Post on 18-Nov-2020
Sucesiones
Definición: Se llama sucesión real, a la función:
𝑎: ℕ ⟶ ℝ , tal que
𝑛 ⇝ 𝑎 𝑛 = 𝑎𝑛
Observaciones:
1) Se llaman términos de la sucesión a las imágenes
𝑎 1 , 𝑎 2 ,… 𝑎(𝑛), denotadas por 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … 𝑎𝑛
2) En general, una sucesión se denota por 𝑎𝑛 𝑛∈ℕ = 𝑎𝑛 𝑛<1∞
Importante:
Notemos que 𝑎𝑛 𝑛∈ℕ no es un conjunto sino que una
notación de una sucesión.
Ejemplos:
𝑎𝑛 𝑛∈ℕ = (−1)𝑛𝑛∈ℕ = −1, 1, −1, 1, …
𝑎𝑛 𝑛∈ℕ = 1
𝑛 𝑛∈ℕ= 1,1
2,1
3,…
Definición: LÍMITE DE UNA SUCESIÓN
Si para ℇ > 0, existe 𝑀 > 0 , tal que 𝑎𝑛 − 𝐿 < 𝜀 ,
siempre que 𝑛 > 𝑀, entonces decimos que el límite de
la sucesión 𝑎𝑛 es 𝐿 y escribimos
lim𝑛→∞𝑎𝑛 = 𝐿
Sucesiones convergentes y divergentes
Las sucesiones que tienen límite (finito) se llaman
𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔. Las que no tienen límite, se llaman
𝒅𝒊𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔.
• Para estudiar el límite de la función 𝑎, ésta se extiende a cualquier real 𝑥, es decir,
lim𝑛→∞𝑎𝑛 = lim
𝑥→∞𝑎(𝑥)
• Son válidos para sucesiones, todos los teoremas de
límites de funciones reales. • En lo sucesivo, usaremos simplemente 𝑛 para calcular
límites de sucesiones.
Observación:
Ejemplos:
a) La sucesión 𝑎𝑛 𝑛<1∞ =
1
𝑛 𝑛<1
∞ es convergente, pues
lim𝑛→∞ 1
𝑛= 0
b) La sucesión 𝑎𝑛 𝑛<1∞ = 𝑛 + 1 𝑛<1
∞ es divergente, pues lim
𝑛→∞(𝑛 + 1) = ∞
PROPIEDADES DE LAS SUCESIONES
Si lim𝑛→∞𝑎𝑛 = 𝐿 y lim
𝑛→∞𝑏𝑛 = 𝐾 , entonces son válidas las
siguientes propiedades:
1. lim𝑛→∞(𝑎𝑛±𝑏𝑛) = 𝐿 ± 𝐾
2. lim𝑛→∞𝑐 𝑎𝑛 = 𝑐𝐿 , 𝑐 ∈ ℝ
3. lim𝑛→∞(𝑎𝑛∙ 𝑏𝑛) = 𝐿 ∙ 𝐾
4. lim𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑏𝑛=𝐿
𝐾 , 𝑏𝑛 ≠ 0 ; 𝐾 ≠ 0
Definición: Sea 𝑎𝑛 𝑛∈ℕ una sucesión. Considerando
que las sucesiones son funciones reales, tenemos
que:
i) 𝑎𝑛 𝑛∈ℕ es creciente si 𝑎𝑛 ≤ 𝑎𝑛:1
ii) 𝑎𝑛 𝑛∈ℕ es decreciente se 𝑎𝑛 ≥ 𝑎𝑛:1
iii) 𝑎𝑛 𝑛∈ℕ es monótona si 𝑎𝑛 𝑛∈ℕ es creciente o
𝑎𝑛 𝑛∈ℕ es decreciente
iv) 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 es cota inferior de
𝑎𝑛 𝑛∈ℕ 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 𝑎𝑛, ∀𝑛 ∈ ℕ
v) 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 es cota superior de 𝑎𝑛 𝑛∈ℕ <=> 𝑥 ≥ 𝑎𝑛,
∀𝑛 ∈ ℕ
vi) 𝑎𝑛 𝑛∈ℕ es acotada superiormente sí y sólo si al
menos una cota superior
vii) 𝑎𝑛 𝑛∈ℕ es acotada inferiormente sí y sólo si al
menos una cota inferior
viii) 𝑎𝑛 𝑛∈ℕ es acotada, sí y sólo si es acotada
superior e inferiormente.
Observación:
1. 𝑎𝑛 𝑛∈ℕ es acotada sí y sólo si, ∃ 𝑀 ∈ ℝ:, tal que
𝑎𝑛 ≤ 𝑀, ∀𝑛 ∈ ℕ
2. 𝑎𝑛 𝑛∈ℕ es creciente (o decreciente) si para
𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 , 𝑥 ∈ ℝ: se cumple
𝑓′ 𝑥 > 0 ó 𝑓′ 𝑥 < 0
Ejemplo:
La sucesión 1
2𝑛 𝑛∈ℕ es monótona y acotada.
En efecto,
1
2𝑛 𝑛∈ℕ=1
2,1
4 ,1
8 ,1
16 , … está acotada inferiormente
por 1
2 y superiormente por 0, además de ser
decreciente.
Teorema. (Condiciones de convergencia)
1. Toda sucesión creciente y acotada superiormente es
convergente.
2. Toda sucesión decreciente y acotada inferiormente es
convergente.
3. Toda sucesión convergente es acotada.
4. Si 𝑎𝑛 𝑛∈ℕes monótona, entonces: 𝑎𝑛 𝑛∈ℕ es convergente ⇔ 𝑎𝑛 𝑛∈ℕ es acotada
SERIES
Definición: Sea 𝑎𝑛 𝑛∈ℕ una sucesión. Entonces,
una SERIE INFINITA o simplemente SERIE, es la
suma de los términos de la sucesión.
Así, si la sucesión 𝑎𝑛 𝑛∈ℕ = 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … ,
entonces la serie infinita es
𝑎𝑛 =
∞
𝑛<1
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯
Observación: La serie puede comenzar desde un
valor distinto de 1, por lo que en general se
escribe simplemente 𝑎𝑛 . Llamaremos
términos de la serie a los términos de las
sucesión 𝑎𝑛
Para hallar la suma de una serie infinita,
consideramos la siguiente sucesión de sumas
parciales:
𝑆1= 𝑎1
𝑆2 = 𝑎1 + 𝑎2
𝑆3 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 ;
⋮
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛
Es decir, hemos formado una sucesión de sumas
parciales 𝑆1, 𝑆2, 𝑆3, … , 𝑆𝑛
Definición: CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA PARA SERIES
Para la serie infinita 𝑎𝑛 , la enésima suma parcial viene
dada por
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛
Si la sucesión de sumas parciales 𝑆𝑛 converge a 𝑆,
diremos que la serie 𝑎𝑛 converge. Llamaremos a 𝑆 suma
de la serie y escribiremos
𝑆 = 𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛 +⋯
Si 𝑆𝑛 diverge, diremos que la serie 𝑎𝑛 es divergente.
Definición: CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA PARA SERIES
Para la serie infinita 𝑎𝑛 , la enésima suma parcial viene
dada por
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛
Si la sucesión de sumas parciales 𝑆𝑛 converge a 𝑆,
diremos que la serie 𝑎𝑛 converge. Llamaremos a 𝑆 suma
de la serie y escribiremos
𝑆 = 𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛 +⋯
Si 𝑆𝑛 diverge, diremos que la serie 𝑎𝑛 es divergente.
Ejemplo: Dada la serie 1
𝑛(𝑛:1) queremos saber si tiene o
no suma, es decir, es o no convergente.
Formando las sumas parciales, tenemos:
𝑆1 =1
2
𝑆2 =1
2+ 1
6= 4
6=2
3
𝑆3 =1
2+ 1
6+1
12=2
3+1
12=9
12=3
4
⋮ = ⋮
𝑆𝑛 =𝑛
𝑛 + 1
Luego, el límite de la sucesión 𝑆𝑛 =𝑛
𝑛:1 es
lim𝑛→∞𝑆𝑛 = lim
𝑛→∞
𝑛
𝑛:1= 1
∴ la serie 1
𝑛(𝑛:1)∞𝑛<1 es convergente y su
suma es 𝑆 = 1
Observación: En general, No siempre es posible
encontrar una fórmula para encontrar 𝑆𝑛. Surgen
así teoremas y criterios para analizar la convergencia
o divergencia de una serie.
SERIES CONVERGENTES Y DIVERGENTES
TEOREMA:
Si la serie 𝑎𝑛∞𝑛<1 es convergente, entonces
lim𝑛→∞𝑎𝑛 = 0
Ejemplo: Sabemos que la serie 1
𝑛(𝑛:1) converge,
luego,
lim𝑛→∞
1
𝑛(𝑛 + 1)= 0
¡¡CONSECUENCIA IMPORTANTE !!
TEOREMA: CRITERIO DE LA DIVERGENCIA
Si lim𝑛→∞𝑎𝑛 ≠ 0 ó lim
𝑛→∞𝑎𝑛 ∄ ⟹ 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒
𝒅𝒊𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆.
𝑎𝑛
∞
𝑛<1
Ejemplo:
2𝑛
𝑛
∞
𝑛<1
𝒅𝒊𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆
En efecto,
lim𝑛→∞𝑎𝑛 = lim
𝑛→∞
2𝑛
𝑛=∞
∞ aplicando L’Hôpital
lim𝑛→∞2𝑛𝑙𝑛2 = ∞ , 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
∴ 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 2𝑛
𝑛
∞
𝑛<1
𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
SERIES ESPECIALES
1. Definición: SERIE GEOMÉTRICA
Una serie dada por
𝑎𝑟𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 +⋯∞𝑛<0 + 𝑎𝑟𝑛 +⋯
Se llama serie geométrica de razón 𝒓
TEOREMA: En la serie geométrica
𝑎𝑟𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 +⋯∞𝑛<0
• Si 𝑟 ≥ 1 , la serie es divergente.
• Es convergente si 𝑟 < 1, en este caso su suma es
𝑆 =𝑎
1;𝑟
Ejemplos:
a) −5𝑛∞𝑛<0 , serie geométrica divergente, pues
−5 ≥ 1
b) 3𝑛+2
5𝑛+1=
3𝑛32
5𝑛5=9
5
3
5
𝑛 ∞
𝑛<0∞𝑛<0
∞𝑛<0 ,
con 𝑟 = 3
5 < 1 Luego, la serie converge y suma es
𝑆 =9
5∙1
1;3
5
=9
2
2. Definición: SERIE TELESCÓPICA
Una serie 𝑎𝑛∞𝑛<1 es una serie telescópica si y sólo si es
posible encontrar una sucesión 𝑏𝑛 tal que:
𝑎𝑛 = 𝑏𝑛 − 𝑏𝑛:1 , ∀ 𝑛 ∈ 𝐼𝑁 ó
𝑎𝑛 = 𝑏𝑛:1 − 𝑏𝑛 , ∀ 𝑛 ∈ 𝐼𝑁
TEOREMA: La serie telescópica 𝑎𝑛∞𝑛<1 = 𝑏𝑛 − 𝑏𝑛:1
∞𝑛<1
i) Diverge si 𝑏𝑛 diverge.
ii) Converge si 𝑏𝑛 converge, en este caso la suma de la serie
es 𝑆 = 𝑏1 − lim𝑛→∞𝑏𝑛 , siendo 𝑏1 el primer término de la serie.
Ejemplo:
1
𝑛2:𝑛∞𝑛<1 =
1
𝑛−1
𝑛:1∞𝑛<1
donde 𝑏𝑛 = 1
𝑛
y lim𝑛→∞
1
𝑛= 0
la sucesión converge, luego la serie converge y su suma es
𝑆 = 1 − lim𝑛→∞
1
𝑛= 1
3. Definición: SERIE 𝒑
Toda serie de la forma
1
𝑛𝑝∞𝑛<1 = 1 +
1
2𝑝+1
3𝑝+⋯+
1
𝑛𝑝+⋯ ;
donde 𝑝 es una constante, se llama “serie 𝑝”.
En el caso particular si 𝑝 = 1, tenemos
1
𝑛𝑝∞𝑛<1 , llamada 𝑺𝒆𝒓𝒊𝒆 𝒂𝒓𝒎ó𝒏𝒊𝒄𝒂
TEOREMA: La serie 𝑝, 1
𝑛𝑝∞𝑛<1 , es:
i) convergente, si y sólo si 𝑝 > 1
ii) divergente si y sólo si 0 < 𝑝 ≤ 1.
Como consecuencia de este teorema, se
tiene que la serie armónica es divergente.
Es decir,
1
𝑛∞𝑛<1 diverge
Ejemplo:
a) 1
𝑛∞𝑛<1 , se puede escribir como
1
𝑛1/2∞𝑛<1 así, 𝑝 =
1
2< 1, luego la
serie es divergente.
b) 2
𝑛3∞𝑛<1 , se puede expresar como
2 1
𝑛3/2∞𝑛<1 , donde 𝑝 =
3
2> 1, luego la serie
converge.
PROPIEDADES DE LAS SERIES INFINITAS
Dadas las series 𝑎𝑛∞𝑛<1 y 𝑏𝑛
∞𝑛<1 , entonces
también son series:
a) 𝑎𝑛∞𝑛<1 + 𝑏𝑛
∞𝑛<1 = 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛
∞𝑛<1
b) (𝛼𝑎𝑛)=∞𝑛<1 α 𝑎𝑛 , 𝛼 ∈ ℝ
∞𝑛<1
c) 𝑎𝑛∞𝑛<1 − 𝑏𝑛
∞𝑛<1 = 𝑎𝑛
∞𝑛<1 + (−1) 𝑏𝑛
∞𝑛<1
TEOREMAS
1. Si dos series difieren en un número finito de términos,
entonces ambas convergen o ambas divergen.
2. Dadas dos series convergentes, la suma o la resta de las
series es convergente. Si una de la serie es convergente y a
otra es divergente, entonces la suma es divergente.
3. Si la serie 𝑎𝑛∞𝑛<1 es convergente a la suma 𝑆,
entonces la serie 𝛼 𝑎𝑛∞𝑛<1 converge a la serie 𝛼𝑆, ∀𝛼 ∈
ℝ, 𝛼 ≠ 0
Consideraremos a la serie 𝑎𝑛∞𝑛<1 de términos
positivos, es decir 𝑎𝑛 ≥ 0, ∀𝑛 ∈ ℕ.
Para estudiar la convergencia de una serie de
términos positivos, siempre es útil comenzar con
el criterio de la divergencia, pero si ésta no da la
información requerida, se analizan otros
criterios, que estudiaremos a continuación.
CRITERIOS DE CONVERGENCIA
1.Criterio de Comparación
S ean 𝑎𝑛∞𝑛<1 y 𝑏𝑛
∞𝑛<1 son series con
términos positivos.
i) Si 𝑏𝑛∞𝑛<1 es convergente y 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 , ∀𝑛,
entonces 𝑎𝑛∞𝑛<1 también es convergente.
ii) Si 𝑏𝑛∞𝑛<1 es divergente y 𝑎𝑛 ≥ 𝑏𝑛 , ∀𝑛 ,
entonces 𝑎𝑛∞𝑛<1 también es divergente.
Ejemplo:
La 2𝑛:𝑛2
𝑛3:1∞𝑛<1 la compararemos con la serie
armónica 1
𝑛∞𝑛<1 que es divergente
Solución
Tenemos que,
𝑎𝑛 =2𝑛:𝑛2
𝑛3:1 𝑦 𝑏𝑛 =
1
𝑛 ,donde 𝑎𝑛 ≥ 𝑏𝑛, ya que
1
𝑛≤2𝑛:𝑛2
𝑛3:1 ⟺ 𝑛3 + 1 ≤ 2𝑛2 +𝑛3
Luego, por el criterio de comparación, la serie
2𝑛:𝑛2
𝑛3:1 , ∞
𝑛<1 diverge.
2. Criterio de Comparación por límite
Sean 𝑎𝑛∞𝑛<1 y 𝑏𝑛
∞𝑛<1 series con términos
positivos, y
lim𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑏𝑛= 𝐿
Donde 𝐿 es un número finito y 𝐿 > 0, entonces
ambas series convergen o ambas series
divergen.
En este caso:
i) Si 𝐿 = ±∞ y 𝑏𝑛∞𝑛<1 diverge, entonces
𝑎𝑛∞𝑛<1 diverge.
ii) Si 𝐿 = 0 y 𝑏𝑛∞𝑛<1 converge, entonces
𝑎𝑛∞𝑛<1 converge.
Ejemplo
𝑠𝑒𝑛 1/𝑛∞𝑛<1 . Compararemos con serie
armónica 1
𝑛∞𝑛<1 divergente
Así, lim𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑏𝑛= lim𝑛→∞
𝑠𝑒𝑛 1/𝑛
1/𝑛= lim𝑢→0
𝑠𝑒𝑛 𝑢
𝑢= 1 > 0
Luego, la serie 𝑠𝑒𝑛 1/𝑛∞𝑛<1 diverge.
3. Criterio de la razón o cociente
Dada la serie 𝑎𝑛∞𝑛<1 de términos positivos, y sea
lim𝑛→∞
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛= 𝐿 , se tiene
i. Si 𝐿 < 1 , entonces 𝑎𝑛∞𝑛<1 converge
ii. Si 𝐿 > 1 ó 𝐿 = ∞ , entonces 𝑎𝑛∞𝑛<1 diverge
iii.Si 𝐿 = 1 , el criterio no da información.
Ejemplo
Analizar la convergencia de la serie 2𝑛 !
2∙4∙6∙⋯∙2𝑛∞𝑛<1
Solución:
Sean 𝑎𝑛 =2𝑛 !
2∙4∙6∙⋯∙2𝑛 , y 𝑎𝑛:1 =
2𝑛:2 !
2∙4∙6∙⋯∙2𝑛∙(2𝑛:2)
Luego, L = lim𝑛→∞
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛= lim𝑛→∞
2𝑛+2 !
2∙4∙6∙⋯∙2𝑛∙(2𝑛+2)
2𝑛 !
2∙4∙6∙⋯∙2𝑛
L = lim 𝑛→∞
2𝑛 + 1 = ∞
Por lo tanto la serie 2𝑛 !
2∙4∙6∙⋯∙2𝑛∞𝑛<1 diverge.
4. Criterio de la raíz
Dada la serie 𝑎𝑛∞𝑛<1 de términos positivos, y sea
lim𝑛→∞
𝑎𝑛𝑛
= 𝐿 , se tiene
i. Si 𝐿 < 1 , entonces 𝑎𝑛∞𝑛<1 converge
ii. Si 𝐿 > 1 ó 𝐿 = ∞ , entonces 𝑎𝑛∞𝑛<1 diverge
iii.Si 𝐿 = 1 , el criterio no da información.
Ejemplo:
Analizar la convergencia de la serie 2𝑛
𝑛2∞𝑛<1 ,
Solución:
Sea 𝑎𝑛 =2𝑛
𝑛2 . Así,
𝐿 = lim𝑛→∞
2𝑛
𝑛2
𝑛
= lim𝑛→∞
2
𝑛2𝑛 = 2 lim
𝑛→∞ 1
𝑛2 𝑛 =
2
lim𝑛→∞ 𝑛2 𝑛
Aplicando L′Hôpital L = 2 > 1 ∴ 2𝑛
𝑛2
∞
𝑛<1
𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒
5. Criterio de la integral
Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) la función obtenida al cambiar 𝑥 por 𝑛, en el
enésimo término de la serie de términos positivos 𝑎𝑛∞𝑛<1
Entonces, si 𝑓 es una función continua decreciente y de
valores positivos, para todo 𝑥 ≥ 𝑚, con 𝑚 fijo en ℕ, se
tiene:
i. Si existe 𝑓 𝑥 𝑑𝑥,∞
𝑚 la serie 𝑎𝑛
∞𝑛<1 converge.
ii. Si 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = ∞∞
𝑚 , la serie 𝑎𝑛
∞𝑛<1 diverge.