SERIES ALTERNADAS

Definición: Sea 𝑎𝑛 > 0, ∀ 𝑛 ∈ ℕ, entonces la serie

−1 𝑛+1𝑎𝑛 = 𝑎1 − 𝑎2 + 𝑎3 − 𝑎4 + ⋯+ −1 𝑛+1𝑎𝑛 + ⋯

∞

𝑛=1

y la serie

−1 𝑛𝑎𝑛 = −𝑎1 + 𝑎2 − 𝑎3 + 𝑎4 − ⋯+ −1 𝑛𝑎𝑛 + ⋯

∞

𝑛=1

Se llaman Series alternadas (o alternantes)

TEOREMA: CRITERIO DE LAS SERIES ALTERNADAS (DE LEIBNITZ)

Si 𝑎𝑛 > 0, las series alternadas

−1 𝑛+1𝑎𝑛 y

∞

𝑛=1

−1 𝑛𝑎𝑛

∞

𝑛=1

Convergen, si se cumplen las siguientes condiciones:

1. 𝑎𝑛 es decreciente, para todo 𝑛

2. lim𝑛→∞

𝑎𝑛 = 0

Ejemplo:

Analizar la convergencias de las series alternadas

a) −1 𝑛

𝑛2 ∞𝑛=1

Solución:

Sea 𝑎𝑛 = 1

𝑛2 Aplicando criterio para series alternadas:

1) Sea 𝑓 𝑥 =1

𝑥2 => 𝑓′ 𝑥 = −2

𝑥< 0, ∀𝑥 ≥ 1

Luego 𝑓 es decreciente, por lo tanto 1

𝑛2 es decreciente

2. lim𝑛→∞

1

𝑛2 = 0

Por el criterio de series alternadas, la serie alternada

−1 𝑛

𝑛2 ∞𝑛=1 es convergente

TEOREMA: CONVERGENCIA ABSOLUTA

Si la serie 𝑎𝑛 ∞𝑛=1 converge, la serie 𝑎𝑛 ∞

𝑛=1 también converge

CONVERGENCIA ABSOLUTA Y CONDICIONAL

Definición: Sea 𝑎𝑛 ∞𝑛=1 una serie de términos arbitrarios.

Diremos que:

a) 𝑎𝑛 ∞𝑛=1 es absolutamente convergente, si 𝑎𝑛 ∞

𝑛=1 converge

b) 𝑎𝑛 ∞𝑛=1 es condicionalmente convergente, si 𝑎𝑛 ∞

𝑛=1 es

convergente, pero 𝑎𝑛 ∞𝑛=1 diverge.

Observación:

Al estudiar la convergencia absoluta de una serie de

términos arbitrarios, se analiza la convergencia de

𝑎𝑛 ∞𝑛=1 , para la cual se pueden aplicar todos los

criterios de convergencia estudiados para series de

términos positivos.

Ejemplo:

Estudiar la convergencia absoluta y condicional de las series:

a) −1 𝑛 𝑛!

𝑛𝑛 ∞𝑛=1

Solución:

Analizamos previamente la serie −1 𝑛 𝑛!

𝑛𝑛 ∞𝑛=1 =

𝑛!

𝑛𝑛 ∞𝑛=1

Usando criterio de la razón, siendo

𝑎𝑛 =𝑛!

𝑛𝑛 ; 𝑎𝑛+1 =

(𝑛 + 1)!

(𝑛 + 1)𝑛+1

Aplicando el criterio:

lim𝑛→

(𝑛+1)!

(𝑛+1)𝑛+1 ∙𝑛𝑛

𝑛!= 𝑒−1 =

1

𝑒< 1 . Por lo tanto, la serie

−1 𝑛 𝑛!

𝑛𝑛 ∞𝑛=1 Converge absolutamente

b) −1 𝑛

𝑛2+1 ¡ Ejercicio!∞

𝑛=1

SERIES DE POTENCIAS

Definición: Sea 𝒂 un número real fijo, 𝑐𝑛 ∈ ℝ, ∀ 𝑛 ∈ ℕ y 𝑥 una variable real. Una serie de la forma:

𝑐𝑛 𝑥 − 𝑎 𝑛 = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 − 𝑎 + 𝑐2 𝑥 − 𝑎 2 + ⋯+ 𝑐𝑛 𝑥 − 𝑎 𝑛 + ⋯

∞

𝑛=0

Se llama serie de potencia en (𝑥 − 𝑎), y la sucesión 𝑐𝑛 es la sucesión de coeficientes de la serie.

Observación:

1. En una serie de potencia, cada término es una función de 𝑥.

2. Si en una serie de potencias, se reemplaza en 𝑥, por un

valor real fijo, se obtiene una serie numérica como las ya

estudiadas… la pregunta es: ¿para qué valores de 𝑥 la serie

numérica resultante converge absolutamente?

3. La serie de potencia 𝑐𝑛 𝑥 − 𝑎 𝑛∞𝑛=0 , converge por lo menos

para 𝑥 = 𝑎.

Intervalo y radio de convergencia

Con cada serie de potencia, se asocia un intervalo de convergencia, y el radio de éste, llamado “radio de convergencia”.

Centro del intervalo de convergencia: 𝒂 y

para cada 𝑥 ∈ (𝑎 − 𝑅; 𝑎 + 𝑅), la serie de potencia converge

absolutamente.

En los extremos del intervalo (𝑎 − 𝑅; 𝑎 + 𝑅) la serie puede o no

ser absolutamente convergente.

Notemos que:

i. Si 𝑅 = 0 , la serie converge absolutamente, sólo en 𝑥 = 𝑎

ii. Si 𝑅 = ∞ , la serie converge absolutamente para todo 𝑥 ∈ ℝ.

iii. Si 𝑅 ∈ ℝ+ ∪ 0 , la serie converge absolutamente, para todo

𝑥 ∈ 𝑥 − 𝑎 < 𝑅 y diverge para todo 𝑥 ∈ 𝑥 − 𝑎 > 𝑅.

Criterio de convergencia para una serie de potencia

Dada la serie de potencia 𝑐𝑛 𝑥 − 𝑎 𝑛∞𝑛=0 , si 𝐿 = lim

𝑛→∞

𝑐𝑛+1

𝑐𝑛 ó

𝐿 = lim𝑛→∞

𝑐𝑛 𝑛 , entonces el radio de convergencia es:

𝑅 = 1 𝐿 , 𝑠𝑖 𝐿 ∈ ℝ+ 0 , 𝑠𝑖 𝐿 = +∞

+∞ , 𝑠𝑖 𝐿 = 0

Ejemplos

Determinar radio e intervalo de convergencia para las series

a) 𝑒𝑛+1 𝑥−1 𝑛

𝑛!∞𝑛=0

Solución: Sean 𝑎 = 1 y 𝑐𝑛 =𝑒𝑛+1

𝑛! , luego

𝐿 = lim𝑛→∞

𝑐𝑛+1

𝑐𝑛= lim

𝑛→∞

𝑒𝑛+2

(𝑛 + 1)!

𝑒𝑛+1

𝑛!

= lim𝑛→∞

𝑒𝑛+2

(𝑛 + 1)! ∙

𝑛!

𝑒𝑛+1= 0

Luego 𝐿 = 0 ⟹ 𝑅 =1

𝐿= ∞, es decir, la serie converge absolutamente,

en todo ℝ

b) 𝑥−2 𝑛

𝑛∞𝑛=1

Solución:

Sea 𝑎 = 2 y 𝑐𝑛 =1

𝑛 , luego

𝐿 = lim𝑛→∞

𝑐𝑛𝑛 = lim

𝑛→∞

1

𝑛

𝑛

= lim𝑛→∞

1

𝑛𝑛 = 1 ⟹ 𝑅 =1

𝐿= 1

Es decir, la serie converge absolutamente en el intervalo

𝑎 − 𝑅, 𝑎 + 𝑅 o sea 2 − 1, 2 + 1 = 1, 3 . Para este caso, se debe

analizar los extremos del intervalo, así:

i) Si 𝑥 = 1, la serie es 1−2 𝑛

𝑛∞𝑛=1 =

−1 𝑛

𝑛∞𝑛=1 que es una serie

alternante que convergente condicionalmente.

ii) Si 𝑥 = 3, la serie es 3−2 𝑛

𝑛∞𝑛=1 =

1

𝑛∞𝑛=1 que es una serie

divergente.

Podemos concluir que la serie:

Converge Absolutamente en el intervalo 1,3

Converge condicionalmente cuando 𝑥 = 1

Diverge en (−∞, 1) ∪ 3,+∞)

DESARROLLO DE UNA FUNCIÓN EN SERIES DE POTENCIAS

Si una serie de potencias 𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)𝑛 ∞𝑛=0 tiene un intervalo de

convergencia 𝐼, entonces la suma de la serie existe para todo 𝑥 en

el intervalo. Podemos decir, que la suma de la serie es una función

en 𝑥 ∈ 𝐼, es decir

𝑐𝑛 𝑥 − 𝑎 𝑛

∞

𝑛=0

= 𝑓 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝐼

TEOREMA: Si la serie de potencia 𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)𝑛 ∞𝑛=0 tiene un radio

de convergencia 𝑅 > 0, entonces en el intervalo 𝑎 − 𝑅, 𝑎 + 𝑅 ,

𝑓 es derivable (y por consiguiente continua) e integrable, entonces

𝑎 ) 𝑓′ 𝑥 = 𝑛𝑐𝑛 𝑥 − 𝑎 𝑛−1

∞

𝑛=1

, ∀𝑥 ∈ 𝐼

𝑏) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐𝑛 𝑥 − 𝑎 𝑛+1

𝑛 + 1+ 𝐶 , ∀𝑥 ∈ 𝐼 , 𝐶 ∈ ℝ

∞

𝑛=0

Observación:

1. El radio de convergencia de la serie obtenida mediante la

derivación o integración de una serie de potencias es el mismo

que el de la serie de potencia original. Sin embargo, el intervalo

de convergencia puede diferir como resultado del

comportamiento en los extremos.

2. El teorema anterior, establece que una función definida mediante una serie de potencias se comporta como un polinomio, y tanto

su derivada como su antiderivada se pueden determinar

derivando o integrando término a término de la serie.

Ejemplo:

Si 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛

𝑛!∞𝑛=0 = 1 + 𝑥 +

𝑥2

2+

𝑥3

3!+

𝑥4

4!+ ⋯ entonces

𝑓′ 𝑥 = 0 + 1 + 2 ∙𝑥

2+ 3

𝑥2

3!+ 4 ∙

𝑥3

4!+ ⋯

= 1 + 𝑥 +𝑥2

2+

𝑥3

3!+

𝑥4

4!+ ⋯

= 𝑓(𝑥)

Notar que 𝑓′(𝑥) = 𝑓(𝑥) ¿a qué función corresponde?

SERIE DE TAYLOR

Sea 𝑓 una función infinitamente derivable para un real fijo 𝑎,

entonces la serie de potencias

𝑓 𝑛 (𝑎

𝑛!𝑥 − 𝑎 𝑛 = 𝑓 𝑎 + 𝑓′ 𝑎 𝑥 − 𝑎 +

𝑓′′(𝑎)

2!

∞

𝑛=0

𝑥 − 𝑎 2 + ⋯

Representa a la función 𝑓 en el intervalo de convergencia 𝐼 de la

serie y se llama “Desarrollo de Taylor de 𝑓 alrededor de 𝑎”.

Si 𝑎 = 0, se llama Serie de MacLaurin.

Ejemplo:

Hallar la serie del desarrollo de Taylor para la función

a) 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥,

El desarrollo de Taylor es

𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 = 𝑓 𝑛 (0

𝑛!𝑥𝑛 =

𝑓 0 𝑥0

0!+

𝑓′ 0 𝑥

1!+

𝑓′′(0)𝑥2

2!

∞

𝑛=0

+𝑓′′′(0)𝑥3

3!+ ⋯

En donde,

𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 , 𝑎 = 0

𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 → 𝑓 0 = 𝑒0 = 1

𝑓′ 𝑥 = 𝑒𝑥 → 𝑓′ 0 = 𝑒0 = 1

𝑓′′ 𝑥 = 𝑒𝑥 → 𝑓′′ 0 = 𝑒0 = 1

𝑓′′′ 𝑥 = 𝑒𝑥 → 𝑓′′′ 0 = 𝑒0 = 1

⋮ ⋮

Luego,

𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 = 𝑓 𝑛 (0

𝑛!𝑥𝑛 = 1 +

𝑥

1!+

𝑥2

2!

∞

𝑛=0

+𝑥3

3!+

𝑥4

4!+ ⋯

Por lo tanto, la función 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 se representa mediante

una serie de potencia. Así

𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥= 𝑥𝑛

𝑛!

∞

𝑛=0

b) 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) alrededor 𝑎 = 0

𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑛 (0

𝑛!𝑥𝑛 = 𝑠𝑒𝑛 0 + sen 0 ′𝑥 +

𝑠𝑒𝑛 0 ′′

2!

∞

𝑛=0

𝑥2 +sen 0 ′′′

3!𝑥3 + ⋯

Donde, se𝑛 0 = 0

𝑠𝑒𝑛′ 𝑥 = cos 𝑥 → cos 0 = 1

𝑠𝑒𝑛′′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 → −sen(0) = 0

𝑠𝑒𝑛′′′ 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠 𝑥 → −cos 0 = −1

𝑠𝑒𝑛𝑖𝑣 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 → sen 0 = 0

⋮ ⋮

𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑛 (0

𝑛!𝑥𝑛 = 𝑥 −

∞

𝑛=0

𝑥3

3!+

𝑥5

5!− ⋯

𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = −1 𝑛+1

𝑛!𝑥𝑛

∞

𝑛=1

Observación:

Las series establecidas anteriormente, se pueden usar

para encontrar desarrollos en series de potencias de otras

funciones, ya que estas series son absolutamente

convergentes en todo ℝ.

Ejemplo:

Hallar la serie de potencias de la función 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥)

Tenemos que:

𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑥 −𝑥3

3!+

𝑥5

5!−

𝑥7

7!+ ⋯

Entonces podemos encontrar una representación en serie

de potencias para 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥), cambiando 𝑥 𝑝𝑜𝑟 2𝑥

en la serie de 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

Es decir,

𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 = −1 𝑛+1

𝑛!2𝑥 𝑛

∞

𝑛=1

= 2𝑥 −2𝑥 3

3!+

2𝑥 5

5!−

(2𝑥)7

7!+ ⋯