SELECCIÓN DE LA ESTRUCTURA Y VALIDACIÓN DEL MODELO

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CONTENIDO

Criterio para la selección del modelo De la selección de la estructura del modelo La validación del modelo

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CRITERIO PARA LA SELECCIÓN DEL MODELO

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SELECCIÓN DE LA ESTRUCTURA DEL MODELO

La elección de una estructura apropiada (por ejemplo: ARX, ARMAX, etc.) es un paso crucial en identificación de sistemas.

Y dicha elección debe estar basada en

el entendimiento del proceso de identificación, conocimiento del sistema a identificar.

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SELECCIÓN DE LA ESTRUCTURA DE UN MODELO LTI ESTANDAR

La selección de un conjunto de modelos LTI estandar a identificar trata de la especificación de tres fenómenos diferentes:

Selección de la estructura del modelo ARX, ARMX

Selección de la complejidad del modelo na, nb, nk

Parametrizacion del modelo Modelo lineal

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CRITERIO PARA LA SELECCIÓN DEL MODELO

El objetivo último del usuario de los métodos de identificación, será el de encontrar

un buen modelo

a un precio bajo.

¿Cuándo un modelo es bueno?

¿Cuándo un modelo es caro?

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¿CUÁNDO UN MODELO ES BUENO?

La aceptación de un modelo dependerá en ultima instancia de su uso,

Sin embargo, la calidad del modelo puede darse en terminos cuantitavos:

Su “bias” La varianza

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¿CUÁNDO UN MODELO ES CARO?

El precio asociado con la identificación del modelo.

El precio asociado con la aplicación del modelo

Esfuerzo computacional asociado a la identificacion del modelo

En tiempo real el orden del modelo esta limitado por la velocidad computacional

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DE LA SELECCIÓN DE LA ESTRUCTURA DEL MODELO

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ELECCION DE LA ESTRUCTURA

Cada una de las estructuras (ARX, ARMAX, OE o BJ) tiene sus propias características

y debe ser elegida fundamentalmente en función del punto en el que se prevé que se añade el ruido en el sistema.

ELECCION DE LA ESTRUCTURA

El vector de coeficientes hace que el modelo se ajuste a los datos de entrada-salida del sistema real

Puede ser necesario ensayar

con varias estructuras y con varios órdenes dentro de una misma

estructura

hasta encontrar un modelo satisfactorio.

ELECCION DE LA COMPLEJIDAD

Para elegir la complejidad de la estructura del tipo de modelo considerado hay que determinar el orden de cada uno de los polinomios

es decir na, nb, nc, nd, nf y nk.

Una vez elegidos estos valores, queda determinar el vector de coeficientes

ai, bi, ci, di y fi

ELECCION DE LA ESTRUCTURA

Ejemplo: Supóngase el sistema

¿Cuál es el tipo de estructura más apropiada a elegir para identificación?

ELECCION DE LA ESTRUCTURA: EJEMPLO El tipo de estructura más apropiada para

identificación debe ser del tipo “Output Error” (OE).

2 3

1 21 2 3

1 2 31

b q b qy t u t e t

f q f q f q

Por tanto nb = 2, nf = 3 y nk = 2.

ELECCION DE LA ESTRUCTURA: EJEMPLO El tipo de estructura más apropiada para

identificación debe ser del tipo “Output Error” (OE).

¡ Sin embargo, en la mayoría de los casos el diseñador no dispone de la información sobre el sistema real !

DE LA SELECCIÓN DE LA ESTRUCTURA DEL MODELO.

Cuatro fuentes de información,

Consideraciones a priori. Análisis preliminar de los datos Comparación de diferentes estructuras de

modelos Validación del modelo

Ljung (1987)

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CONSIDERACIONES A PRIORI

Basados en el conocimiento del proceso podría obtenerse información clara acerca

Del orden (mínimo) del modelo,

Carácter de la perturbación del ruido en los datos

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ANÁLISIS PRELIMINAR DE LOS DATOS

 La información acerca del orden del modelo también puede obtenerse de

El análisis preliminar de los datos,

La identificación no paramétrica

Métodos de realización aproximada (Van den Hof and Bomois, 2004)

Por la evaluación del rango de la matriz Toeplitz, cuyos elementos son funciones de la covariancia de la muestra,

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COMPARACIÓN DE LA ESTRUCTURA DE LOS MODELOS IDENTIFICADOS

 Otra posibilidad es determinar la estructura y los órdenes del modelo después de la identificación de uno o varios modelos de conjuntos de modelos diferentes

Y evaluar el valor de la función de costo con los datos

ˆ , NN NV Z

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COMPARACIÓN DE LOS MODELOS

Prueba del orden del modelo para una estructura ARX

n = na+nb+1

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COMPARACIÓN DE LA ESTRUCTURA DE LOS MODELOS IDENTIFICADOS

 Otra manera:

Evaluar el valor de la función de costo con otros los datos

2ˆ , NN NV Z

Este mecanismo, denominado validación cruzada

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MECANISMO DE LA VALIDACIÓN CRUZADA Dos criterios para la selección del orden del

modelo

El Criterio de Información de Akaike (AIC).

El Criterio del Error de Predicción Final de Akaike (FPE).

1 ˆlog ,2

NN N

NV Z

N

1 ˆ ,1

NN N

N NV Z

N N

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COMANDOS RELEVANTES EN MATLAB

Funciones para la selección de la estructura óptima de un modelo

Selección de la estructura del modelo

arxstrucCálculo de las funciones de pérdidas de un conjunto de estructuras ARX.

ivstruc Cálculo de las funciones de pérdidas de un conjunto de estructuras OE.

selstruc Selección de la estructura con menor función de pérdidas.

struc Generación de un conjunto de estructuras.

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LA VALIDACIÓN DEL MODELO

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LA VALIDACION DEL MODELO

La mayoría de los métodos de validación tratan de determinar,

si la respuesta del modelo se ajusta con suficiente exactitud a los datos de entrada-salida obtenidos mediante experimentación

Basado en algunos criterios típicos

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CRITERIOS TÍPICOS PARA SELECCIONAR UN MODELO

Simulacion del modelo Intervalos de fiabilidad de los parámetros Análisis de los residuos Coherencia con el comportamiento de

entrada-salida Reducción del modelo Validación en base a la aplicación del modelo

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SIMULACIÓN DEL MODELO

 Una técnica de validación de modelos:

Simular el modelo con un conjunto de entradas distintas a las utilizadas para identificación,

Comparar la respuesta del modelo con la obtenida del sistema real

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INTERVALOS DE FIABILIDAD DE LOS PARÁMETROS

 Otro método: comparar los parámetros estimados con su desviación estándar

Si el intervalo de confianza de un parámetro es muy grande,

se debe considerar la posibilidad de eliminar dicho parámetro.

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ANÁLISIS DE LOS RESIDUOS

Se conocen como residuos de un sistema a los errores de predicción

siendo la respuesta real del sistema

la respuesta estimada por el modelo

, ,et t y t y t

,ey t

y t

(para la misma entrada)29

ANÁLISIS DE LOS RESIDUOS

Idealmente, los residuos deben ser independientes de la entrada

Si no sucede así,

significa que hay componentes en los residuos que proceden de la entrada u(t),

lo cual a su vez significa que el modelo no es capaz de describir completamente la dinámica del sistema.

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ANÁLISIS DE RESIDUOS PARA DOS MODELOS

Modelo con un orden adecuado Modelo con un orden inferior

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COHERENCIA EN EL COMPORTAMIENTO DE ENTRADA-SALIDA

 Puede ser necesario recurrir a diferentes métodos de identificación y comparar los resultados obtenidos.

Por ejemplo, comparando los diagramas de Bode de los modelos obtenidos mediante diferentes metodos

identificación paramétrica, por el método de variables instrumentales y por análisis espectral

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Comparación de la respuesta en frecuencia obtenida mediante dos métodos de identificación

distintos

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REDUCCIÓN DEL MODELO

 Si una reducción en el orden del modelo no produce alteraciones apreciables en el comportamiento del mismo,

entonces el modelo original era innecesariamente complejo.

Para modelos LTI, supone la presencia de un polo y un cero (o más pares) que se cancelan

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CASO DE UN MODELO DEMASIADO COMPLEJO

Diagrama de ceros y polos

Cancelación de un cero y un polo

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VALIDACIÓN EN BASE A LA APLICACIÓN DEL MODELO

 En la práctica es imposible determinar si un modelo responde exactamente al comportamiento del sistema real,

Es suficiente comprobar que el modelo es capaz de resolver el problema para el cual ha sido hallado

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EJEMPLO 37

EJEMPLO

Ejemplo: Supóngase el sistema

Estimar los parámetros del modelo OE escogido Estimar un modelo ARX Validar el modelo

PROBLEMAS

Ver el documento Tema 3_problemes.pdf

De los profesores Teresa Escobet y Bernardo Morcego

de la Escola Universitària Politècnica de Manresa [Escobet et al., 2003].

FUENTES

 Van den Hof Paul M.J., Bombois Xavier, System Identification for Control. Lecture Notes DISC Course. Delft Center for Systems and Control. Delft University of Technology. March, 2004

Escobet Teresa, Morcego Bernardo, Identificación de sistemas. Notas de clase. Departament d'Enginyeria de Sistemes, Automàtica i Informàtica Industrial. Escola Universitària Politècnica de Manresa. 2003

Kunusch Cristian, Identificación de Sistemas de Dinamicos. Catedra de Control y Servomecanismos. Universidad Nacional de La Plata, Facultad de Ingenieria, Dpto. de Electrotecnia. 2003

López Guillén, Mª Elena, Identificación de Sistemas. Aplicación al modelado de un motor de continua. Universidad de Alcalá de Henares, Departamento de Electrónica. Enero, 2002

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