TemaTema II IITécnicas de Modulación de Técnicas de Modulación de

AmplitudAmplitud

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA

“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”

VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ

Departamento de Ingeniería Electrónica

Vigencia Mayo 2011Vigencia Mayo 2011H. RomeroH. Romero

SumarioSumarioSistemas de comunicaciones en banda base. Técnicas de Acceso al Medio.Teorema de traslación en frecuencia.Modulación en amplitud de doble banda lateral con

portadora suprimida (DSB-SC). Demodulación de DSB-SC.Modulación en amplitud de doble banda lateral con

portadora (DSB-LC). Demodulación de DSB-LC.Modulación en amplitud de banda lateral única (SSB). Demodulación de SSB.Modulación en amplitud de banda lateral vestigial (VSB). Comparación entre las diferentes técnicas de

modulación en amplitud.

¿Qué son los sistemas de ¿Qué son los sistemas de Banda Base?Banda Base?

Sistemas de comunicaciones en Sistemas de comunicaciones en Banda BaseBanda Base

4

Se caracterizan por el hecho de que la información es Se caracterizan por el hecho de que la información es transmitida en la banda de frecuencias en la que es transmitida en la banda de frecuencias en la que es generada la señal.generada la señal.

“Se denomina banda base al conjunto de señales que no sufren ningún proceso de modulación a la salida de la fuente que las origina”

“Es un adjetivo que describe las señales y los sistemas, de las cuales la gama frecuencias que poseen, se mide a partir desde cero hasta una anchura de banda máxima que posee la señal”

Por ejemplo:Una conversación entre dos personas.

¿Qué ventajas ¿Qué ventajas y desventajas y desventajas

tiene este tiene este sistema?sistema?

Técnicas de Acceso al MedioTécnicas de Acceso al Medio

5

La multicanalización nos permite la transmisión simultánea de información por un mismo canal.

Existen tres alternativas:

- Multicanalización por División de Tiempo.

- Multicanalización por División de Frecuencia.

- Multicanalización por División de Código.

Multicanalización por División de Tiempo: TDM

La señal en el dominio del tiempo, se va muestreando periódicamente, trasmitiéndose las muestras a través del canal de transmisión. Si se supone que la señal que contiene la Si se supone que la señal que contiene la información, no contiene componentes información, no contiene componentes espectrales mayores que fm Hz, basta con que espectrales mayores que fm Hz, basta con que la frecuencia con que se tomen las muestras sea la frecuencia con que se tomen las muestras sea por lo menos igual a 2fm Hz. Lo anterior por lo menos igual a 2fm Hz. Lo anterior constituye el constituye el Teorema del MuestreoTeorema del Muestreo..

Multicanalización por División de Tiempo: TDM

7

Como solo se tiene que trasmitir las muestras de la señal en este número finito de instantes, entonces, se pueden intercalar muestras de varias señales, para de esta forma, transmitir varias señales por el mismo canal en forma sincrónica y periódica.

8

Como se puede observar, Como se puede observar, la transmisión la transmisión no es no es

simultanea.simultanea.

Multicanalización por División de Tiempo: TDM

Proceso de TransmisiónProceso de Transmisión

Multicanalización por División de Tiempo: TDM

Proceso de RecepciónProceso de Recepción

Multicanalización por División de Frecuencia (FDM)

10

Este método hace uso del teorema de traslación en frecuencia, el cual establece:

Si la señal que contiene la información (Si la señal que contiene la información (la la modulantemodulante), se multiplica por una onda ), se multiplica por una onda senusoidal periódica (portadora), se traslada senusoidal periódica (portadora), se traslada el espectro de frecuencia de la modulante el espectro de frecuencia de la modulante hasta el valor de frecuencia de la portadora.hasta el valor de frecuencia de la portadora.

En Análisis de Señales este proceso lo conocimos con el nombre de:

Convolución

11

El teorema de traslación en frecuencia, establece que la multiplicación de una señal f(t) por una señal sinusoidal de frecuencia c, traslada su espectro de frecuencia en c radianes.

Consideremos el esquema de la figura

Xf(t)f(t)

Cos(wCos(wcct)t)

f(t).Cos(wf(t).Cos(wcct)t)

Multicanalización por División de Frecuencia (FDM)

Xf(t)f(t)

Sinusoide(wSinusoide(wcct)t)

f(t). Sinusoide(wf(t). Sinusoide(wcct)t)

Teorema de Traslación en Teorema de Traslación en FrecuenciaFrecuencia

Sea F[f(t)]=F(), la transformada de Fourier de la función f(t).

)(.)(.][cos ccc wwwwtw F

)(..)(..][ ccc wwjwwjtsenw F

Se halla la Transformada

de Fourier

¿ ? ¿ ? Modulante

Portadora

Modulada

13

De acuerdo con el teorema de convolución en la frecuencia, se tiene el siguiente resultado utilizando el Coseno:

)(F.2

1)(F.

2

1]cos).([ ccc wwwwtwtf F

¿Cuál es el resultado de la convolución si se utiliza el Seno?

Teorema de Traslación en Teorema de Traslación en FrecuenciaFrecuencia

14

w-wm +wm

F(w)

Señal ModulanteSeñal Modulante

w+wc-wc

F(w)

Señal PortadoraSeñal Portadora

wc+wm

+wc-wcw

F(w)

Señal ModuladaSeñal Modulada

wc-wm

Se muestra el proceso de traslación del espectro de la señal F(w) desde el origen (w = 0) hasta wc

Teorema de Traslación en Teorema de Traslación en FrecuenciaFrecuencia

Multicanalización por División de Frecuencia (FDM)

15

Si se desea transmitir varias señales simultáneamente, solo hace falta desplazar los espectros de cada una de las señales hasta valores de frecuencia tales que, no se traslapen unos con otros, evitando así las posibles interferencias entre ellos.

http://www.skydsp.com/publications/4thyrthesis/chapter1.htm

Multicanalización por División de Frecuencia (FDM)

)(F A n c h o d e B a n d a d e l C a n a lA n c h o d e B a n d a d e l C a n a l

F1(w)

wwm1

F2(w)

wwm2

F3(w)

wwm3

wwInicial wFinalwc1wc2 wc3

No Hay No Hay solapamiesolapamie

nto de nto de espectrosespectros

No Hay No Hay solapamiesolapamie

nto de nto de espectrosespectros

Datos A Datos B Datos C

Información en Banda Base

Multicanalización por División de Frecuencia (FDM)

17

)(FA n c h o d e B a n d a d e l C a n a lA n c h o d e B a n d a d e l C a n a l

wwInicial wFinalwc1wc2 wc3

Filtro Filtro Pasa Pasa

BandaBanda

En el receptor, será necesario primero utilizar un filtro pasa banda que seleccione el espectro adecuado, para luego proceder recuperar la información original.

Multicanalización por División de Código (CDM)

Asigna a cada usuario un código único para colocar diversos usuarios en el mismo ancho de banda al mismo tiempo.

Los códigos, llamados secuencias de pseudoruido, son utilizados para distinguir los diversos canales.

Multicanalización por División de Código (CDM)

Todos los usuarios de CDM pueden compartir el mismo canal de frecuencia debido a que se distinguen por código digital.

Usuario 1 - Usuario 2 - Usuario 3 - Usuario 4

Requiere una potencia mucho menor que las tecnologías FDM y TDM.

Multicanalización por División de Código (CDM)

Este se sub-clasifica en las siguientes técnicas:

- DSSS (Espectro Ensanchado por Secuencia Directa).

- FHSS (Espectro Ensanchado por salto de Frecuencia).

-THSS (Espectro Expandido por salto de tiempo).

Multicanalización por División de Código (CDM)

DSSS (Espectro Ensanchado por Secuencia Directa).

Cada bit original de la señal es representado por múltiples chips usándose un código de expansión. Este código, esparce la señal dentro de un ancho de banda, en proporción al tamaño del chips

Multicanalización por División de Código (CDM)

FHSS (Espectro Ensanchado por salto de Frecuencia).

Para esta técnica, la información se modula con una señal portadora en la cual la frecuencia cambia o salta de manera pseudo aleatoria, así cada señal se trasmite por un instante de tiempo con una portadora específica, en un instante cambia a otro frecuencia. Al usar varias portadoras, el espectro es ensanchado.

Multicanalización por División de Código (CDM)

En este caso, la información es transmitida en En este caso, la información es transmitida en ciertos intervalos de tiempo, aparéntenme ciertos intervalos de tiempo, aparéntenme aleatorios, esta sigue una secuencia asignada aleatorios, esta sigue una secuencia asignada por el código que es único para cada usuario. por el código que es único para cada usuario. Como los códigos son ortogonales entre ellos, Como los códigos son ortogonales entre ellos, dos o más usuarios no transmitirán la dos o más usuarios no transmitirán la información al mismo tiempoinformación al mismo tiempo..

-THSS (Espectro Expandido por salto de tiempo).

Modulación en Amplitud Modulación en Amplitud de Doble Banda Lateral de Doble Banda Lateral

con Portadora Suprimida con Portadora Suprimida (DSB-SC)(DSB-SC)

DSB-SC: Double-SideBand Suppressed-Carrier

Modulación en Amplitud de Doble Modulación en Amplitud de Doble Banda Lateral con Portadora Banda Lateral con Portadora

Suprimida (DSB-SC)Suprimida (DSB-SC)

25

Sea la portadora del tipo:

Ac cos (Ac cos (cct + t + c)c)

En estas condiciones, se mantienen constantes c y c.

La amplitud de la portadora Ac, se varía en proporción a la señal de banda base o señal moduladora f(t).

El espectro de frecuencia de la señal modulante se desplaza hasta el valor de c.

Ver teorema de Traslación en Frecuencia

26Señal modulante, portadora y señal AM con portadora suprimida.

Análisis en dominio del tiempo y frecuencia

f(t)

f(t).cos(Wc.t)

+wm-wm

w

F(w)

w+wc-wc

F(w)

w+wc-wc

F(w)

cos(Wc.t)

Modulación en Amplitud de Doble Modulación en Amplitud de Doble Banda Lateral con Portadora Banda Lateral con Portadora

Suprimida (DSB-SC)Suprimida (DSB-SC)

X

27

w+wm-wm

F(w)

w +wc-wc

|F(w)|

Señal ModulanteSeñal Modulante Señal PortadoraSeñal Portadora

+wc-wcw

F(w)Señal ModuladaSeñal Modulada

wc+wmwc-wm

F(w-wc)/2 F(w+wc)/2

BLIBLI BLSBLSBLIBLIBLSBLS

B=(wc+wm)-(wc-wm)B=2wm

Modulación en Amplitud de Doble Modulación en Amplitud de Doble Banda Lateral con Portadora Banda Lateral con Portadora

Suprimida (DSB-SC)Suprimida (DSB-SC)Espectro de frecuencias de señal modulante, portadora y señal

AM con portadora suprimida

28

- La señal f(t) se denomina MODULANTE y es la que contiene la información que se desea transmitir.

Modulación en Amplitud de Doble Modulación en Amplitud de Doble Banda Lateral con Portadora Banda Lateral con Portadora

Suprimida (DSB-SC)Suprimida (DSB-SC)

Conclusiones importantes:

- La señal Cos(ct) es la PORTADORA, la cual determina la frecuencia a la cual va a ser trasladado el espectro de frecuencia.

- El espectro de f(t).cos(ct) no contiene portadora.

- El espectro de la moduladora es simétrico respecto al eje “y”, es decir, la información al lado derecho es igual al del lado izquierdo.

29

- El espectro de f(t).cos(c t) contiene dos (2) bandas laterales para c. La banda a la derecha de +c se denomina banda lateral superior (B.L.S.) y la de la izquierda banda lateral inferior (B.L.I.).

- Para la frecuencia -c el tratamiento es análogo, es decir, la banda a la derecha de -c se denomina banda lateral inferior (B.L.I.) y la de la izquierda banda lateral superior (B.L.S.).

Modulación en Amplitud de Doble Modulación en Amplitud de Doble Banda Lateral con Portadora Banda Lateral con Portadora

Suprimida (DSB-SC)Suprimida (DSB-SC)

- El ancho de banda de la señal modulada es el doble del ancho de banda de la señal moduladora.

30

¿Qué ventajas y desventajas le encontramos a este tipo de

modulación?

Ancho de banda

Facilidad de generación Influencia del Ruido

Redundancia de la información

Modulación en Amplitud de Doble Modulación en Amplitud de Doble Banda Lateral con Portadora Banda Lateral con Portadora

Suprimida (DSB-SC)Suprimida (DSB-SC)

31

Considere el diagrama de la figura siguiente y los elementos que la componen::

FiltroPasa Bajo

f t w tc( ) cos

cos w tc

f t w tc( ) cos2f t( )

Demodulación de DSB-SCDemodulación de DSB-SC

¿Que describe cada uno de los elementos?

32

FiltroPasa Bajo

f t w tc( ) cos

cos w tc

f t w tc( ) cos2f t( )

w+wc-wc

F(w)

w+wc-wc

F(w)

w+wc-wc

F(w)

+2wc-2wc

Demodulación de DSB-SCDemodulación de DSB-SC

Demodulación de DSB-SCDemodulación de DSB-SC

FiltroPasa Bajo

f t w tc( ) cos

cos w tc

f t w tc( ) cos2f t( )

+wm-wm

w

F(w)

)2()2(4

1)(

2

1cos)( 2

ccc wwFwwFwFtwtf F

La Transformada de Fourier nos dice que:

34

- Este proceso de demodulación, recibe el nombre de detección síncrona o coherente, pues utiliza la misma frecuencia de la portadora y con la misma fase.

Demodulación de DSB-SCDemodulación de DSB-SCConclusiones importantes:

- Si la frecuencia en el receptor no corresponde con la frecuencia del transmisor, la señal tendrá añadida un porcentaje de error.

- Para garantizar la sincronización entre transmisor y receptor, comúnmente se utiliza el procedimiento de transmitir una portadora piloto (fracción de la portadora del transmisor), la cual se detecta en el receptor por medio de un filtro, se amplifica y se usa entonces como portadora en el receptor.

Modulación en Modulación en Amplitud de Doble Amplitud de Doble Banda Lateral con Banda Lateral con

Gran Portadora Gran Portadora (DSB-LC)(DSB-LC)

Modulación en Amplitud de Doble Modulación en Amplitud de Doble Banda Lateral con Gran Portadora Banda Lateral con Gran Portadora

(DSB-LC).(DSB-LC).

¿Cual es el mayor inconveniente que tiene la técnica DSB-SC?

X

+wm-wm

w

F(w)

w+wc-wc

F(w)

w+wc-wc

F(w)

f(t) f(t).cos(Wc.t)

cos(Wc.t)

Modulación en Amplitud de Doble Modulación en Amplitud de Doble Banda Lateral con Gran Portadora Banda Lateral con Gran Portadora

(DSB-LC).(DSB-LC).

Xf(t)

f(t).cos(Wc.t)

cos(Wc.t))](1[)( tmktf

+wm-wm

w

F(w)

w+wc-wc

F(w)

w+wc-wc

F(w)

Sea:

38

F[f(t)]=)F(

t]m(t)].cos+k.[1 [ F=)F( c

t]k.m(t).costk.cos [ F=)F( cc

cccc MkMk ..2

1-..

2

1.k.-.k.=)F(

Aplicando propiedades de transformada de Fourier, se tiene finalmente:donde: M()= F [m(t)]donde: M()= F [m(t)]

Espectro de PortadoraEspectro de Portadora Espectro de ModuladaEspectro de Modulada

Modulación en Amplitud de Modulación en Amplitud de Doble Banda Lateral con Gran Doble Banda Lateral con Gran

Portadora (DSB-LC).Portadora (DSB-LC).

Modulación en Amplitud de Doble Modulación en Amplitud de Doble Banda Lateral con Gran Portadora Banda Lateral con Gran Portadora

(DSB-LC).(DSB-LC).

39

DSB-SC

DSB-LC

¿Qué diferencia existe entre estas dos técnicas de modulación?

cccc MkMk ..2

1-..

2

1.k.-.k.=)F(

)(F.2

1)(F.

2

1]cos).([ ccc wwwwtwtf F

Índice de Modulación y Porcentaje Índice de Modulación y Porcentaje de Modulaciónde Modulación

Las magnitudes relativas de la banda lateral y la porción portadora de la señal son variables, se define un factor de escala adimensional, m, para controlar la relación entre las bandas laterales y la portadora.

c

m

E

Em

donde: Em es la amplitud de la onda modulante Ec la amplitud de la onda portadora.

El índice de modulación se puede determinar por la expresión siguiente:

Índice de Modulación y Índice de Modulación y Porcentaje de ModulaciónPorcentaje de Modulación

42

Otra forma de calcular el índice de modulación es:

mA B

A B

Las variables A y B corresponden a los valores pico a pico máximo y mínimo respectivamente

A

B

Em

Ec

t

AMP

Índice de Modulación y Índice de Modulación y Porcentaje de ModulaciónPorcentaje de Modulación

El porcentaje de modulación está dado por el valor de m expresado en porcentaje, es decir:

100*%

100*%

100*%

BA

BAm

E

Em

mm

c

m

m puede ser:

< 1= 1> 1

¿Que significa cada caso?¿Que significa cada caso?

Índice de Modulación y Índice de Modulación y Porcentaje de ModulaciónPorcentaje de Modulación

En dependencia de los valores que tome m, se tienen tres casos:

• Si m = 1 , se tiene modulación del 100% y la amplitud de la señal modulada es el doble de la amplitud de la portadora.

• Si m = 1 , se tiene modulación del 100% y la amplitud de la señal modulada es el doble de la amplitud de la portadora.

Índice de Modulación y Índice de Modulación y Porcentaje de ModulaciónPorcentaje de Modulación

Índice de Modulación y Índice de Modulación y Porcentaje de ModulaciónPorcentaje de Modulación

• Si m < 1 se tiene un porcentaje de modulación menor al 100%, y la amplitud de la señal modulada está entre cero y su valor máximo. Es el caso de índice más utilizado aquel cuyo valor está entre un 70% y un 90%.

• Si m < 1 se tiene un porcentaje de modulación menor al 100%, y la amplitud de la señal modulada está entre cero y su valor máximo. Es el caso de índice más utilizado aquel cuyo valor está entre un 70% y un 90%.

Índice de Modulación y Índice de Modulación y Porcentaje de ModulaciónPorcentaje de Modulación

• Si m > 1 se tiene una sobre modulación. En este caso la señal modulada es distorsionada y, a partir de ella, no se puede reconstruir la señal modulante, la cual contiene la información siempre y cuando se utilice detección de envolvente. Este caso debe ser evitado al máximo

• Si m > 1 se tiene una sobre modulación. En este caso la señal modulada es distorsionada y, a partir de ella, no se puede reconstruir la señal modulante, la cual contiene la información siempre y cuando se utilice detección de envolvente. Este caso debe ser evitado al máximo

Contenido de Potencia en una Contenido de Potencia en una señal de DSB-LCseñal de DSB-LC

w+wc-wc

F(w)

Modulante

Portadora

¿Cual lleva la información?

¿Cual tiene la mayor cantidad de energía?

¿Eso nos es útil?¿Como medimos la potencia entregada

a la información?

El contenido de potencia en las bandas laterales, denotado como y expresado en porcentaje es:

%100*22

2

m

m

Contenido de Potencia en una Contenido de Potencia en una señal de DSB-LCseñal de DSB-LC

donde m es el índice de modulación

Notemos algo importante

1

3100% 33* %

- El máximo valor que puede tomar m para una comunicación eficiente, es m = 1.

Contenido de Potencia en una Contenido de Potencia en una señal de DSB-LCseñal de DSB-LC

¿Que significa esto?

Demodulación de señales de Demodulación de señales de DSB-LCDSB-LC

50

Ahora estamos transmitiendo la portadora. No existen los problemas de la modulación DSB-SC. Se puede usar el demodulador coherente sin problemas.

FiltroPasa Bajo

f t w tc( ) cos

cos w tc

f t w tc( ) cos2f t( )

Sin embargo, se dispone de otros métodos que son muy económicos y eficientes, permitiendo poder obtener la señal de banda base fácilmente.

51

Demodulación de señales de Demodulación de señales de DSB-LCDSB-LC

Otros dos métodos muy utilizados para demodular señales DSB-LC son:

-El Detector Rectificador

- El Detector Envolvente

Estas técnicas solo funcionan para demodular DSB-LC

Detector RectificadorDetector Rectificador

Señal DSB-LC

Estudiemos su funcionamiento:

w+wc-wc

F(w)

twtf ccos)(

w+wc

F(w)

+2wc

Detector RectificadorDetector Rectificador

filtro pasa bajas

0cos)(0

0cos)(cos)(

twtf

twtftwtftg

c

ccw

F(w)

)(tfA

Detector RectificadorDetector Rectificador

El capacitor C bloquea la componente contínua presente a la salida del FPB

+wm-wm

w

F(w)

Detector de EnvolventeDetector de Envolvente

55

Este circuito resulta ser mucho mas económico y sencillo que los anteriores:

El circuito detector de envolvente, es un rectificador acoplado a la red RC y su operación es sencilla

Señal AMde entrada

Señal de salida

56

twtf ccos)(

Detector de EnvolventeDetector de Envolvente

w

F(w)

w+wc-wc

F(w)

1 1

wRC

wc m

Modulación SSB Modulación SSB (Single Side Band)(Single Side Band)

Modulación SSB (Single Side Band)Modulación SSB (Single Side Band)

58

Esta técnica de modulación tiene como objeto emplear la menor cantidad de ancho de banda posible en el proceso de transmisión.

Ancho Ancho de de

BandaBanda

-wmw +wm

F(w)

Señal Modulante

+wc-wcw

F(w)

Señal Modulada

wc+wmwc-wm

F(w-wc)/2 F(w+wc)/2

Modulación SSB (Single Side Band)Modulación SSB (Single Side Band)

Partimos de los siguiente hechos

La información se encuentra

repetida

¿Alguna idea de cómo reducir el Ancho de Banda?

60

Modulación SSB (Single Side Band)Modulación SSB (Single Side Band)

Podemos usar los filtros para transmitir una sola de las bandas. La B.L.I o B.L.S según nos convenga.

Así podemos disminuir nuestro ancho de banda

61

Modulación SSB (Single Side Band)Modulación SSB (Single Side Band)

f(t) D.S.B. S.S.B.

coswct

F.P.B.H(W)

a)

w

w

F(w)

D.S.B.

wc-wc

2wm

wm

w

H(w)

wc-wc

w

S.S.B.

wc-wc

b)

c)

d)

e)

Demodulación de S.S.B.Demodulación de S.S.B.

62

Si se usa la modulación SSB el demodulador que debe ser usado es el coherente. De esta manera se logra recuperar la información en banda base.

S.S.B. f(t)

coswct

F.P.B.H(W)

F(w+2wc)

S.S.B.

wwc-wc

w2wc-2wc

Comparación entre diferentes Comparación entre diferentes sistema de AMsistema de AM

63

DSB-SC: Requieren menos potencia para transmitir información que un

DSB-LC.Los receptores son mas complicados, ya que deben generar una

portadora de fase y frecuencia apropiada.Son muy eficientes, ya que, no desperdician potencia en la

transmisión de la portadora.No están expuestos a los problemas de desvanecimiento de la

portadora que afecta el proceso de detección de envolvente.

DSB-LC: Los detectores en el receptor son más simples, por lo cual, los

receptores son más baratos.Los moduladores son más fáciles de construir, porque los

términos de portadores no tienen que ser balanceados o eliminados.

S.S.B.:

• Solo requieren la mitad del ancho de banda que requiera un sistema D.S.B.

• Se tiene un mayor aprovechamiento del espectro.

• Toda la potencia transmitida está en las bandas laterales.

Comparación entre diferentes Comparación entre diferentes sistema de AMsistema de AM

65

D.S.B.: Tienen ventajas en la generación de la modulación, ya que, no

necesitan filtros para eliminar bandas laterales.Pueden usarse para transmitir señales de frecuencia cero con

buena fidelidad.

Comparación entre diferentes Comparación entre diferentes sistema de AMsistema de AM

Actividades de Auto-Actividades de Auto-estudioestudio

66

Estas actividades tienen el objetivo de complementar los tópicos abordados en clase y revisten importancia para el cursante.

Tarea 1:1. Investigar con respecto a la modulación en

amplitud de banda lateral vestigial (VSB). 2. Investigar que es y como funciona el receptor

superheterodino. ¿Qué aplicaciones tiene?3. ¿Cuál es el resultado de la convolucion si se

utiliza el Seno por una señal f(t)?4. Demuestre matemáticamente 2 formas de

cambiar el índice de modulación para DSB-LCAnalice los tópicos dados apoyandose con la lectura del capítulo 3 del libro W. Tomasi

Finalizado el Tema 1 y 2 tenemos nuestra primera Evaluación

Gracias por su atenciónGracias por su atención

Final Tema 2