Post on 14-Jul-2020
Tema 1: TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
Carlos Alberola López
Lab. Procesado de Imagen, ETSI Telecomunicación
Despacho 2D014
caralb@tel.uva.es, jcasasec@tel.uva.es,http://www.lpi.tel.uva.es/sar
1. ¿Para qué estudiar esto?• Se pretende describir y utilizar una herramienta
que nos proporcione capacidad de decisión en problemas donde existe incertidumbre.
• ¿A qué nos estamos refiriendo? Por ejemplo
• Dejar caer una piedra
• Dejar caer una pluma
• No podemos predecir dónde va caer la pluma, pero si que podemos tratar de saber:
• Cómo de probable es que se aleje un radio de más de 5 unidades de distancia respecto del punto (0,0)
• Sabiendo la desviación horizontal, tratar de predecir la desviación vertical
¿Para qué estudiar esto?• Los problemas de comunicaciones tienen
elevados componentes de aleatoriedad
• Señales que transportan información: son señales no modelables mediante un conjunto finito de parámetros. Pero tiene que haber “algo” que permita caracterizar este tipo de señales para garantizar que puedan pasar sin distorsión a través de un determinado medio de transmisión.
¿Para qué estudiar esto?• Los problemas de comunicaciones tienen
elevados componentes de aleatoriedad
• Señales que transportan información: son señales no modelables mediante un conjunto finito de parámetros. Pero tiene que haber “algo” que permita caracterizar este tipo de señales para garantizar que puedan pasar sin distorsión a través de un determinado medio de transmisión.
¿Para qué estudiar esto?• Los problemas de comunicaciones tienen
elevados componentes de aleatoriedad
• Señales que transportan información: son señales no modelables mediante un conjunto finito de parámetros. Pero tiene que haber “algo” que permita caracterizar este tipo de señales para garantizar que puedan pasar sin distorsión a través de un determinado medio de transmisión.
• Las señales de comunicaciones están afectadas por “ruido” (señal superpuesta indeseada que disvirtúa el contenido de éstas).
2. Álgebra de conjuntos• Conjuntos denotados por letras mayúsculas: A, B, C
• Elementos denotados por letras minúsculas: a, b, c
• Los conjuntos se definen en base a una relación de pertenencia, la cual es binaria ( , )
• Conjuntos notables: S y
• Los conjuntos se pueden describir de forma enumerativa o partir de una ley que defina pertenencia.
• Cardinal
• Finito
• Infinito
• Numerable
• No numerable
Aa∈ Ab∉
∅
Álgebra de conjuntos• De la relación de pertenencia surge la relación de
inclusión.
• Si un conjunto está incluido en otro se dice que el primero es subconjunto del segundo, y se denota mediante
• A es subconjunto→
• A es superconjunto →
• A no está incluido en B →
BA⊂
BA⊂AB ⊂
BA⊄
AB
BA B
A
Operaciones con conjuntos• Igualdad de conjuntos: dos conjuntos son iguales si
tienen los mismos elementos.
• Conjunto diferencia: : conjunto formado por los elementos de A que NO están en B.
BAC −=
Operaciones con conjuntos• Unión de conjuntos :conjunto formado por
los elementos de A y los de B
• Intersección de conjuntos :conjunto formado por los elementos que pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos
BAC U=
BAC I=
Operaciones con conjuntos• Es interesante reparar en que
• y en que:
• La intersección, por ello, crea un conjunto más “pequeño” y la unión un conjunto más “grande”.
• Conjuntos disjuntos:
BBAABA
⊃
⊃
U
U
BBAABA
⊂
⊂
I
I
∅=BAI
Aplicación sucesiva de operadores• Si las operaciones se aplican repetidamente
escribiremos para abreviar
• Y por razones derivadas de los axiomas de la Probabilidad es habitual escribir (aunque sea un “abuso” de notación):
I
U
ILII
ULUU
N
iiN
N
iiN
AAAA
AAAA
121
121
=
=
=
=
∏
∑
==
==
=
=
N
ii
N
ii
N
ii
N
ii
AA
AA
11
11
I
U
Propiedades de unión e intersec.• Estos operadores satisfacen tres útiles propiedades:
• Conmutativa
• Asociativa
• Distributiva
ABBAABBA
II
UU
=
=
( ) ( )( ) ( )CBACBA
CBACBAIIII
UUUU
=
=
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )CABACBA
CABACBAIUIUI
UIUIU
=
=
Otras cuestiones adicionales• Conjunto complementario de un conjunto A:
• Se denota por
• Y se define mediante el conjunto diferencia
• Es interesante notar que
• Leyes de Morgan
BABABABA
UI
IU
=
=
AASA −=
∅=
=
AASAA
I
U
( )BBA UI=
( ) ( )BABA UUU
Ejercicio: Demostrar que ( ) ( ) ABABA =UUU
( ) ( )BABA IUI=
( ) ASA == I
( ) ( )BABA IUI=
Ejercicio: Demostrar que ( ) ( ) ( ) ( )ABBABABA IUIIIU =
( ) ( )BABA IIU
[ ]( ) [ ]( )BABBAA UIUUI=
( ) ( )BABA UIU=
( ) ( )321UIUC
BABA=
( ) ( )CBCA IUI=
( ) ( )( ) ( ) ( )( )BBABBAAA IUIUIUI=
( )( ) ( )( )∅∅= UIUIU ABBA
( ) ( )ABBA IUI=
Sumas y productos!!
3.- Definición de probabilidad• Se trata de formalizar la noción intuitiva de “qué
cosas son más probables” y “cuáles más improbables”.
• Definición mediante frecuencia relativa:
• con el número de veces que sale el resultado A en las N realizaciones del experimento llevadas a cabo.
• Ej: lanzamiento de dado, interés en obtener resultado par, se experimenta 1000 veces; cuéntese cuántas (dentro de esas 1000) sale un 2, un 4 ó un 6 y divídase por N=1000.
( )NNAf A
Nr ∞→= lim
AN
• Se trata de formalizar la noción intuitiva de “qué cosas son más probables” y “cuáles más improbables”.
• Definición mediante frecuencia relativa:
• con el número de veces que sale el resultado A en las N realizaciones del experimento llevadas a cabo.
• Ej: lanzamiento de dado, interés en obtener resultado par, se experimenta 1000 veces; cuéntese cuántas (dentro de esas 1000) sale un 2, un 4 o un seis y divídase.
3.- Definición de probabilidad
( )NNAf A
Nr ∞→= lim
AN
Inconvenientes:
• Para saber la probabilidad de “algo” se requiere experimentar.
•Cada vez que se realice el experimento se obtiene un número distinto de la frecuencia relativa (diremos, en breve, que ésta es una variable aleatoria)
•Crear un cuerpo de doctrina en base a operaciones en el límite es poco cómodo.
Definición de probabilidad
• Definición clásica de la probabilidad:
• con el número de formas de darse el resultado A (número de casos favorables) y N el número de resultados (casos posibles).
• Ej: lanzamiento de dado, interés en obtener resultado par, y .
( )NNAP A
C =
AN
3=AN 6=N
Definición de probabilidad
• Definición clásica de la probabilidad:
• con el número de formas de darse el resultado A (número de casos favorables) y N el número de resultados (casos posibles).
• Ej: lanzamiento de dado, interés en obtener resultado par, y .
( )NNAP A
C =
AN
3=AN 6=N
Inconvenientes:
• Se asume de forma implícita equiprobabilidad de los resultados.
•El número de casos favorables y posibles podría ser infinito; ello produce un problema en la definición.
Definición de probabilidad
• Se trata de ampliar el marco de definición de probabilidad para que:
• Dé cabida a la frecuencia relativa pero no nos veamos obligados a experimentar.
• Dé cabida a la probabilidad clásica, pero obviando los problemas de la misma.
• Tal ampliación es la definición axiomática de la probabilidad.
• Para tal fin, cambiemos un poco la terminología:
Definición axiomática de probabilidad
• La probabilidad se define sobre sucesos, en particular
• Conjunto universal S: espacio muestral (suceso seguro)
• Conjunto vacío : suceso imposible
• Axiomas de la probabilidad: la probabilidad es una función definida sobre sucesos que debe cumplir:
∅
( )( ) ( ) ( ) ∅=+=
=
≥
BAsiBPAPBAPSPAP
IU
10)(
Definición axiomática de probabilidad
• Consecuencias inmediatas de los axiomas, obtenidas a partir del álgebra de sucesos:
• Nótese que debe verificarse que:
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) BAsiBPAP
BAsiBAPBPAPBAPP
APAP
⊂≤
∅≠−+=
=∅
−=
IIU
01)(
( ) SAAP ⊂∀≤≤ ,10
Definición axiomática de probabilidad
• La definición axiomática incluye la definición clásica: supongamos que es el número de casos favorables al suceso A, lo propio para el suceso B y N el número de casos posibles. Es claro pues que
• Y si A y B no pueden darse simultáneamente
ANAN
( ) 0≥=NNAP A
C ( ) 1==NNSPC
Definición axiomática de probabilidad
• La definición basada en frecuencia relativa está también incluída dentro de la teoría axiomática de la probabilidad.
• Se demuestra mediante la Ley de los Grandes Números, teorema asintótico que veremos en la sección 4.5.3 (variable N-dimensional)
• Y es la base teórica de las prácticas de la asignatura.
Ejercicio: Se desea validar un sistema automático de medición de alturas de edificaciones. Con el objetivo de reducircostes en el proceso de validación se descarta la medición directade los edificios para contrastar con la automática, de formaque se recurre a la medición por parte de n expertos, los cualesemplean sus propios sistemas de medida y que, naturalmente,no están exentos de errores. El sistema a validar se consideraráapto para su uso si la medición que proporciona no seencuentra en ninguno de los dos extremos, esto es, no es ni lamayor ni la menor de las n+1 mediciones. Bajo la hipótesis deque los n + 1 equipos de medida proporcionen medidas similares(es decir, que todos funcionen correctamente, afectados porerrores similares), obtenga la probabilidad de que el sistema seavalidado.
n-1
Solución:
iA “Medida automática cae en posición i (i=1,…,n+1)”
B “El sistema es validado”U
n
2iiAB
=
=
Espacio de probabilidad• La definición de un experimento probabilístico precisa
de la definición de una terna:
cuyos componentes son:
Espacio muestral
-Cardinal finito
-Card. Infinito
-Numerable
-No numerable
Clase de sucesos (cerrada con respecto a cantidad numerable de uniones e intersecciones)
Ley de asignación de probabilidades
- Discreta
- Continua
Ejemplo: lanzamiento de dos dados, con simetría en la construcción de los mismos, y sin relación entre ellos. Analicemos los elementos que integran el espacio de probabilidad:
Espacio muestral: 36 elementosSucesos: cualquier subconjunto del mismo (236 posibles sucesos)Ley asignación: equiprobabilidad (prob. clásica) por simetría
Suceso B: “la suma de las caras es igual a 7”. Hallar P(B)
Ai j: suceso sale cara i en primer dado y cara j en segundo
U7ji
ijAB=+
= 162534435261 AAAAAA UUUUU=
Suceso B: la suma de las caras es igual a 7. Hallar P(B)
Ai j: suceso sale cara i en primer dado y cara j en segundo
Prop. asociativa
Probabilidad Condicionada
• Se plantea cómo actualizar nuestro conocimiento probabilístico sobre un experimento una vez que sabemos algo más de él.
• Concretamente, se asume que un suceso B (de probabilidad no nula) se ha verificado:
• La nueva probabilidad en este espacio se define (y denota)
Probabilidad Condicionada
• ¿Es esta definición axiomática? Es fácil comprobar que sí:
Prop. distributiva
A CB
Suceso A: la suma de las caras es igual a 7. Suceso B: “ha salido al menos un 6”. Hallar P(A|B)
Solución en espacio condicionado: 2 casos favorables frente a 11 posibles.
Probabilidad Condicionada
Solución en espacio original:
Probabilidad Condicionada
Independencia de pares de sucesos
• Supongamos los sucesos A y B, ambos de probabilidad no nula. Estos sucesos son independientes si se verifica que:
• Nótese que dado que
• entonces
( ) ( )APBAP =|
• Como consecuencia de lo dicho anteriormente
• se puede escribir de forma alternativa la definición de independencia de la manera
• lo cual permite abordar el casos de sucesos de probabilidad nula. Nótese que si uno de los dos sucesos tiene probabilidad nula, éstos son independientes
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00
0==⇒=≤
=
BPAPBAPAPBAPAP
II
Independencia de pares de sucesos
Ejemplo: baraja española (40 cartas, 4 palos, 10 cartas por palo). Se extrae una carta. Defínase A: “as”; B: “rey”;C: “oro”. Hallar P(A|B) y P(A|C). ¿Son los sucesos B y C independientes de A?
( ) ( )( )
( )( ) 0BP
PBP
BAPB|AP =∅
==I
Sucesos
mutuamente
excluyentes
Sucesos
independientes
( ) ( )( ) ( )AP
101
4010401
CPCAPC|AP ====
I
• Para el caso de N sucesos se deben cumplir las condiciones siguientes de forma simultánea:
Independencia de múltiples sucesos
• Por ejemplo, los sucesos de la figura podrían ser independientes por pares pero no lo serían por tríos:
Independencia de múltiples sucesos
A
B
C
Intersecciones no vacías por parejas
Pero ∅=CBA II
• Si no son independientes se puede recurrir a aplicar repetidamente la definición de probabilidad condicionada; ello se basa en las propiedades asociativa y conmutativa de los sucesos
Independencia de múltiples sucesos
( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( )BPBAPBAP
AAAAP
AAAAPAAAP
NN
B
NN
NNN
==
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=
=
−
−
I
444 3444 21IILII
IILIIILII
121
12121
• Entonces obtenemos
• Cabe preguntarse … ¿estamos mejor o estamos peor?
Independencia de múltiples sucesos
Ejercicio (Septiembre de 2005): En un juego de cartas de baraja española (40 cartas, 4 palos, 10 cartas por palo) se reparte una única carta a cada jugador, siendo 7 el numero de éstos. Se pide que calcule la probabilidad de que no salga un determinado palo (porejemplo, que no salgan copas) en tal reparto
iA “Al jugador i-ésimo no le sale copa (i=1,…,7)”
B “A ningún jugador le sale copa”
Solución:
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
=I
7
1iiAPBP
¿independientes?
( )∏==
7
1
??
iiAP
Los sucesos no pueden ser independientes pues, por ejemplo, si salen copas a los primeros jugadores el hecho de que salgan copas a los últimos es cada vez más difícil (más improbable). Pero podemos escribir, de forma alternativa:
( )
( ) ( ) ( ) ( )1121231234
4
1ii5
5
1ii6
6
1ii7
7
1ii
APAAPAAAPAAAAP
AAPAAPAAPAPBP
III
IIII ×⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
====
y ahora
( ) =1AP
( )12 AAP
30 cartas, no copas
10 cartas, copas
3929
=
4030
( )4030
1 =AP 30 cartas, no copas
10 cartas, copas
( )12 AAP3929
=
( )213 AAAP I3828
=
Continuando con este razonamiento
4030
3929
3828
3727
3626
3525
3424
=
( )
( ) ( ) ( ) ( )1121231234
4
15
5
16
6
17
7
1
APAAPAAAPAAAAP
AAPAAPAAPAPBPi
ii
ii
ii
i
III
IIII=
×⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
====
S
• Concepto de partición
Teorema de Prob. Total y Bayes
2AS
3A
4A1A
Condiciones a cumplir por los N sucesos para constituir partición
S
• Teorema de la Probabilidad Total
Podemos escribir el suceso B de la forma
Teorema de Prob. Total y Bayes
2AS
3A
4A1A B
• Entonces, dado que los elementos de la partición son disjuntos:
• lo cual se puede reescribir de la forma
que es la expresión del teorema.
Teorema de Prob. Total y Bayes
• Teorema de Bayes: se obtiene de intercambiar el orden de los condicionantes:
• y empleando el Teorema de la Prob. Total
que es la expresión del teorema.
Teorema de Prob. Total y Bayes
1A
2A
3A
Teorema de Prob. Total y Bayes
1S
2S
3S
( )ji ASP Probabilidad de recibir Si cuando se ha transmitido Aj.
( )iAP Probabilidad de transmitir símbolo Ai.
E “suceso error en la transmisión”
DATOS
1A
2A
3A
Teorema de Prob. Total y Bayes
1S
2S
3S
( ) ( ) ( )ii
i APAEPEP ∑=
=3
1
( )( ) ( )ii
i APAEP∑=
−=3
1
1
( )( ) ( )ii
ii APASP∑=
−=3
1
1
1A
2A
3A
Teorema de Prob. Total y Bayes
( ) { }3,2,1, ∈jABP j
B: “La tensión observada X
cae en intervalo I”
(supongamos valores medibles, esto es, esta probabilidad es un dato)
Si observamos que la tensión observada ha caído en el intervalo I, ¿qué símbolo diríamos que se ha enviado?
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
=
=
∑=
3
1jjj
ii
iii
APABP
APABPBP
APABPBAP
( )BAP iimaxarg⇒
Experimentos compuestos
A
B
Necesitamos información adicional
Lanzamiento de un dado
Experimentos compuestos
A: primer número cae entre 0,3 y 0,9
B: segundo número cae entre 0,5 y 0.7 B
Generación de dos númsaleatorios entre 0 y 1
A
AxS2
S1xB
0,5 0,7
0,3
0,9
0
1
1
AxB
Experimentos compuestos• El suceso sería, representado
gráficamente,
por lo que se puede escribir de forma alternativaB
S1xBA
AxS2
0,5 0,7
0,3
0,9
0
1
1
AxB
Experimentos compuestos• No obstante es práctica habitual escribirlo de la forma
Aunque sea un abuso en la notación pues, como hemos dicho, los sucesos A y B pertenecen a espacios muestrales distintos, luego no ha lugar hablar de la intersección de los mismos.
1
B
A
0,5 0,7
0,3
0,9
01
BAI
Experimentos compuestos• Respecto de la ley para asignar probabilidades en el
experimento compuesto Pc,
• Como norma general no es conocida a partir del conocimiento exclusivo de P1 y P2.
• En el caso en que los subexperimentos sean independientes se verifica que:
• Lo cual escribiremos sin hacer explícito el experimento en cuestión, esto es,
( ) ( )[ ] ( ) ( )BPAPBAPBAP ==× I
Experimentos compuestos• Dos leyes de asignación de probabilidades en el
experimento compuesto pueden dar lugar a las mismas leyes en cada uno de los subexperimentos. Volvamos al ejemplo de los dados
iA “Sale cara i en primer dado (i=1,…,6)”
jB “Sale cara j en segundo dado (i=1,…,6)”
( )iAP¿ ?
( ) ( )[ ]
( )∑=
=
×=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×=×=
6
1
6
12
jji
jjiii
BAP
BAPSAPAP U
Experimentos compuestos
Suma de probabilidades de resultados elementales en esa línea
Experimentos compuestos
• Dos posibles leyes del experimento compuesto que dan lugar a equiprobabilidad en cada experimento simple:
• Equiprobabilidad de cada resultado
• Otra posibilidad
( ) ( )61
3616
1
6
1
==×= ∑∑== jj
jii BAPAP
Composición de Ensayos deBernoulli
• Un experimento aleatorio se dice que es un ensayo de Bernoulli si puede dar uno de dos posibles resultados
• Por convenio diremos que
• Nótese que cualquier experimento aleatorio se puede interpretar como un ensayo de Bernoulli.
( )( ) 1, =+
⎭⎬⎫
=
=qp
qAPpAP
⎩⎨⎧
AA
Composición de Ensayos deBernoulli
• Nos centraremos en la composición de ensayos de Bernoulliindependientes. Concretamente, supondremos que un determinado ensayo de Bernoulli se realiza N veces, y trataremos de encontrar la probabilidad de que el suceso A se verifique k veces (de las N posibles).
• Para ello definimos
kB “Sale k veces (de N posibles) el resultado A”
jkB “Forma j-ésima (j=1,…,M) de verificarse el suceso Bk”
iA “Sale resultado A en ensayo i-ésimo”
Composición de Ensayos deBernoulli
• Por ejemplo
• Bien entendido que estamos usando notación abreviada pues en sentido estricto deberíamos escribir
( ) ( ) ( )NNNk ASSSASSSAB ×××××××××= LILILIL 2121211
Composición de Ensayos deBernoulli
• Por lo dicho está claro que
• Pero hay que resolver algunas cuestiones previas:
1. ¿Son los sucesos de la unión disjuntos?
2. ¿Podemos hallar la probabilidad de cada uno como función de los parámetros del problema (p,q,k y N)?
3. ¿Es importante ser exhaustivos en la enumeración de los sucesos ?
4. ¿Cuál es el valor de M?
jkB
Composición de Ensayos deBernoulli
• Vayamos por cada una de las preguntas
1. Los sucesos son disjuntos: cada uno representa una ordenación distinta (y exclusiva) de los resultados de cada ensayo de Bernoulli. Alternativamente
Y esto sucede para cada pareja de sucesos
Consecuencia de esto es:
jkB
Composición de Ensayos deBernoulli
2. La composición consiste en ensayos independientes. Por ello, por ejemplo:
3. Nótese que tal probabilidad es función de cuántos resultados hay de cada tipo, no de la ordenación de los mismos en una determinado secuencia. Por ello todos los sucesos son equiprobables, luego no hay por qué ser exhaustivos en la lista de los mismos, sino que nos basta saber cuántos hay, es decir, cuánto vale M.
jkB
+1
Composición de Ensayos deBernoulli
4. Valor de M:
Cada línea expresa k índices extraídos de un conjunto de N índices. Por ello, todas ellas constituyen los subconjuntos de k elementos que pueden extraerse de un conjunto de N. Por ello
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
kN
M
Permutaciones de 4 elementos
4!=24
Permutaciones de 4 elementos: rojo, verde y amarillo iguales
iguales!!!
iguales!!!
iguales!!!
iguales!!!
!3!4
Composición de Ensayos deBernoulli
En nuestro caso tenemos
• k veces el resultado
• N-k veces el resultado
Luego de las permutaciones de N resultados, tenemos k valores iguales y otros N-k valores iguales. Por ello tenemos en total
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−=
kN
kNkNM
)!(!!
AA
Composición de Ensayos deBernoulli
• Así pues
• Esta expresión puede aproximarse por otras más sencillas. En particular, si entonces
(aproximación de Poisson)
5,1,1 <=<<>> aNppN
Ejercicio 1:
Ejercicio 2:
Ejercicio 3:
Composición de Ensayos deBernoulli
• Otra aproximación útil es:( )
NpqNpk
k eNpq
BP 2
2
21)(
−−
≈π
1>>Npq
NpqNpkNpqNp 33 +≤≤−
Válido si:
1.0150
=
=
pN
Composición de Ensayos deBernoulli
• Esta aproximación permite abordar el caso de probabilidades calculadas sobre unión de varios valores del suceso . Concretamente:
o bien
Esto quedará claro cuando veamos variables gaussianas …
kB
Ejercicio:Un sistema de control de calidad de productosquímicos decide, para cada producto que inspecciona, si éstecumple los requisitos normativos para su aceptación. Supongamosque el protocolo de inspección rechaza los productos conuna probabilidad pr y el proceso de fabricación es tal que permiteaceptar independencia entre productos. Se pide:
a) Si se dispone de N productos, probabilidad de queuna fracción no superior al 10% de ellos sea rechazada.
b) Probabilidad de que k productos sean rechazados antesde aceptar un número s de éstos.
Solución: a)
B “Se descarta una fracción no superior al 10% de N”
kB “Se descartan k productos de N posibles”
Supongamos que kr es el primer número entero menor que 0.1N. Entonces:
Por lo que:
b) C “Se rechazan k productos antes de aceptar s”
s-1 aceptaciones, k rechazos Última aceptación
[ ] skk AksBC +−+= I1
kA “El producto es rechazado en inspección k-ésima”
[ ]NBk “Se rechazan k productos de N posibles”
Entonces:
Al ser composición de ensayos independientes:
Y teniendo en cuenta que son s+k-1 casos posibles:
Ejercicio:
a): b): c):
Solución: a)
mA “El primer generador da lugar al número m”
mB “El segundo generador da lugar al número m”
Nos dicen que:3521)( =mm BAP U
( ) ( ) 3521)()( =−+= mmmmmm BAPBPAPBAP IU
353636 21)(
21
21
=−+= mm BAP I
Pero:
Luego: ⇒= 0)( mm BAP I no son independientes, por ser disjuntos
b)
kB “Se han generado k números (de N posibles) iguales a m”
Está claro que:
UN
kkBB
1=
=
0BB =Pero:
Luego: ( ) ( ) ( )011 BPBPBP −=−=
B “Al menos uno de los N números generados es igual a m”
NN qqpN
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= − 1
01 00
con:362111 −=−= pq
b) Solución numérica alternativa
La expresión :
se puede aproximar mediante la expresión de Poisson
Luego:
( )N
NqBP ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=−= 362
1111
ya que: 54552.1 <== Npa
( ) ( ) 766.01!
121111
0360 =−=−≈⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=−= −
=
− a
k
akN
eekaBPBP
c)
kB “Se han generado k números (de N posibles) iguales a m”
Está claro que: UN
kkBB
1501=
=
Por lo que:
De forma alternativa:
( ) ( ) ∑∑=
−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
N
k
kNkN
kk qp
kN
BPBP15011501
B “Más de 1500 de los N números generados son iguales a m”
( ) ( ) ( ) ∑∑=
−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=−=−=
1500
0
1500
0
111k
kNk
kk qp
kN
BPBPBP
( ) 119.018.1115.3814551500115001 =−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−≈ GG
NpqNpG
Solución: d)
ijA “Resultado del experimento j es i (i=1,2,X),(j=1,…,N)”
21kkB “Salen k1 1’s y k2 2’s”
jkkB
21“Forma j-ésima (j=1,…,M) de verificarse el suceso ”
21kkB
( ) ( )∑===
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⇒=
M
1j
jkk
M
1j
jkkkk
M
1j
jkkkk 2121212121
BPBPBPBB UU
( )444 3444 21
L44 344 21
L43421
L
21
2121
2
2111
1
121 2122
22
111
211
kkN
XN
Xkk
Xkk
k
kkkk
k
kjkk AAAAAAAAAB
+−
+++++++=
( ) ( )( )2121
21212111121 2122
22
111
211
kkNkk
XN
Xkk
Xkkkkkkk
jkk
qrpAAAAAAAAAPBP
+−+++++++
=
= LLL
Permutaciones de 4 elementos
4!=24
Permutaciones de 4 elementos: rojo, verde y amarillo iguales
iguales!!!
iguales!!!
iguales!!!
iguales!!!
k1k2
N-(k1+ k2)
( )( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
+−=
2
1
12121 kkN
kN
!kkN!k!k!NM
¿Cuánto vale ? M
Entonces:
( ) ( )2121
212
1
1
kkNkkkk qrp
kkN
kN
BP +−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
S
2AS
3A
4A1A
Solución: a)
13B
11B
12B
C
UiM
jiji BA
1=
=
( ) ( )( ) ( ) ( )i
M
jij
i
M
jij
i
ii AP
BCP
AP
BCP
APACPACP
ii
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
== ==UU II
I 11
Entonces:
( ) ( )( )
( ) ( )( )i
ijij
M
j
i
ii AP
BPBCP
APACPACP
i
∑=== 1I
Al ser sucesos disjuntos:
ijiijiij BABAB =⇒⊂ IY dado que :
Entonces podemos escribir que :
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )∑∑==
==ii M
j i
iijij
M
j i
ijiji AP
ABPBCP
APBP
BCPACP11
I
( ) ( )∑=
=iM
jiijij ABPBCP
1
Teorema de la Probabilidad Total para probabilidades condicionadas!!!!
b)
( ) ( )( )∑∑
==
=ii M
j i
iijM
jiij AP
ABPABP
11
I
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )∑ ∑= =
====i iM
j
M
j i
iij
ii
ij
APAPBP
APAPBP
1 1
11