Tema 5- Polinomios

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MATEMATICAS BASICAS

Autora: Jeanneth Galeano PenalozaEdicion: Oscar Guillermo Riano

Universidad Nacional de ColombiaDepartamento de Matematicas

Sede Bogota

Enero de 2015

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 1 / 39

Polinomios

Definicion

Un polinomio en la variable x es una expresion de la forma

p(x) := anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x + a0

donde an, an−1, . . . , a1, a0 son reales, x representa una variable y n es unnumero natural.

Si n es la mayor potencia de la variable se dice que el polinomio es degrado n.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 2 / 39

Polinomios

Definicion

Un polinomio en la variable x es una expresion de la forma

p(x) := anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x + a0

donde an, an−1, . . . , a1, a0 son reales, x representa una variable y n es unnumero natural.Si n es la mayor potencia de la variable se dice que el polinomio es degrado n.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 2 / 39

Polinomios

Ejemplo

Si n = 1, p(x) = a1x + a0 se llama polinomio lineal.

Por ejemplo,p(x) = 3x + 2.

Si n = 2, p(x) = a2x2 + a1x + a0 se conoce como polinomio cuadratico.

Por ejemplo, p(x) = 2x2 + 5x − 4.

Si n = 0, p(x) = a0 se llama polinomio constante. Por ejemplo,p(x) = 5.

3√x + 3x2 + 5 NO es un polinomio.

x2/5 + 3x4 − 1 NO es un polinomio.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 3 / 39

Polinomios

Ejemplo

Si n = 1, p(x) = a1x + a0 se llama polinomio lineal. Por ejemplo,p(x) = 3x + 2.

Si n = 2, p(x) = a2x2 + a1x + a0 se conoce como polinomio cuadratico.

Por ejemplo, p(x) = 2x2 + 5x − 4.

Si n = 0, p(x) = a0 se llama polinomio constante. Por ejemplo,p(x) = 5.

3√x + 3x2 + 5 NO es un polinomio.

x2/5 + 3x4 − 1 NO es un polinomio.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 3 / 39

Polinomios

Ejemplo

Si n = 1, p(x) = a1x + a0 se llama polinomio lineal. Por ejemplo,p(x) = 3x + 2.

Si n = 2, p(x) = a2x2 + a1x + a0 se conoce como polinomio cuadratico.

Por ejemplo, p(x) = 2x2 + 5x − 4.

Si n = 0, p(x) = a0 se llama polinomio constante. Por ejemplo,p(x) = 5.

3√x + 3x2 + 5 NO es un polinomio.

x2/5 + 3x4 − 1 NO es un polinomio.

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Polinomios

Ejemplo

Si n = 1, p(x) = a1x + a0 se llama polinomio lineal. Por ejemplo,p(x) = 3x + 2.

Si n = 2, p(x) = a2x2 + a1x + a0 se conoce como polinomio cuadratico.

Por ejemplo, p(x) = 2x2 + 5x − 4.

Si n = 0, p(x) = a0 se llama polinomio constante. Por ejemplo,p(x) = 5.

3√x + 3x2 + 5 NO es un polinomio.

x2/5 + 3x4 − 1 NO es un polinomio.

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Polinomios

Ejemplo

Si n = 1, p(x) = a1x + a0 se llama polinomio lineal. Por ejemplo,p(x) = 3x + 2.

Si n = 2, p(x) = a2x2 + a1x + a0 se conoce como polinomio cuadratico.

Por ejemplo, p(x) = 2x2 + 5x − 4.

Si n = 0, p(x) = a0 se llama polinomio constante.

Por ejemplo,p(x) = 5.

3√x + 3x2 + 5 NO es un polinomio.

x2/5 + 3x4 − 1 NO es un polinomio.

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Polinomios

Ejemplo

Si n = 1, p(x) = a1x + a0 se llama polinomio lineal. Por ejemplo,p(x) = 3x + 2.

Si n = 2, p(x) = a2x2 + a1x + a0 se conoce como polinomio cuadratico.

Por ejemplo, p(x) = 2x2 + 5x − 4.

Si n = 0, p(x) = a0 se llama polinomio constante. Por ejemplo,p(x) = 5.

3√x + 3x2 + 5 NO es un polinomio.

x2/5 + 3x4 − 1 NO es un polinomio.

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Polinomios

Ejemplo

Si n = 1, p(x) = a1x + a0 se llama polinomio lineal. Por ejemplo,p(x) = 3x + 2.

Si n = 2, p(x) = a2x2 + a1x + a0 se conoce como polinomio cuadratico.

Por ejemplo, p(x) = 2x2 + 5x − 4.

Si n = 0, p(x) = a0 se llama polinomio constante. Por ejemplo,p(x) = 5.

3√x + 3x2 + 5

NO es un polinomio.

x2/5 + 3x4 − 1 NO es un polinomio.

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Polinomios

Ejemplo

Si n = 1, p(x) = a1x + a0 se llama polinomio lineal. Por ejemplo,p(x) = 3x + 2.

Si n = 2, p(x) = a2x2 + a1x + a0 se conoce como polinomio cuadratico.

Por ejemplo, p(x) = 2x2 + 5x − 4.

Si n = 0, p(x) = a0 se llama polinomio constante. Por ejemplo,p(x) = 5.

3√x + 3x2 + 5 NO es un polinomio.

x2/5 + 3x4 − 1 NO es un polinomio.

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Polinomios

Ejemplo

Si n = 1, p(x) = a1x + a0 se llama polinomio lineal. Por ejemplo,p(x) = 3x + 2.

Si n = 2, p(x) = a2x2 + a1x + a0 se conoce como polinomio cuadratico.

Por ejemplo, p(x) = 2x2 + 5x − 4.

Si n = 0, p(x) = a0 se llama polinomio constante. Por ejemplo,p(x) = 5.

3√x + 3x2 + 5 NO es un polinomio.

x2/5 + 3x4 − 1

NO es un polinomio.

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Polinomios

Ejemplo

Si n = 1, p(x) = a1x + a0 se llama polinomio lineal. Por ejemplo,p(x) = 3x + 2.

Si n = 2, p(x) = a2x2 + a1x + a0 se conoce como polinomio cuadratico.

Por ejemplo, p(x) = 2x2 + 5x − 4.

Si n = 0, p(x) = a0 se llama polinomio constante. Por ejemplo,p(x) = 5.

3√x + 3x2 + 5 NO es un polinomio.

x2/5 + 3x4 − 1 NO es un polinomio.

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Operaciones entre polinomios

Suma

Para realizar operaciones entre polinomios, como suma, resta,multiplicacion y division, simplemente procedemos teniendo en cuenta queson sumas y productos de numeros reales.

Por ejemplo, al realizar la suma (2x + 3) + (x2 − x + 2), usando laspropiedades asociativa y conmutativa de numeros reales y factorizando lavariable tenemos:

(2x + 3) + (x2 − x + 2) = x2 + (2x − x) + (3 + 2)

= x2 + (2− 1)x + 5

= x2 + x + 5

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Operaciones entre polinomios

Suma

Para realizar operaciones entre polinomios, como suma, resta,multiplicacion y division, simplemente procedemos teniendo en cuenta queson sumas y productos de numeros reales.Por ejemplo, al realizar la suma (2x + 3) + (x2 − x + 2), usando laspropiedades asociativa y conmutativa de numeros reales y factorizando lavariable tenemos:

(2x + 3) + (x2 − x + 2) = x2 + (2x − x) + (3 + 2)

= x2 + (2− 1)x + 5

= x2 + x + 5

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Operaciones entre polinomios

Suma

Para realizar operaciones entre polinomios, como suma, resta,multiplicacion y division, simplemente procedemos teniendo en cuenta queson sumas y productos de numeros reales.Por ejemplo, al realizar la suma (2x + 3) + (x2 − x + 2), usando laspropiedades asociativa y conmutativa de numeros reales y factorizando lavariable tenemos:

(2x + 3) + (x2 − x + 2) = x2 + (2x − x) + (3 + 2)

= x2 + (2− 1)x + 5

= x2 + x + 5

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Operaciones entre polinomios

Suma

Para realizar operaciones entre polinomios, como suma, resta,multiplicacion y division, simplemente procedemos teniendo en cuenta queson sumas y productos de numeros reales.Por ejemplo, al realizar la suma (2x + 3) + (x2 − x + 2), usando laspropiedades asociativa y conmutativa de numeros reales y factorizando lavariable tenemos:

(2x + 3) + (x2 − x + 2) = x2 + (2x − x) + (3 + 2)

= x2 + (2− 1)x + 5

= x2 + x + 5

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Operaciones entre polinomios

Suma

Para realizar operaciones entre polinomios, como suma, resta,multiplicacion y division, simplemente procedemos teniendo en cuenta queson sumas y productos de numeros reales.Por ejemplo, al realizar la suma (2x + 3) + (x2 − x + 2), usando laspropiedades asociativa y conmutativa de numeros reales y factorizando lavariable tenemos:

(2x + 3) + (x2 − x + 2) = x2 + (2x − x) + (3 + 2)

= x2 + (2− 1)x + 5

= x2 + x + 5

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Operaciones entre polinomios

Diferencia

De forma analoga con la diferencia:

(2x + 3)− (x2 − x + 2)

= −x2 + (2x − (−x)) + (3− 2)

= −x2 + (2 + 1)x + 1

= −x2 + 3x + 1

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Operaciones entre polinomios

Diferencia

De forma analoga con la diferencia:

(2x + 3)− (x2 − x + 2) = −x2 + (2x − (−x)) + (3− 2)

= −x2 + (2 + 1)x + 1

= −x2 + 3x + 1

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Operaciones entre polinomios

Diferencia

De forma analoga con la diferencia:

(2x + 3)− (x2 − x + 2) = −x2 + (2x − (−x)) + (3− 2)

= −x2 + (2 + 1)x + 1

= −x2 + 3x + 1

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Operaciones entre polinomios

Diferencia

De forma analoga con la diferencia:

(2x + 3)− (x2 − x + 2) = −x2 + (2x − (−x)) + (3− 2)

= −x2 + (2 + 1)x + 1

= −x2 + 3x + 1

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Operaciones entre polinomios

Producto

Para el producto:

(2x + 3)(x2 − x + 2)

= 2x(x2 − x + 2) + 3(x2 − x + 2)

= 2x3 − 2x2 + 4x + 3x2 − 3x + 6

= 2x3 + x2 + x + 6

Note que aquı la propiedad distributiva del producto con respecto a lasuma es muy importante.

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Operaciones entre polinomios

Producto

Para el producto:

(2x + 3)(x2 − x + 2) = 2x(x2 − x + 2) + 3(x2 − x + 2)

= 2x3 − 2x2 + 4x + 3x2 − 3x + 6

= 2x3 + x2 + x + 6

Note que aquı la propiedad distributiva del producto con respecto a lasuma es muy importante.

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Operaciones entre polinomios

Producto

Para el producto:

(2x + 3)(x2 − x + 2) = 2x(x2 − x + 2) + 3(x2 − x + 2)

= 2x3 − 2x2 + 4x + 3x2 − 3x + 6

= 2x3 + x2 + x + 6

Note que aquı la propiedad distributiva del producto con respecto a lasuma es muy importante.

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Operaciones entre polinomios

Producto

Para el producto:

(2x + 3)(x2 − x + 2) = 2x(x2 − x + 2) + 3(x2 − x + 2)

= 2x3 − 2x2 + 4x + 3x2 − 3x + 6

= 2x3 + x2 + x + 6

Note que aquı la propiedad distributiva del producto con respecto a lasuma es muy importante.

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Operaciones entre polinomios

Producto

Para el producto:

(2x + 3)(x2 − x + 2) = 2x(x2 − x + 2) + 3(x2 − x + 2)

= 2x3 − 2x2 + 4x + 3x2 − 3x + 6

= 2x3 + x2 + x + 6

Note que aquı la propiedad distributiva del producto con respecto a lasuma es muy importante.

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Operaciones entre polinomios

Factorizacion

Si un polinomio p(x) se puede expresar como producto de polinomios demenor grado, decimos que el polinomio se encuentra factorizado.

Por ejemplo,

p(x) = x2 − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2)

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Operaciones entre polinomios

Factorizacion

Si un polinomio p(x) se puede expresar como producto de polinomios demenor grado, decimos que el polinomio se encuentra factorizado.Por ejemplo,

p(x) = x2 − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2)

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Operaciones entre polinomios

Productos notables

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a− b)2 = a2 − 2ab + b2

(a− b)(a + b) = a2 − b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a− b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

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Operaciones entre polinomios

Productos notables

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a− b)2 = a2 − 2ab + b2

(a− b)(a + b) = a2 − b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a− b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

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Operaciones entre polinomios

Productos notables

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a− b)2 = a2 − 2ab + b2

(a− b)(a + b) = a2 − b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a− b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

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Operaciones entre polinomios

Productos notables

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a− b)2 = a2 − 2ab + b2

(a− b)(a + b) = a2 − b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a− b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

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Operaciones entre polinomios

Productos notables

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a− b)2 = a2 − 2ab + b2

(a− b)(a + b) = a2 − b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a− b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

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Operaciones entre polinomios

Factorizacion

a2 − b2 = (a− b)(a + b)

a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab + b2)

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)

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Operaciones entre polinomios

Factorizacion

a2 − b2 = (a− b)(a + b)

a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab + b2)

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)

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Operaciones entre polinomios

Factorizacion

a2 − b2 = (a− b)(a + b)

a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab + b2)

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)

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Operaciones entre polinomios

Si un polinomio no se puede expresar como producto notable, ¿comoencontrar su factorizacion?

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Operaciones entre polinomios

Division

Recordemos que en los numeros reales

32 5

62

Luego,

32 = (5)(6) + 2

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Operaciones entre polinomios

Division

Recordemos que en los numeros reales

32 5

62

Luego,

32 = (5)(6) + 2

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Operaciones entre polinomios

Division

En forma analoga para polinomios

x2 − x + 2 x + 1

x − 2−x2 − x

2x + 2−2x + 2

4

x2 − x + 2 = (x + 1)(x − 2) + 4

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Operaciones entre polinomios

Division

En forma analoga para polinomios

x2 − x + 2 x + 1

x − 2−x2 − x

2x + 2−2x + 2

4

x2 − x + 2 = (x + 1)(x − 2) + 4

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Division de Polinomios

Algoritmo de la division para polinomios

Si p(x) y s(x) son polinomios, donde el grado de p(x) es mayor o igualque el grado de s(x) y si s(x) 6= 0, entonces existen polinomios q(x) yr(x) tales que

p(x) = s(x) · q(x) + r(x),

donde el grado de r(x) es menor que el grado de s(x).El polinomio q(x) es el cociente y r(x) es el residuo.

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Division de Polinomios

Algoritmo de la division para polinomios

Si p(x) y s(x) son polinomios, donde el grado de p(x) es mayor o igualque el grado de s(x) y si s(x) 6= 0, entonces existen polinomios q(x) yr(x) tales que

p(x) = s(x) · q(x) + r(x),

donde el grado de r(x) es menor que el grado de s(x).El polinomio q(x) es el cociente y r(x) es el residuo.

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Division de Polinomios

Algoritmo de la division para polinomios

Si p(x) y s(x) son polinomios, donde el grado de p(x) es mayor o igualque el grado de s(x) y si s(x) 6= 0, entonces existen polinomios q(x) yr(x) tales que

p(x) = s(x) · q(x) + r(x),

donde el grado de r(x) es menor que el grado de s(x).

El polinomio q(x) es el cociente y r(x) es el residuo.

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Division de Polinomios

Algoritmo de la division para polinomios

Si p(x) y s(x) son polinomios, donde el grado de p(x) es mayor o igualque el grado de s(x) y si s(x) 6= 0, entonces existen polinomios q(x) yr(x) tales que

p(x) = s(x) · q(x) + r(x),

donde el grado de r(x) es menor que el grado de s(x).El polinomio q(x) es el cociente y r(x) es el residuo.

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Division de Polinomios

Algoritmo de la division para polinomios

En el ejemplo anterior

x2 − x + 2︸ ︷︷ ︸p(x)

= (x + 1)︸ ︷︷ ︸s(x)

(x − 2)︸ ︷︷ ︸q(x)

+ 4︸︷︷︸r(x)

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Division de Polinomios

Un caso especial se presenta cuando s(x) es de la forma (x − c), donde ces un numero real. Entonces,

p(x) = (x − c)q(x) + r(x),

donde el grado de r(x) debe ser menor que el grado de x − c , es decirmenor que 1. Luego, r(x) debe ser un polinomio constante, ası que

p(x) = (x − c)q(x) + d .

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Division de Polinomios

Un caso especial se presenta cuando s(x) es de la forma (x − c), donde ces un numero real. Entonces,

p(x) = (x − c)q(x) + r(x),

donde el grado de r(x) debe ser menor que el grado de x − c , es decirmenor que 1.

Luego, r(x) debe ser un polinomio constante, ası que

p(x) = (x − c)q(x) + d .

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Division de Polinomios

Un caso especial se presenta cuando s(x) es de la forma (x − c), donde ces un numero real. Entonces,

p(x) = (x − c)q(x) + r(x),

donde el grado de r(x) debe ser menor que el grado de x − c , es decirmenor que 1. Luego, r(x) debe ser un polinomio constante, ası que

p(x) = (x − c)q(x) + d .

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Division de Polinomios

Un caso especial se presenta cuando s(x) es de la forma (x − c), donde ces un numero real. Entonces,

p(x) = (x − c)q(x) + r(x),

donde el grado de r(x) debe ser menor que el grado de x − c , es decirmenor que 1. Luego, r(x) debe ser un polinomio constante, ası que

p(x) = (x − c)q(x) + d .

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Teorema del residuo

Si evaluamos el polinomio p(x) en el valor real c tenemos que

p(c) = (c − c)q(c) + d = d ,

es decir, el residuo en esta division es p(c) = d .

Teorema del residuo

Si un polinomio p(x) se divide entre x − c , entonces el residuo de estadivision es p(c).

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Teorema del residuo

Si evaluamos el polinomio p(x) en el valor real c tenemos que

p(c) = (c − c)q(c) + d = d ,

es decir, el residuo en esta division es p(c) = d .

Teorema del residuo

Si un polinomio p(x) se divide entre x − c , entonces el residuo de estadivision es p(c).

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Teorema del residuo

Si evaluamos el polinomio p(x) en el valor real c tenemos que

p(c) = (c − c)q(c) + d = d ,

es decir, el residuo en esta division es p(c) = d .

Teorema del residuo

Si un polinomio p(x) se divide entre x − c , entonces el residuo de estadivision es p(c).

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Teorema del residuo

Si evaluamos el polinomio p(x) en el valor real c tenemos que

p(c) = (c − c)q(c) + d = d ,

es decir, el residuo en esta division es p(c) = d .

Teorema del residuo

Si un polinomio p(x) se divide entre x − c , entonces el residuo de estadivision es p(c).

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Teorema del residuo

En ejemplo anterior,

p(x) = x2 − x + 2 y p(2) = 4

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Teorema del residuo

Ejemplo

Encuentre el residuo si p(x) = 3x3 − 2x − 4 se divide entre x + 2, sinhacer la division.

p(−2) = 3(−2)3 − 2(−2)− 4 = −24

¿Que sucede si el residuo es cero?

Si el residuo es cero, la division es exacta y el polinomio queda factorizado.

Teorema del Factor

Un polinomio p(x) tiene un factor (x − c) si y solo si p(c) = 0.

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Teorema del residuo

Ejemplo

Encuentre el residuo si p(x) = 3x3 − 2x − 4 se divide entre x + 2, sinhacer la division.

p(−2) = 3(−2)3 − 2(−2)− 4 = −24

¿Que sucede si el residuo es cero?

Si el residuo es cero, la division es exacta y el polinomio queda factorizado.

Teorema del Factor

Un polinomio p(x) tiene un factor (x − c) si y solo si p(c) = 0.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 18 / 39

Teorema del residuo

Ejemplo

Encuentre el residuo si p(x) = 3x3 − 2x − 4 se divide entre x + 2, sinhacer la division.

p(−2) = 3(−2)3 − 2(−2)− 4 = −24

¿Que sucede si el residuo es cero?

Si el residuo es cero, la division es exacta y el polinomio queda factorizado.

Teorema del Factor

Un polinomio p(x) tiene un factor (x − c) si y solo si p(c) = 0.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 18 / 39

Teorema del residuo

Ejemplo

Encuentre el residuo si p(x) = 3x3 − 2x − 4 se divide entre x + 2, sinhacer la division.

p(−2) = 3(−2)3 − 2(−2)− 4 = −24

¿Que sucede si el residuo es cero?

Si el residuo es cero, la division es exacta y el polinomio queda factorizado.

Teorema del Factor

Un polinomio p(x) tiene un factor (x − c) si y solo si p(c) = 0.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 18 / 39

Teorema del residuo

Ejemplo

Encuentre el residuo si p(x) = 3x3 − 2x − 4 se divide entre x + 2, sinhacer la division.

p(−2) = 3(−2)3 − 2(−2)− 4 = −24

¿Que sucede si el residuo es cero?

Si el residuo es cero, la division es exacta y el polinomio queda factorizado.

Teorema del Factor

Un polinomio p(x) tiene un factor (x − c) si y solo si p(c) = 0.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 18 / 39

Division de Polinomios

Ejemplo

Pruebe que x + 3 es factor x3 + x2 − 2x + 12.

El residuo es

p(−3) = (−3)3 + (−3)2 − 2(−3) + 12 = 0

y el polinomio se puede factorizar como

p(x) = (x + 3)(x2 − 2x + 4).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 19 / 39

Division de Polinomios

Ejemplo

Pruebe que x + 3 es factor x3 + x2 − 2x + 12.El residuo es

p(−3) = (−3)3 + (−3)2 − 2(−3) + 12 = 0

y el polinomio se puede factorizar como

p(x) = (x + 3)(x2 − 2x + 4).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 19 / 39

Division de Polinomios

Ejemplo

Pruebe que x + 3 es factor x3 + x2 − 2x + 12.El residuo es

p(−3) = (−3)3 + (−3)2 − 2(−3) + 12 = 0

y el polinomio se puede factorizar como

p(x) = (x + 3)(x2 − 2x + 4).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 19 / 39

Ceros de un polinomio

Definicion

Los ceros de un polinomio

p(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x + a0,

o las raıces de la ecuacion polinomica p(x) = 0, son los valores a ∈ R talesque

p(a) = 0

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 20 / 39

Ceros de un polinomio

Definicion

Los ceros de un polinomio

p(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x + a0,

o las raıces de la ecuacion polinomica p(x) = 0,

son los valores a ∈ R talesque

p(a) = 0

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 20 / 39

Ceros de un polinomio

Definicion

Los ceros de un polinomio

p(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x + a0,

o las raıces de la ecuacion polinomica p(x) = 0, son los valores a ∈ R talesque

p(a) = 0

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 20 / 39

Ceros de un polinomio

Ejemplo

Los ceros del polinomio p(x) = x2 − 5x + 6 son 2 y 3, puesp(2) = (2)2 − 5(2) + 6 = 0 y p(3) = (3)2 − 5(3) + 6 = 0.

Usando el teorema del factor tenemos:

p(x) = x2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 21 / 39

Ceros de un polinomio

Ejemplo

Los ceros del polinomio p(x) = x2 − 5x + 6 son 2 y 3, puesp(2) = (2)2 − 5(2) + 6 = 0 y p(3) = (3)2 − 5(3) + 6 = 0.Usando el teorema del factor tenemos:

p(x) = x2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 21 / 39

Ceros de un polinomio

Definicion

Si el polinomio p(x) puede factorizarse como

p(x) = (x − a)mq(x),

donde a no es un cero de q(x) y m es un entero mayor o igual que 1,

decimos que a es un cero de p(x) de multiplicidad m.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 22 / 39

Ceros de un polinomio

Definicion

Si el polinomio p(x) puede factorizarse como

p(x) = (x − a)mq(x),

donde a no es un cero de q(x) y m es un entero mayor o igual que 1,decimos que a es un cero de p(x) de multiplicidad m.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 22 / 39

Ceros de un polinomio

Ejemplo

Si p(x) = (x − 3)2(x + 2)(x − 1)5,

decimos que3 es un cero de multiplicidad 2,−2 es un cero de multiplicidad 1 y1 es un cero de multiplicidad 5.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 23 / 39

Ceros de un polinomio

Ejemplo

Si p(x) = (x − 3)2(x + 2)(x − 1)5, decimos que3 es un cero de multiplicidad 2,−2 es un cero de multiplicidad 1 y1 es un cero de multiplicidad 5.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 23 / 39

Division de Polinomios

Ejemplo

¿Como encontrar un polinomio de grado 3 que tenga como ceros a 2, −3,5?

p(x) = (x − 2)(x + 3)(x − 5)

= (x2 + x − 6)(x − 5)

= x3 − 4x2 − 11x + 30

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 24 / 39

Division de Polinomios

Ejemplo

¿Como encontrar un polinomio de grado 3 que tenga como ceros a 2, −3,5?

p(x) = (x − 2)(x + 3)(x − 5)

= (x2 + x − 6)(x − 5)

= x3 − 4x2 − 11x + 30

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 24 / 39

Division de Polinomios

Ejemplo

¿Como encontrar un polinomio de grado 3 que tenga como ceros a 2, −3,5?

p(x) = (x − 2)(x + 3)(x − 5)

= (x2 + x − 6)(x − 5)

= x3 − 4x2 − 11x + 30

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 24 / 39

Division de Polinomios

Ejemplo

¿Como encontrar un polinomio de grado 3 que tenga como ceros a 2, −3,5?

p(x) = (x − 2)(x + 3)(x − 5)

= (x2 + x − 6)(x − 5)

= x3 − 4x2 − 11x + 30

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 24 / 39

Division Sintetica

Existe un metodo mas rapido para dividir un polinomio p(x) entre x − ccon c un numero real, la division sintetica.

Ejemplo

Dividir p(x) = 4x4 + x3 − 3x2 − 4x + 5 entre x + 2

4 1 −3 −4 5−2

4

−8

−714

11

−22

−2652

57︸︷︷︸residuo

Entonces,

4x4 + x3 − 3x2 − 4x + 5 = (x + 2)(4x3 − 7x2 + 11x − 26) + 57.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 25 / 39

Division Sintetica

Existe un metodo mas rapido para dividir un polinomio p(x) entre x − ccon c un numero real, la division sintetica.

Ejemplo

Dividir p(x) = 4x4 + x3 − 3x2 − 4x + 5 entre x + 2

4 1 −3 −4 5−2

4

−8

−714

11

−22

−2652

57︸︷︷︸residuo

Entonces,

4x4 + x3 − 3x2 − 4x + 5 = (x + 2)(4x3 − 7x2 + 11x − 26) + 57.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 25 / 39

Division Sintetica

Existe un metodo mas rapido para dividir un polinomio p(x) entre x − ccon c un numero real, la division sintetica.

Ejemplo

Dividir p(x) = 4x4 + x3 − 3x2 − 4x + 5 entre x + 2

4 1 −3 −4 5

−2

4

−8

−714

11

−22

−2652

57︸︷︷︸residuo

Entonces,

4x4 + x3 − 3x2 − 4x + 5 = (x + 2)(4x3 − 7x2 + 11x − 26) + 57.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 25 / 39

Division Sintetica

Existe un metodo mas rapido para dividir un polinomio p(x) entre x − ccon c un numero real, la division sintetica.

Ejemplo

Dividir p(x) = 4x4 + x3 − 3x2 − 4x + 5 entre x + 2

4 1 −3 −4 5−2

4

−8

−714

11

−22

−2652

57︸︷︷︸residuo

Entonces,

4x4 + x3 − 3x2 − 4x + 5 = (x + 2)(4x3 − 7x2 + 11x − 26) + 57.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 25 / 39

Division Sintetica

Existe un metodo mas rapido para dividir un polinomio p(x) entre x − ccon c un numero real, la division sintetica.

Ejemplo

Dividir p(x) = 4x4 + x3 − 3x2 − 4x + 5 entre x + 2

4 1 −3 −4 5−2

4

−8

−714

11

−22

−2652

57︸︷︷︸residuo

Entonces,

4x4 + x3 − 3x2 − 4x + 5 = (x + 2)(4x3 − 7x2 + 11x − 26) + 57.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 25 / 39

Division Sintetica

Existe un metodo mas rapido para dividir un polinomio p(x) entre x − ccon c un numero real, la division sintetica.

Ejemplo

Dividir p(x) = 4x4 + x3 − 3x2 − 4x + 5 entre x + 2

4 1 −3 −4 5−2

4

−8

−714

11

−22

−2652

57︸︷︷︸residuo

Entonces,

4x4 + x3 − 3x2 − 4x + 5 = (x + 2)(4x3 − 7x2 + 11x − 26) + 57.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 25 / 39

Division Sintetica

Existe un metodo mas rapido para dividir un polinomio p(x) entre x − ccon c un numero real, la division sintetica.

Ejemplo

Dividir p(x) = 4x4 + x3 − 3x2 − 4x + 5 entre x + 2

4 1 −3 −4 5−2

4

−8

−7

14

11

−22

−2652

57︸︷︷︸residuo

Entonces,

4x4 + x3 − 3x2 − 4x + 5 = (x + 2)(4x3 − 7x2 + 11x − 26) + 57.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 25 / 39

Division Sintetica

Existe un metodo mas rapido para dividir un polinomio p(x) entre x − ccon c un numero real, la division sintetica.

Ejemplo

Dividir p(x) = 4x4 + x3 − 3x2 − 4x + 5 entre x + 2

4 1 −3 −4 5−2

4

−8

−714

11

−22

−2652

57︸︷︷︸residuo

Entonces,

4x4 + x3 − 3x2 − 4x + 5 = (x + 2)(4x3 − 7x2 + 11x − 26) + 57.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 25 / 39

Division Sintetica

Existe un metodo mas rapido para dividir un polinomio p(x) entre x − ccon c un numero real, la division sintetica.

Ejemplo

Dividir p(x) = 4x4 + x3 − 3x2 − 4x + 5 entre x + 2

4 1 −3 −4 5−2

4

−8

−714

11

−22

−2652

57︸︷︷︸residuo

Entonces,

4x4 + x3 − 3x2 − 4x + 5 = (x + 2)(4x3 − 7x2 + 11x − 26) + 57.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 25 / 39

Division Sintetica

Existe un metodo mas rapido para dividir un polinomio p(x) entre x − ccon c un numero real, la division sintetica.

Ejemplo

Dividir p(x) = 4x4 + x3 − 3x2 − 4x + 5 entre x + 2

4 1 −3 −4 5−2

4

−8

−714

11

−22

−2652

57︸︷︷︸residuo

Entonces,

4x4 + x3 − 3x2 − 4x + 5 = (x + 2)(4x3 − 7x2 + 11x − 26) + 57.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 25 / 39

Division Sintetica

Existe un metodo mas rapido para dividir un polinomio p(x) entre x − ccon c un numero real, la division sintetica.

Ejemplo

Dividir p(x) = 4x4 + x3 − 3x2 − 4x + 5 entre x + 2

4 1 −3 −4 5−2

4

−8

−714

11

−22

−26

52

57︸︷︷︸residuo

Entonces,

4x4 + x3 − 3x2 − 4x + 5 = (x + 2)(4x3 − 7x2 + 11x − 26) + 57.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 25 / 39

Division Sintetica

Existe un metodo mas rapido para dividir un polinomio p(x) entre x − ccon c un numero real, la division sintetica.

Ejemplo

Dividir p(x) = 4x4 + x3 − 3x2 − 4x + 5 entre x + 2

4 1 −3 −4 5−2

4

−8

−714

11

−22

−2652

57︸︷︷︸residuo

Entonces,

4x4 + x3 − 3x2 − 4x + 5 = (x + 2)(4x3 − 7x2 + 11x − 26) + 57.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 25 / 39

Division Sintetica

Existe un metodo mas rapido para dividir un polinomio p(x) entre x − ccon c un numero real, la division sintetica.

Ejemplo

Dividir p(x) = 4x4 + x3 − 3x2 − 4x + 5 entre x + 2

4 1 −3 −4 5−2

4

−8

−714

11

−22

−2652

57︸︷︷︸residuo

Entonces,

4x4 + x3 − 3x2 − 4x + 5 = (x + 2)(4x3 − 7x2 + 11x − 26) + 57.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 25 / 39

Division Sintetica

Existe un metodo mas rapido para dividir un polinomio p(x) entre x − ccon c un numero real, la division sintetica.

Ejemplo

Dividir p(x) = 4x4 + x3 − 3x2 − 4x + 5 entre x + 2

4 1 −3 −4 5−2

4

−8

−714

11

−22

−2652

57︸︷︷︸residuo

Entonces,

4x4 + x3 − 3x2 − 4x + 5 = (x + 2)(4x3 − 7x2 + 11x − 26) + 57.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 25 / 39

Division Sintetica

Ejemplo

Dividir p(x) = x5 − 6x4 + 25x2 − 9x + 45 entre x − 3.

1 −6 0 25 −9 45

3

1

3−3

−9

−9

−27

−2

−6

−15

−45

0︸︷︷︸residuo

Entonces, x5− 6x4 + 25x2− 9x + 45 = (x − 3)(x4− 3x3− 9x2− 2x − 15).

Note que si una potencia de x falta en el polinomio, se asigna cero alcoeficiente correspondiente.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 26 / 39

Division Sintetica

Ejemplo

Dividir p(x) = x5 − 6x4 + 25x2 − 9x + 45 entre x − 3.

1 −6 0 25 −9 45

3

1

3−3

−9

−9

−27

−2

−6

−15

−45

0︸︷︷︸residuo

Entonces, x5− 6x4 + 25x2− 9x + 45 = (x − 3)(x4− 3x3− 9x2− 2x − 15).

Note que si una potencia de x falta en el polinomio, se asigna cero alcoeficiente correspondiente.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 26 / 39

Division Sintetica

Ejemplo

Dividir p(x) = x5 − 6x4 + 25x2 − 9x + 45 entre x − 3.

1 −6 0 25 −9 45

3

1

3−3

−9

−9

−27

−2

−6

−15

−45

0︸︷︷︸residuo

Entonces, x5− 6x4 + 25x2− 9x + 45 = (x − 3)(x4− 3x3− 9x2− 2x − 15).

Note que si una potencia de x falta en el polinomio, se asigna cero alcoeficiente correspondiente.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 26 / 39

Division Sintetica

Ejemplo

Dividir p(x) = x5 − 6x4 + 25x2 − 9x + 45 entre x − 3.

1 −6 0 25 −9 45

3

1

3−3

−9

−9

−27

−2

−6

−15

−45

0︸︷︷︸residuo

Entonces, x5− 6x4 + 25x2− 9x + 45 = (x − 3)(x4− 3x3− 9x2− 2x − 15).

Note que si una potencia de x falta en el polinomio, se asigna cero alcoeficiente correspondiente.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 26 / 39

Division Sintetica

Ejemplo

Dividir p(x) = x5 − 6x4 + 25x2 − 9x + 45 entre x − 3.

1 −6 0 25 −9 45

3

1

3

−3

−9

−9

−27

−2

−6

−15

−45

0︸︷︷︸residuo

Entonces, x5− 6x4 + 25x2− 9x + 45 = (x − 3)(x4− 3x3− 9x2− 2x − 15).

Note que si una potencia de x falta en el polinomio, se asigna cero alcoeficiente correspondiente.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 26 / 39

Division Sintetica

Ejemplo

Dividir p(x) = x5 − 6x4 + 25x2 − 9x + 45 entre x − 3.

1 −6 0 25 −9 45

3

1

3−3

−9

−9

−27

−2

−6

−15

−45

0︸︷︷︸residuo

Entonces, x5− 6x4 + 25x2− 9x + 45 = (x − 3)(x4− 3x3− 9x2− 2x − 15).

Note que si una potencia de x falta en el polinomio, se asigna cero alcoeficiente correspondiente.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 26 / 39

Division Sintetica

Ejemplo

Dividir p(x) = x5 − 6x4 + 25x2 − 9x + 45 entre x − 3.

1 −6 0 25 −9 45

3

1

3−3

−9

−9

−27

−2

−6

−15

−45

0︸︷︷︸residuo

Entonces, x5− 6x4 + 25x2− 9x + 45 = (x − 3)(x4− 3x3− 9x2− 2x − 15).

Note que si una potencia de x falta en el polinomio, se asigna cero alcoeficiente correspondiente.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 26 / 39

Division Sintetica

Ejemplo

Dividir p(x) = x5 − 6x4 + 25x2 − 9x + 45 entre x − 3.

1 −6 0 25 −9 45

3

1

3−3

−9

−9

−27

−2

−6

−15

−45

0︸︷︷︸residuo

Entonces, x5− 6x4 + 25x2− 9x + 45 = (x − 3)(x4− 3x3− 9x2− 2x − 15).

Note que si una potencia de x falta en el polinomio, se asigna cero alcoeficiente correspondiente.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 26 / 39

Division Sintetica

Ejemplo

Dividir p(x) = x5 − 6x4 + 25x2 − 9x + 45 entre x − 3.

1 −6 0 25 −9 45

3

1

3−3

−9

−9

−27

−2

−6

−15

−45

0︸︷︷︸residuo

Entonces, x5− 6x4 + 25x2− 9x + 45 = (x − 3)(x4− 3x3− 9x2− 2x − 15).

Note que si una potencia de x falta en el polinomio, se asigna cero alcoeficiente correspondiente.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 26 / 39

Division Sintetica

Ejemplo

Dividir p(x) = x5 − 6x4 + 25x2 − 9x + 45 entre x − 3.

1 −6 0 25 −9 45

3

1

3−3

−9

−9

−27

−2

−6

−15

−45

0︸︷︷︸residuo

Entonces, x5− 6x4 + 25x2− 9x + 45 = (x − 3)(x4− 3x3− 9x2− 2x − 15).

Note que si una potencia de x falta en el polinomio, se asigna cero alcoeficiente correspondiente.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 26 / 39

Division Sintetica

Ejemplo

Dividir p(x) = x5 − 6x4 + 25x2 − 9x + 45 entre x − 3.

1 −6 0 25 −9 45

3

1

3−3

−9

−9

−27

−2

−6

−15

−45

0︸︷︷︸residuo

Entonces, x5− 6x4 + 25x2− 9x + 45 = (x − 3)(x4− 3x3− 9x2− 2x − 15).

Note que si una potencia de x falta en el polinomio, se asigna cero alcoeficiente correspondiente.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 26 / 39

Division Sintetica

Ejemplo

Dividir p(x) = x5 − 6x4 + 25x2 − 9x + 45 entre x − 3.

1 −6 0 25 −9 45

3

1

3−3

−9

−9

−27

−2

−6

−15

−45

0︸︷︷︸residuo

Entonces, x5− 6x4 + 25x2− 9x + 45 = (x − 3)(x4− 3x3− 9x2− 2x − 15).

Note que si una potencia de x falta en el polinomio, se asigna cero alcoeficiente correspondiente.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 26 / 39

Division Sintetica

Ejemplo

Dividir p(x) = x5 − 6x4 + 25x2 − 9x + 45 entre x − 3.

1 −6 0 25 −9 45

3

1

3−3

−9

−9

−27

−2

−6

−15

−45

0︸︷︷︸residuo

Entonces, x5− 6x4 + 25x2− 9x + 45 = (x − 3)(x4− 3x3− 9x2− 2x − 15).

Note que si una potencia de x falta en el polinomio, se asigna cero alcoeficiente correspondiente.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 26 / 39

Division Sintetica

Ejemplo

Dividir p(x) = x5 − 6x4 + 25x2 − 9x + 45 entre x − 3.

1 −6 0 25 −9 45

3

1

3−3

−9

−9

−27

−2

−6

−15

−45

0︸︷︷︸residuo

Entonces, x5− 6x4 + 25x2− 9x + 45 = (x − 3)(x4− 3x3− 9x2− 2x − 15).

Note que si una potencia de x falta en el polinomio, se asigna cero alcoeficiente correspondiente.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 26 / 39

Division Sintetica

Ejemplo

Dividir p(x) = x5 − 6x4 + 25x2 − 9x + 45 entre x − 3.

1 −6 0 25 −9 45

3

1

3−3

−9

−9

−27

−2

−6

−15

−45

0︸︷︷︸residuo

Entonces, x5− 6x4 + 25x2− 9x + 45 = (x − 3)(x4− 3x3− 9x2− 2x − 15).

Note que si una potencia de x falta en el polinomio, se asigna cero alcoeficiente correspondiente.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 26 / 39

Division Sintetica

Ejemplo

Dividir p(x) = x5 − 6x4 + 25x2 − 9x + 45 entre x − 3.

1 −6 0 25 −9 45

3

1

3−3

−9

−9

−27

−2

−6

−15

−45

0︸︷︷︸residuo

Entonces, x5− 6x4 + 25x2− 9x + 45 = (x − 3)(x4− 3x3− 9x2− 2x − 15).

Note que si una potencia de x falta en el polinomio, se asigna cero alcoeficiente correspondiente.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 26 / 39

Division Sintetica

¿Que significa que el residuo sea cero?

Que la division es exacta y por lo tanto, el polinomio quedo factorizado. Elprimer factor es lineal y el segundo factor de grado 4.

Podemos tratar de factorizar el polinomio de grado 4, usando el mismometodo, pero ¿con que valores se hace la division sintetica?

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 27 / 39

Division Sintetica

¿Que significa que el residuo sea cero?

Que la division es exacta y por lo tanto, el polinomio quedo factorizado. Elprimer factor es lineal y el segundo factor de grado 4.

Podemos tratar de factorizar el polinomio de grado 4, usando el mismometodo, pero ¿con que valores se hace la division sintetica?

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 27 / 39

Division Sintetica

¿Que significa que el residuo sea cero?

Que la division es exacta y por lo tanto, el polinomio quedo factorizado. Elprimer factor es lineal y el segundo factor de grado 4.

Podemos tratar de factorizar el polinomio de grado 4, usando el mismometodo, pero ¿con que valores se hace la division sintetica?

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 27 / 39

Ceros racionales de un polinomio

Sea p(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a2x2 + a1x + a0 un polinomio con

coeficientes enteros.

Sea p un entero, divisor de a0.

Sea q un entero, divisor de an.

Los posibles ceros racionales del polinomio son de la forma pq .

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 28 / 39

Ceros racionales de un polinomio

Sea p(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a2x2 + a1x + a0 un polinomio con

coeficientes enteros.

Sea p un entero, divisor de a0.

Sea q un entero, divisor de an.

Los posibles ceros racionales del polinomio son de la forma pq .

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 28 / 39

Ceros racionales de un polinomio

Sea p(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a2x2 + a1x + a0 un polinomio con

coeficientes enteros.

Sea p un entero, divisor de a0.

Sea q un entero, divisor de an.

Los posibles ceros racionales del polinomio son de la forma pq .

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 28 / 39

Ceros racionales de un polinomio

Sea p(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a2x2 + a1x + a0 un polinomio con

coeficientes enteros.

Sea p un entero, divisor de a0.

Sea q un entero, divisor de an.

Los posibles ceros racionales del polinomio son de la forma pq .

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 28 / 39

Ceros racionales de un polinomio

Ejemplo

Consideremos el polinomio p(x) = 12x3 + 8x2 − 3x − 2,

aquı a0 = −2 ya3 = 12,

Valores de p: ±1, ±2

Valores de q: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Posibles raıces racionalespq : ±1, ±1

2 , ±13 , ±

14 , ±

16 , ±

112 , ±2, ±2

3

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 29 / 39

Ceros racionales de un polinomio

Ejemplo

Consideremos el polinomio p(x) = 12x3 + 8x2 − 3x − 2, aquı a0 = −2 ya3 = 12,

Valores de p: ±1, ±2

Valores de q: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Posibles raıces racionalespq : ±1, ±1

2 , ±13 , ±

14 , ±

16 , ±

112 , ±2, ±2

3

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 29 / 39

Ceros racionales de un polinomio

Ejemplo

Consideremos el polinomio p(x) = 12x3 + 8x2 − 3x − 2, aquı a0 = −2 ya3 = 12,

Valores de p: ±1, ±2

Valores de q: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Posibles raıces racionalespq : ±1, ±1

2 , ±13 , ±

14 , ±

16 , ±

112 , ±2, ±2

3

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 29 / 39

Ceros racionales de un polinomio

Ejemplo

Consideremos el polinomio p(x) = 12x3 + 8x2 − 3x − 2, aquı a0 = −2 ya3 = 12,

Valores de p: ±1, ±2

Valores de q: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Posibles raıces racionalespq : ±1, ±1

2 , ±13 , ±

14 , ±

16 , ±

112 , ±2, ±2

3

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 29 / 39

Ceros racionales de un polinomio

Ejemplo

Consideremos el polinomio p(x) = 12x3 + 8x2 − 3x − 2, aquı a0 = −2 ya3 = 12,

Valores de p: ±1, ±2

Valores de q: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Posibles raıces racionalespq : ±1, ±1

2 , ±13 , ±

14 , ±

16 , ±

112 , ±2, ±2

3

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 29 / 39

Ceros racionales de un polinomio

12 8 −3 −2

1

12

12

20

20

17

17

15 NO

12 8 −3 −212

12

6

14

7

4

2

0 X

p(x) =(x − 1

2

)(12x2 + 14x + 4)

12

12

6

20

10

14 NO

12 14 4−1

2

12

−6

8

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0 X

=(x − 1

2

) (x + 1

2

)(12x + 8)

= 12(x − 1

2

) (x + 1

2

)(x + 2

3 )

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 30 / 39

Ceros racionales de un polinomio

12 8 −3 −2

1

12

12

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17

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15 NO

12 8 −3 −212

12

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0 X

p(x) =(x − 1

2

)(12x2 + 14x + 4)

12

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12 14 4−1

2

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=(x − 1

2

) (x + 1

2

)(12x + 8)

= 12(x − 1

2

) (x + 1

2

)(x + 2

3 )

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 30 / 39

Ceros racionales de un polinomio

12 8 −3 −2

1

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15 NO

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2

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2

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)(12x + 8)

= 12(x − 1

2

) (x + 1

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)(x + 2

3 )

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 30 / 39

Ceros racionales de un polinomio

12 8 −3 −2

1

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15 NO

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2

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= 12(x − 1

2

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2

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3 )

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Ceros racionales de un polinomio

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1

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15 NO

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= 12(x − 1

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)(x + 2

3 )

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 30 / 39

Ceros racionales de un polinomio

12 8 −3 −2

1

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15 NO

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= 12(x − 1

2

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3 )

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Ceros racionales de un polinomio

12 8 −3 −2

1

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15 NO

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=(x − 1

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) (x + 1

2

)(12x + 8)

= 12(x − 1

2

) (x + 1

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)(x + 2

3 )

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 30 / 39

Ceros racionales de un polinomio

12 8 −3 −2

1

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2

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= 12(x − 1

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Ceros racionales de un polinomio

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NO

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)(12x + 8)

= 12(x − 1

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) (x + 1

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Ceros racionales de un polinomio

12 8 −3 −2

1

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= 12(x − 1

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Ceros racionales de un polinomio

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15 NO

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)(12x + 8)

= 12(x − 1

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3 )

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Ceros racionales de un polinomio

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)(12x + 8)

= 12(x − 1

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) (x + 1

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)(x + 2

3 )

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Ceros racionales de un polinomio

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1

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3 )

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Ceros racionales de un polinomio

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= 12(x − 1

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Ceros racionales de un polinomio

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) (x + 1

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= 12(x − 1

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) (x + 1

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Ceros racionales de un polinomio

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= 12(x − 1

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Ceros racionales de un polinomio

12 8 −3 −2

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= 12(x − 1

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Ceros racionales de un polinomio

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) (x + 1

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)(12x + 8)

= 12(x − 1

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) (x + 1

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Ceros racionales de un polinomio

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=(x − 1

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) (x + 1

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)(12x + 8)

= 12(x − 1

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) (x + 1

2

)(x + 2

3 )

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Ceros racionales de un polinomio

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Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 30 / 39

Ceros racionales de un polinomio

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1

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3 )

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 30 / 39

Ceros racionales de un polinomio

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Ceros racionales de un polinomio

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Ceros racionales de un polinomio

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Ceros racionales de un polinomio

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Ceros racionales de un polinomio

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Ceros racionales de un polinomio

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Ceros racionales de un polinomio

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Ceros racionales de un polinomio

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Ceros racionales de un polinomio

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Ceros racionales de un polinomio

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Ceros racionales de un polinomio

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Ceros racionales de un polinomio

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Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 30 / 39

Ceros racionales de un polinomio

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Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 30 / 39

Ceros racionales de un polinomio

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Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 30 / 39

Ceros racionales de un polinomio

12 8 −3 −2

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Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 30 / 39

Ceros racionales de un polinomio

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Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 30 / 39

Ceros racionales de un polinomio

Ejemplo

Consideremos el polinomiop(x) = 3x5 − 10x4 − 6x3 + 24x2 + 11x − 6,

aquı a0 = −6 y a5 = 3,

Valores de p: ±1, ±2, ±3, ±6

Valores de q: ±1, ±3,

Posibles raıces pq : ±1, ±1

3 , ±2, ±23 , ±3, ±6.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 31 / 39

Ceros racionales de un polinomio

Ejemplo

Consideremos el polinomiop(x) = 3x5 − 10x4 − 6x3 + 24x2 + 11x − 6, aquı a0 = −6 y a5 = 3,

Valores de p: ±1, ±2, ±3, ±6

Valores de q: ±1, ±3,

Posibles raıces pq : ±1, ±1

3 , ±2, ±23 , ±3, ±6.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 31 / 39

Ceros racionales de un polinomio

Ejemplo

Consideremos el polinomiop(x) = 3x5 − 10x4 − 6x3 + 24x2 + 11x − 6, aquı a0 = −6 y a5 = 3,

Valores de p: ±1, ±2, ±3, ±6

Valores de q: ±1, ±3,

Posibles raıces pq : ±1, ±1

3 , ±2, ±23 , ±3, ±6.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 31 / 39

Ceros racionales de un polinomio

Ejemplo

Consideremos el polinomiop(x) = 3x5 − 10x4 − 6x3 + 24x2 + 11x − 6, aquı a0 = −6 y a5 = 3,

Valores de p: ±1, ±2, ±3, ±6

Valores de q: ±1, ±3,

Posibles raıces pq : ±1, ±1

3 , ±2, ±23 , ±3, ±6.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 31 / 39

Ceros racionales de un polinomio

Ejemplo

Consideremos el polinomiop(x) = 3x5 − 10x4 − 6x3 + 24x2 + 11x − 6, aquı a0 = −6 y a5 = 3,

Valores de p: ±1, ±2, ±3, ±6

Valores de q: ±1, ±3,

Posibles raıces pq : ±1, ±1

3 , ±2, ±23 , ±3, ±6.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 31 / 39

Ceros racionales de un polinomio

3 −10 −6 24 11 −6

2

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Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 32 / 39

Ceros racionales de un polinomio

3 −10 −6 24 11 −6

2

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Ceros racionales de un polinomio

3 −10 −6 24 11 −6

2

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Ceros racionales de un polinomio

3 −10 −6 24 11 −6

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Ceros racionales de un polinomio

3 −10 −6 24 11 −6

2

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Ceros racionales de un polinomio

3 −10 −6 24 11 −6

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Ceros racionales de un polinomio

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Ceros racionales de un polinomio

3 −10 −6 24 11 −6

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Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 32 / 39

Ceros racionales de un polinomio

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Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 32 / 39

Ceros racionales de un polinomio

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Ceros racionales de un polinomio

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Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 32 / 39

Ceros racionales de un polinomio

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Ceros racionales de un polinomio

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Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 32 / 39

Ceros racionales de un polinomio

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Ceros racionales de un polinomio

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Ceros racionales de un polinomio

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Ceros racionales de un polinomio

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Ceros racionales de un polinomio

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Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 32 / 39

Ceros racionales de un polinomio

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Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 32 / 39

Ceros racionales de un polinomio

3 −10 −6 24 11 −6

2

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Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 32 / 39

Ceros racionales de un polinomio

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Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 32 / 39

Ceros racionales de un polinomio

3 −10 −6 24 11 −6

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Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 32 / 39

Ceros racionales de un polinomio

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Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 32 / 39

Ceros racionales de un polinomio

3 −10 −6 24 11 −6

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Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 32 / 39

Ceros racionales de un polinomio

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Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 32 / 39

Ceros racionales de un polinomio

3 −10 −6 24 11 −6

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Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 32 / 39

Ceros racionales de un polinomio

3 −10 −6 24 11 −6

2

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Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 32 / 39

Ceros racionales de un polinomio

3 −10 −6 24 11 −6

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Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 32 / 39

Ceros racionales de un polinomio

3 −10 −6 24 11 −6

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Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 32 / 39

Ceros racionales de un polinomio

3 −10 −6 24 11 −6

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Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 32 / 39

Ceros racionales de un polinomio

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Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 32 / 39

Ceros racionales de un polinomio

3 −10 −6 24 11 −6

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0

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 32 / 39

Ceros racionales de un polinomio

3 −10 −6 24 11 −6

2

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0

−1

3

−3

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9

0

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0

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 32 / 39

Ceros racionales de un polinomio

3 −10 −6 24 11 −6

2

3

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−28

−4

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3

6

0

13

3

1−3

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0

−1

3

−3

−66−9

9

0

−1

3

−3

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0

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 32 / 39

Ceros racionales de un polinomio

Este polinomio se puede factorizar como

p(x) = (x − 2)(3x4 − 4x3 − 14x2 − 4x + 3)

= (x − 2)(x − 1/3)(3x3 − 3x2 − 15x − 9)

= (x − 2)(x − 1/3)(x + 1)(3x2 − 6x − 9)

= (x − 2)(x − 1/3)(x + 1)(x + 1)(3x − 9)

= (x − 2)(x − 1/3)(x + 1)(x + 1)3(x − 3)

= 3(x − 2)(x − 1/3)(x + 1)2(x − 3)

y sus raıces son:

2 de multiplicidad 1,−1 de multiplicidad 2,

13 de multiplicidad 1,3 de multiplicidad 1.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 33 / 39

Ceros racionales de un polinomio

Este polinomio se puede factorizar como

p(x) = (x − 2)(3x4 − 4x3 − 14x2 − 4x + 3)

= (x − 2)(x − 1/3)(3x3 − 3x2 − 15x − 9)

= (x − 2)(x − 1/3)(x + 1)(3x2 − 6x − 9)

= (x − 2)(x − 1/3)(x + 1)(x + 1)(3x − 9)

= (x − 2)(x − 1/3)(x + 1)(x + 1)3(x − 3)

= 3(x − 2)(x − 1/3)(x + 1)2(x − 3)

y sus raıces son:

2 de multiplicidad 1,−1 de multiplicidad 2,

13 de multiplicidad 1,3 de multiplicidad 1.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 33 / 39

Ceros racionales de un polinomio

Este polinomio se puede factorizar como

p(x) = (x − 2)(3x4 − 4x3 − 14x2 − 4x + 3)

= (x − 2)(x − 1/3)(3x3 − 3x2 − 15x − 9)

= (x − 2)(x − 1/3)(x + 1)(3x2 − 6x − 9)

= (x − 2)(x − 1/3)(x + 1)(x + 1)(3x − 9)

= (x − 2)(x − 1/3)(x + 1)(x + 1)3(x − 3)

= 3(x − 2)(x − 1/3)(x + 1)2(x − 3)

y sus raıces son:

2 de multiplicidad 1,−1 de multiplicidad 2,

13 de multiplicidad 1,3 de multiplicidad 1.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 33 / 39

Ceros racionales de un polinomio

Este polinomio se puede factorizar como

p(x) = (x − 2)(3x4 − 4x3 − 14x2 − 4x + 3)

= (x − 2)(x − 1/3)(3x3 − 3x2 − 15x − 9)

= (x − 2)(x − 1/3)(x + 1)(3x2 − 6x − 9)

= (x − 2)(x − 1/3)(x + 1)(x + 1)(3x − 9)

= (x − 2)(x − 1/3)(x + 1)(x + 1)3(x − 3)

= 3(x − 2)(x − 1/3)(x + 1)2(x − 3)

y sus raıces son:

2 de multiplicidad 1,−1 de multiplicidad 2,

13 de multiplicidad 1,3 de multiplicidad 1.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 33 / 39

Ceros racionales de un polinomio

Este polinomio se puede factorizar como

p(x) = (x − 2)(3x4 − 4x3 − 14x2 − 4x + 3)

= (x − 2)(x − 1/3)(3x3 − 3x2 − 15x − 9)

= (x − 2)(x − 1/3)(x + 1)(3x2 − 6x − 9)

= (x − 2)(x − 1/3)(x + 1)(x + 1)(3x − 9)

= (x − 2)(x − 1/3)(x + 1)(x + 1)3(x − 3)

= 3(x − 2)(x − 1/3)(x + 1)2(x − 3)

y sus raıces son:

2 de multiplicidad 1,−1 de multiplicidad 2,

13 de multiplicidad 1,3 de multiplicidad 1.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 33 / 39

Ceros racionales de un polinomio

Este polinomio se puede factorizar como

p(x) = (x − 2)(3x4 − 4x3 − 14x2 − 4x + 3)

= (x − 2)(x − 1/3)(3x3 − 3x2 − 15x − 9)

= (x − 2)(x − 1/3)(x + 1)(3x2 − 6x − 9)

= (x − 2)(x − 1/3)(x + 1)(x + 1)(3x − 9)

= (x − 2)(x − 1/3)(x + 1)(x + 1)3(x − 3)

= 3(x − 2)(x − 1/3)(x + 1)2(x − 3)

y sus raıces son:

2 de multiplicidad 1,−1 de multiplicidad 2,

13 de multiplicidad 1,3 de multiplicidad 1.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 33 / 39

Ceros racionales de un polinomio

Este polinomio se puede factorizar como

p(x) = (x − 2)(3x4 − 4x3 − 14x2 − 4x + 3)

= (x − 2)(x − 1/3)(3x3 − 3x2 − 15x − 9)

= (x − 2)(x − 1/3)(x + 1)(3x2 − 6x − 9)

= (x − 2)(x − 1/3)(x + 1)(x + 1)(3x − 9)

= (x − 2)(x − 1/3)(x + 1)(x + 1)3(x − 3)

= 3(x − 2)(x − 1/3)(x + 1)2(x − 3)

y sus raıces son:

2 de multiplicidad 1,−1 de multiplicidad 2,

13 de multiplicidad 1,3 de multiplicidad 1.

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Ceros racionales de un polinomio

Este polinomio se puede factorizar como

p(x) = (x − 2)(3x4 − 4x3 − 14x2 − 4x + 3)

= (x − 2)(x − 1/3)(3x3 − 3x2 − 15x − 9)

= (x − 2)(x − 1/3)(x + 1)(3x2 − 6x − 9)

= (x − 2)(x − 1/3)(x + 1)(x + 1)(3x − 9)

= (x − 2)(x − 1/3)(x + 1)(x + 1)3(x − 3)

= 3(x − 2)(x − 1/3)(x + 1)2(x − 3)

y sus raıces son:

2 de multiplicidad 1,−1 de multiplicidad 2,

13 de multiplicidad 1,3 de multiplicidad 1.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 33 / 39

Ceros racionales de un polinomio

Este polinomio se puede factorizar como

p(x) = (x − 2)(3x4 − 4x3 − 14x2 − 4x + 3)

= (x − 2)(x − 1/3)(3x3 − 3x2 − 15x − 9)

= (x − 2)(x − 1/3)(x + 1)(3x2 − 6x − 9)

= (x − 2)(x − 1/3)(x + 1)(x + 1)(3x − 9)

= (x − 2)(x − 1/3)(x + 1)(x + 1)3(x − 3)

= 3(x − 2)(x − 1/3)(x + 1)2(x − 3)

y sus raıces son:

2 de multiplicidad 1,−1 de multiplicidad 2,

13 de multiplicidad 1,3 de multiplicidad 1.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 33 / 39

Ceros racionales de un polinomio

Ejemplo

Consideremos el polinomiop(x) = x3 − x2 − 2x + 2,

aquı a0 = 2 y a3 = 1,

Valores de p: ±1, ±2,

Valores de q: ±1,

Posibles raıces pq : ±1, ±2

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 34 / 39

Ceros racionales de un polinomio

Ejemplo

Consideremos el polinomiop(x) = x3 − x2 − 2x + 2, aquı a0 = 2 y a3 = 1,

Valores de p: ±1, ±2,

Valores de q: ±1,

Posibles raıces pq : ±1, ±2

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 34 / 39

Ceros racionales de un polinomio

Ejemplo

Consideremos el polinomiop(x) = x3 − x2 − 2x + 2, aquı a0 = 2 y a3 = 1,

Valores de p: ±1, ±2,

Valores de q: ±1,

Posibles raıces pq : ±1, ±2

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 34 / 39

Ceros racionales de un polinomio

Ejemplo

Consideremos el polinomiop(x) = x3 − x2 − 2x + 2, aquı a0 = 2 y a3 = 1,

Valores de p: ±1, ±2,

Valores de q: ±1,

Posibles raıces pq : ±1, ±2

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 34 / 39

Ceros racionales de un polinomio

Ejemplo

Consideremos el polinomiop(x) = x3 − x2 − 2x + 2, aquı a0 = 2 y a3 = 1,

Valores de p: ±1, ±2,

Valores de q: ±1,

Posibles raıces pq : ±1, ±2

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 34 / 39

Ceros racionales de un polinomio

1 −1 −2 2

1

1

1

0

0−2

−2

0

Ası que p(x) = x3 − x2 − 2x + 2 = (x − 1)(x2 − 2), y el ultimo factorpuede verse como una diferencia de cuadrados perfectos:

p(x) = x3 − x2 − 2x + 2 = (x − 1)(x −√

2)(x +√

2).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 35 / 39

Ceros racionales de un polinomio

1 −1 −2 2

1

1

1

0

0−2

−2

0

Ası que p(x) = x3 − x2 − 2x + 2 = (x − 1)(x2 − 2), y el ultimo factorpuede verse como una diferencia de cuadrados perfectos:

p(x) = x3 − x2 − 2x + 2 = (x − 1)(x −√

2)(x +√

2).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 35 / 39

Ceros racionales de un polinomio

1 −1 −2 2

1

1

1

0

0−2

−2

0

Ası que p(x) = x3 − x2 − 2x + 2 = (x − 1)(x2 − 2), y el ultimo factorpuede verse como una diferencia de cuadrados perfectos:

p(x) = x3 − x2 − 2x + 2 = (x − 1)(x −√

2)(x +√

2).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 35 / 39

Ceros racionales de un polinomio

1 −1 −2 2

1

1

1

0

0−2

−2

0

Ası que p(x) = x3 − x2 − 2x + 2 = (x − 1)(x2 − 2), y el ultimo factorpuede verse como una diferencia de cuadrados perfectos:

p(x) = x3 − x2 − 2x + 2 = (x − 1)(x −√

2)(x +√

2).

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Ceros racionales de un polinomio

1 −1 −2 2

1

1

1

0

0−2

−2

0

Ası que p(x) = x3 − x2 − 2x + 2 = (x − 1)(x2 − 2), y el ultimo factorpuede verse como una diferencia de cuadrados perfectos:

p(x) = x3 − x2 − 2x + 2 = (x − 1)(x −√

2)(x +√

2).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 35 / 39

Ceros racionales de un polinomio

1 −1 −2 2

1

1

1

0

0

−2

−2

0

Ası que p(x) = x3 − x2 − 2x + 2 = (x − 1)(x2 − 2), y el ultimo factorpuede verse como una diferencia de cuadrados perfectos:

p(x) = x3 − x2 − 2x + 2 = (x − 1)(x −√

2)(x +√

2).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 35 / 39

Ceros racionales de un polinomio

1 −1 −2 2

1

1

1

0

0−2

−2

0

Ası que p(x) = x3 − x2 − 2x + 2 = (x − 1)(x2 − 2), y el ultimo factorpuede verse como una diferencia de cuadrados perfectos:

p(x) = x3 − x2 − 2x + 2 = (x − 1)(x −√

2)(x +√

2).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 35 / 39

Ceros racionales de un polinomio

1 −1 −2 2

1

1

1

0

0−2

−2

0

Ası que p(x) = x3 − x2 − 2x + 2 = (x − 1)(x2 − 2), y el ultimo factorpuede verse como una diferencia de cuadrados perfectos:

p(x) = x3 − x2 − 2x + 2 = (x − 1)(x −√

2)(x +√

2).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 35 / 39

Ceros racionales de un polinomio

1 −1 −2 2

1

1

1

0

0−2

−2

0

Ası que p(x) = x3 − x2 − 2x + 2 = (x − 1)(x2 − 2), y el ultimo factorpuede verse como una diferencia de cuadrados perfectos:

p(x) = x3 − x2 − 2x + 2 = (x − 1)(x −√

2)(x +√

2).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 35 / 39

Ceros racionales de un polinomio

1 −1 −2 2

1

1

1

0

0−2

−2

0

Ası que p(x) = x3 − x2 − 2x + 2 = (x − 1)(x2 − 2), y el ultimo factorpuede verse como una diferencia de cuadrados perfectos:

p(x) = x3 − x2 − 2x + 2 = (x − 1)(x −√

2)(x +√

2).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 35 / 39

Ceros racionales de un polinomio

Ejemplo

Consideremos el polinomio p(x) = x3− x2 + x − 1,

aquı a0 = −1 y a3 = 1,

Valores de p: ±1,

Valores de q: ±1,

Posibles raıces pq : ±1

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 36 / 39

Ceros racionales de un polinomio

Ejemplo

Consideremos el polinomio p(x) = x3− x2 + x − 1, aquı a0 = −1 y a3 = 1,

Valores de p: ±1,

Valores de q: ±1,

Posibles raıces pq : ±1

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 36 / 39

Ceros racionales de un polinomio

Ejemplo

Consideremos el polinomio p(x) = x3− x2 + x − 1, aquı a0 = −1 y a3 = 1,

Valores de p: ±1,

Valores de q: ±1,

Posibles raıces pq : ±1

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 36 / 39

Ceros racionales de un polinomio

Ejemplo

Consideremos el polinomio p(x) = x3− x2 + x − 1, aquı a0 = −1 y a3 = 1,

Valores de p: ±1,

Valores de q: ±1,

Posibles raıces pq : ±1

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 36 / 39

Ceros racionales de un polinomio

Ejemplo

Consideremos el polinomio p(x) = x3− x2 + x − 1, aquı a0 = −1 y a3 = 1,

Valores de p: ±1,

Valores de q: ±1,

Posibles raıces pq : ±1

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 36 / 39

Ceros racionales de un polinomio

1 −1 1 −1

1

1

1

0

0

1

1

0

Ası que p(x) = x3 − x2 + x − 1 = (x − 1)(x2 + 1). Este ultimo termino nopuede factorizarse, pues no existe un numero real tal que al elevarlo alcuadrado y sumarle 1, de cero.Por lo tanto, este polinomio no tiene mas raıces reales.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 37 / 39

Ceros racionales de un polinomio

1 −1 1 −1

1

1

1

0

0

1

1

0

Ası que p(x) = x3 − x2 + x − 1 = (x − 1)(x2 + 1). Este ultimo termino nopuede factorizarse, pues no existe un numero real tal que al elevarlo alcuadrado y sumarle 1, de cero.Por lo tanto, este polinomio no tiene mas raıces reales.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 37 / 39

Ceros racionales de un polinomio

1 −1 1 −1

1

1

1

0

0

1

1

0

Ası que p(x) = x3 − x2 + x − 1 = (x − 1)(x2 + 1). Este ultimo termino nopuede factorizarse, pues no existe un numero real tal que al elevarlo alcuadrado y sumarle 1, de cero.Por lo tanto, este polinomio no tiene mas raıces reales.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 37 / 39

Ceros racionales de un polinomio

1 −1 1 −1

1

1

1

0

0

1

1

0

Ası que p(x) = x3 − x2 + x − 1 = (x − 1)(x2 + 1). Este ultimo termino nopuede factorizarse, pues no existe un numero real tal que al elevarlo alcuadrado y sumarle 1, de cero.Por lo tanto, este polinomio no tiene mas raıces reales.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 37 / 39

Ceros racionales de un polinomio

1 −1 1 −1

1

1

1

0

0

1

1

0

Ası que p(x) = x3 − x2 + x − 1 = (x − 1)(x2 + 1). Este ultimo termino nopuede factorizarse, pues no existe un numero real tal que al elevarlo alcuadrado y sumarle 1, de cero.Por lo tanto, este polinomio no tiene mas raıces reales.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 37 / 39

Ceros racionales de un polinomio

1 −1 1 −1

1

1

1

0

0

1

1

0

Ası que p(x) = x3 − x2 + x − 1 = (x − 1)(x2 + 1). Este ultimo termino nopuede factorizarse, pues no existe un numero real tal que al elevarlo alcuadrado y sumarle 1, de cero.Por lo tanto, este polinomio no tiene mas raıces reales.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 37 / 39

Ceros racionales de un polinomio

1 −1 1 −1

1

1

1

0

0

1

1

0

Ası que p(x) = x3 − x2 + x − 1 = (x − 1)(x2 + 1). Este ultimo termino nopuede factorizarse, pues no existe un numero real tal que al elevarlo alcuadrado y sumarle 1, de cero.Por lo tanto, este polinomio no tiene mas raıces reales.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 37 / 39

Ceros racionales de un polinomio

1 −1 1 −1

1

1

1

0

0

1

1

0

Ası que p(x) = x3 − x2 + x − 1 = (x − 1)(x2 + 1). Este ultimo termino nopuede factorizarse, pues no existe un numero real tal que al elevarlo alcuadrado y sumarle 1, de cero.Por lo tanto, este polinomio no tiene mas raıces reales.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 37 / 39

Ceros racionales de un polinomio

1 −1 1 −1

1

1

1

0

0

1

1

0

Ası que p(x) = x3 − x2 + x − 1 = (x − 1)(x2 + 1). Este ultimo termino nopuede factorizarse, pues no existe un numero real tal que al elevarlo alcuadrado y sumarle 1, de cero.Por lo tanto, este polinomio no tiene mas raıces reales.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 37 / 39

Ceros racionales de un polinomio

1 −1 1 −1

1

1

1

0

0

1

1

0

Ası que p(x) = x3 − x2 + x − 1 = (x − 1)(x2 + 1).

Este ultimo termino nopuede factorizarse, pues no existe un numero real tal que al elevarlo alcuadrado y sumarle 1, de cero.Por lo tanto, este polinomio no tiene mas raıces reales.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 37 / 39

Ceros racionales de un polinomio

1 −1 1 −1

1

1

1

0

0

1

1

0

Ası que p(x) = x3 − x2 + x − 1 = (x − 1)(x2 + 1). Este ultimo termino nopuede factorizarse, pues no existe un numero real tal que al elevarlo alcuadrado y sumarle 1, de cero.

Por lo tanto, este polinomio no tiene mas raıces reales.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 37 / 39

Ceros racionales de un polinomio

1 −1 1 −1

1

1

1

0

0

1

1

0

Ası que p(x) = x3 − x2 + x − 1 = (x − 1)(x2 + 1). Este ultimo termino nopuede factorizarse, pues no existe un numero real tal que al elevarlo alcuadrado y sumarle 1, de cero.Por lo tanto, este polinomio no tiene mas raıces reales.

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Ceros racionales de un polinomio

En R, este polinomio quedo factorizado como el producto de un polinomiolineal y uno cuadratico.

En general, todo polinomio con coeficientes reales queda completamentefactorizado en R como producto de factores lineales o cuadraticosirreducibles.Si ampliamos el conjunto de variables a C (los complejos) se podrıafactorizar x2 + 1 como (x − i)(x + i), donde i =

√−1 y ası

p(x) = (x − 1)(x − i)(x + i).

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Ceros racionales de un polinomio

En R, este polinomio quedo factorizado como el producto de un polinomiolineal y uno cuadratico.En general, todo polinomio con coeficientes reales queda completamentefactorizado en R como producto de factores lineales o cuadraticosirreducibles.

Si ampliamos el conjunto de variables a C (los complejos) se podrıafactorizar x2 + 1 como (x − i)(x + i), donde i =

√−1 y ası

p(x) = (x − 1)(x − i)(x + i).

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Ceros racionales de un polinomio

En R, este polinomio quedo factorizado como el producto de un polinomiolineal y uno cuadratico.En general, todo polinomio con coeficientes reales queda completamentefactorizado en R como producto de factores lineales o cuadraticosirreducibles.Si ampliamos el conjunto de variables a C (los complejos) se podrıafactorizar x2 + 1 como (x − i)(x + i), donde i =

√−1 y ası

p(x) = (x − 1)(x − i)(x + i).

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Teorema Fundamental del Algebra

En los complejos tenemos el siguiente teorema:

Teorema

Si p(x) es un polinomio de grado n con coeficientes reales, entonces p(x)tiene exactamente n raices complejas, contando multiplicidades.

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Teorema Fundamental del Algebra

En los complejos tenemos el siguiente teorema:

Teorema

Si p(x) es un polinomio de grado n con coeficientes reales, entonces p(x)tiene exactamente n raices complejas, contando multiplicidades.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Polinomios 39 / 39