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7/24/2019 tarearepaso1
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Clculo Diferencial e Integral IITarea 1: Tarea de Repaso
1. Sean A, B, y C conjuntos, demuestre las siguientes proposiciones:
(a) Si f :A ! B y h: B! Cson inyectivas, entonces h f :A ! C esinyectiva.
(b) Sif :A ! B y h: B! Cson suprayectivas, entonceshf :A ! Cessuprayectiva.
(c) Si f :A ! B y h: B! Cson biyectivas, entonces h f :A ! C esbiyectiva.
2. Demuestra que existe f : A ! B sobre, si y slo existe g : B !A inyectiva
3. Escriba la denicin de quep0 sea punto de acumulacin de un conjunto.
4. Encuentra el conjunto de puntos de acumulacin de los siguientes conjun-tos:
a) Q b) RQ c) R d) N e) Z f) [a; b] g)(a; b)5. a) Es cierto que si una sucesin converge a l entonces l es punto de
acumulacin?
b) Es cierto que si la imagen de una sucesin tiene un punto de acumu-lacin entonces la sucesion converge ?
6. Enuncia el teorema del valor intermedio, el teorema del valor medio y el
de Heine-Borel.
7. Escribe las siguientes deniciones:
a) limx!x0
f(x) = l
b)fes una funcin continua.
c)fes una funcin derivable
8. Da un ejemplo de una funcinftal que limx!x0
f(x) = l y adems:
a)x02 Domf b)x0 =2 Domf9. Demuestra o refuta con un contraejemplo lo siguiente:
a) Si limx!x0 f(x) = 1, entonces limx!x01
f(x) = 0
b) Si limx!x0
f(x) = 0 y f(x)> 0 para toda x; entonces limx!x0
1
f(x)= 1
10. Demostrar que si limx!0
f(x)
x =l yb 6= 0, entonces lim
x!0
f(bx)
x =bl:
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11. Da condiciones sucientes para que una funcinf, denida en un conjuntoD
R, alcance su valor mximo y su valor mnimo en D.
12. Sean f y g dos funciones continuas en [a; b] y tales que f(a) > g(a) yf(b)< g(b). Demostrar que existe c 2 (a; b) tal que f(c) = g(c).
13. Sea f diferenciable en D R: Demuestra que si f0(x) = 0 para todax2 D, entonces f es constante y que si f0(x) > 0 para toda x2 D,entonces fes creciente.
14. Demuestra que la funcin f(x) =p
x; denida en (0;1); es creciente.15. Calcula la derivada de las siguientes funciones:
a)senx cos2 x b) x+ 1
sec(x2 + 3x+ 5)
c)tan d) x2 + 3x+ 1
3p
x 2e)3x5 + 17x3 +
p2x+ 5 f)
ln(sen(exp(x))
x2 + 3x+ 5
g)arctan(cosh x)
16. Dada una funcinf, se dice que Fes una antiderivada o primitiva def siF0 =f: Encuentra TODAS las antiderivadas de las siguientes funciones:
a)cos x b)senx c)sec2 x
d)x2 e)3x3 + 2x2 + 5x f) 1x
g)6xe3x2
h)e5x i)sen2x cos x
17. Se dispone de un alambre rectilneo de longitud L , y se desea cortarlo endos trozos, construyendo con uno de ellos una circunferencia y con el otroun cuadrado. Como debe cortarse el alambre para que la suma de lasreas del crculo y el cuadrado sea mnima?
18. *Si el tiempo t se mide en minutos y un mvil se desplaza con unavelocidad dada por la formula v(t) = t metros por
minuto Qu distancia recorre el mvil durante 10 minutos?
19. *Si un cuerpo se mueve con aceleracin constantea= 2metros por minutoQu distancia recorre durante 13 minutos?
20. *Se lanza un proyectil con una velocidad inicial de 200 m/s y una incli-
nacin, sobre la horizontal, de 30
. Suponiendo despreciable la prdida develocidad con el aire, calcular:
a) Cul es la altura mxima que alcanza la bala?.
b) A qu distancia del lanzamiento alcanza la altura mxima?.
c) A qu distancia del lanzamiento cae el proyectil?
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21. *Canto tiempo tarda en caer un cuerpo desde una altura de 20 metros?Desprecia la fuerza de friccin con el aire.
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