Post on 30-Jan-2016
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SEXTA PRÁCTICA: MARCOS
PROBLEMA.- Resolver el problema de la tercera práctica considerando el peso propio del material y calcular los esfuerzos y las reacciones en los apoyos (empotrados).MATERIAL: E=3.1x105N/mm2, =7.8 gr-f/cm3, 50mm
SOLUCIÓN
TABLA DE CONECTIVIDAD.
NODO X(mm) Y(mm)1 0 02 1500 03 3000 04 1500 15005 0 1500
elemento NODOS GDL Le Ae Ee I
(1) (2) 1 2 3 4 5 6 (mm) (mm2) (N/mm2) (mm4)1 1 2 1 2 3 4 5 6 1500.00 1963.5 3.1x105 3.07x105
2 2 3 4 5 6 7 8 9 1500.00 1963.5 3.1x105 3.07x105
3 3 4 7 8 9 10 11 12 2121.32 1963.5 3.1x105 3.07x105
4 2 4 4 5 6 10 11 12 1500.00 1963.5 3.1x105 3.07x105
5 1 4 1 2 3 10 11 12 2121.32 1963.5 3.1x105 3.07x105
6 4 5 10 11 12 13 14 15 1500.00 1963.5 3.1x105 3.07x105
7 1 5 1 2 3 13 14 15 1500.00 1963.5 3.1x105 3.07x105
PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO (realizado sólo para el primer elemento)
Matriz de transformación de coordenadas
DIAGRAMA DE FLUJO DEL PROGRAMA
INICIO
Leer datos de entrada
Para i=1: #nodos
Leer posiciones (X,Y)
Para i=1: #elementos
Calcula longitud de cada elemento, cósenos directores, matriz de rotación “L”, matriz de rigidez y fuerzas.
Calcula desplazamientos, las reacciones en los apoyos y los momentos respectivos.
Para i=1: #elementos
Calcula esfuerzo normal, y esfuerzo debido a la flexión (para )
1 2
1 2
Si (SN+SE=1)> (SN-SE=1)
Esfuerzo igual a la suma
Esfuerzo igual a la resta
SI NO
Imprime reacciones, momentos y
esfuerzos
DIGITACIÓN DEL PROGRAMA EN MATLAB
%ESTRUCTURAS CON NUDOS NO ARTICULADOS: MARCOSformat long
nd=input('INGRESE EL NUMERO DE NODOS= ');ne=input('INGRESE EL NUEMRO DE ELEMENTOS= ');E=input('INGRESE EL MODULO DE YOUNG=');d=input('INGRESE EL DIAMETRO=');pes=input('INGRESE EL PESO ESPECIFICO(gr-f/cm^3)=');disp('e===(1) (2)====');tc=input('INGRESE TABLA DE CONECTIVIDAD(solo nodos)= ');n=[];for i=1:nd disp('INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO ');disp(i); n(i,1)=input('N(X)= '); n(i,2)=input('N(Y)= ');endle=[];lm=[];A=pi/4*d^2;I=pi*d^4/64;krs=zeros(3*nd);f=pes*9.81e-6*A;fp=zeros(3*nd,1);F=zeros(3*nd,1);Kij=zeros(3*nd);L=zeros(3*nd);kp=zeros(3*nd);le=[];l=[];m=[];for i=1:ne le(i)=sqrt((n(tc(i,2),1)-n(tc(i,1),1))^2+(n(tc(i,2),2)-n(tc(i,1),2))^2); l(i)=(n(tc(i,2),1)-n(tc(i,1),1))/le(i); m(i)=(n(tc(i,2),2)-n(tc(i,1),2))/le(i); ps1=tc(i,1)*3-2;ps2=tc(i,1)*3-1;ps3=tc(i,1)*3;ps4=tc(i,2)*3-2;ps5=tc(i,2)*3-1;ps6=tc(i,2)*3; L(ps1,ps1)=l(i);L(ps1,ps2)=m(i);L(ps2,ps1)=-m(i);L(ps2,ps2)=l(i);L(ps3,ps3)=1; L(ps4,ps4)=l(i);L(ps4,ps5)=m(i);L(ps5,ps4)=-m(i);L(ps5,ps5)=l(i);L(ps6,ps6)=1; kp(ps1,ps1)=E*A/le(i);kp(ps1,ps4)=-E*A/le(i); kp(ps2,ps2)=12*E*I/le(i)^3;kp(ps2,ps3)=6*E*I/le(i)^2;kp(ps2,ps5)=-12*E*I/le(i)^3;kp(ps2,ps6)=6*E*I/le(i)^2; kp(ps3,ps2)=6*E*I/le(i)^2;kp(ps3,ps3)=4*E*I/le(i);kp(ps3,ps5)=-6*E*I/le(i)^2;kp(ps3,ps6)=2*E*I/le(i); kp(ps4,ps1)=-E*A/le(i);kp(ps4,ps4)=E*A/le(i); kp(ps5,ps2)=-12*E*I/le(i)^3;kp(ps5,ps3)=-6*E*I/le(i)^2;kp(ps5,ps5)=12*E*I/le(i)^3;kp(ps5,ps6)=-6*E*I/le(i)^2; kp(ps6,ps2)=6*E*I/le(i)^2;kp(ps6,ps3)=2*E*I/le(i);kp(ps6,ps5)=-6*E*I/le(i)^2;kp(ps6,ps6)=4*E*I/le(i); fp(ps1,1)=f*m(i)*le(i)/2;fp(ps2,1)=f*l(i)*le(i)/2;fp(ps3,1)=f*l(i)*le(i)^2/12; fp(ps4,1)=f*m(i)*le(i)/2;fp(ps5,1)=f*l(i)*le(i)/2;fp(ps6,1)=-f*l(i)*le(i)^2/12; F=F+L'*fp;Kij=Kij+L'*kp*L; kp=zeros(3*nd);L=zeros(3*nd);fp=zeros(3*nd,1);end%CONDICIONES DE FRONTERA (Q1,Q2,Q3,Q13,Q14,Q15)=[0]Fc=[];Kc=[];Q=zeros(3*nd,1);F(5,1)=F(5,1)+2000;F(7,1)=F(7,1)+5000;F(8,1)=F(8,1)+4000; %incluimos las fuerzas externasFc=F(4:12,1);Kc=Kij(4:12,4:12);Q(4:12,1)=Kc\Fc;%CALCULO DE REACCIONESR1=Kij(1,1:15)*Q-F(1,1);R2=Kij(2,1:15)*Q-F(2,1);M3=Kij(3,1:15)*Q-F(3,1);R13=Kij(13,1:15)*Q-F(13,1);R14=Kij(14,1:15)*Q-F(14,1);M15=Kij(15,1:15)*Q-F(15,1);for i=1:ne ps1=tc(i,1)*3-2;ps2=tc(i,1)*3-1;ps3=tc(i,1)*3;ps4=tc(i,2)*3-2;ps5=tc(i,2)*3-1;ps6=tc(i,2)*3;
ESN=E/le(i)*(-Q(ps1,1)*l(i)-Q(ps2,1)*m(i)+Q(ps4,1)*l(i)+Q(ps5,1)*m(i)); EM1=E/le(i)^2*d/2*(-6*(-Q(ps1,1)*m(i)+Q(ps2,1)*l(i))-4*le(i)*Q(ps3,1)+6*(Q(ps4,1)*m(i)+Q(ps5,1)*l(i))-2*le(i)*Q(ps6,1)); EM2=E/le(i)^2*d/2*(6*(-Q(ps1,1)*m(i)+Q(ps2,1)*l(i))+2*le(i)*Q(ps3,1)-6*(Q(ps4,1)*m(i)+Q(ps5,1)*l(i))+4*le(i)*Q(ps6,1)); if abs(ESN+EM1)<=abs(ESN+EM2) ES(i)=ESN+EM2; else ES(i)=ESN+EM1; endenddisp('===== RESULTADOS ==============');disp('REACCION EN PUNTO(1) X(N)=');disp(R1);disp('REACCION EN PUNTO(1) Y(N)=');disp(R2);disp('MOMENTO EN PUNTO(1)(Nxmm) =');disp(M3);disp('REACCION EN PUNTO(5) X(N)=');disp(R13);disp('REACCION EN PUNTO(5) Y(N)=');disp(R14);disp('MOMENTO EN PUNTO(5)(Nxmm) =');disp(M15);disp('ESFUERZOS(MPa)=');disp(ES);
EJECUCION DEL PROGRAMA
INGRESE EL NUMERO DE NODOS= 5INGRESE EL NUEMRO DE ELEMENTOS= 7INGRESE EL MODULO DE YOUNG=3.1e5INGRESE EL DIAMETRO=50INGRESE EL PESO ESPECIFICO (gr-f/cm^3)=7.8e===(1) (2)====INGRESE TABLA DE CONECTIVIDAD (solo nodos)= [1 2;2 3;3 4;2 4;1 4;4 5;1 5]INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO 1N(X)= 0N(Y)= 0INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO 2N(X)= 1500N(Y)= 0INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO 3N(X)= 3000N(Y)= 0INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO 4N(X)= 1500N(Y)= 1500INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO
5N(X)= 0N(Y)= 1500===== RESULTADOS ==============REACCION EN PUNTO (1) X(N)= -1.634047510750955e+004
REACCION EN PUNTO (1) Y(N)= -7.520571515552884e+003
MOMENTO EN PUNTO (1)(Nxmm) = -8.470004922040227e+004
REACCION EN PUNTO (5) X(N)= 1.134047510750954e+004
REACCION EN PUNTO (5) Y(N)= -2.436750156917257e+002
MOMENTO EN PUNTO(5)(Nxmm) = -4.388783325569534e+004
ESFUERZOS=5.5118 5.8687 -4.1628 -3.4516 5.2671 -7.0564 0
CONCLUSIONES
Conclusiones acerca de los resultados de la armadura
Al trabajar la armadura con nodos rígidos, y no con nodos articulados como se
hizo en la tercera práctica, los valores de las fuerzas de reacción en los apoyos
son más altos, esto se debe a que cada elemento no solo esta sometido a tracción
si no también a flexión.
El elemento numero “7” de la armadura no trabaja, es decir no esta sometido a
ninguna carga (tracción y flexión), por lo tanto no es necesario colocar el
elemento numero “7”, concluimos que este elemento tan solo esta presente para
hacer más fácil el montaje de la armadura.
Según los resultados de los esfuerzos el elemento número “6” es el más critico,
por lo cual es el elemento que fallará primero, y el elemento que determinará el
diámetro de cada elemento.
Conclusiones acerca del programa realizado
El número de elementos finitos para nuestro problema es el número de
elementos que forman la armadura, porque cada elemento tiene sección
constante y el material es el mismo.
Para resolver una armadura con nudos rígidos, tan solo sumamos los efectos de
tracción y de flexión, para nuestra matriz de rigidez, así logramos resolver dicha
armadura por los métodos ya conocidos.