Teoría de la Empresa

La Tecnología de Producción

La Empresa¿Qué es una Empresa?

En la práctica, el concepto de empresa, y el papel que las empresa desempeñan en la economía, son extraordinariamente complejos.

En esta introducción a la teoría de la empresa adoptaremos una visión simple de la actividad de las empresas: nos limitaremos a considerarlas como agentes económicos cuya actividad consiste en transformar bienes; es decir, producir ciertos bienes (outputs) utilizando otros bienes como inputs. Así, una empresa queda completamente caracterizada por su tecnología.

La Tecnología de Producción

La tecnología de producción puede describirse mediante el conjunto de posibilidades de producción Y, un subconjunto de Âl. Un plan de producción es un vector en Âl en el que las coordenadas positivas son los outputs y las negativas son inputs.

Ejemplo: Supongamos que hay 5 bienes (l=5). Si el plan de producción (-5, 2, -6, 3, 0) es factible, esto significa que la empresa puede producir 2 unidades del bien 2 y 3 unidades del bien 4 usando 5 unidades del bien 1 y 6 unidades del bien 3 como inputs. En este plan de producción el bien 5 ni aparece ni como input ni como output.

La Tecnología de ProducciónPara simplificar el problema, supondremos que la empresa produce un sólo output (Q) utilizando dos inputs (L y K)

Así, una tecnología de producción se puede describir mediante una función de producción, F(L,K), que nos indica la cantidad máxima Q de output que se puede producir para cada vector de inputs (L,K) ≥ 0

El conjunto de posibilidades de producción Y se puede describir como los niveles de producción Q y combinaciones de factores (L,K) que satisfacen la desigualdad Q ≤ F(L,K).

La ecuación Q = F(L,K) describe la frontera de posibilidades de producción.

Función de Producción

Q = F(L,K)Q = producción

L = trabajo

K = capital

FK = ∂F / ∂K > 0 (producto marginal del capital)

FL = ∂F / ∂L > 0 (producto marginal del trabajo)

Ejemplo: Función de Producción

1 20 40 55 65 75

2 40 60 75 85 90

3 55 75 90 100 105

4 65 85 100 110 115

5 75 90 105 115 120

Cantidad de capital 1 2 3 4 5

Cantidad de trabajo

Isocuantas

La función de producción describe también las combinaciones de factores que permiten obtener un mismo nivel de producto.

Así, podríamos diferenciar entre

- tecnologías intensivas en trabajo

- tecnologías intensivas en capital.

Isocuantas

L

1

2

3

4

1 2 3 4 5

5Combinaciones de trabajo ycapital que permiten producir 75 unidades de producto.

K75

75

75

75

Isocuantas

L

1

2

3

4

1 2 3 4 5

5 Isocuanta: curva que describe todas las combinaciones de trabajo y capital que generan el mismo nivel de producción.

Q= 75

K

Mapas de Isocuantas

L

1

2

3

4

1 2 3 4 5

5

Q1 =

Isocuantas: describen las combinaciones de factoresque permiten obtener 55, 75 y 90 unidades de producto.

Q2 =

Q3 =

K

7555

90

Las isocuantas muestran la flexibilidad que tienen las empresas para sustituir un input por otro input manteniendo constante el nivel de producción.

Esta información permite al productor responder a cambios en los precios de factores.

Mapas de Isocuantas

Factores Sustitutivos y Complementarios Imperfectos

1

2

3

4

1 2 3 4 5

5

1

1

1

1

2

1

2/3

1/3

L

KA

B

CD

E

La tasa a la que los factores pueden sustituirse varía a lo largo de la isocuanta

L

K

1 2

1

2

0

Función de producción:F(L,K)= L + K.

Factores Sustitutivos Perfectos

3

Q1 Q2

Q3

Los factores pueden sustituirse a una tasa constante, cualquiera que sea la combinación de factores que se esté utilizando (veremos que la RMST es una constante).

L (Carpinteros)

K (Martillos)

2 3 41

1

2

3

4

0

Función de producción: F(L,K) = min{L,K}

Factores Complementarios Perfectos

Es imposible sustituir un factor de producción por otro: un carpintero sin martillo no produce, y viceversa

Vamos a estudiar las curvas de producto.

Para ello, supongamos que todos los factores menos uno son fijos, y consideremos cómo varía la producción con el factor variable:

La producción con un factor variable

Q = F(L,K0) = f(L)

Cantidad Cantidad Producción de trabajo (L) de capital (K) total (Q)

Ejemplo numérico: producción con un factor variable

0 10 01 10 102 10 303 10 604 10 805 10 956 10 1087 10 1128 10 1129 10 108

10 10 100

Suponemos que el capital es el input fijo y el trabajo el factor variable

Producto total

L

Q

60

112

0 2 3 4 5 6 7 8 9 101

Curva de producto total

Definimos el producto medio del trabajo (PMeL) como la cantidad de output producida por cada unidad de trabajo

Producto medio

PMeL= Q / L

Cantidad Cantidad Producción Producto de trabajo (L) de capital (K) total (Q) medio

Ejemplo numérico: producto medio

0 10 0 01 10 10 102 10 30 153 10 60 204 10 80 205 10 95 196 10 108 187 10 112 168 10 112 149 10 108 12

10 10 100 10

Producto total

L

Q

60

112

0 2 3 4 5 6 7 8 9 101

Curvas de producto total y de producto medio

Producto medio

8

10

20

0 2 3 4 5 6 7 9 101

30

Q/L

L

Producto marginal

ΔLΔQ

PML =

El producto marginal del trabajo (PML) se define como la producción adicional obtenida cuando se incrementa la cantidad de trabajo en una unidad

Cantidad Cantidad Producción Producto Productode trabajo (L) de capital (K) total (Q) medio marginal

Ejemplo numérico: producto marginal

0 10 0 0 ---1 10 10 10 102 10 30 15 203 10 60 20 304 10 80 20 205 10 95 19 156 10 108 18 137 10 112 16 48 10 112 14 09 10 108 12 -4

10 10 100 10 -8

Producto total

L

Q

60

112

0 2 3 4 5 6 7 8 9 101

Curvas de producto total y de producto marginal

Producto marginal

8

10

20

0 2 3 4 5 6 7 9 101

30

Q/L

L

Producto medio y producto marginal

L

Q

60

112

0 2 3 4 5 6 7 8 91

B

L

Q

60

112

0 2 3 4 5 6 7 8 91

D

C

L

Q

60

112

0 2 3 4 5 6 7 8 91

En B → Q/L < dQ/dL

En D → Q/L > dQ/dL

En C → Q/L = dQ/dL

Producto medio y producto marginal

L0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10

20

30

Producto medio

Producto marginal

C

A la izquierda de C: PM > PMe y PMe es crecienteA la derecha de C: PM < PMe y PMe es decrecienteEn C: PM = PMe y PMe alcanza su máximo

Q/LPML

Relación Marginal de Sustitución Técnica

La Relación Marginal de Sustitución Técnica (RMST)indica las proporciones en las que puede sustituirse trabajo por capital de manera que la producción permanezca constante. La definimos como

RMTS = |-FL / FK | = FL / FK ,

que indica la cantidad de capital adicional necesario para mantener constante el nivel de producción cuando la cantidad de trabajo disminuye en una unidad.

RMST = -(-2/1) = 2

RMST ΔLΔΚ−=

ΔL=1 ΔΚ= - 2

Relación Marginal de Sustitución Técnica

1

2

3

4

1 2 3 4 5

5

L

KA

B

1

2

Relación Marginal de Sustitución Técnica

ΔΚ / ΔL=

L

K

RMSTA

B

ΔL

ΔKLa RMST es la pendiente de la recta que une A y B.

C

Relación Marginal de Sustitución Técnica

K

L

RMST = lim ΔΚ/ ΔL ΔL 0

Cuando ΔL tiende a cero, RMST es la pendiente de la isocuanta en el punto C.

Cálculo de la RMST

Análogamente a lo que hacíamos con las funciones de utilidad, podemos calcular la RMST como un cociente de productos marginales utilizando el Teorema de la Función Implícita:

F(L,K)=Q0 (*)donde Q0=F(L0,,K0).Derivando totalmente la ecuación (*), tenemos

FLdL +FK dK = 0.La derivada de la función que define la ecuación (*) es

dK/dL= -FL/FK .

Esta fórmula nos permite evaluar la RMST en cualquier punto de la isocuanta.

Ejemplo: Cobb-Douglas

Sea Q = F(L,K) = L3/4K1/4

Calcule la RMST

Solución:

FL = 3/4 (K / L)1/4

FK = 1/4 (L / K)3/4

RMST = FL / FK = 3K / L

Ejemplo: Sustitutivos Perfectos

Sea Q = F(L,K) = L + 2K

Calcule la RMST

Solución:

FL = 1

FK = 2

RMST = FL / FK = 1/2 (constante)

Rendimientos a Escala

Modificación de la escala: aumento de todos los factores en la misma proporción (ej. (L,K) → (2L,2K))

Rendimientos a escala: tasa a la que aumenta la producción cuando se incrementa la escala.

Rendimientos a Escala

Consideremos una modificacion de la escala:(L, K) → (rL, rK), con r > 1.

Decimos que• Hay rendimientos crecientes de escala si

F(rL, rK) > r F(L,K)• Hay rendimientos constantes de escala si

F(rL, rK) = r F(L,K)• Hay rendimientos decrecientes de escala si

F(rL, rK) < r F(L,K).

Las isocuantas son equidistantes.

Q=10

Q=20

Q=30

155 10

2

4

0

6

Ejemplo: Rendimientos Constantes a Escala

L

K

L

K

Q=10

Q=20

Q=30

Las isocuantas estáncada vez más cerca.

5 10

2

4

0 8

3.5

Ejemplo: Rendimientos Crecientes a Escala

Las isocuantas están cada vez más lejos.

5 15

2

0 L

K

6

Q=10

Q=20

Q=30

30

12

Ejemplo: Rendimientos Decrecientes a Escala

Ejemplo: Rendimientos a Escala

Sea la función de producción Q = F(L,K) = L + KDiga cómo son los rendimientos de escala.

Solución: Sea r > 1. EntoncesF(rL,rK) = (rL) + (rK)

= r (L+K) = r F(L,K)

La función F presenta rendimientos constantes a escala.

Ejemplo: Rendimientos a Escala

Sea la función de producción Q = F(L,K) = LKDiga cómo son los rendimientos de escala.

Solución: Sea r > 1. EntoncesF(rL,rK) = (rL)(rK)

= r2 (LK)= r2 F(L,K) > r F(L,K).

La función F presenta rendimientos crecientes a escala.

Ejemplo: Rendimientos a Escala

Sea la función de producción Q = F(L,K) = L1/5K4/5. ¿Cómo son los rendimientos de escala?

Solución: Sea r > 1. Entonces F(rL,rK) = (rL)1/5(rK)4/5

= r(4/5+1/5)L1/5K4/5

= r F(L,K).

La función F presenta rendimientos constantes a escala.

Ejemplo: Rendimientos a Escala

Sea la función de producción Q = F(L,K) =min{K,L}. ¿Cómo son los rendimientos de escala?

Solución: Sea r > 1. EntoncesF(rL,rK) = min {rL,rK}

= r min{L,K} = r F(L,K).

La función F presenta rendimientos constantes a escala.

Ejemplo: Rendimientos a Escala

Sea la función de producción Q = F(L,K0) = f(L) = 4L1/2. ¿Cómo son los rendimientos de escala?

Solución: Sea r > 1. Entoncesf(rL) = 4 (rL)1/2

= r1/2 (4L1/2)= r1/2 f(L)< r f(L)

La función f presenta rendimientos decrecientes a escala.

Transformaciones Monótonas

Al contrario de lo que ocurría con las funciones de utilidad, las funciones de producción no son representaciones ordinales de la posibilidades de producción, sino representaciones cardinales.

Aunque una función de producción G sea una transformación monótona de otra función de producción F, las tecnologías que representan son distintas.

Transformaciones Monótonas

Por ejemplo, las funciones de producción F y G, definidas comoF(L,K) = LK

yG(L,K) = (LK)1/2

representan tecnologías distintas. En particular, presentan rendimientos a escala distintos. Sea r > 1. Tenemos

F(rL,rK) = r2LK = r2F(L,K) > rF(L,K)y

G(rL,rK) = r(LK)1/2 = rF(L,K).

Por tanto, F presenta rendimientos crecientes a escala y G presenta rendimientos constantes a escala.

Transformaciones Monótonas

Sin embargo, sigue siendo cierto que las transformaciones monótonas no modifican la RMST. Puede comprobarse que la RMST es la misma para las funciones de producción F y G descritas:

MRTSF(L,K) = K/L;

MRTSG(L,K) = (1/2)L(-1/2)K1/2/[(1/2)L(1/2)K(-1/2)] = K/L.