,cý1).

16Matemática discreta. Teoría elemental de números

Ecuaciones diofánticas

ejemplo(1) 6x+4y=10. Como mcd(6,4)=2⎥10, dividimos la

ecuación por 2(2) 3x+2y=5. Como mcd(3,2)=1, la ecuación (3)

3x+2y=1 tiene solución (identidad de Bezout).3=2·1+1, luego (1,-1) es solución de (3) y (5,-5) es

solución particular de (2)x= 5+(4/2)·n=5+2·n

y=-5-(6/2)·n=-5-3nn ∈Z

17Matemática discreta. Teoría elemental de números

Aritmética modular

Aritmética modularDado m ∈N • a es congruente con b módulo m, a≡b (mod m), si

m⎥ b-a, es decir, ∃q∈Z tal que b=a+qm.• a≡b (mod m) ⇔ ∃qa,qb∈Z y ∃r∈Z que verifican

a= qam+rb= qbm+r

• ∀z∈Z, z es congruente módulo m forzosamente con un elemento del conjunto {0, 1, ..., m-1}.

18Matemática discreta. Teoría elemental de números

Aritmética modular

Clases de equivalencia• La relación ≡ (mod m) es de equivalencia.

– Reflexiva a≡a (mod m)– Simétrica a≡b (mod m) ⇒ b≡a (mod m)– Transitiva a≡b (mod m) y b≡c (mod m) ⇒ a≡c (mod m)

• Dado k∈Z, se define la clase de equivalencia de k como [k]=⎯k={x ∈Z / x ≡k (mod m) }.

ejemplo: ≡ (mod 3)

[0]=⎯0={0,3,6,9,12,...,-3,-6,-9,-12,...}.[1]=⎯1={1,4,7,10,...,-2,-5,-8,-11...}.[2]=⎯2={2,5,8,11,...,-1,-4,-7,-10,...}.

19Matemática discreta. Teoría elemental de números

Aritmética modular

Conjunto cociente

• Z/≡ (mod m)={⎯k/ k∈Z}.

• ≡ (mod m) define en Z una partición llamada Zmque está formada por m clases de equivalencia Zm={⎯0,⎯1,...,⎯m-1}.

ejemplo:En Z, ≡ (mod 3) induce la partición Z3={⎯0,⎯1,⎯2}

20Matemática discreta. Teoría elemental de números

Aritmética modular

Propiedadesa,b,c,d ∈ Z, m∈N*• Si en Zm [a]=[b] y [c]=[d], entonces la clase

de la suma y el producto es independiente del representante que elijamos de cada clase.– [a+c]=[b+d]– [a·c]=[b·d]

• Propiedad cancelativa: si en Zm [a·c]=[b·c] y mcd(m,c)=1, entonces [a]=[b]

21Matemática discreta. Teoría elemental de números

Aritmética modular

Aritmética en Zn

• Suma de clases⊕: ZnxZn →Zn:[a] ⊕ [b]=[a+b]

Cumple las propiedades:– Asociativa: [a] ⊕ ([b]⊕[c]) = ([a]⊕[b]) ⊕ [c]– Conmutativa: [a]⊕[b] = [b]⊕[a]– Elemento neutro: [0]⊕[a]=[a]⊕[0]=[a]– Elemento opuesto: -[a]⊕[a]=[a]⊕(-[a])=[0]

22Matemática discreta. Teoría elemental de números

Aritmética modular

ejemplo 1Tabla de la suma de clases en Z4

⊕ [0] [1] [2] [3]

[0] [0] [1] [2] [3]

[1] [1] [2] [3] [0]

[2] [2] [3] [0] [1]

[3] [3] [0] [1] [2]

23Matemática discreta. Teoría elemental de números

Aritmética modular

ejemplo 2En Z7• -[2]=[-2]=[5] -2-5=-7• [5] ⊕ (-[10])=[5]⊕[-10]=[5]⊕[4]=[9]=[2]

-10= -2·7+4,-10-4 ∈7·

[5] ⊕ (-[10])=[5-10]=[-5]=[2]-5= -1·7+2, -5-2 ∈7·

• 3·[5]=[5]⊕[5]⊕[5]=[3·5]=[15]=[1]• -3·[5]=-[5]⊕(-[5])⊕(-[5])=[-3·5]=[-15]=[6]

24Matemática discreta. Teoría elemental de números

Aritmética modular

Aritmética en Zn

• Producto de clases+: ZnxZn →Zn:[a] + [b]=[a·b]

Cumple las propiedades:– Asociativa: [a] + ([b]+[c]) = ([a]+[b]) + [c]– Conmutativa: [a]+[b] = [b]+[a]– Elemento neutro: [1]+[a]=[a]+[1]=[a]– Elemento inverso: si mcd(a,n)=1 [a]-1+[a]=[a]+[a]-1=[1]

(si n es primo, existe el inverso ∀[a]∈ Zn)

25Matemática discreta. Teoría elemental de números

Aritmética modular

ejemplo 1Tabla del producto de clases en Z4

+ [0] [1] [2] [3]

[0] [0] [0] [0] [0]

[1] [0] [1] [2] [3]

[2] [0] [2] [0] [2]

[3] [0] [3] [2] [1]

26Matemática discreta. Teoría elemental de números

Aritmética modular

ejemplo 2En Z7• como mcd(7,2)=1, por la identidad de

Bezout ∃ α,β∈Z / α·2+β·7=1, por tanto [α·2+β·7]=[1] ⇒[α·2] ⊕ [β·7]=[1] ⇒⇒[α·2] ⊕ [0]=[1] ⇒ [α]+ [2] =[1] ⇒⇒[2]-1 =[α]Para que se cumpla α·2+β·7=1 basta tomar α=4 y β=-1, luego [2]-1=[4]. Efectivamente, [2]+[4]=[8]=[1]

27Matemática discreta. Teoría elemental de números

Aritmética modular

ejemplo 3En Z6. Como mcd(6,2)≠1, ∃ [2]-1, es decir, ∃ α

tal que [2]+[α]=[1]. Efectivamente, basta observar la tabla del producto de clases en Z6

+ [1] [2] [3] [4] [5][1] [1] [2] [3] [4] [5][2] [2] [4] [0] [2] [4][3] [3] [0] [3] [0] [3][4] [4] [2] [0] [4] [2][5] [5] [4] [3] [2] [1]

28Matemática discreta. Teoría elemental de números

Aritmética modular

Propiedad distributiva del producto respecto de la suma de

clases∀n ∈N* y ∀ [a],[b],[c] ∈Zn

[a] + ([b] ⊕ [c]) = ([a] + [b]) ⊕ ([a] + [c])

29Matemática discreta. Teoría elemental de números

Aritmética modular

Ecuaciones modularesDados a,b∈Z, en Zn si mcd(a,n)=d la ecuación [a]·[x]=[b]

– no tiene solución si d∤b– tiene d soluciones en Zn si d⎥ b

• [a]·[x]=[a·x]=[b] existe ⇔ a·x-b es múltiplo de n, es decir, si ∃ k∈Z / ax-b=kn. La ecuación ax+kn=b tiene solución ⇔ mcd(a,n)⎥ b. Entonces, si x0 es solución particular de ax+kn=b, las soluciones en Zn vienen dadas por [x0], [x0+n/d], [x0+2·n/d], ..., [x0+(d-1)·n/d].

30Matemática discreta. Teoría elemental de números

Aritmética modular

ejemplo

Las soluciones de [5]·[x]=[6] son:En Z4: como [5]=[1] y [6]=[2] tenemos [1]·[x]=[2]

como mcd(1,4)=1 y 1⎥ 2, hay una única solución. Consideramos la ecuación 1·x+4·k=1 que tiene solución particular x=5 y k=-1, por tanto una solución particular de 1·x +4·k=2 es x=10. Como [10]=[2], la única solución es [2].

En Z10: como mcd(5,10)=5 y 5∤6, no hay solución.

31Matemática discreta. Teoría elemental de números

Aritmética modular

ejemplo

Las soluciones de [5]·[x]=[6] son:En Z4: como [5]=[1] y [6]=[2] tenemos [1]·[x]=[2]

como mcd(1,4)=1 y 1⎥ 2, hay una única solución. Consideramos la ecuación 1·x+4·k=1 que tiene solución particular x=5 y k=-1, por tanto una solución particular de 1·x +4·k=2 es x=10. Como [10]=[2], la única solución es [2].

En Z10: como mcd(5,10)=5 y 5∤6, no hay solución.

32Matemática discreta. Teoría elemental de números

Diofanto de Alejandría• “Dios le concedió el ser un muchacho durante

una sexta parte de su vida, y añadiendo a esto una doceava parte, El pobló de vello sus mejillas; Le iluminó con la luz del matrimonio después de una séptima parte, y cinco años después de su matrimonio Le concedió un hijo. Pero ¡ay! Infeliz niño nacido tarde; después de alcanzar la mitad de la medida de la vida de su padre, el frío destino se lo llevó. Después de consolar sus penas con la ciencia de los números durante cuatro años más, finalizó su vida”.