Post on 16-Mar-2020
Simulación Numérica en Ingeniería Civil
Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN)
Dep. de Matemàtica Aplicada III Universitat Politècnica de Catalunya
www-lacan.upc.es
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Simulación numérica
acciones/parámetros aleatorios
resultados de interés ingenieril aleatorios (flechas máximas, esfuerzos, …)
permite obtener probabilidad de fallo
modelización numérica
simulación Montecarlo
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Problema de FLUJO EN MEDIO POROSO
Flujo:
EDP:
Caudal:
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Permeabilidad no determinista La permeabilidad k no es conocida exactamente y se simula como una variable aleatoria Debemos escoger la distribución de probabilidad de k Decisión ingenieril no trivial La distribución del resultado de interés ingenieril no es, en principio, previsible El número de realizaciones necesarias depende de la precisión con que se desee la distribución resultado: 10.000 realizaciones bastan para determinar los percentiles 25, 50, 75, pero no para 3%
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Caso 1: k aleatoria uniforme en todo el terreno
log k ∼ N(-4,0.25)
log k
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log Q Q log Q
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log Q log Q
log k ∼ N(-4,0.25) log k ∼ N(-5,0.25)
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Caso 2: k aleatoria en un estrato uniforme
log k ∼ N(-5,0.25)
k =10-4
máx p
Q
10
Q Q
p log p
log Q
log k ∼ N(-5,0.25)
Tiempo de cálculo ∼ 2:30 horas
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kestrato=10-6 pmax = 12.4
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kestrato=10-2 pmax = 11.9
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log k ∼ N(-7,0.25)
Q
log p p
log Q
log p
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log ke ∼ N(-5,0.25)
Caso 3: k aleatoria en cada elemento
k =10-4
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Correlación en función de la distancia
Matriz de covarianza: Cij = ρij σ2
ρ
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Simulación multivariante
Simulación de una realización de una serie de variables aleatorias X∼N(µ,C) con matriz de covarianza C: dada una factorización C=LLT,
1. obtener zj (j=1,…,r) independientes con zj∼N(0,1)
2. y = Lz
3. x = y + µ
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Ejemplos de realización
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Q
log p p
log Q
Tiempo de cálculo ∼ 4 horas
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Análisis estadístico: – ajuste de distribuciones de probabilidad – test de hipótesis – …
Adaptatividad orientada al resultado
Paralelización
…
Falta
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DISEÑO DE UNA ESTACIÓN DE BOMBEO: minimización del riesgo Qd: caudal de diseño (determinista)
– C(Qd): coste (precio) de la estación que proporciona una capacidad de bombeo Qd (una disponible en el mercado)
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Q: caudal que sale por la solera (con carácter aleatorio)
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Se asigna un coste al fallo Cfallo(Q-Qd)
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Riesgo asociado a un diseño Qd
Coste de la estación C(Qd)
Densidad de probabilidad de Q, fQ
Coste de fallo Cfallo(Q-Qd)
Se elige Qd que
minimice el riesgo
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Ejemplo
Coste de fallo
Riesgo de un diseño Qd
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Ejemplo con K=3 (coste de fallo) y Qi=i 10-4, Ci=i (coste de la estación de bombeo para cada modelo i)
Mínimo riesgo para la segunda estación de
bombeo