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Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Respuestas Forzadas y Transitorias: Método Operacional
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Respuestas forzadas y transitorias: Método operacional 1. Una introducción al método operacional Para ayudar a introducirse al método operacional de análisis de transitorios aplicado a circuitos lineales, vamos a refrescar algunas aplicaciones como por ejemplo logaritmos. Los logaritmos representan un método para simplificar la manipulación de números que contienen muchos dígitos o decimales (en la multiplicación, división, potenciación o radicación). Así, la multiplicación se reducía a la suma de los logaritmos de los números que se quería multiplicar, y la división a la resta de los logaritmos de los números involucrados. Dado que cada número tiene su propio logaritmo, podemos decir que el logaritmo es la transformada de un número. Por ejemplo 0,310103 es la transformada (logaritmo) de 2 en base 10. Otra ocasión en la que usamos transformadas es en análisis de redes por el método simbólico, en el que un número complejo representa la transformada de una función armónica del tiempo. Por ejemplo el complejo I representa la corriente sinusoidal Im.sen
(wt+φφφφ) Una diferencia importante es que mientras que el logaritmo representa un número, el complejo representa una función temporal. Así como los logaritmos simplifican las operaciones con números, los complejos simplifican la manipulación de funciones sinusoidales de forma que los circuitos con corrientes armónicas pueden analizarse con métodos aplicables a sistemas de corriente continua. En el método operacional de análisis transitorio que estudiaremos para cada función del tiempo habrá una función transformada en la variable s. Inversamente, para cada función de s existe una función del tiempo. Esta conversión de función del tiempo en función de s se hace mediante la Transformada de Laplace. Se verá que este método reduce la diferenciación a multiplicación y la integración a división. 2. Definición La transformada de Laplace es:
( ) ( ) ( ) L ∫∞
−==0
dttfesFtf st [1]
donde s, para la aplicación en teoría de circuitos, es la pulsación compleja:
s= σ+jω y F(s) es la imagen o transformada. La condición para que exista la integral de Laplace es que converja. Para ello es necesario que:
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a) f(t) sea continua en cada intervalo finito (significa que el intervalo pueda dividirse en un número finito de subintervalos en los que la función sea finita y en cuyos extremos f(t) tenga límites a su derecha y a su izquierda).
b) f(t) sea de orden exponencial, es decir, que tAetf α<)( , para todo t>t0 con A y t0
positivos.
Entonces, la transformación integral es convergente para todo σ>α y existe F(s). Todas
las funciones circuitales cumplen con a) y b). 3. Transformadas
( ) ( ) L ∫∞
− ==0
1
sdttheth st ⇒
sh(t)
1=L [3]
donde h(t) es el escalón unitario.
as
eat
−=
1L [4]
con “a” real o imaginario.
( )
++
−=
+=
−
ωωω
ωω
jsjs
eet
jj 1
2
11
2
1
2LcosL ( )
22cosL
ωω
+=s
st [5]
( )22
.Lω
ωω
+=s
tsen [6]
pues la transformada es una función lineal:
( ) ( )sFAtfA iiii ∑∑ =L
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∞ ∞
+−−−− +===0 0
αααα sFdttfedttfeetfe tststtL
( ) ( )αα +=− sFtfe tL [7]
Un desplazamiento o traslación en el plano s corresponde a un amortiguamiento en el tiempo.
( )( ) 22
cosωα
αωα
++
+=−
s
ste tL [8]
por aplicación de lo anterior.
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( )( ) 22
senωα
ωωα
++=−
ste tL [9]
El diagrama de polos y ceros de las transformadas anteriores se muestra en la Figura N°1. Es útil para antitransformar por fracciones parciales (se verá más adelante) y para analizar la estabilidad de una respuesta.
Figura N°1: Polos y Ceros de F(s)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∞ ∞
−− −=−−=−−0 0
L dtatfedtatfatheatfath stst
ya que h(t-a)=1 para t>a y vale 0 para t<a
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∞
−+− ==−−0
' ''L sFedttfeatfath saats
( ) ( ) ( )sFeatfath sa−=−−L [10]
pues h(t-a)=1, y es nula entre 0 y a (Figura N°2), siendo t’=t-a.
Figura N°2
h(t)
t
h(t-a)
t’
a
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Por lo tanto, una traslación en el tiempo da lugar a un amortiguamiento en el plano s. 3.1. Transformada de la función Impulso
( ) ( ) ( ) ( )[ ] 101
0
00
0
0
=−====
+
−
+
−∫ ∫∞
−−− thedtdt
tdhedttet stststδδL [11]
3.2. Transformada de la derivada (ver apunte separado Ing. Kisielewsky sobre 0+ y 0-)
( ) ( )[ ] ( )( ) ( )+
∞−∞−
∞− −=−−== ∫∫ 0)(L
0
0
0
fssFdtestftfedtdt
dfe
dt
tdf stst
dv
u
st
321
( ) ( )+−= 0)(L fssFdt
tdf [12]
donde f(0) representa las condiciones iniciales y es el límite de f(t) cuando t se aproxima a cero desde valores positivos. Omitiremos el signo + en 0+ por sencillez.
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )0'00'00' 22
2
fsfsFsffssFsfdt
dfsL
dt
df
dt
dL
dt
fdL −−=−−=−==
( ) ( ) ( )
−−=
s
f
s
fsFs
dt
fd 00'2
22
2
L [13]
y, en general:
( ) ( ) ( )( ) ( )
−= ∑
=
−n
ii
inn
s
fsFstf
1
1 0L [14]
3.3. Transformada de la integral:
( )( )( ) ( )
s
sF
s
fdttf
t
+=
−
∞−
∫01
L
siendo f(-1) la función primitiva 3.4. Transformada de una potencia:
2
1L
st =
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:s
Lt general eny 23
2 =
1
!+
=n
n
s
ntL
4. Teorema de unicidad Dada una F(s) habrá una única f(t) que sea su antitransformada. 4.1. Teoremas del Valor inicial y del Valor final
( ) ( ) ( )00
fssFdfedt
tdf st −== ∫∞
−L
por lo tanto:
( ) ( ) ( ) ( )00000 0
fffdfelimssFlim st
ss =+=+= ∫∞
−∞→∞→
( ) ( )0fssFlims =∞→ , teorema del valor inicial
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∞=+−∞=+= ∫∞
−→→ fffffdfelimssFlim st
ss 0000
00
( ) ( )∞=→ fssFlims 0 , teorema del valor final
pero sujeto a ciertas condiciones:
si F(s)=N(s)/D(s), las raíces de D(s)=0 deben tener todas parte real negativa.
4.2. Ejemplo N°1
=)(tf teα con α>0 ∴ f(∞)=∞
Las
esF at
−==
1)()( y, según el teorema del valor final:
0)(. )( 0s0s =−
==∞ →→as
slimsFslimf
lo cual no es correcto, dado que no se cumple la condición requerida. D(s) tiene raíz de parte real positiva. 4.3. Ejemplo N°2
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=)(tfte α− sen(ωt)⇒f(∞)=0
0)(
. )(.)f(
)()(
220022=
++==∞∴
++= →→
ωα
ω
ωα
ω
s
slimsFslim
ssF ss
Cumple, pues las raíces tienen parte real negativa. Los circuitos eléctricos pasivos disipativos siempre cumplen dicha condición. Estas propiedades permiten verificar las condiciones iniciales y el régimen permanente sin hallar la antitransformada.
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5. Ley de Ohm operacional
Figura N°4
Dado un circuito RLC serie, donde:
( ) ∫∞−
++=t
dtiCdt
diLRitu .
1
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )
++−+=
++
s
q
s
sI
CissILsRIsU
010
y, como L.i(0+)= L.i(0-)=λ(0): flujo concatenado inicial, queda :
)(
)()(
sZ
sEsI = [19]
con E(s) función excitación y Z(s) función impedancia. En Z(p) se reemplaza p por s :
( ) ( ) ( ) ( )sC
qsUsE
.
00 −+= λ ; ( )
CsLsRsZ
1++=
donde E(s) es la función excitación y Z(s) es la función impedancia Las condiciones iniciales se pueden representar por generadores asociados a L y C, donde L y C se hallan relajados.
δ
Figura N°5
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5.1. Unidades en el campo transformado
[ ] ( )[ ] segV
seg
VsU
segs ⋅=⇒∴⇒
11
También surge de la definición:
( ) ( ) ( )∫
∞−==
0.
][ seg
unid
sin
st
V
dtetutusU L
Análogamente:
[ ] Ω⇒Z ; [ ] segAsI .)( ⇒ ; [ ] Ω=⇒ 1
óA
V
A
A
segHLs
pues, según la ley de Faraday : u=L.di/dt ó:
][
]].[[][
Seg
AHV =
( )[ ] segVseg
segAHiL ⋅=⋅⋅⇒0.
( )segV
seg
V
s
uc ⋅=⇒
1
0
5.2. EJEMPLO N°3 (en este ejemplo anticipamos el método de antitransformación por igualación de coeficientes):
Ω ⇒
Ω
Ω
Ω
Figura N°6
∴+
++=
++=
+
+=
+
+=
+
+=
)10.(
).(.10
10)10.(
5.4
).10(6.0
)5.(4,2
6.06
4,212
)(10010
ss
sAAA
s
A
s
A
ss
s
ss
s
s
ssI
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igualando coeficientes:
2
2
2010
4
1
0
0
10
=
=
=
=+
A
A
A
AA
que verifican la expresión original, por lo tanto,
tetiss
sI 1022)(10
22)( −+=∴
++=
6. Antitransformadas Una vez hallada F(s) hay que determinar su antitransformada: f(t)=L-1F(s). Es la parte más difícil del problema. El método de apariencia más simple, consiste en recurrir a la tabla de transformadas o diccionario de imágenes. También puede aplicarse el procedimiento matemático general, pero la expresión que queda es sumamente compleja de resolver, por lo que será mejor aplicar los métodos que se exponen a continuación. En general F(s) será una relación de polinomios (fracción o función racional) y usualmente se la separa en fracciones simples para su posterior tratamiento, F(s) = N(s)/D(s). Además, con frecuencia, el grado del denominador será mayor que el del numerador. Si esto no es así, para realizar la separación en fracciones simples, se deberá dividir el numerador N(s) por el denominador D(s) para producir un polinomio en “s” y un resto, que será un cociente de polinomios en “s” cuyo denominador será de mayor grado que el numerador. Según las raíces del denominador, D(s)=0, se pueden presentar varios casos: 6.1. Raíces simples (R.S) Considérese F(s) escrita en su forma factorizada:
( )))...()((
))...()((
)(
)(
21
21
n
m
ssssss
zszszsK
sD
sNsF
−−−
−−−== para m<n
donde s1,s2,... son polos de F(s). Si éstos son distintos, puede expandirse en una suma de fracciones simples del siguiente modo:
( )n
n
ss
A
ss
A
ss
AsF
−++
−+
−= ...
2
2
1
1 [16]
en donde Ak (k=1,2,...,n) son constantes. El coeficiente Ak se denomina residuo del polo en s=sk. El valor de Ak se encuentra multiplicando ambos miembros de la ecuación [16] y haciendo el límite para “s” tendiendo a “sk”:
( ) ( ) ( ) ( ) kk
n
n
k
k
k
kssss Assss
Ass
ss
Ass
ss
A
sD
sNsks
kk=
−
−++−
−++−
−=
− →→ ......lim
)(
)(lim
1
1
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Se observa que todos los términos del segundo miembro tienden a cero con excepción del de Ak. Por lo tanto, el residuo Ak se encuentra a partir de:
( ) ( ) ( )( )( )sD
sNsssFssA ksskssk kk
−=⋅−= →→ limlim
6.2. Raíces múltiples En lugar de analizar, el caso general, se utilizará un ejemplo para mostrar cómo obtener la expansión en fracciones simples de F(s). Considérese la siguiente F(s):
( )( )32
1
32
+
++=
s
sssF
La expansión en fracciones simples de esta F(s) involucra tres términos:
( ) ( )( ) ( ) ( )3
32
21
111)( ++
++
+==
s
B
s
B
s
B
sD
sNsF
en donde B1, B2 y B3 se determinarán del siguiente modo. Si se multiplica ambos miembros de esta última ecuación por (s+1)3, se tiene que:
( ) ( ) ( ) ( ) 322
13 11
)(1 BsBsB
sD
sNs ++++=+ [17]
y tomando límite para “s” tendiendo a “-1” resulta que:
( )( )
( ) ( )[ ] 3322
113
1 11lim)(
1lim BBsBsBsD
sNs ss =++++=
+ −→−→
Además, la diferenciación de ambos miembros de la ecuación [17] con respecto a “s” produce:
( )( )
( ) 213 12
)(1 BsB
sD
sNs
ds
d++=
+ [18]
y tomando límite para “s” tendiendo a “-1” se obtiene que:
( ) ( ) ( )[ ] 22113
1 12lim)(
1lim BBsBsD
sNs
ds
dss =++=
+ −→−→
A su vez, la diferenciación de ambos miembros de la ecuación [18] produce:
( )( )
13
2
2
2)(
1 BsD
sNs
ds
d=
+
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A partir del análisis precedente, se observa que los valores de B3, B2 y B1 se encuentran sistemáticamente del modo siguiente:
( )( ) ( ) 232lim)(
1lim 21
313 =++=
+= −→−→ ss
sD
sNsB ss
( ) ( ) ( ) ( ) 022lim32lim)(
1lim 12
13
12 =+=
++=
+= −→−→−→ sss
ds
d
sD
sNs
ds
dB sss
( ) ( ) ( ) ( ) 122
1lim32
!2
1lim
)(1
!2
1lim 1
21
3
2
2
11 =
=
++=
+= −→−→−→ sss ss
ds
d
sD
sNs
ds
dB
Y de este modo se obtiene:
[ ]( ) ( )
( ) ttt etetes
Ls
Ls
LsFLtf −−−−−−− +=++=
++
++
+== 22
3
1
2
111 101
2
1
0
1
1)()(
para 0≥t Del análisis anterior se puede establecer la siguiente fórmula de recurrencia para N genérico:
( ) ( )[ ]44 344 21
mismoelsiempre
N
km
m
sskj sFssds
dlim
mA
k−⋅= →!
1 [21]
Con j= N, ..., 2, 1 y m=0, 1, 2, ...,N-1 6.3. Ejemplo Nº4
2)17143(!1
1
1)17143(
17143)()2()2(
17143)(
2212
2213
233
2
=++=
=++=
++=+∴+
++=
−→
−→
ssds
dlimA
sslimA
sssFss
sssF
s
s
)2(
3
)2(
2
)2(
1)(
3)17143(!2
1
23
22
2
211
++
++
+=∴
=++= −→
ssssF
ssds
dlimA s
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6.4. Ejemplo Nº5
( )
( ) ( )21
2
2)(
1)4(A ; 2)4(2
4)(
2
2112122
++
+=∴
=+==+=⇒+
+= −→−→
sssF
sds
dlimslimA
s
ssF ss
si se desea la antitransformada se aplica:
( ) : eL ; L t- resulta que lo con)()(.!
)(1
αα +==+
sFtfs
nt
n
n
( )( )
ttt etetfs
te 222
..2)(1
. −−− +=∴+
= Lα
α
6.5. Raíces complejas simples Este caso, en esencia no es diferente a los anteriores. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo. 6.6. Ejemplo Nº6
( )( )( )322
523)(
)3)(4(
523)(
2
2
2
−−+
+−=
−+
+−=
sjsjs
sssF
ss
sssF
Se calculan los residuos para los diferentes polos:
( )( )
( )
41
21
208
52104
14464
48328456
128
128
128
47
128
47
128
5412
324
5423
)3(2
523lim)(Re
22
22
jjjj
j
j
j
j
j
j
j
j
jj
jj
sjs
sssFs jsjs
−=−
=+
++−=
=−
−⋅
+
+=
−−
−−=
−−
+−−=
−
+−=
−+
+−= →=
( )( ) ( )
( )
41
21
208
52104
14464
48328456
128
128
128
47
128
47
128
5412
324
5223
)3(2
523lim)(Re
22
22
jjjj
j
j
j
j
j
j
j
j
jj
jj
sjs
sssFs jsjs
+=+
=+
+−−=
=+
+⋅
−
−=
+−
+−=
+−
++−=
−−
+−−−=
−−
+−= →−=
( )2
13
5627
49
53293
4
523lim)(Re
2
2
33 =+−
=+
+×−×=
+
+−= →=
s
sssFs ss
( ) ( ) ( ) jttjtejejetf223
41
21
41
212 −+++= −
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( ) ( ) ( )tsentetft 22
12cos2 3 ++=
Figura N°7
Entonces:
pasivoscircuitosendáse no creciente,función
32)2arctg2sen(2
5)( tettf ++=
6.7. Ejemplo Nº7
42)´(;42s0D(s) )(
)(
204
35)( 1,22
+=±−=⇒==++
+= ssDj
sD
sN
ss
ssF
Se puede desarrollar en 2 formas: 6.7.1. Por el Teorema de descomposición
jjDyjjD 8)42´(8)42´( −=−−=+−
207)()N(s ;2073)42.(5)N(s 1*
21 jsNjj −−==+−=++−=
)3,194(3,5)(
4544
7)(
)(8
20)(
8
7.
8
207.
8
207)(
2
2
44442).42().42(
+=
+−=
++−
−=
−
−−+
+−=∴
−
−
−−−−−+−
tCosetf
tCostSenetf
eeeej
eej
je
j
jtf
t
t
jtjtjtjtttjtj
θ
Figura N°8
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6.7.2. Mediante descomposición de la Función Transferencia en fracciones simples
)º3.194cos(..30,54sen4
74cos.5)(
162)(s
4
4
7
162)(s
2s5 )(
16)2(
7)2.(5
44204
35)(
22
22
22
+=
−=
∴++
−++
+=
++
−+=
−+++
+=
−− tettetf
sF
s
s
ss
ssF
tt
6.8. Raíces complejas múltiples
( ) ( )
( ) ( ) ( )bass
bsa
bass
bsa
bass
sNsF
n
nn
n ++
++⋅⋅⋅+
++
++⋅⋅⋅=
++⋅⋅⋅=
211
22 [23]
El orden será: 2n raíces 7. Teorema o fórmula de conexión Posibilita, por ejemplo, el cálculo cómodo de una respuesta del sistema. Son restricciones para su aplicación que las raíces de D(s)=0 de la transferencia correspondiente a esa respuesta sean simples y ninguna igual al exponente de la excitación. Dado un circuito pasivo, relajado, con excitación exponencial (si hubiera varias fuentes o condiciones iniciales no nulas se aplicará superposición); para la respuesta en una cierta rama:
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( ) ( )( )sD
sNsEsR
sD
sN
sE
sRsT ⋅=∴==
Figura N°9
( ) [ ] :como y L siα
α
−==s
EEesE t.
( ) ( ) ( )nsssssD −⋅⋅⋅−= 1
descomponiendo en fracciones simples:
( ) ( )( )
0)D(s) de raíces (s 1
k =−
+−
=⋅−
= ∑=
n
k k
k
ss
A
s
A
sD
sN
s
EsR
ααα
pero:
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( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )α
α
ααα ααα
D
NE
sDs
sNEslimsRslimA ss ⋅=
−
⋅⋅−=−= →→
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )kk
kksskssk
sDs
sNE
sDssD
sNsssNlimE
sDs
sNEsslimA
kk ''
'
ααα −⋅=
−+
−−⋅=
−
⋅⋅−= →→
( ) ( )( )( )
( )( ) ( ) libref
tsn
k kk
k rresDs
sNE
D
Ntetr k +=⋅
−
⋅+⋅=∴ ∑
=1 'αα
α [24]
Para el caso de corriente continua:
0=α ( ) ( )( )
( )( )
ts
kk
k kesDs
sNE
D
NEtr ⋅
⋅
⋅+⋅= ∑
'0
0 [25]
7.1. Ejemplo Nº8 Hallar i(t):
Figura N°10
RCeti
RCacon
asRs
RC
RC
CsI
s.
RCs
CsT(s).U(s)I(s)
susU
RCsD(s)
RCs
CssT
RCp
Cp
CpRu
i
te
trpT
t
==
−=−
=
+
=
+==
∴===⇒
−=⇒=+
=⇒
+=
+===
−
ττ.2)(
11101110
)(
10
1
10)10()(
10
1)(
11
1
)(
)()(
1
LL
;
Para el caso de corriente alterna:
ωα j=
( ) ( ) [ ] [ ]tjjtj eEeetEte ωδωδω ReRecos ==+= δjeEE .con = [26]
como ]. Re[e(t) tjeE ω= resulta que:
Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Respuestas Forzadas y Transitorias: Método Operacional
16 de 27 (Versión 23/4/11)
[ ])(Re 1. teeE tj −=ω
que tiene la misma forma que la excitación exponencial. A ella se aplica la ecuación general y luego:
( ) ( )[ ]sRtr Re=
7.2. Ejemplo Nº9 Hallar i(t)
Figura N°11
)2
cos(2150)(π
ω −= ttu con ω=103
[ ] 22 2150Re)2150(Re)(π
ωωπ
jtjtj
j
eEconeEeetu−
==
=
)s(
)s(
s
1
)s(
)s()s (
D
N
LRU
IT =
+== L)D´(sLD´(s) ; s0)s( ; 11 =⇒=−=→=
L
RD
1)N(s1 =⇒
Sabemos que:
)().()( ωωω jUjTjI = , entonces:
45
2.15
11)( je
LjRjT −==
+=
ωω
−+= tstj e
sDjs
sNejTEti 1
)´()(
)()(Re)(
11
1
ωω ω
−−
+=−−
−−
τ
πω
ω
tjj
tj
e
LjL
R
eeeti .
)(
1.150.2
15.2
1150.2Re)(
9045
)2
(
Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Respuestas Forzadas y Transitorias: Método Operacional
17 de 27 (Versión 23/4/11)
−−−=
−
+
−
−−τ
πω
t
j
tj
ej
jeti .
10.15.1015
150.210Re)(
)2
1
2
1.(10
33
)452
(
444 3444 21
−°−=
−τωt
etti .2
1)135cos(.10)(
8. Circuitos mallados Los circuitos mallados se pueden tratar reduciéndolos primero al circuito operacional y resolviendo, o planteando las ecuaciones en t, transformando y luego resolviendo. En ambos casos hay que hallar primero las condiciones iniciales. De acá en adelante se indicarán las variables transformadas con mayúsculas (p.ej. U) sin escribir expresamente que son funciones de s (p.ej. U(s)) 8.1. Ejemplo 10
Figura N°12
=++−
=−++
0)(
)(
22212
221121
ipLRiR
EiRipLRR
=++−
+=−++ +
0)(
)0()()(
22212
11221121
ILRIR
iLsEIRIsLRR
S
8.2. Ejemplo 11 8.2.1. Circuitos acoplados:
Ambos en convención consumidora:
Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Respuestas Forzadas y Transitorias: Método Operacional
18 de 27 (Versión 23/4/11)
++=
++=
22212
21111
)(
)(
ipLRMpiu
MpiipLRu
y si las condiciones iniciales son nulas:
++=
++=
22212
21111
)()(
)()(
IsLRMsIsU
MsIIsLRsU
Si se conecta en t=0, estando el secundario en cortocircuito y U1=cte(CC),
L1=100H, L2=1H, R1=10Ω, R2=0,1Ω, M=9.95 por lo tanto:
995.021
==LL
Mk
2
100).1(
2221122121
22
11
2
9975.0201)()( sssMLLsLRLRRRsLRMs
MssLR
k
321−
++=−+++=+
+=∆
∆
−=
∆
−=
∆
+
=
∆
+=
∆
+=
∆
+=
1
1
111
2
1122
22
1
1
95,90)(
)1,0()(0)(
Us
UMs
Mss
UsLR
sI
s
Us
s
UsLR
sLR
Mss
U
sI
20
05.00
2
1
−≅
−≅→=∆
s
s
05.0
05.0
20
05.01.0
)05.0)(20(
1.0
9975.0)( 1111
1+
−+
−=++
+=
s
U
s
U
s
U
ss
s
s
UsI
γβα ++=+−= −− )(05.01.0)( 05.020111
tt eeUUti (ver Figura N°15)
Análogamente se obtiene i2:
δε +=−= −− )(5.0)( 05.02012
tt eeUti (ver Figura N°14)
en donde:
Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Respuestas Forzadas y Transitorias: Método Operacional
19 de 27 (Versión 23/4/11)
==
==
s
s
2005.0
1
05.020
1
2
1
τ
τ
γ
β
α
=α+β+γ
δ
ε
Figura N°14 Figura N°15
Si las condiciones iniciales no son nulas, aparecen fuentes de cada lado. 8.3. Ejemplo 12 Inductancias en serie
Ω Ω
Figura N°16
Luego de abrir la llave:
−+
−+=⇒
+++=
0
2
5/60
1 )0()(1,0)0()(5,0)(1260
)()1,05,0()()75(60
issIissIsIs
dt
tditi
20
55
20)20(
1010
6,012
660
10
++=
++=
+
+=
+
+=
sss
A
s
A
ss
s
s
sI
Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Respuestas Forzadas y Transitorias: Método Operacional
20 de 27 (Versión 23/4/11)
teti 2055)( −+=∴
Podemos verificar este resultado utilizando el Teorema del valor inicial y el teorema del valor final:
5)(.lím)(10)(.lím)0(0
==∞==→∞→
+ sIsiysIsiss
Aplicando Laplace no es necesario tener en cuenta las concatenaciones de flujo. 9. Problema resuelto Calcular i(t) por el método de Laplace para el siguiente circuito (Ver Netushil-Strajov T.2, página. 283 y siguientes):
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21 de 27 (Versión 23/4/11)
ω ψ)
Figura N°17
R=30Ω L=1H
C=100µF Solución
ss
EEpE
150)()( === L
Ai 10)0( += (+ por coincidir con el sentido adoptado de i)
Vuc 50)0( −= (- por ser opuesta a la caída que provoca i en c)
Con esto ya se puede establecer la ley de ohm operacional y también el esquema operacional equivalente (Figura N°18). Esquema operacional equivalente:
Figura N°18
1020050
10.1150)0(
)0()()(. +=−
−+=−+=ss
AHss
uLisEsE
ccalc
ss
ss
sCsLRsZ
4
6
1030
10.100.
11.30
1)( ++=++=++=
−
Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Respuestas Forzadas y Transitorias: Método Operacional
22 de 27 (Versión 23/4/11)
424 1030
10200
1030
10200
)(
)()(
++
+=
++
+==
ss
s
ss
s
sZ
sEsI
calc
9.1. Solución mediante el diccionario de imágenes Raíces del denominador:
s1,2=-15 ± j 99 Del diccionario, y desarrollando para el 1er término de I(s):
[ ] [ ]99
200)99sen(
1030
200
9975)99(
15
10
302
1030
200
2)()]sen([
1542
0
0
1
20
420
2
4220
22
0
20
2
00
2
tess
ssssste
t
t
−−
−
=++
==
=∴
=+
=∴
++=
+++=
++=
ω
ω
ω
α
ωα
α
ωαα
ω
ωα
ωωα
L
L
Para el 2° término de I(p):
[ ] [ ]
++−
++
+=
++
−+=
++
−−−
42421
421
421
1030
15
1030
1510
1030
151510
1030
10
ssss
s
ss
s
ss
sLLL
20
2220
202)(
)]cos([ωαα
α
ωα
αωα
+++
+=
++
+=−
ss
s
s
ste tL
=
=∴
=+
=∴
20
420
2 )99(
15
10
3022ω
α
ωα
α
[ ]
[ ] [ ]
antes) (comoetc , L
LL
L
20
2
00
1542
142
1
1542
1
)()sen(
:)99sen(99
15
1030
99
99
15
1030
15
)99cos(1030
15
ωα
ωωα
++=
=++
=++
=++
+
−
−−−
−−
ste
puestessss
tess
s
t
t
t
Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Respuestas Forzadas y Transitorias: Método Operacional
23 de 27 (Versión 23/4/11)
[ ] [ ] [ ]
−+=
+++
++=
++
+==
−−−
−−−−
)99sen(99
15)99cos(10)99sen(
99
200)(
1030
10
1030
200
1030
10200)()(
:
151515
421
421
4211
teteteti
ss
p
ssss
ssIti
Entonces
ttt
LLLL
+= − t)(t)(ei(t) t 99cos1099sen
99
5015
Como era de esperar, no hay componente de continua (ver Figura N°19).
-10
-5
0
5
10
15
0
0,0
1
0,0
2
0,0
3
0,0
4
0,0
5
0,0
6
0,0
7
0,0
8
0,0
9
0,1
0,1
1
0,1
2
0,1
3
0,1
4
0,1
5
0,1
6
0,1
7
0,1
8
0,1
9
0,2
t
i(t)
Figura N°19
9.2. Solución aplicando el teorema de descomposición
∑=
− ==n
k
ts
k
k kesF
sF
sF
sFtf
1 22
11
)(´
)(
)(
)()( 1L
con n : grado de F2(s), mayor que el grado de F1(s) sk: raíces de F2(s)=0
−=′=′
=++−=′
=−=−−+=
+=+−+=
−−=
+−=
+=′
++=
+=
198)()(
19830)9915(2)(
)(99050)9915(10200)(
99050)9915(10200)(
9915
9915
302)(
1030)(
10200)(
1222
12
1*
121
11
2
1
2
422
1
jsFsF
jjsF
sFjjsF
jjsF
js
js
ssF
sssF
ssF
Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Respuestas Forzadas y Transitorias: Método Operacional
24 de 27 (Versión 23/4/11)
( ) ( )[ ]t
tjtjtjtj
ttjtj
tjtjtsts
ej
eejj
eeti
eejejti
ej
je
j
je
sF
sFe
sF
sFti
1599999999
159999
)9915()9915(
22
21
12
11
2.2525,0.2
2.10)(
.52525,052525,0)(
198
99050
198
99050
)(
)(
)(
)()( 21
−−−
−−
−−+−
−−
+=
+++−=
−
−+
+=
′+
′=
tettti 15)]99sen(5050.0)99cos(10[)( −+=
Nota: i(t) se podría hallar por el doble de la parte real del 1er término. En efecto, dado: a = A + jB , es a + a* = ( A + jB ) + ( A – jB ) = 2.A Este es nuestro caso, pues las funciones de complejos conjugados resultan complejas conjugadas. Verifiquemos:
[ ])()99sen(.2525,0)99cos(52)(
))]99sen()99)(cos(2525,05[(.2)(
])52525,0[(.2])(´
)([.2)(
215
15
)9915(
12
112
Kjtjteti
tjtjeeti
ejeesF
sFeti
t
t
tjts
+−=
+−ℜ=
+−ℜ=ℜ=
−
−
+−
( ) tettti 15)99sen(505,0)99cos(10)( −+=
9.3. Solución por el método clásico
[ ]
+++−==
++=
=
+=
==
±−=±−=
⇒Ω>≅=
++=
−−
−
−
∫
)cos()sen()(.
)sen(
)sen(
1001
9915
302002
1
0
2,1
λωωλωα
λω
λω
ω
ωα
αα
α
α
teteACdt
duCi
tAeEu
Eu
tAeu
LC
jjp
ooscilatoriC
LR
idtCdt
diLiRE
ppt
ptc
pt
c
cf
pt
cn
p
c
Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Respuestas Forzadas y Transitorias: Método Operacional
25 de 27 (Versión 23/4/11)
+−==
−=
−−=⇒+=−=
)cossen(.10)0(sen
200
sen
50sen50)0(
λωλα
λλλ
p
c
ACi
EAAEu
∴==
=−
−=⇒
≅
−≅
°−=
−=+−
=⇒+−−==⇒
− 1,01000.10.100.
100020,0
200
98,0cos
20,0sen
3011
204,015500
99tg)
sen
cos9915(.20010)0(
4AC
A
Ci
λ
λ
λ
λλ
λ
[ ]
[ ]
[ ] tpppp
tpppp
tpp
etttt
ettttti
ettti
α
α
α
ωωωω
λωλωλωλω
λωλω
−
−
−
−++−=
−++−=
+++−=
)sen98.1cos7,9)cos3.0.(sen147
)sen.sencos..(cos9,9)sen.coscos..(sen15)(
)cos(99)sen(151,0)(
( ) tpp ettti 15)cos(10)sen(51,0)( −+= ωω
9.4. Solución mediante residuos
[ ][ ] [ ])9915(.)9915(
)20(10
1030
10200)(
42 jsjs
s
ss
ssI
+−−−−−
−−=
++
+=
Como:
2
2
1
1
11
1
))((
)(10)(
ss
C
ss
C
ssss
ZssI
−+
−=
−−
−=
calculando las constantes C1 y C2:
)(
)(10))((lím
21
11
11
ss
ZssssIC
ss −
−=− →=
→
Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Respuestas Forzadas y Transitorias: Método Operacional
26 de 27 (Versión 23/4/11)
Figura N°20
resulta: residuo en s1= -15- j 99:
2525,0599.2
995102 j
j
jC +=
−
+=
residuo en s2= -15 + j 99:
2525,0599.2
995102 j
j
jC −=
+=
Finalmente:
9915
2525,05
9915
2525,05)(
2
2
1
1
js
j
js
j
ss
C
ss
CsI
−+
−+
++
+=
−+
−=⇒
realizando la antitransformada:
[ ])(2525,0)(5)(
)2525,05()2525,05()(9999999915
)9915()9915(21
21
tjtjtjtjt
tjtjtsts
eejeeeti
ejejeCeCti
−++=
−++=+=
−−−
+−−−
[ ])99(505,0)99cos(10)( 15 tsenteti t += −
10. Bibliografía Nestushil-Strajov - Electrotecnia Tomo II
Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Respuestas Forzadas y Transitorias: Método Operacional
27 de 27 (Versión 23/4/11)
11. Indice
1. UNA INTRODUCCIÓN AL MÉTODO OPERACIONAL.................................................................................1
2. DEFINICIÓN...........................................................................................................................................................1
3. TRANSFORMADAS ..............................................................................................................................................2
3.1. TRANSFORMADA DE LA FUNCIÓN DE IMPULSO ......................................................................................................4 3.2. TRANSFORMADA DE LA DERIVADA ........................................................................................................................4 3.3. TRANSFORMADA DE LA INTEGRAL:........................................................................................................................4 3.4. TRANSFORMADA DE UNA POTENCIA: .....................................................................................................................4
4. TEOREMA DE UNICIDAD...................................................................................................................................5
4.1. TEOREMAS DEL VALOR INICIAL Y DEL VALOR FINAL ............................................................................................5 4.2. EJEMPLO N°1 ........................................................................................................................................................5 4.3. EJEMPLO N°2 ........................................................................................................................................................5
5. LEY DE OHM OPERACIONAL...........................................................................................................................7
5.1. UNIDADES EN EL CAMPO TRANSFORMADO ............................................................................................................8 5.2. EJEMPLO N°3 .....................................................................................................................................................8
6. ANTITRANSFORMADAS.....................................................................................................................................9
6.1. RAÍCES SIMPLES (R.S) ...........................................................................................................................................9 6.2. RAÍCES MÚLTIPLES ..............................................................................................................................................10 6.3. EJEMPLO Nº4 .......................................................................................................................................................11 6.4. EJEMPLO Nº5 .......................................................................................................................................................12 6.5. RAÍCES COMPLEJAS SIMPLES ...............................................................................................................................12 6.6. EJEMPLO Nº6 .......................................................................................................................................................12 6.7. EJEMPLO Nº7 .......................................................................................................................................................13
6.7.1. Por el Teorema de descomposición...........................................................................................................13
6.7.2. Mediante descomposición de la Función Transferencia en fracciones simples........................................14
6.8. RAÍCES COMPLEJAS MÚLTIPLES ...........................................................................................................................14
7. TEOREMA O FÓRMULA DE CONEXIÓN .....................................................................................................14
7.1. EJEMPLO Nº8 .......................................................................................................................................................15 7.2. EJEMPLO Nº9 .......................................................................................................................................................16
8. CIRCUITOS MALLADOS ..................................................................................................................................17
8.1. EJEMPLO 10.........................................................................................................................................................17 8.2. EJEMPLO 11.........................................................................................................................................................17
8.2.1. Circuitos acoplados: .................................................................................................................................17
8.3. EJEMPLO 12.........................................................................................................................................................19
9. PROBLEMA RESUELTO ...................................................................................................................................20
9.1. SOLUCIÓN MEDIANTE EL DICCIONARIO DE IMÁGENES..........................................................................................22 9.2. SOLUCIÓN APLICANDO EL TEOREMA DE DESCOMPOSICIÓN ..................................................................................23 9.3. SOLUCIÓN POR EL MÉTODO CLÁSICO ...................................................................................................................24 9.4. SOLUCIÓN MEDIANTE RESIDUOS ..........................................................................................................................25
10. BIBLIOGRAFÍA ...................................................................................................................................................26
11. INDICE...................................................................................................................................................................27