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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL
CALLAO
Anlisis de Redes Elctricas 1
Esc. Prof.: INGENIERIA ELCTRICA
UNAC-FIEE
CDIGO 2010B
ANLISIS FASORIAL
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Anlisis de Redes Elctricas 2
Caracterstica de las senoides
Considere la siguiente tensin variable senoidalmente:
tSenVtv max
Variable
Independiente
Es la Amplitud de la Onda
Senoidal.
el argumento de la funcin.
Caractersticas de las senoides
Frecuencia Angular o Frecuencia en radianes.- Corresponde a [rad/seg].
Ciclo: Segmento o porcin de la onda que se repite.
Periodo (T): El tiempo que dura un ciclo, se mide en segundos.
Frecuencia (f) : Es el nmero de ciclos (oscilaciones) que una onda
senoidal efecta en un tiempo dado, se mide en Hertz [Hz] (ciclos
por segundo).
De all se obtiene que:
y sabiendo que:
podemos obtener la relacin comn entre la frecuencia y la
frecuencia en radianes.
Tf
1
2T
f 2
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Adelanto
)(tv
t
v
)()( max tCosVtv
)()(' max vtCosVtv
La onda en rojo [v], ADELANTA a la onda en azul [v] en v grados.
Retraso
)(tv
t
v
)()( tCosVtv mx
)()(' vmx tCosVtv
La onda en rojo [v] ATRASA a la onda en azul en v grados.
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Retraso y Adelanto
Cuando se desea comparar 2 funciones
senoidales, antes se debe tener en cuenta lo
siguiente:
Escribir ambas como funciones de SENO o de COSENO.
Expresarse con amplitudes positivas.
Tener cada una la misma frecuencia.
Angulo de Fase
Nos indica el desplazamiento de la onda con respecto al origen.
Es decir, cun adelantada o retrasada est la onda respecto al origen.
tSenVtv m
v(t)
t0
2
2
3 2
mV
mV
tSenVtv m
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Conversin de Senos y Cosenos
El seno y el coseno son en esencia una misma
funcin, pero con una diferencia de fase de 90.
)90()( tCostSen
)90()( tSentCos
)180()( tSentSen
)180()( tCostCos
ngulo de fase entre Voltaje y Corriente
Es importante comparar los ngulos de fase de la respuesta de
VOLTATE y de CORRIENTE.
A este ngulo resultante lo definimos as:
vi[phi] , y es la fase del voltaje con respecto a la corriente.
Tambin lo podemos hallar
mediante:
R
LTan
1
[phi], definido en
trminos de: la
frecuencia, la
inductancia, y la
resistencia.
zvi O podemos
decir
Esta nomenclatura se refiere
al ngulo de fase de la corriente,
voltaje e impedancia.
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ngulo de fase entre Voltaje y Corriente
Recordando
que: iv Observamos lo siguiente,
0
i
v
i
v
(+)
El Voltaje
adelanta a la
Corriente
Fase positiva
0
v
i
v
i
(-)
El Voltaje atrasa a
la Corriente
Fase negativa
Impedancia
La impedancia es la oposicin combinada, que presentan
ciertos dispositivos elctricos pasivos al paso de la corriente
tanto continua como alterna.
R
LTantCos
LR
Vti mx
1
222)(De la respuesta de
corriente:
Podemos formar el siguiente
tringulo:
L
R
Ziv
Donde:
][222 LRZ impedancia
][R resistencia
][L Reactancia inductiva
R
LTan
1
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v
j VeVV v maxmax_
i
j IeII i maxmax_
)()( maxmax
_
ii SenjICosII )()( maxmax_
vv SenjVCosVV
imaginario
real
Representacin polar y rectangular de los fasores de corriente y voltaje
)(max iCosI
)(max iSenjI
i
_
I
imaginario
real )(max vCosV
)(max vSenjV
v
_
V
Entonces para representar la impedancia podemos decir que:
LjR
eVeI
v
i
jj
maxmax
j
jj
eZ
eVeI
v
i
_
maxmax
)(
_
maxmax
vi jj e
Z
VeI
Tambin lo podemos expresar con coordenadas rectangulares:
LjReZZ j __
SenZjCosZZ___
R Lj
imaginario
real )(
_
CosZR
)(_
SenZjLj
_
Z
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Dominio de la Frecuencia
Representacin Compacta
Dominio del Tiempo
Voltaje
Corriente
Reactancia Inductiva
Resistencia
Impedancia
vj
mxeVV vmxVV
)()( vmx tCosVtv
ij
mxeII imxII )()( imx tCosIti
90jLeHLj
V
I
R
Representaciones en el dominio del
Tiempo y en el dominio de la Frecuencia
La respuesta en dominio de la frecuencia del voltaje y la corriente,
contienen los datos necesarios para poder representarla en el
tiempo, es decir: amplitud y ngulo de fase.
90L HLLZ
Re j0 0R R
Z
jeZ
LjRZ
0Z
Fasor Son vectores en rotacin en el plano complejo
Representan seales senoidales:
tensiones y corrientes
son nmeros complejos
el mdulo es igual a la amplitud de la seal
el ngulo es igual al desfasaje de la seal
La equivalencia se mantiene en la suma por lo tanto son aplicables la leyes de Kirchoff.
Un Fasor es una cantidad fsica ficticia, pero la parte real representa un valor instantneo.
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Importante: El Voltaje y la Corriente son cantidades fasoriales. V I
La Impedancia NO ES UN FASOR. nicamente es un nmero
complejo, pero no un fasor.
Z
Z
real
imag
Impedancia (solo se ubican
en 1ro. y 4to. cuadrante). Voltaje o Corriente (giran en
todo el plano complejo).
V
V
V
V
imag
real
Transformacin Fasorial EL proceso ,mediante el cual cambiamos i(t) a I recibe el
nombre de transformacin fasorial, del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia.
)(Re)( itjmxeIti
)()( imx tCosIti
ij
mxeII
imxI I
Recuerde que ninguno de los circuitos que estamos considerando responder a una frecuencia que no sea la de la fuente de excitacin por lo que siempre se conoce el valor de w.
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Transformar elementos del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia
Voltaje
Corriente
dt
diLtv )( IjwLV
idtCtv
1)( IV
wCj
1
+ - R
v
+ -
L
v
+ -
C
v
+ -
R
+ -
)()( vmx tCosVtv
)()( imx tCosIti
vmxVV
imxII
IRV
+ - V
V
V)()( tRitv
1. Si la impedancia tiene solo parte real
2. Solo parte Imaginaria
3. Parte real e Imaginaria
02202 jZa
90330 jZb
Resistencia
Pura
87.36534 jZC
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RED DE CORRIENTE ALTERNA
iv vVV max
Una corriente o un voltaje sinusoidal determinado se caracterizan por slo dos
parmetros: amplitud y ngulo de fase. La representacin compleja del voltaje
o la corriente se caracteriza tambin por ambos parmetros. Ej.:
, en forma fasorial o fasor sera: )(max)( vtCosVtv
ZZ
iII max
Potencia y Energa
)()()( titvtp
)()()( maxmax itCosItCosVtp v
)()(2
1)( maxmax iviv wtwtCoswttCosIVtp
)(
2
1)2(
2
1)( maxmaxmaxmax CosIVtCosIVtp iv
Ptptp )()(
Para establecer la potencia en el dominio de la frecuencia debemos primero definirla en el dominio del tiempo:
Variable Constante; es el trmino que eleva la onda sinusoidal
)()2(2
)(maxmax
iviv CostCosIV
tp
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T
Tp Tp
Imax
Vmax
/2
3/2
2
I(t) (=45)
V(t)
TpT 2
PRMP
P(t)(=45)
/4
i
T: perodo para la onda de voltaje y corriente.
Tp: perodo de la onda de potencia promedio, que es la mitad del perodo de la onda de voltaje y corriente.
Pprm: Potencia promedio
wt
Los valores negativos de la potencia se deben a que una de las dos ondas (voltaje o corriente) es negativa en ese intervalo, en los intervalos en los que tienen el mismo signo (el voltaje y la corriente) la potencia siempre es positiva.
Si cos()=1 la onda fuese slo positiva (Red puramente resistiva).
Si el ngulo de impedancia es cercano a 90 el desplazamiento es mnimo.
Si el ngulo de impedancia es cercano a 0 el desplazamiento es mximo.
Vmax
/2
3/2 2
I(t) (=45)
V(t) PRMP
P(t)(=45)
/4
w
t
P negativa P negativa P negativa
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CIRCUITO PURAMENTE RESISTIVO
R V V(t) = Vmax COS wt
+ -
i (t) +
-
I (t) = i max COS wt
p(t)
wt v(t)
i(t)
maxmax2
1IVPprom
Tp Tp
T
2
2cos1cos2
wtwt
wtIVP tR 2cos12
maxmax)(
wtIVIVP tR 2cos2
1
2
1maxmaxmaxmax)(
)()()( titvP tR
)cos)(cos( maxmax)( wtIwtVP tR
wtIVP tR2
maxmax)( cos
CIRCUITO PURAMENTE INDUCTIVO
= [ V max COS wt] [I max COS (wt 90)]
= [ V max COS wt] [ I max SEN wt]
= V max I max COS wt SEN wt
P L(t) = V(L) i (t)
SEN 2wt = 2 COS wt SEN wt
P L(t) = V max I max SEN 2wt
v(t)
p(t)
wt
i(t)
T
Tp Tp
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CIRCUITO PURAMENTE CAPACITIVO P c(t) = V (t) i (t)
= [ Vmax COS wt ] [ I max COS (WT + 90)]
= [ V max COS wt ] [I max ( -SEN WT)]
P c(t) =- V max I max COS wt SEN wt
P c(t) = -1/2 V max I max SEN 2wt
v(t)
i(t)
p(t)
wt
T
Tp Tp
T
prom dttpT
P0
)(1
)(11
)(1
0 0
TPT
PdtT
dttpT
PT T
prom
0
])[(Immax2
1wattaxCosVPPprom
Potencia Promedio En un circuito CA la potencia est variando con el tiempo,
por ello trabajamos con el promedio. (No se habla de valor promedio para voltaje y corriente debido a que sus valores positivos y negativos son simtricos)
Matemticamente Pprom es el rea bajo la curva:
promP
promP
promP
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Valores eficaces de corriente y voltaje
T
prom dttpT
P0
)(1
0iv
)()()( titvtp
)()( tRitv
)()(* 2 tRitp
R
tvtp
)()(*
2
vV max
iax Im
R
A partir de la potencia promedio encontraremos ahora los valores de corriente y voltaje eficaces:
TT
prom dttiT
RdttRi
TP
0
2
0
2 )()(1
eff
T
prom RIdttiT
RP 2
0
2 )(1
T
eff dttiT
I0
2 )(1
eff
T
prom VR
dttvTR
P 2
0
2 1)(11
T
eff dttvT
V0
2 )(1
Al sustituir p(t) en la frmula para la potencia promedio tenemos la corriente y el voltaje eficaces:
Potencia que entregara una
fuente de corriente DC
Potencia que entregara una
fuente de voltaje DC
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R tVtv cos)( max
Vdc
effDC II
R
El valor eficaz de cualquier corriente (o voltaje) peridica resulta igual al valor de la corriente directa que, al fluir a travs de un resistor de R ohms, entrega la misma potencia promedio (activa) al resistor que la corriente peridica.
En otras palabras: la corriente eficaz es aquella corriente constante que entrega la misma potencia a un resistor que la que entregara una corriente peridica.
T
prom dttiT
RP0
2 )(1
effprom RIP2
)()( max itCosIti
Definicin de valor eficaz de corriente(o voltaje)
)()( max itCosIti Si
T
iRMS dttCosIT
I0
2max
2 )(1
T
iRMS dttCosT
II
0
2max2
)(
Como
Por lo tanto: max21
IIRMS
2
max2 T
T
IIRMS R:roat
M:mean
S:square
dttCosdttCosT
i
T
i 00
2 )22(12
1)(
2))22(cos(
2
1)1(
2
1)(
000
2 TwtdtdttCosT
i
TT
i 0
T
eff dttiT
I0
2 )(1
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Y si tenemos: )(max)( vtCosVtv
T
vRMS dttCosVT
V0
22 )(max1
T
vRMS dttCosT
VV
0
22
)(max
dtvtCosdttCosTT
v 00
2 )22(12
1)( Donde:
2
max2 T
T
VVRMS
max2
1VVRMS Entonces
2))22(cos(
2
1)1(
2
1)(
000
2 TwtdtdttCosT
v
TT
v 0
El valor slo
es para seales
sinusoidales
2
1
T
eff dttvT
V0
2 )(1
En resumen tenemos:
2
maxVV RMS
)()( 2 tRitp R
tvtp
)()(
2
T
prom dttRiT
P0
2 )(1
T
prom dttiT
RP0
2 )(1
2
maxIIRMS
RIP RMSprom2
T
eff dttiT
I0
2 )(1
RIP effprom2
T
iRMS dttCosIT
I0
2max
2 )(1
R
VP
RMS
prom
2
T
prom dttvTR
P0
2 )(11
effprom VR
P 21
T
prom dttR
v
TP
0
2
)(1
T
eff dttvT
V0
2 )(1
T
vRMS dttCosVT
V0
22 )(max1
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A partir de conocer las corrientes y voltajes rms, siempre se trabajar con esos valores, por lo tanto debemos redefinir nuestros fasores conocidos.
0maxVV
02
max V
V
R
maxII
2
maxII
jXl
cosRMSRMSIVP
CosIVP effeff
CosIVP
RIP RMS2 R
VP
RMS2
Potencia
Activa.
0 RMSVV
RMSII
Factor de Potencia Anteriormente ya definimos la potencia como : CosIVP
cos Factor de Potencia. De donde: El factor de potencia (FP) es un valor entre cero y uno que determina
cuanto de la potencia entregada por una fuente (potencia aparente) es
consumida en un resistor (potencia activa)
CosIVP
Factor de Potencia.
Potencia Aparente = S
[VA]
[KVA]
[MVA] 10 FP
Circuito inductivo puro Circuito resistivo puro.
0maxVV
02
max V
V
R
maxII
2
maxII
jXl
ZLjX
R
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Potencia Activa La potencia activa es la potencia asociada nicamente con resistores (resistencias)
Sabiendo que potencia activa es:
Tenemos:
V
RV XV
cosIVP
cosVIP
cosVVR
IVP R
IVP RR
Imag
Real
I
*El factor de potencia no puede ser mayor a la unidad. *No puede haber factor de potencia negativo.
RMSVV 0120
RMSAI 302
][377cos2120)( Vttv
][30377cos22)( Atti
30
30i
RMSVV 0120
RMSAI 302
Z
LjX
R
30
)30cos()2)(120(P
240VA
Factor de Potencia
0.866
En adelanto
negativo
En retraso
positivo
Lo que nos dice el FP de .866 es que de
la potencia posible entregada por la
fuente slo 207.84 es potencia activa, lo
restante es POTENCIA REACTIVA. WattsP 84.207
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Potencia Reactiva
CosIVP
senIVjIVeIV j cos
jeCos Re jeIVP Re
jeIVP Re iv
)(Re ivjeIVP
senIVjIVP cosReS
P Q Potencia Reactiva.
[VAR]
[KVAR]
[MVAR]
jsene j cos
De la identidad de Euler
Potencia Compleja.
Potencia Reactiva La potencia reactiva es la potencia asociada nicamente con reactancias
Sabiendo que potencia reactiva es:
Tenemos:
V
RV XV
senIVQ
senVIQ
senVVX
IVQ X
Imag
Real
I
XVIQ
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Otras frmulas para potencia compleja
)( ivjeIVS
jeIVS
iv jj eeIVS
iv jj eIeVS
vVV
iII
iII *
ZIV
*
IZIS
ZIS2
*IVS
ZIV
Z
VI
*
Z
VVS
*
*
Z
VVS
*
IVS
*
IVS *
2
Z
VS
SISTEMAS TRIFASICOS
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CONEXIN DELTA
'aaV
a
'a
'bbV
b
'b
'ccV
c
'c
abVcaV
bcV
a
'a
'b b
c
'ca
b
c
Fuente 3 en Tringulo o Delta
abV
bcV
caV
a
b
c
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Fuente 3 en Estrella de 4 hilos
anVEn secuencia positiva:
bnV
cnV
caV abV
bcV
120
120
0
Lncn
Lnbn
Lnan
VV
VV
VV
bnanab VVV
cnbnbc VVV
ancnca VVV
o
anab VV 30o
bnbc VV 30o
cnca VV 30
0 cabcab VVV
Diagrama Fasorial
Secuencia positiva:
Abcabcabcabc abV
anV
bnV
caVcnV
LLV21
o
anab VV 30
adelanta 30
a
LLV LnV
abV
bcV
bnV
cnV
anV
o
aban VV 30
LnV atrasa 30 a LLV
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abV
bcV
caV
0 cabcab VVV
Como es balanceado:
a
b
c
Secuencia negativa
La secuencia negativa est
relacionada con el sentido de
rotacin.
Debido a que no es fcil
cambiar el sentido de rotacin,
la manera ms sencilla de
conseguirla es cambiar la
secuencia de rotacin
cbacbacbacba - - -
o
LnLL VV 30
atrasa 30 a LLV LnV
anV
abV
bnV
bcV
30
cnV
30
caV
30
120
120
Abcabcabcabc
o
LLLn VV 30
adelanta 30
a
LnV LLV
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Cos 30 = (1/2 VLL) / VLn 1/2 VLL = Cos 30 VLn 1/2 VLL = 3/2 VLn VLL = 3 VLn Secuencia Positiva: Secuencia Negativa: VLL adelanta 30 a VLn VLL atrasa 30 a VLn VLL = VLn + 30 VLL = VLn 30 VLn atrasa 30 a VLL VLn adelanta 30 a VLL VLn = VLL 30 VLn = VLL + 30
De acuerdo con la relacin
: VLL = 3 VLn
1/2
VLL
VLn
Ln
LL
V
VCos 2
1
LL
LL
V
V
31
21
2
3Cos
2
31Cos
30
Sec(-)
Por lo tanto comprobamos
que: VLn adelanta 30 a VLL
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Tambin se puede demostrar de la siguiente manera:
)120cos(222
LnLnLnLnLL VVVVV
Por Ley de Coseno
)5.0(2222
LnLnLL VVV
22
2 LnLnLL VVV
2
3 LnLL VV
LnLL VV 3
30
60
LLV
LnV
Carga Trifsica en Tringulo
Z
VI abab
Z
VI bcbc
Z
VI caca
bI
cI
abI
abV
bcI bcV
caI
caV
Z ZZ
aI
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Por ejemplo:
Sea:
][220
][3010
VV
Z
ab
][30223010
0220A
Z
VI abab
][150223010
120220A
Z
VI bcbc
][90223010
120220A
Z
VI caca
caI
abI
30
bcI
150
En secuencia positiva:
atrasa 30 a =
En secuencia negativa:
adelanta 30 a
=
fL II 3
LI 30fI
LI 30fI
60322caaba III
1801.38abbcb III
601.38bccac III
Corrientes de lnea
6030 aaba III
18030 bbcb III
6030 ccac III
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6030 aaba III
18030 bbcb III
6030 ccac III
caI
abI
30
bcI
150
AI
BI
CI
AI
BI
CI
AI
BI
CI
Como es balanceado
0 CBA III
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CARGA 3 DESBALANCEADA
aI
bI
cI
abI
abV
bcI bcV
caI
caV
ABZ BCZ CAZ
aI
AB
abab
Z
VI
BC
bcbc
Z
VI
CA
caca
Z
VI
Por ejemplo:
Sea
][120220
][120220
][0220
VV
VV
VV
ca
bc
ab
][010
][9010
][3010
CA
BC
AB
Z
Z
Z
][30223010
0220A
Z
VI
AB
abAB
][210229010
120220A
Z
VI
BC
bcBC
][12022010
120220A
Z
VI
CA
caCA
][4549.42120223022 AIII CAABA
][15044302215022 AIII ABBCB
][4538.111502212022 AIII BCCAC
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BI
Diagrama Fasorial
abI
30
bcI150
caI
120
AI
45
CI
45
CARGA 3 ESTRELLA BALANCEADA
4 Hilos (3 fases ms neutro)
3 Hilos (3 fases sin neutro)
a b c n AI
BI
CI
AI
anV
bnV
cnV
YZ
YZYZ
o
0
0
no
on
VV
V
no
Y
anA
Z
VI
Y
bnB
Z
VI
Y
cnC
Z
VI
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CARGA 3 ESTRELLA DESBALANCEADA
4 Hilos (3 fases ms neutro)
0IIn
0
0
on
CBA
V
III
3 Hilos (3 fases sin neutro)
CARGA 3 ESTRELLA DESBALANCEADA
4 HILOS
A
anA
Z
VI
B
bnB
Z
VI
C
cnC
Z
VI
a b c n AI
BI
CI
AI
anV
bnV
cnVo
AZ
CZBZ
0
0
no
on
VV
V
no
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Anlisis de Redes Elctricas 33
Supongamos:
10
10
10
jZ
jZ
Z
C
B
A
vanV 30120303
208
][0208 vVab
vbnV 150120
vcnV 90120
Sec
AZ
VI
A
anA 3012
010
30120
AZ
VI
B
bnB 24012
9010
150120
NCBA IIII
18012120123012
1212012120cos12301230cos12 senjsenj
12866.01266866.012 jj4.46.7 j
AIN 15078.8
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30
AI
120
BI
180
CI
NI
150
Diagrama Fasorial:
BI
AI
CI
NI150
NCBA IIII
CARGA 3 ESTRELLA DESBALANCEADA
3 HILOS
no VV
0onV
0nV
0 CBA IIIa b c n AI
BI
CI
AI
aoV
boV
coVo
AZ
CZBZ
no coV
anV
bnV
cnV
onV
0nI
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A
aoA
Z
VI
B
boB
Z
VI
C
coC
Z
VI
onanaoonaoan VVVVVV
onbnboonbobn VVVVVV
oncncooncocn VVVVVV
0 CBA III
0C
co
B
bo
A
ao
Z
V
Z
V
Z
V
0
C
oncn
B
onbn
A
onan
Z
VV
Z
VV
Z
VV
0C
on
C
cn
B
on
B
bn
A
on
A
an
Z
V
Z
V
Z
V
Z
V
Z
V
Z
V
ConBonAonCcnBbnAan YVYVYVYVYVYV
CcnBbnAanonCBA YVYVYVVYYY )(
CBA
CcnBbnAanon
YYY
YVYVYVV
CBA
C
cn
B
bn
A
an
on
ZZZ
ZV
ZV
ZV
V111
111
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Potencia Trifsica
Pan(t) = Van(t) ia(t) = 2 |VLn| |IL| cos (t + v) cos (t + i)
= 2 |VLn| |IL| [ cos (2 t + v + i) + cos (v - i)]; = v - i
Pbn(t) = Vbn(t) ib(t) = 2 |VLn| |IL| cos (t + v 120) cos (t + i 120)
= 2 |VLn| |IL| [ cos (2 t + v + i + 120) + cos (v - i)]; = v - i
Pcn(t) = Vcn(t) ic(t) = 2 |VLn| |IL| cos (t + v + 120) cos (t + i + 120)
= 2 |VLn| |IL| [ cos (2 t + v + i + 240) + cos (v - i)]; = v - i
P3 = Pan(t) + Pbn(t) + Pcn(t)
= |VLn| |IL| [ cos + cos ( + 120) + cos ( 120) + 3
cos ]
P3 = 3 |VLn| |IL| cos Potencia 3 Instantnea
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Potencia Trifsica Compleja
S3 = P3 + j Q3 [VA]
| S3 | = Potencia Aparente
P3 = 3 |VLn| |IL| cos ; = VLn - IL
Q3 = 3 |VLn| |IL| sen
P3
Q3
IMAG
REAL
Balancead
o
Potencia Compleja
Caso estrella
Potencia Con carga en delta:
3
L
F
II
3
LL
Ln
VV
sen|IF|VLL3Q3
cos|IF|VLL33
cos3
ILVLL33
cos |IL| |VLn| 3 P3
P
P
Activa
Reactiva
FLL IV
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Formulas para los dos Casos:
Estrella
cos |I| 33 P3 L
LL
Ln
V
V
Delta
cos |V| 33 P3 LLL
F
I
I
Por lo tanto:
cos |I| |V| 3 P3 LLL
FLL IV LLn IV
sen |I| |V| 3 Q3 LLL
..LLL |I| |V| 3 3S AV
Si fueran desbalanceados
anS
jQan
Pan
3S
jQbn
Pbn
cnSjQcn
Pcn
an
bn
cn
3P
3jQ
bnS