Sistemas LinealesSistemas Lineales

Análisis de error

Prof.: Dra. Nélida Beatriz Brignole

ErroresErrores

Errores de redondeoErrores en los valores de A y b Incertidumbre en la solución

calculada x

ResiduoResiduo

*

1

1*

*

)( demedida es )(

0)(

)(

xxxexr

bAxxr

Axbxr

bAxe

bAx

Sistema mal condicionadoSistema mal condicionado

01868832.01868832.0det

8648.02969.1

2161.01441.00

8642.08648.02969.1

2

2

10

10

4870.0

9911.0

1440.0

8642.0

1441.02161.0

8648.02969.1

1440999923.0

*8

8

A

X

grande e pequeño r

x :es V.V. el embargo sinr

xbA

Relación entre residuo y errorRelación entre residuo y error

)()()(

)()(

)()(

)()(

11

1

*

*

*

xrAxrAxe

xrAxe

xrxeA

xrxxA

bAxAxAx

bAx

Relación entre residuo y errorRelación entre residuo y error

b

xrAKxrA

b

A

x

xrA

x

xe

b

A

xxAbAx

x

xrA

x

xe

xrAxe

)()()(

)()(

1

)()(

)()(

1

*

1

*

***

*

1

*

1

Número de condiciónNúmero de condición

ini

ini

ini

ini

ini

ini

Ay A

AAAK

porque mín

AK

AAAA

AA

AA porque AAAAAK

AK

IIAAAAAK

1

1

1

11

1

1

1

11

11

11

11

min

1)(max)(

min

1max)()()(

max)(

)()(

)(

)()()()(

1)(

1)()(

Cotas de errorCotas de error

b

bAA

x

b

A

AA

x

bA

x

bA

x

x

bAx

bAx

bxA

bbxxA

AK

)(

1

*

1

*

1

*

1

*

1

1

*

cia)(consisten

)(

Cotas de errorCotas de error

A

AAK

xx

x

A

AAAAA

xx

x

xxAAxxAAx

xxAAx

xxAxA

xAAxxA

bxxAA

)(

)(

)(

0)(

0

))((

*

11

*

*1

*1

*1

*

*

*

Resolución de Sistemas LinealesResolución de Sistemas Lineales

Métodos directos:

Refinamiento iterativo

Refinamiento iterativoRefinamiento iterativo

rxA

xxAxAAxr

xAbr

)(

Algoritmo: Refinamiento IterativoAlgoritmo: Refinamiento Iterativo

lazo fin

deseado) error el alcanzó se(no PARARiti Si

solución)la es x ( PARARb

r Si

más) refinar puede se(no PARARrr Si

iaconvergenc de d)Test

Axbr precisión doble en Calcular c)

xxx b)

rxA LU cióndescomposi por Resolver a)

:hacer iaconvergenc hasta i para 2)

Axbrprecisión doble en Calcular 1)

bAx de aproximada soluciónx :Dado

ii

ii

ii

iii

ii

max

1

1

11

11

00

0

Resolución de Sistemas LinealesResolución de Sistemas Lineales

Métodos iterativos

)(1 kk xx

Métodos iterativosMétodos iterativos

Ventajas?– Espacio: convenientes para matrices ralas (sparse)

– Tiempo: menor número de operaciones

Desventajas?– Velocidad: convergencia lenta

– Convergencia: no siempre se obtiene la solución en un número finito de pasos

Diseño generalDiseño general

kk CxBbBx

CxBbBx

bCxBx

bxCB

bAx

111

11

)(

Cuándo tiene sentido esto?Cuándo tiene sentido esto?

kk

kk

kk

kk

eCBe

xxCBxx

CxBbBx

CxBbBx

xx

11

*1

*1

111

*11

*

*

)(

lim

Análisis de errorAnálisis de error

11

0

111

211

111

CB

:iaconvergenc de e suficientcondición

eCBeCBe

eCBCeBe

k

kk

kkk

Condición necesaria y suficiente de convergenciaCondición necesaria y suficiente de convergencia

)(

1)(

*01

*1

1

xxMxx

M

bMxx

kk

kk

DemostraciónDemostración

1)(

1max1

)(

)(

1

222111

0

*

222111*1*2

222111*1

2211*1

2211*1

2211*0

M

i

uuuxx

MuuMuMxxMxx

uuuxx

MuuMuMxx

uuuMxx

uuuxx

ini

i

nk

nnkk

k

nnn

nnn

nn

nn

nn

Principales Métodos IterativosPrincipales Métodos Iterativos

JacobiGauss SeidelSOR: Sobrerelajación sucesiva

Métodos Iterativos: JacobiMétodos Iterativos: Jacobi

nnn

knnn

kn

knnk

n

knn

kkk

knn

kkk

Pa

xaxaxabx

Pa

xaxaxabx

Pa

xaxaxabx

)(11

)(22

)(11)1(

222

)(2

)(323

)(1212)1(

2

111

)(1

)(313

)(2121)1(

1

Métodos Iterativos: Gauss SeidelMétodos Iterativos: Gauss Seidel

nn

knnn

kn

knnk

n

knn

kkk

knn

kkk

a

xaxaxabx

axaxaxab

x

axaxaxab

x

)(11

)1(22

)1(11)1(

22

)(2

)(323

)1(1212)1(

2

11

)(1

)(313

)(2121)1(

1

Método de JacobiMétodo de Jacobi

bDxULDx

bxULDx

bxUDL

bAx

UDLA

k

M

k

kk

J

111

1

Método de Gauss SeidelMétodo de Gauss Seidel

bDLxUDLx

bUxxDL

bxUDL

bAx

UDLA

k

M

k

kk

GS

111

1

Condiciones de convergenciaCondiciones de convergencia

Si A es simétrica, definida positiva, entonces Gauss-Seidel converge

Si A es estrictamente diagonal dominante por filas,

entonces Gauss-Seidel y Jacobi convergen

Diagonal dominanciaDiagonal dominancia

ni

ni

,1aa

si columnaspor dominante diagonal

es A que dice se :Def

,1aa

si filaspor dominante diagonal

es A que dice se :Def

n

ji1i

ijjj

nxn

n

ji1j

ijii

nxn

Diagonal dominancia estrictaDiagonal dominancia estricta

ni

ni

,1aa

si columnaspor dominante diagonal nteestrictame

es A que dice se :Def

,1aa

si filaspor dominante diagonal nteestrictame

es A que dice se :Def

n

ji1i

ijjj

nxn

n

ji1j

ijii

nxn

TeoremaTeorema

Si A es estrictamente diagonal dominante por filas , entonces A puede ser factorizada usando EG sin pivoteo por columnas

Si A es estrictamente diagonal dominante por columnas , entonces A puede ser factorizada usando EG sin pivoteo por filas

Método SORMétodo SOR

bwLDwxwDwUwLDx

wLxDxxwDwUxwb

xwDDxUxLxbw

xwDDxwDx

wxxwwxwxxx

wwpxx

UxLxbDx

xxp

k

M

k

kkkk

kkkk

kkGSk

GSkkk

GSkkk

SORpaso

GSkk

kkGSk

kGSkGS

SOR

111

11

11

11

111

1

11

1

1

1

1

1

)1(

ión)amplificac -ón (aceleraci 1

Condición necesaria de convergenciaCondición necesaria de convergencia

20 w

ObservacionesObservaciones

w=1 Método de Gauss-Seidelw<1 Subrelajación

(paso más corto que el de GS)w>1 Sobrerelajación

(paso más largo que el de GS)

Lectura obligatoriaLectura obligatoria

Rao “Applied Numerical Methods for Engineers and Scientists”, Prentice Hall, 2002

Págs 152-188