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ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 2013
I. Determinar si es o no exacta cada uno de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias. Si es
exacta, determinar su solución:1. Kj2. (3u2+6uv−v2 )du+(3u2−2uv+3v2 )dv=0 , v (−1 )=−2
d (M (u ;v ) )dv
=d (3u2+6uv−v2 )
dv=6u−2v
d (N (u ; v ) )du
=d (3u2−2uv+3v2 )
du=6u−2v
d (M (u ;v ) )dv
=d (N (u ;v ) )
du
∴la ecuacion diferencial ordinaria esexacta d (F (u;v ) )
du=M
d (F (u; v ) )dv
=N d (F (u; v ) )=Mdu Integramos ambos miembros:∫ d (F (u; v ) )=∫Mdu F (u; v )=∫ (3u2+6uv−v2 )du F (u; v )=3u
3
3+ 6u
2 v2
−uv2+g (v ) Derivamos ambos miembros respecto a “v”:d (F (u;v ) )d v
=d ( 3u
3
3+ 6u
2 v2
−uv2+g (v ))
dv
d (F (u;v ) )dv
=3u2−2uv+g '(v) Análisis Matemático IV Mag. Mat. César Castañeda Campos
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 2013
Igualando:d (F (u;v ) )
dv=N
3u2−2uv+g ' (v )=3u2−2uv+3 v2 g ' (v )=3v2 Integrando ambos miembros:g (v )=v3+c Reemplazando en:F (u; v )=3u
3
3+ 6u
2 v2
−uv2+g (v ) F (u ; v )=3u
3
3+ 6u
2 v2
−uv2+v3+c F (u; v )=u3+3u2 v−u v2+v3+c F (u; v )=u3+v3+3u2 v−uv2+c Calculando: v (−1 )=−2
F (u; v )=(−1 )3+(−2 )3+3 (−1 )2 (−2 )−(−1 ) (−2 )2+c=3+c F (u; v )=u3+v3+3u2 v−uv2+3+C
3. θdr
r2θ2=( r
r2+θ2−1)dθ , r (4 )=π
Resolución :
θdr
r2θ2−( r
r2+θ2−1)dθ=0
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ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 2013
θdrr2θ2
+( r2+θ2−rr2+θ2 )dθ=0θ (r2+θ2 )dr+( r2θ2) ( r2+θ2−r )dθ=0
(r2θ2 ) (r2+θ2−r )dθ+θ (r2+θ2)dr=0
M=( r2θ2 ) (r2+θ2−r ) ∂M∂r
=(r 2θ2 )(2 r−1)+( r2+θ2−r ) (2 r θ2 )
2 r3θ2−r2θ2+2 r3θ2+2 r θ4−2 r2θ2
2 r θ4+4 r3θ2−3 r2θ2
r θ2(2θ2+4 r2−3 r )
N=θ ( r2+θ2 ) ∂ N∂θ
=θ (2θ )+(r2+θ2)
2θ2+(r2+θ2 )
r2+3θ2
∂M∂r
≠∂ N∂θ…no esexacta
Buscamos el factor integrante
f (θ )=Mr−NθN
f (θ )=2r θ4+4 r3θ2−3 r2θ2−r2−3θ2
θ (r2+θ2 )
f (θ )=4θ2r3+2 r θ4−3 r2θ2−9θ2−r2
θ r2+θ3…Serechaza
f (r )=Nθ−MrM
f (r )= r2+3θ2−2 rθ4−4 r3θ2+3 r2θ2
(r2θ2 ) ( r2+θ2−r )…Se rechaza
u (θ , r )=θar b
Mulplicamos a I
(r2θ4+θ2r 4−θ2r3 )dθ+θ r2+θ3dr…(I )
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(r2+bθ4+a+θ2+ar 4+b−θ2+ar3+b )dθ+(θ1+a r2+b+θ3+arb )dr
M=r 2+bθ4+a+θ2+ar 4+b−θ2+ar 3+b
Mr=(2+b )r1+bθ4+a+ (4+b ) r3+bθ2+a−(3+b)r2+bθ2+a
N=θ1+a r2+b+θ3+a rb
Nθ=(1+a )θa r2+b+(3+a )θ2+a rb…se rechaza4. j
5. JH
6. [ ln|x− y|+ x+ yx− y ]dx+[ ln|x− y|− x+ yx− y ] dy=0
Resolución :
M= ln|x− y|+ x+ yx− y
∂M∂ x
= −1x− y
+( x− y )−(−1 ) ( x+ y )
( x− y )2= x+ y
( x− y )2
N=ln|x− y|− x+ yx− y
∂N∂ x
= 1x− y
−( x− y )−( x+ y )
( x− y )2= x+ y
( x− y )2
∴ ∂M∂x
=∂ N∂x→es unaE .D .Oexacta .
7. HG
8. [1+ tan ( xy ) ]dx+[ sec (xy ) tan (xy )+x sec2(xy )] ( ydx+xdy )=0
Resolución :
[1+ tan (xy )+ ysec (xy ) tan (xy )+xy sec2(xy)]dx+[ xsec ( xy ) tan ( xy )+x2 sec2(xy) ]dy M=1+ tan ( xy )+ ysec (xy ) tan (xy )+xy sec2(xy) N=xsec ( xy ) tan ( xy )+x2 sec2(xy ) d (M (x ; y ))
dy=d (1+ tan ( xy )+ ysec ( xy ) tan ( xy )+ xy sec2 ( xy ))
dy
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d (M ( x ; y ) )dy
=xy sec3 (xy )+xy tan2 ( xy ) sec ( xy )+ tan (xy ) sec (xy )+2 x2 y sec2 ( xy ) tan ( xy )+2 x sec2 ( xy )
d (N ( x ; y ))dx
=d( xsec ( xy ) tan ( xy )+x2 sec2 ( xy ))
dx
d (N ( x ; y ))dx
=xy sec3 (xy )+xy tan2 ( xy ) sec ( xy )+ tan ( xy ) sec (xy )+2x2 y sec2 ( xy ) tan ( xy )+2 x sec2 ( xy )
d (M ( x ; y ) )dy
=d (N ( x ; y ))
dx
Por lo tanto las ecuaciones ordinarias son exactas.d (F ( x ; y ) )
dx=M
d (F (x ; y ) )dy
=N Integramos ambos miembros:d (F ( x ; y ) )=Ndy ∫ d (F ( x ; y ))=∫ [ xsec ( xy ) tan ( xy )+x2 sec2(xy )]dy F ( x ; y )=sec ( xy )+xtan ( xy )+g (x) Derivamos respecto a “x”d (F ( x ; y ) )
dx=d (sec (xy )+xtan ( xy )+g (x ))
dx
d (F ( x ; y ) )dx
=sec ( xy ) tan ( xy )+ xy sec2(xy )+g '(x ) Igualando:sec ( xy ) tan ( xy )+xy sec 2 ( xy )+g' (x )=1+ tan ( xy )+ ysec ( xy ) tan ( xy )+xy sec2(xy ) g' (x )=1+ tan ( xy )
Integrando ambos miembros: Análisis Matemático IV Mag. Mat. César Castañeda Campos
y '+P (x )=Q(x)
y=e−∫P (x)dx∫ [Q(x)e∫P (x)dx ]dx+C
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g ( x )=x+ln|sec (xy)|
y+c
Reemplazando en:F ( x ; y )=sec ( xy )+xtan ( xy )+g (x) F ( x ; y )=sec ( xy )+xtan ( xy )+ x+
ln|sec (xy )|y
+C
II. RESOLVER LAS EDOs, COMO LINEALES O COMO ECUACIONES BERNOULLI:
1) y '+ ycos ( x )=e−sen (x)
Resolución :
dydx
+ ycos ( x )=e− sen( x )
P ( x )=cos ( x ) Q ( x )=e−sen ( x )
Aplicandola fó rmula
u=e−∫ P(x)dx
u=e−∫cos (x)dx
u=esen(x)
y=esen(x)∫ [e−sen ( x ) e∫cos (x)dx ]dx
y=esen(x)∫ [e−sen ( x ) e−sen( x)] dx
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y=esen(x)∫ [e−2 sen ( x ) ] dx
y=esen(x)∫ [e−2 sen ( x ) ] dx
2) 2 xdy=(2 x3− y )dxResolución :
2 xdy−(2 x3− y )dx=0
dydx
−(2x3− y )2x
=0
dydx
−2 x3
2x+ y2 x
=0
dydx
−x2+ y2 x
=0
dydx
+( 12x ) y=x2
P ( x )= 12 x;Q ( x )=x2
u=e−∫ P (x )dx⇒u=e−∫ 1
2xdx⇒u=e
−12ln (x)
u=e−ln (x12 )=e−ln (√ x )= 1
e ln (√x )= 1
√ x
Reemplazando :
y=e−∫P ( x )dx∫ [Q (x ) e∫P (x )dx ]dx+c
y= 1
√ x∫ [ x2√ x ]dx+C
y= 1√ x∫
[ x52 ]dx+C
y= 1√ x ( 27 )x
72+K
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y=27x3+K
3) y '+2xy+x=e−x2
Resolución :
y '+2xy=e−x2
−x
Donde:P ( x )=2x
Q ( x )=e− x2
−x
Y=e−∫ p ( x )d x [∫Q (x)e∫ p ( x )dx] dx+c (1)u=e−∫ p ( x )dx
u=e−∫2 ( x )dx=e−x2
Reemplazandoen (1)
Y=e−x2
¿
Y=e−x2
¿
Y=e−x2
∫(1−x ex2
¿)dx+c ¿
Y=e−x2[(x+ 12 ex2)+K ]
Y=e−x2[ 2 x+ex
2
2+K ]
Y=xe−x2+ 12+K
4) L∂ i∂ t
+Ri=E; L ,R , E≡constantes.
Resolución :
L i'+Ri=E
P ( x )=R
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Q ( x )=E
i=e−∫ Rdx∫ [ (E )e∫ Rdx ]dx+Ci=e−Rx (E )∫ [eRx ]+K
i=(E )e−Rx∫ [eRx ]dx
i=( (E ) e−Rx) [ (eRx)R ]+K
i= ER
+K
5) y2∂ x∂ y
+xy=2 y2+1
Resolución :
6)drdθ
=θ− r3θ;r=1 , θ=1
Resolución :
Dando la forma a la ecuación:drdθ
+( 13θ )r=θθ p (θ )= 1
3θq (θ )=θ
u=e−∫ p (θ )dθ=e−∫ 1
3θdθ= 1
3√θ
e∫p (θ )dθ=3√θ
Reemplazando en la formula general:r=e−∫ p (θ )dθ [∫ e∫ p (θ )dθ q (θ )dθ+c ] r= 1
3√θ [∫ 3√θ .θdθ+c ] Análisis Matemático IV Mag. Mat. César Castañeda Campos
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r= 13√θ [
3√θ773
+K ] r=3θ
2
7+ K3√θ
Reemplazando r=1, θ=1:r=3θ
2
7+ K3√θ
1=37+K
K= 47
Entonces la solución de la ecuación diferencial es:r=3θ
2
7+ 4
73√θ
r=17 (3θ2+ 4
3√θ ) 7) x2dt+(3 xt−4 x3 )dx=0
Resolución :
x2dt+(3 xt−4 x3 )dx=0
dtdx
+ 3 xt−4 x3
x2=0
dtdx
+ 3 xtx2
=4 x3
x2
dtdx
+ 3 xtx2
=4 x
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P ( x )=3x;Q ( x )=4 x
u=e−∫ P(x)dx
u=e−∫ (3
x)dx
u=e−3 ln (x )
u=e ln (x )−3
u=x−3
t=x−3∫ [4 x e∫ ( 3x)dx ]dx
t=x−3∫ [4 x e3 ln (x)] dx
t=x−3∫ [4 x e ln (x3)]dx
t=x−3∫ [4 x (x3)]dx
t=x−3∫ 4 x4dx
t= 1x3 ( 4 x
5
5+C)=4 x25 +C
8) (1+x2 )dy=(1+xy )dx ; y (0 )=1
Resolución :
(1+x2 )dy−(1+xy )dx=0
dydx
−(1+xy )1+x2
=0
dydx
− 1
1+x2− xy
1+x2=0
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dydx
−( x
1+x2 ) y= 1
1+x2
P ( x )=−( x
1+x2 );Q ( x )= 1
1+x2
Sea :
u=e−∫ P (x )dx⇒u=e−∫−( x
1+x2 )dx⇒u=e∫( x1+ x2 )dx
u=e ln|(x2+1 )
12|=(x2+1 )
12=√ x2+1
Reemplazando :
y=e−∫P ( x )dx∫ [Q (x ) e∫P (x )dx ]dx+c
y=√x2+1∫ [( 11+x2 ) 1
√ x2+1 ]dx+cy=√x2+1∫ [ 1
(1+x2 )3 /2 ]dx+c…………………(α)
Resolviendo laintegral por binomiosdiferenciales :
∫ [ 1
(1+x2 )3 /2 ]dx=∫ (x2+1 )−3 /2dx
Sea :
x2+1=u x2
x2−u x2=−1
x2=−11−u
=1u−1
⇒ dx=−12
(u−1 )−32 du
∫ (x2+1 )−3/2dx=∫ (ux2 )−3/2(−12 (u−1 )−32 du)=−1
2∫(u( 1
u−1 ))−3/2
(u−1 )−32 du
∫ (x2+1 )−3/2dx=−12 ∫u
−32 (u−1 )
32 (u−1 )
−32 du=
−12 ∫u
−32 du=u
−12 +c
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∫ (x2+1 )−3/2dx=( x2+1x2 )−12 +c
Reemplazandoen (α ) :
y=√x2+1∫ [ 1
(1+x2 )3 /2 ]dx+cy=√x2+1[( x2+1x2 )
−12 +c ]+c
y=x+k
1=0+k ⇒k=1
∴ y=x+19) x2 y '+2 xy− y3=0
Resolución :
Dividiendoentre x2
y '+2 xyx2
− y3
x2=0
y '+2 yx
= y3
x2
Donde:
P ( x )=2x
Q ( x )= y3
x2
Y=e−∫ p ( x )dx [∫Q (x)e∫ p ( x )dxdx+c ] (1)
u=e−∫ p ( x )dx
u=e−∫ 2x dx=e−2 ln ( x)=e ln x
−2
=x−2
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Reemplazandoen (1)
Y=x−2[∫ y3
x2(x2)dx+c]
Y=x−2 y3 x+c
Y= y3
x+c
10)∂θ∂ r
= 1rcos (θ )+sen (2θ)
Resolución :
[r cos (θ )+sen (2θ) ]∂θ=∂r
[r cos (θ )+sen (2θ) ]=∂ r∂θ
∂ r∂θ
−r cos (θ )=sen (2θ)
P ( x )=−cos (θ )
Q ( x )=sen (2θ)
r=e−∫ (−cos (θ ))dx∫ [( sen(2θ))e∫ (−cos (θ ))dx]dθ+Cr=e∫ (cos ( θ))dx∫ [ (sen (2θ))e−∫ (cos (θ ))dx ]dθ+Cr=esen(θ)∫ [ ( sen(2θ))e−sen(θ)]dθ+C¿ : sen (2θ )=2 sen (θ ) cos (θ)
r=2esen (θ)∫ [ (sen (θ ) cos (θ))e− sen(θ)]dθ+CIntegrando por cambiode variable :
u=e−sen (θ )
du=−cos (x )e− sen(θ) dθ
r=−2esen( θ)∫ usen (x)du+C
r=−2esen( θ)∫ dulnu
+C
11) (x2+ y2−a2 ) y '=2 xy
12) ( y3+x+1 )dx=3 y2dy
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Resolución :
y3+ x+13 y2
= y '
Dándole forma a la ecuación:y '−( 13 y2 ) x= y3+1
3 y2
p ( y )=−( 13 y2 )q ( y )= y3+13 y2
u=e−∫ p ( y )dy=e−∫−( 13 y2 )dy=e
−13 y
e∫ p ( y )dy=e13 y
Reemplazando en la formula general:
x=e−∫ p ( y )dy [∫e∫ p ( y )d y q ( y )dy+c ]
x=e−13 y [∫ e 13 y .( y3+13 y2 )dy+c ]
Integrando:
∫ e13 y .( y3+13 y2 )dy=13∫ e
13 y . ydy+ 1
3∫e
13 y . y−2dy
b=13∫e
13 y . ydy c=1
3∫ e
13 y . y−2dy
Integrando “b”
13∫e
13 y . ydy
Hacemos la siguiente sustitución:
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13 y
=a= 13a
= y
−13a2
da=dy
13∫e
a .13a.−13a2
da
−127 ∫e
a .a−3da
Utilizamos integración por partes:
ea=udv=a−3da
eada=duv=−2a−2
−127 [−2a−2. ea+2∫ a−2 eada ]
−127 ∫e
a .a−3da=−127 [−2a−2 . ea−2eaa−1+2 ln|a|ea−2∫ ea ln|a|da ]
El integral ∫ ea ln|a|da se desarrolla con integraciones exponenciales por tal
motivo asignaremos:
∫ ea ln|a|da=θ
La expresión quedaría reducida a:
−127 ∫e
a .a−3da=−127
[−2a−2. ea−2eaa−1+2 ln|a|ea−2θ ]+c1
Integrando “c”
13∫e
13 y . y−2dy=−∫ e
13 y . d( 13 y )=−e
13 y+c2
Por lo tanto la solución es la siguiente:
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x=e−13 y [−127 [−2a−2 . ea−2eaa−1+2 ln|a|ea−2θ ]+c1−e
13 y+c2+c3]
Reemplazamos en la ecuación ( 13 y )=a:
x=e−13 y [−127 [−2( 13 y )−2 . e( 13 y )−2e( 13 y )( 13 y )−1+2 ln|( 13 y )|e(
13 y )−2θ]+c1−e 13 y+c2+c3]
x= 227 [( 13 y )−2+( 13 y )
−1
−ln|( 13 y )|+θe−13 y−1+ 27K
2e
−13 y ]
13) vdu+udv=u3 v2dv
Resolución :
vdu+udv−u3 v2dv=0
vdu+(u−u3 v2 )d v=0
dudv
+(u−u3 v2 )
v=0
dudv
+v−1u=vu3
P (v )=v−1Q (v )=v
Dividiendoentre u3
u−3 dudv
+v−1u−2=v…( I )
z=u−2 dzdv
=−2u−3 dudv
Reemplazandoen (I )
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du(−2 )dv
+v−1 z=v
dudv
−2v−1 z=−2v
P (v )=−2v−1Q ( v )=−2v
u=e−∫−2v−1dv∫ [−2v e∫−2v−1dv ]dv
u=e2 ln (v)∫ [−2 ve−2 ln (v)] dv
u=e ln (v2)∫ [−2v eln (v−2)]dv
u=v2∫−2v (v−2)dv
u=v2∫−2v−1dv
u=v2 (−2 ) ln (v )+C
u=−2v2 ln (v )+C
III. RESUÉLVASE CADA UNA DE LAS ECUACIONES , SUJETAS A LAS CONDICIONES DADAS:
1) y ' ' '=3 sen ( x ); y (0 )=1 , y ' (0 )=0 , y ' ' (0 )=−2
Resolución :
Integrando laecuacion conrespecto a x :
y ' '=−3cos ( x )+C1
Si y ' ' (0 )=−2
−2=−3+C1⇒C1=1
y ' '=−3cos ( x )+1
Integrando :
∫ y ' ' dx=∫ (−3cos ( x )+1 )dx
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y '=−3 sen ( x )+x+C2
Si y ' (0 )=0
0=−3 sen (0 )+0+C2⇒C2=0
y '=−3 sen ( x )+x
Integrando :
∫ y ' dx=∫ (−3 sen ( x )+ x )dx
y=3cos ( x )+ x2
2+C3
Si y (0 )=1
C3=−2
∴ y=3c os ( x )+ x2
2−2
2) Hhd
3) Hdhd
4) Hd
5) y y ' sen ( x )=cos ( x ) (sen ( x )− y2 )Resolución :
y y ' sen ( x )=cos ( x ) sen (x )−cos (x) y2
Dividimos ambos miembros por 1
sen (x) :
y y ' sen ( x )sen(x )
=cos ( x ) sen ( x )sen(x )
−cos ( x) y2
sen(x )
yy '=cos ( x )−cot ( x ) y2
yy '+cot ( x ) y2=cos ( x )
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Hacemos el siguiente cambio de variable z= y2
z= y2⇒ dzdx
=2 y dydx
dz2 ydx
=dydx
yy '+cot ( x ) y2=cos ( x )
ydz2 ydx
+cot ( x ) z=cos ( x )
dzdx
+2cot ( x ) z=2cos ( x )
p ( x )=2cot ( x )q ( x )=2cos (x )
u=e−∫ p ( x )dx=e−∫2cot ( x )dx=e−2 ln|sen (x)|= 1
sen2(x)
u=e∫ p ( x )dx=sen2(x)
Reemplazando en la formula general:
z=e−∫ p (x )dx [∫e∫ p ( x )dxq ( x )dx+c ]
z= 1
sen2(x)[∫ sen2 ( x )2cos ( x )dx+c ]
z= 1
sen2(x)[2∫ sen2 ( x )d(sen ( x ))+c ]
z= 1sen2(x) [2 sen
3(x )3
+c ] z=2 sen (x)3
+ Ksen2(x )
Reemplazando z= y2en:
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z=2 sen (x)3
+ Ksen2(x )
y2=2 sen (x)3
+ Ksen2(x )
6) fhf
7) fhf
IV. DETERMINAR SI LOS SIGUIENTES CONJUNTOS DE FUNCIONES SON LINEALMENTE
INDEPENDIENTES PARA EL INTERVALO QUE SE INDICA:
1) 1 , e−x ,2e2x encualquier intervalo I
Resolución :
W [ f 1 , f 2 , f 3 ]=[1 e− x 2e2x
0 −e− x 4 e2 x
0 e− x 8e2x ]W=1 [−e−x (8e2x )−e− x (4 e2x )]−e−x (0 )+2e2x (0)W=−8ex−4ex
W=−12ex≠0
las funciones1 , e− x ,2e2 x sonlinealmente independientes
2) ex , e2 x , e3x encualquier intervalo I .
Resolución :
w (ex ,e2x , e3 x)
f 1 ( x )=ex f 2 ( x )=e2 x f 3 ( x )=e3 x
w ( f 1 , f 2 , f 3 )=[ex e2x e3 x
ex 2e2 x 3 e3 x
ex 4e2x 9e3 x]¿ex [ 2e2x 3e3x
4 e2x 9e3x ]−e2 x[ex 3e3 x
e x 9e3 x ]+e3x [ex 2e2x
ex 4e2x ]¿ex (18e5 x−12e5 x )−e2x (9e4x−3e4 x )+e3x (4 e3 x−2e3 x)
¿6e6x−e6 x+2e6 x
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ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 2013
¿2e6x≠0
∴Las funciones sonlinealmenteindependientes .
3) gloria
4) x , ex , x ex , (2−3 x ) exen cualquier intervalo I
Resolución :
ax+b ex+cxe x+d (2−3 x ) ex=0
Derivamos respecto a “x”
a+bex+cx ex+c ex+d (2−3x ) ex−3d ex=0
be x+cxex+c ex+c ex+d (2−3 x )ex−3 dex−3dex=0
Agrupamos términos semejantes:
be x+cxex+2c ex+d (2−3 x ) ex−6 d ex=0
Dividimos ambos miembros por ex:
b+cx+2c+d (2−3x )−6d=0
Derivamos respecto a “x”
c+d (−3 )=0
c=3 d
Por lo tanto no son funciones linealmente independientes.
5) √1−x2 , x en(−1,1)Resolución :
f 1 ( x )=√1−x2 ; f 2 ( x )=x
w [ f 1 , f 2 ]=|√1−x2 x−x
√1−x21|
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ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 2013
¿√1−x2−x ( −x√1−x2 )=√1−x2+ x2
√1−x2=1−x
2+x2
√1−x2= 1
√1−x2
1
√1−x2≠0
Analizamos en el intervalo (-1,1)
Para : f 1 ( x )=√1−x2
x -1 0 1
y 0 1 0
Para : f 2 ( x )=x
x -1 0 1
y -1 0 1
∴Las funciones √1−x2 , x son linealmente independientes.
6) x2 ,|x|xhf
Resolu ción :
a) si x ≥0
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entonces f 1 ( x )=x2 f 2 ( x )=x2
W [ f 1 , f 2 ]=|x2 x2
2 x 2 x|W=x2 (2 x )−2x (x2)
W=2x3−2x3=0
las funciones x2 ,|x|x sonlinealmente dependientes
b) si x<0entonces f 1 ( x )=x2 f 2 ( x )=−x2
W [ f 1 , f 2 ]=|x2 −x2
2 x −2 x|W=x2 (−2 x )−2 x(−x2)
W=−2x3+2 x3=0
∴las funciones x2,|x|x sonlinealmente dependientes
7) cos (ωt−β ) ,cos (ωt ) , sen (ωt ) encualquier intervlo I .
Resolución :
w (cos (ωt−β ) ,cos (ωt ) , sen (ωt ) )
f 1 ( t )=cos (ωt−β ) f 2 ( t )=cos (ωt ) f 3 (t )=sen (ωt )
w ( f 1 , f 2 , f 3 )=[ cos (ωt−β ) cos (ωt ) sen (ωt )−sen (ωt−β ) −sen (ωt ) cos (ωt )−cos (ωt−β ) −cos (ωt ) −s en (ωt )]
¿cos (ωt−β )[−sen (ωt ) cos (ωt )−cos (ωt ) −sen (ωt )]−cos (ωt )[−sen (ωt−β ) cos (ωt )
−cos (ωt−β ) −s en (ωt )]+sen (ωt )[−sen (ωt−β ) −sen (ωt )−cos (ωt−β ) −cos (ωt )]
¿cos (ωt−β ) [ sen (ωt ) s en (ωt )+cos (ωt ) cos (ωt ) ]−cos (ωt ) [sen (ωt−β ) sen (ωt )+cos (ωt ) cos (ωt−β ) ]+sen (ωt ) [sen (ωt−β )cos (ωt )−sen (ωt ) cos (ωt−β ) ]
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¿cos (ωt−β )[ cos (0 )−cos (2ωt )2
+cos (2ωt )+cos (0)
2 ]−cos (ωt )[ cos (−β )−cos (2ωt−β)2
+cos (2ωt−β )+cos (β)
2 ]+sen (ωt )[ sen (2ωt−β )+sen(−β )2
−sen (2ωt−β )+sen(β )
2 ]¿cos (ωt−β )−cos (ωt )cos (β )−sen (ωt ) sen(−β)
¿cos (ωt−β )−cos (ωt+β )+cos (ωt−β )
2−[ cos (ωt+β )−cos (ωt−β)
2 ]¿cos (ωt−β )− cos (ωt+β )
2−cos (ωt−β )
2−cos (ωt+β )
2+cos (ωt−β)
2
¿cos (ωt−β )−cos (ωt+ β )≠0
∴ sonlineamentediferentes
8) 1 , sen2 ( x ) ,1−cos (x) en cualquier intervalo I
Resolución :
a+bsen2 ( x )+c (1−cos (x ) )=0
Derivando respecto a ”x”:
2bsen ( x ) cos (x )+csen ( x )=0
Dividimos ambos miembros porsen(x ):
2bsen ( x ) cos (x )sen ( x )
+csen ( x )sen ( x )
=0
2bcos (x)+c=0
Derivando respecto a ”x”:
2bcos (x)+c=0
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−2bsen ( x )=0
b=0 , c=0
Por lo tanto son funciones linealmente independientes.
V. HALLESE LA SOLUCIÓN GENERAL DE CADA UNA DE LAS ECUACIONES SIGUIENTES:
1) y ´ ´+5 y ´+4 y=0
Resolución :
D2+5D+4=0
(D+4 ) (D+1 )
D=−4
D=−1
y=C1 e−4x+C2 e
−x
2) x ' '+4 x '−21x=0
Resolución :
x '=D
D2+4 D−21=0
(D+7 ) (D−3 )=0
D1=−7D2=3
x=C1e−7 y+C2 e
3 y
3) 4 y ' '+20 y '+25 y=0
Resolución :
y '=D
4 D2+20D+25=0
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(2D+5)(2D+5)=0
D=−52
D=−52
Y=C1 e−5 x2 +C2 e
−5 x2
4) I ' '+4 I '+13 I=0
Resolución:
I '=D
D2+4 D−13=0
x1,2=−b±√b2−4ac
2a
D1,2=−4±√42−4 (−13 )
2
D1=−2+√17 D2=−2−√17
I=C1e(−2+√17)x+C2e
(−2−√17 )x
5) gloria
6) x ' '−6x '+9 x=0
Resolución :
El polinomio característico de la ecuación diferencial es:
p (r )=r 2−6 r+9=0
r2−6 r+9=0
Factor izando por aspa simple obtenemos:
(r−3 ) (r−3 )=0
(r−3 )=0
r=3 De multiplicidad 2
Por lo tanto la ecuación diferencial tiene la siguiente solución general:
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xg=c1e3+c2 ye
3
7) ( d2 xdt 2 −6 dxdt +9x )3
=0
Resolución :
( x ' '−6 x '+9 x )3=0
8) 4d2 yd x2
+ 4dydx
+ y=0
Resolución :
4d2 yd x2
+ 4dydx
+ y=0
4 y ' '+4 y '+ y=0
y '=D
Reemplazando :
4 D2+4D+1=0
(2D+1 ) (2D+1 )=0
D1=−12D2=
−12
y=C1 e−12x+C2 x e
−12x
9) 10 t' '+6 t'+t=0
Resolución:
dividiendo entre10
t ' '+ 35t'
+ 110t=0
x=−b±√b2−4ac2a
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x=
−35±√( 35 )
2
−4(1)( 110 )2(1)
x=
−35±√ 925−252
x=
−35±√−125
2
x=
−35
+ 15i
2=
−310
+110i
x=
−35
+ 15i
2=
−310
−110i
K=a+ib
r=a−ib
Y=C1 eaxcos (bx )+C2e
ax sen (bx )
Y=C1 e−3x10 cos ( 110 x )+C2 e
−3x10 sen( 110 x)
10) y ' '−2 y '− y=0
Resolución:
D= y '
D2−2D−1=0
D1,2=−(−2 )±√ (−2 )2−4 (−1 )
2 (−1 )
D1=1+√2 D2=1−√2
y=C1 e(1+√2) x+C2 e
(1−√2 )x
11) gloria
12) y(7 )−8 y(6 )+ y(5)=0
Resolución:
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El polinomio característico de la ecuación diferencial es:p (r )=r 7−8 r6+r5=0 r7−8 r6+r5=0 Dividimos por r5:r7
r5−8r
6
r5+ r
5
r5=0
r2−8 r+1=0 Usamos la ecuación general para u polinomio de segundo grado:r=−b±√b2−4 ac
2a
Reemplazamos los valores:r=8±√60
2
r1=8±2√152
=4+√15 r2=
8±2√152
=4−√15 Por lo tanto la ecuación diferencial tiene la siguiente solución general:y g=c1 e
(4+√15 )+c2 e(4−√15 )
13) 16 y(7 )−8 y (6 )+ y5=0
Resolución :
16D7−8D6+D 5=0
D5(16D2−8D+1)=0
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