Post on 27-Oct-2020
1
TEMA 1: Ecuaciones y principios electromagnéticos en radiación y dispersión
Índice:1. Ecuaciones de Maxwell y condiciones de frontera2. Obtención de los potenciales retardados3. Radiación de un elemento de corriente 4. Principios y teoremas del electromagnetismo
4.1 Teorema de dualidad 4.2 Teorema de unicidad 4.3 Teoría de imágenes 4.4 Teorema de reciprocidad 4.5 Teorema de reacción4.6 Teorema de equivalencia volumétrica4.7 Teorema de equivalencia superficial 4.8 Teorema de inducción 4.9 Teorema de equivalencia física
Bibliografía: C.A. Balanis. “Advanced Engineering Electromagnetics”. Capítulos 6 y 7. Ed. John Wiley and Sons. 1989.
2
Pioneros del electromagnetismo
Ejercicio 1: ¿Quién es quién?
1
2
3 4
5
6
3
EJ
HB
ED
0jJ
0B
D
JDjH
BjE
c
rr
rr
rr
r
r
r
rrr
rr
σ=
µ=
ε=
=ωρ+⋅∇
=⋅∇
ρ=⋅∇
+ω=×∇
ω−=×∇ Ley de FaradayLey de Amper generalizadaLey de GaussContinuidad de Flujo Magnético
Ecuación de ContinuidadEcuacionesConstitutivasde la Materia
FUENTESρ: Densidad de carga eléctrica
J: Densidad de corrienteJc: D. de Corriente de Conducción
MEDIOε: Permitividad eléctrica
µ: Permeabilidad magnéticaσ: Conductividad
CAMPOSE: Intensidad de campo eléctrico
H: Intensidad de campo magnéticoD: Inducción de campo eléctrico
B: Inducción de campo magnético
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
ωεσ
−ε=ε ′′−ε′=ε⇒⎪⎭
⎪⎬
⎫
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωσ
+εω=×∇
σ=
j1jJE
jjH
EJ
cext
c
rrr
rr
Permitividad Complejaen un medio con pérdidas
1. Ecuaciones de Maxwell
4
Condiciones de Frontera deConductor Perfecto.
Condiciones de Frontera deConductor Real
Condiciones de Fronteraentre dos Dieléctricos
0H0Hn
0E0En
nor
tan
=⇒=⋅
=⇒=×rr
r
Dn
HnJ
s
sr
rr
⋅=ρ
×=
n
∞=σ
sJ
tanH0H
0E
=
=r
r
n
1ε 2ε
21
21
21
21
BnBn
DnDn
HnHn
EnEn
rr
rr
rr
rr
⋅=⋅
⋅=⋅
×=×
×=×
0H0Hn
HZEn
nor
tans
=⇒=⋅
−=×rr
rrn
∞≠σ
J
tanHδ
−∝
⎪⎭
⎪⎬
⎫ z
eJHE
r
r
r
σδ+
=µσπ=δj1Zf1 s
[ ] [ ] 2
sdis JZRe21HERe
21P
rrr=×=
tanEz
1. Condiciones de frontera
5
1. Ecuaciones de Maxwell
µρ
=⋅∇
ερ
=⋅∇
ωε+=×∇
ωµ−−=×∇
mH
E
EjJHHjME
r
r
rrr
rrr
Ecuaciones de Maxwell generalizadas en un medio homogéneo: incluyen corrientes y cargas magnéticas equivalentes
Si se desarrollan, llegamos a las ecuaciones de onda vectoriales de E y H:
( )
( )( ) HMjJHH
HMjJH
HjMJHj1
22
2
rrrrr
rrrr
rrrr
β+ωε−×∇=∇−⋅∇∇
µεω+ωε−×∇=×∇×∇
ωµ−−=−×∇×∇ωε
ρ∇ε
+ωµ+×∇=β+∇
ρ∇µ
+ωε+×−∇=β+∇
1JjMEE
1MjJHH
22
m22
rrrr
rrrr
6
2. Potenciales retardados (I)
7
• Los problemas electromagnéticos de geometría abierta como los de antenas se resuelven más fácilmente si se introducen unos potenciales auxiliares derivados de las Ecuaciones de Maxwell. Haciendo M=0 y ρm=0:
– (potencial vector magnético)
– (potencial escalar eléctrico)
Ar
Φ
AB0Brrr
×∇=⇒=⋅∇ ya que ( ) 0A ≡×∇⋅∇r
( ) Φ−∇=ω+⇒=ω+×∇
×∇ω−=×∇
ω−=×∇
AjE0AjE
AjE
BjE
rrrr
rr
rr
ya que ( ) 0≡Φ∇×∇
AjErr
ω−Φ−∇=
2. Potenciales retardados (II)
8
( ) ( )( ) ( )
( )Φωµε+⋅∇∇+µ−=µεω+∆⇒
∆−⋅∇∇≡×∇×∇
ω−Φ∇−ωµε+µ=×∇×∇
ωµε+µ=µ×∇ωε+=×∇
jAJAA
AAAAjjJA
EjJHEjJH
2 rrrr
rrr
rrr
rrrrrr
• Las otras dos Ecuaciones de Maxwell se pueden reescribir en función de estos potenciales:
JAA
0jA2 rrr
r
µ−=µεω+∆
=Φωµε+⋅∇• Condición de Lorentz (fijación de ∇⋅A)• Ecuación de Helmholtz para A
( )
ερ
−=Φµεω+∆Φ
⇓
=Φωµε+⋅∇
ερ
−=⋅∇ω+∆Φ
ρ=ω−Φ∇−ε⋅∇
ρ=ε⋅∇ρ=⋅∇
2
0jA
Aj
AjED
r
r
r
rr
( )ωµε
⋅∇∇+ω−=⇒
⎭⎬⎫
=Φωµε+⋅∇
ω−Φ−∇=j
AAjE0jA
AjE rrr
r
rr
Hj1E
rr×∇
ωε=Fuera de
las Fuentes
2. Potenciales retardados (III)
9
• Se puede hacer lo mismo con las corrientes y cargas magnéticas (J=0, ρ=0)– (potencial vector eléctrico)
– (potencial escalar magnético)
Fr
mΦ
( ) F1EFD0F0Drrrrrr
×∇ε
−=⇒×−∇=⇒=×∇⋅∇⇒=⋅∇
( ) mFjH0FjH
FjF1jH
EjH
Φ−∇=ω+⇒=ω+×∇
×∇ω−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ×∇
ε−ωε=×∇
ωε=×∇
rrrr
rrr
rr
ya que ( ) 0m ≡Φ∇×∇
FjE mrr
ω−Φ−∇=
2. Potenciales retardados (IV)
10
( ) ( )( ) ( )
( )m2
m
jFMFF
FFFFjHjMF
HjMEHjME
Φωµε+⋅∇∇+ε−=µεω+∆⇒
∆−⋅∇∇≡×∇×∇
ω−Φ∇−ωµε−ε−=×∇×∇−
ωµε−ε−=ε×∇ωµ−−=×∇
rrrr
rrr
rrrr
rrrrrr
• Las otras dos Ecuaciones de Maxwell se pueden reescribir en función de estos potenciales:
MFF
0jF2
mrrr
r
ε−=µεω+∆
=Φωµε+⋅∇• Condición de Lorentz (fijación de ∇⋅F)• Ecuación de Helmholtz para F
( )
µρ
−=Φµεω+∆Φ
⇓
=Φωµε+⋅∇
µρ
−=⋅∇ω+∆Φ
ρ=ω−Φ∇−µ⋅∇
ρ=µ⋅∇ρ=⋅∇
mm
2m
m
mm
mm
mm 0jF
Fj
FjHB
r
r
r
rr
( )ωµε
⋅∇∇+ω−=⇒
⎭⎬⎫
=Φωµε+⋅∇
ω−Φ−∇=j
FFjH0jF
FjH
m
mr
rrr
rr
Ej1H
rr×∇
ωµ=Fuera de
las Fuentes
2. Potenciales retardados (V)
11
2. Potenciales retardados (VI)
Para calcular los campos totales E y H, aplicamos el principio de superposición:
( )
( ) A1FjFjHHH
F1AjAjEEE
FA
FA
rrrrrr
rrrrrr
×∇µ
+⋅∇∇ωµε
−ω−=+=
×∇ε
−⋅∇∇ωµε
−ω−=+=
12
3. Radiación de un elemento de corriente (I)
• La fuente de radiación más simple es un elemento lineal de corriente situado en elseno de un medio isótropo, homogéneo, indefinido y sin pérdidas.
• Como en la ec. escalar la fuente se puede considerar puntual, el problema presenta simetría esférica y queda:
• La parte homogénea es la ecuación esférica de Bessel cuyas soluciones son:
Idlx y
z rr
00 ,εµJ I dSdV dl dS
z == ⋅ Idl
x y
z rr
00 ,εµJ I dSdV dl dS
z == ⋅
Ec. escalar, con fuente Jz puntual
z0z20
z22 JAk
drdAr
drd
r1 µ−=+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
Propagación hacia el ∞
Propagación hacia el origen
La solución física del problema de radiación
Idl4
dVJ4
C 0z
01 π
µ=
πµ
=Integrando la Ecuación Completasobre una esfera de r → 0
La solución física del problema de reflexión
( ) ( ) ( ) ( ) z0z20
0022
0
020 JAk
krJrAkrA
µ−=+∆⎭⎬⎫
εµω=
′µ−=+∆rrrrrr
( )
( )r
eCrA
reCrA
rjk
22z
rjk
11z
0
0
=
=−
13
• Los campos que produce el elemento de corriente son:
• La densidad de Potencia Radiada (dada por el vector de Poynting) está dirigida radialmente hacia afuera y decrece como 1/r2 (onda esférica progresiva):
Hj
1E
A1H
0
0rr
rr
×∇ωε
=
×∇µ
=( )
44 844 76rz
senˆcosrIdlr
e4
Arjk
00
θθ−θπ
µ=
−
( )
rjk32
020
320
0
rjk0r
0
0
er1
rjk
rk
2senˆ
r1
rjkcosr
k2IdljE
er1jk
r4senIdlˆArA
rˆH
−
−θ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−
θθ+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +θ
πη
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
πθ
φ=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂θ∂
−∂∂
φ=
r
r
θπ
θη=
φπ
θ=−
−
ˆr4
esendlIkjE
ˆr4
esendlIjkHrjk
0
rjk
0
0
0
r
r
Sustituyendo
Si k0r>>1 (r>>λ) predominan los términos en 1/r frente a 1/r2 o 1/r3
Campos de radiación:E ⊥ r, H⊥ r, E⊥ H
[ ] ( ) ( )< >= × =r r rS E H r I dl
kr
12 32
2 22 2
2 2Re $sen* η θπ
3. Radiación de un elemento de corriente (II)
14
• Una distribución real de corrientese supone formada por infinitos elementosdV de corriente J situados en r’.
• El potencial total radiado será la superposición.
( ) ( )∫ ′
′−−
′′−
′π
µ=
V
rrjk0 Vd
rrerJ
4rA
0
rr
rrrr
rr
( ) ( )dVrJrr
e4
rAdrrjk
00 rrrr
rrrr
′′−π
µ=
′−−
( ) ( )∫ ′
′−−
′′−
′π
µ=
S
rrjks0 Sd
rrerJ
4rA
0
rr
rrrr
rr
( ) ( )∫ ′
′−−
′′−
′π
µ=
L
rrjk0 ld
rrerI
4rA
0 rrr
rrr
rr
Volumen Superficie Línea
′rr
P
x y
z
j
rr
( )r rJ r′ r rr r− ′
'rr
dV
′rr
P
x y
z
j
rr
( )r rJ r′ r rr r− ′
'rr
dV
3. Radiación de un elemento de corriente (III)
15
• Estamos en Campo lejano cuando k0 r >>1 y r>>r’max ⇔ r >>λ , r ≥ (2D2)/λ
• Los campos de Radiación cuando k0r >>1 valen:
[ ]R r r r r r r r rr
r rr
= − ′ = + ′ − ⋅ ′ = +′⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
−⋅ ′⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
r r r rr
2 2 1 22 1 2
2 1 2$
( ) ( )∫∫ ′′π
µ= ′⋅
−
S
rrjks
rjk0 SderJ
re
4rA 0
0 rrrrrR r r r
rr r r≈ −
⋅ ′⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ = − ⋅ ′1 1
22$
$r
r
( ) ( )∫ ′
′−′
πµ
=′−−
S
rrjks0 Sd
rrerJ
4rA
0
rr
rrrr
rr
r rr rmax>> ′
( )( )( ) ( )
r r rr
r r r r
H j r A H r E
E j r A r E H r
= − × =×
= − × × = ×
ωη ηω η
$$
$ $ $
r r
r
r
E HE rH r
⊥⊥⊥
$
$
′rr
P
x y
z
j
rr
( )r rJ r′ r rr r− ′
'rr′rr
P
x y
z
j
rr
( )r rJ r′ r rr r− ′
'rr
3. Radiación de un elemento de corriente (IV)
16
• La interpretación geométrica de la aproximación de campo lejano es la que se da en la figura– Si el punto de observación se considera a distancia infinita el vector de distancia R se
considera paralelo a la dirección de observación r por lo que entonces:
r′r
$r r⋅ ′r
R r r= − ′r r
rr
rJs
P
r′r
$r r⋅ ′r
R r r= − ′r r
rr
rJs
PR r r r r r= − ′ ≈ − ⋅ ′
r r r$
3. Radiación de un elemento de corriente (V)
17
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo
1. Teorema de dualidad
18
Idlx y
z rr
00 , εµ
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo
1. Teorema de dualidad: aplicación práctica
θπ
θη
φπ
θ
ˆ4
ˆ4
0
0
0
0
redlsenIkjE
redlsenIjkH
rjk
rjk
−
−
=
=
r
r
Dipolo eléctrico
θπ
θη
φπ
θ
ˆ4
ˆ4
0
0
0
0
redlsenIkjH
redlsenIjkE
rjk
m
rjk
m
−
−
=
−=
r
r
Nota: los dipolos magnéticos se utilizan para representar los cuadros eléctricos, y generan los mismos campos radiados, haciendo:
x y
z rr
00 , εµ
Dipolo magnético
dlIml2b2C ≈π=
b
Cuadro eléctrico
Io(φ)
( )
( ) θθ−=
φθη=−
−
ˆr4
esenIbkH
ˆr4
esenIbkErjk
o2
0
rjk
o2
0
0
0
r
r
( ) o2
m IbjdlI ωµπ=
19
2. Teorema de unicidad
E,Hv
S
Et, Ht
En una región V, sin fuentes y con pérdidas, los campos E y H en dicha región son únicos y quedan determinados:- si se conocen las componentes tangenciales de E en la frontera S-si se conocen las componentes tangenciales de H en la frontera S- si se conocen en una parte de la frontera las componentes tangenciales de E y en la otra las de H.- En un medio sin pérdidas se analiza como el límite cuando las pérdidas tienden a 0.
Aplicación práctica:
• De aquí se derivan los principios de equivalencia.
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo
20
3. Teoría de imágenes
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo
dV
rJ
ρ
Conductor EléctricoPerfecto, Plano e Indefinido
dV
rJ
ρ
dV
rJi
ρ ρi = −
h
h
Resultadosválidos sólo para z ≥0
ρρ ρi
x y z
i x y z
J J x J y J zJ J x J y J z= −
⎧⎨⎩
= + += − − +
⎧⎨⎪
⎩⎪
r
r$ $ $
$ $ $
$z
( )rE zt = =0 0
Cargas y Corrientes Imágenes
>< ( )rE zt = =0 0
⎪⎩
⎪⎨⎧
−+=++=
⎩⎨⎧
ρ=ρρ
zMyMxMJzMyMxMM
zyxi
zyx
mm,i
mr
r
Si el conductor es magnético perfecto, los resultados son los duales.
21
3. Teoría de imágenes: aplicación práctica
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo
><V
IIN
z
h I(z)
2V
IIN
z
2hIIN
I(z)
><
I1
z
h
z
I1
h
I2=-I1h
MonopoloDipolo sobre un plano conductor
22
4. Teorema de reciprocidad
Dados dos conjuntos de corrientes eléctricas y magnéticas que radian un campo simultáneamente en el mismo medio y a la misma frecuencia, el teorema de reciprocidad relaciona los campos creados por ambos conjuntos con dichas corrientes.
11 M,J 11 H,E22 M,J 22 H,E
( ) ( ) dvMHJEdvMHJEv
1212v
2121 ∫∫∫∫∫∫ ⋅−⋅=⋅−⋅rrrrrrrr
Si
Aplicación práctica:• Propiedades en recepción son las mismas que en transmisión.• En medidas en campo próximo existe relación entre modos esféricos en transmisión y recepción
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo
El teorema de reciprocidad en circuitos equivale a decir que las posiciones de un fuente de tensión ideal y de una fuente de corriente ideal se pueden intercambiar sin afectar el comportamiento.
nmsmsmn TR )()1( −−=
23
5. Teorema de reacción
( )∫∫∫ ⋅−⋅=v 2121 dvMHJE2,1
rrrr
( )∫∫∫ ⋅−⋅=v 1212 dvMHJE1,2
rrrr 1,22,1 =
En términos de corrientes y voltajes: la corriente inducida en una fuente j debida a unafuente i multiplicada por el voltaje aplicado a dicha fuente i, es igual a la corriente inducidaen la fuente i, debida a la fuente j, multiplicada por el voltaje aplicado a la fuente j.
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo
24
5. Teorema de reacción: aplicación práctica
• En obtención de la matriz del método de los momentos, sólo tienes que obtener la mitad superior/inferior de la matriz del sistema, porque las otras interacciones son las mismas.
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo
VV
V
Z Z ZZ Z Z
Z Z Z
II
IN
N
N
N N NN N
1
2
11 12 1
21 22 2
1 2
1
2
M
L
L
M M O M
L
M
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
=
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
⋅
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
I1
I2
V1
V2
VN
IN
...
• Análisis de acoplos en arrays de antenas: jiij ZZ =
25
6. Teorema de equivalencia volumétrica
11 M,J oo H,E
11 M,J so EEErrr
+=
so HHHrrr
+=
En el vacío:
Si se introduceun material (ε, µ) :
eqeqss M,JH,Errrr
⇔ ( )EjJ oeq
rrε−εω=
( )HjM oeq
rrµ−µω=
Aplicación práctica:
• Formulación volumétrica en método de los momentos para el cálculo de RCS, de modo que el mismo operador para medio dieléctrico te vale para medio conductor, sustituyendo el medio por Jeq y/o Meq.
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo
26
7. Teorema de equivalencia superficial: principio de Huygens
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo
Configuración física
HE,
Campos internos y corrientes en la superficie
HE,
11 H,E
)(ˆ)(ˆ
1
1E EnM
H HnJ−×=
−×=s
sn
Principio de equivalencia de Love
HE,
00,
E nMHnJ×−=
×=ˆ
ˆs
sn
HE,
PEC
EnM ×−= ˆsn
Situación con conductor eléctrico perfecto
Nota: se podría hacer lo dual con un conductor magnético perfecto
27
Análisis de una guía abierta o de una ranura sobre plano conductor
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo
7. Teorema de equivalencia superficial: aplicación práctica
><as EnM ×−= ˆ
0=sM
aE
sJ
sJ ><as EnM ×−= ˆ
0=sM0=sJ
0=sJ
PEC PECAire Aire Aire
as EnM ×−= ˆ
0=sM
Aire Aire
><
Aire
0=sJ)(imagen
Ms
as EnM ×−= ˆ2
0=sM
Aire Aire
0=sJ><
0=sJ 0=sJ
28
Transformación de campo próximo adquirido a campo lejano calculado en medida de antenas
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo
7. Teorema de equivalencia superficial: aplicación práctica
dipolew
Campo radiado por la antena en el infinito
29
8. Teorema de inducción (para dispersión)
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo
a) Situación sin obstáculo b) Si se introduce un obstáculo
)(ˆ
)(ˆts
ts
E EnM
H HnJ
−×−=
−×=
i
i
n
c) Principio de equivalencia
1
1
E nMHnJ
×=×−=
ˆˆ
i
i
n n
d) Despejando H1 y E1
J1M1
ε1 µ1
ε1 µ1E1,H1
E1,H1
J1M1
ε1 µ1
E=E1+Es
H=H1+HsEt,Ht
ε2 µ2
Et,Ht
ε2 µ2
Es, HsEt,Ht
ε2 µ2
ε1 µ1ε1 µ1
30
Teorema equivalente de inducción para la dispersión de una placa conductora infinitamente extensa:
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo
8. Teorema de inducción (para dispersión): aplicación práctica
><0== tt HE
Aire PEC
1ˆ2 EnMi ×=
Aire Aire
1ˆ EnMi ×=
ss HE ,
31
9. Teorema de equivalencia física (para dispersión)
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo
PEC
n
J1M1
ε1 µ1
E=E1+Es
H=H1+Hs
Et=Ht=0
0ˆ
=
×=
pM
H nJpnε1 µ1
Es, Hs
-E1,-H1
ε1 µ1
a) Problema físico de dispersión de PEC
b) Problema equivalente
32
9. Teorema de equivalencia física (para dispersión): aplicación práctica
Formulación de óptica física para cálculo de el campo dispersado por un objeto (placa metálica infinita).
4. Teoremas y Principios del electromagnetismo
><0== tt HE
Aire PEC
0ˆ2 1
=
×=
p
p
M
HnJ
Aire Aire
1ˆ EnMi ×=
ss HE ,