LA DERIVADA DE UNA

FUNCION COMO TÉCNICA

DE GRAFICACIÓN

PUNTOS CRÍTICOS

Facultad de Ciencias

INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO

¿Recuerdas qué es la Derivada?

tan

sec

)()()('

0

m

m

h h

xfhxfLimxf

VALORES CRÍTICOS DE UNA FUNCIÓN

Un número en el intervalo se dice que es un valor crítico para la función si se cumple que la derivada en ese valor se anula o no existe.

Es decir, es un valor crítico si:

a)

b) no existe

f

c

c ),( ba

0)´( cf

)´(cf

Algunas funciones no tienen derivada en ciertos puntos

EJEMPLO 1: Identifique los puntos críticos de la función

xxxxf 1232)( 23

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0 Punto crítico

Punto crítico

(-2,20)

(1,-7)𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0

EJEMPLO 2: Utilice la primera derivada para determinar analíticamente los puntos críticos de la gráfica anterior

xxxy 1232 23

𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜:𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 6𝑥2 + 6𝑥 − 12 = 0

Tiene como solución x=-2 y x=1

Evaluando en la función se obtienen los puntos críticos (-2,20) y (1,-7)Como se obtuvo en la gráfica.

EJEMPLO 3: Encuentre los puntos críticos de la función 35 53 xxy

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 15𝑥4 − 15𝑥2 = 0

Tiene como solución los valores críticos x=0 , x=-1 y x=1

Evaluando cada valor en la función se obtienen los puntos críticos (0,0), (-1,2) y (1,-2) ver gráfico

35 53)( xxxf 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0

(-1,2)

(0,0)

(1,-2)

Máximo relativo

Mínimo relativo

Ni máximo, ni mínimo relativo

VALORES CRÍTICOS DE UNA FUNCIÓN

Sea una función definida en un intervalo que contiene a un número . Si es un máximo o un mínimo, entonces debe ser un VALOR CRÍTICO que puede tomar uno de los dos siguientes tipos:

a) es un valor tal que

b) es un valor tal que no existe.

0)´( xf

),( bafc )(cf c

c

c )´(xf

Si es un valor crítico, no significa necesariamente que sea un máximo o un mínimo.

Además:

c c

PRESENTADO POR HÉCTOR JAVIER HERRERA MEJÍA

DOCENTE DE CIENCIAS BÁSICAS

ITM