Post on 02-Feb-2016
TEMA 7:
MATEMÁTICAS II1
TEMA 7:
MATEMÁTICAS II2
Ante las limitaciones que presenta el sistema de números naturales (N) se hizo necesario crear un sistema de numeración más amplio que nos permita representar numéricamente muchas cosas como por ejemplo:
NÚMEROS ENTEROS
Una deuda Una temperatura bajo cero Un saldo en contra
TEMA 7:
MATEMÁTICAS II3
Para solucionar este problema aparecen los números enteros (Z), que pueden ser positivos o negativos.
TEMA 7:
MATEMÁTICAS II4
Multiplicación
Números enteros
Recta Numérica
Valor Absoluto
Comparación y Orden
Adición y Sustracción
División
Salir
TEMA 7:
MATEMÁTICAS II5
Jesús tiene un saldo en contra de $800.00 en una caja de ahorro. Cierto día hace un depósito de $1,200.00 y a la siguiente semana retira $200.00, ¿Cuál es su estado de cuenta?
¿ Qué significa “un saldo en contra” ?
NÚMEROS ENTEROS
Saldo en
ContraDepósito Retiro
Nuevo Saldo
- 800 + 1200 - 200
TEMA 7:
MATEMÁTICAS II6
Los números con signo como –800, +1200, -200 se llaman números con signo (números enteros).
Los que llevan signo más son enteros positivos: +3, +10, +2.
Los que llevan signo menos son enteros negativos: -2, -5, -8.
El cero es un entero que no es positivo, ni negativo.
TEMA 7:
MATEMÁTICAS II7
Conjunto de los números enteros
- 4 - 3 - 2 - 1 + 1 + 2 + 3 + 40
Enteros Negativos
Enteros Positivos
TEMA 7:
MATEMÁTICAS II8
Aplicaciones de números enteros en la vida diaria.
Bucear a una profundidad de 10 m.
10° bajo cero
10° sobre cero
Bajar 3 pisos
Subir 3 pisos
Volar a una altura de 8000 m sobre el nivel del mar.
TEMA 7:
MATEMÁTICAS II9
Bajo el nivel del mar
Sobre el nivel del mar
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
TEMA 7:
MATEMÁTICAS II10
RECTA NUMÉRICA
Igual que los números naturales, decimales y fracciones los números con signo se pueden representar en una recta.
TEMA 7:
MATEMÁTICAS II11
El origen, 0 punto inicial, es el numero 0. Hacia la derecha del 0 se tienen los números positivos, y hacia la izquierda los números negativos.
- 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 40
- 3.5- 3 7
1 2 2.5
TEMA 7:
MATEMÁTICAS II12
ORDEN Y COMPARACIÓN
Un número negativo es menor que cero y
que cualquier número positivo.
Un número positivo es mayor que cero y
que cualquier número negativo.
TEMA 7:
MATEMÁTICAS II13
La recta numérica te permite observar que entre dos números es mayor el que esta a la derecha del otro.
- 2 > - 3 3 > 2
- 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 40
TEMA 7:
MATEMÁTICAS II14
VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número con signo es el valor de dicho número sin su signo.
- 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 40
3 unidades 3 unidades
TEMA 7:
MATEMÁTICAS II15
Los números +3 y –3 se encuentran a la misma distancia del cero.
+ 3 = 3 -3 = 3
Al número 3 se le llama valor absoluto de +3 y –3, y se indica así:
TEMA 7:
MATEMÁTICAS II16
ADICIÓN DE NÚMEROS CON SIGNO
En el siguiente cuadro se registran los depósitos y retiros que hizo el Sr. Pérez en su cuenta bancaria en 8 semanas.
Semana 1 2 3 4 5 6 7 8
Depósito 2500 800 400 1200
Retiro - 500 - 400 - 700 - 900
TEMA 7:
MATEMÁTICAS II17
¿Cuál es su saldo al término de la octava semana?
Finalmente estima su saldo (la cantidad que le quedó a favor o en contra).
Haz una estimación del total que depósito.
Luego una del total que retiro.
TEMA 7:
MATEMÁTICAS II18
Procedimiento para sumar números con signo
La adición de números con signo se realiza de la manera siguiente:
Si tienen igual signo.
Se suma el valor absoluto de los sumandos.
El signo de la suma es el de los sumandos.
(+ 6 ) + (+ 9 ) = + 15
signo igual
(- 3 ) + (- 7 ) = - 10signo igual
TEMA 7:
MATEMÁTICAS II19
¿ Cómo podemos calcular el resultado de esta suma ?
( +8 ) + ( -3 ) + ( +5 ) + ( -6 ) + ( +3 ) = ( +16 ) + ( -9 ) = + 7
Para sumar varios números enteros de distinto signo:
Se suman varios números enteros de distinto signo por un lado, y los negativos, por otro.
Por último se suman el número positivo y el número negativo obtenidos.
TEMA 7:
MATEMÁTICAS II20
La temperatura hace 2 horas fue de – 1° C. Ahora es de + 4° C.
¿ Cuánto cambió la temperatura?
¿Con cuál de las siguientes restas se resuelve el problema?
SUSTRACCIÓN
¿Qué tanto cambió la temperatura?
4
- (- 1)
- 4
- (- 1)
4
- (+ 1)
TEMA 7:
MATEMÁTICAS II21
Si tiene distinto signo:
signo distinto
Calculamos la diferencia de sus valores absolutos.
El signo de la diferencia es el del sumando de mayor valor absoluto.
(+ 9 ) + (- 3 ) = + 6 signo distinto
(- 8 ) + (+ 2 ) = - 6
TEMA 7:
MATEMÁTICAS II22
SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS CON SIGNO
Cambiamos el signo del sustraendo.
(+ 5) – (- 7) = (+ 5) + (+ 7) = 12
Inversos aditivos
(-6) – (+4) = (-6) + (-4) = -10
Cambiamos la operación de sustracción a adición.
TEMA 7:
MATEMÁTICAS II23
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS CON SIGNO
Rocío ahorra cada día $ 50.
¿Cuánto ahorra en 8 días?
Cada día ahorra $50
(+ 50)
En 8 días ( + 8 )
( +50 ) ( +8 ) = + 400
TEMA 7:
MATEMÁTICAS II24
Marcia gasta en su almuerzo $ 15 cada día. ¿Cuánto gasta en 5 días?
Cada día gasta $15En 5 días
Gasta
( -15 )
( + 5 )
( -75 )
( - 15 ) ( + 5 ) = - 75
TEMA 7:
MATEMÁTICAS II25
Ana Luz se gasta $ 35 cada domingo en la entrada al cine. Deja de ir 4 domingos.
¿Cuánto ahorra en total?
Gasta $35
Deja ir 4 domingosAhorra
( -35 )
( -4 )
( +140 )
( - 35 ) ( - 4 ) = + 140
TEMA 7:
MATEMÁTICAS II26
Multiplicación
La multiplicación de
números enteros o
números con signo se
indica encerrando dentro
de parentésis a cada
factor sin que exista signo
entre ellos.
TEMA 7:
MATEMÁTICAS II27
Para obtener el producto es necesario primero un manejo de signos y después multiplicar los valores absolutos de los números que estan como factores.
TEMA 7:
MATEMÁTICAS II28
Con dos factores
( - ) ( + ) = -
Con tres factores
( - ) ( - ) ( - ) = -
( + ) ( + ) = +
( - ) ( - ) = +
( + ) ( - ) = -
( + ) ( + ) ( + ) = +
( + ) ( + ) ( - ) = -
( + ) ( - ) ( - ) = +
TEMA 7:
MATEMÁTICAS II29
( - 4 ) ( + 2 ) = - 8
El product
o de dos
números de igual
signo es positivo
El producto de dos
números de
distinto signo es negativo
( + 4 ) ( + 2 ) = + 8
( - 4 ) ( - 2 ) = + 8
( + 1 ) ( - 2 ) = - 8
TEMA 7:
MATEMÁTICAS II30
Interpretación Geométrica de la Multiplicación de Números con Signo
En la siguiente ilustración aparece una recta inclinada que representa una rampa de pendiente constante y una recta horizontal que representa el nivel del suelo.
TEMA 7:
MATEMÁTICAS II31
Al desplazarnos una unidad en la dirección horizontal, el punto correspondiente sobre la rampa se encuentra a una altura de 0.3 unidades. ¿A qué altura nos encontraremos sobre la rampa al desplazarnos 2, 3, 4 o más unidades en la dirección horizontal?
0 1 2 3
0.3
4
TEMA 7:
MATEMÁTICAS II32
La respuesta se obtiene multiplicando 2, 3, 4, ... Por 0.3 como puede verificarse en la siguiente figura.
0 1 2 3 4
0.3
11 x 0.3=0.3
2 x 0.3=0.6
3 x 0.3=0.9
4 x 0.3=1.2
TEMA 7:
MATEMÁTICAS II33
Midiendo alturas y
distancias la rampa
anterior puede utilizarse
para multiplicar
cualquier número por
0.3.
TEMA 7:
MATEMÁTICAS II34
DIVISÓN DE NÚMEROS CON SIGNO
Sabemos que 24 6 = 4, porque 6 x 4 = 24
¿ Cómo puedes usar esta relación
entre la multiplicación y la división?
TEMA 7:
MATEMÁTICAS II35
Cada una de las siguientes multiplicaciones da lugar a una división.
(+6) (+4 ) = + 24
(-6) (+4 ) = - 24
(+6) (-4 ) = - 24
(-6) (-4 ) = + 24
(+24) (+6 ) = + 4
(-24) (-6 ) = + 4
(-24) (+6 ) = - 4
(+24) (-6 ) = - 4
TEMA 7:
MATEMÁTICAS II36
La división de números con signo se
indica colocando entre el dividendo
y el divisor en forma horizontal.
También se le puede indicar como una
fracción de números con signo.
a b ó bien a b
TEMA 7:
MATEMÁTICAS II37
Como en la multiplicación, la división
se obtiene aplicando la regla de los
signos y dividiendo el valor absoluto de
los números del dividendo o divisor.
TEMA 7:
MATEMÁTICAS II38
El cociente de dos números de igual signo es positivo, y el cociente de dos números de distinto signo es negativo.
( + ) ( + ) = +
( - ) ( - ) = +
( + ) ( - ) = -
( - ) ( + ) = -
TEMA 7:
MATEMÁTICAS II39
El cociente de dos números de igual signo es positivo.
( -3.2 ) ( -2 ) = + 1.6
( - 3 ) ( - 2 ) = + 9 4 3 8
TEMA 7:
MATEMÁTICAS II40
El cociente de dos números de distinto signo es negativo.
( -150 ) ( +30 ) = -5
( - 5 ) ( + 2 ) = - 15 8 3 16
TEMA 7:
MATEMÁTICAS II41
TEMA 7:
MATEMÁTICAS II42
Diseñó: L.C.A. Esther Elizabeth González Glz.Diseñó: L.C.A. Esther Elizabeth González Glz.
Elaboró: Profra. Olivia Murillo Hernández.Elaboró: Profra. Olivia Murillo Hernández.